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八年级（下）期中数学试卷
一、单项选择题：（本题每小题3分，共36分）
1．（3分）下列各式中，是分式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）下列等式从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．6a3b=3a2•2ab B．（x+2）（x﹣2）=x2﹣4
C．2x2+4x﹣3=2x（x+2）﹣3 D．ax﹣ay=a（x﹣y）
3．（3分）如图，△ABC中，AB=AC，D是BC中点，下列结论中不正确的是（ ）
A．∠B=∠C B．AD⊥BC C．AD平分∠BACD．AB=2BD
4．（3分）不等式组 的解集在数轴上表示为（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）若（y+3）（y﹣2）=y2+my+n，则m、n的值分别为（ ）
A．m=5，n=6 B．m=1，n=﹣6 C．m=1，n=6 D．m=5，n=﹣6
6．（3分）以下命题的逆命题为真命题的是（ ）
A．对顶角相等 B．同旁内角互补，两直线平行
C．若a=b，则a2=b2D．若a＞0，b＞0，则a2+b2＞0
7．（3分）如图，在△ABC中，∠CAB=75°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′位
置，且CC′∥AB，则∠CAB的度数是（ ）
A．30° B．45° C．40° D．50°
8．（3分）若分式 的值为零，则x等于（ ）
第 1 页 共 16 页A．2B．﹣2 C．±2 D．0
9．（3分）计算﹣22013+（﹣2）2014的结果是（ ）
A．22013 B．﹣2 C．﹣22013 D．﹣1
10．（3分）如图，△ABC中，AB边的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，已知AC=5cm，
△ADC的周长为17cm，则BC的长为（ ）
A．7cm B．10cm C．12cm D．22cm
11．（3分）已知关于x的不等式组 的整数解共有6个，则a的取值范围是（ ）
A．﹣6＜a＜﹣5 B．﹣6≤a＜﹣5 C．﹣6＜a≤﹣5 D．﹣6≤a≤﹣5
12．（3分）如果三角形的三边a、b、c适合a（2 b﹣c）+b（2 c﹣a）+c（2 a﹣b）=0，那么△ABC的形
状是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
13．（3分）分解因式：ax2﹣16ay2= ．
14．（3分）如图，已知函数y =3x+b和y =ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），则不等式3x+b＞
1 2
ax﹣3的解集为 ．
15．（3分）已知4x2+mxy+y2是完全平方式，则m的值是 ．
16．（3分）函数y= 中自变量x的取值范围是 ．
17．（3分）在△ABC中，AB=2 ，BC=1，∠ABC=45°，以AB为一边作等腰直角三角形
ABD，使∠ABD=90°，连接CD，则线段CD的长为 ．
三、解答题
18．（10分）因式分解：
（1）x2﹣3x﹣28
（2）x2﹣y2+x+y．
第 2 页 共 16 页19．（6分）求 的自然数解．
20．（6分）解方程： =3﹣ ．
21．（6分）先化简（ ﹣ ）÷ ，然后从﹣1≤x≤1的范围内选取一个合适
的整数作为x的值代入求值．
22．（6分）已知关于x，y的方程组 的解是非负数，求整数m的值．
23．（6分）△ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示．
（1）作△ABC关于点C成中心对称的△A B C ，并写出点A 的坐标；
1 1 1 1
（2）将△A B C 向右平移4个单位，作出平移后的△A B C ，并写出点A 的坐标．
1 1 1 2 2 2 2
24．（6分）已知：如图，点D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AC于E，DF⊥AB于F，且
DE=DF．求证：△ABC是等腰三角形．
25．（7分）若关于x的方程 有增根，试求k的值．
26．（7分）A、B两地相距80千米，一辆公共汽车从A地出发开往B地，2小时后，又从A地
开来一辆小汽车，小汽车的速度是公共汽车的2倍．结果小汽车比公共汽车早40分钟到达B
地．求两种车的速度．
27．（9分）某家电销售商城电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元，每
台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商城用80000元购进电冰箱的数量与用64000
