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七年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】
期末全真模拟试卷02
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．下列计算正确的是（ ）
A．3a•4b＝7ab B．（ab3）3＝ab6
C．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1 D．x12÷x6＝x2
【分析】根据整式的运算法则逐一计算即可得出答案．
【解析】A．3a•4b＝12ab，此选项计算错误；
B．（ab3）3＝a3b9，此选项计算错误；
C．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1，此选项计算正确；
D．x12÷x6＝x6，此选项计算错误；
故选：C．
2．下列四个图案中，不是轴对称图案的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称的概念对各选项分析判断利用排除法求解．
【解析】A、是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，故本选项正确；
C、是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项错误．
故选：B．
3．下列事件中是必然发生的事件是（ ）
A．任意画一个三角形，其内角和是180°B．某种彩票中奖率是1%，则买这种彩票100张一定会中奖
C．掷一枚硬币，正面朝上
D．投掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是奇数
【分析】根据事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，在一定条件下，可能发生也可能不发生的
事件，称为随机事件进行分析即可．
【解析】A、任意画一个三角形，其内角和是180°，是必然事件，故此选项正确；
B、某种彩票中奖率是1%，则买这种彩票100张一定会中奖，是随机事件，故此选项错误；
C、掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，故此选项错误；
D、投掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是奇数，是随机事件，故此选项错误；
故选：A．
4．若4x2+4x+m＝（2x+1）2，则m的值为（ ）
A．4 B．1 C．﹣1 D．﹣4
【分析】将（2x+1）2利用完全平方公式进行计算即可求得m的值．
【解析】（2x+1）2＝4x2+4x+1，
∴m＝1．
故选：B．
5．下面各组中的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．3cm，4cm，5cm B．8cm，6cm，15cm
C．2cm，6cm，8cm D．6cm，6cm，13cm
【分析】判断三角形能否构成，关键是看三条线段是否满足：任意两边之和是否大于第三边．但通常不
需一一验证，其简便方法是将较短两边之和与较长边比较．
【解析】A、∵3+4＞5，∴能组成一个三角形；
B、∵8+6＜15，∴不能组成一个三角形；
C、∵2+6＝8，∴不能组成一个三角形；
D、∵6+6＜13，∴不能组成一个三角形．
故选：A．
6．如果∠A和∠B是两平行直线中的一对同旁内角，且∠A比∠B的2倍少30°，那么∠B的度数是
（ ）
A．30° B．70° C．110° D．30°或70°
【分析】若∠A和∠B是两条平行线中的同旁内角，可得∠A和∠B两角的和为180°，本题把∠A、∠B
的度数看成两个未知数，就可得到关于这两个未知数的方程组，从而转化为方程问题解决．【解析】∵∠A和∠B是两条平行线中的同旁内角，
∴∠A＝∠B＝180°，
设∠A＝x度，∠B＝y度，根据题意可得
，
解得x＝110，y＝70．
∴∠B的度数是70°．
故选：B．
7．匀速地向一个容器内注水，在注满水的过程中，水面的高度 h与时间t之间的函数关系如图所示，则该
容器可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由函数图象可得容器形状不是均匀物体分析判断，由图象及容积可求解．
【解析】相比较而言，前一个阶段，用时较少，高度增加较快，那么下面的物体应较细．由图可得上面
立方体的体积应大于下面立方体的体积．
故选：D．
8．如图，所给条件：①∠C＝∠ABE，②∠C＝∠DBE，③∠A＝∠ABE，④∠CBE+∠C＝180°中，能判
