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2022-2023 学年北师大版数学八年级上册压轴题专题精选汇编
专题 01 勾股定理的应用
考试时间：120分钟 试卷满分：100分
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2021八上·凤县期末）如图，以 的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形.若
，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】A
【完整解答】解：∵ Rt△ABC
∴AC2+BC2=AB2=3
∴S = AC2+ BC2+ AB2= （AC2+BC2）+ AB2= AB2+ AB2=AB2=3.
阴影
故答案为：A.
【思路引导】利用勾股定理求出AC2+BC2=AB2=3，再利用三角形的面积公式求出阴影部分的面积.
2．（2分）（2021八上·嵩县期末）有一个边长为1的正方形，以它的一条边为斜边，向外作一个直角三
角形，再分别以直角三角形的两条直角边为边，向外各作一个正方形，称为第一次“生长”（如图1）；
再分别以这两个正方形的边为斜边，向外各自作一个直角三角形，然后分别以这两个直角三角形的直角边
为边，向外各作一个正方形，称为第二次“生长”（如图2）……如果继续“生长”下去，它将变得“枝
繁叶茂”，请你算出“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ）A．1 B．2020 C．2021 D．2022
【答案】D
【完整解答】解：如图，
由题意得：S=1，
A
由勾股定理得：S＋S=1，
B C
则 “生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，
同理可得：
“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形面积和为3，
“生长”了3次后形成的图形中所有正方形的面积和为4，
……
“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2022，
故答案为：D.
【思路引导】利用勾股定理可证得S＋S=1，可得到“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积
B C
和为2；“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形面积和为3；“生长”了3次后形成的图形中所有正
方形的面积和为4，……，由此规律可得到“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和.
3．（2分）（2021八上·巴中期末）如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高4.5m的墙上，装有
一个由传感器控制的门铃A，如①图所示，人只要移至该门铃5m及5m以内时，门铃就会自动发出语音
“欢迎光临”.如②图所示，一个身高1.5m的学生走到D处，门铃恰好自动响起，则BD的长为（ ）A．3米 B．4米 C．5米 D．7米
【答案】B
【完整解答】解：由题意可知. ， ，
由勾股定理得 ，
故离门4米远的地方，灯刚好打开.
故答案为：B.
【思路引导】由题意可知：BE=CD=1.5m，AE=AB-BE=3m，AC=5m，由勾股定理求出BD、CE，据此解答.
4．（2分）（2021八上·禅城期末）如图有一个水池，水面BE的宽为16尺，在水池的中央有一根芦苇，
它高出水面2尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个芦苇的高度是（
）
A．26尺 B．24尺 C．17尺 D．15尺
【答案】C
【完整解答】解：设水池的深度为 尺，由题意得：
，
解得： ，
所以 ．
即：这个芦苇的高度是17尺．
故答案为：C．【思路引导】根据题意，设水池的深度为 尺，列出方程解答即可。
5．（2分）（2021八上·南阳月考）如图所示，甲渔船以8海里/时的速度离开港口O向东北方向航行，
乙渔船以6海里/时的速度离开港口O向西北方向航行，他们同时出发，一个半小时后，甲、乙两渔船相距
（ ）
A．12海里 B．13海里 C．14海里 D．15海里
【答案】D
【完整解答】解：∵甲渔船以8海里/时的速度离开港口O向东北方向航行，乙渔船以6海里/时的速度离
开港口O向西北方向航行，
∴∠AOB=90°，
∴出发一个半小时后，OA=8×1.5=12海里，OB=6×1.5=9海里，
∴ 海里，
故答案为：D.
【思路引导】利用方位角的定义可知∠AOB=90°，利用两船的运动速度，可求出OA，OB的长，再利用勾股
定理求出AB的长.
