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才
八年级（下）期中数学试卷
一、选择题
1．（3分）如果a＞b，下列各式中不正确的是（ ）
A．a﹣3＞b﹣3 B． C．﹣2a＜﹣2b D．﹣
2．（3分）下列图案中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）下列命题中正确的是（ ）
A．有两条边相等的两个等腰三角形全等
B．两腰对应相等的两个等腰三角形全等
C．两角对应相等的两个等腰三角形全等
D．一边对应相等的两个等边三角形全等
4．（3分）下列各式从左到右的变形是分解因式的是（ ）
A．2a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）+a2B．2a（b+c）=2ab+2ac
C．x3﹣2x2+x=x（x﹣1）2D．（x﹣1）（y﹣1）=xy﹣x﹣y+1
5．（3分）如图天平右盘中的每个砝码的质量都是1g，则物体A的质量m（g）的取值范围在数
轴上可表示为（ ）
A． B． C．
D．
6．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则点C到AB的距离是（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）要使直线y=（2m﹣3）x+（3n+1）的图象经过一、二、四象限，则m与n的取值为（
）
A．m＞ ，n＞﹣ B．m＞3，n＞﹣3 C．m＜ ，n＜﹣ D．m＜ ，n＞﹣
8．（3分）如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α+∠β的度数
是（ ）
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A．180° B．220° C．240° D．300°
9．（3分）平面直角坐标系中，将△ABC经过平移后，其中A（1，2）的对应点坐标A（′ ﹣2，1），
那么B（2，4）的对应点的坐标为（ ）
A．（5，3）B．（﹣1，3）C．（1，﹣3）D．（﹣1，3）
10．（3分）如图，已知：∠MON=30°，点A 、A 、A …在射线ON上，点B 、B 、B …在射线OM
1 2 3 1 2 3
上，△A B A 、△A B A 、△A B A …均为等边三角形，若OA =1，则△A B A 的边长为（
1 1 2 2 2 3 3 3 4 1 6 6 7
）
A．6B．12 C．32 D．64
二、填空题
11．（4分）分解因式：2xy﹣6y= ．
12．（4分）若等腰直角三角形斜边长为2，则它的直角边长为 ．
13．（4分）已知m2﹣n2=6，如果m﹣n=2，那么m+n= ．
14．（4分）如果不等式组 的解集是3＜x＜5，那么a= b= ．
15．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延
长线于F，若∠F=30°，DE=1，则BE的长是 ．
16．（4分）如图，在△ABC中，BC=5cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且
PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是 cm．
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17．（4分）如图，将周长为8cm的△ABC沿BC方向平移1cm得到△DEF，则四边形ABFD
的周长为 cm．
18．（4分）如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，将△ABC折叠，使点C与点A重
合，折痕为DE，则△ABE的周长为 ．
三、解答题
19．（12分）按要求做题
（1）解不等式：5（x﹣2）＞8x﹣4
（2）分解因式：am2﹣2am+a．
20．（12分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，Rt△ABC的三个顶点A
（﹣2，2），B（0，5），C（0，2）．
（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，得到△A B C，请画出△A B C的图形．
1 1 1 1
（2）平移△ABC，使点A的对应点A 坐标为（﹣2，﹣6），请画出平移后对应的△A B C 的图
2 2 2 2
形．
（3）若将△A B C绕某一点旋转可得到△A B C ，请直接写出旋转中心的坐标．
1 1 2 2 2
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21．（10分）如图，在△ABD和△ACE中，有下列四个等式：①AB=AC；②AD=AE；
③∠1=∠2；④BD=CE．以其中三个条件为题设，填入已知栏中，一个论断为结论，填入下面
求证栏中，使之组成一个真命题，并写出证明过程．
已知： ．
求证： ．
证明：
22．（12分）丝线体育广场羽毛球协会，为鼓励居民加强体育锻炼，准备买10副羽毛球拍，每
副球拍配x（x≥2）个羽毛球，供居民免费使用．广场附近有甲、乙两家体育用品店，且每副球
拍标价均为30元，每个羽毛球标价3元，甲乙两家同时在做促销活动：
