文档内容
2020-2021学年四川省成都市青羊区石室中学七年级（上）期末
数学试卷
A卷
一．选择题（共10小题）
1．﹣8的相反数是（ ）
A．﹣8 B．﹣ C． D．8
2．将一个直角三角板绕直角边旋转一周，则旋转后所得几何体是（ ）
A．圆柱 B．圆 C．圆锥 D．三角形
3．地球的半径约为6400000米，用科学记数法表示为（ ）
A．6.4×105 米 B．640×104 米 C．6.4×106 米 D．64×105 米
4．下列式子，符合用字母表示数的书写格式的是（ ）
A．a÷3 B．2 x C．a×3 D．
5．如果单项式﹣xa+1y3与12ybx2是同类项，那么a，b的值分别为（ ）
A．a＝2，b＝3 B．a＝1，b＝2 C．a＝2，b＝2 D．a＝1，b＝3
6．下列叙述，其中不正确的是（ ）
A．两点确定一条直线
B．同角（或等角）的余角相等
C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
D．两点之间的所有连线中，线段最短
7．如图，线段AB＝10cm，点C为线段AB上一点，BC＝3cm，点D，E分别为AC和AB
的中点，则线段DE的长为（ ）
A． B．1 C． D．2
8．如图，将长方形纸条的一部分 ODCG沿OG折叠到 OD C G，若∠D OG＝55°，则
1 1 1
∠AOD 等于（ ）
1A．50° B．55° C．60° D．70°
9．按如图所示的运算程序，能使输出的结果为12的是（ ）
A．x＝3，y＝3 B．x＝﹣4，y＝﹣2 C．x＝2，y＝4 D．x＝4，y＝2
10．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝35°，则∠2等于（
）
A．35° B．45° C．55° D．65°
二．填空题（共4小题）
11．﹣ x3y的系数是 ，次数是 ．
12．在“手拉手活动”中，小明为捐助某贫困山区的一名同学，现已存款 300元，他计划
今后每月存款20元，n月后存款总数是 元（用含n的代数式表示）．
13．已知∠ ＝27°25'，则∠ 的补角为 ．
14．若“★α”是新规定的某α种运算符号，设 a★b＝ab+a﹣b，则2★n＝﹣8，则n＝
．
三．解答题（共7小题）
15．计算下列各题：（1）13﹣（﹣ ）+7﹣|﹣ |；
（2）﹣14+9×（﹣ ）2+23．
16．解下列方程：
（1）解方程：2（x﹣2）＝8﹣3（4x﹣1）；
（2）解方程：x﹣ ＝2﹣ ．
17．先化简，再求值：2（ab﹣3a2）+[5a2﹣（3ab﹣a2）]，其中a＝ ，b＝1．
18．如图是由一些棱长都为1cm的小正方体组合成的简单几何体．
（1）该几何体的主视图如图所示，请在下面方格纸中分别画出它的左视图和俯视图；
（2）如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持俯视图和左视图不变，最多可
以再添加 块小正方体．
19．为弘扬中华传统文化，某校组织八年级 800名学生参加汉字听写大赛为了解学生整体
听写能力，从中抽取部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计分析，
得到如下所示的模数分布表：
分数段 50.5﹣60.5 60.5﹣70.5 70.5﹣80.5 80.5﹣90.5 90.5﹣100.5
频数 16 30 50 m 24
所占百分比 8% 15% 25% 40% n
请根据尚未完成的表格，解答下列问题：
（1）本次抽样调查的样本容量为 ，表中m＝ ，n ；
（2）补全图中所示的频数分布直方图；
（3）若成绩超过80分为优秀，则该校八年级学生中汉字听写能力优秀的约有多少人？20．完成下面推理过程．在括号内的横线上填空或填上推理依据．
如图，已知：AB∥EF，EP⊥EQ，∠EQC+∠APE＝90°，求证：AB∥CD
证明：∵AB∥EF
∴∠APE＝ （ ）
∵EP⊥EQ
∴∠PEQ＝ （ ）
即∠QEF+∠PEF＝90°
∴∠APE+∠QEF＝90°
∵∠EQC+∠APE＝90°
∴∠EQC＝
∴EF∥ （ ）
∴AB∥CD（ ）
21．某公司招聘外卖送餐员，送餐员的月工资由底薪 1000元加上外卖送单补贴（送一次外
卖称为一单）构成，外卖送单补贴的具体方案如下：
外卖送单数量 补贴（元/单）
每月不超过500单 6
