文档内容
下学期期末检测八年级数学试卷
一、选择题，每小题2分，共24分．
1．（2分）下列各式由左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）
A．（x+1）（x﹣1）=x2﹣1 B．x2+2x+1=x（x+2）+1
C．a2﹣4b2=（a+2b）（a﹣2b）D．a（x﹣y）=ax﹣ay
2．（2分）如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（ ）
A．∠1=∠2 B．∠BAD=∠BCDC．AB=CD D．AC⊥BD
3．（2分）当x=2时，下列各式的值为0的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2分）下列图形是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2分）不等式组 的解表示在数轴上，正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2分）若将 中的字母x、y的值分别扩大为原来的4倍，则分式的值（ ）
A．扩大为原来的4倍 B．缩小为原来的
C．缩小为原来的 D．不变
7．（2分）如图，平行四边形ABCD中，∠A的平分线AE交CD于E，AB=6，BC=4，则EC的
长（ ）
A．1B．1.5 C．2D．3
第 1 页 共 17 页8．（2分）解关于x的方程： = +3会产生增根，则常数m的值等于（ ）
A．5B．﹣1 C．1D．6
9．（2分）如图，已知直线y =ax+b与y =mx+n相交于点A（2，﹣1），若y ＞y ，则x的取值范
1 2 1 2
围是（ ）
A．x＜2B．x＞2 C．x＜﹣1 D．x＞﹣1
10．（2分）如图△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与
△ACP′重合，已知AP=3，则PP′的长度是（ ）
A．3B． C． D．4
11．（2分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，有下列结论：
①CD=ED；②AC+BE=AB；③∠BDE=∠BAC；④AD平分∠CDE；
其中正确的是（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
12．（2分）已知关于x的不等式组 的整数解共有6个，则a的取值范围是（ ）
A．﹣6＜a＜﹣5 B．﹣6≤a＜﹣5 C．﹣6＜a≤﹣5 D．﹣6≤a≤﹣5
二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）
13．（3分）因式分解：a3﹣a= ．
14．（3分）计算：（ab﹣b2）÷ = ．
15．（3分）已知x2﹣（m﹣2）x+49是完全平方式，则m= ．
16．（3分）如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=12，点M，N在边OB上，PM=PN，若
MN=2，则OM= ．
第 2 页 共 17 页17．（3分）有一张一个角为30°，最小变长为4的直角三角形纸片，沿图中所示的中位线剪开
后，将两部分拼成一个四边形，所得四边形的周长是 ．
三、解答题
18．（10分）（1）解不等式3（x﹣1）＜5x+2，并在数轴上表示解集．
（2）解方程： = ﹣ ．
19．（6分）先化简再求值： ，其中 ．
20．（6分）在如图所示的方格纸中，△ABC，△A B C ，△A B C 的顶点及O、P、Q都在格点
1 1 1 2 2 2
上（每个小方格的顶点叫格点）
（1）△ABC经过一种 变换可以得到△A B C ；（填“平移”或“旋转”或“轴对称”）
1 1 1
（2）△A B C 可由△A B C 经过一次旋转变换得到的，其旋转中心是 （填：“O”或“P”
2 2 2 1 1 1
或“Q”）旋转角是 度；
（3）画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A B C ．
3 3 3
21．（6分）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接
AF、CE，试判断四边形AECF是什么样的四边形？写出你的结论并予以证明．
第 3 页 共 17 页22．（8分）阅读理解：把多项式am+an+bm+bn分解因式．
解法一：am+an+bm+bn=（am+an）+（bm+bn）=a（m+n）+b（m+n）=（m+n）（a+b）
解法二：am+an+bm+bn=（am+bm）+（an+bn）=m（a+b）+n（a+b）=（m+n）（a+b）
观察上述因式分解的过程，回答下列问题：
（1）分解因式：m2x﹣3m+mnx﹣3n；
（2）已知：a，b，c为△ABC的三边，且a3﹣a2b+5ac﹣5bc=0，试判断△ABC的形状．
23．（7分）如图，在△ABC中，∠BAC的平分线是AP，PQ是线段BC的垂直平分线，
PN⊥AB于N，PM⊥AC于M．
求证：BN=CM．
24．（8分）由于受金融危机的影响，某店经销的甲型号手机今年的售价比去年每台降价500