6．（2分）如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为
49，小正方形面积为4，若用 、 表示直角三角形的两直角边 ，下列四个说法：①
，② ，③ ，④ ．其中说法正确的是（ ）
A．①③ B．①②③ C．①②④ D．①②③④【答案】A
【完整解答】如图所示，
∵△ABC是直角三角形，
∴根据勾股定理： ，故①符合题意；
由图可知 ，故②不符合题意；
由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，
列出等式为 ，
即 ，故③符合题意；
由 可得 ，
又∵ ，
两式相加得： ，
整理得： ，
，故④不符合题意；
故正确的是①③．
故答案选A．
【思路引导】根据直角三角形三边关系及正方形的性质，通过图形找他们之间的关系，逐项判定即可。
7．（2分）（2020八上·龙岗月考）勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载.如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可用其面积关
系验证勾股定理.图2是由图1放入矩形内得到的， ， ， .点D，E，
F，G，H，I都在矩形 的边上，则矩形 的面积为（ ）．
A．288 B．400 C．432 D．440
【答案】D
【完整解答】解：如图，延长AB交KL于P，延长AC交LM于Q，
则△ABC≌△PFB≌△QCG，
∴PB=AC=8，CQ=AB=6，
∵图2是由图1放入矩形内得到，
∴IP=8+6+8=22，
DQ=6+8+6=20，
∴矩形KLMJ的面积=22×20=440．
故答案为：D．
【思路引导】延长AB交KL于P，延长AC交LM于Q，可得 ABC、 PFB、 QCG全等，根据全等三角形对
应边相等可得PB=AC，CQ=AB，然后求出IP和DQ的长，再根据矩形的面积公式列式计算即可得解。
8．（2分）（2017八上·郑州期中）如图使用4个全等三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案已知
大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x、y表示直角三角形的两直角边(x>y)，下列四个说法：
①x2+y2=49；②x−y=2；③2xy+4=49；④x+y=9. 其中正确的是（ ）A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【答案】B
【完整解答】解：由题意得： ，①﹣②得2xy=45 ③，∴2xy+4=49，①+③得
x2+2xy+y2=94，∴（x+y）2=94，∴①②③正确，④错误．故答案为：B．
【思路引导】根据勾股定理得出 x2+y2 =斜边的平方，直角三角形的斜边就是大正方形的边长，再根据正
方形的面积计算方法得出斜边的平方=49，故 x2+y2=49 ；由图可知：小正方形的边长为（ x−y ），小正
方形的面积为（x-y）2=4,根据算术平方根的意义即可得出 x−y=2 ；将 x2+y2=49与（x-y）2=4相减即可得
出2xy=45，根据等式的性质即可得出 2xy+4=49 ；然后将 x2+y2=49 与2xy=45相加即可得出，再利用完全
平方公式分解因式即可得出（x+y）2=94，综上所述即可得出答案。
9．（2分）一位无线电爱好者把天线杆设在接收效果最佳的矩形屋顶之上．然后，他从杆顶到屋顶四角之
间安装固定用的支撑线．有两根相对的支撑线分别长7米和4米，另一根长1米，则最后一根的长度应为
（ ）
A．8米 B．9米 C．10米 D．12米
【答案】A
【完整解答】如图（1），矩形ABCD中，存在AP2+CP2=BP2+DP2；
如图（2），存在直角三角形：△APF，△BPF，△CPF，△DPF．
于是有FD2-PF2+BF2-PF2=AF2-PF2+FC2-FP2；
整理得PD2+BF2=AF2+FC2；
于是72+42=12+FC2；
解得FC=8．
故答案为：A【思路引导】根据矩形内任意一点到相对的两个顶点的距离的平方和相等，即如图（1），矩形ABCD中，
存在AP2+CP2=BP2+DP2；如图（2），存在直角三角形：△APF，△BPF，△CPF，△DPF，于是有FD2-PF2+BF2-
PF2=AF2-PF2+FC2-FP2，整理得PD2+BF2=AF2+FC2，从而代入值即可算出答案。
10．（2分）（2021八上·寿阳期中）如图所示，小明准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿竖直插到
离岸边1.5m远的水底，竹竿高出水面0.5m，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河
水的深度为（ ）
A．2m B．2.25m C．2.5m D．3m
【答案】A
