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八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本部分共12小题，每小题3分，共36分，每小题给出4个选项，其中只有一个是
正确的）
1．（3分）不等式2x﹣4≤0的解集在数轴上表示为（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）下列图案中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）下列命题正确的有（ ）
①如果等腰三角形的底角为15°，那么腰上的高是腰长的一半；
②三角形至少有一个内角不大于60°；
③连结任意四边形各边中点形成的新四边形是平行四边形；
④十边形内角和为1800°．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（3分）如果a＞b，下列各式中正确的是（ ）
A．a﹣3＞b﹣3 B．ac＞bc C．﹣2a＞﹣2b D． ＜
5．（3分）如图△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与
△ACP′重合，已知AP=3，则PP′的长度是（ ）
A．3B． C． D．4
6．（3分）如图，在等腰直角△ABC中，∠C=90°，AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB，且
DE=2cm，则AE的长是（ ）cm．
A．2 +2 B．2 C．4D．不确定
7．（3分）已知点A（2﹣a，a+1）在第一象限，则a的取值范围是（ ）
A．a＞2 B．﹣1＜a＜2 C．a＜﹣1 D．a＜1
8．（3分）下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（ ）
第 1 页 共 21 页A．12a2b=3a•4ab B．（x+3）（x﹣3）=x2﹣9
C．4x2+8x﹣1=4x（x+2）﹣1 D．x2+3x﹣4=（x﹣1）（x+4）
9．（3分）若9x2+2（k﹣3）x+16是完全平方式，则k的值为（ ）
A．15 B．15或﹣15 C．39或﹣33 D．15或﹣9
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点 B的坐标是（﹣2，0），点A是y轴正方向上的一点，
且∠BAO=30°，现将△BAO顺时针旋转90°至△DCO，直线l是线段BC的垂直平分线，点P
是l上一动点，则PA+PB的最小值为（ ）
A．2 B．4C．2 +1 D．2 +2
11．（3分）若a2+2a+b2﹣6b+10=0，则ba的值是（ ）
A．﹣1 B．3C．﹣3 D．
12．（3分）如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若矩形的面积为16
，AE=B′D，∠EFB=60°，则线段DE的长是（ ）
A．4 B．5C．6D．6
二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）要使分式 的值等于零，则x的取值是 ．
14．（3分）不等式3（x+1）≥5x﹣3的正整数解之和是 ．
15．（3分）如图的螺旋形由一系列含30°的直角三角形组成，其序号依次为①、②、③、④、
⑤…，则第6个直角三角形的斜边长为 ．
第 2 页 共 21 页16．（3分）如图，过边长为2的等边△ABC的边AB上点P作PE⊥AC于E，Q为BC延长线
上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC边于D，则DE长为 ．
三、解答题（17题6分；18题6分；19题6分；20题8分；21题8分；22题9分；23题9分，共
52分）
17．（6分）分解因式：
（1） x2﹣
（2）（m﹣n）2﹣6（n﹣m）+9．
18．（6分）解不等式组： ．
19．（6分）先化简 ，然后从 中选取一个你认为合
适的数作为x的值代入求值．
20．（8分）如图Rt△ACB中，已知∠BAC=30°，BC=2，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边
AB向外作等边△ACD，等边△ABE． EF⊥AB，垂足为F，连接DF．
（1）求证：四边形ADFE是平行四边形；
（2）求四边形ADFE的周长．
21．（8分）某市从今年1月1日起调整居民家用水价格，每立方米水费上涨 ，小刚家去年12
月份的水费是15元，而今年7月份的水费是30元，已知小刚家今年7月份的用水量比去年
12月份的用水量多5m3，求该市今年居民用水价格．
22．（9分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=12，BC=21，AD=16．动点P从
