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专题 22.8 实际问题与二次函数之六大题型
【考点导航】
目录
【典型例题】.....................................................................................................................................................1
【题型一 拱桥问题】........................................................................................................................................1
【题型二 销售问题】........................................................................................................................................6
【题型三 投球问题】......................................................................................................................................11
【题型四 喷水问题】......................................................................................................................................19
【题型五 图形问题】......................................................................................................................................27
【题型六 图形运动问题】..............................................................................................................................33
【典型例题】
【题型一 拱桥问题】
例题：（2023·全国·九年级专题练习）郑州市彩虹桥新桥将于2023年9月底建成通车．新桥采用三跨连续
单拱肋钢箱系杆拱桥，既保留了历史记忆，又展示出郑州的开放与创新．新桥的中跨大拱的拱肋 可视
为抛物线的一部分，桥面（视为水平的）与拱肋用垂直于桥面的系杆连接，测得拱肋的跨度 为120米，
与 中点O相距30米处有一高度为27米的系杆 ．以 所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建
立如图②所示的平面直角坐标系．
(1)求抛物线的解析式；
(2)正中间系杆 的长度是多少米？若相邻系杆之间的间距均为3米（不考虑系杆的粗细），是否存在一
根系杆的长度恰好是 长度的 ？请说明理由．【答案】(1)
(2)正中间系杆 的长度是36米，不存在一根系杆的长度恰好是OC长度的 ，理由见解析
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出正中间系杆 的长度是36米，再建立方程求解即可．
【详解】（1）结合图象由题意可知： ， ，
设该抛物线解析式为： ，
则： ，
解得： ，
∴ ．
（2）当 时， ，
∴正中间系杆 的长度是36米．
设存在一根系杆的长度是 的 ，即这根系杆的长度是12米，
则 ，
解得 ．
∵相邻系杆之间的间距均为3米，最中间系标 在 轴上，
∴每根系杆上的点的横坐标均为整数．
∴ 与实际不符．
∴不存在一根系杆的长度恰好是 长度的 ．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，涉及到了待定系数法求函数解析式，解一元二次方程等知识，解题关键是读懂题意，找出数量关系，列出方程，并根据实际意义求解．
【变式训练】
1．（2023秋·山西晋城·九年级校考期末）如图，有一个横截面为抛物线形状的隧道，隧道底部宽 为
，拱顶内高 ．把截面图形放在如图所示的平面直角坐标系中（原点O是 的中点）．
(1)求这条抛物线所对应的函数表达式；
(2)如果该隧道设计为车辆双向通行，规定车辆必须在中心黄线两侧行驶，那么一辆宽 ，高 的大型
货运卡车是否可以通过？为什么？
【答案】(1)
(2)一辆宽 ，高 的大型货运卡车可以通过，理由见解析
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）求出当 时，x的值，再根据车辆宽 且只能在中心的两侧行驶进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，点C的坐标为 ，点A和点B的坐标分别为 ，
设抛物线解析式为 ，
把 代入得 ，解得 ，
∴抛物线解析式为 ；
（2）解：一辆宽 ，高 的大型货运卡车可以通过，理由如下：
在 中，当 时，解得 ，
∵ ，∴ ，
∴一辆宽 ，高 的大型货运卡车可以通过．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确求出对应的函数解析式是解题的关键．
2．（2023·河南郑州·校考三模）一座抛物线型拱桥如图所示，当桥下水面宽度 为20米时，拱顶点O距
离水面的高度为4米．如图，以点O为坐标原点，以桥面所在直线为x轴建立平面直角坐标系．
(1)求抛物线的解析式；
(2)汛期水位上涨，一艘宽为5米的小船装满物资，露出水面部分的高度为3米（横截面可看作是长为5米，