超过500单但不超过m单的部分（700≤m≤900） 8
超过m单的部分 10
（1）若某“外卖小哥”4月份送餐400单，则他这个月的工资总额为多少元？（2）设5月份某“外卖小哥”送餐x单（x＞500），所得工资为y元，求y与x的函数
关系式．
（3）若某“外卖小哥”5月份送餐800单，所得工资为6500元，求m的值．
B卷
一．填空题（共6小题）
22若（m+1）x|m|﹣3＝0是关于x的一元一次方程，则方程的解为 ．
23若x、y为有理数，且（5﹣x）2+|y+5|＝0，则（ ）2021＝ ．
24图是一个正方体的展开图，A＝x2，B＝2x2+1，C＝2x﹣2，D＝2x+1，且相对两个面所表
示的整式的和都相等，则E+F＝ ．
25有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|c﹣a|+|c﹣b|﹣|a+b|＝ ．
26如图，有一根木棒MN放置在数轴上，它的两端M、N分别落在点A、B处．将木棒在
数轴上水平移动，当MN的中点移动到点B时，点N所对应的数为17.5，当MN的右三
等分点移动到点A时，点M所对应的数为4.5，则木棒MN的长度为 ．
27我们可以用符号f（a）表示代数式，当a为正数时，我们规定：如果a为偶数，f（a）
＝0.5a，如果a为奇数，f（a）＝5a+1．例如f（20）＝10，f （5）＝26．设a ＝6，a
1 2
＝f（a ），a ＝f（a ），…，依此规律进行下去，得到一列数a 、a 、a 、…、a （n为
1 3 2 1 2 3 n
正整数），则a ＝ ；计算2a ﹣a +a ﹣a +a ﹣a +…+a ﹣a +a ﹣a
2019 1 2 3 4 5 6 2017 2018 2019 2020
＝ ．
二．解答题（共3小题）
28（1）若代数式（2x2+ax﹣y+6）﹣（2bx2﹣3x+5y﹣1）的值与字母x的取值无关，试求a2
﹣2ab﹣b2的值．
（2）已知关于x方程4x+2m＝3x+1和方程3x+2m＝6x+1的解相同，试求（﹣2m）2021﹣（m﹣ ）2020的值．
29今有三位好伙伴，小学就读于同一个班级．初中的第一个寒假到了，某天就读于不同中
学的他们聚在一起，谈起数学，都兴奋不已，彼此抛出了一个数学问题．
甲的问题是：（ + + +…+ + ）的值为多少？
乙的问题是：如图1，将长方形纸片的一角折叠，使顶点A落在F处，折痕为BC，作
∠FBD的角平分线BE，将∠FBD沿BF折叠使BE，BD均落在∠FBC的内部，且BE交
CF于点M，BD交CF于N．若BN平分∠CBM，则∠ABC的度数为多少？
丙的问题是：如图2，线段AB表示一根对折的绳子，点P在AB上且AP＝ PB．若在
P处将绳子剪断，所得三段绳子的最大值为8cm，则整条绳子剪断前的长度为多少？
如果用a表示甲的问题中的值；用b表示乙的问题中∠ABC的度数，用c表示丙的问题
中绳子长度的厘米数．
同学，你能超越他们，迅速算出a、b、c并将它们用“＞”连接起来吗？（要写求解过
程）
30如果两个角的差的绝对值等于60°，就称这两个角互为“伙伴角”，其中一个角叫做另
一个角的“伙伴角”（本题所有的角都指大于 0°小于180°的角），例如∠1＝80°，∠2
＝20°，|∠1﹣∠2|＝60°，则∠1和∠2互为“伙伴角”，即∠1是∠2的“伙伴角”，
∠2也是∠1的“伙伴角”．
（1）如图1，O为直线AB上一点，∠AOC＝∠EOD＝90°，∠AOE＝60°，则∠AOE的
“伙伴角”是 ；
（2）如图2，O为直线AB上一点，∠AOC＝30°，将∠BOC绕着点O以每秒1°的速度
逆时针旋转得∠DOE，同时射线OP从射线OA的位置出发绕点O以每秒4°的速度逆时
针旋转，当射线OP与射线OB重合时旋转同时停止，若设旋转时间为t秒，求当t为何
值时，∠POD与∠POE互为“伙伴角”；（3）如图3，∠AOB＝160°，射线OI从OA的位置出发绕点O顺时针以每秒6°的速度
旋转，旋转时间为t秒（0＜t＜ ），射线OM平分∠AOI，射线ON平分∠BOI，射
线OP平分∠MON，问：是否存在t的值使得∠AOI与∠POI互为“伙伴角”？若存在，
求出t的值；若不存在，请说明理由．2020-2021学年四川省成都市青羊区石室中学七年级（上）期末
数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．﹣8的相反数是（ ）
