文档内容
七中育才学校 2022—2023 学年度（上）学业诊断
八年级数学
A卷（100分）
第Ⅰ卷（选择题）
一．选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，
其中只有一项符合题目要求）
1. 的相反数是（ ）
A. － B. ± C. －5 D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，解答即可．
【详解】解： 的相反数是 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了相反数的定义，熟知定义是解题的关键．
2. 估计 的值在（ ）
A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7
之间
【答案】C
【解析】
【分析】根据25<32<36，则5< <6即可得解．
【详解】解：∵25<32<36，
∴5< <6．
故选：C．
【点睛】本题考查估算无理数，通常采用夹逼法求解．
3. 满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的是（ ）
A. B.
C. ，BC＝4，AC＝5 D. ∠A＝40°，∠B＝50°
【答案】A
【解析】
【分析】根据直角三角形的判定方法进行判断．
【详解】解：A、由题意可设∠A=3k，∠B=4k，∠C=5k，因为3k+4k=5k在k不为0时不会成
立，所以∠A+∠B=∠C=90°也不会成立，△ABC不是直角三角形，符合题意；
B、由题意可设AB=3t，BC=4t，CA=5t，因为 ，所以△ABC是直角三角
形，不符合题意；C、经过计算 ，所以△ABC是直角三角形，不符合题意；
D、因为∠A+∠B=90°，所以△ABC是直角三角形，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形的判定方法及勾股定理的逆用
是解题关键．
4. 如图，直线 与直线 相交于点 ，则方程组 的解是
（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由直线 求得的交点坐标，即可求出方程组的解即可．
【详解】解：∵ 经过 ，
∴ ，
∴ ，
∴直线 与直线 相交于点 ，
方程组 的解是 ，
故选：D．
【点睛】本题考查一次函数与二元一次方程组，解题关键是掌握一次函数与方程的关系，
掌握图象交点与方程组的解的关系．
5. 下列四个命题中，是真命题的是（ ）
A. 有理数与数轴上的点是一一对应的 B. 三角形的一个外角大于任何一个
内角
C. 两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 D. 平面内点 与点关于x轴对称
【答案】D
【解析】
【分析】直接根据数学常识分别判断即可．
【详解】A．实数与数轴上的点是一一对应的，故原命题为假命题；
B．三角形的一个外角大于任何与它不相邻的内角，故原命题为假命题；
C．两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故原命题为假命题；
D．平面内点 与点 关于x轴对称，故原命题为真命题；
故选D．
【点睛】此题考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断
命题的真假关键是要熟悉课本中的定义、性质定理及判定定理．
6. 如图是在 的小正方形组成的网格中，画的一张脸的示意图，如果用 和
表示眼睛，那么嘴的位置可以表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据左右眼睛的坐标画出直角坐标系，然后写出嘴的位置对应的点的坐标．
【详解】解：如图，建立平面直角坐标系：可知嘴的位置对应的点的坐标为 ．
故选D．
【点睛】本题考查用坐标确定位置，解题的关键是根据已知点的坐标建立平面直角坐标系．
7. 甲、乙、丙、丁四人进行射箭测试，每人测试 次，射箭成绩的平均数都是 环，方
差分别为 ， ， ， ，则射箭成绩最稳定的是
（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
【答案】B
【解析】
【分析】根据方差的意义先比较出甲、乙、丙、丁四人谁的方差最小，则谁的成绩最稳定．
【详解】解： ， ， ， ，
乙的方差最小，
射箭成绩最稳定的是：乙．
故选：B．
【点睛】此题考查了方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表
明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数
据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．在解题时要能根据
方差的意义和本题的实际，得出正确结论是本题的关键．
8. 下列图象中，是一次函数 其中 ， 的图象的是（ ）
A. B.C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据一次函数 中 ， 可得出函数图象经过的象限，进而可得出
结论．
【详解】解： 一次函数 中 ， ，
函数图象经过一三四象限，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查的是一次函数的图象，熟知一次函数的图象与系数的关系是解题的关键．
第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
9. 若 ，则 ________．
【答案】12
【解析】
【分析】根据二次根式和绝对值的非负性，两个非负数相加等于0，则它们分别为0可得
解得 即可求得 的值.
