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专题 01 勾股定理的证明（综合题）
易错点拨
知识点：勾股定理的证明
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形．
图（1）中 ，所以 ．
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形．
图（2）中 ，所以 ．
方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形．
，所以 ．易错题专训
一．选择题
1．（2022春•龙凤区期中）如图，在四边形ABDE中，AB∥DE，AB⊥BD，点C是边BD上一点，BC＝DE＝a，
CD＝AB＝b，AC＝CE＝c．下列结论：
①△ABC≌△CDE；
②∠ACE＝90°；
③四边形ABDE的面积是（a+b）2；
④ （a+b）2﹣ c2＝2× ab；
⑤该图可以验证勾股定理．
其中正确的结论个数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
解：∵AB∥DE，AB⊥BD，
∴DE⊥BD，
∴∠B＝∠D＝90°．
在△ABC和△CDE中，
，
∴△ABC≌△CDE（SAS），
∴∠A＝∠DCE，∠ACB＝∠E．
∵∠A+∠ACB＝90°，
∴∠DCE+∠ACB＝90°．
∵∠DCE+∠ACB+∠ACE＝180°，
∴∠ACE＝90°，
故①②正确；
∵AB∥DE，AB⊥BD，∴四边形ABDE的面积是 ；
故③错误；
∵梯形ABDE的面积﹣直角三角形ACE的面积＝两个直角三角形的面积，
∴ ，
∴a2+b2＝c2，（a+b）2≠c2，
∵梯形ABDE的面积−直角三角形ACE的面积＝两个直角三角形的面积，
∴12（a+b）2−12c2＝2×12ab，
∴a2+b2＝c2，所以勾股定理成立，④正确故①②④⑤都正确，③错误．
故选：B．
2．（2022秋•杏花岭区校级月考）下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A． B．
C． D．
解：选项A中：（a+b）（a+b）× ＝ ab×2+ c2，化简得：a2+b2＝c2，故选项A不符合题意；
选项B中：（a+b）2＝ ab×4+c2，化简得：a2+b2＝c2，故选项B不符合题意；
选项C中：c＝ ab×4+（b﹣a）2，化简得：a2+b2＝c2，故选项C不符合题意；
选项D中：（a+b）2＝ab×2+a2+b2，即（a+b）2＝a2+2ab+b2，故选项D符合题意；
故选：D．
3．（2022春•威县期末）课堂上，王老师要求学生设计图形来证明勾股定理，同学们经过讨论，给出两种
图形，能证明勾股定理的是（ ）A．①行，②不行 B．①不行，②行 C．①，②都行 D．①，②都不行
解：由图①可得，
（a+b）2＝ ab×4+c2，
化简，得：a2+b2＝c2，
故图①可以证明勾股定理；
根据图②中的条件，无法证明勾股定理；
故选：A．
4．（2022•大观区校级开学）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成
的大正方形．若图中的直角三角形的一条直角边长为5，大正方形的边长为13，则中间小正方形的面积
是（ ）
A．144 B．49 C．64 D．25
解：由题意可得：
小正方形的边长＝ ﹣5＝7，
∴小正方形的面积为7×7＝49，
故选：B．
5．（2022春•交城县期中）勾股定理是一个古老的数学定理，它有很多种证明方法，如图所示四幅几何图
形中，不能用于证明勾股定理的是（ ）A． B．
C． D．
解：A．根据图形可知：
＝2ab+b2﹣2ab+a2
＝a2+b2，
∵ ，
∴a2+b2＝c2；故A选项不符合题意；
B．不能用于证明勾股定理，故B选项符合题意；
C．根据图形可知：S ＝4× ab+c2＝2ab+c2，
大正方形
S ＝（a+b）2＝a2+2ab+b2，
大正方形
∴2ab+c2＝a2+2ab+b2，
∴a2+b2＝c2，故C选项不符合题意；
D．根据图形可知：S ＝c2，
大正方形
S ＝ （b+b+a）×b+ （a+b+a）×a﹣2× ab＝a2+b2，
大正方形
∴a2+b2＝c2，故D选项不符合题意，
故选：B．