【完整解答】解：根据如图画简图
在直角△ABC中，AC＝1.5米．AB﹣BC＝0.5米．
设河水的深度BC＝x米，则AB＝0.5+x（米）．
根据勾股定理得出：
∵AC2+BC2＝AB2
∴1.52+x2＝（x+0.5）2
解得：x＝2．
即河水的深度为2米，
故答案为：A．
【思路引导】设河水的深度BC＝x米，则AB＝0.5+x（米），再利用勾股定理列出方程1.52+x2＝（x+0.5）
2，求解即可。二．填空题（共10小题，满分22分）
11．（2分）（2021八上·南海期末）如图，一架秋千静止时，踏板离地的垂直高度DE＝0.5m，将它往前
推送1.5m（水平距离BC＝1.5m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝1m，秋千的绳索始终拉直，则绳索
AD的长是 m．
【答案】2.5
【完整解答】解：∵BF⊥EF，AE⊥EF，BC⊥AE，
由平行线间距离处处相等可得：CE=BF=1m，
∴CD=CE-DE=1-0.5=0.5（m），而
设绳索AD的长为x m， 则AB=AD=x m，AC=AD-CD=（x-0.5）m，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，
即（x-0.5）2+1.52=x2， 解得：x=2.5（m），
即绳索AD的长是2.5m，
故答案为：2.5．
【思路引导】设绳索AD的长为x m， 则AB=AD=x m，AC=AD-CD=（x-0.5）m， 在Rt△ABC中，由勾股定理
得：AC2+BC2=AB2， 列式求解即可。
12．（4分）（2021八上·房山期末）如今人们锻炼身体的意识日渐增强，但是发现少数人保护环境的意
识仍显淡薄，应提醒注意．下图是房山某公园的一角，有人为了抄近道而避开路的拐角 （
），于是在草坪内走出了一条不该有的“捷径路AC” ．已知 米， 米，他
们踩坏了 米的草坪，只为少走 米的路．【答案】50；20
【完整解答】∵ ， ， ，
∴AC= =50（米），
∴AB+BC-AC=30+40-50=20（米），
故答案为：50，20．
【思路引导】利用勾股定理先求出AC=50米，再计算求解即可。
13．（2分）（2021八上·宽城期末）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一
丈，葭生其中，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何？”（丈、尺是长度单位，1丈＝10尺）其
大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇AB，它高出水面1尺
（即BC＝1尺）．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端B恰好到达池边的水面D处．问水的深
度是多少？则水深DE为 尺．
【答案】12
【完整解答】设水池里水的深度是 尺，则 ， ，
由题意得： ，
∴ ，解得： ，
故答案为：12．
【思路引导】设水池里水的深度是 尺，则 ， ，由勾股定理知
，据此建立关于x方程，解之即可.
14．（2分）（2021八上·诸暨月考）如图，已知△ABC 中，∠ABC＝90°，以△ABC的各边为边，在
△ABC外作三个正方形，S，S，S分别表示这三个正方形的面积，若S＝81，S＝225，则BC＝
1 2 3 1 2
．
【答案】12
【完整解答】解：∵∠ABC=90°，
∴由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴BC=12
故答案为：12．
【思路引导】利用勾股定理可证得AC2+BC2＝AB2，利用正方形的面积公式可证得 ，代入计算求
出S 的值，即可得到BC的长.
3
15．（2分）（2021八上·灌云期中）如图，公路AC、BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，
若测得 ， ，则M，C两点间的距离为 km.【答案】2.5
【完整解答】解：∵公路AC，BC互相垂直，
∴∠ACB＝90°，
∵ ， ，
在Rt△ABC中，
根据勾股定理AB= km
∵M为AB的中点，
∴CM＝ km，
即M，C两点间的距离为2.5km，
故答案为：2.5.
【思路引导】在Rt△ABC中，根据勾股定理求出AB长，再根据三角形斜边中线的性质，即可作答.
16．（2分）（2021八上·江阴期中）如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷
径”，在花铺内走出了一条“路”.他们仅仅少走了 步路(假设2步为1米)，却踩伤了花草.
【答案】8
【完整解答】解：由题意得，斜边长AB= = =10米，
则少走(6+8-10)×2=8步路，
故答案为8.
【思路引导】在Rt△ABC中，根据勾股定理求出斜边AB长，再求两条直角边之和与斜边之差，最后换算即可.