定BE∥AC的条件有（ ）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【分析】根据同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，两直线平行即可判断．
【解析】①∠C＝∠ABE，这两角即不是同位角也不是内错角，不能判定BE∥AC；
②∠C＝∠DBE，由同位角相等，两直线平行，可判断EB∥AC；
③∠A＝∠ABE，由内错角相等，两直线平行，可判断EB∥AC；
④∠CBE+∠C＝180°，由同旁内角互补，两直线平行，可判断EB∥AC．
故选：D．
9．如图，在△ABC与△ADC中，AB＝AD，CB＝CD．若∠B＝118°，则∠BAC+∠ACD的度数为（ ）
A．52° B．62° C．72° D．118°
【分析】由已知AB＝AD，CB＝CD且AC为公共边，根据全等三角形的判定定理SSS即可得两三角形
全等，进而可求∠BAC+∠ACD的度数．
【解析】在△ABC与△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BAC＝∠DAC，∠ACB＝∠ACD，∠D＝∠B＝118°，
∴2∠BAC+2∠ACD＝360°﹣118°×2＝124°，
∴∠BAC+∠ACD＝62°．
故选：B．
10．求1+2+22+23+…+22019的值，可令S＝1+2+22+23+…+22019，则2S＝2+22+23+…+22019+22020，因此2S﹣S
＝22020﹣1．仿照以上推理，计算出1+5+52+53+…+52019的值为（ ）
A．52019﹣1 B．52020﹣1 C． D．
【分析】仿照题目中的例子，对所求式子变形即可求得所求式子的值．【解析】设S＝1+5+52+53+…+52019，
则5S＝5+52+53+…+52019+52020，
5S﹣S＝52020﹣1，
∴4S＝52020﹣1，
∴S＝ ，
即1+5+52+53+…+52019的值为 ，
故选：C．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．如图，甲、乙两个转盘转动一次，最终指针指向红色区域的可能性的大小关系：P甲 ＝ P乙 （填
“＞”，“＜”或“＝”）
【分析】利用几何概率的计算方法分别计算出甲、乙两个转盘转动一次，最终指针指向红色区域的概率
即可．
【解析】甲转盘转动一次，最终指针指向红色区域的概率＝ ；
乙转盘转动一次，最终指针指向红色区域的概率＝ ＝ ．
所以P甲 ＝P乙 ．
故答案为：＝．
12．若25x2﹣kxy+49y2是一个整式的平方，则k的值为 ±7 0 ．
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出k的值．
【解析】∵25x2﹣kxy+49y2是一个整式的平方，
∴k＝±70，
故答案为：±70
13．如图所示，已知AB∥CD，EF平分∠CEG，∠1＝80°，则∠2的度数为 50 ° ．【分析】由角平分线的定义，结合平行线的性质，易求∠2的度数．
【解析】∵EF平分∠CEG，
∴∠CEG＝2∠CEF
又∵AB∥CD，
∴∠2＝∠CEF＝ （180°﹣∠1）＝50°，
故答案为：50°．
14．已知x+y＝5，x﹣y＝﹣2，则x2﹣y2＝ ﹣ 1 0 ．
【分析】根据平方差公式求出即可．
【解析】∵x+y＝5，x﹣y＝﹣2，
∴x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝5×（﹣2）＝﹣10，
故答案为：﹣10．
15．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，AC＝7，DE＝4，则△ADC的面积等于 1 4
．
【分析】过点D作DF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝DF，再利用三角
形的面积公式列式计算即可得解．
【解析】如图，过点D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB，
∴DE＝DF＝4，
∴△ADC的面积＝ AC•DF＝ ×7×4＝14．
故答案为：14．16．如果 表示3xyz， 表示﹣2abcd，则 × ＝ ﹣ 1 2 m 3 n 4 ．
【分析】原式根据题中的新定义计算即可求出值．
【解析】根据题中的新定义得：原式＝6mn•（﹣2m2n3）＝﹣12m3n4，
故答案为：﹣12m3n4
17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，将△ABC沿直线m翻折，点A落在点D的位置，则∠1﹣
∠2的度数是 60 ° ．
【分析】首先利用三角形的外角等于和它不相邻的两个内角之和得到∠1和∠2的关系，然后利用折叠
的结论即可求解．
【解析】如图，∵∠1＝∠A+∠AEF，又∠AEF＝∠2+∠D，
∴∠1＝∠A+∠2+∠D，
而根据折叠得∠A＝∠D＝30°，
∴∠1＝∠A+∠2+∠D＝60°+∠2，