6．（2022春•邕宁区期末）下面图形能够验证勾股定理的有（ ）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
解：第一个图形：中间小正方形的面积c2＝（a+b）2﹣4× ab；化简得c2＝a2+b2，可以证明勾股定理．
第二个图形：中间小正方形的面积（b﹣a）2＝c2﹣4× ab；化简得a2+b2＝c2，可以证明勾股定理．
第三个图形：梯形的面积＝ （a+b）（a+b）＝2× ×ab+ c2，化简得a2+b2＝c2；可以证明勾股定理．
第四个图形：由图形可知割补前后的两个小直角三角形全等，则正方形的面积＝两个直角三角形的面积
的和，即（b﹣ ）（a+ ）＝ ab+ c c，化简得a2+b2＝c2；可以证明勾股定理，
∴能够验证勾股定理的有4个．
故选：A．
7．（2022•邯郸三模）在证明勾股定理时，甲、乙两位同学分别设计了方案：
甲：如图，用四个全等的直角三角形拼成，其中四边形ABDE和四边形CFGH均是正方形，通过用两种方
法表示正方形ABDE的面积来进行证明；
乙：两个全等的直角三角板ABC和直角三角板DEF，顶点F在BC边上，顶点C、D重合，通过用两种方
法表示四边形ACBE的面积来进行证明．
对于甲、乙两种方案，下列判断正确的是（ ）
A．甲、乙均对 B．甲对、乙不对
C．甲不对，乙对 D．甲、乙均不对
甲：证明：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，设AC＝b，BC＝a，AB＝c．由图可知S ＝4S +S
正方形ABDE △ABC 正方形FCHG
∵S ＝c2，S ＝ ab，正方形FCHG边长为a﹣b，
正方形ABDE △ABC
∴c2＝4× ab+（a﹣b）2＝2ab+a2﹣2ab+b2
即c2＝a2+b2．故甲对；
乙：证明：∵四边形ACBE的面积＝S +S ＝ AB•DG+ AB•EG＝ AB•（DG+EG）＝ AB•DE＝ c2，
△ACB △ABE
四边形ACBE的面积＝S +S ＝ ×（AC+EF）•CF+ BF•EF＝ （b+a）b+ （a﹣b）•a＝ b2+
四边形ACFE △EFB
ab+ a2﹣ ab＝ a2+ b2，
∴ c2＝ a2+ b2，
即a2+b2＝c2．故乙对，
故选：A．
8．（2021秋•无锡期末）如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图
中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S、S、S．若S+S+S＝18，则S的值是（
1 2 3 1 2 3 2
）
A． B．6 C．5 D．
解：设每个直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，
∵S+S+S＝18，
1 2 3
∴（a+b）2+（a2+b2）+（a﹣b）2＝18，
∴a2+2ab+b2+a2+b2+a2﹣2ab+b2＝18，
∴3（a2+b2）＝18，
∴a2+b2＝6，∴S＝a2+b2＝6，
2
故选：B．
9．（2020春•海陵区期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．
如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角
形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝6，大正方形的面积为16，则小正方形的面积为（
）
A．8 B．6 C．4 D．3
解：由题意可得， ，
∴小正方形的面积＝（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝16﹣12＝4，
故选：C．
二．填空题
10．（2021秋•漳州期末）如图所示的四边形图案是用4个全等的直角三角形拼成的．已知四边形ABCD的
面积为64，四边形EFGH的面积为9，若用x、y表示直角三角形的两直角边（x＞y）；下列四个结论：
①x2+y2＝64；②x﹣y＝3；③x+y＝ ；④2xy+9＝64．
其中正确的是 ①②③④ ．（写出所有正确结论的序号）
解：∵△ABC为直角三角形，
∴根据勾股定理：x2+y2＝AB2＝64，
故①正确；
由图可知，x﹣y＝CE＝ ＝3，
故本②正确；
