专题 6 不等式恒成立问题
一、考情分析
函数与导数一直是高考中的热点与难点,利用导数研究不等式恒成立问题一直是高考命题的热点,此类问题
一般会把函数、导数及不等式交汇考查,对能力要求比较高,难度也比较大,常见的题型是由不等式恒成立确
定参数范围问题,常见处理方法有：①首先要构造函数,利用导数研究函数的单调性,求出最值,进而得出相应
的含参不等式,从而求出参数的取值范围．②也可分离变量,构造函数,直接把问题转化为函数的最值问题．
二、解题秘籍
(一) 与不等式恒成立问题有关的结论
①. x∈D,均有f(x)>A恒成立,则f(x) >A；
min
②. ∀x∈D,均有f(x)﹤A恒成立,则 f(x) <A ；
max
③. ∀x∈D,均有f(x) >g(x)恒成立,则F(x)= f(x)- g(x) >0,∴ F(x) >0；
min
④. ∀x∈D,均有f(x)﹤g(x)恒成立,则F(x)= f(x)- g(x) <0,∴ F(x) <0；
max
⑤. ∀x∈D, x∈E,均有f(x) >g(x)恒成立,则f(x) > g(x) ；
1 2 1 2 min max
⑥. ∀x∈D, ∀x∈E,均有f(x) <g(x)恒成立,则f(x) < g(x) .
1 2 1 2 max min
∀ ∀
【例1】（2024届重庆市拔尖强基联盟高三上学期九月联考）已知函数 是定义
域上的奇函数，当 时， 的最小值为4.
(1)求实数 的值;
(2)令 ，对 ，都有 ，求实数 的取值范围.
【解析】（1）根据题意可知，对应定义域内任意 ，函数 满足 ，
即 ，
即 ，解得 ；
所以 ，
当 时， ，即 ，解得 ；
所以 ， .
（2）由（1）可得 ，
令 ， ，则 ，
易知当 时， ，此时函数 在 上单调递减，
当 时， ，即函数 在 上单调递增，
所以 ；
令 ，则 可化为 ，
因为二次函数 的对称轴为 ，
所以函数 在 上单调递增，
又对 ，都有 ，即 即可；
所以 ，
即 ，解得 ，
所以 ；
综上可得，实数 的取值范围是 .
(二)把函数单调性问题转化为不等式恒成立问题
若给出函数单调性,求参数范围,可把问题转化为恒成立问题,若可导函数 在 上是增（减）函数,则
时 （或 ）恒成立.
【例2】（2024届黑龙江省哈尔滨市第三中学高三上学期开学测试）已知函数 .(1)若 ，求函数 的图象在点 处的切线方程；
(2)若函数 在 内单调递减，求实数 的取值范围.
【解析】（1）因为 ，所以 ，
因为 ，
所以函数 的图象在点 处的切线方程为 ，
化为一般式为： ；
（2） ，
因为函数 在 内单调递减，
所以当 时， 恒成立，即 恒成立，
设 ， ，
即当 时， 恒成立，
当 时， ，当 时，显然 ；
当 时，要想 时， 恒成立；
因为 ，所以只需 ；
当 时，因为 ， 的对称轴为 ，
所以 时， 恒成立.
综上所述：实数 的取值范围为 .
(三)把二元不等式恒成立问题转化为函数单调性问题对于形如 时不等式 恒成立问题,可构造增函数 来求解.
基本结论：
(1)“若任意 , ,或对任意 , ,则 是
增函数；
(2) 对任意 , ,则 是增函数；
【例3】（2024届重庆市渝北中学高三上学期8月月考）已知函数 ，
．
(1)当 时，求函数 的极值；
(2)若任意 、 且 ，都有 成立，求实数 的取值范围．
【解析】（1）解：当 时， ，其中 ，
则 ，令 ，解得 或 ，
又因为 ，所以 ，
列表如下：
2
0
极小
单调递减 单调递增
值
因此 有极小值 ，无极大值.
