文档内容
2021-2022学年四川省成都市简阳市八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项
符合题目要求）
1．（3分）16的算术平方根是（ ）
A．±4 B．±2 C．4 D．﹣4
2．（3分）下列实数中的无理数是（ ）
A．0 B．
C． D．1.01010101…
3．（3π分）若点P（2，﹣3），则点P关于原点的对称点的坐标是（ ）
A．（2，3） B．（﹣2，﹣3） C．（﹣2，3） D．（2，﹣3）
4．（3分）下列给出的四组数中，能构成直角三角形三边的一组是（ ）
A．3，4，5 B．5，12，14 C．6，8，9 D．8，13，15
5．（3分）下列等式成立的是（ ）
A．3+4 ＝7 B． ＝ C． ÷ ＝2 D． ＝3
6．（3分）下列命题是真命题的是（ ）
A．如果两个角是内错角，那么它们一定相等
B．如果两个角是同位角，那么它们一定相等
C．如果两个角是同旁内角，那么它们一定互补
D．如果两个角是对顶角，那么它们一定相等
7．（3分）一次函数y＝7x﹣6的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．（3分）已知点（﹣2，y ），（3，y ）都在直线y＝﹣x﹣5上，则y ，y 的值的大小关系是（ ）
1 2 1 2
A．y ＜y B．y ＞y C．y ＝y D．不能确定
1 2 1 2 1 2
9．（3分）下表记录了甲、乙、丙、丁四名射击运动员最近几次选拔赛成绩的平均数和方差：
甲 乙 丙 丁
平均数（环） 9.5 9.5 9.5 9.5
方差 8.5 7.3 8.8 7.7
根据表中数据，要从中选择一名成绩发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
第1页（共33页）10．（3分）如图，一次函数y＝2x和y＝ax+4的图象相交于点A（m，3），则关于x，y的方程组
的解为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）
11．（4分）实数2﹣ 的倒数是 ．
12．（4分）已知一次函数的图象经过点（0，5），且与直线y＝x平行，则一次函数的表达式为
．
13．（4分）《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊
各直金几何？”
译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问每头牛、每只羊各
值金多少两？”
设每头牛值金x两，每只羊值金y两，可列方程组为 ．
14．（4分）如图，正方形ABCD的边长为1，其面积标记为S ，以AB为斜边向外作等腰直角三
1
角形，再以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S ，…按照
2
此规律继续下去，则S 的值为 ．
7
三、解答题（本大题共6个小题，满分54分）
第2页（共33页）15．（8分）计算．
（1） +（ ）﹣2﹣（ ﹣1）0；
（2）（2+ ）（2﹣ ）+ ﹣3 ．
16．（10分）解方程：
（1）解方程组： ；
（2）解方程组： ．
17．（8分）已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣1，4），B（﹣3，4），C（﹣5，2）．
（1）请在坐标平面内画出△ABC；
（2）请在y轴上找一点P，使线段AP与BP的和最小，并直接写出P点坐标（保留作图痕
迹）．
18．（8分）为了解学生每天回家完成作业时间情况，某中学对学生每天回家完成作业时间进
行抽样调查，并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，根据图示，请回答下列问题：
（1）被抽样调查的学生有 人，并补全条形统计图；
（2）每天回家完成作业时间的中位数是 （小时），众数是 （小时）；
（3）该校共有2000名学生，请估计该校每天回家完成作业时间超过2小时的学生有多少
人？
第3页（共33页）19．（10分）如图，已知直线l 经过点A（5，0），B（1，4），与直线l ：y＝2x﹣4交于点C，且直线
1 2
l 交x轴于点D．
2
（1）求直线l 的函数表达式；
1
（2）求直线l 与直线l 交点C的坐标；
1 2
（3）求△ADC的面积．
20．（10分）已知，△ABC和△DCE都是等边三角形，点B，C，E三点不在一条直线上（如图
1）．
（1）求证：BD＝AE；
（2）若∠ADC＝30°，AD＝4，CD＝5，求BD的长；
（3）若点B，C，E三点在一条直线上（如图2），且△ABC和△DCE的边长分别为3和5，求
AD的长．
第4页（共33页）四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
21．（4分）若 +（y﹣1）2＝0，则（x+y）2021等于 ．
22．（4分）若关于x，y的二元一次方程组 的解也是二元一次方程x+0.6y＝36的
解，则k的值为 ．
23．（4分）若一个直角三角形的三边长分别为x，12，13，则x＝ ．