A．﹣8 B．﹣ C． D．8
【分析】根据相反数的定义进行解答即可．
【解答】解：由相反数的定义可知，﹣8的相反数是﹣（﹣8）＝8．
故选：D．
2．将一个直角三角板绕直角边旋转一周，则旋转后所得几何体是（ ）
A．圆柱 B．圆 C．圆锥 D．三角形
【分析】根据面动成体，可得一个三角形绕直角边旋转一周可以得到一个圆锥．
【解答】解：圆锥的轴截面是直角三角形，因而圆锥可以认为直角三角形以一条直角边
所在的直线为轴旋转一周得到．
故直角三角形绕它的直角边旋转一周可形成圆锥．
故选：C．
3．地球的半径约为6400000米，用科学记数法表示为（ ）
A．6.4×105 米 B．640×104 米 C．6.4×106 米 D．64×105 米
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的
值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相
同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：6400000米，用科学记数法表示为6.4×106米，
故选：C．4．下列式子，符合用字母表示数的书写格式的是（ ）
A．a÷3 B．2 x C．a×3 D．
【分析】根据代数式的书写要求判断各项．
【解答】解：A、原书写错误，正确的书写格式是 ，故此选项不符合题意；
B、原书写错误，正确的书写格式是 x，故此选项不符合题意；
C、原书写错误，正确的书写格式是3a，故此选项不符合题意；
D、原书写正确，故此选项符合题意．
故选：D．
5．如果单项式﹣xa+1y3与12ybx2是同类项，那么a，b的值分别为（ ）
A．a＝2，b＝3 B．a＝1，b＝2 C．a＝2，b＝2 D．a＝1，b＝3
【分析】根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同），即可求得．
【解答】解：根据题意得：a+1＝2，b＝3，
则a＝1．
故选：D．
6．下列叙述，其中不正确的是（ ）
A．两点确定一条直线
B．同角（或等角）的余角相等
C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
D．两点之间的所有连线中，线段最短
【分析】根据平行公理，线段的性质，直线的性质，余角的性质，可得答案．
【解答】解：A、两点确定一条直线，故A正确；
B、同角（或等角）的余角相等，故B正确；
C、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故C错误；
D、两点之间的所有连线中，线段最短，故D正确；
故选：C．
7．如图，线段AB＝10cm，点C为线段AB上一点，BC＝3cm，点D，E分别为AC和AB
的中点，则线段DE的长为（ ）
A． B．1 C． D．2【分析】根据线段的和差，可得AC的长，根据线段中点的性质，可得AD、AE的长，
根据线段的和差，可得DE的长．
【解答】解：由线段的和差，得
AC＝AB﹣BC＝10﹣3＝7cm，
由点D是AC的中点，
所以AD＝ AC＝ ×7＝ cm；
由点E是AB的中点，得
AE＝ AB＝ ×10＝5cm，
由线段的和差，得
DE＝AE﹣AD＝5﹣ ＝ cm．
故选：C．
8．如图，将长方形纸条的一部分 ODCG沿OG折叠到 OD C G，若∠D OG＝55°，则
1 1 1
∠AOD 等于（ ）
1
A．50° B．55° C．60° D．70°
【分析】根据折叠得出∠D OG＝∠DOG＝55°，求出∠AOD ，即可求出答案．
1 1
【解答】解：∵将长方形纸条的一部分ODCG沿OG折叠到OD C G，∠D OG＝55°，
1 1 1
∴∠D OG＝∠DOG＝55°，
1
∴∠AOD ＝180°﹣55°﹣55°＝70°，
1
故选：D．
9．按如图所示的运算程序，能使输出的结果为12的是（ ）A．x＝3，y＝3 B．x＝﹣4，y＝﹣2 C．x＝2，y＝4 D．x＝4，y＝2
【分析】根据运算程序，结合输出结果确定的值即可．
【解答】解：A、x＝3、y＝3时，输出结果为32+2×3＝15，不符合题意；
B、x＝﹣4、y＝﹣2时，输出结果为（﹣4）2﹣2×（﹣2）＝20，不符合题意；
C、x＝2、y＝4时，输出结果为22+2×4＝12，符合题意；