宽为3米的矩形），若它恰好能从这座拱桥下通过，求此时水面的宽度（结果保留根号）．
【答案】(1)该抛物线的解析式 ；
(2)水面宽度为 米．
【分析】（1）由题意可以写出A点坐标，设抛物线解析式为 ，把点A的坐标代入求出a，c的值即
可；
（2）把 代入抛物线解析式，求出对应函数值y，再把 代入计算即可求解．
【详解】（1）解：设抛物线解析式为 ，
∴桥下水面宽度 为20米，拱顶距离水面高度 为4米，
∴点 ，∴ ，解得： ，
∴该抛物线的解析式 ；
（2）解：∵船宽5米，
∴当 时， ，
若该渔船能安全通过，此时水面高为 米，
∴当 时， ，
解得 ，
∴水面宽度为 米．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式的运用，运用二次函数解实际问题的运用，解答时求
出函数的解析式是关键．
3．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）某公司生产A型活动板房的成本是每个3500元．图1表
示A型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长 ，宽 ，抛物线的最高
点E到 的距离为 ．
(1)按图1中所示的平面直角坐标系，求该抛物线的函数表达式；
(2)现将A型活动板房改造成为B型活动板房．如图2，在抛物线与 之间的区域内加装一扇长方形窗户
，点G、M在 上，点F、N在抛物线上，窗户的成本为150元/ ．已知 ，求每个B型活动板房的成本．（每个B型活动板房的成本＝每个A型活动板房的成本＋一扇窗户 的成本）
【答案】(1)
(2)每个B型活动板房的成本为3725元
【分析】（1）根据题意得出 ，设该抛物线的函数表达式为 ，利用待定系数法求
解即可；
（2）根据题意得出 ，继而求出矩形 的面积，列式求解即可．
【详解】（1）∵长方形的长 ，宽 ，抛物线的最高点E到 的距离为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设该抛物线的函数表达式为 ，
把 代入，得 ，
解得 ，
∴该抛物线的函数表达式为 ；
（2）∵ ，
∴ ，
当 时， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ （元），
所以，每个B型活动板房的成本为3725元．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，准确理解题意，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【题型二 销售问题】
例题：（2023秋·河北唐山·九年级统考期末）某超市以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了
得到日销售量 （千克）与销售价格 （元/千克）之间的关系、经过市场调查获得部分数据如下表：
3 4
销售价格 （元/千克） 35 45 50
0 0
6 3
日销售量 （千克） 45 15 0
0 0
(1)请直接写出 与 之间的函数关系式______；
(2)超市应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？
(3)超市每销售1千克这种农产品需支出 元（ ）的相关费用，当 时，农经公司的日获利的
最大值为243元，求 的值．
【答案】(1)
(2)40元/千克
(3)2
【分析】（1）由题意知，销售价格每增加5元，销售量减少15千克，设 与 之间的函数关系式为
，待定系数法求得 ，然后作答即可；
（2）设日销售利润为 元，由题意得： ，根据二次函数的图象与性质进行判断求解
即可；
（3）设日获利为 元，由题意得： ，则对称轴为直线
，①若 ，则当 时， 有最大值，最大值为：
，即 不符合题意，舍去；②若 ，则当 时， 有最大值，将 代入，得： ，当 时，
，解得 ， （舍去）．
【详解】（1）解：由题意知，销售价格每增加5元，销售量减少15千克，
所以p与x之间的函数关系为一次函数关系；
设 与 之间的函数关系式为 ，
将 ， 代入得， ，解得 ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）解：设日销售利润为 元，
由题意得： ，
∵ ，抛物线开口向下，
∴当 时， 有最大值300．
∴这批农产品的销售价格定为40元/千克，才能使日销售利润最大；
（3）解：设日获利为 元，
由题意得： ，
∴对称轴为直线 ，
①若 ，则当 时， 有最大值，最大值为：
，
∴ 不符合题意，舍去；
②若 ，则当 时， 有最大值，将 代入，得：
，当 时， ，
解得 ， （舍去），
综上所述， 的值为2．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，二次函数的图象与性质．解题的关键在于对知识
的熟练掌握与灵活运用．
【变式训练】
1．（2023秋·河南驻马店·九年级统考期末）“阳光玫瑰葡萄”品种是近几年来广受各地消费者青睐的优质
新品种，在云南省广泛种植．长沙市某品牌水果经销商计划在2023年五一期间进行商业促销活动，经过调
查往年的统计数据发现，云南省批发“阳光玫瑰葡萄”的最低价格为每斤15元．若按每斤30元的价格到
市区销售，平均每天可售出60斤，若每斤“阳光玫瑰葡萄”的售价每降低1元，那么平均每天的销售量会
增加10斤，为了尽快减少库存，该水果商决定降价销售．
(1)若降价2元，则每天的销售利润是多少元？
(2)若该经销商计划销售“阳光玫瑰葡萄”每天盈利1100元，那么每斤“阳光玫瑰葡萄”的售价应降低多
少元？（其他成本忽略不计）
(3)将商品的销售单价定为多少元时，商场每天销售该商品获得的利润w最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)若降价2元，则每天的销售利润是1040元；
(2)应降低5元；
(3)将商品的销售单价定为 元时，商场每天销售该商品获得的利润w最大，最大利润是 元．
