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七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题含10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）计算a6÷a3结果正确的是（ ）
A．a2 B．a3 C．a﹣3 D．a8
2．（3分）下列轴对称图形中，有三条对称轴的是（ ）
A．
线段 B．
角
C．
等腰直角三角形 D．
等边三角形
3．（3分）若一粒米的质量约是0.000021kg，将数据0.000021用科学记数法表示为（ ）
A．21×10﹣4 B．2.1×10﹣6C．2.1×10﹣5D．2.1×10﹣4
4．（3分）如图，直线AB、CD被直线EF所截，AB∥CD，∠1=110°，则∠2等于（ ）
A．65° B．70° C．75° D．80°
6．（3分）用尺规作∠AOB平分线的方法如下：①以点O为圆心，任意长为半径作弧交OA，
OB于点C，点D；②分别以点C，点D为圆心，以大于 CD长为半径作弧，两弧交于点P；③
作射线OP，则OP平分∠AOB，由作法得△OCP≌△ODP，其判定的依据是（ ）
A．ASA B．SAS C．AAS D．SSS
7．（3分）如图，已知△ABC和△AB′C′关于直线l对称，小明观察图形得出下列结论：
①△ABC≌△AB′C′；②∠BAC=∠B′AC′；③直线l垂直平分线段BB′，其中正确的结论共有（
）
第 1 页 共 18 页A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
8．（3分）一个不透明的袋子里装有4个黑球和2个白球，它们除颜色外完全相同，随机从袋
中一次性摸出三个球，其中的必然事件是下列的（ ）
A．摸出的三个球中至少有一个球是黑球
B．摸出的三个球中至少有一个球是白球
C．摸出的三个球中有两个球是黑球
D．摸出的三个球中有两个球是白球
9．（3分）小亮从家到达A地后立即返回家中，下列图象，能描述小亮与家之间的距离s与时
间t的关系的是（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）如图，△ABC中，BD平分∠ABC，EF垂直平分BC交BC于点E，交BD于点F，连
接CF，若∠A=60°，∠ABD=25°，则∠ACF的度数为（ ）
A．25° B．45° C．50° D．70°
二、填空题（本大题含6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）计算（ ）﹣1结果等于 ．
12．（3分）如图，AD是△ABC的高，AE是中线，若AD=5，CE=4，则△AEB的面积为 ．
13．（3分）如图的正方形地板，是由9块除颜色外完全相同的正方形地砖拼接而成的，其中黑
色地砖5块，一个小球在这块地板上自由滚动，并随机地停在某块方砖上，它停留在黑色方
砖上的概率为 ．
第 2 页 共 18 页14．（3分）如图，△ABC中，AB=AC，AD是中线，若∠BAD=20°，则∠C的度数为 °．
15．（3分）某楼盘共23层，销售价格如下：第八层楼房售价为4000元/米2，从第八层起每上
升一层，每平方米的售价提高50元，售价y（元/米2）与楼层x（8≤x≤23，x取整数）之间的关
系式为 ．
16．（3分）点D、E分别在等边△ABC的边AB、BC上，将△BDE沿直线DE翻折，使点B落
在B 处，DB 、EB 分别交边AC于点F、G．若∠ADF=80°，则∠CGE= ．
1 1 1
三、解答题（本大题共含8小题，共52分）
17．（9分）计算：
（1）（2xy2）2•（3x2y）；
（2）（x+1）（x﹣3）；
（3）（x+2y+1）（x+2y﹣1）
18．（5分）先化简，再求值：（2a+b）（2a﹣b）+（4ab3﹣8ab2）÷（4ab），其中a=2，b=1．
19．（4分）作图题（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）
已知：（如图）线段a和∠α，
求作：△ABC，使AB=AC=a，∠A=∠α．
20．（5分）图1中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度y（m）与旋转时间x
（min）之间的关系如图2所示，根据图中的信息，回答问题：
（1）根据图2补全表格：
第 3 页 共 18 页旋转时间 0 3 6 8 12 …
x/min
高度y/m 5 5 5 …
（2）如表反映的两个变量中，自变量是 ，因变量是 ；
（3）根据图象，摩天轮的直径为 m，它旋转一周需要的时间为 min．
