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1.3 勾股定理的应用
题型一 竹竿过门类问题
1．（24-25八年级下·山西忻州·期中）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有一道经典题目：“今有
户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高，广各几何？”其意思为：今有一扇门，高比宽多6尺8
寸，门对角线的长度恰好为1丈，问门的高和宽各是多少？（1丈=10尺，1尺=10寸）如图，若设门的高
为x尺，则根据题意可列方程为（ ）
A． B．C． D．
（二次根式学完之后）2．（24-25八年级上·河南平顶山·期中）李老师家因装修准备用电梯搬运一些木条
上楼，如图，已知电梯的长、宽、高分别是 ， ， ，那么电梯内能放入下列木条中的最大长度是
（ ）
A． B． C． D．
题型二 秋千问题
3．（24-25八年级下·山西朔州·期中）勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何
问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板离地的竖直高度 ，
将它往前推 至C处时（即水平距离 ），踏板离地的竖直高度 ，它的绳索始终拉直，
则绳索 的长是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）我国古代数学名著《算法统宗》有一道“荡秋千”的问题：“平
地秋千未起，踏板一尺离地．送行8尺与人齐，5尺人高曾记，仕女家人争蹴．良工高士素好奇，算出索
长有几？”此问题可理解为：“如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离 的长为1尺，将它向
前水平推送8尺时，即 尺．秋千踏板离地的距离 和身高5尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很
直，试问绳索有多长？”请运用所学知识求出秋千的长是 尺．题型三 大树折断/旗杆问题
5．（24-25八年级下·湖北孝感·期中）学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算出学校
旗杆的高度．爱动脑筋的小明这样设计了一个方案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，
然后将绳子拉到离旗杆底端5米处，发现此时绳子底端距离打结处约1米．则小明算出旗杆的高度为（
）
A．10米 B．12米 C．13米 D．15米
6．（24-25八年级下·福建福州·期中）学校需要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆的绳子垂到了地面，
并多出了一段，经测量绳子垂直落地后还剩1米（如图1），将绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部
的距离 米（如图2），则旗杆的高度 为（ ）
A．10米 B．11米 C．12米 D．13米
7．（24-25八年级下·广西来宾·期中）《九章算术》中有这样一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵
地，去本三尺，问折者高几何？意思是：一根竹子原高一丈（1丈 尺），中部一处折断，竹梢触地面
处离竹根3尺，问折断处离地面几尺？设折断处离地面的高度为 尺，则可列方程为（ ）A． B．
C． D．
8．（24-25八年级下·浙江台州·期中）如图，强台风时一棵大树在距离地面 的点C处折断，大树顶端的
着地点A与大树底端B的距离为 ，则这棵大树折断前的高度为（ ）
A． B． C． D．
9．（24-25八年级下·河南三门峡·期中）《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，
去根三尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈 尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰
好抵地，抵地处离竹子底部 尺远，则折断处离地面的高度为（ ）
A． 尺 B． 尺 C． 尺 D． 尺
题型四 芦苇问题
10．（2025·浙江·模拟预测）数学经典著作《九章算术》中有一道著名的“引葭(jiā)赴岸”题：“今有池方
一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”意思为：如图，有一池塘，
底面是边长为一丈(一丈等于十尺)的正方形，池的中央生有一棵芦苇，高出水面一尺，若将芦苇引到池边
中点处，正好与岸边齐平，则水深为 尺．11．如图，有一个水池，截面是一个边长为14尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，
如果把这根芦苇拉向水池的一边，它的顶端恰好到达池边的水面．则水的深度是（ ）
A．15尺 B．24尺 C．25尺 D．28尺
题型五 项目式问题
12．（24-25八年级下·山东济宁·期中）某校八年级数学兴趣小组开展了测量学校旗杆高度的实践活动．他
们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．测量结果如表．
如图1，某校八年级数学兴趣小组自主开展测量学校旗杆高
项目背景 测量实物图
度的项目研究，他们制订了测量方案，并进行实地测量．
测量过程步骤一：如图2，线段 表示旗杆高度， 垂
直地面于点 ．将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，并多出 测量示意图
了一段 ．用皮尺测出 的长度．