【分析】（1）根据题意，每降低1元，那么平均每天的销售量会增加10斤，若每斤的价格降低2元，则
可增加20斤，再根据每斤利润×销量可得解；
（2）根据每天盈利1100元列方程，解出x的值即可求解；
（3）设每天盈利y元，根据题意建立二次函数，根据二次函数的图象及性质即可求得．
【详解】（1）解：根据题意，降价2元则销售量为 （斤），
销售利润为： （元），
答：若降价2元，则每天的销售利润是1040元；
（2）解：设每斤“阳光玫瑰葡萄”应降价x元，根据题意得： ，
整理得： ，
解得 ，
∵为了尽快减少库存，
∴ ，
此时 ，
答：每斤“阳光玫瑰葡萄”的售价应降至每斤25元；
（3）解：设水果商每天获得的利润为y元，
根据题意得： ，
∵ ，
∴当 时，y有最大值，最大值为 ，
此时 ，
答：将商品的销售单价定为 元时，商场每天销售该商品获得的利润w最大，最大利润是 元．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用问题，根据等量关系列方程及二次函数，利用二次函数的图象及
性质求解是解题的关键．
2．（2023秋·湖南湘西·九年级统考期末）某农户生产经销一种地方特产．已知这种产品的成本价为每千克
20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系： ．
设这种产品每天的销售利润为w元
(1)求w与x之间的函数关系式；
(2)该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
(3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于每千克30元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销
售价应定为每千克多少元？
【答案】(1)
(2)该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元
(3)每千克25元【分析】（1）根据利润=销量×一件的利润列出关系式即可；
（2）把函数关系式化成顶点式求解即可；
（3）把 代入关系式求解即可．
【详解】（1）解：由题意可得： ，
∴w与x之间的函数解析式为 ；
（2）解：由（1）得： ，
∵ ，
∴当 时，w有最大值，且最大值为 ；
∴该产品售价定为每千克30元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元；
（3）解：当 时，可得 ，
解得： ，
∵ ，
∴ 舍去，
∴该农户想要每天获得150元的销售利润，售价应定为每千克25元；
【点睛】本题主要考查二次函数的应用和一元二次方程的应用，根据条件得出函数解析式或方程是解题的
关键．
3．（2023春·山东东营·八年级东营市实验中学校考期中）2022年北京冬奥会期间，吉祥物“冰墩墩”和
“雪容融”受到人们的广泛欢迎．某网店以每套96元的价格购进了一批冰墩墩和雪容融，由于销售火爆，
销售单价经过两次调整，从每套150元上涨到每套216元，此时每天可售出16套冰墩墩和雪容融．
(1)若销售单价每次上涨的百分率相同，求每次上涨的百分率；
(2)预计冬奥会闭幕后需求会有所下降，该网店需尽快将这批冰墩墩和雪容融售出，因此决定降价出售．经过市场调查发现：销售单价每降低10元，每天可多卖出两套当销售单价降低m元时，每天的利润为W．
求当m为何值时利润最大最大利润是多少？
【答案】(1)每次上涨的百分率为
(2)当降价钱数m为20元时，每天的利润W可达到最大，最大利润是2000元
【分析】（1）设每次上涨的百分率为x，根据销售单价经过两次的调整，从每套150元上涨到每套216元，
列出方程，即可求解；
（2）根据题意列出W关于m的函数关系式，再根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：设每次上涨的百分率为x，根据题意得：
，
解得： （不合题意，舍去），
答：每次上涨的百分率为 ；
（2）解：根据题意得：
∴当 时，W最大，最大值为2000，
答：当降价钱数m为20元时，每天的利润W可达到最大，最大利润是2000元．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的
关键．
【题型三 投球问题】
例题：（2023春·山东东营·八年级东营市实验中学校考期中）掷实心球是中考体育考试项目之一．如图1
是一名男生掷实心球情境，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度 与水平距离 之间的函数关系如图2所示．掷出时，起点处高度为 ．当水平距离为 时，实心球行进至最高点 处．
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)根据中考体育考试评分标准（男生版），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于
时，即可得满分10分．该男生在此项考试中能否得满分，请说明理由．
【答案】(1)
(2)不能；理由见解析
【分析】（1）由图2可知 ，顶点坐标为 ，设二次函数表达式为 ，由此即可求解；
（2）令（1）中抛物线的解析式 ，且 ，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意设 关于 的函数表达式为 ，
把 代入解析式得， ，
解得， ，
∴ 关于 的函数表达式为： ，
即： ．
（2）解：不能得满分，理由如下，
根据题意，令 ，且 ，
∴ ，
解方程得， ， （舍去），∵ ，
∴不能得满分．
【点睛】本题主要考查二次函数的实际运用，掌握二次函数的性质及求解是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023·河南安阳·统考一模）小红为了研究抛出的弹跳球落在斜面上反弹后的距离．如图，用计算机编