甲商店：所有商品均打九折（按标价的90%）销售
乙商店：买一副球拍送2个羽毛球子
设在甲商店购买羽毛球拍和羽毛球子的费用为y甲 ，在乙商店购买羽毛球拍和羽毛球子的费
用为y乙 ．请回答下列问题：
（1）分别写出y甲 ，y乙 与x的关系式；
（2）若羽毛球协会只在一家购买，你认为在哪家购买更划算？
（3）若每副球拍配15个羽毛球子，请你帮助设计最省钱的购买方案．
23．（12分）在生活中，正方形总给我们美的享受，它在生活中的问题也很多，下面请同学们
在美的视觉中研究问题：在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的
速度在直线DC，CB上移动．
（1）如图①，当点E自D向C，点F自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE
与DF的关系，并说明理由．
（2）如图②，当点E，F分别移动到边DC，CB的延长线上时，连接AE和DF，（1）中的结论还
成立吗？（请你直接作答，不需证明）
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（3）如图③，当点E自C向D，点F自B向C，分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE
和DF，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
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八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（3分）（2016春•泗县期中）如果a＞b，下列各式中不正确的是（ ）
A．a﹣3＞b﹣3 B． C．﹣2a＜﹣2b D．﹣
【分析】依据不等式的性质求解即可．
【解答】解：A、由不等式的性质1可知，A正确，与要求不符；
B、由不等式的性质2可知，B正确，与要求不符；
C、由不等式的性质3可知，C正确，与要求不符；
D、由不等式的性质3可知，D错误，与要求相符．
故选：D．
【点评】本题主要考查的是不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键．
2．（3分）（2006•连云港）下列图案中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念求解．
【解答】解：根据概念，知
A、B、D既是轴对称图形，也是中心对称图形；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形．
故选C．
【点评】掌握中心对称图形的概念．
中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后重合．
3．（3分）（2014春•济南校级期末）下列命题中正确的是（ ）
A．有两条边相等的两个等腰三角形全等
B．两腰对应相等的两个等腰三角形全等
C．两角对应相等的两个等腰三角形全等
D．一边对应相等的两个等边三角形全等
【分析】根据题意举出反例得出A选项不对；同样根据举出的图形，结合已知得出B也不对；
全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据三角对应相等不能推出两三角形全等，
即可判断C；根据已知和等边三角形性质可以推出三边对应相等，根据SSS即可推出两三角
形全等．
【解答】解：A、假如这两边是两腰，则不能推出第三个条件相等，如图AB=AC，DE=DF，
AB=DE，AC=DF，但两三角形不全等，故本选项错误；
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B、如上图，两腰AB=DE=AC=DF，但两三角形不全等，故本选项错误；
D、由三角形内角和定理可以推出第三个角也相等，但是根据AAA不能推出两三角形全等，
故本选项错误；
D、∵△ABC和△DEF中，AB=BC=AC，DE=DF=EF，AB=DE，
∴AC=DF，BC=EF，
∴根据SSS可以推出△ABC≌△DEF，故本选项正确；
故选D．
【点评】本题考查了等边三角形性质，全等三角形的判定，等腰三角形的性质等知识点，主要
考查学生的辨析能力，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
4．（3分）（2016春•泗县期中）下列各式从左到右的变形是分解因式的是（ ）
A．2a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）+a2B．2a（b+c）=2ab+2ac
C．x3﹣2x2+x=x（x﹣1）2D．（x﹣1）（y﹣1）=xy﹣x﹣y+1
【分析】根据把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
【解答】解：∵x3﹣2x2+x=x（x﹣1）2，
∴C是因式分解，
故选：C．
【点评】本题考查了因式分解，因式分解的关键是把多项式转化成几个整式积的形式．
5．（3分）（2012•古浪县校级一模）如图天平右盘中的每个砝码的质量都是1g，则物体A的质
量m（g）的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A． B． C．
