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九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，计30分．每小题只有一个选项是符合题目要求的）
1．一元二次方程x2﹣2x=0的根是( )
A．x =0，x =﹣2 B．x =1，x =2 C．x =1，x =﹣2 D．x =0，x =2
1 2 1 2 1 2 1 2
2．下列事件中，是必然事件的是( )
A．打开电视机，正在播放新闻
B．父亲年龄比儿子年龄大
C．通过长期努力学习，你会成为数学家
D．下雨天，每个人都打着雨伞
3．如图，矩形的两条对角线的一个交角为60°，两条对角线的长度的和为20cm，则这个矩形
的一条较短边的长度为( )
A．10cm B．8cm C．6cm D．5cm
4．如果x：（x+y）=3：5，那么x：y=( )
A． B． C． D．
5．下列命题正确的是( )
A．一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四边形
B．对角线相等的四边形一定是矩形
C．两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形
D．两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形
6．如图，下列条件不能判定△ABC与△ADE相似的是( )
A． B．∠B=∠ADE C． D．∠C=∠AED
第 1 页 共 19 页7．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有不相等实数根，则k的取值范围是( )
A．k＞ B．k≥ C．k＞ 且k≠1 D．k≥ 且k≠1
8．如图，身高为1.5米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去当走
到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=3米，CA=1米，则树的高度为(
)
A．4.5米B．6米 C．3米 D．4米
9．某校幵展“文明小卫士”活动，从学生会“督查部”的3名学生（2男1女）中随机选两名
进行督导，恰好选中两名男学生的概率是( )
A． B． C． D．
10．如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动
点，则PE+PB的最小值为( )
A．1B． C．2D．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．已知a=4，b=9，c是a，b的比例中项，则c=__________．
12．一个口袋中装有4个白色球，1个红色球，7个黄色球，搅匀后随机从袋中摸出1个球是白
色球的概率是__________．
13．菱形ABCD的一条对角线长为6cm，边AB的长是方程x2﹣7x+12=0的一个根，则菱形
ABCD的面积为__________cm2．
第 2 页 共 19 页14．把方程x2+6x+3=0变形为（x+h）2=k的形式，其中h，k为常数，则k=__________．
15．现有四张分别标有1，2，2，3的卡片，它们除数字外完全相同，把卡片背面向上洗匀，从中
随机抽取一张后放回，再背面朝上洗匀，从中随机抽出一张，则两次抽出的卡片所标数字不
同的概率是__________．
16．如图，在直角坐标系中，△ABC的各顶点坐标为A（﹣1，1），B（2，3），C（0，3）．现以坐标
原点为位似中心，作△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC的位似比为 ．则点A的对应点A′的坐标
为__________．
三、解答题（共8小题，计72分）
17．解方程：
（1）x（x﹣2）=x﹣2；
（2）（x+8）（x+1）=﹣12．
18．如图，DE∥BC，EF∥CG，AD：AB=1：3，AE=3．
（1）求EC的值；
（2）求证：AD•AG=AF•AB．
19．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设
法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE=40cm，
EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=8m，求树高AB．
第 3 页 共 19 页20．如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且 = ．
（1）求证：△ACD∽△CBD；
（2）求∠ACB的大小．
21．如图，在 ▱ABCD中，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点
F，连接BD．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若AB=DB，求证：四边形DFBE是矩形．
22．如图，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．
若耕地面积需要551米2，则修建的路宽应为多少米？
23．小明和小刚做游戏，用一个不透明袋子，里面装有形状、大小完全相同的2个红球和2个
白球，并充分搅匀，让小刚从中摸出一个球不放回，再去摸第二个球，如果两次摸出的球颜色
相同小刚赢，反之小明赢．你认为这种游戏是否公平？请你借助树状图或列表的方法，运用
概率的知识予以说明．
24．如图，已知AC，EC分别为正方形ABCD和正方形EFCG的对角线，点E在△ABC内，连
接BF，∠CAE+∠CBE=90°．
第 4 页 共 19 页（1）求证：△CAE∽△CBF；
（2）若BE=1，AE=2，求CE的长．
第 5 页 共 19 页九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，计30分．每小题只有一个选项是符合题目要求的）
1．一元二次方程x2﹣2x=0的根是( )
A．x =0，x =﹣2 B．x =1，x =2 C．x =1，x =﹣2 D．x =0，x =2
1 2 1 2 1 2 1 2