程模拟显示，当弹跳球以某种特定的角度和初速度从坐标为 的点 处抛出后，弹跳球的运动轨迹是抛
物线 ，其最高点的坐标为 ．弹跳球落到倾斜角为 的斜面上反弹后，弹跳球的运动轨迹是抛物线
，且开口大小和方向均不变，但最大高度只是抛物线 的 ．
(1)求抛物线 的解析式；
(2)若斜面被坐标平面截得的截图与 轴的交点 的坐标为 ，求抛物线 的对称轴．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设抛物线 的解析式为 ，由题意得，该抛物线的顶点坐标是 ，
抛物线经过点 ，待定系数法求解析式即可求解．
（2）由题意，设 解析式为 ，将点 代入，得出解析式为 ，联立抛物线 的解析式
得出反弹点的坐标为 ，依题意，设抛物线 的解析式为 ，将 代入抛物线 的解析式，即可求解．
【详解】（1）解：设抛物线 的解析式为 ．
由题意得，该抛物线的顶点坐标是 ，
．
该抛物线经过点 ，
解之，得 ．
（2）由题意，设 解析式为 ，将点 代入，
，
解得： ,
∴
令 ，
解之，得 舍去 ，
反弹点的坐标为 ．
由题意，设抛物线 的解析式为
将 代入抛物线 的解析式，得 舍去 或
即抛物线 的对称轴为直线【点睛】本题考查了二次函数的应用，掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
2．（2023·河北·统考中考真题）嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏．某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这
道题．
如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m长．嘉嘉在点 处将沙包（看成点）抛出，并运
动路线为抛物线 的一部分，淇淇恰在点 处接住，然后跳起将沙包回传，其运动
路线为抛物线 的一部分．
(1)写出 的最高点坐标，并求a，c的值；
(2)若嘉嘉在x轴上方 的高度上，且到点A水平距离不超过 的范围内可以接到沙包，求符合条件的n
的整数值．
【答案】(1) 的最高点坐标为 ， ， ；
(2)符合条件的n的整数值为4和5．
【分析】（1）利用顶点式即可得到最高点坐标；点 在抛物线上，利用待定系数法即可求得a的值；
令 ，即可求得c的值；
（2）求得点A的坐标范围为 ，求得n的取值范围，即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线 ，
∴ 的最高点坐标为 ，
∵点 在抛物线 上，∴ ，解得： ，
∴抛物线 的解析式为 ，令 ，则 ；
（2）解：∵到点A水平距离不超过 的范围内可以接到沙包，
∴点A的坐标范围为 ，
当经过 时， ，
解得 ；
当经过 时， ，
解得 ；
∴
∴符合条件的n的整数值为4和5．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，联系实际，读懂题意，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解
题的关键．
3．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）乒乓球被誉为中国国球．2023年的世界乒乓球标赛中，中国队包揽
了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图，是乒乓球台的截
面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度 为 的高度，将乒乓球向正前方击打到对
面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．
乒乓球到球台的竖直高度记为 （单位： ），乒乓球运行的水平距离记为 （单位： ）．测得如下
数据：
水平距离x/
竖直高度y/(1)在平面直角坐标系 中，描出表格中各组数值所对应的点 ，并画出表示乒乓球运行轨迹形状的
大致图象；
(2)①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是__________ ，当乒乓球落在对面球台上时，到起始
点的水平距离是__________ ；
②求满足条件的抛物线解析式；
(3)技术分析：如果只上下调整击球高度 ，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，
又能落在对面球台上，需要计算出 的取值范围，以利于有针对性的训练．如图②．乒乓球台长 为
274 ，球网高 为15.25 ．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球离度 的值约为1.27 ．请你
计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度 的值（乒乓球大小忽略不计）．
【答案】(1)见解析
(2)① ； ；②
(3)乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度 的值为
【分析】（1）根据描点法画出函数图象即可求解；
（2）①根据二次函数图象的对称性求得对称轴以及顶点，根据表格数据，可得当 时， ；
②待定系数法求解析式即可求解；
（3）根据题意，设平移后的抛物线的解析式为 ，根据题意当 时，
，代入进行计算即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，（2）①观察表格数据，可知当 和 时，函数值相等，则对称轴为直线 ，顶点坐标为
，
又抛物线开口向下，可得最高点时，与球台之间的距离是 ，
当 时， ，
∴乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是 ；
故答案为： ； ．
②设抛物线解析式为 ，将 代入得，