24．（4分）如图，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D是AB中点，在
△ABC外取一点E，使DE＝AD，连接DE，AE，BE，CE．若CE＝ ﹣ ，∠ABE＝30°，
则AE的长为 ．
25．（4分）正方形A B C O，A B C C ，A BC C ，…按如图所示的方式放置．点A ，A ，A ，…
1 1 1 2 2 2 1 3 3 2 1 2 3
和点C ，C ，C ，…分别在直线y＝kx+b（k＞0）和y轴上，已知点B（1，1），B（2，3），则点
1 2 3 1 2
B 的坐标是 ，点B 的坐标是 ．
3 n
五、解答题（本大题共3个小题，共30分。其中26题8分，27题10分，28题12分）
第5页（共33页）26．（8分）某校准备组织八年级280名学生和5名老师参加研学活动，已知用1辆小客车和2
辆大客车每次可运送120人；用3辆小客车和1辆大客车每次可运送135人．
（1）每辆小客车和每辆大客车各能坐多少人？
（2）若学校计划租用小客车m辆，大客车n辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满．
①请你设计出所有的租车方案；
②若小客车每辆需租金6000元，大客车每辆需租金7500元，总租金为W元，写出W与m
的关系式，根据关系式选出最省钱的租车方案，并求出最少租金．
27．（10分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为AC边上一动点，且不与点A、点
C重合，连接BD并延长，在BD延长线上取一点E，使AE＝AB，连接CE．
（1）若∠AED＝20°，则∠DEC＝ 度；
（2）若∠AED＝ ，试探索∠AED与∠AEC有怎样的数量关系？并证明你的猜想；
（3）如图2，延长EαC到点H，连接BH，使BH2+CH2＝2AE2，连接AH与BE交于F，试探究
BE与FH的关系．
28．（12分）如图，已知直线y＝x﹣2分别与x轴，y轴交于A，B两点，直线OG：y＝kx（k＜0）
交AB于点D．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）如图1，点E是线段OB的中点，连接AE，点F是射线OG上一点，当OG⊥AE，且OF
＝AE时，
①求EF的长；
②在x轴上找一点P，使PE+PD的值最小，求出P点坐标．
（3）如图2，若k＝﹣ ，过B点BC∥OG，交x轴于点C，此时在坐标平面内是否存在点
M，使△BCM是以BC为腰的等腰直角三角形，若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，
第6页（共33页）请说明理由．
第7页（共33页）2021-2022学年四川省成都市简阳市八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项
符合题目要求）
1．（3分）16的算术平方根是（ ）
A．±4 B．±2 C．4 D．﹣4
【分析】根据算术平方根的含义和求法，求出16的算术平方根是多少即可．
【解答】解： ＝4，
∴16的算术平方根是4．
故选：C．
【点评】此题主要考查了算术平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明
确：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．求一个非负数的算术平方根
与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻
找．
2．（3分）下列实数中的无理数是（ ）
A．0 B．
C． D．1.01010101…
【分析π 】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，
有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是
无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：A、0是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
B、 ，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
C、 是无理数，故本选项符合题意；
D、π1.01010101…是循环小数，属于有理数，故本选项不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循
环小数为无理数．如 ， ，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
3．（3分）若点P（2，π﹣3），则点P关于原点的对称点的坐标是（ ）
A．（2，3） B．（﹣2，﹣3） C．（﹣2，3） D．（2，﹣3）
第8页（共33页）【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．
【解答】解：点P（2，﹣3），则点P关于原点的对称点的坐标是（﹣2，3），
