文档内容
2022-2023 学年四川省成都市郫都区八年级（上）期末数学
试卷
一、选择题（本题共8小题，共32分）
1. 下列各数中，为无理数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据无理数的定义，逐项判断即可得出答案．
【详解】解：A、 是有理数，故不符合题意；
B、 是有理数，故不符合题意；
C、 是无理数，故符合题意；
D、 是有理数，故不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了无理数，解本题的关键在熟练掌握无理数的定义及常见的无理数（含
的数、开方开不尽的数、无限不循环小数）．
2. 下列各组线段中，能够组成直角三角形的是（ ）
A. ， ， B. ， ， C. ， ， D. ，
，
【答案】D
【解析】
【分析】利用勾股定理逆定理，逐一进行判断即可．
【详解】 ， ，
，
以 ， ， 为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、 ， ，
，
以 ， ， 为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、 ， ，
，
以 ， ， 为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；D、 ， ，
，
以 ， ， 为边能组成直角三角形，故本选符合题意；
故选： ．
【点睛】本题考查勾股定理逆定理．熟练掌握三角形两短边的平方和等于第三边的平方时
三角形是直角三角形，是解题的关键．
3. 下列运算正确 的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次根式的性质及运算法则，即可一一判定．
【详解】A． ，故本选项不符合题意；
B. ，故本选项符合题意；
C. ，故本选项不符合题意；
D. ，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的性质及运算，熟练掌握和运用二次根式的性质及运算法则
是解决本题的关键．
4. 如图，在平面直角坐标系 中有一点被墨迹遮挡了，这个点的坐标可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据象限内点的坐标特征，对选项一一进行分析，即可得出答案．
【详解】解：由图可知，这个点在第二象限，
在第一象限，故A不符合题意；
在第二象限，
故B符合题意；
在第三象限，
故C不符合题意；
在第四象限，
故D不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了象限内点的坐标特征，熟练掌握象限内点的坐标特征是解本题的关键
象限内点的坐标特征：第一象限（正，正），第二象限（负，正），第三象限（负，负）
第四象限（正，负）．
5. 已知正比例函数 ，其中 的值随 的值增大而减小，则 的取值范围是（
）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据正比例函数中 的值随 的值增大而减小，可知比例系数 ，由此
即可求解．
【详解】解： 正比例函数 ，其中 的值随 的值增大而减小，
，
，
故选： ．
【点睛】本题主要考查正比例函数图形的性质，理解正比例函数图形的增减性是解题的关
键．
6. 下列命题是假命题的是（ ）
A. 全等三角形的面积相等
B. 两直线平行，同位角相等
C. 如果两个角相等，那么它们是对顶角
D. 如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等
【答案】C
【解析】
【分析】根据全等三角形的性质、平行线的性质、对顶角的定义及等腰三角形的性质进行
判断即可．
【详解】 、全等三角形的面积相等，是真命题，不符合题意；B、两直线平行，同位角相等，是真命题，不符合题意；
C、两个角相等，它们不一定是对顶角，故本选项说法是假命题，符合题意；
D、如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等，是真命题，不符合
题意；
故选：C．
【点睛】本题考查命题的真假判断，熟练掌握基础知识，正确判断出真假命题是解题的关
键．
7. 某中学青年志愿者协会的10名志愿者，一周的社区志愿服务时间如下表所示：
时间/h 2 3 4 5 6
人数 1 3 2 3 1
关于志愿者服务时间的描述正确的是（ ）
A. 众数是6 B. 平均数是4 C. 中位数是3 D. 方差是
1
【答案】B
【解析】
【分析】根据中位数，众数，平均数和方差的定义，逐一判断选项即可．
【详解】解：∵志愿者服务时间为3小时的人数为3个人，志愿者服务时间为5小时的人
数为3个人，
∴志愿者服务时间的众数为3和5，故A错误；
∵ ，
∴平均数是4，故B正确；
∵时间从小到大排序，第5、6个数都是4，
∴中位数为4，故C错误；
∵ ，
∴方差为1.4，故D错误，
故选B．
【点睛】本题主要考查中位数，众数，平均数和方差的定义，熟练掌握上述定义和计算方
法是解题的关键．
8. 《九章算术》卷八方程第十题原文为：“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱
五十，乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带
了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的 ，那
么乙也共有钱50．问：甲、乙两人各带了多少钱？设甲、乙两人持钱的数量分别为x，y，
则可列方程组为（ ）A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设甲需持钱x，乙持钱y，根据题意可得，甲的钱+乙所有钱的一半=50，乙的钱