，
解得： ，
∴抛物线解析式为 ；
（3）∵当 时，抛物线的解析式为 ，
设乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度 的值为 ，则平移距离为 ，
∴平移后的抛物线的解析式为 ，
依题意，当 时， ，
即 ，
解得： ．
答：乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度 的值为 ．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，画二次函数图象，二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
4．（2023·河南信阳·校考三模）实心球是中考体育项目之一．在掷实心球时，实心球被掷出后的运动路线
可以看作是抛物线的一部分，已知小军在一次掷实心球训练中，第一次投掷时出手点距地面1.8m，实心球
运动至最高点时距地面3.4m，距出手点的水平距离为4m．设实心球掷出后距地面的竖直高度为y（m），
实心球距出手点的水平距离为x（m）．如图，以水平方向为x轴，出手点所在竖直方向为y轴建立平面直
角坐标系．
(1)求第一次掷实心球时运动路线所在抛物线的表达式．
(2)若实心球投掷成绩（即出手点与着陆点的水平距离）达到12.4m为满分，请判断小军第一次投掷实心球
能否得满分．
(3)第二次投掷时，实心球运动的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系 ．记小军
第一次投掷时出手点与着陆点的水平距离为 ，第二次投掷时出手点与着陆点的水平距离为 ，则
______ （填“＞”“＜”“＝”）．
【答案】(1)
(2)不能得满分
(3)＜
【分析】（1）设抛物线的表达式为 ，将 代入解得a即可；
（2）令 ，解得x，与12.4m比较即可；
（3）令 ，解得x，根据（2）所得即可比较 与 ．【详解】（1）由题意，可知抛物线最高点的坐标为 ，
设抛物线的表达式为 ，
将 代入 ，得 ，
解得 ．
∴第一次掷实心球时运动路线所在抛物线的表达式为 ；
（2）令 ，解得 （负值已舍去），
∴实心球出手点与着陆点的水平距离为 m．
∵ ，即 ，∴ ，
∴小军第一次投掷实心球不能得满分．
（3）∵ ，
解得 （负值已舍去），
， ，
， ，
∴ ．
故答案为：＜．
【点睛】本题考查二次函数的应用以及待定系数法求解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【题型四 喷水问题】
例题：（2023·陕西西安·西安市庆安初级中学校联考模拟预测）某公司为城市广场上一雕塑 安装喷水装
置．喷水口位于雕塑的顶端点B处，距离地面 ，喷出的水柱轨迹呈抛物线型．据此建立如图的平面直
角坐标系．若喷出的水柱轨迹 上，任意一点与支柱 的水平距离x（单位： ）与广场地面的垂直高度为y（单位： ）满足关系式 ，且点 在抛物线 上
(1)求该抛物线的表达式；
(2)求水柱落地点与雕塑 的水平距离；
(3)为实现动态喷水效果，广场管理处决定对喷水设施做如下设计改进：新喷水轨迹形成的抛物线形为
，把水柱喷水的半径（动态喷水时，点C到 的距离）控制在7 到14 之间，请
探究改建后喷水池水柱的最大高度
【答案】(1)
(2)14米
(3) 米
【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的表达式即可；
（2）求出抛物线 与x轴正半轴交点的横坐标即可；
（3）利用待定系数法求出抛物线 的表达式，化为顶点式，求出最大值，与（2）中水柱喷水的半径为
时的最大高度比较后即可得到答案．
【详解】（1）解：把 ， 代入 ，
得 ，
解得 ，∴ ；
（2）在 中，
令 ，得 ，
解得 或 （舍去），
∴水柱落地点与雕塑 的水平距离是14米；
（3）当水柱喷水的半径为 时，抛物线经过 ， ，代入 ，得
，
解得 ．
∴ ，
∴当 时，喷水池水柱的最大高度是 米；
由（2）知，当水柱喷水的半径为 时， ，
∴当 时，喷水池水柱的最大高度是 米．
∵ ，
∴喷水池水柱的最大高度是 米．
【点睛】此题考查了二次函数的应用，用到了待定系数法、函数的顶点式和最值问题等知识，读懂题意准
确计算是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）一名运动员在 高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运
动轨迹是一条抛物线，运动员离水面 的高度 与离起跳点A的水平距离 之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为 时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为 时离水面
的距离为 ．
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)求运动员从起跳点到入水点的水平距离 的长．
【答案】(1)y关于x的函数表达式为 ；
(2)运动员从起跳点到入水点的水平距离 的长为 ．
【分析】（1）由题意得抛物线的对称轴为 ，经过点 ， ，利用待定系数法即可求解；
（2）令 ，解方程即可求解．
【详解】（1）解：由题意得抛物线的对称轴为 ，经过点 ， ，
设抛物线的表达式为 ，
∴ ，解得 ，
∴y关于x的函数表达式为 ；
（2）解：令 ，则 ，解得 （负值舍去），
∴运动员从起跳点到入水点的水平距离 的长为 ．
【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握运用待定系数法求抛物线的解析
式是解题的关键．
2．（2023·山东临沂·统考一模）如图 ，一灌溉车正为绿化带浇水，喷水口 离地竖直高度为 米 如
图 ，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截