D．
【分析】根据图示，可得不等式组的解集，可得答案．
【解答】解：由图示得A＞1，A＜2，
故选：A．
【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来，
注意，不包括点1、2，用空心点表示．
6．（3分）（2016春•泗县期中）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则点C到AB的距离
是（ ）
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A． B． C． D．
【分析】首先根据勾股定理求出斜边AB的长，再根据三角形的面积为定值即可求出则点C
到AB的距离．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，则有AC2+BC2=AB2，
∵BC=4，AC=3，
∴AB= =5，
设AB边上的高为h，
则S△ABC = AC•BC= AB•h，
∴h= ，
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的应用，解本题的关键是正确的运用勾股定理，
确定AB为斜边．
7．（3分）（2016春•泗县期中）要使直线y=（2m﹣3）x+（3n+1）的图象经过一、二、四象限，则
m与n的取值为（ ）
A．m＞ ，n＞﹣ B．m＞3，n＞﹣3 C．m＜ ，n＜﹣ D．m＜ ，n＞﹣
【分析】根据直线y=（2m﹣3）x+（3n+1）的图象经过一、二、四象限得出关于mn的不等式组，
求出m、n的取值范围即可．
【解答】解：∵直线y=（2m﹣3）x+（3n+1）的图象经过一、二、四象限，
∴ ，解得 ．
故选D．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，根据题意列出关于m、n的不等式组是
解答此题的关键．
8．（3分）（2012•凉山州）如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中
∠α+∠β的度数是（ ）
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A．180° B．220° C．240° D．300°
【分析】本题可先根据等边三角形顶角的度数求出两底角的度数和，然后在四边形中根据四
边形的内角和为360°，求出∠α+∠β的度数．
【解答】解：∵等边三角形的顶角为60°，
∴两底角和=180°﹣60°=120°；
∴∠α+∠β=360°﹣120°=240°；
故选C．
【点评】本题综合考查等边三角形的性质及三角形内角和为180°，四边形的内角和是360°等
知识，难度不大，属于基础题
9．（3分）（2016春•泗县期中）平面直角坐标系中，将△ABC经过平移后，其中A（1，2）的对
应点坐标A′（﹣2，1），那么B（2，4）的对应点的坐标为（ ）
A．（5，3）B．（﹣1，3）C．（1，﹣3）D．（﹣1，3）
【分析】先根据点A与A′确定平移规律，再根据规律写出点B的对应点B′的坐标即可．
【解答】解：∵A（1，2）的对应点坐标A′（﹣2，1），
∴平移规律是：向左平移3个单位，再向下平移1个单位，
∵点B的坐标为（2，4），
∴B′的坐标为（﹣1，3）．
故选D．
【点评】本题考查了平移与坐标与图形的变化，根据图形得到平移规律是解题的关键．
10．（3分）（2012•深圳）如图，已知：∠MON=30°，点A 、A 、A …在射线ON上，点B 、B 、
1 2 3 1 2
B …在射线OM上，△A B A 、△A B A 、△A B A …均为等边三角形，若OA =1，则
3 1 1 2 2 2 3 3 3 4 1
△A B A 的边长为（ ）
6 6 7
A．6B．12 C．32 D．64
【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A B ∥A B ∥A B ，以及
1 1 2 2 3 3
A B =2B A ，得出A B =4B A =4，A B =8B A =8，A B =16B A …进而得出答案．
2 2 1 2 3 3 1 2 4 4 1 2 5 5 1 2
【解答】解：∵△A B A 是等边三角形，
1 1 2
∴A B =A B ，∠3=∠4=∠12=60°，
1 1 2 1
∴∠2=120°，
∵∠MON=30°，
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∴∠1=180°﹣120°﹣30°=30°，
又∵∠3=60°，
∴∠5=180°﹣60°﹣30°=90°，
∵∠MON=∠1=30°，
∴OA =A B =1，
1 1 1
∴A B =1，
2 1
∵△A B A 、△A B A 是等边三角形，
2 2 3 3 3 4
∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，
∵∠4=∠12=60°，
∴A B ∥A B ∥A B ，B A ∥B A ，
1 1 2 2 3 3 1 2 2 3
∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，
∴A B =2B A ，B A =2B A ，
2 2 1 2 3 3 2 3
∴A B =4B A =4，
3 3 1 2