详解】由题意得
【
解得
∴
故答案为：12
【点睛】本题主要考查二次根式和绝对值得非负性，两个非负数相加等于0，则它们分别
为0，初中阶段常用三个非负式，二次根式、绝对值和偶次幂.
10. 在平面直角坐标系 中，点 在第四象限内，且点P到x轴的距离是 ，到 轴的
距离是 ，则点 的坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意点 到 轴 距的离是纵坐标，到 轴的距离是横坐标，再根据第四象限
点的特征，横坐标为正，纵坐标为负，即可求解．
【详解】解： 点 在第四象限，且点 到 轴的距离为 ，则纵坐标 ，到y轴的
距离是 ，则横坐标为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了求平面直角坐标系点的坐标，象限的分类，理解平面直角坐标系的概
念是解题的关键．
11. 如图，在 中， ， ， ，则 的度数为
____________．【答案】 ##45度
【解析】
【分析】利用三角形的内角和定理先求解 再利用平行四边形的性质证明
即可．
【详解】解： ， ，
∵ ，
故答案为：
【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，平行线的性质，证明 是
解本题的关键．
12. 《九章算术》中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高九尺，末折抵地，去本三尺，问折
者高几何？”意思是：现有竹子高9尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为3尺，问折处高
几尺？即：如图，AB＋AC＝9尺，BC＝3尺，则AC=_____尺．
【答案】4
【解析】
【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（9﹣
x）尺，利用勾股定理构造方程解方程即可．
【详解】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（9﹣x）尺，
根据勾股定理得：x2＋32＝（9﹣x）2
解得：x＝4，
答：折断处离地面的高度为4尺．
故答案为：4.【点睛】本题考查了勾股定理的应用，将实际问题转化为数学问题，依据勾股定理构造方
程是解题关键．
13. 如图，在 中， ，观察尺规作图的痕迹，若 ，则 的长
是______．
【答案】
【解析】
【分析】由已知条件可得 ，由作图知 于点E，再根据勾股定
理求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
由作图知 于点E，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查作图—基本作图，解题的关键是掌握过直线外一点作已知直线的垂
线的尺规作图及等腰三角形的性质、勾股定理．
三．解答题（本大题共5小题，共48分，解答过程写在答题卡上）
14. 计算：
（1）
（2） ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】 先计算负整数指数幂、零指数幂、算术平方根和绝对值，再计算加减法即可
得到结果．
先算乘除法，再将二次根式化为最简二次根式，最后算加减法即可得到结果．【小问1详解】
解：原式
．
【小问2详解】
解：原式
．
【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算、负整数指数幂、零指数幂，熟练掌握各运算
法则是解题关键．
15. 用适当的方法解下列方程组．
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）①式代入②求出 ，再把 代入①得 ，从而可得出方程组的解；
（2） 求出 ，再把 代入①得 ，从而可得出方程组的解
【小问1详解】
将①代入②， ，
解得， ，
把 代入①得， ，
∴原方程组的解为 ．
【小问2详解】，
，得， ，
解得， ．
将 代入①：
解得， ，
∴原方程组的解为 ．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，基本思想是“消元”，基本方法是“代入消
元法”和“加减消元法”
16. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，1），B（2，0），C（4，3）．
（1）在平面直角坐标系中画出△ABC，则△ABC的面积是 ；
（2）若点D与点C关于原点对称，则点D的坐标为 ；
