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专题6不等式恒成立问题（原卷版）_02高考数学_新高考复习资料_2024年新高考资料_专项复习资料_学霸养成2024高考数学压轴大题必杀技系列·导数

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                            专题 6 不等式恒成立问题
一、考情分析
函数与导数一直是高考中的热点与难点,利用导数研究不等式恒成立问题一直是高考命题的热点,此类问题
一般会把函数、导数及不等式交汇考查,对能力要求比较高,难度也比较大,常见的题型是由不等式恒成立确
定参数范围问题,常见处理方法有：①首先要构造函数,利用导数研究函数的单调性,求出最值,进而得出相应
的含参不等式,从而求出参数的取值范围．②也可分离变量,构造函数,直接把问题转化为函数的最值问题．
二、解题秘籍
(一) 与不等式恒成立问题有关的结论
①. x∈D,均有f(x)>A恒成立,则f(x) >A；
min
②. ∀x∈D,均有f(x)﹤A恒成立,则 f(x) g(x)恒成立,则F(x)= f(x)- g(x) >0,∴ F(x) >0；
min
④. ∀x∈D,均有f(x)﹤g(x)恒成立,则F(x)= f(x)- g(x) <0,∴ F(x) <0；
max
⑤. ∀x∈D, x∈E,均有f(x) >g(x)恒成立,则f(x) > g(x) ；
1 2 1 2 min max
⑥. ∀x∈D, ∀x∈E,均有f(x) 0恒成立,即 对x>0
恒成立.
令 ,所以 ,
.令 , ,
则 恒成立,所以G(x)在（0,＋∞）上单调递增.
由于G(1)=e>0, ,所以 使得 ,
即 ,（※）
所以当 时,G(x)<0,当 时,G(x)>0,即F(x)在 上单调递减,在 上单调递增,
所以 ,
由（※）式可知, , ,
令 , ,又x>0,所以 ,即s(x)在（0,+∞）上为增函数,所以 ,即
,所以 ,
所以
所以,实数m的取值范围为（－∞,1].
三、典例展示
【例1】（2023届山东省淄博市实验中学、齐盛高中高三上学期考试）已知函数
．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)当 时， 使得 成立，求实数 的取值范围．
【解析】（1）解：由题意可得， ，故 ，
当 时， ，所以 在 上单调递增，无减区间；
当 时，令 ，解得 ；由 ，解得 ，
所以 的单调递增区间为 ，递减区间为 ．
综上所述，当 时， 的单调递增区间为 ，无减区间；当 时， 的单调递增区间为 ，递减区间为 ．
（2）解：由题意得，只需 成立．
因为 ，令 ，则 ，
当 时， ，当 时，
所以 在 上递减， 递增，且
所以 ，故 ，即 在 上单调递增，
所以 在 上递增，所以 ．
由（1）知，当 时， 在 上递增，在 上递减．
①当 即 时， 在 上递减， ，
所以 ，所以 ；
②当 即 时， 在 递增， ，
所以 ，所以 ；
③当 即 时， 在 上递增，在 上递减，
可得 ，
又因为
当 时， ，所以 ，所以 ；
当 时， ，所以 ，所以 ，
综上所述，实数 的取值范围是 .【例2】（2024届百师联盟高三上学期联考）已知函数 ， .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若关于 的不等式 在 上恒成立，求 的最小值.
【解析】（1）由题当 时， ，
， ， ，
所以切线方程为 ，化简得 ，
即曲线 在点 处的切线方程为 .
（2）由 可得 ，
令 ， ，
则 ，
当 时， ，
设 ，易知 在 上单调递增，
又 ， ，
则存在 ，使得 ，即 ，
取对数得 ，
当 时， ， ， 单调递增，
当 时， ， ， 单调递减，
，在 上单调递增，则 ，
又 对任意 恒成立， ，
所以 ，即 的最小值为-3.