D、x＝4、y＝2时，输出结果为42+2×2＝20，不符合题意；
故选：C．
10．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝35°，则∠2等于（
）
A．35° B．45° C．55° D．65°
【分析】根据平行线的性质，可得∠2＝∠3，又根据互为余角的定义，可得∠1+∠3＝
90°，解答出即可．
【解答】解：如图，∵∠1+∠3＝90°，∠1＝35°，
∴∠3＝90°﹣∠1＝90°﹣35°＝55°，
又∵直尺的两边平行，
∴∠2＝∠3，
∴∠2＝55°．
故选：C．二．填空题（共4小题）
11．﹣ x3y的系数是 ﹣ ，次数是 4 ．
【分析】单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫
做单项式的次数．据此解答即可．
【解答】解：单项式﹣ x3y的系数是﹣ ，次数是4．
故答案为：﹣ ，4．
12．在“手拉手活动”中，小明为捐助某贫困山区的一名同学，现已存款 300元，他计划
今后每月存款20元，n月后存款总数是 （ 300+2 0 n ） 元（用含n的代数式表示）．
【分析】首先表示他n月共存款是20n元，则n月后存款总数是（300+20n）元．
【解答】解：由题意可知，n月后存款总数是（300+20n）元．
故答案为：（300+20n）．
13．已知∠ ＝27°25'，则∠ 的补角为 152°3 5 ′ ．
【分析】α根据互为补角的α定义进行计算即可．
【解答】解：∠ 的补角＝180°﹣27°25′＝179°60′﹣27°25′＝152°35′，
故答案为：152°3α5′．
14．若“★”是新规定的某种运算符号，设a★b＝ab+a﹣b，则2★n＝﹣8，则n＝ ﹣ 1 0
．
【分析】已知等式利用题中的新定义化简，求出解即可得到n的值．
【解答】解：利用题中的新定义化简得：2n+2﹣n＝﹣8，
移项合并得：n＝﹣10，
故答案为：﹣10
三．解答题（共7小题）
15．计算下列各题：
（1）13﹣（﹣ ）+7﹣|﹣ |；（2）﹣14+9×（﹣ ）2+23．
【分析】（1）根据有理数的加减法即可解答本题；
（2）根据有理数的乘方、有理数的乘法和加法可以解答本题．
【解答】解：（1）13﹣（﹣ ）+7﹣|﹣ |
＝13+ +7﹣
＝（13+7）+（ ）
＝20+0
＝20；
（2）﹣14+9×（﹣ ）2+23
＝﹣1+9× +8
＝﹣1+1+8
＝8．
16．解下列方程：
（1）解方程：2（x﹣2）＝8﹣3（4x﹣1）；
（2）解方程：x﹣ ＝2﹣ ．
【分析】（1）去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解是多少即可．
（2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解是多少即可．
【解答】解：（1）去括号，可得：2x﹣4＝8﹣12x+3，
移项，可得：2x+12x＝8+3+4，
合并同类项，可得：14x＝15，
系数化为1，可得：x＝ ．
（2）去分母，可得：6x﹣3（x﹣1）＝12﹣2（x+2），
去括号，可得：6x﹣3x+3＝12﹣2x﹣4，
移项，可得：6x﹣3x+2x＝12﹣4﹣3，
合并同类项，可得：5x＝5，系数化为1，可得：x＝1．
17．先化简，再求值：2（ab﹣3a2）+[5a2﹣（3ab﹣a2）]，其中a＝ ，b＝1．
【分析】原式去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝2ab﹣6a2+5a2﹣3ab+a2
＝﹣ab，
当a＝ ，b＝1时，
原式＝﹣ ×1＝﹣ ．
18．如图是由一些棱长都为1cm的小正方体组合成的简单几何体．
（1）该几何体的主视图如图所示，请在下面方格纸中分别画出它的左视图和俯视图；
（2）如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持俯视图和左视图不变，最多可
以再添加 6 块小正方体．
【分析】（1）左视图有2列，每列小正方数形数目分别为3，1，俯视图有4列，每列
小正方形数目分别为2，1，1，1．据此可画出图形．
（2）持俯视图和左视图不变，可以在第1列后面一排添加2个，第3列添加2个，第4
列添加2个，最多添加6个小正方体．
【解答】解：（1）如图所示：
；