元购进空调的数量相等．
（1）求每台电冰箱与空调的进价分别是多少？
第 3 页 共 16 页（2）现在商城准备一次购进这两种家电共100台，设购进电冰箱x台，这100台家电的销售总
利润为y元，要求购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，总利润不低于13000元，请分析合
理的方案共有多少种？并确定获利最大的方案以及最大利润；
（3）实际进货时，厂家对电冰箱出厂价下调k（0＜k＜100）元，若商店保持这两种家电的售价
不变，请你根据以上信息及（2）问中条件，设计出使这100台家电销售总利润最大的进货方
案．
第 4 页 共 16 页八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：（本题每小题3分，共36分）
1．（3分）（2016春•山亭区期末）下列各式中，是分式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据分母中含有字母的式子是分式，可得答案．
【解答】解： 是分式，
故选：C．
【点评】本题考查了分式的定义，分母中含有字母的式子是分式，否则是整式，注意π是常数
不是字母， 是整式．
2．（3分）（2016春•山亭区期末）下列等式从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．6a3b=3a2•2ab B．（x+2）（x﹣2）=x2﹣4
C．2x2+4x﹣3=2x（x+2）﹣3 D．ax﹣ay=a（x﹣y）
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，可得答案．
【解答】解：A、没把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故A错误；
B、是整式的乘法，故B错误；
C、没把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故C错误；
D、把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故D正确；
故选：D．
【点评】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，
注意正确区分因式分解与整式乘法的区别．
3．（3分）（2016春•山亭区期末）如图，△ABC中，AB=AC，D是BC中点，下列结论中不正确
的是（ ）
A．∠B=∠C B．AD⊥BC C．AD平分∠BACD．AB=2BD
【分析】此题需对每一个选项进行验证从而求解．
【解答】解：∵△ABC中，AB=AC，D是BC中点
∴∠B=∠C，（故A正确）
AD⊥BC，（故B正确）
∠BAD=∠CAD（故C正确）
第 5 页 共 16 页无法得到AB=2BD，（故D不正确）．
故选：D．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，本题关键熟练运用等腰三角形的三线合一性质
4．（3分）（2016•冷水江市三模）不等式组 的解集在数轴上表示为（ ）
A． B． C． D．
【分析】分别求出各不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．
【解答】解： ，
由①得，x＞1，
由②得，x≥2，
故此不等式组得解集为：x≥2．
在数轴上表示为：
．
故选A．
【点评】本题考查的是在数轴上表示不等式组得解集，熟知“小于向左，大于向右”是解答此
题的关键．
5．（3分）（2016春•东平县期末）若（y+3）（y﹣2）=y2+my+n，则m、n的值分别为（ ）
A．m=5，n=6 B．m=1，n=﹣6 C．m=1，n=6 D．m=5，n=﹣6
【分析】先根据多项式乘以多项式的法则计算（y+3）（y﹣2），再根据多项式相等的条件即可求
出m、n的值．
【解答】解：∵（y+3）（y﹣2）=y2﹣2y+3y﹣6=y2+y﹣6，
∵（y+3）（y﹣2）=y2+my+n，
∴y2+my+n=y2+y﹣6，
∴m=1，n=﹣6．
故选B．
【点评】本题主要考查多项式乘以多项式的法则：（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn．注意不要漏项，
漏字母，有同类项的合并同类项．
6．（3分）（2016春•山亭区期末）以下命题的逆命题为真命题的是（ ）
A．对顶角相等 B．同旁内角互补，两直线平行
C．若a=b，则a2=b2D．若a＞0，b＞0，则a2+b2＞0
第 6 页 共 16 页【分析】根据逆命题与原命题的关系，先写出四个命题的逆命题，然后依次利用对顶角的定义、
平行线的性质、有理数的性质进行判断．
【解答】解：A、对顶角相等逆命题为相等的角为对顶角，此逆命题为假命题，故A选项错误；