项目
步骤二：如图3，小丽同学将绳子末端放置于头顶，向正东
方案 方向水平移动，直到绳子拉直为止，此时小丽同学直立于地
面点 处．用皮尺测出点 与点 之间的距离．
步骤三：用皮尺测量出小丽直立位置距旗杆底端的水平距
离．
测量项目 数据
各项数据 绳子垂到地面多出的部分
小丽直立位置距旗杆底端的水平距离 6小丽身高
请根据表格所给信息，完成下列问题．
(1)直接写出线段 与 之间的数量关系；
(2)根据该数学兴趣小组的测量方案和数据，求学校旗杆 的高．
题型六 简单折叠问题
13．（2025·吉林长春·二模）如图，在 中， ， ， ．点E、F分别是边 、
上的点，连结 ，将 沿 翻折，使得点 的对称点落在边 的中点 处，则 的长为（
）
A． B． C．3 D．2
14．（24-25八年级下·四川泸州·期中）已知直角三角形纸片 的两直角边长分别是 ， ，现将
按如图所示那样折叠，使点A与点B重合，折痕为 ，则 的长是（ ）
A．3 B． C．4 D．
（二次根式学完之后）15．（24-25七年级下·湖北荆州·期中）如图，将长方形纸按如图所示的方式折叠，
若设长方形纸的宽为 ，则长方形纸的面积为（ ）
A． B． C．2 D．3
题型七 航行/飞行问题16．（24-25八年级下·四川泸州·期中）如图，某港口 位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”
号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号沿东北方向航行，每小时航行 海里，“海
天”号沿西北方向航行，每小时航行 海里．它们离开港口 小时后分别位于点 处，此时两船的距
离是（ ）
A．20海里 B．24海里 C．30海里 D．32海里
17．（24-25八年级下·河南驻马店·期中）一艘轮船位于灯塔 的南偏东 方向，距离灯塔 海里的 处，
它沿北偏东 方向航行 海里到达 处，此时与灯塔 的距离为（ ）
A． 海里 B． 海里 C． 海里 D． 海里
18．（22-23八年级上·河南平顶山·开学考试）如图，甲货船以 的速度从港口A出发向东北方向
航行，乙货船以 的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口 时两船相距（ ）
A． B． C． D．题型一 几何体表面最短路径问题
1．（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）如图所示，是一段楼梯，高 是5米，斜边长 是13米，如
果在楼梯上铺地毯，那么地毯至少需要 米．
2．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）圆柱的底面直径为 ， ，动点 从点 出发，沿着圆柱
的侧面移动到 的中点 ，则点 移动的最短路径长为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．20
（二次根式学完之后）3．（24-25八年级下·贵州贵阳·期中）某公园内滑雪场U型池的示意图如图所示，
该场地可以看作是从一个长方体中挖去了半个圆柱而成，它的横截面图中半圆的半径为 ，其边缘
，点E在 上， ．一名滑雪爱好者从点A滑到点E，他滑行的最短路线长为
m．
（二次根式学完之后）4．如图，长方体的长为 ，宽为 ，高为 ，点 与点 之间的距离为
，一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点 爬到点 去吃一滴蜜糖．(1)求点 到点 的距离；
(2)蚂蚁从点 爬到点 的最短路程是多少？
（二次根式学完之后）5．（2025·江苏宿迁·模拟预测）如图，用3个棱长为1的正方体搭成一个几何体，
沿着该几何体的表面从点 到点 的所有路径中，最短路径的长是 ．
（二次根式学完之后）6．（24-25八年级下·重庆巫山·期中）如图，长方体的长为 ，宽为 ，高为 ，
点 与点 的距离为 ，一只蚂蚁沿着长方体的表面从点 爬到点 ，需要爬行的最短距离是（ ）
A． B． C． D．
（二次根式学完之后）7．（24-25八年级上·山东青岛·期中）棱长分别为 ， 的两个正方体如图放置，
点A，B，C在同一直线上，顶点E在棱BF上，点P是棱DK的靠近点D的三等分点．一只蚂蚁要沿着正
方体的表面从点A爬到点P，它爬行的最短距离是（ ）
A． B． C． D．题型二 梯子下滑或风筝问题
8．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，一根长为 的梯子 斜靠在垂直于地面的墙上，这时梯子
的底端B点离墙根E点的距离为 ，如果梯子的底端向外（远离墙根方向）移动 到D点处，试求梯子
的顶端将沿墙向下移动的距离 为多少？
9．（24-25八年级下·贵州遵义·期中）梦想科技小组在实践课上制作机器人的零件如图1所示，该零件内
有两个小滑块 ， ，由一根连杆连接，滑块 分别可以在互相垂直的两个滑道上滑动．滑块大小忽略
不计，将零件图抽象成几何图，如图2所示，开始时，滑块 距 点 ，滑块 距 点 ．
(1)求 的长；
(2)当滑块 向下滑 至点 处时，滑块 滑动到点 的位置，则 的长为多少 ？
10．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，“广州湾号”货轮和“小蛮腰号”科考船从某港口P同时出
发执行任务，已知“广州湾号”以每小时12海里的速度沿北偏东 方向航行，“小蛮腰号”以每小时5
海里的速度沿另一方向航行，2小时后两船分别位于点R，Q处，此时两船相距26海里．求：
(1)两船分别航行了多少海里？
(2)“小蛮腰号”的航行方向．
11．（24-25七年级上·山东烟台·期中）课本原题呈现：
一架云梯长25米，如图斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米．
（1）这个梯子的顶端距底而有多高?