（2）保持俯视图和左视图不变，最多可以再添加6块小正方体，
故答案为：6．
19．为弘扬中华传统文化，某校组织八年级 800名学生参加汉字听写大赛为了解学生整体听写能力，从中抽取部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计分析，
得到如下所示的模数分布表：
分数段 50.5﹣60.5 60.5﹣70.5 70.5﹣80.5 80.5﹣90.5 90.5﹣100.5
频数 16 30 50 m 24
所占百分比 8% 15% 25% 40% n
请根据尚未完成的表格，解答下列问题：
（1）本次抽样调查的样本容量为 20 0 ，表中m＝ 8 0 ，n ＝ 12% ；
（2）补全图中所示的频数分布直方图；
（3）若成绩超过80分为优秀，则该校八年级学生中汉字听写能力优秀的约有多少人？
【分析】（1）根据第一组的频数是16，频率是0.08，即可求得总数，即样本容量；
（2）根据（1）的计算结果即可作出直方图；
（3）利用总数800乘以优秀的所占的频率即可．
【解答】解：（1）样本容量是：16÷0.08＝200；
样本中成绩的中位数落在第四组；
m＝200×0.40＝80，
n＝ ＝0.12＝12%，
故答案为：200、80、＝12%；
（2）补全频数分布直方图，如下：（3）800×（0.4+0.12）＝416（人）．
答：该校八年级学生中汉字听写能力优秀的约有416人．
20．完成下面推理过程．在括号内的横线上填空或填上推理依据．
如图，已知：AB∥EF，EP⊥EQ，∠EQC+∠APE＝90°，求证：AB∥ CD
证明：∵AB∥EF
∴∠APE＝ ∠ PEF （ 两直线平行，内错角相等 ）
∵EP⊥EQ
∴∠PEQ＝ 90 ° （ 垂直的定义 ）
即∠QEF+∠PEF＝90°
∴∠APE+∠QEF＝90°
∵∠EQC+∠APE＝90°
∴∠EQC＝ ∠ QEF
∴EF∥ CD （ 内错角相等，两直线平行 ）
∴AB∥CD（ 平行公理 ）
【分析】根据平行线的性质得到∠APE＝∠PEF，根据余角的性质得到∠EQC＝∠QEF
根据平行线的判定定理即可得到结论．
【解答】证明：∵AB∥EF∴∠APE＝∠PEF（两直线平行，内错角相等）
∵EP⊥EQ
∴∠PEQ＝90°（垂直的定义）
即∠QEF+∠PEF＝90°
∴∠APE+∠QEF＝90°
∵∠EQC+∠APE＝90°
∴∠EQC＝∠QEF
∴EF∥CD（内错角相等，两直线平行）
∴AB∥CD（平行公理），
故答案为：∠PEF，两直线平行，内错角相等，90°，∠QEF，内错角相等，两直线平行，
CD，平行公理．
21．某公司招聘外卖送餐员，送餐员的月工资由底薪 1000元加上外卖送单补贴（送一次外
卖称为一单）构成，外卖送单补贴的具体方案如下：
外卖送单数量 补贴（元/单）
每月不超过500单 6
超过500单但不超过m单的部分（700≤m≤900） 8
超过m单的部分 10
（1）若某“外卖小哥”4月份送餐400单，则他这个月的工资总额为多少元？
（2）设5月份某“外卖小哥”送餐x单（x＞500），所得工资为y元，求y与x的函数
关系式．
（3）若某“外卖小哥”5月份送餐800单，所得工资为6500元，求m的值．
【分析】（1）根据题意和表格中的数据可以求得若某“外卖小哥”4月份送餐400单，
他这个月的工资总额；
（2）根据题意和表格中的数据可以写出各段y与x的函数解析式；
（3）将x＝800，y＝6500代入两个解析式就可解得m的值．
【解答】解：（1）工资总额＝1000+400×6＝3400元
（2）当500＜x≤m，y＝1000+500×6+8（x﹣500）＝8x
当x＞m，y＝1000+500×6+8（m﹣500）+10（x﹣m）＝10x﹣2m
（3）当500＜x≤m 时，则x＝800，y最多＝6400元，不合题意舍去
当x＞m时，6500＝10×800﹣2m
解得：m＝750答：m的值为750
B卷
22．若（m+1）x|m|﹣3＝0是关于x的一元一次方程，则方程的解为 x ＝ ．
【分析】根据一元一次方程的定义即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：|m|＝1，
∴m＝±1，
∵m+1≠0，
∴m＝1，
∴原方程化为：2x﹣3＝0，
∴x＝ ，
故答案为：x＝ ．
23．若x、y为有理数，且（5﹣x）2+|y+5|＝0，则（ ）2021＝ ﹣ 1 ．
