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专题 01 实数易错问题的四种模型
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题型一：对无理数的概念理解不透彻或对实数的分类不清楚致错.......................................................................1
题型二：易混淆a与 的平方根...........................................................................................................................3
题型三：求二次根式有意义时未考虑清楚致错......................................................................................................4
题型四：忽略二次根式有意义的隐含条件或对 理解不透彻致错.........................................................6
题型一：对无理数的概念理解不透彻或对实数的分类不清楚致错
1．在实数 、 、 、 ， 中， 其中无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了无理数的定义，掌握根据无理数的常见形式：“①最终结果含有开方开不尽的数，②
最终结果含有 的数，③形如 （每两个 增加一个 ）．”是解题的关键．
【详解】解： 、 ， 是无理数，有 个，
、 是有理数，
故选：C．
2．有一组数如下： ， ， ， ， ， ， （相邻两个 之间 的个数逐次加 个），
其中无理数有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】B
【分析】本题主要考查无理数的定义，无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解
有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是
无理数，由此即可判断选项．其中初中范围内学习的无理数有： ， 等；开方开不尽数；以及像
0.101001000100001…等有这样规律的数，也考查了求算术平方根、绝对值．
【详解】解： ， ，
故无理数有 ， ， ， （相邻两个 之间 的个数逐次加 个），共 个，
故选：B．3．在实数 ， ， ，0， ， ， ， ， 无理数有 个．
【答案】3
【分析】本题考查了无理数的定义，求算术平方根．
根据无理数的定义作答即可．
【详解】解：在实数 ， ， ，0， ， ， ， ， 无理数有
， ， 共3个，
故答案为：3．
4．下列各数： 0.1212212221…（每两个1之间依次多1个6）中，无理数
有 个．
【答案】3
【分析】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π， 等；开方开不尽的数；
以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的
统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此判断即可．
【详解】解： 、 、0.1212212221…（每两个1之间依次多1个6）是无理数，共有3个，
、 ， 是有理数，
故答案为：3．
5．将下列各数填入相应的集合内．（用序号填空）
① ，② ，③ ，④0，⑤ ⑥ ，⑦ ，⑧0.13030030003…（相邻的两个3之间依次
多1个0），⑨3.14．
（1）整数集合：{ …}；
（2）分数集合：{ …}；
（3）无理数集合：{ …}．
【答案】 ③④⑥ ①⑤⑨ ②⑦⑧
【分析】此题考查了实数的分类，化简需要化简的各数后，根据实数的分类方法分类即可．
【详解】解： ，
（1）整数为：③ ，④0，⑥ ；
故答案为；③④⑥
（2）分数为：① ，⑤ ，⑨3.14．故答案为；①⑤⑨
（3）无理数为：② ，⑦ ，⑧0.13030030003…（相邻的两个3之间依次多1个0），
故答案为：②⑦⑧
题型二：易混淆a与 的平方根
6． 的平方根是 ， 的算术平方根是 ．
【答案】 3
【分析】本题考查了平方根和算术平方根，根据平方根和算术平方根的定义即可解答．
【详解】解： ，
∴ 的平方根是 ，
，
∴ 的算术平方根是3．
故答案为： ；3．
7． 的平方根是 ， 的算术平方根是 ．
【答案】 3
【分析】本题考查算术平方根，平方根，先求出 ，再求4的平方根即可；求出 ，再求9的算
术平方根即可．
【详解】解：∵ ，4的平方根为 ，
∴ 的平方根是 ；
∵ ，9的算术平方根为3，
∴ 的算术平方根是3，
故答案为： ，3．
8． 的算术平方根是 ； 的算术平方根是 ； 的平方根是 ．
【答案】 2
【分析】本题主要考查了算术平方根、平方根的定义，熟练掌握相关内容是解题的关键．
根据算术平方根、平方根的定义，即可进行解答．
【详解】解： 的算术平方根是2；的算术平方根是 ；
的平方根是 ．
故答案为：2， ， ．
9． 的平方根是 ； 的算术平方根是 ；3的算术平方根是
【答案】 3
【分析】此题考查了平方根和算术平方根的计算，根据平方根和算术平方根的概念求解即可．
【详解】 的平方根是 ；
的算术平方根是3；
3的算术平方根是 ．
故答案为： ；3； ．
10． 的算术平方根是 ； 的平方根是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了平方根和算术平方根的定义， ，先计算出得数，再根据算术平方根的定义
求解；先计算 ，再根据平方根的定义可直接求解．
【详解】解：
3的算式平方根为 ；
， 的平方根为 ．
故答案为：❑√3， ．
题型三：求二次根式有意义时未考虑清楚致错
11．要使二次根式 有意义，则实数x的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数，即可求解．
【详解】解：根据题意得： ，
解得： ．
故答案为：
12．要使 有意义，则 的取值范围是 ．
【答案】【分析】本题主要考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键，依据二次