故选：C．
【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握：点P（x，y）关于原点
O的对称点是P′（﹣x，﹣y）．
4．（3分）下列给出的四组数中，能构成直角三角形三边的一组是（ ）
A．3，4，5 B．5，12，14 C．6，8，9 D．8，13，15
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这
个三角形是直角三角形判定则可．
【解答】解：A、42+32＝52，能构成直角三角形，故此选项符合题意；
B、52+122≠142，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、62+82≠92，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
D、82+122≠152，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给
边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，
进而作出判断．
5．（3分）下列等式成立的是（ ）
A．3+4 ＝7 B． ＝ C． ÷ ＝2 D． ＝3
【分析】根据二次根式的加、乘、除法法则及二次根式的性质逐一判断即可得．
【解答】解：A．3与4 不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误；
B． × ＝ ，此选项计算错误；
C． ÷ ＝ × ＝3 ，此选项计算错误；
D． ＝3，此选项计算正确；
故选：D．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的加、乘、除法法
则及二次根式的性质．
6．（3分）下列命题是真命题的是（ ）
A．如果两个角是内错角，那么它们一定相等
第9页（共33页）B．如果两个角是同位角，那么它们一定相等
C．如果两个角是同旁内角，那么它们一定互补
D．如果两个角是对顶角，那么它们一定相等
【分析】根据平行线的性质和对顶角判断即可．
【解答】解：A、两直线平行，如果两个角是内错角，那么它们一定相等，原命题是假命题；
B、两直线平行，如果两个角是同位角，那么它们一定相等，原命题是假命题；
C、两直线平行，如果两个角是同旁内角，那么它们一定互补，原命题是假命题；
D、如果两个角是对顶角，那么它们一定相等，是真命题；
故选：D．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判
断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
7．（3分）一次函数y＝7x﹣6的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据题目中的函数解析式和一次函数的性质，可以得到该函数图象不经过哪个象
限．
【解答】解：∵一次函数y＝7x﹣6，k＝7，b＝﹣6，
∴该函数经过第一、三、四象限，不经过第二象限，
故选：B．
【点评】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解
答．
8．（3分）已知点（﹣2，y ），（3，y ）都在直线y＝﹣x﹣5上，则y ，y 的值的大小关系是（ ）
1 2 1 2
A．y ＜y B．y ＞y C．y ＝y D．不能确定
1 2 1 2 1 2
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出y ，y 的值，比较后即可得出结论（利用
1 2
一次函数的性质，确定y ，y 的值的大小亦可）．
1 2
【解答】解：当x＝﹣2时，y ＝﹣1×（﹣2）﹣5＝﹣3，
1
当x＝3时，y ＝﹣1×3﹣5＝﹣8．
2
∵﹣3＞﹣8，
∴y ＞y ．
1 2
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，利用一次函数图象上点的坐标特征，
求出y ，y 的值是解题的关键．
1 2
第10页（共33页）9．（3分）下表记录了甲、乙、丙、丁四名射击运动员最近几次选拔赛成绩的平均数和方差：
甲 乙 丙 丁
平均数（环） 9.5 9.5 9.5 9.5
方差 8.5 7.3 8.8 7.7
根据表中数据，要从中选择一名成绩发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】根据方差的意义求解即可．
【解答】解：∵四人的平均数相等，而乙的方差最小，
∴选择乙参加比赛，
故选：B．
【点评】本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均
值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
10．（3分）如图，一次函数y＝2x和y＝ax+4的图象相交于点A（m，3），则关于x，y的方程组
的解为（ ）
A． B． C． D．