A B =8B A =8，
4 4 1 2
A B =16B A =16，
5 5 1 2
以此类推：A B =32B A =32．
6 6 1 2
故选：C．
【点评】此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出
A B =4B A ，A B =8B A ，A B =16B A 进而发现规律是解题关键．
3 3 1 2 4 4 1 2 5 5 1 2
二、填空题
11．（4分）（2016春•泗县期中）分解因式：2xy﹣6y= 2 y （ x﹣ 3 ） ．
【分析】首先找出公因式2y，进而提取2y，分解因式即可．
【解答】解：原式=2y（x﹣3）．
故答案为：2y（x﹣3）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
12．（4分）（2016春•泗县期中）若等腰直角三角形斜边长为2，则它的直角边长为 ．
【分析】利用勾股定理，设直角边为a，则2a2=4求解即可．
【解答】解：∵三角形为等腰直角三角形，
∴设两直角边为a，则a2+a2=22解得a=
【点评】本题需注意根据等腰直角三角形的特点，利用勾股定理进行解答，还要注意，三角形
的边长是正值．
13．（4分）（2016春•泗县期中）已知m2﹣n2=6，如果m﹣n=2，那么m+n= 3 ．
【分析】根据（m+n）（m﹣n）=m2﹣n2，再把m2﹣n2=6，m﹣n=2，代入求解．
【解答】解：∵m2﹣n2=6，m﹣n=2，
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∴（m+n）（m﹣n）=m2﹣n2，即2（m+n）=6．
∴m+n=3．
故答案为3．
【点评】本题主要考查平方差公式的运用，熟练掌握公式是解题的关键．
14．（4分）（2015春•敦煌市校级期末）如果不等式组 的解集是3＜x＜5，那么a=
3 b= ﹣ 5 ．
【分析】先根据不等式组的解集的求法，得到用a、b表示的不等式组的解集，再根据不等式组
解集的唯一性，求出a、b的值．
【解答】解：
由①得，x＞a，
由②得，x＜﹣b，
根据“小大大小中间找”原则，原不等式组的解集为a＜x＜﹣b，
又因为3＜x＜5，
所以a=3，b=﹣5．
【点评】解答此题不仅要熟悉不等式组的解法，还要熟悉不等式组解集的唯一性．
15．（4分）（2013•泰安）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于
E，交BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则BE的长是 2 ．
【分析】根据同角的余角相等、等腰△ABE的性质推知∠DBE=30°，则在直角△DBE中由
“30度角所对的直角边是斜边的一半”即可求得线段BE的长度．
【解答】解：∵∠ACB=90°，FD⊥AB，
∴∠ACB=∠FDB=90°，
∵∠F=30°，
∴∠A=∠F=30°（同角的余角相等）．
又∵AB的垂直平分线DE交AC于E，
∴∠EBA=∠A=30°，
∴直角△DBE中，BE=2DE=2．
故答案是：2．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形．解题的难点是推知
∠EBA=30°．
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16．（4分）（2005•绵阳）如图，在△ABC中，BC=5cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平
分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是 5 cm．
【分析】分别利用角平分线的性质和平行线的判定，求得△DBP和△ECP为等腰三角形，由等
腰三角形的性质得BD=PD，CE=PE，那么△PDE的周长就转化为BC边的长，即为5cm．
【解答】解：∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠ABP=∠PBD，∠ACP=∠PCE，
∵PD∥AB，PE∥AC，
∴∠ABP=∠BPD，∠ACP=∠CPE，
∴∠PBD=∠BPD，∠PCE=∠CPE，
∴BD=PD，CE=PE，
∴△PDE的周长=PD+DE+PE=BD+DE+EC=BC=5cm．
故答案为：5．
【点评】此题主要考查了平行线的判定，角平分线的性质及等腰三角形的性质等知识点．本题
的关键是将△PDE的周长就转化为BC边的长．
17．（4分）（2016春•泗县期中）如图，将周长为8cm的△ABC沿BC方向平移1cm得到
△DEF，则四边形ABFD的周长为 1 0 cm．
【分析】根据平移的基本性质，得出四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC
即可得出答案．
【解答】解：根据题意，将周长为8cm的△ABC沿BC向右平移1cm得到△DEF，
∴AD=1cm，BF=BC+CF=BC+1cm，DF=AC；
又∵AB+BC+AC=8cm，
∴四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC=10cm．
故答案为：10．
【点评】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所