（2）解：因为 ， ，所以 ，其中 ，
对 、 且 ，不妨设 ，则 ，
得到 ，化为 ，
设 且函数 的定义域为 ，
所以 在 为增函数，
即有 对 恒成立，即 对任意的 恒成立，
设 ，其中 ，则 ，
令 ，解得 ，令 ，解得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 最大值 ，因此实数 的取值范围是 ．
(四)形如“若 ,则 ”的恒成立问题
求解此类问题的思路是：先确定是使 的参数 的取值范围 ,当 ,由 为增函数及 可
得 恒成立,当 时确定存在 ,使得 , , 递减,即 时
,故原不等式不恒成立.
【例4】函数 的图像与直线 相切.
(1)求实数a的值；
(2)当 时, ,求实数m的取值范围.
【解析】 (1) ,设切点为 ,所以有 ,因为 是切线,
所以有 ,
设 ,显然当 时, 单调递增,所以有 ,
当 时, ,所以 无实数根,
因此当 时,方程 有唯一实数根,即 ,
于是有 ,因此有 ；
(2)令 ,则 在 恒成立
.
若 ,即 时,当 时,由 得 ,所以 在 单调递增,又 ,所
以 在 恒成立；当 时, 所以 .所以 在
恒成立.
若 即 时, ,则存在 ,使得 在 单调递减,则当 时,
矛盾,舍
综上所述, 的取值范围时 .
(五)根据不等式恒成立求整数参数的最值
此类问题通常可分类参数，把问题转化为 （ ）， 的形式， 有最小（大）值，
但无法求出，只能引入导函数的隐零点 ，估计 的范围，再确定整数 的最大（小）值.【例5】（2024届辽宁省沈阳市第一二〇中学高三上学期第二次质量检测）已知函数
.
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若 ，函数 在 上恒成立，求整数a的最大值.
【解析】（1）根据题意可得 ，
若 ， 在 上恒成立，此时函数 在 上单调递增；
若 ，此时 ，
当 时，满足 ，此时函数 在 ， 上单调递增；
当 时，满足 ，此时函数 在 单调递减；
若 ，此时 ，
当 时，满足 ，此时函数 在 ， 上单调递增，
当 时，满足 ，此时函数 在 单调递减；
综上可知， 时， 在 上单调递增；
时， 在 和 上单调递增，在 单调递减；
时， 在 和 上单调递增，在 单调递减；
（2）由 可得 ，解得 ；
所以 ，则 ，
易知 时， ，
若函数 在 上恒成立，等价成 在 上恒成立；令 ，则 ；
令 ，则 在 上恒成立，
即函数 在 上单调递增，
易知 ，由于 ，所以 ，
而 ，且 ，所以 ；
因此 在 有且仅有一个零点 ，满足 ，且 ；
所以当 时， ，当 时， ；
因此函数 在 上单调递减，在 上单调递增；
所以 的最小值为 ，显然 ，
因此 ，又 是整数，所以 的最大值为4.
(六)通过构造函数求最值解决不等式恒成立问题
①该方法一般是根据不等式的结构构造一个新函数,利用导数研究该函数的单调性,由函数的单调性确定其
最值,或把其最值用含有参数的式子来表示,再根据所给不等式列出关于参数的不等式,
②注意如果所构造的函数,其导数结构比较复杂不易分析出单调性,则可把需要判断符号的式子拿出来构造
一个新函数,再想办法解决其符号.
③有时所构造的函数的最值不易求出,可以引入导数的隐零点,把函数最值用导数的隐零点表示.
④在考虑函数最值时,除了依靠单调性,也可根据最值点的出处,即“只有边界点与极值点才是最值点的候选
点”,所以有的讨论点就集中在“极值点”是否落在定义域内.
【例6】设函数 ,其中 .
(1)当 时,求函数 的单调区间；(2)若 ,求实数 的取值范围.
【解析】 (1) ,
.
当 时, 恒成立,则 在 上为减函数,
当 时,令 ,可得 ,则 ,解得 ,
令 ,解得 ,
综上,当 时, 的减区间为 ；
当 时, 的单调递增区间为 ,单调递减区间为 .
(2)由 ,可得
设 ,
则 .
①当 时, , 单调递增,而 ,
所以不满足题意,
②当 时,令 ,解得 ,
当 时, , 为减函数,
当 时, , 为增函数,所以 .
令 ,
,
当 时, , 为增函数,
当 时, , 为减函数,
所以 ,又 .
则 ,解得 ,所以实数 的取值范围是 .