（3）已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为4，求点P的坐标．
【答案】（1）画出的△ABC见解析，4；（2）（﹣4，﹣3）；（3）P点坐标为：（10，
0）或（﹣6，0）
【解析】
【分析】（1）描出A、B、C三点后再顺次连接即可画出△ABC，直接利用△ABC所在长
方形面积减去周围三角形面积即可求出△ABC的面积；
（2）根据关于原点对称的点的坐标特点：横纵坐标都互为相反数解答即可；
（3）利用三角形面积公式即可求出BP，进一步即可求出结果．
【详解】解：（1）△ABC如图所示，△ABC的面积=3×4﹣
；
故答案为：4；（2）点D与点C关于原点对称，则点D的坐标为：（﹣4，﹣3）；
故答案为：（﹣4，﹣3）；
（3）∵P为x轴上一点，△ABP的面积为4，
∴ ，∴BP＝8，
∴点P的横坐标为：2+8＝10或2﹣8＝﹣6，
故P点坐标为：（10，0）或（﹣6，0）．
【点睛】本题考查了坐标与图形、关于原点对称的点的坐标特征等知识，属于常考题型，
正确理解题意、熟练掌握平面坐标系的基本知识是解题关键．
17. 习近平总书记指出，“红色是中国共产党、中华人民共和国最鲜亮的底色”，要用好
红色资源，赓续红色血脉，为引导广大青少年相立正确的世界观、人生观、价值观，但承
红色基因，某校组织了一次以“赓续红色血脉·强国复兴有我”为主题的演讲比赛，比赛成
绩分为以下5个等级：A．100分、B．90分、C．80分、D．70分、E．60分，比赛结束
后随机抽取部分参赛选手的成绩，整理并绘制成如下统计图，请你根据统计图解答下列问
题：
（1）所抽取学生比赛成绩的众数是______分，中位数是______分；
（2）求所抽取学生比赛成绩的平均数；
（3）若参加此次比赛的学生共100名，且学校计划为比赛成绩进入A、B两个等级的学生
购买奖品，请估计学校共需要准备多少份奖品？
【答案】（1）80；80
（2）78 （3）25
【解析】【分析】（1）数据出现次数最多的是众数；数据按照大小排好顺序后，最中间的数据就是
中位数；
（2）利用平均数公式求解即可；
（3）用样本估算总体即可．
【小问1详解】
解：分析统计图中的数据可知，此次参加比赛成绩的众数是80分；中位数是80分；
故答案为：80；80．
【小问2详解】
解： （分），
答：所抽取学生比赛成绩的平均数为78分．
【小问3详解】
解： （份），
答：估计学校共需要准备25份奖品．
【点睛】本题考查了数据分析中的条形统计图、众数、中位数、加权平均数、利用样本估
算总体等知识，准确的分析条形统计图和正确的计算是解决本题的关键，用样本估算总体
是较为常见的考点．
18. 如图，直线 与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C在线段 上，将
沿 所在直线折叠后，点A恰好落在y轴上点D处，若 ， ．
（1）求直线 的解析式．
（2）求 的值．
（3）直线CD上是否存在点P使得 ，若存在，请直接写出P的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3） ，【解析】
【分析】（1）根据勾股定理可得 ，设 ，解方程求出点B的坐
标，进而求出直线 的解析式；
（2）设 ，根据勾股定理 可以求出 长，进而求出三角形的面
积比；
（3）分点P在第三象限内和第一象限内两种情况解题即可．
【小问1详解】
由题知 ，设 ，则 ．
在 中， ，
即： ，
，
∴ ，
又 ，
∴ ．
【小问2详解】
设 ，则 ，
由折叠性质知： ．
在 中： ，
∴ ，
∴ ．
∴ ，
∴ ， ，
∴ ．
【小问3详解】
， ，理由如下：
如图，当点P在第三象限内时，过C作 于M，过M作 轴， 轴
于E，F，则 , ，
又∵
∴
∴ ，
∵ 轴， 轴
∴ 为正方形
∴ ，
∴ )
∴直线 解析式为： ，
∵ 两点坐标为：
∴直线 解析式为： ，
联立解得： ，
∴
如图，当点P在第一象限内时，过C作 于M，过M作 轴， 轴
于E，F，
则 , ，
又∵
∴∴ ，
∵ 轴， 轴
∴ 为正方形
∴ ，
∴ )
∴直线 解析式为： ，
∵ 两点坐标为：
∴直线 解析式为： ，
联立解得： ，
∴
综上所述， 或
【点睛】本题考查一次函数的解析式，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键
是分清点所在象限，正确写出点的坐标．
B卷
一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
19. 如果 ，那么 的值是______．【答案】100
【解析】
【分析】先根据二次根式的非负性求出x的值，进而求出y的值，再代入 计算．
