文档内容
专题 01 巧用八种运算规律简化有理数的运算
题型 01 归类组合法
【典例分析】
【例1-1】（24-25七年级上·全国·假期作业）用简便方法计算：【例1-2】（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算：
(1) ． (2) ．
【例1-3】（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： ．
【变式演练】
【变式1-1】（24-25七年级上·全国·随堂练习）用合理的方法计算下列各题：
(1) ； (2) ．
【变式1-2】（24-25七年级上·全国·假期作业）计算： ；【变式1-3】（23-24六年级下·上海长宁·期中）计算： ；
题型 02 逆用乘法对加法的分配律
【典例分析】
【例2-1】（24-25七年级上·全国·假期作业）简便计算
【例2-2】（24-25七年级上·全国·假期作业）计算： ．
【例2-3】（24-25七年级上·全国·假期作业）简便运算
【变式演练】
【变式2-1】（23-24七年级上·四川眉山·阶段练习） ．【变式2-2】（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）．计算下列各题：
【变式2-3】（23-24七年级上·陕西咸阳·期中）用简便方法计算： ．
题型 03 凑整法
【典例分析】
【例3-1】（24-25七年级上·全国·随堂练习）利用有理数的加法运算律计算，使运算简便．
(1) ； (2) ．
【例3-2】（23-24七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）计算
(1) (2)
【例3-3】（22-23七年级上·河南郑州·阶段练习）计算．
(1) ； (2) ；(3) ； (4) ．
【变式演练】
【变式3-1】（23-24七年级上·吉林长春·期中）计算： ．
【变式3-2】（23-24七年级上·陕西渭南·期中）用简便方法计算： ．
【变式3-3】（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）计算：
(1) ． (2)
题型 04 拆分变形法
【典例分析】
【例4-1】（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）数学张老师在多媒体上列出了如下的材料：计算：
解：原式
上述这种方法叫做拆项法．请仿照上面的方式计算：
【例4-2】（23-24七年级上·山西朔州·期中）阅读下题中的计算方法，解决问题．
(1)
解：原式
上面这种方法叫拆项法．
仿照上面的拆项法可将 拆为_________， 拆为_________．
(2)类比上述计算方法计算：．
【例4-3】（23-24七年级上·河南信阳·阶段练习）阅读下题的计算方法．
计算： ．
解：原式
．
上面这种解题方法叫拆项法．
按此方法计算： ．
【变式演练】【变式4-1】（23-24七年级上·山东菏泽·期中）对于 可以进行如下计算：
原式
．
上面这种方法叫拆项法，你看懂了吗？仿照上面的方法，你会计算下面的式子吗？
．
【变式4-2】（24-25七年级上·全国·随堂练习）阅读下面的解题方法．
计算： ．
解：原式
上述解题方法叫做拆项法，按此方法计算：
．【变式4-3】（23-24七年级上·河南驻马店·阶段练习）下面是某数学兴趣小组探究用不同方法求“有理数
加法”的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务．
试题：计算： ．
小明：我是先把原带分数化成假分数，然后直接按照有理数加法的运算法则从左到右依次计算．
小军：我认为小明的方法很单一，而且有点麻烦，下面是我按照“拆项法”进行解答的过程：
解：原式
．
老师：小军的方法很有创意，值得提倡与学习．
任务：请根据片段中的“拆项法”，进行下面的计算：
(1) ． (2) ．
题型 05 分组搭配法
【典例分析】
【例5-1】（23-24七年级上·广东东莞·期中）计算： 的值．【例5-2】（2024七年级·全国·竞赛）计算： ．
【例5-3】（23-24七年级上·全国·课堂例题）计算： ．
【变式演练】
【变式5-1】（23-24七年级上·全国·课堂例题）计算： ．（要求写出必
要的过程）
【变式5-2】（24-25七年级上·全国·假期作业）计算:
【变式5-3】（24-25七年级上·全国·假期作业）计算．
(1)
(2)
题型 06 拆项法
【典例分析】
【例6-1】（20-21七年级上·安徽合肥·阶段练习）计算：．
【例6-2】（23-24七年级上·重庆·阶段练习）计算： ．
【例6-3】（22-23七年级上·广东广州·开学考试）计算： ；
【变式演练】
【变式6-1】（22-23七年级上·广东广州·开学考试） ；
【变式6-2】（22-23七年级上·广东广州·开学考试） ；
【变式6-3】（22-23七年级上·江苏盐城·阶段练习）类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某
些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．比如在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如： ，我们将上述计算过程倒过来，得到
，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于 可以用裂项的方法变形为：
．类比上述方法，解决以下问题．
(1)猜想并写出： ________；
(2)类比裂项的方法，计算： ；
(3)探究并计算： ．
题型 07 倒数法
【典例分析】
【例7】（23-24七年级上·湖南湘西·期末）数学老师为了优化同学们的运算思维，提高数学运算能力，复
习有理数综合运算时，布置了一道有意思的计算题：请用不同解法计算
刘聪和他的小伙伴选择常规解法： 张明开动脑