【分析】直接利用非负数的性质得出x，y的值，进而利用有理数的乘方运算法则计算
得出答案．
【解答】解：∵（5﹣x）2+|y+5|＝0，
∴5﹣x＝0，y+5＝0，
解得：x＝5，y＝﹣5，
则（ ）2021＝（﹣1）2021＝﹣1．
故答案为：﹣1．
24．如图是一个正方体的展开图，A＝x2，B＝2x2+1，C＝2x﹣2，D＝2x+1，且相对两个面
所表示的整式的和都相等，则E+F＝ 2 x + 3 ．
【分析】根据正方体表面展开图的特征判断出相对的面，再根据相对两个面所表示的整
式的和都相等，进而求出E+F的结果．
【解答】解：由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，标注“A”与“D”的面是相对的，
标注“B”与“F”的面是相对的，
标注“C”与“E”的面是相对的，
又因为相对两个面所表示的整式的和都相等，
所以A+D＝B+F＝C+E，
所以E+F＝2（A+D）﹣B﹣C＝2x2+4x+2﹣（2x2+1）﹣（2x﹣2）
＝2x2+4x+2﹣2x2﹣1﹣2x+2
＝2x+3，
故答案为：2x+3．
25．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|c﹣a|+|c﹣b|﹣|a+b|＝ ﹣ 2 a ﹣ 2 b + 2 c
．
【分析】由数轴可知：a＜0＜c＜b＜﹣a，再根据有理数的运算法则，求出绝对值里的
代数式的正负性，最后根据绝对值的性质化简．
【解答】解：由数轴得a＜0＜c＜b＜﹣a，
∴c﹣a＞0，c﹣b＜0，a+b＜0．
∴|c﹣a|﹣|c﹣b|+|a+b|＝c﹣a+c﹣b﹣a﹣b＝﹣2a﹣2b+2c．
故答案为：﹣2a﹣2b+2c．
26．如图，有一根木棒MN放置在数轴上，它的两端M、N分别落在点A、B处．将木棒在
数轴上水平移动，当MN的中点移动到点B时，点N所对应的数为17.5，当MN的右三
等分点移动到点A时，点M所对应的数为4.5，则木棒MN的长度为 6 ．
【分析】设木棒MN长为xcm，根据“有一根木棒MN放置在数轴上，它的两端M、N
分别落在点A、B．将木棒在数轴上水平移动，当点M当MN的中点移动到点B时，点
N所对应的数为17.5，当MN的右三等分点移动到点A时，点M所对应的数为4.5”，
结合数轴，得到关于x的一元一次方程，解之即可．
【解答】解：设木棒MN长为xcm，根据题意得：
x+x+（1﹣ ）x＝17.5﹣4.5，解得：x＝6．
故答案为：6．
27．我们可以用符号f（a）表示代数式，当a为正数时，我们规定：如果a为偶数，f（a）
＝0.5a，如果a为奇数，f（a）＝5a+1．例如f（20）＝10，f （5）＝26．设a ＝6，a
1 2
＝f（a ），a ＝f（a ），…，依此规律进行下去，得到一列数a 、a 、a 、…、a （n为
1 3 2 1 2 3 n
正整数），则a ＝ 16 ；计算2a ﹣a +a ﹣a +a ﹣a +…+a ﹣a +a ﹣a ＝
2019 1 2 3 4 5 6 2017 2018 2019 2020
17 ．
【分析】根据题意，可以写出这列数的前几项，即可发现数字的变化特点，从而可以求
得a 的值，然后再计算2a ﹣a +a ﹣a +a ﹣a +…+a ﹣a +a ﹣a 即可．
2019 1 2 3 4 5 6 2017 2018 2019 2020
【解答】解：由题意可得，
a ＝6，
1
a ＝f（a ）＝0.5×6＝3，
2 1
a ＝f（a ）＝5×3+1＝16，
3 2
a ＝f（a ）＝8，
4 3
a ＝f（a ）＝4，
5 4
a ＝f（a ）＝2，
6 5
a ＝f（a ）＝1，
7 6
a ＝f（a ）＝6，
8 7
…，
由上可得，上述数列依次以6，3，16，8，4，2，1循环出现，
∵2019÷7＝288…3，
∴a ＝16，
2019
∵2020÷14＝144…4，
∴2a ﹣a +a ﹣a +a ﹣a +…+a ﹣a +a ﹣a
1 2 3 4 5 6 2017 2018 2019 2020
＝a +（a ﹣a +a ﹣a +a ﹣a +a ）﹣（a ﹣a +a ﹣a +a ﹣a +a ）…+（a ﹣
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2017
a +a ﹣a ）