点B出发，沿射线BC的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线
段AD上以每秒1个单位长的速度向点D运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随
之停止运动．设运动的时间为t（秒）．
（1）设△DPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
（2）当t为何值时，四边形PCDQ是平行四边形？
第 3 页 共 21 页（3）分别求出当t为何值时，①PD=PQ，②DQ=PQ．
23．（9分）已知两个等腰Rt△ABC，Rt△CEF有公共顶点C，∠ABC=∠CEF=90°，连接AF，
M是AF的中点，连接MB、ME．
（1）如图1，当CB与CE在同一直线上时，求证：MB∥CF；
（2）如图1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME的长；
（3）如图2，当∠BCE=45°时，求证：BM=ME．
第 4 页 共 21 页八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本部分共12小题，每小题3分，共36分，每小题给出4个选项，其中只有一个是
正确的）
1．（3分）（2010•遵义）不等式2x﹣4≤0的解集在数轴上表示为（ ）
A． B． C． D．
【分析】先移项再系数化1，然后从数轴上找出．
【解答】解：2x﹣4≤0
2x≤4
x≤2
故选B．
【点评】本题既考查了一元一次不等式的解法又考查了数轴的表示方法．
2．（3分）（2016春•龙岗区期末）下列图案中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是中心对称图形．故错误；
B、是中心对称图形．故错误；
C、是中心对称图形．故错误；
D、不是中心对称图形．故正确．
故选D．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与
原图重合．
3．（3分）（2016春•龙岗区期末）下列命题正确的有（ ）
①如果等腰三角形的底角为15°，那么腰上的高是腰长的一半；
②三角形至少有一个内角不大于60°；
③连结任意四边形各边中点形成的新四边形是平行四边形；
④十边形内角和为1800°．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】利用等腰三角形的性质、三角形的三边关系、中点四边形及多边形的内角和的知识进
行判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：①如果等腰三角形的底角为15°，那么腰上的高是腰长的一半，正确，
证明如下：如图：
第 5 页 共 21 页∵∠B=∠ACB=15°，
∴∠CAB=150°，
∴∠CAD=30°，CD⊥AB，
∴在直角三角形ACD中，CD= AC；
②因为三角形的内角和等于180°，所以一个三角形中至少有一个内角不大于60°，所以三角
形至少有一个内角不大于60°正确；
③连结任意四边形各边中点形成的新四边形是平行四边形，正确，
证明如下：】证明：如图，连接AC，
∵E、F、G、H分别是四边形ABCD边的中点，
∴HG∥AC，HG= AC，EF∥AC，EF= AC；
∴EF=HG且EF∥HG；
∴四边形EFGH是平行四边形．
故答案是：平行四边形．；
④十边形内角和为（10﹣2）×180=1440°，故错误，
正确有3个，
故选C．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解等腰三角形的性质、三角形的三边
关系、中点四边形及多边形的内角和的知识，难度不大．
4．（3分）（2016春•龙岗区期末）如果a＞b，下列各式中正确的是（ ）
A．a﹣3＞b﹣3 B．ac＞bc C．﹣2a＞﹣2b D． ＜
【分析】根据不等式的性质对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、a＞b不等式的两边都减去3可得a﹣3＞b﹣3，故本选项正确；
B、a＞b不等式两边都乘以c，c的正负情况不确定，所以ac＞bc不一定成立，故本选项错误；
C、a＞b不等式的两边都乘以﹣2可得﹣2a＜﹣2b，故本选项错误；
D、a＞b不等式两边都除以2可得 ＞ ，故本选项错误．
故选A．
第 6 页 共 21 页【点评】本题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不
等号的方向不变．
（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
5．（3分）（2016春•龙岗区期末）如图△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点