由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，
列出等式为4× ×xy+9＝64，即2xy+9＝64；
故本④正确；
由2xy+9＝64可得2xy＝55①，
又∵x2+y2＝64②，
∴①+②得，x2+2xy+y2＝64+55，
整理得，（x+y）2＝119，
x+y＝ ，
故③正确．
∴正确结论有①②③④．
故答案为：①②③④．
11．（2021秋•皇姑区期末）把图1中长和宽分别6和4的两个全等矩形沿对角线分成四个全等的直角三角
形，将这四个全等的直角三角形拼成图2的正方形，则图2中小正方形ABCD的面积为 4 ．
解：6﹣4＝2，
2×2＝4．
故图2中小正方形ABCD的面积为4．
故答案为：4．
12．（2021秋•迎泽区校级月考）“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼接而成．如图，若直角三角
形的短直角边长为2，小正方形的面积为4，则大正方形边长为 2 ．
解：∵小正方形的面积为4，
∴小正方形的边长为2，
∴直角三角形的长直角边为：2+2＝4，
∴斜边＝ ＝ ，即大正方形的边长为 ，
故答案为： ．
13．曾任美国总统的加菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他提出的一个勾股定理的证明．如图，这
就是他用两个全等的直角三角形拼出的图形．上面的图形整体上拼成一个直角梯形．所以它的面积有两
种表示方法．既可以表示为 （ a +b ）•（ a +b ） ，又可以表示为 （ a b ×2 +c 2 ） ．对比两种表
示方法可得 （ a +b ）•（ a +b ）＝ a b ×2 + c 2 ．化简，可得a2+b2＝c2．他的这个证明也就成了数学
史上的一段佳话．
解：由题可知梯形面积为 （a+b）（a+b）；
此梯形的面积还可以看成是三个直角三角形的面积和，即 （ab×2+c2）．
因此 （a+b）（a+b）＝ （ab×2+c2）
即a2+b2＝c2．
三．解答题
14．（2021秋•东坡区期末）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，当两个全等的直角
三角形如图摆放时，可以用“面积法”来证明．将两个全等的直角三角形按如图所示摆放，使点A、
E、D在同一条直线上．利用此图的面积表示式证明勾股定理．
证明：∵两个全等的直角三角形如图摆放，
∴∠EBA＝∠CED，
∵∠EBA+∠BEA＝90°，
∴∠BEA+∠CED＝90°，∴∠BEC＝90°，
∴△BCE是直角三角形，
用两种方法求梯形的面积：
S ＝2× ab+ c2，
梯形ABCD
S ＝ （a+b）2，
梯形ABCD
∴2× ab+ c2＝ （a+b）2，
化简得a2+b2＝c2．
15．（2021春•利辛县期中）如图，小明用4个图1中的矩形组成图2，其中四边形ABCD，EFGH，MNPQ都
是正方形，证明：a2+b2＝c2．
证明：∵四边形ABCD，EFGH，MNPQ都是正方形，
∴S ＝（a+b）2，S ＝c2，S ＝ ×ab，
正方形ABCD 正方形EFGH △BEF
∵S ＝S +4S ，
正方形ABCD 正方形EFGH △BEF
∴（a+b）2＝c2+4× ×ab，
∴a2+2ab+b2＝c2+2ab，
∴a2+b2＝c2．
16．（2021春•滑县期末）如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a和b，斜
边长为c．请你开动脑筋，用它们拼出正方形图案，要求拼图时直角三角形纸片不能互相重叠．
（1）请你画出拼成的这个图形的示意图；
（2）利用（1）中画出的图形证明勾股定理．解：（1）（答案不唯一）如图；
（2）证明：∵大正方形的面积可表示为（a+b）2，
大正方形的面积也可表示为：c2+4× ab，
∴（a+b）2＝c2+4× ab，
即a2+b2+2ab＝c2+2ab，
∴a2+b2＝c2，
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
17．（2021秋•汝州市期中）用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形．
它是美丽的弦图．其中四个直角三角形的直角边长分别为a，b（a＜b），斜边长为c．
（1）结合图①，求证：a2+b2＝c2；