2018 2019 2020
＝6+0+0+…+0+（6﹣3+16﹣8）
＝6+0+11
＝17，
故答案为：16，17．
二．解答题（共3小题）28．（1）若代数式（2x2+ax﹣y+6）﹣（2bx2﹣3x+5y﹣1）的值与字母x的取值无关，试求
a2﹣2ab﹣b2的值．
（2）已知关于x方程4x+2m＝3x+1和方程3x+2m＝6x+1的解相同，试求（﹣2m）2021﹣
（m﹣ ）2020的值．
【分析】（1）先化简（2x2+ax﹣y+6）﹣（2bx2﹣3x+5y﹣1）得（2﹣2b）x2+（a+3）x
﹣6y+7，根据题意知a＝﹣3、b＝1，再将其代入a2﹣2ab﹣b2；
（2）分别求出两个方程的解，然后根据解相同，列出关于 m的方程，求出m的值，再
将m的值代入（﹣2m）2021﹣（m﹣ ）2020，计算即可求解．
【解答】解：（1）（2x2+ax﹣y+6）﹣（2bx2﹣3x+5y﹣1）
＝2x2+ax﹣y+6﹣2bx2+3x﹣5y+1
＝（2﹣2b）x2+（a+3）x﹣6y+7，
根据题意知2﹣2b＝0且a+3＝0，
解得：a＝﹣3、b＝1，
a2﹣2ab﹣b2
＝（﹣3）2﹣2×（﹣3）×1﹣12
＝9+6﹣1
＝14；
（2）解方程4x+2m＝3x+1得：x＝1﹣2m，
解方程3x+2m＝6x+1得：x＝ ，
则 ＝1﹣2m，
解得：m＝ ，
所以（﹣2m）2021﹣（m﹣ ）2020
＝（﹣2× ）2021﹣（ ﹣ ）2020
＝﹣1﹣1
＝﹣2．29．今有三位好伙伴，小学就读于同一个班级．初中的第一个寒假到了，某天就读于不同
中学的他们聚在一起，谈起数学，都兴奋不已，彼此抛出了一个数学问题．
甲的问题是：（ + + +…+ + ）的值为多少？
乙的问题是：如图1，将长方形纸片的一角折叠，使顶点A落在F处，折痕为BC，作
∠FBD的角平分线BE，将∠FBD沿BF折叠使BE，BD均落在∠FBC的内部，且BE交
CF于点M，BD交CF于N．若BN平分∠CBM，则∠ABC的度数为多少？
丙的问题是：如图2，线段AB表示一根对折的绳子，点P在AB上且AP＝ PB．若在
P处将绳子剪断，所得三段绳子的最大值为8cm，则整条绳子剪断前的长度为多少？
如果用a表示甲的问题中的值；用b表示乙的问题中∠ABC的度数，用c表示丙的问题
中绳子长度的厘米数．
同学，你能超越他们，迅速算出a、b、c并将它们用“＞”连接起来吗？（要写求解过
程）
【分析】甲的问题：拆项分解解决问题即可．
乙的问题：如图1中，设∠DBE＝┐EBF＝x．构建方程求出x，即可解决问题．
丙的问题：由题意2PB＝8，求出AB的长即可解决问题．
【解答】解：甲的问题：∵（ + + +…+ + ）
＝ [（1﹣ ）+（ ﹣ ）+（ ﹣ ）+…+（ ﹣ ）＝ （1﹣ ）＝
．
∴a＝ ．
乙的问题：如图1中，设∠DBE＝∠EBF＝x．∵∠FBD′是由∠FBD沿BF翻折得到，
∴∠MBF＝∠MBN＝x，
∵BN平分∠CBM，
∴∠CBN＝∠MBN＝x，
∴∠CBF＝3x，
∵△CBF是由△CBA翻折得到，
∴∠ABC＝∠CBF＝3x，
∵∠ABF+∠FBD＝180°，
∴8x＝180°，
∴x＝22.5°，
∴∠ABC＝3x＝67.5°，
∴b＝67.5．
丙的问题：由题意2PB＝8cm，
∴PB＝4（cm），
∵PA＝ PB＝2（cm），
∴AB＝AP+PB＝6（cm），
∴整条绳子剪断前的长度为12cm，
∴c＝12，
∴b＞c＞a．
30．如果两个角的差的绝对值等于60°，就称这两个角互为“伙伴角”，其中一个角叫做
另一个角的“伙伴角”（本题所有的角都指大于0°小于180°的角），例如∠1＝80°，
∠2＝20°，|∠1﹣∠2|＝60°，则∠1和∠2互为“伙伴角”，即∠1是∠2的“伙伴角”，
∠2也是∠1的“伙伴角”．
（1）如图1，O为直线AB上一点，∠AOC＝∠EOD＝90°，∠AOE＝60°，则∠AOE的
“伙伴角”是 ∠ EOB ；（2）如图2，O为直线AB上一点，∠AOC＝30°，将∠BOC绕着点O以每秒1°的速度
逆时针旋转得∠DOE，同时射线OP从射线OA的位置出发绕点O以每秒4°的速度逆时
针旋转，当射线OP与射线OB重合时旋转同时停止，若设旋转时间为t秒，求当t为何
值时，∠POD与∠POE互为“伙伴角”；
（3）如图3，∠AOB＝160°，射线OI从OA的位置出发绕点O顺时针以每秒6°的速度