面抽象为矩形 ，其水平宽度 米，竖直高度 米，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左
平移得到，上边缘抛物线最高点 离喷水口的水平距离为 米，高出喷水口 米，灌溉车到绿化带的距离
为 米．
(1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程 ；
(2)求下边缘抛物线与 轴交点 的坐标；
(3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求 的取值范围．
【答案】(1) ，喷出水的最大射程 为
(2)点 的坐标为
(3)
【分析】（1）由顶点 得，设 ，再根据抛物线过点 ，可得 的值，从而解决
问题；（2）由对称轴知点 的对称点为 ，则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移 得到的，
可得点 的坐标；
（3）根据 ，求出点 的坐标，利用灌溉车行驶时距离绿化带的增减性可得 的最大值和最小值，
从而得出答案．
【详解】（1）解：如图 ，由题意得 是上边缘抛物线的顶点，
设 ，
又 抛物线过点 ，
∴ ，
，
上边缘抛物线的函数解析式为 ，
当 时， ，
解得 ， 舍去 ，
喷出水的最大射程 为 ；
（2）解：∵对称轴为直线 ，
点 的对称点为 ，
下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移 得到的，
点 的坐标为 ；
（3）解：∵ ，
点 的纵坐标为 ，
，
解得 ，
，，
当 时， 随 的增大而减小，
当 时，要使 ，
则 ，
当 时， 随 的增大而增大，且 时， ，
当 时，要使 ，则 ，
，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，
的最大值为 ，
再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是 ，
的最小值为 ，
综上所述， 的取值范围是 ．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数
与方程的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键．
3．（2023·江西抚州·校联考三模）如图①，有一移动灌溉装置喷出水柱的路径可近似地看作一条抛物线，
该灌溉装置的喷水头到水平地面的距离为1米，喷出的抛物线形水柱对称轴为直线 ．用该灌溉装置
灌溉一坡地草坪，其水柱的高度y（单位：米）与水柱落地处距离喷水头的距离x（单位：米）之间的函数
关系式为 ，其图像如图②所示．已知坡地 所在直线经过点 ．
(1) 的值为______；
(2)若 ，求水柱与坡面之间的最大铅直高度；
(3)若点B横坐标为18，水柱能超过点B，则a的取值范围为______；(4)若 时，到喷水头水平距离为16米的A处有一棵新种的银杏树需要被灌溉，园艺工人将灌溉装置
水平向后移动4米，试判断灌溉装置能否灌溉到这棵树，并说明理由．
【答案】(1)1
(2)水柱与坡面之间的最大铅直高度为 米
(3)
(4)水平向后移动4米，不能灌溉到这棵树，理由见解析
【分析】（1）代入抛物线与y轴的交点 的坐标即可求解；
（2）根据已知条件求出抛物线解析式及直线 解析式，设抛物线上一点P点横坐标为t，作作 轴
交 于点Q，用t表示P点和Q点的坐标，并计算 的长度，建立关于t的二次函数，在取值范围内求
最大值即可；
（3）代入B点横坐标到一次函数解析式，求出对应纵坐标；代入 点、抛物线对称轴及B点横坐标到
二次函数解析式，建立不等式进行求解；
（4）根据平移求得平移后的抛物线解析式，代入 到抛物线解析式和直线 解析式进行对比即可．
【详解】（1）代入 到抛物线解析式，得： ；
故答案为：1；
（2）设抛物线的解析式为
将点 代入，得
抛物线的解析式为
即
坡地 经过点
的解析式为
如解图，设抛物线上一点 ，过点P作 轴交 于点Q，
则 ， 的长为
，
函数图像开口向下，d有最大值
根据顶点公式当 时，有最大值
水柱与坡面之间的最大铅直高度为 米；
故答案为：水柱与坡面之间的最大铅直高度为 米；
（3）由（2）知，直线 的解析式为 ，
时 ，
，
抛物线的解析式为 ，即 ，
当 时， ，要使水柱能超过点B则 ，
解得
故答案为： ；
（4）不能；
当灌溉装置水平向后移动4米时，由（2）可得平移后的抛物线解析式为 ．将 代入抛物线解析式，得 ，
将 代入直线OB解析式，得
水平向后移动4米，不能灌溉到这棵树．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，掌握待定系数法求解二次函数解析式和直线解析式、平移规律求
二次函数解析式、根据坐标关系及二次函数求线段最大值是解题的关键．
【题型五 图形问题】
例题：（2023·全国·九年级专题练习）2023年南宁市公共资源交易中心明确提出将五象站铁路枢纽接入地
铁4号线．目前4号线剩余的东段（五象火车站-龙岗站）已经在建设中，施工方决定对终点站龙岗站施工
区域中的一条特殊路段进行围挡施工，先沿着路边砌了一堵长 的砖墙，然后打算用长 的铁皮围栏
靠着墙围成中间隔有一道铁皮围栏（平行于 ）的长方形施工区域．
(1)设施工区域的一边 为 ，施工区域的面积为 ．请求出S与x的函数关系式，并直接写出自变量
x的取值范围；
(2)当围成的施工区域面积为 时， 的长是多少？
(3)该特殊路段围挡区域的施工成本为400元/ ，项目方打算拨款120000元用于施工，请你通过计算判断
项目方的拨款能否够用．
【答案】(1) ；
(2)当 的长是12米时，围成的施工区域面积为 ；
(3)拨款够用．理由见解析【分析】（1）根据题意可得到S与x的函数关系式为： ，自变量x的取值范围是：
；
（2）当围成的施工区域面积为 时： ，解一元二次方程即可求得 ；
（3）由 ，结合 ，利用二次函数的性质即可求得最大面积，以及所需费用，即
可判断.