连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．得到CF=AD，DF=AC是解题的关
键．
18．（4分）（2011•衡阳）如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，将△ABC折叠，使点
C与点A重合，折痕为DE，则△ABE的周长为 7 ．
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【分析】先根据勾股定理求出BC的长，再根据图形翻折变换的性质得出AE=CE，进而求出
△ABE的周长．
【解答】解：∵在△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，
∴BC= = =4，
∵△ADE是△CDE翻折而成，
∴AE=CE，
∴AE+BE=BC=4，
∴△ABE的周长=AB+BC=3+4=7．
故答案为：7．
【点评】本题考查的是图形翻折变换的性质，即折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前
后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
三、解答题
19．（12分）（2016春•泗县期中）按要求做题
（1）解不等式：5（x﹣2）＞8x﹣4
（2）分解因式：am2﹣2am+a．
【分析】（1）根据解一元一次不等式的方法步骤，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即
可得出结果；
（2）首先用提取公因式法分解因式，再运用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：（1）5（x﹣2）＞8x﹣4
去括号得：5x﹣10＞8x﹣4，
移项得：5x﹣8x＞﹣4+10
合并同类项得：﹣3x＞6
系数化为1得：x＜﹣2；
（2）am2﹣2am+a
=a（m2﹣2m+1）
=a（m﹣1）2．
【点评】本题考查了一元一次不等式的解法、因式分解的方法；熟练掌握一元一次不等式的解
法和因式分解的方法是解决问题的关键．
20．（12分）（2014•黑龙江）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，Rt△ABC
的三个顶点A（﹣2，2），B（0，5），C（0，2）．
（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，得到△A B C，请画出△A B C的图形．
1 1 1 1
（2）平移△ABC，使点A的对应点A 坐标为（﹣2，﹣6），请画出平移后对应的△A B C 的图
2 2 2 2
形．
（3）若将△A B C绕某一点旋转可得到△A B C ，请直接写出旋转中心的坐标．
1 1 2 2 2
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【分析】（1）利用旋转的性质得出对应点坐标进而得出答案；
（2）利用平移规律得出对应点位置，进而得出答案；
（3）利用旋转图形的性质，连接对应点，即可得出旋转中心的坐标．
【解答】解：（1）如图所示：△A B C即为所求；
1 1
（2）如图所示：△A B C 即为所求；
2 2 2
（3）旋转中心坐标（0，﹣2）．
【点评】此题主要考查了旋转的性质以及图形的平移等知识，根据题意得出对应点坐标是解
题关键．
21．（10分）（2016春•济南校级期末）如图，在△ABD和△ACE中，有下列四个等式：
①AB=AC；②AD=AE；③∠1=∠2；④BD=CE．以其中三个条件为题设，填入已知栏中，一个
论断为结论，填入下面求证栏中，使之组成一个真命题，并写出证明过程．
已知： 在 △ ABD 和 △ ACE 中， AB=AC ， AD=AE ， BD=CE ．
求证： ∠ 1= ∠ 2 ．
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证明：
【分析】此题无论选择什么作为题设，什么作为结论，它有一个相同点﹣﹣都是通过证明
△ABD≌△ACE，然后利用全等三角形的性质解决问题．
【解答】解：解法一：如果AB=AC，AD=AE，BD=CE，那么∠1=∠2．
已知：在△ABD和△ACE中，AB=AC，AD=AE，BD=CE，
求证：∠1=∠2．
证明：∵AB=AC，AD=AE，BD=CE，
∴△ABD≌△ACE，
∴∠BAD=∠CAE，
∴∠1=∠2．
解法二：如果AB=AC，AD=AE，∠1=∠2，那么BD=CE．
已知：在△ABD和△ACE中，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2，
求证：BD=CE．
证明：∵∠1=∠2
∴∠BAD=∠CAE，而AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE
∴BD=CE．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、
ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有
两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