∴∠1﹣∠2＝60°．故答案为：60°．
18．如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，D为△ABC边AC上一点，BC＝CD，点M在BC的延长线上，CE
平分∠ACM，且AC＝CE．连接BE交AC于F，G为边CE上一点，满足CG＝CF，连接DG交BE于
H．以下结论：
①△ABC≌△EDC；
②∠DHF＝60°；
③若∠A＝60°，则AB∥CE；
④若BE平分∠ABC中，则EB平分∠DEC．
正确的有 ①②③④ ．（只填序号）
【分析】利用全等三角形的判定定理和性质定理，三角形的内角和定理以及平行线的判定定理对每个选
项进行逐一判断即可．
【解析】∵∠ACB＝60°，
∴∠ACM＝180°﹣∠ACB＝120°，
∵CE平分∠ACM，∴∠ACE＝∠MCE＝ ∠ACM＝60°，
∴∠ACB＝∠ACE．
在△ABC和△EDC中，
，
∴△ABC≌△EDC（SAS）．
∴①的结论正确；
在△BCF和△DCG中，
，
∴△BCF≌△DCG（SAS）．
∴∠CBF＝∠CDG．
∵∠ECM＝∠CBF+∠BEC＝60°，
∴∠CDG+∠CEB＝60°．
∵∠DCE+∠CDE+∠CED＝180°，∠DCE＝60°，
∴∠CDE+∠CED＝120°，
∴∠HDE+∠HED＝60°，
∴∠DHF＝∠HDE+∠HED＝60°．
∴②的结论正确；
∵∠A＝60°，∠ACE＝60°，
∴∠A＝∠ACE，
∴AB∥CE，
∴③的结论正确；
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE．
∵△BCF≌△DCG，
∴∠CBE＝∠CDG．
∴∠CDG＝∠ABE＝∠CBE．
∵△ABC≌△EDC，
∴∠ABC＝∠CDE，∴∠CDG＝∠ABE＝∠CBE＝∠EDG．
∵∠ECM＝∠CBF+∠BEC＝60°，∠DHF＝∠EDG+∠DEB＝60°，
∴∠CBF+∠BEC＝∠EDG+∠DEB，
∴∠BEC＝∠DEB．
即EB平分∠DEC．
∴④的结论正确．
综上，正确的结论有：①②③④，
故答案为：①②③④．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．计算：
（1）（﹣2020）0﹣（ ）﹣1+|﹣1|；
（2）（2x+1）2﹣4（x﹣1）（x+1）；
（3）先化简，再求值：（x﹣2y）2﹣x（x+3y）﹣4y2，其中x＝﹣4，y＝ ．
【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）利用完全平方公式，平方差公式进行计算即可解答；
（3）先去括号，再合并同类项，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
【解析】（1）（﹣2020）0﹣（ ）﹣1+|﹣1|
＝1﹣3+1
＝﹣1；
（2）（2x+1）2﹣4（x﹣1）（x+1）
＝4x2+4x+1﹣4（x2﹣1）
＝4x2+4x+1﹣4x2+4
＝4x+5；
（3）（x﹣2y）2﹣x（x+3y）﹣4y2
＝x2﹣4xy+4y2﹣x2﹣3xy﹣4y2
＝﹣7xy，
当x＝﹣4，y＝ 时，原式＝﹣7×（﹣4）×
＝14．20．如图，在正方形网格上有一个△ABC．
（1）画出△ABC关于直线MN的对称图形（不写画法）；
（2）若网格上的每个小正方形的边长为1，求△ABC的面积．
【分析】（1）先利用网格确定△ABC关于直线MN对称的点，再顺次连接各点即可得到△ABC关于直
线MN的对称图形；
（2）利用矩形面积减去周围多余三角形面积即可．
【解析】（1）如图所示：△DEF即为所求；
（2）△ABC的面积：4×5﹣ ×4×1﹣ ×5×3﹣ ×4×1＝20﹣2﹣7.5﹣2＝8.5．
21．如图，现有一个圆形转盘被平均分成6等份，分别标有2、3、4、5、6、7这六个数字，转动转盘，当
转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字，求：
（1）转到数字1是 不可能事件 ；（从“随机事件”、“必然事件”、“不可能事件”选一个填
入）
（2）转动转盘一次，转出的数字大于3的概率是多少？
（3）现有两张分别写有2和3的卡片，随机转动转盘一次，转盘停止后记下转出的数字，与两张卡片
上的数字分别作为三条线段的长度（长度单位均是厘米）．这三条线段能构成三角形的概率是多少？【分析】（1）根据题意和转盘中的数字，可知转到数字1是不可能事件，从而可以解答本题；
（2）根据题意，可以得到转动转盘，转出的数字大于3的概率；
（3）根据题意，可以计算出这三条线段能构成三角形的概率．
【解析】（1）由题意可得，转到数字1是不可能事件，
故答案为：不可能事件；
（2）转动转盘，转出的数字大于3的是4，5，6，7四种可能性，一共有六种可能性，
故转动转盘，转出的数字大于3的概率是 ＝ ；
（3）由题意可得，