A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，已知AP=3，则PP′的长度是（ ）
A．3B． C． D．4
【分析】根据旋转前后的图形全等，即可得出△APP'等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形
的性质，进行计算即可．
【解答】解：∵△ACP′是由△ABP绕点A逆时针旋转后得到的，
∴△ACP′≌△ABP，
∴AP=AP′，∠BAP=∠CAP′．
∵∠BAC=90°，
∴∠PAP′=90°，
故可得出△APP'是等腰直角三角形，
又∵AP=3，
∴PP′=3 ．
故选B．
【点评】此题考查了旋转的性质，解答本题的关键是掌握旋转前后对应边相等、对应角相等，
另外要掌握等腰三角形的性质，难度一般．
6．（3分）（2016春•龙岗区期末）如图，在等腰直角△ABC中，∠C=90°，AD是∠CAB的平分
线，DE⊥AB，且DE=2cm，则AE的长是（ ）cm．
A．2 +2 B．2 C．4D．不确定
【分析】根据角平分线的性质得出CD=DE=2，再利用等腰直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵在等腰直角△ABC中，∠C=90°，AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB，
∴DE=CD=2，
∴BE=DE=2，
∴DB= ，
∴BC=AC=AE=2 +2，
故选A
第 7 页 共 21 页【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，关键是根据角平分线的性质得出
CD=DE=2．
7．（3分）（2016春•龙岗区期末）已知点A（2﹣a，a+1）在第一象限，则a的取值范围是（ ）
A．a＞2 B．﹣1＜a＜2 C．a＜﹣1 D．a＜1
【分析】点在第一象限的条件是：横坐标是正数，纵坐标是正数．
【解答】解：∵点A（2﹣a，a+1）在第一象限．
∴ ．
解得：﹣1＜a＜2．故选B．
【点评】坐标平面被两条坐标轴分成了四个象限，每个象限内的点的坐标符号各有特点，该知
识点是中考的常考点，常与不等式、方程结合起来求一些字母的取值范围，比如本题中求m
的取值范围．
8．（3分）（2016春•龙岗区期末）下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（ ）
A．12a2b=3a•4ab B．（x+3）（x﹣3）=x2﹣9
C．4x2+8x﹣1=4x（x+2）﹣1 D．x2+3x﹣4=（x﹣1）（x+4）
【分析】分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式．因此，要确定从左到右的变形
中是否为分解因式，只需根据定义来确定．
【解答】解：A、左边是单项式，不是因式分解，错误；
B、是多项式乘法，不是因式分解，错误．
C、右边不是积的形式，错误；
D、是因式分解，正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了因式分解的意义，本题的关键是理解因式分解的定义：把一个多项式
化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，然后进行正确的因式
分解．
9．（3分）（2016春•龙岗区期末）若9x2+2（k﹣3）x+16是完全平方式，则k的值为（ ）
A．15 B．15或﹣15 C．39或﹣33 D．15或﹣9
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k的值．
【解答】解：∵9x2+2（k﹣3）x+16是完全平方式，
∴k﹣3=±12，
解得：k=15或k=﹣9，
故选D
【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
10．（3分）（2016春•龙岗区期末）如图，在平面直角坐标系中，点 B的坐标是（﹣2，0），点A
是y轴正方向上的一点，且∠BAO=30°，现将△BAO顺时针旋转90°至△DCO，直线l是线段
BC的垂直平分线，点P是l上一动点，则PA+PB的最小值为（ ）
第 8 页 共 21 页A．2 B．4C．2 +1 D．2 +2
【分析】根据已知条件得到OA=2 ，根据旋转的性质得到OC=OA=2 ，由直线l是线段
BC的垂直平分线，得到点B，C关于直线l对称，连接AC角直线l于P，于是得到AC的长度
=PA+PB的最小值，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：∵点 B的坐标是（﹣2，0），
∴OB=2，
∵∠BAO=30°，
∴OA=2 ，
∵现将△BAO顺时针旋转90°至△DCO，
∴OC=OA=2 ，