B、同旁内角互补，两直线平行的逆命题为两直线平行，同旁内角互补，此逆命题为真命题，故
B选项正确；
C、若a=b，则a2=b2的逆命题为若a2=b2，则a=b，此逆命题为假命题，故C选项错误；
D、若a＞0，b＞0，则a2+b2＞0的逆命题为若a2+b2＞0，则a＞0，b＞0，此逆命题为假命题，故
D选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命
题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．考查逆命题是否为真命题，关键先找出逆
命题，再进行判断．
7．（3分）（2015春•扬中市期末）如图，在△ABC中，∠CAB=75°，在同一平面内，将△ABC
绕点A旋转到△AB′C′位置，且CC′∥AB，则∠CAB的度数是（ ）
A．30° B．45° C．40° D．50°
【分析】先根据平行线的性质得∠C′CA=∠CAB=75°，再根据旋转的性质得AC=AC′，
∠C′AB′=∠CAB=75°，接着根据等腰三角形的性质有∠CC′A=∠C′CA=75°，于是根据三角形
内角和可计算出∠CAC′=30°，然后利用∠CAB′=∠C′AB′﹣∠C′AC进行计算即可．
【解答】解：∵CC′∥AB，
∴∠C′CA=∠CAB=75°，
∵△ABC绕点A旋转得到△AB′C′，
∴AC=AC′，∠C′AB′=∠CAB=75°，
∴∠CC′A=∠C′CA=75°，
∴∠CAC′=180°﹣75°﹣75°=30°，
∴∠CAB′=∠C′AB′﹣∠C′AC=75°﹣30°=45°．
故选B．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段
的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
8．（3分）（2015春•通川区期末）若分式 的值为零，则x等于（ ）
A．2B．﹣2 C．±2 D．0
【分析】分式的值是0的条件是：分子为0，分母不为0．
【解答】解：∵x2﹣4=0，
∴x=±2，
当x=2时，2x﹣4=0，∴x=2不满足条件．
第 7 页 共 16 页当x=﹣2时，2x﹣4≠0，∴当x=﹣2时分式的值是0．
故选：B．
【点评】分式是0的条件中特别需要注意的是分母不能是0，这是经常考查的知识点．
9．（3分）（2016春•雅安校级期中）计算﹣22013+（﹣2）2014的结果是（ ）
A．22013 B．﹣2 C．﹣22013 D．﹣1
【分析】原式利用乘方的意义计算即可得到结果．
【解答】解：原式=﹣22013+22014=22013（﹣1+2）=22013．
故选：A．
【点评】此题考查了有理数的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
10．（3分）（2016春•山亭区期末）如图，△ABC中，AB边的垂直平分线交AB于点E，交BC
于点D，已知AC=5cm，△ADC的周长为17cm，则BC的长为（ ）
A．7cm B．10cm C．12cm D．22cm
【分析】根据三角形周长求出AD+DC=12cm，根据线段垂直平分线求出AD=BD，求出
BC=AD+DC，即可得出答案．
【解答】解：∵AC=5cm，△ADC的周长为17cm，
∴AD+DC=12cm，
∵AB的垂直平分线DE，
∴BD=AD，
∴BC=BD+DC=AD+DC=12cm，
故选：C．
【点评】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端
点的距离相等．
11．（3分）（2016春•雅安期末）已知关于x的不等式组 的整数解共有6个，则a
的取值范围是（ ）
A．﹣6＜a＜﹣5 B．﹣6≤a＜﹣5 C．﹣6＜a≤﹣5 D．﹣6≤a≤﹣5
【分析】先解不等式组，然后根据有6个整数解，求出a的取值范围．
【解答】解：解不等式x﹣a＞0得：x＞a，
解不等式2﹣2x＞0得，x＜1，
则不等式组的解集为a＜x＜1，
∵不等式组有6个整数解，
∴﹣6≤a＜5．
故选B．
第 8 页 共 16 页【点评】此题考查的是一元一次不等式的解法，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取
较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
12．（3分）（2016春•雅安校级期中）如果三角形的三边a、b、c适合a（2 b﹣c）+b（2 c﹣a）+c（2 a
﹣b）=0，那么△ABC的形状是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
【分析】由原式通过因式分解得到（a﹣b）（c﹣a）（c﹣b）=0，由此可以求得a、b、c间的数量关
系．
【解答】解：原式=a2b﹣a2c+b2c﹣ab2+c2（a﹣b）
=ab（a﹣b）﹣c（a+b）（a﹣b）+c2（a﹣b）