【分析】把A坐标代入y＝2x求出m的值，确定出A坐标，即可求出方程组的解．
【解答】解：把A（m，3）代入y＝2x得：3＝2m，
解得：m＝ ，
∴A（ ，3），
则关于x，y的方程组 的解为 ．
故选：A．
第11页（共33页）【点评】此题考查了一次函数与二元一次方程（组），熟练掌握运算法则是解本题的关键．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）
11．（4分）实数2﹣ 的倒数是 2+ ．
【分析】利用倒数的定义，以及分母有理化性质计算即可．
【解答】解：实数2﹣ 的倒数是 ＝ ＝2+ ．
故答案为：2+ ．
【点评】此题考查了分母有理化，以及倒数，熟练找到有理化因式也是解本题的关键．
12．（4分）已知一次函数的图象经过点（0，5），且与直线y＝x平行，则一次函数的表达式为
y ＝ x +5 ．
【分析】根据两直线平行的条件可知k＝1，再把（0，5）代入y＝x+b中，可求b，进而可得一
次函数解析式．
【解答】解：设一次函数的表达式为y＝kx+b，
∵y＝kx+b与直线y＝x平行，
∴y＝x+b，
把（0，5）代入y＝x+b中，得b＝5，
∴一次函数解析式是y＝x+5，
故答案为y＝x+5．
【点评】本题考查了两条直线平行的问题，解题的关键是知道两条直线平行的条件是k相
等．
13．（4分）《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊
各直金几何？”
译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问每头牛、每只羊各
值金多少两？”
设每头牛值金x两，每只羊值金y两，可列方程组为 ．
【分析】根据“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两”，得到等量关
系，即可列出方程组．
【解答】解：根据题意得： ．
故答案为： ．
第12页（共33页）【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解决本题的关键是找到题目中所
存在的等量关系．
14．（4分）如图，正方形ABCD的边长为1，其面积标记为S ，以AB为斜边向外作等腰直角三
1
角形，再以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S ，…按照
2
此规律继续下去，则S 的值为 ．
7
【分析】根据题意求出S ＝（ ）1，S ＝（ ）2，S ＝（ ）3，…，根据规律解答．
2 3 4
【解答】解：由题意得：S ＝12＝1，S ＝（1× ）2＝（ ）1，S ＝（ ）2＝ ＝（ ）
1 2 3
2，S ＝（ ）2＝ ＝（ ）3，…，
4
则S ＝（ ）n﹣1，
n
∴S ＝（ ）6＝ ．
7
故答案为： ．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理以及规律型中数的变化规律，解题
的关键是找出规律“S ＝（ ）n﹣1”．
n
三、解答题（本大题共6个小题，满分54分）
15．（8分）计算．
（1） +（ ）﹣2﹣（ ﹣1）0；
第13页（共33页）（2）（2+ ）（2﹣ ）+ ﹣3 ．
【分析】（1）根据立方根、负整数指数幂、零指数幂的性质进行计算即可；
（2）利用平方差公式，实数的运算法则进行计算即可．
【解答】解：（1）原式＝2+4﹣1＝5；
（2）原式＝4﹣3+2 ﹣ ＝1+ ．
【点评】本题考查平方差公式，立方根、负整数指数幂、零指数幂的性质，实数的运算，掌握
相应的计算法则和运算性质是正确计算的前提．
16．（10分）解方程：
（1）解方程组： ；
（2）解方程组： ．
【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；
（2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：（1） ，
①+②×3得：10x＝50，
解得：x＝5，
把x＝5代入②得：10+y＝13，
解得：y＝3，
则方程组的解为 ；
（2）方程组整理得： ，
①﹣②得：4y＝24，
解得：y＝6，
把y＝6代入①得：3x﹣6＝4，
解得：x＝ ，
则方程组的解为 ．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与
第14页（共33页）加减消元法．
17．（8分）已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣1，4），B（﹣3，4），C（﹣5，2）．
（1）请在坐标平面内画出△ABC；
（2）请在y轴上找一点P，使线段AP与BP的和最小，并直接写出P点坐标（保留作图痕
迹）．
【分析】（1）根据A（﹣1，4），B（﹣3，4），C（﹣5，2）．即可在坐标平面内画出△ABC；
（2）作点A关于y轴的对称点A′，即可找到点P，根据两点之间，线段最短可得线段AP
与BP的和最小，进而可得P点坐标．
【解答】解：（1）如图，△ABC即为所求；
（2）如图，点P即为所求，