∵直线l是线段BC的垂直平分线，
∴点B，C关于直线l对称，
连接AC交直线l于P，
则此时AC的长度=PA+PB的最小值，
∵AC= =2 ，
∴PA+PB的最小值为2 ，
故选A．
【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，线段垂直平分线的性质，解答此题的关键是找
到点B的对称点，把题目的问题转化为两点之间线段最短解答．
11．（3分）（2016春•龙岗区期末）若a2+2a+b2﹣6b+10=0，则ba的值是（ ）
A．﹣1 B．3C．﹣3 D．
【分析】先配成非负数的和为0，各项为0，求出a，b代入即可．
第 9 页 共 21 页【解答】解：（1）∵a2+2a+b2﹣6b+10=0，
∴（a+1）2+（b﹣3）2=0，
∴a=﹣1，b=3，
∴ba=3﹣1= ，
故选D，
【点评】此题是配方法的应用，主要考查了非负数的性质，解本题的关键是求出a，b的值．
12．（3分）（2016春•龙岗区期末）如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′
处，若矩形的面积为16 ，AE=B′D，∠EFB=60°，则线段DE的长是（ ）
A．4 B．5C．6D．6
【分析】由把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，∠EFB=60°，易证得△EFB′
是等边三角形，继而可得△A′B′E中，B′E=2A′E，则可求得B′E的长，然后由勾股定理求得
A′B′的长，继而求得答案．
【解答】解：在矩形ABCD中，
∵AD∥BC，
∴∠DEF=∠EFB=60°，
∵把矩形ABCD沿EF翻折点B恰好落在AD边的B′处，
∴∠EFB=∠EFB′=60°，∠B=∠A′B′F=90°，∠A=∠A′=90°，AE=A′E，AB=A′B′，
在△EFB′中，
∵∠DEF=∠EFB=∠EB′F=60°
∴△EFB′是等边三角形，
Rt△A′EB′中，
∵∠A′B′E=90°﹣60°=30°，
∴B′E=2A′E，
∵矩形的面积为16 ，AE=B′D，
∴A′B′=2 ，即AB=2 ，
∵AD=AE+DE=8，AE=2，
∴DE=6，
故选C
【点评】此题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理以及等边三角形的判定与性质．此题
难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想的应用．
二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）（2016春•龙岗区期末）要使分式 的值等于零，则x的取值是 ﹣ 1 ．
第 10 页 共 21 页【分析】根据分式值为零的条件：分母不为零，分子等于零可得x2﹣1=0，且x﹣1≠0，再解即
可．
【解答】解：由题意得：x2﹣1=0，且x﹣1≠0，
解得：x=﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】此题主要考查了值为零的条件，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注
意：“分母不为零”这个条件不能少．
14．（3分）（2016春•龙岗区期末）不等式3（x+1）≥5x﹣3的正整数解之和是 6 ．
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得解集，
再确定其正整数解之和．
【解答】解：去括号，得：3x+3≥5x﹣3，
移项，得：3x﹣5x≥﹣3﹣3，
合并同类项，得：﹣2x≥﹣6，
系数化为1，得：x≤3，
∴该不等式的正整数解之和为1+2+3=6，
故答案为：6．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，
尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
15．（3分）（2016春•龙岗区期末）如图的螺旋形由一系列含30°的直角三角形组成，其序号依
次为①、②、③、④、⑤…，则第6个直角三角形的斜边长为 ．
【分析】分别求出各个三角形的边长，找出规律即可解答．
【解答】解：第①个直角三角形中，30°角所对的直角边为1，
则斜边长为2，另一直角边为 ，
第②个直角三角形中，斜边为 ，
则30°对应直角边为 ，
另一直角边为 = ，
第③个直角三角形中，斜边为 ，
则30°对应直角边为 ，
另一直角边为 ，
第 11 页 共 21 页第④个直角三角形的斜边为 ，
第⑤个直角三角形的斜边长为 ，
第⑥个直角三角形的斜边成为 ，
故答案为 ．
【点评】本题考查勾股定理的应用，应用勾股定理求出三角形的一条直角边正好是下一个三
角形的斜边．
16．（3分）（2013•陕西模拟）如图，过边长为2的等边△ABC的边AB上点P作PE⊥AC于