（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向也滑动了4米吗?
解决问题：
(1)请直接写出原题中（1）问这个梯子的顶端距底面_______米；（2）问中，梯子的底部_______在水平方
向也滑动4米（填会或不会）；
(2)在原题中，若保持梯子底端不动，将梯子再次斜靠到原题当中的墙体的对面，且与之平行的另一面墙上，
梯子的顶端到地面的距离为15米，求这两面墙之间的距离．
(3)将原题中的条件“云梯长25米”改变为“云梯顶端距底面20米”，将“梯子底端离墙7米”改变为
“梯子的顶端下滑了5米，梯子的底部在水平方向也滑动了5米”，请求出此梯子的长度是多少米？
（二次根式学完之后）12.（24-25八年级下·河北廊坊·期中）在学习了勾股定理之后，珍珍想利用所学知识
测量如图所示的风筝的垂直高度 ，她进行了如下操作：
①测得水平距离 的长为 ；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线 的长为 ；
③牵线放风筝的珍珍的身高 为 ．请根据以上数据解答：
(1)求风筝的垂直高度 ．
(2)若要风筝沿 方向再上升 ，求珍珍应该再放出风筝线的长度．（结果保留根号）
（二次根式学完之后）13．（24-25八年级下·湖北咸宁·期中）有一艘游轮即将靠岸，当游轮到达 点后熄
灭发动机，在离水面高度为 的岸上，工作人员用绳子牵引靠岸，开始时绳子 的长为 ．（假设绳
子是直的，结果保留根号）
(1)若工作人员以 的速度收绳． 后船移动到点 的位置，问此时游轮距离岸边还有多少米？
(2)若游轮熄灭发动机后保持 的速度匀速靠岸， 后船移动到 点，工作人员手中的绳子被收上来
多少米？
题型三 判断决策式问题
14．（24-25八年级下·河南驻马店·期中）吊车在行驶过程中会产生较大的噪声．如图，有一台吊车沿公路
由点A向点B行驶，已知点C处为一所学校，点C与直线 上两点A，B的距离分别为 和
，吊车周围 以内为受噪声影响区域．(1)求 的度数．
(2)学校C会受噪声影响吗？为什么？
15．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，一根直立的旗杆高 ，因刮大风旗杆从点 处折断，顶部
着地且离旗杆底部 的距离为 ．
(1)求旗杆在距地面多高处折断；
(2)在折断点 的下方 的点 处，有一明显裂痕，如果本次大风将旗杆从点 处吹断，那么行人在距
离旗杆底部5米处是否有被砸到的风险？
16．（23-24八年级上·陕西西安·期中）某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长 的云梯 ，
如图，云梯斜靠在一栋楼的外墙面上，这时云梯底端距墙脚的距离 ， ．
(1)当消防员接到命令，按要求将云梯从顶端A下滑 到 位置上（云梯长度不改变），即 ，那
么它的底部B在水平方向滑动到 的距离 是多少？
(2)在演练中，高 的楼房窗口处有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员，经验表明，云梯靠墙
摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的 ，则云梯和消防员相对安全，在相对安全的前提下，
云梯的顶端能否到达 高的楼房窗口去救援被困人员？
17．（24-25八年级下·广西南宁·期中）五一即将来临，某家电商场准备开展促销活动，现采用移动车在公
路上进行广播宣传．已知一辆移动广播车在笔直的公路 上，沿东西方向由 向 行驶．小丽的家在公
路的一侧点 处，且点 与直线 上的两点 的距离分别为 ，又 ，
假如移动广播车周边250米以内能听到广播宣传．(1)求 的度数．
(2)请你通过计算说明小丽在家能听到广播吗？
(3)若移动广播车在笔直的公路 上以10米/秒的速度行驶，当移动广播车行驶到点 时，小丽在家刚好
听到广播，当移动广播车行驶到点 时，小网在家刚好不再听到广播，即 米，问小丽在家
听到广播宣传的时长是多长？
18．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图， ， ， 是我国南部的三个岛屿，已知 ， 两岛的
距离为 ， ， 两岛的距离为 ， ， 两岛的距离为 ．2024年9月，超强台风“摩
羯”登陆岛屿 ，台风中心由 向 移动，风力影响半径为 ．
(1)请判断岛屿 是否会受到台风的影响？并说明理由
(2)若台风影响岛屿 的时长是 小时，求台风中心的移动速度．
19．（23-24八年级上·陕西西安·期中）2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影