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【分析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：x2﹣2x=0，
x（x﹣2）=0，
x=0，x﹣2=0，
x =0，x =2，
1 2
故选D．
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元
一次方程，难度适中．
2．下列事件中，是必然事件的是( )
A．打开电视机，正在播放新闻
B．父亲年龄比儿子年龄大
C．通过长期努力学习，你会成为数学家
D．下雨天，每个人都打着雨伞
【考点】随机事件．
【分析】必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．
【解答】解：A、C、D选项都是不确定事件；
B、是必然事件．
故选B．
【点评】关键是理解必然事件是一定发生的事件；
解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，提
高自身的数学素养．
3．如图，矩形的两条对角线的一个交角为60°，两条对角线的长度的和为20cm，则这个矩形
的一条较短边的长度为( )
A．10cm B．8cm C．6cm D．5cm
【考点】矩形的性质；等边三角形的判定与性质．
【专题】计算题．
第 6 页 共 19 页【分析】根据矩形的性质求出OA=OB，AC=BD，求出AC的长，求出OA和OB的长，推出等
边三角形OAB，求出AB=OA，代入求出即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC= AC，OD=OB= BD，AC=BD，
∴OA=OB，
∵AC+BD=20，
∴AC=BD=10cm，
∴OA=OB=5cm，
∵OA=OB，∠AOB=60°，
∴△OAB是等边三角形，
∴AB=OA=5cm，
故选D．
【点评】本题考查了矩形的性质和等边三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出等
边三角形OAB和求出OA的长，题目比较典型，是一道比较好的题目．
4．如果x：（x+y）=3：5，那么x：y=( )
A． B． C． D．
【考点】比例的性质．
【分析】首先根据x：（x+y）=3：5可得5x=3x+3y，整理可得2x=3y，进而得到x：y=3：2．
【解答】解：∵x：（x+y）=3：5，
∴5x=3x+3y，
2x=3y，
∴x：y=3：2= ，
故选：D．
【点评】此题主要考查了比例的性质，关键是掌握内项之积等于外项之积．
5．下列命题正确的是( )
A．一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四边形
B．对角线相等的四边形一定是矩形
C．两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形
D．两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形
【考点】正方形的判定；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；命题与定 理．
【专题】计算题．
【分析】A、一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定为平行四边形，例如等腰梯形满
足一组对边相等，另一组对边平行，但不是平行四边形；
B、对角线相等的四边形不一定为矩形，例题等腰梯形的对角线相等，但不是矩形，应改为对
角线相等的平行四边形为矩形；
C、对角线互相垂直的四边形不一定为菱形，例如：画出图形，如图所示，AC与BD垂直，但是
显然ABCD不是菱形，应改为对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
第 7 页 共 19 页D、两条对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，根据题意画出相应的图形，如图所示，
根据对角线互相平分，得到四边形为平行四边形，再由平行四边形的对角线相等，得到平行
四边形为矩形，最后根据矩形的对角线互相垂直得到矩形为正方形．
【解答】解：A、一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，
例如等腰梯形，一组对边平行，另一组对边相等，不是平行四边形，
故本选项为假命题；
B、对角线相等的四边形不一定是矩形，
例如等腰梯形对角线相等，但不是矩形，
故本选项为假命题；
C、两条对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，
如图所示：AC⊥BD，但四边形ABCD不是菱形，本选项为假命题；
D、两条对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，
已知：四边形ABCD，AC=BD，AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，
求证：四边形ABCD为正方形，
证明：∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形为平行四边形，又AC=BD，
∴四边形ABCD为矩形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD为正方形，则本选项为真命题，
故选D
【点评】此题考查了正方形的判定，平行四边形的判定，矩形的判定，以及菱形的判定，判断一
个命题为假命题，只需举一个反例即可；判断一个命题为真命题，必须经过严格的证明．熟练
掌握平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定是解本题的关键．
6．如图，下列条件不能判定△ABC与△ADE相似的是( )
第 8 页 共 19 页A． B．∠B=∠ADE C． D．∠C=∠AED
【考点】相似三角形的判定．
【专题】常规题型．
【分析】本题中已知∠A是公共角，应用两三角形相似的判定定理，即可作出判断．
【解答】解：由图得：∠A=∠A