筋，经过观察算式特点，和同学们深入分析、探究，又找到了下面这种解法：原式的倒数：所以，原式
(1)请比较刘聪和张明两位同学的解法，你喜欢哪位同学的解法？ 为什么？
(2)请选择你喜欢的解法计算：
【变式演练】
【变式7-1】（24-25七年级上·全国·随堂练习）阅读材料，回答问题．
计算： ．
解：方法一：原式 ．
方法二：原式的倒数为：
故原式 ．
用适当的方法计算： ．
【变式7-2】（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）阅读下面材料：
计算：
解法①：
原式；
解法②：
原式
；
解法三：
原式的倒数为
，
故原式 ．
(1)上述三种解法得出的结果不同，肯定有解法是错误的，你认为解法_____是错误的（填序号）
(2)在正确的解法中，你认为解法______比较简便．（填序号）
请你进行简便计算： ．
【变式7-3】．计算：
(1)前后两部分之间存在着什么关系？
(2)先计算哪部分比较简单?请给予解答；(3)利用（1）中的关系，直接写出另一部分的结果；
(4)根据上述分析，求出原式的结果．
题型 08 倒序相加法
【典例分析】
【例8-1】（23-24七年级上·辽宁朝阳·期末）高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从1到100
这100个正整数的和”，许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常烦琐，且易出错，聪明的
小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程：
解：设 ，①
则 ．②
① ②，得 ．
（①②两式左右两端分别相加，左端等于 ，右端等于100个101的和）
所以 ， ．③
所以 ．
后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”
请你运用上述方法计算：一条沿途有n个站点的高铁线上，单向行驶的“和谐号”列车，需要印多少种车
票 ．
【例8-2】．（22-23七年级上·广西南宁·期中）【材料阅读】高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计
算“从1到100这100个正整数的和”．许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常繁琐，且
易出错．聪明的高斯经过探索后，给出了下面的解答过程：
解：设 ，①
则 ．②
①＋②，得（即左右两边分别相加）：．
所以， ．
所以， ．
后来人们将高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”．
【问题解决】利用“倒序相加法”解答下面的问题：
(1)计算： _________；
(2)猜想： __________并利用“倒序相加法”说明理由．
(3)利用（2）中的结论，计开： ．
【变式演练】
【变式8-1】（22-23七年级上·广东广州·期中）阅读材料：
材料一：对实数 ， ，定义 的含义为：当 时， ；当 时， ．
例如： ； ．
材料二：关于数学家高斯的故事：2000多年前，高斯的老师提出了下面的问题：
？据说，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，十岁的高斯却用下面的方法迅速算出
了正确答案： ．
也可以这样理解：令 ①，
则 ②，
①+②得： ，
即 ．
解决问题：
(1) ； ；(2)已知 ，且 ，求 的值；
(3)对于正数 ，满足关系式 时，求：
值．
【变式8-2】（23-24七年级上·四川达州·期中）阅读理解：高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算
“从1到100这100个正整数的和”．许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常烦琐，且易
出错．聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程．
解：设 ，①
则 ，②
①+②，得
（两式左右两端分别相加，左端等于 ，右端等于100个101的和）
所以 ， ③
所以 后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”．
请解答下面的问题：
(1)请你运用高斯的“倒序相加法”计算： ；
(2)请你认真观察上面解答过程中的③式及你运算过程中出现类似的③式，猜想： ．
(3)计算： ．
【变式8-3】（21-22七年级上·河北保定·期末）高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从1到100
这100个正整数的和”．许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常繁琐，且易出错．聪明的
小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程．
解：设S＝1+2+3+…+100 ①则S＝100+99+98+…+1 ②
①+②，得（即左右两边分别相加）：
2S＝（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（100+1），
＝ ，
＝100×101，
所以，S＝ ③，
所以，1+2+3+…+100＝5050．
后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”．请你利用“倒序相加法”解答下面的问题．
（1）计算：1+2+3+…+101；
（2）请你观察上面解答过程中的③式及你运算过程中出现的类似③式，猜想：1+2+3+…+n＝ ；
（3）至少用两种方法计算：1001+1002+…+2000．
方法1：
方法2：