P点坐标为（0，4）．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，坐标与图形性质，解决本题的关键是根据题意准确
画出图形．
第15页（共33页）18．（8分）为了解学生每天回家完成作业时间情况，某中学对学生每天回家完成作业时间进
行抽样调查，并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，根据图示，请回答下列问题：
（1）被抽样调查的学生有 8 0 人，并补全条形统计图；
（2）每天回家完成作业时间的中位数是 2 （小时），众数是 2 （小时）；
（3）该校共有2000名学生，请估计该校每天回家完成作业时间超过2小时的学生有多少
人？
【分析】（1）由两个统计图可知，完成作业在“1小时”的有24人，中调查人数的30%，可
求出调查人数；求出完成作业时间在“2小时”的人数即可补全条形统计图；
（2）根据中位数、众数的意义求解即可；
（3）求出完成作业时间超过2小时的学生中总人数的百分比，即可求出相应的人数．
【解答】解：（1）24÷30%＝80（人），
完成时间在“3小时以上”的所占的百分比为4÷80＝5%，
完成时间在“2小时”的所占的百分比为1﹣5%﹣30%﹣15%＝50%，
完成时间在“2小时”的人数为80×50%＝40（人），补全条形统计图如图所示：
第16页（共33页）（2）这80名学生完成作业时间出现次数最多的是“2小时”，共出现40次，因此众数是2
小时，
将这80名学生完成作业时间从小到大排列后处在中间位置的两个数都是2小时，因此中
位数是2小时，
故答案为：2，2；
（3）2000×（15%+5%）＝400（人），
答：该校2000名学生中每天回家完成作业时间超过2小时的有400人．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图，理解两个统计图中的数量和数量关系是解决
问题的关键．
19．（10分）如图，已知直线l 经过点A（5，0），B（1，4），与直线l ：y＝2x﹣4交于点C，且直线
1 2
l 交x轴于点D．
2
（1）求直线l 的函数表达式；
1
（2）求直线l 与直线l 交点C的坐标；
1 2
（3）求△ADC的面积．
【分析】（1）根据点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出直线AB的解析式；
（2）解析式联立成方程组，解方程组即可可求出点C的坐标；
（3）先求得D的坐标，再利用三角形的面积公式即可求出△ACD的面积．
【解答】解：（1）设直线l 的函数表达式为y＝kx+b，
1
将A（5，0），B（1，4）代入y＝kx+b，得： ，
解得： ，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+5．
第17页（共33页）（2）解 得 ，
∴点C的坐标为（3，2）；
（3）在y＝2x﹣4中，令y＝0，则2x﹣4＝0，解得：x＝2，
∴点D的坐标为（2，0）．
∴AD＝5﹣2＝3，
∴S△ACD ＝ ×3×2＝3．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及三
角形的面积，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数的解析式；
（2）利用一次函数图象上点的坐标特征，求出点C的坐标；（3）利用三角形面积求得
△ADC的面积．
20．（10分）已知，△ABC和△DCE都是等边三角形，点B，C，E三点不在一条直线上（如图
1）．
（1）求证：BD＝AE；
（2）若∠ADC＝30°，AD＝4，CD＝5，求BD的长；
（3）若点B，C，E三点在一条直线上（如图2），且△ABC和△DCE的边长分别为3和5，求
AD的长．
【分析】（1）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可；
（2）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可；
（3）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可．
【解答】证明：（1）∵△ABC和△DCE是等边三角形，
第18页（共33页）∴BC＝AC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ABC+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，
即∠BCD＝∠ACE，
在△BCD与△ACE中，
，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴BD＝AE；
（2）∵△DCE等式等边三角形，
∴∠CDE＝60°，CD＝DE＝5，
∵∠ADC＝30°，
∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝30°+60°＝90°，
在Rt△ADE中，AD＝4，DE＝5，
∴ ，
∴BD＝ ；
（3）如图2，过A作AH⊥CD于H，
∵点B，C，E三点在一条直线上，