【例3】（2024届浙江省名校协作体高三上学期联考）已知函数 有两个极值点
．其中 ， 为自然对数的底数．
(1)求实数 的取值范围；
(2)若 恒成立，求 的取值范围．
【解析】（1）由于 ，
由题知 有两个不同实数根，即 有两个不同实数根．
令 ，则 ，解得 ，故 在 上单调递增，在 上单调
递减，且 时， ， 时， ， ，故 的图象如图所示，
当 时， 有两个零点 且 ．则 或 ，故 在 上单
调递增，在 上单调递减，在 上单调递增， 的极大值点为 ，极小值点为 ．
故 有两个极值点时，实数 的取值范围为 ．
（2）由于若设 ，则上式即为
由（1）可得 ，两式相除得 ，即 ，
由 得
所以 ，令 ，
则 在 恒成立，由于 ，
令 ，则 ，
，
显然 在 递增，
又有 ，所以存在 使得 ，
且易得 在 递减， 递增，又有 ，
所以存在 使得 ，且易得 在 递减， 递增，
又 ，则 时， 时， ，所以易得 在 上
递减，在 上递增，则 ，
所以 的取值范围为 ．
【例4】（2023届河南省郑州外国语学校高三下学期4月月考）已知函数 ．（a，b为实
数）
(1)当 时，求过点 的 图象的切线方程；(2)设 ，若 恒成立，求b的取值范围．
【解析】（1）因为 ，则 ，
所以 ，设切线与 图象切于点 ，
则切线方程为 ，
令 ， 则 ， 即 ，
所以切线方程为 .
（2）由 ，
令 ， 则 ，故 ，
下面证明： 时符合题意.
当 时， ，
以下证明： ，
构造函数 ，
则 ，
令 ，则 ，
令 ，可得 ；
令 ，可得 ，
于是 在 上单调递减，在 上单调递增，
于是 ，
所以，当 时， ；当 时， .
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 ，综上，实数b的取值范围 ．
四、跟踪检测
1．（2024届湖北省随州市曾都区高三上学期测试）已知函数 （ ）图象在点
处的切线与直线 垂直．
(1)求实数a的值；
(2)若存在 ，使得 恒成立，求实数k的最大值．
2．（2023届黑龙江省鸡西市密山市高三上学期第三次月考）已知函数 ．
(1)若 是 的极值点，求 的单调性；
(2)若 恒成立，求a的取值范围．
3．（2024届陕西省西安市部分学校高三上学期联考）已知函数 ， 且 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若关于 的不等式 恒成立，其中 是自然对数的底数，求实数 的取值范围.
4．（2023届安徽省临泉第一中学高三上学期第三次月考）设函数 ，已知直线 是
曲线 的一条切线．
(1)求实数a的值；
(2)若不等式 对任意 恒成立，求实数 的取值范围．
5．（2024届江苏省镇江市丹阳市高三上学期检测）已知函数 （e为自然对数的底数）.
(1)求函数 在 处的切线方程；
(2)若 恒成立，求证：实数 .
6．（2024届福建省莆田市第一中学高三上学期期初考试）已知函数 ， .(1)若不等式 的解集为 ，求不等式 的解集；
(2)若对于任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
7．（2023届河南省部分名校高三二模）已知函数 ， .
(1)讨论 的单调性；
(2)当 时，若对于任意的 ，总存在 ，使得 ，求 的取值范围.
8．（2024届江西省赣州市第四中学高三上学期开学考试）设m为实数，函数 .
(1)当 时，直线 是曲线 的切线，求 的最小值；
(2)已函数 有两个不同的零点 ， （ ），若 ，且 恒成立，
求实数 的范围.
9．（2024届四川省广安友谊中学高三上学期9月月考）已知函数 .
(1)若 是 的极值点，求 的值；
(2)讨论函数 的单调性；
(3)若 恒成立，求a的取值范围；
10．（2024届内蒙古呼和浩特市高三第一次质量监测）已知函数 ，其中
，且 ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)当 时，过函数 图象对称中心C的直线与 图象交于A，B两点（异于点C），分别以A，
B两点为切点作 的切线，记切线的斜率分别为 ， ，若 恒成立，求实数m的取值范
围．                        

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