21．（6分）桌子上倒扣着背面图案相同的6张扑克牌，其中4张黑桃，2张红桃，将这些牌洗
匀后，从中随机抽取1张．
（1）抽到黑桃、红桃的概率分别是多少？
（2）如何改变两种花色扑克牌的张数，使抽到两种花色扑克牌的概率相等？请写出一种改变
的方法，并且使桌面上扑克牌的总数不超过8张．
22．（5分）阅读下列材料，解答相应问题：
数学知识伴随着人类文明的起源而产生，人类祖先为我们留下了许多珍贵的原始资料，和古
巴比伦楔形文字泥板书，古巴比伦泥板上记载了两种利用平方数表计算两数乘积的公式：
ab= [（a+b）2﹣（a﹣b）2]…①
ab= [（a+b）2﹣a2 ]…②
（1）补全材料中公式②中的空缺部分；
（2）验证材料中的公式①；
（3）当a+b=5，a﹣b=7时，利用公式①计算ab的值．
23．（8分）如图，△ABE和△DCF的顶点C，E，F，B在同一直线上，点A，点D在BC两侧，已
知AB∥CD，AE=DF，∠A=∠D．
（1）△ABE与△DCF全等吗？说明理由．
（2）请在下面的A，B两题中任选一题解答．
A：CE与BF相等吗？为什么？
B：若AB=CF，∠B=30°，求∠D的度数．
我选择： ．
第 4 页 共 18 页24．（10分）如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线MN过点A且MN∥BC，点D是
直线MN上一点，不与点A重合．
（1）若点E是图1中线段AB上一点，且DE=DA，请判断线段DE与DA的位置关系，并说明
理由；
（2）请在下面的A，B两题中任选一题解答．
A：如图2，在（1）的条件下，连接BD，过点D作DP⊥DB交线段AC于点P，请判断线段DB
与DP的数量关系，并说明理由；
B：如图3，在图1的基础上，改变点D的位置后，连接BD，过点D作DP⊥DB交线段CA的
延长线于点P，请判断线段DB与DP的数量关系，并说明理由．
我选择： ．
第 5 页 共 18 页七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题含10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）（2016春•太原期末）计算a6÷a3结果正确的是（ ）
A．a2 B．a3 C．a﹣3 D．a8
【分析】原式利用同底数幂的除法法则计算即可得到结果．
【解答】解：a6÷a3=a3，
故选B．
【点评】此题考查了同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．（3分）（2016春•太原期末）下列轴对称图形中，有三条对称轴的是（ ）
A．
线段 B．
角
C．
等腰直角三角形 D．
等边三角形
【分析】根据轴对称图形的性质分别写出各图形的对称轴的条数，然后选择即可．
【解答】解：A、线段有两条对称轴：线段的垂直平分线和线段本身所在的直线；
B、角有一条对称轴：角平分线所在的直线；
C、等腰直角三角形一条对称轴：斜边的垂直平分线；
D、等边三角形有三条对称轴：三边的垂直平分线．
故选D．
【点评】本题考查了轴对称图形，熟练掌握各种常见图形的对称轴的条数是解题的关键，要注
意对称轴是直线．
3．（3分）（2015•唐山二模）若一粒米的质量约是0.000021kg，将数据0.000021用科学记数法
表示为（ ）
A．21×10﹣4 B．2.1×10﹣6C．2.1×10﹣5D．2.1×10﹣4
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的
科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的
0的个数所决定．
【解答】解：将数据0.000021用科学记数法表示为2.1×10﹣5．
故选：C．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由
原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
第 6 页 共 18 页4．（3分）（2014•山西）如图，直线AB、CD被直线EF所截，AB∥CD，∠1=110°，则∠2等于（
）
A．65° B．70° C．75° D．80°
【分析】根据“两直线平行，同旁内角互补”和“对顶角相等”来求∠2的度数．
【解答】解：如图，∵AB∥CD，∠1=110°，
∴∠1+∠3=180°，即100+∠3=180°，
∴∠3=70°，
∴∠2=∠3=70°．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质．