∴当∠B=∠ADE或∠C=∠AED或AE：AC=AD：AB时，△ABC与△ADE相似；
也可AE：AD=AC：AB．
C选项中角A不是成比例的两边的夹角．
故选C．
【点评】此题考查了相似三角形的判定：
①有两个对应角相等的三角形相似；
②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；
③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．
7．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有不相等实数根，则k的取值范围是( )
A．k＞ B．k≥ C．k＞ 且k≠1 D．k≥ 且k≠1
【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．
【分析】根据判别式的意义得到△=22﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0，然后解不等式即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有不相等实数根，
∴△=22﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0，
解得k＞ ；且k﹣1≠0，即k≠1．
故选：C．
【点评】此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程
有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
8．如图，身高为1.5米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去当走
到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=3米，CA=1米，则树的高度为(
)
第 9 页 共 19 页A．4.5米B．6米 C．3米 D．4米
【考点】相似三角形的应用．
【专题】应用题．
【分析】根据题意画出图形，根据相似三角形的性质即可解答．
【解答】解：如图：
∵CD∥BE，
∴△ACD∽△ABE，
∴AC：AB=CD：BE，
∴1：4=1.5：BE，
∴BE=6m．
故选B．
【点评】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，
通过解方程求出树的高度，体现了转化的思想．
9．某校幵展“文明小卫士”活动，从学生会“督查部”的3名学生（2男1女）中随机选两名
进行督导，恰好选中两名男学生的概率是( )
A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好选中两名男
学生的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，恰好选中两名男学生的有2种情况，
∴恰好选中两名男学生的概率是： = ．
故选A．
第 10 页 共 19 页【点评】此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况
数之比．
10．如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动
点，则PE+PB的最小值为( )
A．1B． C．2D．
【考点】菱形的性质．
【专题】动点型．
【分析】由菱形的性质，找出B点关于AC的对称点D，连接DE，则DE就是PE+PB的最小值，
再由勾股定理可求出DE．
【解答】解：连接DE、BD，
由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于AC对称，连接PB．则PD=PB，
∴PE+PB=PE+PD=DE，
即DE就是PE+PB的最小值，
∵∠BAD=60°，AD=AB，
∴△ABD是等边三角形，
∵AE=BE，
∴DE⊥AB（等腰三角形三线合一的性质），
在Rt△ADE中，DE= ．
故选：B．
【点评】此题是有关最短路线问题，熟悉菱形的基本性质是解决本题的关键．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．已知a=4，b=9，c是a，b的比例中项，则c=±6．
【考点】比例线段；比例的性质．
【专题】计算题．
【分析】根据比例中项的概念，得c2=ab，再利用比例的基本性质计算得到c的值．
【解答】解：∵c是a，b的比例中项，
∴c2=ab，
第 11 页 共 19 页又∵a=4，b=9，
∴c2=ab=36，
解得c=±6．
【点评】理解比例中项的概念：当比例式中的两个内项相同时，即叫比例中项．根据比例的基
本性质进行计算．
12．一个口袋中装有4个白色球，1个红色球，7个黄色球，搅匀后随机从袋中摸出1个球是白
色球的概率是 ．
【考点】概率公式．
【分析】从袋中任取一球有4+1+7=12种可能，其中摸出白球有四种可能，利用概率公式进行
求解．
【解答】解：随机从袋中摸出1个球是白色球的概率是 ．
【点评】如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，
那么事件A的概率P（A）= ．
13．菱形ABCD的一条对角线长为6cm，边AB的长是方程x2﹣7x+12=0的一个根，则菱形
ABCD的面积为 cm2．
【考点】菱形的性质；三角形三边关系；勾股定理 ．
【专题】计算题．
【分析】根据题意，先求出方程的解，根据三角形的三边关系确定出菱形的边长，再求面积．
【解答】解：∵边AB的长是方程x2﹣7x+12=0的一个根，
x2﹣7x+12=0，
（x﹣3）（x﹣4）=0，
解得x =3，x =4，
1 2
当x =3时，3+3=6，根据三角形的三边关系可知不合题意，所以舍去；
1
当x =4时，4+4＞6，所以菱形的边长为4cm．
2
∵菱形的对角线互相垂直构成直角三角形，
利用勾股定理可求另一条对角线的一半长为 = cm，
∴S菱形ABCD = =6 cm．
故答案为6 cm．
【点评】本题综合考查了勾股定理与一元二次方程，解这类题的关键是要利用菱形的特性：菱
形的对角线互相垂直构成直角三角形，用勾股定理来寻求未知系数的等量关系．
14．把方程x2+6x+3=0变形为（x+h）2=k的形式，其中h，k为常数，则k=6．