【详解】（1）解：根据题意得： ，
，
解得： ，
∴S与x的函数关系式为： ；
（2）解：由（1）知： ，
∵围成的施工区域面积为 ，
∴ ，
解得： （舍去）或 ，
∴当 的长是12米时，围成的施工区域面积为 ；
（3）解：拨款够用．解析如下：
∵ ，
∵ ，函数图像的对称轴为直线： ，
∴当 时，S随x的增大而减小，
∴当 时，施工区域有最大面积 ，
所需费用为 ，
答：拨款够用．
【点睛】本题是面积问题(二次函数综合)，考查了二次函数的性质及解一元二次方程，熟练掌握二次函数
的性质是解决问题的关键．【变式训练】
1．（2023春·浙江宁波·八年级校联考期中）某景区要建一个游乐场（如图所示），其中 分别靠现
有墙 （墙 长为27米，墙 足够长），其余用篱笆围成．篱笆 将游乐场隔成等腰直角
和长方形 两部分，并在三处各留2米宽的大门．已知篱笆总长为54米．设 的长为x米．
(1)则 的长为 米（用含x的代数式表达）；
(2)当 多长时，游乐场的面积为320平方米？
(3)直接写出当 为多少米时，游乐场的面积达到最大，最大值为多少平方米？
【答案】(1)
(2)当 长为16米时，游乐园的面积是320平方米；
(3)当 为12米时，游乐场的面积达到最大，最大值为360平方米．
【分析】（1）根据 的长=篱笆总长 得出结论；
（2）根据矩形的面积与等腰直角三角形的面积的和=320列出方程，解方程即可，并根据BE的取值范围得
出结论；
（3）根据游乐场的面积=矩形的面积与等腰直角三角形的面积的和列出函数解析式，由函数的性质求出最
大．
【详解】（1）解：由题意知， ，
设 的长为x米，则 的长为 米，
故答案为： ；
（2）解：由题意得： ，
解得 ，
∵ ，解得 ，
∴ ，
答：当 长为16米时，游乐园的面积是320平方米；
（3）解：设游乐场的面积为y平方米，
由题意得： ，
∵ ，
∴当 时，y有最大值，最大值为360，
答：当 为12米时，游乐场的面积达到最大，最大值为360平方米．
【点睛】本题考查二次函数的应用，关键是根据题意用x表示 的长．
2．（2023·广东深圳·统考中考真题）蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人
们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，
这样就形成了一个温室空间．如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形 和抛物线 构成，其中
， ，取 中点O，过点O作线段 的垂直平分线 交抛物线 于点E，若以O点
为原点， 所在直线为x轴， 为y轴建立如图所示平面直角坐标系．
请回答下列问题：
(1)如图，抛物线 的顶点 ，求抛物线的解析式；
(2)如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置 ， ，若
，求两个正方形装置的间距 的长；(3)如图，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，此时大棚截面的阴影为 ，求 的长．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据顶点坐标，设函数解析式为 ，求出 点坐标，待定系数法求出函数解析式即
可；
（2）求出 时对应的自变量的值，得到 的长，再减去两个正方形的边长即可得解；
（3）求出直线 的解析式，进而设出过点 的光线解析式为 ，利用光线与抛物线相切，求出
的值，进而求出 点坐标，即可得出 的长．
【详解】（1）解：∵抛物线 的顶点 ，设抛物线的解析式为 ，
∵四边形 为矩形， 为 的中垂线，
∴ ， ，
∵ ，
∴点 ，代入 ，得：
，
∴ ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）∵四边形 ，四边形 均为正方形， ，
∴ ，
延长 交 于点 ，延长 交 于点 ，则四边形 ，四边形 均为矩形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，当 时， ，解得： ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
（3）∵ ， 垂直平分 ，
∴ ，∴ ，
设直线 的解析式为 ，
则： ，解得： ，
∴ ，
∵太阳光为平行光，
设过点 平行于 的光线的解析式为 ，
由题意，得： 与抛物线相切，
联立 ，整理得： ，
则： ，解得： ；
∴ ，当 时， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用．读懂题意，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合的思想，