(七) 通过分类参数把不等式恒成立问题转化为求不含参数的函数的最值
①分类参数法就是在不等式中含有两个字母时（一个视为变量,另一个视为参数）,可利用不等式的等价变
形让两个字母分居不等号的两侧,即不等号的每一侧都是只含有一个字母的表达式.然后可利用其中一个变
量的范围求出另一变量的范围,转化为求函数的最值问题.
②一般情况下,那个字母的范围已知,就将其视为变量,构造关于它的函数,另一个字母（一般为所求）视为参
数.
③要注意分类参数法不是万能的,已知不等式中两个字母是否便于进行分离,如果仅通过几步简单变换即可
达到分离目的,则参变分离法可行.但有些不等式中由于两个字母的关系过于“紧密”,会出现无法分离的情
形,此时要考虑其他方法.此外参数分离后,要注意变量的函数解析式是否便于求出最值（或临界值）,若解析
式过于复杂而无法求出最值（或临界值）,则也无法用分离法解决问题.
【例7】已知函数 , .
(1)当b=1时,讨论函数 的单调性；
(2)若函数 在 处的切线方程为 ,且不等式 恒成立,求实数m的取值范围.
【解析】 (1)当b=1时, ,定义域为（0,+∞）, .
当 时, ,所以函数 在（0,+∞）上单调递减.当 时, ,
令 ,得 ；令 ,得 ,
所以函数 在（0,a）上单调递增,在（a,+∞）上单调递减.
综上,当 时,函数 在（0,+∞）上单调递增,
当 时,函数 在（0,a）上单调递增,在（a,+∞）上单调递减.
(2)因为函数 在 处的切线方程为y=(e－1)x－2,
所以 ,且 ,由于 ,
所以 解得a=b=1,所以f(x)=lnx－x,
所以f(x)≤g(x)即 ,等价于 对x>0恒成立,即 对x>0
恒成立.
令 ,所以 ,
.令 , ,
则 恒成立,所以G(x)在（0,＋∞）上单调递增.
由于G(1)=e>0, ,所以 使得 ,
即 ,（※）
所以当 时,G(x)<0,当 时,G(x)>0,即F(x)在 上单调递减,在 上单调递增,
所以 ,
由（※）式可知, , ,
令 , ,又x>0,所以 ,即s(x)在（0,+∞）上为增函数,所以 ,即
,所以 ,
所以
所以,实数m的取值范围为（－∞,1].
三、典例展示
【例1】（2023届山东省淄博市实验中学、齐盛高中高三上学期考试）已知函数
．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)当 时， 使得 成立，求实数 的取值范围．
【解析】（1）解：由题意可得， ，故 ，
当 时， ，所以 在 上单调递增，无减区间；
当 时，令 ，解得 ；由 ，解得 ，
所以 的单调递增区间为 ，递减区间为 ．
综上所述，当 时， 的单调递增区间为 ，无减区间；当 时， 的单调递增区间为 ，递减区间为 ．
（2）解：由题意得，只需 成立．
因为 ，令 ，则 ，
当 时， ，当 时，
所以 在 上递减， 递增，且
所以 ，故 ，即 在 上单调递增，
所以 在 上递增，所以 ．
由（1）知，当 时， 在 上递增，在 上递减．
①当 即 时， 在 上递减， ，
所以 ，所以 ；
②当 即 时， 在 递增， ，
所以 ，所以 ；
③当 即 时， 在 上递增，在 上递减，
可得 ，
又因为
当 时， ，所以 ，所以 ；
当 时， ，所以 ，所以 ，
综上所述，实数 的取值范围是 .【例2】（2024届百师联盟高三上学期联考）已知函数 ， .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若关于 的不等式 在 上恒成立，求 的最小值.
【解析】（1）由题当 时， ，
， ， ，
所以切线方程为 ，化简得 ，
即曲线 在点 处的切线方程为 .
（2）由 可得 ，
令 ， ，
则 ，
当 时， ，
设 ，易知 在 上单调递增，
又 ， ，
则存在 ，使得 ，即 ，
取对数得 ，
当 时， ， ， 单调递增，
当 时， ， ， 单调递减，
，在 上单调递增，则 ，
又 对任意 恒成立， ，
所以 ，即 的最小值为-3.