17．（2分）（2021八上·揭阳月考）动手操作：在长方形纸片ABCD中，AB＝6，AD＝10．如图所示，折
叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移
动．若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为 ．
【答案】4
【完整解答】解： 长方形纸片ABCD中，AB＝6，AD＝10．
①当Q与D重合时，如图，由折叠得：
由勾股定理，得
，
②当P与B重合时，如图，
由折叠得：
，
，CA′最远是8，CA′最近是4，点A′在BC边上可移动的最大距离为8﹣4＝4，
故答案为4．
【思路引导】根据翻折的性质，可得到 和AP的关系，根据线段的和差，可得到 ，根据勾股定理，
可得到 ，根据线段的和差即可解得答案
18．（2分）（2021八上·揭阳月考）如图，以直角三角形的三边为边向外作三个正方形A、B、C．若
， ，则 ．
【答案】8
【完整解答】解：由勾股定理得： = + ，
∵ =24， =16，
∴24=16+ ，
∴ =24-16=8，
故答案为：8．
【思路引导】本题根据勾股定理求斜边长的平方是解本题的关键，根据已知两个正方形的面积是24和
16，那么字母C所代表的正方形就是24和16的差
19．（2分）（2020八上·金山期末）已知，如图，在 中，
是 上的中线，如果将 沿 翻折后，点B的对应
点 ，那么 的长为 ．【答案】
【完整解答】解：如图所示，
∵ ，
∴BC= =8，
∵CD是 上的中线，
∴CD=BD=AD=5，
设DE=x，BE=y，
根据题意，得
，
，
解得x= ，y= ，
∴ ，
故答案为： ．
【思路引导】本题考查勾股定理和直角三角形的性质，因为∠C=90°，可以利用勾股定理把三角形三边长
求出来，再结合翻折的性质，翻折之后 是等腰三角形，再利用等腰三角形的性质即可求出
20．（2分）（2020八上·温州期中）如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等
的直角三角形围成．若较短的直角边BC=2.5，将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，若△BCD的周长是15，则这个风车的外围周长是 ．
【答案】38
【完整解答】解：设图2中的“数学风车”四个直角三角形的斜边长为x，AC=y，依题可得，
，
解得： ，
∴这个风车的外围周长为：4×6.5+4×3=38.
故答案为：38.
【思路引导】根据勾股定理和三角形的周长列出方程组，解之求得“数学风车”四个直角三角形的斜边长
和AC长，再由周长公式求得答案.
三．解答题（共9题，满分58分）
21．（5分）（2021八上·南京期末）滑撑杆在悬窗中应用广泛.如图，某款滑撑杆由滑道 ，撑杆
、 组成，滑道 固定在窗台上.悬窗关闭或打开过程中，撑杆 、 的长度始终
保持不变.当悬窗关闭时，如图①，此时点A与点O重合，撑杆 、 恰与滑道 完全重合；
当悬窗完全打开时，如图②，此时撑杆 与撑杆 恰成直角，即 ，测量得
，撑杆 ，求滑道 的长度.【答案】解：设 cm，则由图①可知 cm，
由图②可知 cm，
∵ ，
∴在Rt△ABC中，根据勾股定理可得，
，
∴ ，
解得 ，
∴滑道 的长度为51cm.
【思路引导】设OC=MCm，利用图①可表示出BC的长，由图②表示出AC的长，再利用勾股定理建立关于m
的方程，解方程求出m的值，即可得到OC的长.
22．（5分）（2021八上·南山期末）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个有趣的问题，这个
问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出
水面1尺，如图所示，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．那么水深多少？芦
苇长为多少？
【答案】解：设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，根据勾股定理得： ，解得：x=12（尺），芦苇的长度=x+1=12+1=13（尺）．
答：水池深12尺，芦苇长13尺．
【思路引导】设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，利用勾股定理列出方程 求出x
的值即可。
23．（5分）（2021八上·浦东期末）某中学初二年级游同学在学习了勾股定理后对《九章算术》勾股章
产生了学习兴趣．今天，他学到了勾股章第7题：“今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八
尺而索尽．问索长几何？”本题大意是：如图，木柱 ，绳索AC比木柱AB长三尺，BC的长度为8
尺，求：绳索AC的长度．
【答案】解：设 ，则 ，
在 中， ，
∴ ，
解得： ，
答：绳索长是 尺．
【思路引导】设 ，则 ，根据勾股定理列出方程 求解即可。
24．（5分）（2021八上·佛山月考）如图，小刚想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端A处的绳子垂
到地面B处后还多2米 当他把绳子拉直并使下端刚好接触到地面C处，发现绳子下端到旗杆下端的距离为
6米，请你帮小刚求出旗杆的高度AB长．【答案】解：设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为 米，
根据勾股定理可得： ，
解得， ．
答：旗杆的高度为8米．
【思路引导】设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为 米，根据勾股定理可得 ，求
出x的值即可。
25．（5分）（2021八上·河源月考）学校运动场上垂直竖立的旗杆的顶端A系有一根升旗用的绳子，绳
子垂直到地面时还剩1米长在地面（如图①），小芳为了测量旗杆AB的高度，将绳子拉直，使绳子的另一
端C刚好着地（如图②）．量得BC＝5米，求旗杆AB的高度．
【答案】解：设旗杆的高度为 ，则 ，
在 中，由勾股定理即可得
解得：
故旗杆 的高度为 米
【思路引导】设旗杆的高度为 ，则 ，利用勾股定理可得 ，求出x的值即可。26．（5分）（2020八上·慈溪期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，按图中所示方
法将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的C′点，那么△ADC′的面积是多少平方厘米？
【答案】解：设CD=xcm，
则AD=（8-x)cm
∴∠C=90°, BC=6 cm, AC=8cm
∴AB=10cm
根据折叠CD= =x
根据勾股定理
x=3
【思路引导】设CD=xcm，则AD=（8-x）cm，根据折叠的性质得CD=C´D=xcm，由勾股定理得列出关于x的
方程，解之求出x值，再由三角形面积公式即可求得答案.