进行求解，是解题的关键．
【题型六 图形运动问题】
例题：（2023·江苏·模拟预测）如图，在 中， ， ， ．点P从点A出
发，以 的速度沿 运动：同时，点Q从点B出发，以 的速度沿 运动．当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设动点运动的时间为t（s）．
(1)当t为何值时， 的面积为 ；
(2)求四边形 面积的最小值．
【答案】(1) 或 时， 的面积为 ；
(2)四边形 面积的最小值为 ．
【分析】（1）利用两点运动的速度表示出 的长，进而表示出 的面积 ；把 代
入，解方程可得结论；
（2）利用配方法求出函数顶点坐标求得 面积的最大值，即得四边形 面积的最小值．
【详解】（1）解：由题意得： ， ，
；
由题意得： ，
解得 或 ，
∴ 或 时， 的面积为 ；
（2）解：∵ 且 ，
∵ ，
∴当 时， 的面积最大，最大值是 ．此时，四边形 面积取得最小值，最小值为 ．
【点睛】此题是三角形和二次函数的综合题，主要考查了动点运动问题，三角形的面积，二次函数的应用，
难度适中，正确表示出 的长是解题关键．
【变式训练】
1．（2023秋·四川宜宾·九年级统考期中）如图，等腰三角形 的直角边 ，点P，Q分
别从A，C两点同时出发，均以每秒1个单位的速度做匀速运动，已知点P沿射线 运动，点Q沿射线
运动， 的连线与直线 相交于点D．设点P运动的时间为 ， 的面积为S．
(1)求S关于的函数关系式．
(2)当t为多少时， 的面积与 的面积相等？
(3)当点P在边 上运动时，过点P作 于点E．在点P，Q运动过程中，线段 的长度是否为定
值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)当 ， 的面积与 的面积相等
(3)线段 的长度是定值，
【分析】（1）分点 在线段 上，和点 在线段 的延长线上两种情况，讨论求解即可．
（2）求出 的面积，令 列式计算即可．（3）过 作 ，交直线 于点 ，证明 和 都是等腰直角三角形，推出
，进而 ，得到连接 ，得到四边形 是平行四边形，根
据平行四边形的对角线互相平分，得到 ，即可得解．
【详解】（1）解：∵点P，Q分别从A，C两点同时出发，均以每秒1个单位的速度做匀速运动，
∴ 在边 的运动时间为： ；
①当 时， ，
此时： ，
∵ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ；
②当 时：此时： ，
∴ ；综上： ；
（2）解：∵等腰三角形 的直角边 ，
∴ ，
①当 时， ，即： ，
此方程无解；
②当 时， ，即： ，
整理，得： ，
解得： （舍去）；
∴当 ， 的面积与 的面积相等；
（3）解：线段 的长度是定值；
过 作 ，交直线 于点 ，
∵ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ 和 都是等腰直角三角形， ，
∵ ，
∴ ，∴ ，即： ，
连接 ，则四边形 是平行四边形，
∴ ．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质．熟练掌握等腰三角形的判定和性
质，是解题的关键．注意分类讨论．
2．（2023·吉林松原·校联考三模）如图，在 中， ， ， ，点P从点A
出发以 的速度向点C运动，到点C停止，过点P作 交 点Q，以线段 的中点为对称
中心将 旋转 得到 ，点A的对应点为点D，设点P的运动时间为 ， 与
重合部分的面积为S（ ）．
(1)求当点D落在 边上时t的值；
(2)求S关于t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；
(3)直接写出当 是等腰三角形时t的值．
【答案】(1)2
(2)
(3)1或 或
【分析】（1）由题意易得 ，然后可得方程 ，进而问题可求解；
（2）由题意可分当 时和当 时，进而分类求解即可；
（3）由题意可当 时，当 时，当 时，然后分类求解即可．
【详解】（1）解：如图，当点D落在 边上时，．
由 ，解得 ，
所以当点D落在 边上时t的值是2．
（2）解：当 时，如图，
， ．
；
当 时，如图，
， ，
．
综上， ；
（3）解：当 时，如图，，
由 ，解得 ；
当 时，如图5，
， ，
由 ，解得 （负值舍去）；
当 时，如图6，
， ，
由 ，
解得 ， （舍去）．
综上，当 是等腰三角形时t的值为1或 或 ．
【点睛】本题主要考查勾股定理、二次函数的综合及等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理、二次函数的
综合及等腰三角形的性质是解题的关键．