根式被开方数大于等于零求解即可．
【详解】解： 有意义，
，
解得： ．
故答案为： ．
13．若式子 有意义，则自变量x的取值范围是 ；
【答案】
【分析】本题考查的是函数自变量的取值范围，熟记二次根式的被开方数是非负数、分母不为零是解题的
关键．根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为零列出不等式，解不等式得到答案．
【详解】解：由题意得： ，
解得： ，
故答案为： ．
14．已知 ，则y的值是 ．
【答案】4
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、代数式求值等知识点，求得x、y的值成为解题的关键．
先根据二次根式有意义的条件确定x的值，然后确定y的值即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，解得： ，
∴ ．
故答案为：4．
15．已知 、 都是实数，且 ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，求代数式的值，解题的关键是掌握被开方数为非负数．
根据二次根式有意义的条件，可求出 和 的值，代入计算即可．
【详解】解：根据题意可得， ，
解得， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
16．若实数 满足 ，那么 的值是 ．【答案】6
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
根据二次根式的被开方数是非负数，可得 ，从而得到 ，即可求解．
【详解】解：根据题意得： ，
解得， ，
∴
∴ ．
故答案为：6
题型四：忽略二次根式有意义的隐含条件或对 理解不透彻致错
17.已知 ， ，化简： ．
【答案】 /
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是掌握 ．根据二次根式的性质得
，然后再化简即可．
【详解】解： ， ，
；
故答案为： ．
18.若 ， ，则化简 的结果是
【答案】 /
【分析】本题考查二次根式的化简，熟练掌握其定义及性质是解题的关键．结合已知条件，根据二次根式
的性质 进行化简即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
19.已知 且 ，化简二次根式 的结果是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，利用二次根式的性质进行化简．根据题意确定 的取值范
围是解题的关键．
由题意知， ，则 ，由 ，可得 ，然后利用二次根式的性质进行化简即可．【详解】解：由题意知， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
20.当 时，化简： ．
【答案】 /
【分析】本题考查二次根式性质化简、化简绝对值等知识，由 得到 ，从而将
化简即可得到答案，熟记二次根式性质、绝对值的代数意义是解决问题的关键．
【详解】解： ，
，
，
故答案为： ．
21.已知 ，化简： ．
【答案】 /
【分析】本题考查了二次根式的性质，绝对值化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．根据二次根
式的性质得 ，再根据 将绝对值化简，即得答案．
【详解】解：原式
，
，
， ，
∴原式
．
故答案为： ．
22.实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简 ．【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，实数与数轴；观察数轴可得 ，从而得到
，再根据二次根式的性质化简，即可求解．
【详解】解：观察数轴得： ，
∴ ，
∴
故答案为：
23. 在数轴上的位置如图所示，那么化简： 的结果是 ．
【答案】
【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负、化简二次根式，由数轴得出 ，推出 ，再
由二次根式的性质化简即可得出答案．
【详解】解：由数轴可得： ，
∴ ，
∴
，
故答案为： ．
24.（1）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简代数式 的值．
（2）如果 的小数部分为 ， 的整数部分为 ，求 的值．
【答案】（1） ；（2）1
【分析】本题考查了实数与数轴，无理数的估算，实数的运算等知识，解题的关键是：
（1）利用夹逼法得出 ，利用数轴上a、b的位置可得出 ， ，则
， ，然后利用绝对值的意义、二次根式的性质等化简即可；
（2）先估算出 与 的大小，从而得到a、b的值，然后代入计算即可．
【详解】解∶（1）∵ ，∴ ，即 ，
由数轴知： ， ，
∴ ， ， ，
∴原式
；
（2）∵ ，
∴ ，即 ，
∴ 的整数部分为2，小数部分为 ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ 的整数部分为 ，
∴ ．
25.【阅读理解】
在解决数学问题时，我们一般先仔细阅读题干，找出有用信息作为已知条件，然后利用这些信息解决问题，
但是有的题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件；而有的信息不太明显，需要结合图形、特
殊式子成立的条件、实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件，所以我们在做
题时，要注意发现题目中的隐含条件．
阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题．
化简： ．
解：隐含条件为 ，解得 ，
∴ ，
∴原式 ．
【启发应用】
(1)按照上面的解法，试化简： ；
(2)已知a、b、c为 的三边长，化简： ．
【答案】(1)1
(2)
【分析】本题考查二次根式的性质，化简绝对值，三角形的三边关系：
（1）要使 有意义，其被开方数 应大于或等于0，求出 的取值范围，再根据二次根式的性质化
简即可；（2）根据三角形三边关系及二次根式的性质可得答案．
【详解】（1）解：隐含条件为 ，得 ，
∴ ．
∴原式 ；
（2）解：∵a，b，c为 的三边长，
∴ ，
∴ ，
∴
．