元．如果卖出相同数量的手机，那么去年销售额为8万元，今年销售额只有6万元．
（1）今年甲型号手机每台售价为多少元？
（2）为了提高利润，该店计划购进乙型号手机销售，已知甲型号手机每台进价为1000元，乙
型号手机每台进价为800元，预计用不多于1.84万元且不少于1.76万元的资金购进这两种
手机共20台，请问有几种进货方案？
25．（10分）已知△ABC是等边三角形，D是BC边上的一个动点（点D不与B，C重合）
△ADF是以AD为边的等边三角形过点F作BC的平行线交射线AC于点E，连接BF
（1）如图1，若△ABC的边长是2，求△ADF的最小面积；
（2）如图1，求证：△AFB≌△ADC'；
（3）如图2，若D点在BC边的延长线上，其它条件不变，请判断四边形BCEF的形状，并说明
理由．
第 4 页 共 17 页下学期期末检测八年级数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题，每小题2分，共24分．
1．（2分）（2016春•市北区期末）下列各式由左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）
A．（x+1）（x﹣1）=x2﹣1 B．x2+2x+1=x（x+2）+1
C．a2﹣4b2=（a+2b）（a﹣2b）D．a（x﹣y）=ax﹣ay
【分析】依据因式分解的定义判断即可．
【解答】解：A、（x+1）（x﹣1）=x2﹣1，从左边到右边的变形属于整式的乘法，故A错误；
B、x2+2x+1=x（x+2）+1，右边不是几个因式的积的形式，故B错误；
C、a2﹣4b2=（a+2b）（a﹣2b）是因式分解，故C正确；
D、（x﹣y）=ax﹣ay，从左边到右边的变形属于整式的乘法，故D错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查的是因式分解的意义，掌握因式分解的定义是解题的关键．
2．（2分）（2013•益阳）如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（ ）
A．∠1=∠2 B．∠BAD=∠BCDC．AB=CD D．AC⊥BD
【分析】根据平行四边形的性质，平行四边形对边平行以及对边相等和对角相等分别判断得
出即可．
【解答】解：∵在平行四边形ABCD中，
∴AB∥CD，
∴∠1=∠2，（故A选项正确，不合题意）；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD=∠BCD，（故B选项正确，不合题意）；
AB=CD，（故C选项正确，不合题意）；
无法得出AC⊥BD，（故D选项错误，符合题意）．
故选：D．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握相关的性质是解题关键．
3．（2分）（2010•开县校级模拟）当x=2时，下列各式的值为0的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据分式的值为零的条件进行判断．
【解答】解：A、当x=2时，x2﹣3x+2=0，由于分式的分母不能为0，故A错误；
B、当x=2时，x﹣2=0，分式的分母为0，故B错误；
第 5 页 共 17 页C、当x=2时，2x﹣4=0，且x﹣9≠0；故C正确；
D、当x=2时，原式=4≠0，故D错误；
故选C．
【点评】若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺
一不可．
4．（2分）（2016春•雅安期末）下列图形是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是中心对称图形；
B、是中心对称图形；
C、不是中心对称图形；
D、不是中心对称图形．
故选：B．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，
图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
5．（2分）（2016春•雅安期末）不等式组 的解表示在数轴上，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】先解不等式组求得解集，再在数轴上表示出来．
【解答】解：解不等式组得﹣1＜x≤2，所以在数轴上表示为
故选D．
【点评】不等式组解集在数轴上的表示方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥
向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的
线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解
集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
6．（2分）（2016春•雅安期末）若将 中的字母x、y的值分别扩大为原来的4倍，则分式的
值（ ）
A．扩大为原来的4倍 B．缩小为原来的
C．缩小为原来的 D．不变