【考点】解一元二次方程-配方法．
第 12 页 共 19 页【分析】把常数项移到等号的右边；等式两边同时加上一次项系数一半的平方，再通过比较得
到k的值．
【解答】解：移项，得
x2+6x=﹣3，
配方，得
x2+6x+9=﹣3+9，
所以，（x+3）2=6．
故答案是：6．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用
配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
15．现有四张分别标有1，2，2，3的卡片，它们除数字外完全相同，把卡片背面向上洗匀，从中
随机抽取一张后放回，再背面朝上洗匀，从中随机抽出一张，则两次抽出的卡片所标数字不
同的概率是 ．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】列表将所有等可能的结果列举出来，然后求得两次抽出的卡片所标数字不同的情况，
再利用概率公式求解即可．
【解答】解：列表得：
1 2 2 3
1 11 12 12 13
2 21 22 22 23
2 21 22 22 23
3 31 32 32 33
∵共有16种等可能的结果，两次抽出的卡片所标数字不同的有10种，
∴两次抽出的卡片所标数字不同的概率是 = ．
故答案为： ．
【点评】考查了列表与树状图的知识，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
16．如图，在直角坐标系中，△ABC的各顶点坐标为A（﹣1，1），B（2，3），C（0，3）．现以坐标
原点为位似中心，作△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC的位似比为 ．则点A的对应点A′的坐标
为（﹣ ， ）或（ ，﹣ ）．
【考点】位似变换；坐标与图形性质．
第 13 页 共 19 页【分析】位似是特殊的相似，若两个图形△ABC和△A′B′C′以原点为位似中心，相似比是k，
△ABC上一点的坐标是（x，y），则在△A′B′C′中，它的对应点的坐标是（kx，ky）或（﹣kx，﹣
ky）．
【解答】解：∵在△A′B′C′中，它的对应点的坐标是（kx，ky）或（﹣kx，﹣ky）
∴A'的坐标为：（﹣ ， ）或（ ，﹣ ）．
故答案为：（﹣ ， ）或（ ，﹣ ）．
【点评】此题主要考查了位似变换，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图
形对应点坐标之间的关系是解题的关键．
三、解答题（共8小题，计72分）
17．解方程：
（1）x（x﹣2）=x﹣2；
（2）（x+8）（x+1）=﹣12．
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【分析】（1）直接提取公因式（x﹣2），可得到（x﹣2）（x﹣1）=0，再解两个一元一次方程即可；
（2）先去括号，然后利用因式分解法解方程即可．
【解答】解：（1）∵x（x﹣2）=x﹣2，
∴（x﹣2）（x﹣1）=0，
∴x﹣2=0或x﹣1=0，
∴x =2，x =1；
1 2
（2）∵（x+8）（x+1）=﹣12，
∴x2+9x+20=0，
∴（x+4）（x+5）=0，
∴x =﹣4，x =﹣5．
1 2
【点评】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程的知识，解答本题的关键是要掌握因式
分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为
两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一
次方程，它们的解就都是原方程的解．
18．如图，DE∥BC，EF∥CG，AD：AB=1：3，AE=3．
（1）求EC的值；
（2）求证：AD•AG=AF•AB．
【考点】平行线分线段成比例．
第 14 页 共 19 页【分析】（1）由平行可得 = ，可求得AC，且EC=AC﹣AE，可求得EC；
（2）由平行可知 = = ，可得出结论．
【解答】（1）解：
∵DE∥BC，
∴ = ，
又 = ，AE=3，
∴ = ，
解得AC=9，
∴EC=AC﹣AE=9﹣3=6；
（2）证明：
∵DE∥BC，EF∥CG，
∴ = = ，
∴AD•AG=AF•AB．
【点评】本题主要考查平行线分线段成比例的性质，掌握平行线分线段所得线段对应成比例
是解题的关键．
19．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设
法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE=40cm，
EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=8m，求树高AB．
【考点】相似三角形的应用．
【专题】几何图形问题．
【分析】先判定△DEF和△DBC相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出BC的长，
再加上AC即可得解．
【解答】解：在△DEF和△DBC中， ，
∴△DEF∽△DBC，
∴ = ，
即 = ，
第 15 页 共 19 页解得BC=4，
∵AC=1.5m，
∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5m，
即树高5.5m．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质，比较简
单，判定出△DEF和△DBC相似是解题的关键．
20．如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且 = ．
（1）求证：△ACD∽△CBD；
（2）求∠ACB的大小．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】（1）由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可证明△ACD∽△CBD；
（2）由（1）知△ACD∽△CBD，然后根据相似三角形的对应角相等可得：∠A=∠BCD，然后由