=（a﹣b）[c2﹣c（a+b）+ab]
=（a﹣b）（c﹣a）（c﹣b），
即（a﹣b）（c﹣a）（c﹣b）=0
所以a=b或c=a或c=b
故△ABC是等腰三角形．
故选B．
【点评】本题考查了因式分解的应用．注意由（a﹣b）（c﹣a）（c﹣b）=0推知a=b或c=a或c=b，
但是也不一定a=b=c，所以该三角形是等腰三角形，也有可能是等边三角形，但是不一定是等
边三角形．
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
13．（3分）（2015秋•盘锦期末）分解因式：ax2﹣16ay2= a （ x + 4 y ）（ x﹣4 y ） ．
【分析】原式提取公因式a后，利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式=a（x+4y）（x﹣4y）．
故答案为：a（x+4y）（x﹣4y）
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的
关键．
14．（3分）（2016春•诸城市期末）如图，已知函数y =3x+b和y =ax﹣3的图象交于点P（﹣2，
1 2
﹣5），则不等式3x+b＞ax﹣3的解集为 x ＞ ﹣ 2 ．
【分析】根据两函数的交点坐标，结合图象即可确定出所求不等式的解集．
【解答】解：由题意及图象得：不等式3x+b＞ax﹣3的解集为x＞﹣2，
故答案为：x＞﹣2
【点评】此题考查了一次函数与一元一次不等式，利用了数形结合的思想，灵活运用数形结合
思想是解本题的关键．
第 9 页 共 16 页15．（3分）（2014春•深圳期末）已知4x2+mxy+y2是完全平方式，则m的值是 ± 4 ．
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可得到m的值．
【解答】解：∵4x2+mxy+y2是完全平方式，
∴m=±4．
故答案为：±4．
【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
16．（3分）（2016春•福州校级期末）函数y= 中自变量x的取值范围是 x ≤ 2
且 x ≠ 1 ．
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，2﹣x≥0且x﹣1≠0，
解得x≤2且x≠1．
故答案为：x≤2且x≠1．
【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
17．（3分）（2013•哈尔滨）在△ABC中，AB=2 ，BC=1，∠ABC=45°，以AB为一边作等腰
直角三角形ABD，使∠ABD=90°，连接CD，则线段CD的长为 或 ．
【分析】分①点A、D在BC的两侧，设AD与边BC相交于点E，根据等腰直角三角形的性质
求出AD，再求出BE=DE= AD并得到BE⊥AD，然后求出CE，在Rt△CDE中，利用勾股定
理列式计算即可得解；②点A、D在BC的同侧，根据等腰直角三角形的性质可得BD=AB，过
点D作DE⊥BC交BC的反向延长线于E，判定△BDE是等腰直角三角形，然后求出
DE=BE=2，再求出CE，然后在Rt△CDE中，利用勾股定理列式计算即可得解．
【解答】解：①如图1，点A、D在BC的两侧，∵△ABD是等腰直角三角形，
∴AD= AB= ×2 =4，
∵∠ABC=45°，
∴BE=DE= AD= ×4=2，BE⊥AD，
∵BC=1，
∴CE=BE﹣BC=2﹣1=1，
在Rt△CDE中，CD= = = ；
②如图2，点A、D在BC的同侧，∵△ABD是等腰直角三角形，
∴BD=AB=2 ，
过点D作DE⊥BC交BC的反向延长线于E，则△BDE是等腰直角三角形，
∴DE=BE= ×2 =2，
∵BC=1，
第 10 页 共 16 页∴CE=BE+BC=2+1=3，
在Rt△CDE中，CD= = = ，
综上所述，线段CD的长为 或 ．
故答案为： 或 ．
【点评】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，难点在于要分情况讨论，作出图形更
形象直观．
三、解答题
18．（10分）（2016春•雅安校级期中）因式分解：
（1）x2﹣3x﹣28
（2）x2﹣y2+x+y．
【分析】（1）利用式子相乘法即可求解；
（2）把前两项分成一组，后两项分成一组，第一组利用平方差公式分解，然后利用提公因式分
求解．
【解答】解：（1）原式=（x﹣7）（x+4）；
（2）原式=（x2﹣y2）+（x+y）=（x+y）（x﹣y）+（x+y）=（x+y）（x﹣y+1）．
【点评】本题主要考查了非负数的性质和分组分解法分解因式，用分组分解法进行因式分解
的难点是采用两两分组还是三一分组．本题前两项可组成平方差公式，可把前两项分为一组．
19．（6分）（2016春•雅安校级期中）求 的自然数解．