+甲所有钱的 =50，据此列方程组可得．
【详解】解：设甲需持钱x，乙持钱y，
根据题意得
，
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设
出未知数，找出合适的等量关系，列出方程组．
二、填空题（本题共10小题，共40分）
9. 实数－ 的立方根是_____
【答案】
【解析】
【分析】直接根据立方根的定义求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴实数－ 的立方根是 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了立方根的定义，立方根的定义，熟练掌握定义是解答本题的关键．如
果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x就叫做a的立方根；如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么x叫做a的算术平方根．
10. 如图，图中所有四边形都是正方形，三角形是直角三角形，若正方形 ， 的面积分
别为 ， ，则正方形 的面积是___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据正方形的面积与边长的关系，可知 ，则 由此即可
求解．
【详解】解：根据勾股定理的几何意义，可知 ，
∴
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查勾股定理，理解并掌握勾股定理的意义是解题的关键．
11. 将直线 向上平移1个单位长度，平移后直线的表达式为_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据一次函数图象上下移动时解析式的变化规律求解即可．
【详解】将直线 向上平移1个单位，得到的直线的解析式为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变化，熟练掌握一次函数图象平移时，解析式的
变化规律是解题的关键．
12. 如图，在 中， ， ， 平分外角 ，则
的度数为________．
【答案】 ## 度【解析】
【 分 析 】 根 据 ， 得 出 ， 根 据 三 角 形 外 角 的 性 质 得 出
，根据角平分线的性质得出 ，即可得
出 ．
【详解】 ，
，
，
，
平分外角 ，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，角平分线的定义，掌握以上
知识是解题的关键．
13. 如图，直线 与直线 相交于点 ，则关于 、 的方程组
的解是___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据两条直线的交点的意义，结合图形即可求解．
【详解】解： 直线 与直线 相交于点 ，方程组 的解是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查一次函数图像的交点和方程组的解，理解两条直线的交点坐标的意
义，结合图像分析是解题的关键．
14. 比较大小 _______ ．
【答案】＜
【解析】
【分析】分母相同时，比较分子，通过估算 的大小，得到 ，从而求解．
【详解】解：∵
∴
∴
故答案为：＜．
【点睛】本题考查无理数的估算和实数的大小比较，正确进行估算是本题的解题关键．
15. 若关于 ， 的二元一次方程组 的解也是二元一次方程 的解，
则 的值为___________．
【答案】2
【解析】
【分析】先求出方程组的解，将解代入二元一次方程 中，进行求解即可
【详解】解： ，
，得 ，
解得： ，
把 代入 ，得 ，
解得： ，
所以方程组的解是 ，关于 ， 的二元一次方程组 的解也是二元一次方程 的解，
，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查根据方程组的解的情况，求参数的值．正确求出方程组的解，是解题的
关键．
16. 如图，圆柱形玻璃杯高为 ，底面周长为 ，在杯内壁离杯上沿 的点 处
粘有一粒面包渣，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯底 与面包渣相对的点 处，则蚂
蚁从外壁 处到内壁 处的最短距离为_________ （杯壁厚度不计）．
【答案】25
【解析】
【分析】将杯子侧面展开，作 关于 的对称点 ，连接 ，利用勾股定理进行求解
即可．
【详解】解：如图将杯子侧面展开，作 关于 的对称点 ，
则： ，
∴当 三点共线时， 的值最小．
由题意，得： ， ， ，
连接 ，则 即为最短距离，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查轴对称，勾股定理的应用．解题的关键是将立体图形展开为平面图形，
利用轴对称的性质，解决线段和最小问题．
17. 如图，四边形 的对角线 垂直平分 于点 ，点 为 边上一点，且， ， ， ，则 的长度为____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得 ，再由勾股定理可得 的长，
再由 ，可得 ，从而得到 ，进而得到 的长，
再由勾股定理求出 ，然后根据勾股定理逆定理可得 ，再求出 ，然后
根据勾股定理，即可求解．
【详解】解： 垂直平分 ，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
在 中， ， ，
，
是直角三角形，
，