旋转，旋转时间为t秒（0＜t＜ ），射线OM平分∠AOI，射线ON平分∠BOI，射
线OP平分∠MON，问：是否存在t的值使得∠AOI与∠POI互为“伙伴角”？若存在，
求出t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据“伙伴角”的概念，设未知数求出∠AOE的伙伴角度数，再根据度
数找对应角即可；
（2）根据角度之间旋转的关系用t表示出∠POD与∠POE的度数，再根据“伙伴角”
概念分情况讨论，求解即可；
【解答】解：（1）∵∠AOC＝∠EOD＝90°，∠AOE＝60°；
∴∠EOC＝30°，∠COD＝60°，∠DOB＝30°；
设∠AOE的“伙伴角”为x，
则|x﹣60°|＝60°；
∴x＝120°或x＝0°（不符合范围，舍去）；
∵图中只有∠EOB＝120°；
故∠AOE的“伙伴角”为∠EOB．
（2）180°÷4°＝45秒；
所以OP从A到B需要45秒；
则运动最长时间是45秒．
当D在∠AOC之间运动时；
①∠BOE＝t，∠AOP＝4t，∠AOC＝30°；
∴∠BOC＝∠EOD＝150°，∠COD＝t（方向转角）；
∴∠AOD＝30°﹣t；∠POD＝4t+30°﹣t＝30°+3t；
∠POE＝180°﹣∠AOP+∠BOE
＝180°﹣4t+t
＝180°﹣3t；
由题得|∠POE﹣∠POD|＝60°；
∴|180°﹣3t﹣（30°+3t）|＝60°；
即150°﹣6t＝60°或150°﹣6t＝﹣60°；
∴t ＝15s或t ＝35s；
1 2
由于此时D在∠AOC之间运动；
∴t＜30；
∴t＝15s；
当D在OA下方运动时；
②则∠AOP＝4t，∠BOE＝∠COD＝t；
∴∠AOD＝t﹣30°；
∴∠POD＝4t﹣（t﹣30°）＝3t+30°
∠POE＝（180°﹣4t）+t＝180°﹣3t；
则|180°﹣3t﹣（3t+30°）|＝60°；
此时t＞30；
∴t＝35s（15s舍去）；
综上所述：t＝15s或35s．
（3）如图所示：
当OI在OB上方时；
①∠AOI＝6t；∠BOI＝160°﹣6t；OM、ON分别平分∠AOI，∠BOI；
则∠MOI＝∠AOM＝3t；∠BON＝∠NOI＝80°﹣3t；
则∠MON＝80°；
∵OP平分∠MON；
∴∠MOP＝∠NOP＝40°；
若∠MOI＞∠MOP，则t＞ ，
此时如P′位置（如图）；
则∠P′OI＝3t﹣40°；
则为“伙伴角”的有∠AOI﹣∠P′OI＝60°；
∴6t﹣（40°﹣3t）＝60°；
t＝ （舍去）；
若∠MOI＜∠MOP；则t＜ ；
此时如P″位置；
则∠P″OI＝40°﹣3t＜40°；
若存在“伙伴角”，则
∠AOI﹣∠P′OI＝60°；则∠AOI﹣∠P″OI＝60°；
即6t﹣（40°﹣3t）＝60°；∴t＝ （符合题意）；
当OI在OB下方，且∠AOI为钝角时；
②则∠AOI＝6t＜180°；
∴t＜30°；
∠BOI＝160°﹣6t；
6t＞∠AOB＝160°；
∴t＞ ；
∠ION＝∠BON＝ ∠BOI＝3t﹣80°；
∠AOM＝∠MOI＝ ∠AOI＝3t；
∠MON＝∠MOI﹣∠NOI＝80°；
∠MOP＝∠NOP＝ ∠MON＝40°；
若∠NOB＜∠NOP；
即3t﹣80°＜40°；
∴t＜40°；
又∵t＜30°；
∴3t﹣80°只能小于40°；
即∠NOB＜∠NOP；
则∠POI＝∠PON+∠NOI＝40°+3t﹣80°＝3t﹣40°；
则∠AOI﹣∠POI＝6t﹣（3t﹣40°）＝60°
∴t＝ s＜ （舍去）；
当OI越AO反向延长线到左侧时，
③∠AOI＝360°﹣6t（取0°～180°之间的角）；
此时6t＞180°，
∴t＞30s
∠AOM＝∠MOI＝ ∠AOI＝180°﹣3t；
∠BOI＝6t﹣160°；
∠NOI＝∠BON＝ ∠BOI＝3t﹣80°；
则∠MON＝∠MOI+∠ION
＝180°﹣3t+3t﹣80°
＝100°；
∴∠MOP＝∠PON＝50°；
∵30s＜t＜ s；
∴3t﹣80°＜90°；
若∠NOI＞∠NOP，则3t﹣80°＞50°，t＞ s；
则如P′位置，
即∠P′OI＝∠NOI﹣∠NOP′＝3t﹣80°﹣50°＝3t﹣130°；
则t＝ s（符合题意）；
若∠NOI＜∠NOP，则30＜t＜ s；
则∠P″OI＝130°﹣3t；即∠AOI﹣∠P″OI＝360°﹣6t﹣（130°﹣3t）＝60°；
则t＝ s（舍去）；
综上所述：t＝ s或 s．