【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后写出解集中的自然数即可．
【解答】解：
由①得，x＞1，
由②得，x≤ ，
所以不等式组的解集是1＜x≤ ，
不等式组的自然数解是1，2．
【点评】此题考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组
解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
第 11 页 共 16 页20．（6分）（2016春•雅安校级期中）解方程： =3﹣ ．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分
式方程的解．
【解答】解：去分母得：﹣x﹣1=3x2﹣3﹣3x2+x，
解得：x=1，
经检验x=1是增根，分式方程无解．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为
整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
21．（6分）（2014春•深圳期末）先化简（ ﹣ ）÷ ，然后从﹣1≤x≤1的
范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时除法法则变形，约分得
到最简结果，将x=1代入计算即可求出值．
【解答】解：原式=[ ﹣ ]• = • = ，
将x=1代入得：原式=2．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22．（6分）（2015春•张掖校级期末）已知关于x，y的方程组 的解是非负数，求整
数m的值．
【分析】此题考查了解方程组与解不等式组，根据题意可以先求出方程组的解（解中含有字母
m），然后根据x≥0，y≥0，组成关于m的不等式组，解不等式组即可求解．
【解答】解：解方程组可得
因为x≥0，y≥0，所以
解得
所以 ≤m≤ ，
因为m为整数，故m=7，8，9，10．
第 12 页 共 16 页【点评】此题考查了学生的综合应用能力，解题的关键是把字母m看做一个常数来解，还要注
意题意．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大
大小小解不了．
23．（6分）（2016春•丹阳市期末）△ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示．
（1）作△ABC关于点C成中心对称的△A B C ，并写出点A 的坐标；
1 1 1 1
（2）将△A B C 向右平移4个单位，作出平移后的△A B C ，并写出点A 的坐标．
1 1 1 2 2 2 2
【分析】（1）根据图形旋转的性质画出△A B C 即可；
1 1 1
（2）根据图形平移的性质画出平移后的△A B C 即可．
2 2 2
【解答】解：（1）△A B C 如图所示，A （2，1）；
1 1 1 1
（2）△A B C 如图所示A （6，1）．
2 2 2 2
【点评】本题考查的是作图﹣旋转变换，熟知图形旋转的性质是解答此题的关键．
24．（6分）（2011•禅城区模拟）已知：如图，点D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AC于E，
DF⊥AB于F，且DE=DF．求证：△ABC是等腰三角形．
第 13 页 共 16 页【分析】根据点D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AC于E，DF⊥AB于F，且DE=DF．利用
HL求证△BFD≌△DEC，可得∠B=∠C，即可证明△ABC是等腰三角形．
【解答】证明：∵点D是△ABC的BC边上的中点，
∴BD=DC，
∵DE⊥AC于E，DF⊥AB于F，
∴△BFD和△DEC为直角三角形，
在Rt△BFD和Rt△CED中，
，
∴Rt△BFD≌Rt△CED（HL），
∴∠B=∠C，
∴△ABC是等腰三角形．
【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定与性质和等腰三角形的判定与性质的理解和
掌握．难度不大，属于基础题．
25．（7分）（2015春•乐平市期末）若关于x的方程 有增根，试求k的值．
【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，那么最
简公分母x﹣3=0，所以增根是x=3，把增根代入化为整式方程的方程即可求出k的值．
【解答】解：方程两边都乘（x﹣3），得
k+2（x﹣3）=4﹣x，
∵原方程有增根，
∴最简公分母x﹣3=0，即增根为x=3，
把x=3代入整式方程，得k=1．
【点评】增根问题可按如下步骤进行：
①根据最简公分母确定增根；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