∠A+∠ACD=90°，可得：∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°．
【解答】（1）证明：∵CD是边AB上的高，
∴∠ADC=∠CDB=90°，
∵ = ．
∴△ACD∽△CBD；
（2）解：∵△ACD∽△CBD，
∴∠A=∠BCD，
在△ACD中，∠ADC=90°，
∴∠A+∠ACD=90°，
∴∠BCD+∠ACD=90°，
即∠ACB=90°．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：熟记相似三角形的判定定理
与性质定理．
21．如图，在 ▱ABCD中，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点
F，连接BD．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若AB=DB，求证：四边形DFBE是矩形．
第 16 页 共 19 页【考点】矩形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质 ．
【专题】证明题．
【分析】（1）根据平行四边形性质得出AB=CD，∠A=∠C．求出∠ABD=∠CDB．推出
∠ABE=∠CDF，根据ASA推出全等即可；
（2）根据全等得出AE=CF，根据平行四边形性质得出AD∥BC，AD=BC，推出DE∥BF，
DE=BF，得出四边形DFBE是平行四边形，根据等腰三角形性质得出∠DEB=90°，根据矩形
的判定推出即可．
【解答】证明：（1）在□ABCD中，AB=CD，∠A=∠C．
∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB．
∵BE平分∠ABD，DF平分∠CDB，
∴∠ABE= ∠ABD，∠CDF= ∠CDB．
∴∠ABE=∠CDF．
∵在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF（ASA）．
（2）∵△ABE≌△CDF，
∴AE=CF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴DE∥BF，DE=BF，
∴四边形DFBE是平行四边形，
∵AB=DB，BE平分∠ABD，
∴BE⊥AD，即∠DEB=90°．
∴平行四边形DFBE是矩形．
【点评】本题考查了平行线的性质，平行四边形的性质和判定，矩形的判定，全等三角形的性
质和判定，角平分线定义等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力．
22．如图，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．
若耕地面积需要551米2，则修建的路宽应为多少米？
第 17 页 共 19 页【考点】一元二次方程的应用．
【专题】几何图形问题．
【分析】设路宽为x，则道路面积为30x+20x﹣x2，所以所需耕地面积551=20×30﹣（30x+20x
﹣x2），解方程即可．
【解答】解：设修建的路宽为x米．
则列方程为20×30﹣（30x+20x﹣x2）=551，
解得x =49（舍去），x =1．
1 2
答：修建的道路宽为1米．
【点评】本题涉及一元二次方程的应用，难度中等．
23．小明和小刚做游戏，用一个不透明袋子，里面装有形状、大小完全相同的2个红球和2个
白球，并充分搅匀，让小刚从中摸出一个球不放回，再去摸第二个球，如果两次摸出的球颜色
相同小刚赢，反之小明赢．你认为这种游戏是否公平？请你借助树状图或列表的方法，运用
概率的知识予以说明．
【考点】游戏公平性；列表法与树状图法．
【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与小明和小刚赢的
情况，利用概率公式即可求得小明和小刚赢的概率，比较概率的大小，即可得这种游戏是否
公平．
【解答】解：这种游戏规则不公平．
理由是：列表为：
第一次 红1 红2 白1 白2
第二次
红1 （红2，红1） （白1，红1） （白2，红1）
红2 （红1，红2 ） （白1，红2） （白2，红2）
白1 （红1，白1 ） （红2，白1） （白2，白1）
白2 （红1，白2 ） （红2，白2 ） （白1，白2）
∴P（两次颜色相同）= = ；P（两次颜色不同）= = ；
∵ ＜ ，
∴这种游戏规则不公平．
【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相
等就公平，否则就不公平．
24．如图，已知AC，EC分别为正方形ABCD和正方形EFCG的对角线，点E在△ABC内，连
接BF，∠CAE+∠CBE=90°．
（1）求证：△CAE∽△CBF；
（2）若BE=1，AE=2，求CE的长．
第 18 页 共 19 页【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质．
【分析】（1）首先根据四边形ABCD和EFCG均为正方形，可得 = = ，∠ACE=∠BCF；
然后根据相似三角形判定的方法，推得△CAE∽△CBF即可；
（2）首先根据△CAE∽△CBF，判断出∠CAE=∠△CBF，再根据∠CAE+∠CBE=90°，判断出
∠EBF=90°；然后在Rt△BEF中，根据勾股定理，求出EF的长度，再根据CE、EF的关系，求
出CE的长是多少即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD和EFCG均为正方形，
∴ = = ，
∴∠ACB=∠ECF=45°，
∴∠ACE=∠BCF，
∴△CAE∽△CBF．
（2）解：∵△CAE∽△CBF，
∴∠CAE=∠△CBF， = ，
又∵∠CAE+∠CBE=90°，
∴∠CBF+∠CBE=90°，
∴∠EBF=90°，
又∵ = = ，AE=2
∴ = ，
∴BF= ，
∴EF2=BE2+BF2=3，
∴EF= ，
∵CE2=2EF2=6，
∴CE= ．
【点评】此题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，掌握相似三角形的判定方法是解
决问题的前提．
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