总结：平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互
补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等．
6．（3分）（2016春•太原期末）用尺规作∠AOB平分线的方法如下：①以点O为圆心，任意长
为半径作弧交OA，OB于点C，点D；②分别以点C，点D为圆心，以大于 CD长为半径作弧，
两弧交于点P；③作射线OP，则OP平分∠AOB，由作法得△OCP≌△ODP，其判定的依据是
（ ）
A．ASA B．SAS C．AAS D．SSS
【分析】利用基本作图和三角形全等的判定方法可得到正确选项．
【解答】解：根据作法得到OC=OD，CP=DP，
第 7 页 共 18 页而OP=OP，
所以利用“SSS”可判断△OCP≌△ODP．
故选D．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等
于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也
考查了全等三角形的判定方法．
7．（3分）（2016春•太原期末）如图，已知△ABC和△AB′C′关于直线l对称，小明观察图形得
出下列结论：①△ABC≌△AB′C′；②∠BAC=∠B′AC′；③直线l垂直平分线段BB′，其中正确
的结论共有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【分析】利用轴对称的性质对各选项进行判断．
【解答】解：∵△ABC和△AB′C′关于直线l对称，
∴△ABC≌△AB′C′，∠BAC=∠B′AC′，直线l垂直平分线段BB′，
即正确的结论有3个．
故选：A．
【点评】本题考查了对称轴的性质：如果两个图形关于某直线对称，这两个图形全等，对称轴
是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
8．（3分）（2016春•太原期末）一个不透明的袋子里装有4个黑球和2个白球，它们除颜色外
完全相同，随机从袋中一次性摸出三个球，其中的必然事件是下列的（ ）
A．摸出的三个球中至少有一个球是黑球
B．摸出的三个球中至少有一个球是白球
C．摸出的三个球中有两个球是黑球
D．摸出的三个球中有两个球是白球
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【解答】解：摸出的三个球中至少有一个球是黑球是必然事件；
摸出的三个球中至少有一个球是白球是随机事件；
摸出的三个球中有两个球是黑球是随机事件；
摸出的三个球中有两个球是白球是随机事件，
故选：A．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一
定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件
是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
9．（3分）（2016春•太原期末）小亮从家到达A地后立即返回家中，下列图象，能描述小亮与
家之间的距离s与时间t的关系的是（ ）
第 8 页 共 18 页A． B． C． D．
【分析】根据题目中的描述可以得到s与t的关系，从而可以解答本题．
【解答】解：小亮从家到A地，s随着时间的增加而增大，
小亮从A地返回家中，s随着时间的增加而减小，
故选C．
【点评】本题考查函数图象，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
10．（3分）（2016春•太原期末）如图，△ABC中，BD平分∠ABC，EF垂直平分BC交BC于
点E，交BD于点F，连接CF，若∠A=60°，∠ABD=25°，则∠ACF的度数为（ ）
A．25° B．45° C．50° D．70°
【分析】根据角平分线的性质可得∠DBC=∠ABD=25°，然后再计算出∠ACB的度数，再根据
线段垂直平分线的性质可得BF=CF，进而可得∠FCB=25°，然后可算出∠ACF的度数．
【解答】解：∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=∠ABD=25°，
∵∠A=60°，
∴∠ACB=180°﹣60°﹣25°×2=70°，
∵BC的中垂线交BC于点E，
∴BF=CF，
∴∠FCB=25°，
∴∠ACF=70°﹣25°=45°，
故选：B．
【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，以及三角形内角和定理，关键是掌握线段垂