∴∠BCA+∠ACD+∠DCE＝180°，
第19页（共33页）∵△ABC和△DCE都是等边三角形，
∴∠BCA＝∠DCE＝60°，
∴∠ACD＝60°，
∴∠CAH＝30°，
在Rt△ACH中，CH＝ AC＝ ，AH＝ CH＝ ，
∴DH＝CD﹣CH＝5﹣ ，
在Rt△ADH中，AD＝ ．
【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据等边三角形的性质、全等三角形
的判定和性质解答．
四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
21．（4分）若 +（y﹣1）2＝0，则（x+y）2021等于 ﹣ 1 ．
【分析】利用非负数的性质求出x与y的值，代入原式计算即可求出值．
【解答】解：∵ +（y﹣1）2＝0，
∴x+2＝0，y﹣1＝0，
解得：x＝﹣2，y＝1，
则原式＝（﹣2+1）2021＝（﹣1）2021＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】此题考查了非负数的性质：算术平方根，以及偶次方，熟练掌握各自的性质是解本
题的关键．
22．（4分）若关于x，y的二元一次方程组 的解也是二元一次方程x+0.6y＝36的
解，则k的值为 ．
【分析】用加减消元法解二元一次方程组得x＝k，y＝2k，再将解代入方程x+0.6y＝36，即
可求k的值．
【解答】解： ，
①×2，得4x+2y＝8k③，
③﹣②，得x＝k，
第20页（共33页）将x＝k代入①得y＝2k，
∵二元一次方程组的解也是二元一次方程x+0.6y＝36的解，
∴k+1.2k＝36，
∴k＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握加减消元法和代入消元法解二元一次方
程组是解题的关键．
23．（4分）若一个直角三角形的三边长分别为x，12，13，则x＝ 5 或 ．
【分析】由于此题中直角三角形的斜边不能确定，故应分5是直角三角形的斜边和直角边
两种情况讨论．
【解答】解：∵这个直角三角形的三边长分别为x，12，13，
∴①当13是此直角三角形的斜边时，由勾股定理得到：x＝ ；
②当12，13是此直角三角形的直角边时，由勾股定理得到：x＝ ．
故选：5或 ．
【点评】本题考查的是勾股定理，解答此题时要注意要分类讨论，不要漏解．
24．（4分）如图，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D是AB中点，在
△ABC外取一点E，使DE＝AD，连接DE，AE，BE，CE．若CE＝ ﹣ ，∠ABE＝30°，
则AE的长为 2 ．
【分析】过点C作CF⊥CE交BE于F，设AC交BE于J，根据点D是AB中点，DE＝AD，
可证∠AEB＝90°，从而可证△CAE≌△CBF（ASA），即得CE＝CF，AE＝BF，由∠ECF＝
90°，得EF＝ CE＝2 ﹣2，设AE＝BF＝x，则BE＝x+2 ﹣2，在Rt△AEB中，BE＝
AE，有x+2 ﹣2＝ x，即可解得答案．
【解答】解：过点C作CF⊥CE交BE于F，设AC交BE于J，如图：
第21页（共33页）∵点D是AB中点，
∴AD＝DB，
∵DE＝AD，
∴DE＝DA＝DA，
∴∠DBE＝∠DEB，∠DEA＝∠DAE，
∵∠ABE+∠AEB+∠BAE＝180°，
∴2∠DEA+2∠DEB＝180°，
∴∠DEA+∠DEB＝90°，
∴∠AEB＝90°，
∵∠ACB＝∠ECF＝90°，
∴∠ACE＝∠BCF，
∵∠AEJ＝∠BCJ＝90°，∠AJE＝∠BJC，
∴∠CAE＝∠CBF，
∵CB＝CA，
∴△CAE≌△CBF（ASA），
∴CE＝CF，AE＝BF，
∵∠ECF＝90°，
∴EF＝ CE＝2 ﹣2，
设AE＝BF＝x，则BE＝x+2 ﹣2，
在Rt△AEB中，
∵∠ABE＝30°，∠AEB＝90°，
∴AE＝ AB＝2，BE＝ AE，
∴x+2 ﹣2＝ x，
解得：x＝2．
故答案为：2．
第22页（共33页）【点评】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三
角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，题目有一定
难度．
25．（4分）正方形A B C O，A B C C ，A BC C ，…按如图所示的方式放置．点A ，A ，A ，…
1 1 1 2 2 2 1 3 3 2 1 2 3
和点C ，C ，C ，…分别在直线y＝kx+b（k＞0）和y轴上，已知点B（1，1），B（2，3），则点
1 2 3 1 2
B 的坐标是 （ 4 ， 7 ） ，点B 的坐标是 （ 2 n ﹣ 1 ， 2 n ﹣ 1 ） ．
3 n
【分析】先由点B（1，1）得到点A 的坐标，然后由B（2，3）得到A 的坐标，进而得到直线
1 1 2 2
的解析式，再令y＝3求得点A 的坐标，从而求得点B 的坐标，•••，再依次求得点B 的坐
3 3 n
标．
【解答】解：∵点B （1，1），B （2，3），
1 2
∴点A （1，0），A （2，1），
1 2