第 6 页 共 17 页【分析】根据分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，可得答案．
【解答】解：将 中的字母x、y的值分别扩大为原来的4倍，则分式的值缩小为原来的 ，
故选：C．
【点评】本题考查了分式的性质，分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数或者整式，
分式的值不变．
7．（2分）（2016春•雅安期末）如图，平行四边形ABCD中，∠A的平分线AE交CD于E，
AB=6，BC=4，则EC的长（ ）
A．1B．1.5 C．2D．3
【分析】根据平行四边形的性质及AE为角平分线可知：BC=AD=DE=4，又有CD=AB=6，可求
EC的长．
【解答】解：根据平行四边形的对边相等，得：CD=AB=6，AD=BC=4．
根据平行四边形的对边平行，得：CD∥AB，
∴∠AED=∠BAE，
又∠DAE=∠BAE，
∴∠DAE=∠AED．
∴ED=AD=4，
∴EC=CD﹣ED=6﹣4=2．
故选C．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构
造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．
8．（2分）（2016春•雅安期末）解关于x的方程： = +3会产生增根，则常数m的值
等于（ ）
A．5B．﹣1 C．1D．6
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到x﹣1=0，求出x的值，代
入整式方程求出m的值即可．
【解答】解：去分母得：x+5=m+3x﹣3，
由分式方程有增根，得到x﹣1=0，即x=1，
把x=1代入整式方程得：6=m+3﹣3，
解得：m=6，
故选D
【点评】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方
程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
9．（2分）（2016春•雅安期末）如图，已知直线y =ax+b与y =mx+n相交于点A（2，﹣1），若y
1 2 1
＞y ，则x的取值范围是（ ）
2
第 7 页 共 17 页A．x＜2B．x＞2 C．x＜﹣1 D．x＞﹣1
【分析】观察函数图象得到当x＞2时，直线y =ax+b都在直线y =mx+n的上方，即有y ＞y ．
1 2 1 2
【解答】解：根据题意当x＞2时，若y ＞y ．
1 2
故选B．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数
y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线
y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
10．（2分）（2016春•龙岗区期末）如图△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点
A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，已知AP=3，则PP′的长度是（ ）
A．3B． C． D．4
【分析】根据旋转前后的图形全等，即可得出△APP'等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形
的性质，进行计算即可．
【解答】解：∵△ACP′是由△ABP绕点A逆时针旋转后得到的，
∴△ACP′≌△ABP，
∴AP=AP′，∠BAP=∠CAP′．
∵∠BAC=90°，
∴∠PAP′=90°，
故可得出△APP'是等腰直角三角形，
又∵AP=3，
∴PP′=3 ．
故选B．
【点评】此题考查了旋转的性质，解答本题的关键是掌握旋转前后对应边相等、对应角相等，
另外要掌握等腰三角形的性质，难度一般．
11．（2分）（2016春•雅安期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，
有下列结论：
①CD=ED；②AC+BE=AB；③∠BDE=∠BAC；④AD平分∠CDE；
其中正确的是（ ）个．
第 8 页 共 17 页A．1B．2C．3D．4
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD=DE，再利用“HL”证明Rt△ACD
和Rt△AED全等，根据全等三角形对应边相等可得AC=AE，∠ADC=∠ADE，然后对各小题
分析判断即可得解．
【解答】解：∵∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴CD=DE，故①正确；
在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC=AE，∠ADC=∠ADE，
∴AC+BE=AE+BE=AB，故②正确；
AD平分∠CDE，故④正确；
∵∠B+∠BAC=90°，
∠B+∠BDE=90°，
∴∠BDE=∠BAC，故③正确；
综上所述，结论正确的是①②③④共4个．