， ，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理及其逆定理，二次根式的化简
熟练掌握线段垂直平分线的性质，勾股定理及其逆定理是解题的关键．
18. 对于平面直角坐标系 中的点 与图形 ， 给出如下定义：点 到图形 上的
各点的最小距离为 ，点 到图形 上各点的最小距离为 ，当 时，称点 为图
形 与图形 的“等长点”．如：点 ， ， 中，点 就是点 与
点 的“等长点”，已知点 ， ， ，连接 ，若点 既是点
与点 的“等长点”，也是线段 与线段 的“等长点”，则点 的坐标为
____________．
【答案】 或
【解析】
【分析】根据题意画出图形，根据线段的垂直平分线的性质，结合图形求解．
【详解】解：如下图：根据题意： 或 符合题意，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，数形结合思想是解题的关键．
三、解答题（本题共8小题，共78分）
19. （1）计算： ；
（2）解方程组： ．
【答案】（1） ；（2）方程组的解为
【解析】
【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则即可求解；
（2）根据解二元一次方程组的方法即可求解．
【详解】解：（1）
；
（2）解：方程 两边同时乘以 得， ，
∴原方程组变形得， ，
∴ 得， ，
∴ ，
把 代入 得， ，
∴ ，
∴原方程组的解为 ．
【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解二元一次方程组，掌握二次根式混合运算
法则和加减消元法是解题的关键．
20. 如图，在平面直角坐标系 中有 ， ， 三点的坐标分别为 ， ，
．
（1）在平面直角坐标系中描出 ， ， 三点，连接 ， ， ；
（2）求线段 的长；
（3）点 与点 关于直线 成轴对称，请在平面直角坐标系中画出直线 ．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据 三点的坐标描点，然后再连线即可；
（2）根据两点之间的距离公式计算即可；
（3）利用网格的特点，作直线 的垂直平分线即可．
【小问1详解】
解：如图，即为所求；【小问2详解】
解：∵ ， ，
∴ ；
【小问3详解】
解：如图，直线 即为所求．
【点睛】本题考查了点的坐标、作图—轴对称变换、两点之间的距离公式、网格的特点，
解本题的关键在正确作图，并熟练掌握网格的特点．
21. 某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、能力和态度三个方面对甲、乙、丙三
名应聘者进行子测试，测试成绩如表：
应聘者
项目
甲 乙 丙
学历 7 8 8
能力 7 8 9
态度 9 6 5
（1）如果将学历、能力和态度三项得分按 的比例确定录用人选，那么被录用的应聘
者是 ；
（2）根据实际需要，公司将学历、能力和态度三项得分按 的比例确定各人的测试
成绩，那么谁将被录用？并说明理由．（3）如果你是这家公司的招聘负责人，请按你认为的各项“重要程度”设计出三项得分比例，
以此为依据确定录用者，并简要叙述你这样设计比例的理由．
【答案】（1）甲 （2）丙将被录用，理由见解析
（3）将学历、能力和态度三项得分按 的比例确定各人的测试成绩，确定录用者，
理由：因为工作态度比学历更重要（答案不唯一）
【解析】
【分析】（1）求出各人的总分即可得出答案；
（2）根据加权平均数的定义列式计算得出三人的平均成绩，再比较大小即可得出答案；
（3）将学历、能力和态度三项得分按 的比例确定各人的测试成绩确定录用者即可．
【小问1详解】
解：甲的得分为 分 ，
乙的得分为 分 ，
丙的得分为 分 ，
，
即甲 乙 丙，
甲将被录用．
故答案为：甲；
【小问2详解】
解：丙将被录用，理由如下：
甲的平均分为 （分），
乙的平均分为 （分），
丙的平均分为 （分），
，
丙将被录用；
【小问3详解】
解：将学历、能力和态度三项得分按 的比例确定各人的测试成绩，确定录用者，因
为工作态度比学历更重要．
【点睛】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．
22. 如图，在平面直角坐标系 中，直线 ： 与 轴， 轴分别交于点A，
点 ，直线 ： 与 轴交于点 ，与直线 交于点 ，且点 的横坐标为 ．（1）求直线 的函数表达式；
（2）点 是 轴上的一个动点，过点 作 轴的垂线，与直线 交于点 ，与直线 交
于点 ，若 ，求线段 的长．
【答案】（1）直线 的函数表达式为
（2） 长是 或
的
【解析】
【分析】（1）先求出点D的坐标，再利用待定系数法求出直线 的函数表达式即可；
（2）设 的坐标是 ，先表示出 ，再求出 ，根据 求出a的值，
即可得到线段 的长．
【小问1详解】
∵点D的横坐标为 ，且 在 上，
的纵坐标是 ，
的坐标是 ，
在 上，
∴ ，
，
直线 的函数表达式为 ；
【小问2详解】
设 的坐标是 ，
的纵坐标是 ， 的纵坐标是 ，
∴ ，
当 时， ， ，∴点 ，点 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
或 ．
的长是 或 ．
【点睛】此题考查了一次函数综合题，用到了待定系数法、一次函数图象的交点问题等知
识，熟练掌握一次函数的相关知识是解题的关键．
23. 在长方形 中， ， ，点 是 边上的一点，将 沿 折
叠，点 的对应点为点 ，射线 与线段 交于点 ．
（1）如图 ，当 点和 点重合时，求证： ；
（2）如图 ，当点 正好落在矩形的对角线 上时，求 的长度；
（3）如图 ，连接 ， ，若 ，求 的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用矩形的性质，得到 ，进而得到 ，根据折叠的