26．（7分）（2015秋•定陶县期末）A、B两地相距80千米，一辆公共汽车从A地出发开往B
地，2小时后，又从A地开来一辆小汽车，小汽车的速度是公共汽车的2倍．结果小汽车比公
共汽车早40分钟到达B地．求两种车的速度．
【分析】根据题意可得到：从A到B地，小汽车用的时间=公共汽车用的时间﹣2小时﹣40分
钟，由此可得出方程．
【解答】解：设公共汽车的速度为x千米/小时，则小汽车的速度为2x千米/小时，
由题意得 ﹣2﹣ =
第 14 页 共 16 页解得：x=15，
经检验，x=15是原方程的解，
故2x=30；
答：公共汽车的速度为15千米/小时，小汽车的速度为30千米/小时．
【点评】此题考查分式方程的实际运用，关键是理解题意，找出题目蕴含的数量关系是解决问
题的关键．
27．（9分）（2015•内江）某家电销售商城电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每
台1750元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商城用80000元购进电冰箱的数
量与用64000元购进空调的数量相等．
（1）求每台电冰箱与空调的进价分别是多少？
（2）现在商城准备一次购进这两种家电共100台，设购进电冰箱x台，这100台家电的销售总
利润为y元，要求购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，总利润不低于13000元，请分析合
理的方案共有多少种？并确定获利最大的方案以及最大利润；
（3）实际进货时，厂家对电冰箱出厂价下调k（0＜k＜100）元，若商店保持这两种家电的售价
不变，请你根据以上信息及（2）问中条件，设计出使这100台家电销售总利润最大的进货方
案．
【分析】（1）设每台空调的进价为x元，则每台电冰箱的进价为（x+400）元，根据“商城用
80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等”，列出方程，即可解答；
（2）设购进电冰箱x台，这100台家电的销售总利润为y元，则y=（2100﹣2000）x+（1750﹣
1600）（100﹣x）=﹣50x+15000，根据题意得： ，得到 ，
根据x为正整数，所以x=34，35，36，37，38，39，40，即合理的方案共有7种，利用一次函数的
性质，确定获利最大的方案以及最大利润；
（3）当电冰箱出厂价下调k（0＜k＜100）元时，则利润y=（k﹣50）x+15000，分两种情况讨论：
当k﹣50＞0；当k﹣50＜0；利用一次函数的性质，即可解答．
【解答】解：（1）设每台空调的进价为x元，则每台电冰箱的进价为（x+400）元，
根据题意得： ，
解得：x=1600，
经检验，x=1600是原方程的解，
x+400=1600+400=2000，
答：每台空调的进价为1600元，则每台电冰箱的进价为2000元．
（2）设购进电冰箱x台，这100台家电的销售总利润为y元，
则y=（2100﹣2000）x+（1750﹣1600）（100﹣x）=﹣50x+15000，
根据题意得： ，
解得： ，
∵x为正整数，
第 15 页 共 16 页∴x=34，35，36，37，38，39，40，
∴合理的方案共有7种，
即①电冰箱34台，空调66台；②电冰箱35台，空调65台；③电冰箱36台，空调64台；④电
冰箱37台，空调63台；⑤电冰箱38台，空调62台；⑥电冰箱39台，空调61台；⑦电冰箱40
台，空调60台；
∵y=﹣50x+15000，k=﹣50＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x=34时，y有最大值，最大值为：﹣50×34+15000=13300（元），
答：当购进电冰箱34台，空调66台获利最大，最大利润为13300元．
（3）当厂家对电冰箱出厂价下调k（0＜k＜100）元，若商店保持这两种家电的售价不变，
则利润y=（2100﹣2000+k）x+（1750﹣1600）（100﹣x）=（k﹣50）x+15000，
当k﹣50＞0，即50＜k＜100时，y随x的增大而增大，
∵ ，
∴当x=40时，这100台家电销售总利润最大，即购进电冰箱40台，空调60台；
当k﹣50＜0，即0＜k＜50时，y随x的增大而减小，
∵ ，
∴当x=34时，这100台家电销售总利润最大，即购进电冰箱34台，空调66台；
答：当50＜k＜100时，购进电冰箱40台，空调60台销售总利润最大；
当0＜k＜50时，购进电冰箱34台，空调66台销售总利润最大．
【点评】本题考查了列分式方程解实际问题的运用，一次函数的解析式的性质的运用，解答时
根据总利润═冰箱的利润+空调的利润建立解析式是关键．
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