将点A （1，0），A （2，1）代入y＝kx+b得，
1 2
，解得： ，
∴直线的解析式为y＝x﹣1，
令y＝3得，x﹣1＝3，
∴x＝4，
∴点A 的坐标为（4，3），
3
∴A B ＝4，
3 3
∴B 的坐标为（4，7），
3
令y＝7得，x﹣1＝7，
∴x＝8，
∴点A 的坐标为（8，7），
4
∴A B ＝8，
4 4
第23页（共33页）∴B 的坐标为（8，15），•••，
4
∴点B 的坐标为（2n﹣1，2n﹣1），
n
故答案为：（4，7），（2n﹣1，2n﹣1）．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质，解题的关键是通过一
次函数图象上点的坐标特征求得系列点B的坐标．
五、解答题（本大题共3个小题，共30分。其中26题8分，27题10分，28题12分）
26．（8分）某校准备组织八年级280名学生和5名老师参加研学活动，已知用1辆小客车和2
辆大客车每次可运送120人；用3辆小客车和1辆大客车每次可运送135人．
（1）每辆小客车和每辆大客车各能坐多少人？
（2）若学校计划租用小客车m辆，大客车n辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满．
①请你设计出所有的租车方案；
②若小客车每辆需租金6000元，大客车每辆需租金7500元，总租金为W元，写出W与m
的关系式，根据关系式选出最省钱的租车方案，并求出最少租金．
【分析】（1）每辆小客车能坐m人，每辆大客车能坐n人，根据“用1辆小客车和2，辆大
客车每次可运送120人；用3辆小客车和1辆大客车每次可运送135人”列出方程组，再
解即可；
（2）①根据题意可得小客车a辆运的人数+大客车b辆运的人数＝280+5，然后求出整数
解即可；
②根据题意求出W与m的关系式，再根据一次函数的性质解答即可．
【解答】解：（1）设每辆小客车能坐m人，每辆大客车能坐n人，根据题意，得：
，
解得： ，
答：每辆小客车能坐30人，每辆大客车能坐45人；
（2）①根据题意，得30m+45n＝280+5，
解得： 或 或 ，
∴租车方案有三种：
方案一：小客车8车、大客车1辆，
方案二：小客车5辆，大客车3辆，
方案三：小客车2辆，大客车5辆；
第24页（共33页）②根据题意，得W＝6000m+7500× ＝1000m+47500，
∵1000＞0，
∴W随m的增大而增大，
∴当m＝2时，W有最小值为：49500．
答：租用小客车2辆，大客车5辆时费用最小，最小费用为49500元．
【点评】此题主要考查了一次函数的应用以及二元一次方程（组）的应用，关键是正确理解
题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
27．（10分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为AC边上一动点，且不与点A、点
C重合，连接BD并延长，在BD延长线上取一点E，使AE＝AB，连接CE．
（1）若∠AED＝20°，则∠DEC＝ 4 5 度；
（2）若∠AED＝ ，试探索∠AED与∠AEC有怎样的数量关系？并证明你的猜想；
（3）如图2，延长EαC到点H，连接BH，使BH2+CH2＝2AE2，连接AH与BE交于F，试探究
BE与FH的关系．
【分析】（1）由等腰三角形的性质可求∠BAE＝140°，可得∠CAE＝50°，由等腰三角形的
性质可得∠AEC＝∠ACE＝65°，即可求解；
（2）由等腰三角形的性质可求∠BAE＝180°﹣2 ，可得∠CAE＝90°﹣2 ，由等腰三角形的
性质可得∠AEC＝∠ACE＝45°+ ，可得结论；α α
（3）由条件得出∠BHF＝90°，进而α 得出BH＝EH，再结合AB＝AE，得出AH垂直平分BE，
进一步得出结论．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，AE＝AB，
∴AB＝AC＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB，∠ACE＝∠AEC，
第25页（共33页）∵∠AED＝20°，
∴∠ABE＝∠AED＝20°，
∴∠BAE＝140°，且∠BAC＝90°
∴∠CAE＝50°，
∵∠CAE+∠ACE+∠AEC＝180°，且∠ACE＝∠AEC，
∴∠AEC＝∠ACE＝65°，
∴∠DEC＝∠AEC﹣∠AED＝45°，
故答案为：45；
（2）猜想：∠AEC﹣∠AED＝45°，
理由如下：∵∠AED＝∠ABE＝ ，
∴∠BAE＝180°﹣2 ， α
∴∠CAE＝∠BAE﹣α∠BAC＝90°﹣2 ，
∵∠CAE+∠ACE+∠AEC＝180°，且α∠ACE＝∠AEC，
∴∠AEC＝45°+ ，
∴∠AEC﹣∠AEαD＝45°；
（3）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴BC2＝AB2+AC2＝2AB2，
∵AE＝AB，BH2+CH2＝2AE2，
∴BH2+CH2＝2AB2＝BC2，
∴∠BHC＝90°，
由（2）得：∠DEC＝45°，
∴∠HBE＝45°，
∴BH＝EH，
∵AB＝AE，
∴AH垂直平分BE，