故选D．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，
熟记性质并确定出全等三角形是解题的关键．
12．（2分）（2016春•雅安期末）已知关于x的不等式组 的整数解共有6个，则a
的取值范围是（ ）
A．﹣6＜a＜﹣5 B．﹣6≤a＜﹣5 C．﹣6＜a≤﹣5 D．﹣6≤a≤﹣5
【分析】先解不等式组，然后根据有6个整数解，求出a的取值范围．
【解答】解：解不等式x﹣a＞0得：x＞a，
解不等式2﹣2x＞0得，x＜1，
则不等式组的解集为a＜x＜1，
∵不等式组有6个整数解，
∴﹣6≤a＜5．
故选B．
【点评】此题考查的是一元一次不等式的解法，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取
较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）
13．（3分）（2016•安徽）因式分解：a3﹣a= a （ a + 1 ）（ a﹣ 1 ） ．
第 9 页 共 17 页【分析】原式提取a，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式=a（a2﹣1）=a（a+1）（a﹣1），
故答案为：a（a+1）（a﹣1）
【点评】此题考查了提公因式与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关
键．
14．（3分）（2016春•雅安期末）计算：（ab﹣b2）÷ = a b 2 ．
【分析】原式利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【解答】解：原式=b（a﹣b）• =ab2．
故答案为：ab2．
【点评】此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15．（3分）（2016春•雅安期末）已知x2﹣（m﹣2）x+49是完全平方式，则m= 1 6 或﹣ 1 2 ．
【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的
值．
【解答】解：∵x2﹣（m﹣2）x+49=x2﹣（m﹣2）x+72，
∴﹣（m﹣2）x=±2x•7，
解得m=16或m=﹣12．
故答案为：16或﹣12．
【点评】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，
熟记完全平方公式对解题非常重要．
16．（3分）（2015•澄海区一模）如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=12，点M，N在边
OB上，PM=PN，若MN=2，则OM= 5 ．
【分析】过P作PD⊥OB，交OB于点D，在直角三角形POD中，利用锐角三角函数定义求出
OD的长，再由PM=PN，利用三线合一得到D为MN中点，根据MN求出MD的长，由OD﹣
MD即可求出OM的长．
【解答】解：过P作PD⊥OB，交OB于点D，
在Rt△OPD中，cos60°= = ，OP=12，
∴OD=6，
∵PM=PN，PD⊥MN，MN=2，
∴MD=ND= MN=1，
第 10 页 共 17 页∴OM=OD﹣MD=6﹣1=5．
故答案为：5．
【点评】此题考查的是勾股定理，含30度直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，熟练
掌握直角三角形的性质是解本题的关键．
17．（3分）（2016春•雅安期末）有一张一个角为30°，最小变长为4的直角三角形纸片，沿图
中所示的中位线剪开后，将两部分拼成一个四边形，所得四边形的周长是 8 + 4 或 1 6 ．
【分析】根据三角函数可以计算出BC=8，AC=4 ，再根据中位线的性质可得CD=AD=，
CF=BF=4，DF=2，然后拼图，出现两种情况，一种是拼成一个矩形，另一种拼成一个平行四边
形，进而算出周长即可．
【解答】解：由题意可得：AB=4，
∵∠C=30°，
∴BC=8，AC=4 ，
∵图中所示的中位线剪开，
∴CD=AD=2 ，CF=BF=4，DF=2，
如图1所示：拼成一个矩形，矩形周长为：2+2+4+2 +2 =8+4 ；
如图2所示，可以拼成一个平行四边形，周长为：4+4+4+4=16，
故答案为：8+4 或16．
【点评】此题主要考查了图形的剪拼，关键是根据画出图形，要考虑全面，不要漏解．
三、解答题
18．（10分）（2016春•雅安期末）（1）解不等式3（x﹣1）＜5x+2，并在数轴上表示解集．
第 11 页 共 17 页（2）解方程： = ﹣ ．
【分析】（1）不等式去括号，移项合并，把x系数化为1，求出解集，表示在数轴上即可；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式
方程的解．
【解答】解：（1）去括号得：3x﹣3＜5x+2，
移项合并得：2x＞﹣5，
解得：x＞﹣2.5，
；
（2）去分母得：15x﹣12=4x+10﹣3x+6，
移项合并得：14x=28，
解得：x=2，
经检验x=2是增根，分式方程无解．