E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC边于D，则DE长为 1 ．
【分析】过P做BC的平行线至AC于F，通过求证△PFD和△QCD全等，推出FD=CD，再通
过证明△APF是等边三角形和PE⊥AC，推出AE=EF，即可推出AE+DC=EF+FD，可得ED=
AC，即可推出ED的长度．
【解答】解：过P做BC的平行线至AC于F，
∴∠Q=∠FPD，
∵等边△ABC，
∴∠APF=∠B=60°，∠AFP=∠ACB=60°，
∴△APF是等边三角形，∴AP=PF，AP=CQ，
∵AP=CQ，
∴PF=CQ，
∵在△PFD和△QCD中，
，
∴△PFD≌△QCD（AAS），
∴FD=CD，∵PE⊥AC于E，△APF是等边三角形，∴AE=EF，
∴AE+DC=EF+FD，
∴ED= AC，∵AC=2，
∴DE=1．
故答案为1．
第 12 页 共 21 页【点评】本题主要考查等边三角形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质，
关键在于正确地作出辅助线，熟练运用相关的性质、定理，认真地进行计算．
三、解答题（17题6分；18题6分；19题6分；20题8分；21题8分；22题9分；23题9分，共
52分）
17．（6分）（2016春•龙岗区期末）分解因式：
（1） x2﹣
（2）（m﹣n）2﹣6（n﹣m）+9．
【分析】（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；
（2）原式利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：（1）原式= （x2﹣9）= （x+3）（x﹣3）；
（2）原式=（m﹣n）2+6（m﹣n）+9=（m﹣n+3）2．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的
关键．
18．（6分）（2016春•龙岗区期末）解不等式组： ．
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【解答】解：由①得，x≥ ，由②得，x＞﹣2，
故不等式组的解集为：﹣2＜x≤ ．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大
大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19．（6分）（2009•河南）先化简 ，然后从 中选取一
个你认为合适的数作为x的值代入求值．
【分析】首先利用分式的运算方法进行化简，本题有两种方法：一是对括号里的式子先通分、
合并，再将后式除法变为乘法，分解因式后约分；二是先把后式除法变乘法，再利用乘法分配
律化简．在选值计算时，要保证在分式有意义的情况下选值．
【解答】解：原式=
第 13 页 共 21 页= ，
∵x﹣1≠0，x+1≠0，∴x≠±1，
当x= 时，
原式= ．
【点评】本题所考查的内容“分式的运算”是数与式的核心内容，全面考查了有理数、整式、
分式运算等多个知识点，要合理寻求简单运算途径的能力及分式运算．这是个分式混合运算
题，运算顺序是先乘除后加减，加减法时要注意把各分母先因式分解，确定最简公分母进行
通分；做除法时要注意先把除法运算转化为乘法运算，而做乘法运算时要注意先把分子、分
母能因式分解的先分解，然后约分．
20．（8分）（2016春•龙岗区期末）如图Rt△ACB中，已知∠BAC=30°，BC=2，分别以
Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD，等边△ABE． EF⊥AB，垂足为F，连
接DF．
（1）求证：四边形ADFE是平行四边形；
（2）求四边形ADFE的周长．
【分析】（1）首先Rt△ABC中，由∠BAC=30°可以得到AB=2BC，又因为△ABE是等边三角
形，EF⊥AB，由此得到AE=2AF，并且AB=2AF，然后即可证明△AFE≌△BCA，再根据全等
三角形的性质即可证明AC=EF，根据△ACD是等边三角形，所以EF=AC=AD，并且
AD⊥AB，而EF⊥AB，由此得到EF∥AD，再根据平行四边形的判定定理即可证明四边形
ADFE是平行四边形；
（2）直接利用等边三角形的性质结合平行四边形的性质得出各边长即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵Rt△ABC中，∠BAC=30°，
∴AB=2BC，
又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，
∴AB=2AF
∴AF=BC，
在Rt△AFE和Rt△BCA中，
，
∴△AFE≌△BCA（HL），
∴AC=EF；
∵△ACD是等边三角形，
∴∠DAC=60°，AC=AD，
∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°，
第 14 页 共 21 页又∵EF⊥AB，
∴EF∥AD，
∵AC=EF，AC=AD，
∴EF=AD，
∴四边形ADFE是平行四边形；
（2）解：∵∠BAC=30°，BC=2，∠ACB=90°，
∴AB=AE=2，
∵AF=BF= AB=1，
则EF=AD= ，
故四边形ADFE的周长为：2+2+2 =4+2 ．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质和平行四边形的判
定与性质，正确利用全等三角形的性质和等边三角形的性质证明平行四边形是解题关键．
21．（8分）（2012•太原一模）某市从今年1月1日起调整居民家用水价格，每立方米水费上涨
，小刚家去年12月份的水费是15元，而今年7月份的水费是30元，已知小刚家今年7月
份的用水量比去年12月份的用水量多5m3，求该市今年居民用水价格．
【分析】求的是单价，总价明显，一定是根据数量来列等量关系，本题的关键描述语是：今年7
月份的用水量比去年12月份的用水量多5m3，等量关系为：7月份的用水量﹣12月份的用水
量=5m3．
【解答】解：设去年居民用水价格为x元/立方米，则今年水费为x（1+ ）元/立方米，
根据题意可列方程为： ﹣ =5
∴ ，
∴ ，
方程两边同时乘以2x，得：
45﹣30=10x，
解得：x=1.5
经检验x=1.5是原方程的解．
第 15 页 共 21 页则x（1+ ）=2
答：该市今年居民用水价格为2元/立方米．
【点评】本题考查了分式方程的应用，应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一
定是根据另一量来列等量关系的．本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找
到合适的等量关系是解决问题的关键．
22．（9分）（2013•江北区模拟）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=12，
BC=21，AD=16．动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点
Q同时从点A出发，在线段AD上以每秒1个单位长的速度向点D运动，当其中一个动点到
达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．
（1）设△DPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
（2）当t为何值时，四边形PCDQ是平行四边形？
（3）分别求出当t为何值时，①PD=PQ，②DQ=PQ．
【分析】（1）S△QDP = DQ•AB，由题意知：AQ=t，DQ=AD﹣AQ=16﹣t，将DQ和AB的长代入，
可求出S与t之间的函数关系式；
（2）当四边形PCDQ为平行四边形时，PC=DQ，即16﹣t=21﹣2t，可将t求出；
（3）当PD=PQ时，可得：AD=3t，从而可将t求出；当DQ=PQ时，根据DQ2=PQ2即：t2+122=
（16﹣t）2可将t求出．
【解答】（1）解：直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BC=21，AB=12，AD=16，
依题意AQ=t，BP=2t，则DQ=16﹣t，PC=21﹣2t，
过点P作PE⊥AD于E，
则四边形ABPE是矩形，PE=AB=12，
∴S△DPQ = DQ•AB= （16﹣t）×12=﹣6t+96．
（2）当四边形PCDQ是平行四边形时，PC=DQ，
∴21﹣2t=16﹣t解得：t=5，
∴当t=5时，四边形PCDQ是平行四边形．
（3）∵AE=BP=2t，PE=AB=12，
①当PD=PQ时，QE=ED= QD，
∵DE=16﹣2t，
∴AE=BP=AQ+QE，即2t=t+16﹣2t，
解得：t= ，
第 16 页 共 21 页∴当t= 时，PD=PQ
②当DQ=PQ时，DQ2=PQ2
∴t2+122=（16﹣t）2解得：t=
∴当t= 时，DQ=PQ
【点评】本题主要考查梯形、平行四边形的特殊性质，在解题过程中要注意数形结合．
23．（9分）（2013•常德）已知两个等腰Rt△ABC，Rt△CEF有公共顶点C，
∠ABC=∠CEF=90°，连接AF，M是AF的中点，连接MB、ME．
（1）如图1，当CB与CE在同一直线上时，求证：MB∥CF；
（2）如图1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME的长；
（3）如图2，当∠BCE=45°时，求证：BM=ME．
【分析】（1）证法一：如答图1a所示，延长AB交CF于点D，证明BM为△ADF的中位线即
可；
证法二：如答图1b所示，延长BM交EF于D，根据在同一平面内，垂直于同一直线的两直线