直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
二、填空题（本大题含6个小题，每小题3分，共18分）
第 9 页 共 18 页11．（3分）（2016春•太原期末）计算（ ）﹣1结果等于 2 ．
【分析】根据负整数指数幂的概念解答即可．
【解答】解：（ ）﹣1
=（2﹣1）﹣1
=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了负整数指数幂的知识，解答本题的关键在于熟练掌握该知识点的概念和
运算法则．
12．（3分）（2016春•太原期末）如图，AD是△ABC的高，AE是中线，若AD=5，CE=4，则
△AEB的面积为 1 0 ．
【分析】由三角形的中线的定义可得BE=CE=4，再根据三角形的面积公式即可求得△AEB的
面积．
【解答】解：∵AE是△ABC的中线，CE=4，
∴BE=CE=4，
又∵高AD=5，
∴S△AEB = •BE•AD= ×4×5=10．
故答案为：10．
【点评】此题考查三角形的面积公式，三角形的中线的定义，关键是掌握三角形的面积等于底
与高乘积的一半．
13．（3分）（2016春•太原期末）如图的正方形地板，是由9块除颜色外完全相同的正方形地
砖拼接而成的，其中黑色地砖5块，一个小球在这块地板上自由滚动，并随机地停在某块方
砖上，它停留在黑色方砖上的概率为 ．
【分析】用黑色地砖的面积除以正方形地板的面积即可．
【解答】解：随机地停在某块方砖上，它停留在黑色方砖上的概率= ．
故答案为 ．
第 10 页 共 18 页【点评】本题考查了几何概率：概率=相应的面积与总面积之比．
14．（3分）（2016春•太原期末）如图，△ABC中，AB=AC，AD是中线，若∠BAD=20°，则∠C
的度数为 7 0 °．
【分析】根据三角形三线合一的性质可得∠CAD=∠BAD=20°，∠ADC=90°，再根据三角形内
角和定理即可求解．
【解答】解：∵△ABC中，AB=AC，AD是中线，
∴∠CAD=∠BAD=20°，∠ADC=90°，
∴∠C=180°﹣∠ADC﹣∠CAD=180°﹣90°﹣20°=70°．
故答案为70．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的
高相互重合．也考查了三角形的内角和定理．
15．（3分）（2016春•太原期末）某楼盘共23层，销售价格如下：第八层楼房售价为4000元/米
2，从第八层起每上升一层，每平方米的售价提高50元，售价y（元/米2）与楼层x（8≤x≤23，x
取整数）之间的关系式为 y=50 x + 360 0 ．
【分析】当8≤x≤23时，每平方米的售价应为4000+（x﹣8）×50元；
【解答】解：当8≤x≤23时，每平方米的售价应为：
y=4000+（x﹣8）×50=50x+3600（元/平方米）．
故答案为：y=50x+3600；
【点评】本题考查的是用一次函数解决实际问题，读懂题目信息，找出数量关系表示出各楼层
的单价以及是交房款的关系式是解题的关键．
16．（3分）（2011•台州）点D、E分别在等边△ABC的边AB、BC上，将△BDE沿直线DE翻
折，使点B落在B 处，DB 、EB 分别交边AC于点F、G．若∠ADF=80°，则∠CGE= 80 ° ．
1 1 1
【分析】由对顶角相等可得∠CGE=∠FGB ，由两角对应相等可得△ADF∽△B GF，那么所求
1 1
角等于∠ADF的度数．
【解答】解：由翻折可得∠B =∠B=60°，
1
∴∠A=∠B =60°，
1
∵∠AFD=∠GFB ，
1
∴△ADF∽△B GF，
1
第 11 页 共 18 页∴∠ADF=∠B GF，
1
∵∠CGE=∠FGB ，
1
∴∠CGE=∠ADF=80°．
故答案为：80°
【点评】本题考查了翻折变换问题；得到所求角与所给角的度数的关系是解决本题的关键．
三、解答题（本大题共含8小题，共52分）
17．（9分）（2016春•太原期末）计算：
（1）（2xy2）2•（3x2y）；
（2）（x+1）（x﹣3）；
（3）（x+2y+1）（x+2y﹣1）
【分析】（1）先计算乘方，再计算乘法即可；
（2）根据多项式乘多项式法则计算即可；
（3）先根据平方差公式计算，再计算完全平方式．
【解答】解：（1）原式=4x2y4•（3x2y）=12x4y5；
（2）原式=x2﹣3x+x﹣3=x2﹣2x﹣3；
（3）原式=[（x+2y）+1][（x+2y）﹣1]
=（x+2y）2﹣1
=x2+4xy+4y2﹣1．
【点评】本题主要考查整式的混合运算，熟练掌握整式的混合运算顺序与运算法则是解题的
关键．
18．（5分）（2016春•太原期末）先化简，再求值：（2a+b）（2a﹣b）+（4ab3﹣8ab2）÷（4ab），其