（2）如图②，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形ABCDEFGH．若该图形
的周长为24，OH＝3，求该图形的面积；
（3）如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接成正方形PQMN，记正方形PQMN、正方形ABCD、正方
形EFGH的面积分别为S、S、S，若S+S+S＝18，则S＝ 6 ．
1 2 3 1 2 3 2证明：（1） ，
，
即b2﹣2ab+a2＝c2﹣2ab，
∴a2+b2＝c2；
（2）∵AB+BC＝24÷4＝6，
设AH＝BC＝x，则AB＝6﹣x，
在Rt△HOG中，由勾股定理得，OH2+OG2＝GH2，
即32+（3+x）2＝（6﹣x）2，
解得：x＝1，
∴ ；
（3）设正方形EFGH面积为x，设其他八个全等的三角形面积为y，
∵S+S+S＝18，
1 2 3
∴S＝8y+x，S＝4y+x，S＝x，
1 2 3
∴S+S+S＝3x+12y＝18，
1 2 3
∴x+4y＝6，
∴S＝6．
2
故答案为：6．
18．（2022春•大观区校级期末）如图，对任意符合条件的直角三角形BAC，绕其锐角顶点逆时针旋转90°得△DAE，所以∠BAE＝90°，且四边形ACFD是一个正方形，它的面积和四边形ABFE面积相等，而
四边形ABFE面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和，根据图形写出一种证明勾股定理的方法．
解：由图可得：
正方形ACFD的面积＝四边形ABFE的面积＝Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和，
即S ＝S +S ，
正方形ACFD △BAE △BFE
∴b2＝ c2+ ，
整理得：a2+b2＝c2．
19．（2021秋•武汉月考）2000多年来，人们对直角三角形三边之间的关系的探究颇感兴趣，古往今来，
下至平民百姓，上至帝王总统都愿意探究它，研究它的证明，新的证法不断出现．下面给出几种探究方
法（由若干个全等的直角三角形拼成如图图形），试用面积法选择其中一种推导直角三角形的三边a、
b、c之间的数量关系
（1）三边a、b、c之间的数量关系为 a 2 +b 2 ＝ c 2 ；
（2）理由： （ a +b ） 2 ＝ 4× a b + c 2 ．
解：（1）由勾股定理得：a2+b2＝c2．故答案为：a2+b2＝c2．
（2）选择图1．
∵大正方形的面积＝4个直角三角形的面积+小正方形的面积，
∴（a+b）2＝4× ab+c2，即a2+2ab+b2＝2ab+c2，
∴a2+b2＝c2．
故答案为：（a+b）2＝4× ab+c2．
20．（2018•保定二模）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图 1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证
明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：
将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c2
证明：连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF＝EC＝b﹣a
∵S ＝S +S ＝ b2+ ab．
四边形ADCB △ACD △ABC
又∵S ＝S +S ＝ c2+ a（b﹣a）
四边形ADCB △ADB △DCB
∴ b2+ ab＝ c2+ a（b﹣a）
∴a2+b2＝c2
请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．
将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB＝90°．求证：a2+b2＝c2．
证明：连接BD，过点B作DE边上的高BF，则BF＝b﹣a，
∵S ＝S +S +S ＝ ab+ b2+ ab，
五边形ACBED △ACB △ABE △ADE
又∵S ＝S +S +S ＝ ab+ c2+ a（b﹣a），
五边形ACBED △ACB △ABD △BDE
∴ ab+ b2+ ab＝ ab+ c2+ a（b﹣a），
∴a2+b2＝c2．