【点评】此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．（6分）（2016春•雅安期末）先化简再求值： ，其中 ．
【分析】先把分子分母因式分解，再约分得到原式=x﹣1，然后把x的值代入计算即可．
【解答】解：原式= • ﹣1
=x﹣1，
当x= +1时，原式= +1﹣1= ．
【点评】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出
分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进
行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
20．（6分）（2016春•雅安期末）在如图所示的方格纸中，△ABC，△A B C ，△A B C 的顶点
1 1 1 2 2 2
及O、P、Q都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）
（1）△ABC经过一种 平移 变换可以得到△A B C ；（填“平移”或“旋转”或“轴对
1 1 1
称”）
（2）△A B C 可由△A B C 经过一次旋转变换得到的，其旋转中心是 O （填：“O”或
2 2 2 1 1 1
“P”或“Q”）旋转角是 9 0 度；
（3）画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A B C ．
3 3 3
第 12 页 共 17 页【分析】（1）根据图形结合平移变换的性质解答；
（2）根据旋转的性质，对应点的连线的垂直平分线的交点即为旋转中心；
（3）根据网格结构找出点A、B、C绕点O逆时针旋转90°后的对应点A 、B 、C 的位置，然后
3 3 3
顺次连接即可．
【解答】解：（1）△ABC经过一种平移变换可以得到△A B C ；
1 1 1
（2）△A B C 可由△A B C 经过一次旋转变换得到的，其旋转中心是O，旋转角是90度；
2 2 2 1 1 1
（3）如图所示△A B C ．
3 3 3
故答案为：（1）平移；（2）O，90．
【点评】本题考查了利用旋转变换作图，平移变换的性质，以及旋转变换的性质熟练掌握各性
质是解题的关键．
21．（6分）（2016春•雅安期末）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BD于点E，
CF⊥BD于点F，连接AF、CE，试判断四边形AECF是什么样的四边形？写出你的结论并予
以证明．
【分析】根据垂直的定义得出∠AEF=∠CFE=90°，利用内错角相等两直线平行可得AE∥CF，
再根据平行四边形的性质证明△ABE≌△CDF，根据全等三角形对应边相等可得AE=CF，然
后根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明．
【解答】解：四边形AECF是平行四边形．理由如下：
∵AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，
第 13 页 共 17 页∴∠AEF=∠CFE=90°，
∴AE∥CF（内错角相等，两直线平行），
在平行四边形ABCD中，AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABE=∠CDF，
在△ABE与△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE=CF，
∴四边形AECF是平行四边形（有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．
【点评】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，利用三角形全等证
明得到AE=CF是解题的关键．
22．（8分）（2016春•雅安期末）阅读理解：把多项式am+an+bm+bn分解因式．
解法一：am+an+bm+bn=（am+an）+（bm+bn）=a（m+n）+b（m+n）=（m+n）（a+b）
解法二：am+an+bm+bn=（am+bm）+（an+bn）=m（a+b）+n（a+b）=（m+n）（a+b）
观察上述因式分解的过程，回答下列问题：
（1）分解因式：m2x﹣3m+mnx﹣3n；
（2）已知：a，b，c为△ABC的三边，且a3﹣a2b+5ac﹣5bc=0，试判断△ABC的形状．
【分析】（1）首先将原式前两项和后两项分组，进而提取公因式分解因式即可得出答案；
（2）首先将原式前两项和后两项分组，进而提取公因式分解因式即可得出a，b关系，进而得
出△ABC的形状．
【解答】解：（1）m2x﹣3m+mnx﹣3n
=m（mx﹣3）+n（mx﹣3）
=（mx﹣3）（m+n）；
（2）∵a3﹣a2b+5ac﹣5bc=0，
∴a2（a﹣b）+5c（a﹣b）=0，
∴（a﹣b）（a2+5c）=0，
∵a，b，c为△ABC的三边，∴a2+5c≠0，
∴a﹣b=0，∴a=b，
∴△ABC是等腰三角形．
【点评】此题主要考查了分组分解法的应用，正确将原式分组是解题关键．
23．（7分）（2016春•雅安期末）如图，在△ABC中，∠BAC的平分线是AP，PQ是线段BC的