可以构成三角形的三条线段是：2、3、2或2、3、3或2、3、4三种可能性，出现的可能性一共6种，
故这三条线段能构成三角形的概率是 ＝ ，
即这三条线段能构成三角形的概率是 ．
22．如图，如图，A，D，F，B在同一直线上，∠C＝∠E，AE∥BC，AD＝BF
求证：EF＝CD．
【分析】由平行线的性质可求得∠A＝∠B，由AD＝BF可求得AF＝BD，结合∠C＝∠E，利用AAS可
证得△AEF≌△BCD，则可证得EF＝CD．
【解答】证明：
∵AE∥BC，
∴∠A＝∠B，
∵AD＝BF，∴AD+DF＝DF+BF，即AF＝BD，
在△AEF和△BCD中
∴△AEF≌△BCD（AAS），
∴EF＝CD．
23．观察图示，解答问题．
（1）由上而下第8行，白球有 8 个，黑球有 1 5 个；
（2）若第n（n为正整数）行白球与黑球的总数记作y，求y与n的关系式；
（3）求出第2020行白球和黑球的总数．
【分析】（1）观察图形的变化即可得由上而下第8行，白球个数和黑球个数；
（2）结合（1）即可得第n（n为正整数）行白球与黑球的总数y与n的关系式；
（3）根据y与n的关系式即可求出第2020行白球和黑球的总数．
【解析】（1）第一行1个白球，1个黑球，
第二行2个白球，3个黑球，
第三行3个白球，5个黑球，
…
所以可得第n行白球有n个，黑球有2n﹣1个．
第8行，白球有8个，黑球有15个；
故答案为：8，15；
（2）第n（n为正整数）行白球数为n个，
黑球数为：（2n﹣1）个，
所以总数y与n的关系式为：y＝n+2n﹣1＝3n﹣1；
（3）第2020行白球和黑球的总数为：3×2020﹣1＝6059．
24．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M，连接MB．
（1）若∠ABC＝65°，则∠NMA的度数是 4 0 度．（2）若AB＝10cm，△MBC的周长是18cm．
①求BC的长度；
②若点P为直线MN上一点，请你直接写出△PBC周长的最小值．
【分析】（1）根据垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等得 AM＝BM，再根据等腰三角形的性质
即可求解；
（2）①根据垂直平分线的性质得AM＝BM，△MBC的周长是18cm．AC＝AB＝10cm，即可求BC的长
度；
②当点P与点M重合时，△PBC周长的最小，即为△MBC的周长．
【解析】（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C
∵∠ABC＝65°，∴∠C＝65°，
∴∠A＝50°，
MN是AB的垂直平分线，
∴AM＝BM，
∴∠A＝∠ABM＝50°，
∴∠MBC＝∠ABC﹣∠ABM＝15°，
∴∠AMB＝∠MBC+∠C＝80°，
∴∠NMA＝ ∠AMB＝40°．
故答案为40度．
（2）①∵AB＝AC＝10，
△MBC的周长是18cm，
即BM+MC+BC＝18
∵AM＝BM，
∴AM+MC+BC＝18，
∴AC+BC＝18，
∴BC＝8．
答：BC的长度为8cm．②当点P与点M重合时，△PBC周长的值最小，
答：△PBC的周长的最小值为18cm．
25．如图，在边长为12cm的等边△ABC中，P、Q两点分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边顺时针
方向运动，已知点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s．当点Q第一次到达B点时，P、Q同时停止
运动．设运动时间为t秒．求：
（1）t为何值时，P、Q两点第一次重合？
（2）t为何值时，△APQ为等边三角形？
（3）当点P、Q在BC边上运动时，是否存在以PQ为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时运动的
时间t；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据P与Q的运动时间相等，利用P的路程+12＝Q的路程列方程，可得结论；
（2）根据AP＝AQ列方程，可得结论；
（3）先证明△APC≌△AQB，得PC＝BQ，列方程可得结论．
【解析】（1）由题意得：t+12＝2t，
∴t＝12，
∴t为12时，P、Q两点第一次重合；
（2）如图1，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°，
∴当AP＝AQ时，△APQ是等边三角形，∴12﹣2t＝t，
∴t＝4；
（3）存在以PQ为底边的等腰三角形APQ，
如图2，∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB，∠B＝∠C＝60°，
∵AP＝AQ，
∴∠APQ＝∠AQP，
∴∠APC＝∠AQB，
在△APC和△AQB中，
，
∴△APC≌△AQB（AAS），
∴PC＝BQ，
∴t﹣12＝36﹣2t，
∴t＝16．