性质，得到 ，从而得到 ，即可得证；
（2）利用矩形的性质，折叠的性质，易证 ， 是直角三角形，在
中利用勾股定理进行求解即可；
（3）作 于 ，交 于 ，易得四边形 是矩形，在 中，利用勾股定理求出 的长，进而求出 的长，再利用面积公式进行求解即可．
【小问1详解】
证明： 四边形 是矩形，
，
，
由折叠得： ，
，
；
【小问2详解】
解： 四边形 是矩形，
， ，
，
由折叠知： ， ， ，
， ，
，
，
，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得，
，
，
，
；
【小问3详解】
如图，作 于 ，交 于 ，，
，
，
四边形 是矩形，
，
四边形 是矩形，
， ， ，
在 中， ， ，
，
，
．
【点睛】本题考查矩形与折叠问题，同时考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理．熟
练掌握矩形的性质和折叠的性质，是解题的关键．
24. 某一蔬菜经营商从蔬菜批发市场批发了黄瓜和茄子共 千克到菜市场去卖，黄瓜和茄
子当天的批发价与零售价如表所示：
品名 黄瓜 茄子
批发价（元/千克）
零售价（元/千克）
（1）若批发黄瓜和茄子共花 元，则黄瓜和茄子各多少千克？
（2）设批发了黄瓜 千克，卖完这批黄瓜和茄子的利润是 元，求 与 的函数关系式．
【答案】（1）批发黄瓜 千克，批发茄子 千克
（2） 与 的函数关系式是
【解析】
【分析】（1）设批发黄瓜 千克，则批发茄子 千克，根据题意列一元一次方程求
解即可；
（2）根据利润=每千克利润×数量列函数关系式即可求解．
【小问1详解】
解：设批发黄瓜 千克，则批发茄子 千克，由题意可得： ，
解得 ，
（千克），
答：批发黄瓜 千克，批发茄子 千克；
【小问2详解】
解：由题意可得，
，
即 与 的函数关系式是 ．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用、一次函数的应用，理解题意找准等量关系，正确
列出方程和函数关系式是解答的关键．
25. 如图，在 中， ， ，点 为 中点，连接 ，点
在线段 上，连接 ，与 交于点 ，过点 作 的垂线，分别交 ， 于点
， ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求证： ；
（3）在（2）的条件下，若 ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1） ， ，点 为 中点，可得 ，
，根据角边角即可求证；
（2）如图所示，连接 ，可得 ， ，由
（1）的全等可证 是等腰三角形，由此可证 是等腰三角形，且
，由此即可求；
（3）由（2）可知 ， 是等腰三角形，可求出 ，由此即可
求解．
【小问1详解】证明： ， ， ，点 为 中点，，
∴ ， ， ，
∴ ，
，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中，
，
∴ ．
【小问2详解】
证明：如图所示，连接 ，
， ，
平分 ，
， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
， ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
，∴ ，
∴ ．
【小问3详解】
解： ，由（2）可知 ，且 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查等腰直角三角形，全等三角形，角平分线的综合，理解题意，掌握
等腰直角三角形的性质，全等三角形的判断和性质，角平分线的性质是解题的关键．
26. 在直角坐标系 中，直线 ： 与x轴、y轴分别交于点A，点B．直线 ：
与x轴，y轴分别交于点C，点D，直线 与 交于点E．
（1）若点E坐标为 ．
①求m的值；
②点P在直线 上，若 ，求点P的坐标；
（2）点F是线段 的中点，点G为y轴上一动点，是否存在点F使 为以 为
直角边的等腰直角三角形．若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）① ；②点P的坐标为 或（2）存在，
【解析】
【分析】（1）把点 E 的坐标代入 求出 ，再把点 E 的坐标代入
，即可求出m；当点P在 下方时，取 ，作直线 ，过点A
作 于点M，过点M作 轴于点N，则直线l和直线 的交点即为点P，
进而求解，当点P在 上方时，同理可解；
（2）证明 ，得到 即可求解．
【小问1详解】
解： 当 时， ，即点 ，
①
将点E的坐标代入 得： ，
解得： ；
解：由题意可知， 、 、 ，
， ，
则 ，
由A、E的坐标得： ，
设 底的边 上的高为h，
则 ，
解得： ，
由直线 的表达式知， ，则 ，
取 ，作直线 ，过点A作 于点M，过点M作 轴于点N，
则直线l和直线 的交点即为点P，
则 为等腰直角三角形，则 ，则点 ，
设直线l的表达式为： ，
将点M的坐标代入上式并解得： ，
则直线l的表达式为： ，
联立直线l和 并解得 ，
即点P的坐标为 ；
当点P在直线 上方时，同理可得：点 ，
综上，点P的坐标为： 或 ；
【小问2详解】
解：存在，理由如下：设点 ，则点 ，
过点F分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为点M、N，
为以 为直角边的等腰直角三角形，则 ， ，
， ，，
， ，
，
，
即 ，
解得： ，
则点 ，
将点E的坐标代入 并解得： ．
【点睛】本题考查一次函数的综合运用、等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质和判
定及面积的计算，分类讨论是解题的关键．