【详解】∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为100．
【点睛】本题考查了二次根式的非负性和代入求值，熟练掌握二次根式的非负性是解题的
关键．
20. 如图，在平面直角坐标系中， ， ，P是线段 上的一个动点，则
取得最小值时，点A关于 的对称点坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】利用勾股定理求出 ，然后根据等面积法求得 的最小值，求出直线 的
解析式，然后求出点P的坐标，根据中点坐标公式即可求出结果．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
当 时， 的值最小，
∴ ，
∴ ，
设直线 的解析式为： ，把 代入得：
，解得： ，
∴直线 的解析式为： ，
设点P的坐标为： ，
∴ ，
解得： ，
∴点P的坐标为： ，
设点点A关于 的对称点为 ，
∵ ，
∴点A关于 的对称点在直线 上，且点P为 的中点，
∴根据中点坐标公式可得，点 的坐标为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质，垂线段最短，勾股定理，根据题意得到“当
时， 的值最小”是解题的关键．
21. 若方程组 ，则 ______．
【答案】 ##0.6875
【解析】
【分析】把 当成已知数，求出方程组的解，再代入求出即可．
【详解】解：①+②×5，得： ，
解得： ，
把 代入 得： ，
解得： ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，能求出二元一次方程组的解是解此题的关键．
22. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知 ， ，点A的坐标为
，若直线 沿x轴平移m个单位后与 仍有公共点，则m的取
值范围是______．
【答案】 ##
【解析】
【分析】根据题意画出图形，求出点B的坐标，再求出过点A和点B且与直线
平行的直线解析式，分别求出与x轴的交点坐标即可解决问题．
【详解】解：过点A作 轴于点E，过点B作 于点F，如图，
，根据勾股定理得， ，
又
对于 ，当 时， ，
，
∴直线 与 轴的交点坐标为 ；
设过点A且与直线 平行的直线解析式为 ，
把 代入 ，得： ，
，
，
当 时， ，
∴直线 与 轴的交点坐标为
设过点B且与直线 平行的直线解析式为
把 代入 得： ，
当 时， ，
，
与 轴的交点坐标为∴直线 沿 x 轴平移 m 个单位后与 仍有公共点，则 m 的取值范围是
，即 ，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数图像的平移，求出直线与x轴的交
点坐标是解答本题的关键
23. 已知 中， ， ， 边上的高 ，D为线段 上的动
点，在 上截取 ，连接 ， ，则 的最小值为______．
【答案】13
【解析】
【分析】通过过点A作 的平行线 ，并在 上截取 ，构造全等三角形，
得到当B，D，H三点共线时，可求得 的最小值；再作垂线构造矩形，利用勾股
定理求解即可．
【详解】如图，过点A作 的平行线 ，并在 上截取 ，连接 ，
．
则 ．
在 和 中，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当B，D，H三点共线时， 的值最小，即 的值最小，为 的长．∵ ， ， ，
∴在 中，由勾股定理，得
．
如图，过点H作 ，交 的延长线于点M，则四边形 为长方形，
∴ ， ，
∴在 中，由勾股定理，得
．
∴ 的最小值为13．
故答案为：13．
【点睛】本题属于没有共同端点的两条线段求最值问题这一类型，考查了全等三角形的判
定与性质、平行线的性质、勾股定理等知识．解题的关键是正确作出辅助线构造全等三角
形．
二、解答题（本大题共3小题，满分30分．解答过程写在答题卡上）
24. 某公司组织员工去三星堆参观，现有A，B两种客车可以租用．已知3辆A客车和1辆
B客车可以坐220人，2辆A客车和3辆B客车坐的人数一样多．
（1）请问A，B两种客车分别可坐多少人？
（2）已知该公司共有300名员工．
①请问如何安排租车方案，可以使得所有人恰好坐下？
②已知A客车160元一天，B客车120元一天，请问该公司租车最少花费多少钱？
【答案】（1）A、B两种客车分别坐60，40人
（2）①见解析；②租车最少花费800元
【解析】
分析】（1）设A、B分别坐a、b人，可得 ，即可解得A、B两种客车分别
【
坐60，40人；
（2）①设租用A客车x辆，则B需： 辆,花费： ．
求出x的值可；②根据一次函数的性质可得结论