中a=2，b=1．
【分析】先根据多项式乘以多项式法则，多项式除以单项式法则算乘法和除法，再合并同类项，
最后代入求出即可．
【解答】解：（2a+b）（2a﹣b）+（4ab3﹣8ab2）÷（4ab）
=4a2﹣b2+b2﹣2b
=4a2﹣2b，
当a=2，b=1时，原式=14．
【点评】本题考查了整式的混合运算和求值的应用，能正确根据整式的运算法则进行化简是
解此题的关键．
19．（4分）（2016春•太原期末）作图题（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）
已知：（如图）线段a和∠α，
求作：△ABC，使AB=AC=a，∠A=∠α．
第 12 页 共 18 页【分析】可做∠A=∠α，然后在∠A的两边上分别截取AC=AB=a，连接BC即可．
【解答】解：
【点评】本题考查作图﹣基本作图，用到的知识点为：边角边可判定两三角形全等；注意先画
一个角等于已知角．
20．（5分）（2016春•太原期末）图1中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度y
（m）与旋转时间x（min ）之间的关系如图2所示，根据图中的信息，回答问题：
（1）根据图2补全表格：
旋转时间 0 3 6 8 12 …
x/min
高度y/m 5 7 0 5 5 4 5 …
（2）如表反映的两个变量中，自变量是 旋转时间 x ，因变量是 高度 y ；
（3）根据图象，摩天轮的直径为 6 5 m，它旋转一周需要的时间为 6 min．
【分析】（1）根据图象得到x=3和x=8时，y的值；
（2）根据常量和变量的概念解答即可；
（3）结合图象计算即可．
第 13 页 共 18 页【解答】解：（1）由图象可知，当x=3时，y=70，
当x=8时，y=54，
故答案为：70；54；
（2）表反映的两个变量中，自变量是旋转时间x，因变量是高度y；
故答案为：旋转时间x；高度y；
（3）由图象可知，摩天轮的直径为：70﹣5=65m，旋转一周需要的时间为6min．
故答案为：65；6．
【点评】本题考查的是函数的概念与图象，正确理解常量和变量的概念、读懂函数图象是解题
的关键．
21．（6分）（2016春•太原期末）桌子上倒扣着背面图案相同的6张扑克牌，其中4张黑桃，2
张红桃，将这些牌洗匀后，从中随机抽取1张．
（1）抽到黑桃、红桃的概率分别是多少？
（2）如何改变两种花色扑克牌的张数，使抽到两种花色扑克牌的概率相等？请写出一种改变
的方法，并且使桌面上扑克牌的总数不超过8张．
【分析】（1）从6张扑克牌中随机抽取一张，有6种等可能的结果，其中抽到黑桃的结果有4
种，抽到红桃的结果有2种，据此计算即可；
（2）使两种牌的数量相等，即可使抽到两种花色扑克牌的概率相等．
【解答】解：∵从6张扑克牌中随机抽取一张，有6种等可能的结果，其中抽到黑桃的结果有4
种，抽到红桃的结果有2种，
∴抽到黑桃的概率为： = ，
抽到红桃的概率为： = ；
（2）将一张黑桃牌换成红桃牌，使红桃牌与黑桃牌均为3张即可．
【点评】本题主要考查了概率的计算，随机事件A的概率P（A）=
．
22．（5分）（2016春•太原期末）阅读下列材料，解答相应问题：
数学知识伴随着人类文明的起源而产生，人类祖先为我们留下了许多珍贵的原始资料，和古
巴比伦楔形文字泥板书，古巴比伦泥板上记载了两种利用平方数表计算两数乘积的公式：
ab= [（a+b）2﹣（a﹣b）2]…①
ab= [（a+b）2﹣a2 ﹣ b 2 ]…②
（1）补全材料中公式②中的空缺部分；
（2）验证材料中的公式①；
（3）当a+b=5，a﹣b=7时，利用公式①计算ab的值．
【分析】（1）利用完全平方公式将（a+b）2展开，留下含ab的项，即可得出结论；
（2）利用完全平方公式将（a+b）2和（a﹣b）2展开，合并同类项后即可得出公式右边=ab=公式
左边，由此即可证出公式成立；
（3）将a+b=5，a﹣b=7代入公式①中，即可求出ab的值．
第 14 页 共 18 页【解答】解：（1）∵（a+b）2=a2+b2+2ab，
∴ab= [（a+b）2﹣a2﹣b2]．
故答案为：﹣b2．
（2）公式①的右边= [a2+b2+2ab﹣（a2+b2﹣2ab）]，
= [a2+b2+2ab﹣a2﹣b2+2ab]，
= ×4ab，
=ab．
因为公式①的左边=ab，
所以公式①左边=右边，公式成立．
（3）把a+b=5，a﹣b=7代入公式①，
得：ab= ×（52﹣72），
= ×（﹣24），
=﹣6．
【点评】本题考查了完全平方公式，解题的关键是：（1）根据完全平方公式的展开式将公式②
补充完整；（2）利用完全平方公式的展开式将公式①的右边进行变形，从而得出结论成立；