22．（12分）（2016春•泗县期中）丝线体育广场羽毛球协会，为鼓励居民加强体育锻炼，准备
买10副羽毛球拍，每副球拍配x（x≥2）个羽毛球，供居民免费使用．广场附近有甲、乙两家
体育用品店，且每副球拍标价均为30元，每个羽毛球标价3元，甲乙两家同时在做促销活动：
甲商店：所有商品均打九折（按标价的90%）销售
乙商店：买一副球拍送2个羽毛球子
设在甲商店购买羽毛球拍和羽毛球子的费用为y甲 ，在乙商店购买羽毛球拍和羽毛球子的费
用为y乙 ．请回答下列问题：
（1）分别写出y甲 ，y乙 与x的关系式；
（2）若羽毛球协会只在一家购买，你认为在哪家购买更划算？
（3）若每副球拍配15个羽毛球子，请你帮助设计最省钱的购买方案．
【分析】（1）根据甲乙两家商场销售方法分别计算即可．
（2）根据①y甲=y乙 ，②y甲 ＞y乙 ，③y甲 ＜y乙 ，列出方程或不等式即可解决．
（3）采用混合购买的方法解决问题．
【解答】解：（1）y甲=（10×30+3×10x）×0.9=27x+270，
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y乙=10×30+3（10x﹣20）=30x+240，
（2）①当y甲=y乙 时，27x+270=30x+240，解得x=10，
②当y甲 ＞y乙 时，27x+270＞30x+240，解得x＜10，
③当y甲 ＜y乙 时，27x+270＜30x+240，解得x＞10，
∴当x=10时，甲乙费用一样．
当2＜x＜10时，乙费用便宜．
当x＞10时，甲费用便宜．
（3）先在乙商店购买10副球拍，送20个羽毛球子，然后在甲商店购买剩下的羽毛球子费用
最小．
【点评】本题考查一次函数的应用，一元一次不等式等知识，解题的关键是理解题意，学会利
用不等式或方程解决实际问题，学会采用混合购买的方法解决问题中省钱的方案，属于中考
常考题型．
23．（12分）（2016春•泗县期中）在生活中，正方形总给我们美的享受，它在生活中的问题也
很多，下面请同学们在美的视觉中研究问题：在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点
同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动．
（1）如图①，当点E自D向C，点F自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE
与DF的关系，并说明理由．
（2）如图②，当点E，F分别移动到边DC，CB的延长线上时，连接AE和DF，（1）中的结论还
成立吗？（请你直接作答，不需证明）
（3）如图③，当点E自C向D，点F自B向C，分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE
和DF，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
【分析】（1）AE=DF，AE⊥DF．先证得△ADE≌△DCF．由全等三角形的性质得AE=DF，
∠DAE=∠CDF，再由等角的余角相等可得AE⊥DF；
（2）成立．四边形ABCD是正方形，所以AD=DC，∠ADE=∠DCF=90°，DE=CF，所以
△ADE≌△DCF，于是AE=DF，∠DAE=∠CDF，因为∠CDF+∠ADF=90°，
∠DAE+∠ADF=90°，所以AE⊥DF；
（3）成立．由（1）同理可证AE=DF，∠DAE=∠CDF，延长FD交AE于点G，再由等角的余角
相等可得AE⊥DF；
【解答】解：（1）AE=DF，AE⊥DF；理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠ADC=∠C=90°，
∵动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动，
∴DE=CF，
在△ADE和△DCF中，
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∴△ADE≌△DCF（SAS），
∴AE=DF，∠DAE=∠CDF，
由于∠CDF+∠ADF=90°，
∴∠DAE+∠ADF=90°，
∴∠APD=90°，
∴AE⊥DF；
（2）成立；
理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠ADC=∠DCF=90°，
∵动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动，
∴DE=CF，
在△ADE和△DCF中，
∴△ADE≌△DCF（SAS），
∴AE=DF，∠DAE=∠CDF，
由于∠CDF+∠ADF=90°，
∴∠DAE+∠ADF=90°，
∴AE⊥DF；
（3）成立；
理由如下：
同（1）得：AE=DF，∠DAE=∠CDF，
延长FD交AE于点G，如图所示：
则∠CDF+∠ADG=90°，
∴∠ADG+∠DAE=90°，
∴∠AGD=90°，
∴AE⊥DF．
【点评】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、互余两角
的关系、垂线的证法等知识；本题难度较大，综合性强，熟练掌握正方形的性质，证明三角形
全等是解决问题的关键．
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