响，据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径 （即以台风中心为圆心，
为半径的圆形区域都会受台风影响），如图，线段 是台风中心从C市向西北方向移动到B市的大致路
线，A是某个大型农场，且 ．若A，C之间相距 ，A，B之间相距 ．
(1)判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由．
(2)若台风中心的移动速度为 ，则台风影响该农场持续时间有多长？
（二次根式学完之后）20．（24-25八年级下·重庆巴南·阶段练习）钓鱼岛及其附属岛屿是中国的固有领土，我国对钓鱼岛的巡航已经常态化．如图，甲、乙两艘海警船同时从位于南北方向的海岸线上某港口 出发，
各自沿一固定方向对钓鱼岛巡航，若甲船每小时航行6海里，乙船每小时航行8海里．
(1)若甲乙两船离开港口一小时后分别位于 、 处（图1），且相距10海里，如果知道甲船沿北偏东
方向航行，你知道乙船沿哪个方向航行吗？请说明理由．
(2)若甲船沿北偏东 方向航行（图2），从港口 离开经过两个小时后位于点 处，此时船上有名乘客需
要以最快的速度回到 海岸线上，若他从 处出发，乘坐的快艇的速度是每小时45海里，他能在14分钟
内回到海岸线吗？请说明理由．（参考数据： ）
题型四 折叠问题
21．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在 中， ， ， ，点 为 边上
一点，把 沿 折叠，使 落在直线 上，则重叠部分（阴影部分）的面积是 ．
22．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在矩形纸片 中， ， ，将矩形纸片折叠，
使点B与点D重合，点A折叠至点E处，则 的长为 ．23．（24-25九年级上·河南开封·期末）如图，在矩形纸片 中， ， ，点 在 上，将
沿 折叠，点 恰落在边 上的点 处；点 在 上，将 沿 折叠，点 恰落在线段
上的点 处，① ；② ；③ ；④ ．则下列结
论正确的有（ ）
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③
1．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）【问题背景】
著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都
为c，大正方形的面积可以表示为 ，也可以表示为 ，由此推导出重要的勾股定理：如果
直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则 ．
【探索求证】
（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”， 与 按如图所示位置放置，连接
，其中 ，请你利用图②推导勾股定理；
【问题解决】
（2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中 ，由于
某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路 ，且 ．测得 千米， 千米，求新路 比原
路 少多少千米？
【延伸扩展】
（3）在第（2）向中若 时， ， ， ， ，设 ，求 的值．
（二次根式学完之后）2．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）同学们，我们已经学过勾股定理，那是
直角三角形特有的哦！
(1)直接填空：如图①，若 ，则 ；若 ，则直角三角形的面积是 ；
(2)观察图②，其中两个相同的直角三角形边 在一条直线上，请利用几何图形的之间的面积关系，
试说明 ；
(3)如图③所示，折叠长方形 的一边 ，使点 落在 边的点 处，已知
，求 的长．
（二次根式学完之后）3．（24-25九年级下·重庆·阶段练习）某市规划修建铁路 ，并将火车始发站定于
B处．已知始发站B位于小区A的东北方向，位于商场C 的北偏西 方向，且 距离为 米，小区A
位于商场C的南偏西 方向．火车在行驶的过程中，以火车头为圆心，半径为 米的范围内都会受
到噪音干扰．火车从始发站B出发，以 米 秒的速度沿铁路 低速行驶．
(1)请问A小区是否会受到噪音干扰？若受到干扰，干扰的时间有多长？(结果保留整数，参考数据：
(2)火车从始发站出发时，小明开车从小区沿正南方向以10米／秒的速度出发，小明出发多久后会受到噪
音影响？