（3）套用公式①代入数据求值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟练掌握完
全平方公式的应用是关键．
23．（8分）（2016春•太原期末）如图，△ABE和△DCF的顶点C，E，F，B在同一直线上，点
A，点D在BC两侧，已知AB∥CD，AE=DF，∠A=∠D．
（1）△ABE与△DCF全等吗？说明理由．
（2）请在下面的A，B两题中任选一题解答．
A：CE与BF相等吗？为什么？
B：若AB=CF，∠B=30°，求∠D的度数．
我选择： A ．
【分析】（1）由平行线的性质可求得∠B=∠C，再结合所给条件可证明△ABE≌△DCF；
（2）若选择A，由（1）可得到BE=CF，利用线段的和差可证明；若选择B，由（1）可得到
AB=BE，可证得∠A=∠AEB，在△ABE中由三角形内角和可求得∠A，则可求得∠D．
【解答】解：
（1）△ABE≌△DCF．
第 15 页 共 18 页理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠B=∠C，
在△ABE和△DCF中
∴△ABE≌△DCF（AAS）；
（2）A：相等，理由如下：
由（1）得△ABE≌△DCF，
∴BE=CF，
∴BE﹣EF=CF﹣EF，
即CE=BF；
B：由（1）得△ABE≌△DCF，
∴BE=CF，
∵AB=CF，
∴AB=BE，
∴∠A=∠AEB，
在△ABE中，∠A+∠AEB+∠B=180°，且∠B=30°，
∴∠A=75°，
∵∠A=∠D，
∴∠D=75°．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关
键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．
24．（10分）（2016春•太原期末）如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线MN过点A
且MN∥BC，点D是直线MN上一点，不与点A重合．
（1）若点E是图1中线段AB上一点，且DE=DA，请判断线段DE与DA的位置关系，并说明
理由；
（2）请在下面的A，B两题中任选一题解答．
A：如图2，在（1）的条件下，连接BD，过点D作DP⊥DB交线段AC于点P，请判断线段DB
与DP的数量关系，并说明理由；
B：如图3，在图1的基础上，改变点D的位置后，连接BD，过点D作DP⊥DB交线段CA的
延长线于点P，请判断线段DB与DP的数量关系，并说明理由．
我选择： A ．
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到∠B=∠C=45°，根据平行线的性质得到
∠DAE=∠B=45°，根据等腰三角形的性质、等量代换证明即可；
第 16 页 共 18 页（2）A、根据同角的余角相等得到∠BDE=∠ADP，证明△DEB≌△DAP，根据全等三角形的
性质定理证明结论；
B、与A的证明方法类似，延长AB至F，连接DF，使DF=DA，证明△DFB≌△DAP即可．
【解答】解：（1）DE⊥DA．
证明：∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠C=45°，
∵MN∥BC，
∴∠DAE=∠B=45°，
∵DA=DE，
∴∠DEA=∠DAE=45°，
∴∠ADE=90°，即DE⊥DA；
（2）A、DB=DP．
证明：∵DP⊥DB，
∴∠BDE+∠EDP=90°，
∵DE⊥DA，
∴∠ADP+∠EDP=90°，
∴∠BDE=∠ADP，
∵∠DEA=∠DAE=45°，
∴∠BED=135°，∠ADP=135°，
∴∠BED=∠ADP，
在△DEB和△DAP中，
，
∴△DEB≌△DAP，
∴DB=DP．
B、DB=DP．
证明：如图3，延长AB至F，连接DF，使DF=DA，
由（1）得，∴∠DFA=∠DAF=45°，
∴∠ADF=90°，又DP⊥DB，
∴∠FDB=∠AMP，
∵∠BAC=90°，∠DAF=45°，
∴∠PAM=45°，
∴∠BFD=∠PAM，
在△DFB和△DAP中，
，
∴△DFB≌△DAP，
∴DB=DP．
第 17 页 共 18 页【点评】本题考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握等腰直角三角
形的两锐角都是45°、两直角边相等、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
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