互相平行可得AB∥EF，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BAM=∠DFM，根据中点定义
可得AM=MF，然后利用“角边角”证明△ABM和△FDM全等，再根据全等三角形对应边
相等可得AB=DF，然后求出BE=DE，从而得到△BDE是等腰直角三角形，根据等腰直角三
角形的性质求出∠EBM=45°，从而得到∠EBM=∠ECF，再根据同位角相等，两直线平行证明
MB∥CF即可，
（2）解法一：如答图2a所示，作辅助线，推出BM、ME是两条中位线；
解法二：先求出BE的长，再根据全等三角形对应边相等可得BM=DM，根据等腰三角形三线
合一的性质可得EM⊥BD，求出△BEM是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求
解即可；
（3）证法一：如答图3a所示，作辅助线，推出BM、ME是两条中位线：BM= DF，ME= AG；
然后证明△ACG≌△DCF，得到DF=AG，从而证明BM=ME；
第 17 页 共 21 页证法二：如答图3b所示，延长BM交CF于D，连接BE、DE，利用同旁内角互补，两直线平行
求出AB∥CF，再根据两直线平行，内错角相等求出∠BAM=∠DFM，根据中点定义可得
AM=MF，然后利用“角边角”证明△ABM和△FDM全等，再根据全等三角形对应边相等
可得AB=DF，BM=DM，再根据“边角边”证明△BCE和△DFE全等，根据全等三角形对应
边相等可得BE=DE，全等三角形对应角相等可得∠BEC=∠DEF，然后求出
∠BED=∠CEF=90°，再根据等腰直角三角形的性质证明即可．
【解答】（1）证法一：
如答图1a，延长AB交CF于点D，
则易知△ABC与△BCD均为等腰直角三角形，
∴AB=BC=BD，
∴点B为线段AD的中点，
又∵点M为线段AF的中点，
∴BM为△ADF的中位线，
∴BM∥CF．
证法二：
如答图1b，延长BM交EF于D，
∵∠ABC=∠CEF=90°，
∴AB⊥CE，EF⊥CE，
∴AB∥EF，
∴∠BAM=∠DFM，
∵M是AF的中点，
∴AM=MF，
在△ABM和△FDM中，
，
∴△ABM≌△FDM（ASA），
∴AB=DF，
∵BE=CE﹣BC，DE=EF﹣DF，
∴BE=DE，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴∠EBM=45°，
∵在等腰直角△CEF中，∠ECF=45°，
∴∠EBM=∠ECF，
∴MB∥CF；
（2）解法一：
如答图2a所示，延长AB交CF于点D，则易知△BCD与△ABC为等腰直角三角形，
∴AB=BC=BD=a，AC=CD= a，
∴点B为AD中点，又点M为AF中点，
∴BM= DF．
第 18 页 共 21 页分别延长FE与CA交于点G，则易知△CEF与△CEG均为等腰直角三角形，
∴CE=EF=GE=2a，CG=CF= a，
∴点E为FG中点，又点M为AF中点，
∴ME= AG．
∵CG=CF= a，CA=CD= a，
∴AG=DF= a，
∴BM=ME= × a= a．
解法二：如答图1b．
∵CB=a，CE=2a，
∴BE=CE﹣CB=2a﹣a=a，
∵△ABM≌△FDM，
∴BM=DM，
又∵△BED是等腰直角三角形，
∴△BEM是等腰直角三角形，
∴BM=ME= BE= a；
（3）证法一：
如答图3a，延长AB交CE于点D，连接DF，则易知△ABC与△BCD均为等腰直角三角形，
∴AB=BC=BD，AC=CD，
∴点B为AD中点，又点M为AF中点，∴BM= DF．
延长FE与CB交于点G，连接AG，则易知△CEF与△CEG均为等腰直角三角形，
∴CE=EF=EG，CF=CG，
∴点E为FG中点，又点M为AF中点，∴ME= AG．
在△ACG与△DCF中，
，
∴△ACG≌△DCF（SAS），
∴DF=AG，
∴BM=ME．
证法二：
如答图3b，延长BM交CF于D，连接BE、DE，
∵∠BCE=45°，
∴∠ACD=45°×2+45°=135°
第 19 页 共 21 页∴∠BAC+∠ACF=45°+135°=180°，
∴AB∥CF，
∴∠BAM=∠DFM，
∵M是AF的中点，
∴AM=FM，
在△ABM和△FDM中，
，
∴△ABM≌△FDM（ASA），
∴AB=DF，BM=DM，
∴AB=BC=DF，
在△BCE和△DFE中，
，
∴△BCE≌△DFE（SAS），
∴BE=DE，∠BEC=∠DEF，
∴∠BED=∠BEC+∠CED=∠DEF+∠CED=∠CEF=90°，
∴△BDE是等腰直角三角形，
又∵BM=DM，
∴BM=ME= BD，
故BM=ME．
第 20 页 共 21 页【点评】本题考查了三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，
作辅助线构造出中位线、全等三角形和等腰直角三角形是解题的关键，也是本题的难点．
第 21 页 共 21 页