【例3】（2024届浙江省名校协作体高三上学期联考）已知函数 有两个极值点
．其中 ， 为自然对数的底数．
(1)求实数 的取值范围；
(2)若 恒成立，求 的取值范围．
【解析】（1）由于 ，
由题知 有两个不同实数根，即 有两个不同实数根．
令 ，则 ，解得 ，故 在 上单调递增，在 上单调
递减，且 时， ， 时， ， ，故 的图象如图所示，
当 时， 有两个零点 且 ．则 或 ，故 在 上单
调递增，在 上单调递减，在 上单调递增， 的极大值点为 ，极小值点为 ．
故 有两个极值点时，实数 的取值范围为 ．
（2）由于若设 ，则上式即为
由（1）可得 ，两式相除得 ，即 ，
由 得
所以 ，令 ，
则 在 恒成立，由于 ，
令 ，则 ，
，
显然 在 递增，
又有 ，所以存在 使得 ，
且易得 在 递减， 递增，又有 ，
所以存在 使得 ，且易得 在 递减， 递增，
又 ，则 时， 时， ，所以易得 在 上
递减，在 上递增，则 ，
所以 的取值范围为 ．
【例4】（2023届河南省郑州外国语学校高三下学期4月月考）已知函数 ．（a，b为实
数）
(1)当 时，求过点 的 图象的切线方程；(2)设 ，若 恒成立，求b的取值范围．
【解析】（1）因为 ，则 ，
所以 ，设切线与 图象切于点 ，
则切线方程为 ，
令 ， 则 ， 即 ，
所以切线方程为 .
（2）由 ，
令 ， 则 ，故 ，
下面证明： 时符合题意.
当 时， ，
以下证明： ，
构造函数 ，
则 ，
令 ，则 ，
令 ，可得 ；
令 ，可得 ，
于是 在 上单调递减，在 上单调递增，
于是 ，
所以，当 时， ；当 时， .
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 ，综上，实数b的取值范围 ．
四、跟踪检测
1．（2024届湖北省随州市曾都区高三上学期测试）已知函数 （ ）图象在点
处的切线与直线 垂直．
(1)求实数a的值；
(2)若存在 ，使得 恒成立，求实数k的最大值．
2．（2023届黑龙江省鸡西市密山市高三上学期第三次月考）已知函数 ．
(1)若 是 的极值点，求 的单调性；
(2)若 恒成立，求a的取值范围．
3．（2024届陕西省西安市部分学校高三上学期联考）已知函数 ， 且 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若关于 的不等式 恒成立，其中 是自然对数的底数，求实数 的取值范围.
4．（2023届安徽省临泉第一中学高三上学期第三次月考）设函数 ，已知直线 是
曲线 的一条切线．
(1)求实数a的值；
(2)若不等式 对任意 恒成立，求实数 的取值范围．
5．（2024届江苏省镇江市丹阳市高三上学期检测）已知函数 （e为自然对数的底数）.
(1)求函数 在 处的切线方程；
(2)若 恒成立，求证：实数 .
6．（2024届福建省莆田市第一中学高三上学期期初考试）已知函数 ， .(1)若不等式 的解集为 ，求不等式 的解集；
(2)若对于任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
7．（2023届河南省部分名校高三二模）已知函数 ， .
(1)讨论 的单调性；
(2)当 时，若对于任意的 ，总存在 ，使得 ，求 的取值范围.
8．（2024届江西省赣州市第四中学高三上学期开学考试）设m为实数，函数 .
(1)当 时，直线 是曲线 的切线，求 的最小值；
(2)已函数 有两个不同的零点 ， （ ），若 ，且 恒成立，
求实数 的范围.
9．（2024届四川省广安友谊中学高三上学期9月月考）已知函数 .
(1)若 是 的极值点，求 的值；
(2)讨论函数 的单调性；
(3)若 恒成立，求a的取值范围；
10．（2024届内蒙古呼和浩特市高三第一次质量监测）已知函数 ，其中
，且 ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)当 时，过函数 图象对称中心C的直线与 图象交于A，B两点（异于点C），分别以A，
B两点为切点作 的切线，记切线的斜率分别为 ， ，若 恒成立，求实数m的取值范
围．