∴BE⊥FH，BE＝2FH．
【点评】本题考查等腰三角形性质，勾股定理逆定理，线段垂直平分线判定等知识，解决问
题的关键熟练掌握等腰三角形和勾股定理逆定理等相关知识．
28．（12分）如图，已知直线y＝x﹣2分别与x轴，y轴交于A，B两点，直线OG：y＝kx（k＜0）
交AB于点D．
（1）求A，B两点的坐标；
第26页（共33页）（2）如图1，点E是线段OB的中点，连接AE，点F是射线OG上一点，当OG⊥AE，且OF
＝AE时，
①求EF的长；
②在x轴上找一点P，使PE+PD的值最小，求出P点坐标．
（3）如图2，若k＝﹣ ，过B点BC∥OG，交x轴于点C，此时在坐标平面内是否存在点
M，使△BCM是以BC为腰的等腰直角三角形，若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，
请说明理由．
【分析】（1）令x＝0，求B点坐标，令y＝0，求A点坐标；
（2）①过F点作FW⊥y轴交于点W，证明△AOE≌△OWF（AAS），即可求F点坐标，从而
可求EF；
②作E点关于x轴的对称点E'，连接E'D交x轴于点P，当E'、D、P三点共线时，PE+PD
的值最小，再由F（1，﹣2）在直线OG上，求出GO的直线解析式y＝﹣2x，联立 ，
则可求D（ ，﹣ ），再求直线E'D的解析式为y＝﹣ x+1，即可求P（ ，0）；
（3）由题意可知BC的直线解析式为y＝﹣ x﹣2，求出C（﹣ ，0），设M（x，y），分四种
情况讨论：①以B为直角顶点时，BC＝BM，过点B作y轴的垂线，过C、M分别作x轴的
垂线，两垂线交于点P、Q，由△BCP≌△MBQ（AAS），求M点的坐标；②以C为直角顶点
时，BC＝CM，过点C作x轴的垂线，过B、M分别作y轴的垂线，两垂线交于点R、S，由
△BCS≌△CMR（AAS），求M点的坐标；③以B为直角顶点时，过点M作MK⊥y轴交于
第27页（共33页）点K，△BCO≌△MBK（AAS），求得M（﹣2，﹣ ）；④以C为直角顶点时，过点M作
ML⊥x轴交于点L，△LMC≌△OCB（AAS），求得M（﹣ ，﹣ ）．
【解答】解：（1）令x＝0，则y＝﹣2，
∴B（0，﹣2），
令y＝0，则x＝2，
∴A（2，0）；
（2）①∵点E是线段OB的中点，
∴E（0，﹣1），
如图，过F点作FW⊥y轴交于点W，
∵OG⊥AE，
∴∠AOF+∠OAE＝90°，
∵∠AOE+∠EOF＝90°，
∴∠OAF＝∠EOF，
∵OF＝AE，
∴△AOE≌△OWF（AAS）
∴OE＝FW＝1，OA＝OW＝2，
∴F（1，﹣2），
∴EF＝ ；
②如图，作E点关于x轴的对称点E'，连接E'D交x轴于点P，
∴EP＝E'P，
∴PE+PD＝PE'+PD≥E'D，
当E'、D、P三点共线时，PE+PD的值最小，
∵E（0，﹣1），
∴E'（0，1），
∵F（1，﹣2）在直线OG上，
∴k＝﹣2，
∴y＝﹣2x，
联立 ，
第28页（共33页）∴x＝ ，
∴D（ ，﹣ ），
设直线E'D的解析式为y＝k'x+b，
∴ ，
∴ ，
∴y＝﹣ x+1，
令y＝0，则x＝ ，
∴P（ ，0）；
（3）存在，理由如下
∵k＝﹣ ，
∴y＝﹣ x，
∵BC∥OG，
∴BC的直线解析式为y＝﹣ x﹣2，
令y＝0，则x＝﹣ ，
∴C（﹣ ，0），
设M（x，y），
①如图1，以B为直角顶点时，BC＝BM，
过点B作y轴的垂线，过C、M分别作x轴的垂线，两垂线交于点P、Q，
∵∠CBM＝90°，
∴∠CBP+∠QBM＝90°，
∵∠CBP+∠BCP＝90°，
第29页（共33页）∴∠QBM＝∠BCP，
∵BC＝BM，
∴△BCP≌△MBQ（AAS），
∴CP＝BQ，PB＝MQ，
∴CP＝2＝x，BP＝ ＝2+y，
∴M（2，﹣ ）；
②如图2，以C为直角顶点时，BC＝CM，
过点C作x轴的垂线，过B、M分别作y轴的垂线，两垂线交于点R、S，
∵∠BCM＝90°，
∴∠RCM+∠SCB＝90°，
∵∠RCM+∠RMC＝90°，
∴∠SCB＝∠RMC，
∵BC＝CM，
∴△BCS≌△CMR（AAS），
∴CS＝RM，SB＝RC，
∴y＝ ，2＝x+ ，
∴x＝ ，
∴M（ ， ）；
③如图3，以B为直角顶点时，过点M作MK⊥y轴交于点K，
∴∠CBO+∠MBK＝90°，
∵∠CBO+∠BCO＝90°，
∴∠MBK＝∠BCO，
∵BC＝BM，
∴△BCO≌△MBK（AAS），
∴CO＝BK，BO＝MK，
∵CO＝ ，BO＝2，
第30页（共33页）∴BK＝ ，KM＝2，
∴M（﹣2，﹣ ）；
④如图4，以C为直角顶点时，过点M作ML⊥x轴交于点L，
∴∠LCM+∠BCO＝90°，
∵∠LCM+∠LMC＝90°，
∵∠LCM+∠BCO＝90°，
∴∠BCO＝∠LMC，
∵MC＝BC，
∴△LMC≌△OCB（AAS），
∴LC＝BO，LM＝CO，
∵BO＝2，CO＝ ，
∴LC＝2，LM＝ ，
∴M（﹣ ，﹣ ）；
综上所述，M点坐标为（2，﹣ ）或（ ， ）或（﹣2，﹣ ）或（﹣ ，﹣ ）．
第31页（共33页）第32页（共33页）【点评】本题是一次函数的综合题，熟练掌握一次函数的图象及性质，轴对称求最短距离
的方法，等腰直角三角形的性质，数形结合，分类讨论是解题的关键．
第33页（共33页）