垂直平分线，PN⊥AB于N，PM⊥AC于M．
求证：BN=CM．
第 14 页 共 17 页【分析】连接PB、PC，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PM=PN，再根据线段垂
直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得PB=PC，然后利用“HL”证明Rt△PMC和
Rt△PNB全等，最后根据全等三角形对应边相等证明即可．
【解答】证明：如图，连接PB、PC，
∵AP是∠BAC的平分线，PN⊥AB于N，PM⊥AC于M，
∴PM=PN，∠PMC=∠PNB=90°，
∵PQ是线段BC的垂直平分线，
∴PB=PC，
在Rt△PMC和Rt△PNB中， ，
∴Rt△PMC≌Rt△PNB（HL），
∴BN=CM．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，
线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记各性质并作辅助线构造出全
等三角形是解题的关键．
24．（8分）（2012•淮安模拟）由于受金融危机的影响，某店经销的甲型号手机今年的售价比去
年每台降价500元．如果卖出相同数量的手机，那么去年销售额为8万元，今年销售额只有6
万元．
（1）今年甲型号手机每台售价为多少元？
（2）为了提高利润，该店计划购进乙型号手机销售，已知甲型号手机每台进价为1000元，乙
型号手机每台进价为800元，预计用不多于1.84万元且不少于1.76万元的资金购进这两种
手机共20台，请问有几种进货方案？
【分析】（1）先设今年甲型号手机每台售价为x元，根据题意列出方程，解出x的值，再进行
检验，即可得出答案；
（2）先设购进甲型号手机m台，根据题意列出不等式组，求出m的取值范围，即可得出进货
方案．
第 15 页 共 17 页【解答】解：（1）设今年甲型号手机每台售价为x元，由题意得，
= ，
解得x=1500，
经检验x=1500是方程的解，
答：今年甲型号手机每台售价为1500元．
（2）设购进甲型号手机m台，则乙型号手机（20﹣m）台，由题意得，
，
解得：8≤m≤12，
因为m只能取整数，
所以m取8、9、10、11、12，共有5种进货方案，
方案1：购进甲型号手机8台，乙型号手机12台；
方案2：购进甲型号手机9台，乙型号手机11台；
方案3：购进甲型号手机10台，乙型号手机10台；
方案4：购进甲型号手机11台，乙型号手机9台；
方案5：购进甲型号手机12台，乙型号手机8台．
【点评】此题考查了一元一次不等式组的应用，要能根据题意列出不等式组，关键是根据不等
式组的解集求出所有的进货方案，注意解分式方程要检验，是一道实际问题．
25．（10分）（2016春•雅安期末）已知△ABC是等边三角形，D是BC边上的一个动点（点D
不与B，C重合）△ADF是以AD为边的等边三角形过点F作BC的平行线交射线AC于点
E，连接BF
（1）如图1，若△ABC的边长是2，求△ADF的最小面积；
（2）如图1，求证：△AFB≌△ADC'；
（3）如图2，若D点在BC边的延长线上，其它条件不变，请判断四边形BCEF的形状，并说明
理由．
【分析】（1）根据题意得到当AD⊥BC时，△ADF的面积最小，根据等边三角形的性质得到
AD= ，然后根据三角形的面积公式即可得到结论；
（2）利用有两条边对应相等并且夹角相等的两个三角形全等即可证明△AFB≌△ADC；
（3）根据等边三角形的性质得到AF=AD，AB=AC，∠FAD=∠BAC=60°，可得
∠FAB=∠DAC，根据全等三角形的性质得到∠ABF=∠ADC，进而求得∠AFB=∠EAF，求得
BF∥AE，又BC∥EF，从而证得四边形BCEF是平行四边形．
第 16 页 共 17 页【解答】解：（1）由题意得当AD⊥BC时，AD最小，即△ADF的面积最小，
∵△ABC是等边三角形，
∴BC=2，BD=CD=1，
∴AD= ，
∵△ADF是等边三角形，
∴△ADF的最小面积= ；
（2）∵△ABC和△ADF都是等边三角形，
∴AF=AD，AB=AC，∠FAD=∠BAC=60°，
又∵∠FAB=∠FAD﹣∠BAD，∠DAC=∠BAC﹣∠BAD，
∴∠FAB=∠DAC，
在△AFB和△ADC中，
，
∴△AFB≌△ADC（SAS）；
（3）∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AF=AD，AB=AC，∠FAD=∠BAC=60°，
又∵∠FAB=∠FAD﹣∠BAD，∠DAC=∠BAC﹣∠BAD，
∴∠FAB=∠DAC，
在△AFB和△ADC中，
，
∴△AFB≌△ADC（SAS）；
∴∠AFB=∠ADC．
又∵∠ADC+∠DAC=60°，∠EAF+∠DAC=60°，
∴∠ADC=∠EAF，
∴∠AFB=∠EAF，
∴BF∥AE，
又∵BC∥EF，
∴四边形BCEF是平行四边形．
【点评】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定，熟
练掌握性质、定理是解题的关键．
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