27．（9分）（2021八上·朝阳期末）（阅读理解）我国古人运用各种方法证明勾股定理，如图①，用四
个直角三角形拼成正方形，通过证明可得中间也是一个正方形．其中四个直角三角形直角边长分别为 、
，斜边长为 ．图中大正方形的面积可表示为 ，也可表示为 ，即
，所以 ．（1）（4分）（尝试探究）美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”如图②所示，用两个全等的直
角三角形拼成一个直角梯形 ，其中 ， ，根据拼图证明勾股定理．
（2）（5分）（定理应用）在 中， ， 、 、 所对的边长分别为 、 、
．求证： ．
【答案】（1）解：∵ ，
∴ ．
∵
∴ ．
∴ ．
∵ ．
∴ ．
∵直角梯形的面积可以表示为 ，也可以表示为 ，
∴ ，
整理，得 ．
（2）解：在 中， ，
∴ ；
∵ ．∴ ．
【思路引导】（1）根据阅读内容，图中梯形的面积分别表示为 ，即可得出结
论；
（2）分解因式，根据勾股定理即可得出结论。
28．（10分）（2021八上·吉安期中）如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作 ，
，连接AC、EC．已知 ， ， ，设 ．
（1）（3分）用含x的代数式表示 的长．
（2）（3分）请问点C满足什么条件时， 的值最小，并求出此时 的最小值．
（3）（4分）根据（2）中的规律和结论，重新构图求出代数式 的最小值．
【答案】（1）解：在 中，
．
（2）如图所示，C是AE和BD交点时， 的值最小，
过点B作 ，过点D作 ，
在 中，由勾股定理得，
．
（3）如图所示，过点B作 ，过点D作 ，使 ， ， ，连接AE交BD于点C，
，
∴AE的长即为代数式 最小值，
过点A作 交ED的延长线于点F，使矩形ABDF，
则 ，
在 中，由勾股定理得，
．
【思路引导】（1）利用勾股定理计算求解即可；
（2）先作图，再利用勾股定理计算求解即可；
（3）先求出 AE的长即为代数式 最小值， 再求出
， 最后利用勾股定理计算求解即可。
29．（9分）如图勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理，在我国古书《周髀算
经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦
图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
（1）（5分）①请叙述勾股定理；
②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种证明该定
理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）
（2）（2分）如图4，以直角三角形的三边为直径，分别向外部作半圆，则 ， ， 满足的
关系是 ．
（3）（2分）如图5，直角三角形的两直角边长分别为3，5，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，
则图中两个月形图案（阴影部分）的面积为 ．
【答案】（1）解：①直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（如果用 ， 和 分别表示直
角三角形的两直角边和斜边，那么 ）；
②图1：大正方形的面积为 ，
四个小直角三角形的面积与小正方形的面积的和为 ，
则 ；
图2：大正方形的面积为 ，
四个小直角三角形的面积与小正方形的面积的和为 ，则 ，
即 ；
图3：直角梯形的面积为 ，
三个直角三角形的面积之和为 ，
则 ，
即 ；
（2）
（3）7.5
【完整解答】（2）设 对应的直角边长为 ， 对应的直角边长为 ， 对应的斜边长为
，
由圆的面积公式得： ，
，
，
由勾股定理得： ，
则 ，
即 ，故答案为： ；（3）设直角三角形的两直角边长分别为 ，斜边长为 ，
由（2）可知， ，
则阴影部分的面积为 ，
，
，
故答案为：7.5．
【思路引导】（1）①根据勾股定理的定义叙述即可；②参照课本中证明勾股定理的方法来证明本题即可；
（2）根据勾股定理的结论直接写出结果即可；（3）利用勾股定理及割补法求解即可。
