文档内容
2025 年中考第二次模拟考试（湖南卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．下列实数中是无理数的是（ ）
A． B．3.14 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了实数的分类，零指数幂的意义，特殊角的三角函数值．实数分为有理数和无理数，有
理数分为整数和分数，无理数分为正无理数和负无理数．A，C，D先化简，再判断．
【详解】解：A、 ，是有理数，故不符合题意；
B、3.14是有理数，故不符合题意；
C、 ，是有理数，故不符合题意；
D、 ，是无理数，故符合题意；
故选：D．
2．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是轴对称图形，中心对称图形，熟知如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分
能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原
来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形是解题的关键．根据中心对称图形与轴对称图形的定义
解答即可．
【详解】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意；B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：B．
3．人口问题已经成为严峻的全球性问题，人口老龄化加剧明显。根据统计，2024年我国出生人口约为
8822100人，则出生人口可以用科学记数法表示为（ ）人
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据科学记数法的方法进行解题即可．本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为
，其中 ， 为正整数，确定a与n的值是解题的关键．
【详解】解：依题意，2024年我国出生人口约为8822100人，
则出生人口可以用科学记数法表示为 ，
故选：D．
4．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了幂的乘方、二次根式的化简与减法、同底数幂的除法、单项式乘以多项式，熟练掌握
各运算法则是解题关键．根据幂的乘方、二次根式的化简与减法、同底数幂的除法、单项式乘以多项式的
运算法则逐项判断即可得．
【详解】解：A、 ，则此项错误，不符合题意；
B、 ，则此项错误，不符合题意；
C、 ，则此项正确，符合题意；
D、 ，则此项错误，不符合题意；
故选：C．5．湖南省特立中学为了解学生对“生命，生态与安全”课程的学习掌握情况，从九年级学生中随机抽取
了24名学生进行综合测试．本次测试共有10道题目，答对题数情况如下表：
答对题数（道） 6 7 8 9 10
人数 3 8 6 5 2
则本次测试学生答对题数的中位数和众数分别是（ ）
A．7和7 B．7和8 C．8和7 D．8和8
【答案】C
【分析】本题考查了求众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到
大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如
果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，据此求解即可．
【详解】解：由表格知，答对题数为7道的有8人，人数最多，
所以本次测试学生答对题数的众数是7；
因为共有24人，
所以中位数是排序后第12，13名的平均数，即 ，
故选：C．
6．如图是某机械加工厂加工的一种零件的示意图，其中 ， ，则 等于
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的
性质．首先根据平行线的性质得出 ，再根据垂直与三角形的内角和即可求出 ．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴
故选：B．
7．关于一次函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．图象过点
B．其图象可由 的图象向下平移2个单位长度得到
C． 随着 的增大而增大
D．图象经过第一、二、四象限
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象与几何变换，一次函数的性质以及一次
函数图象与系数的关系，根据一次函数图象上点的坐标特征，平移的规律以及一次函数的性质逐个判断即
可．
【详解】A、当 时， ，
一次函数 的图象经过点 ，选项A错误，不符合题意；
B、由 的图象向下平移2个单位长度得到 ，故选项B错误，不合题意
C、 ，
随 的增大而减小，选项C错误，不符合题意；
D、 ， ，
一次函数 的图象经过第一、二、四象限，选项D正确，符合题意；
故选：D．
8．《百骏图》是中国十大传世名画之一，其图共绘有100匹姿势各异的骏马，可谓曲尽骏马之态．如图，
已知局部临摹画面装裱前是一个长为2.8m，宽为0.9m的矩形，装裱后的长与宽的比是 ，且四周边衬
的宽度相等．设边衬的宽度为xm，根据题意可列方程（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查分式方程的应用．根据题意，正确的列出方程，是解题的关键．
根据装裱后的长与宽的比是 ，且四周边衬的宽度相等，列出方程即可．
【详解】解：由题意得， ，