【小问1详解】
设A、B分别坐a、b人．
，解得 ，
∴A、B两种客车分别坐60，40人．
【小问2详解】
①设租用A客车x辆，则B需： 辆
花费： ．
∵x为正整数且 为正整数，
∴ ，3，5．
②当 时， 元．
答：租车最少花费800元．
【点睛】本题考查二元一次方程和二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，列出
方程和方程组解决问题．
25. 已知 是边长为6的等边三角形，D为 中点．
（1）如图1，连接 ，E为线段 上的一个动点，以 为边长向下作等边三角形
，连接 ，证明： ．
（2）在（1）的条件下，求 的最小值．
（3）如图2，G，H分别为 上的动点，连接 交于点I， ，连
接 交 于点J，连接 并延长交 于点K， ，试探究 的
数量关系．
【答案】（1）见解析 （2）
（3） ，理由见解析
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质证明 ，即可证明 ；
（2）将 沿 所在直线折叠得 ，作 于H，先根据全等三角形的性质求
出 ，进而求出 ，最后根据勾股定
理求出 即可；
（3）延长 至M，使得 ，连接 ，先根据 证明
，进而证明 ，然后求出 ，再根
据 求出 ，证明 ，求出 ，最后根据
等量代换得到 即可．
【小问1详解】
证明：∵ ， 均为等边三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【小问2详解】
解：将 沿 所在直线折叠得 ，作 于H，
由（1）知 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．可知，当B，F，H共线时， 最小，此时最小值为 ，
∴ ．
【小问3详解】
解： ，理由如下：
延长 至M，使得 ，连接 ．
∵ ，
∴ ，
∴ ， ．
又 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，
勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键．
26. 在平面直角坐标系中，直线 交x轴正半轴于点M，交y轴负半轴于点 ，
，作线段 的垂直平分线交x轴于点A，交y轴于点B．（1）如图1，求直线 的解析式和A点坐标；
（2）如图2，过点M作y轴的平行线l，P是l上一点，若 ，求点P坐标；
（3）如图3，点Q是y轴的一个动点，连接 、 ，将 沿 翻折得到
，当 是等腰三角形时，求点Q的坐标．
【答案】（1） ；
（2） ， ．
（3） ， ， ．
【解析】
【分析】（1）证明 ， ，利用勾股定理求解 ，再利用
待定系数法求解 的解析式，求解 的中点 的坐标为： ， ，
过 作 于 ，则 ，可得 ，从而可得 A
的坐标；
（2）在y轴上取一点 ，使得 ．可得 ， ．求解
的解析式为： ，作 交 于P，则 ，同理
，从而可得答案；
（3）分三种情况讨论：①如图，当 时，②当
时，③当 时， 在直线 上，再结合图形解得即可．
【小问1详解】解： ∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
解得： ，
设 为 ，
∴ ，解得： ，
∴ ，
∵ 垂直平分 ，
∴ 的中点 的坐标为： ， ，
过 作 于 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【小问2详解】
在y轴上取一点 ，使得 ．
∵ ，
∴ ，解得 ， ，
∴ ， ．
∵ ， ，
同理可得： 的解析式为： ，
作 交 于P，
∴ ，
∴ ，即
同理 ，
∴ ．
综上： ， ．
【小问3详解】
①如图，当 时，
由轴对称的性质可得： ，
∵ ，
∴ ，
∴由垂直平分线的判定定理可得： ， 互相垂直平分，
∴ 在 轴上，且 ，
设 ，∴ ，解得： ，
∴ ，
∴ ．
②当 时，如图，
由 ，
∴ 为等边三角形，
此时 ， 重合，
∴ ；
③当 时， 在直线 上，如图，∵ ，
∴ ， ， ，
作 ， 在 轴上，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
同理：如图，当 在 的位置， 在 的位置，
此时 ．
综上： 或 或 ．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，线段的垂直平分线的判定
与性质，轴对称的性质，勾股定理的应用，等边三角形的判定与性质，含 的直角三角
形的性质，二次根式的运算，等腰三角形的定义，坐标与图形面积，本题难度大，清晰的
分类讨论，利用数形结合的方法解题是关键．