故选：C．
9．如图， 是 的直径，点C、D都在 上，若点A是 的中点， ， ，则
的长为（ ）
A．8 B．6 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了垂径定理、解直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键．
连接 、 ，根据垂径定理得 ，可得出 ，再根据同弧所对的圆心角是圆周角的两倍
得出 ，易得出 ，然后根据正弦的定义即可得出 ，最后根据直径是半径的2
倍，即可得出答案．
【详解】解：连接 、 ，
点A是 的中点，
，设垂足为点 ，，
，
和 所对的弧都是 ，
，
，且 ，
，
，
，
在 中， , ， ， ，
，
是 的直径，
，
故选A．
10．汉字文化正在走进人们的日常消费生活．如图所示图形都是由同样大小的圆点和线段按照一定的规律
排列组成的篆书简化“汉”字，其中，图①中共有 个圆点，图②中共有 个圆点，图③中共有 个圆
点，图④中共有 个圆点…依此规律则图⑩中共有圆点的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了图形的规律探究．根据题意推导一般性规律是解题的关键．
由题意知，图①中共有 个圆点，图②中共有 个圆点，图③中共有 个圆点，…可
知图⑩中圆点个数为 ，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，图①中共有 个圆点，图②中共有 个圆点，
图③中共有 个圆点，
图④中共有 个圆点，
…
∴图⑩中共有圆点 ，
故选：D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．分解因式：
【答案】
【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法．利用平方差公式因式分解即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
12．化简： ．
【答案】
【分析】本题考查的是分式的除法运算，把除法化为乘法运算，再约分即可．
【详解】解： ；
故答案为：
13．已知点 与点 关于x轴对称，则 的结果为 ；
【答案】9
【分析】此题主要考查了关于 轴对称点的性质，直接利用关于 轴对称点的性质得出 ， 的值，进而得
出答案．正确把握横纵坐标的符号是解题关键．
【详解】解： 点 与 关于 轴对称，
， ，
．
故答案为：9．
14．如图 两处被池塘阻隔，为测量 两地的距离，在地面上选一点 ，连结 ，分别取
的中点 ．测得 ，则 两地的距离为 ．
【答案】10
【分析】本题考查了三角形中位线定理，根据三角形中位线定理计算即可得出答案．
【详解】解：∵ 是 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
故答案为： ．
15．已知等腰三角形的底边长和腰长分别是16和10，则这个等腰三角形的面积为 ．
【答案】48
【分析】本题考查等腰三角形的性质，过A作 于H，由等腰三角形的性质推出 ，由
勾股定理得到 ，由三角形的面积公式即可求出 的面积．
【详解】解：如图： ，
过A作 于H，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ 的面积 ．
故答案为：48．
16．已知 分别是一元二次方程 的两个根，则 的值为_________．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键熟练掌握 ， 是解题的
关键．
根据根据一元二次方程根与系数的关系求解则可， ， ，将 整理得到 ，代入
即可．
【详解】解： 分别是一元二次方程 的两个根，
，
．
故答案为： ．
17．火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔（如图
1），从这里冒出的烟雾其实只是水蒸气，它的纵截面是（如图2）所示的轴对称图形，四边形 是一
个矩形，若以 所在直线为 轴， 的垂直平分线为 轴建立如图2所示的平面直角坐标系，
分别是两个反比例函数图象的一部分，已知 ，上口宽 ，则整个冷却塔高度为【答案】
【分析】本题考查了反比例的应用，首先求得C的坐标，然后利用待定系数法求得反比例函数的解析式，
然后把F的横坐标代入求得纵坐标即可．
【详解】解： ，
则C的坐标是 ，
设反比例函数的解析式是 ，
把C的坐标代入得 ，
则反比例函数解析式是 ，
∵上口宽 ，
∴点F的横坐为 ，
当 时， ．
答：整个冷却塔的高是 ．
故答案为： ．
18．如图，在正方形 中， 、 、 分别是边 、 、 上的点， ，垂足为 ，下
列结论中：① 为线段 的中点；② ；③ ；④ ，正确的结论有
．
【答案】②③④
【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质及直角三角形的性质，
取特殊点即可判断①；利用直角三角形两锐角互余即可判断②；过点 作 于点M，则四边形
是矩形，证明 ，即可判断③④．
【详解】解：①如图，当点 重合， 重合时，则点 与点 重合，
此时， ，故①错误；
②∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故②正确；
③过点 作 于点M，则四边形 是矩形，
∴ ，
∵在正方形 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故③正确；
④由③知 ，四边形 是矩形，
∴ ， ，
∵在正方形 中， ，∴
∴ ，故④正确；
故答案为：②③④．
三、解答题（本大题共8个小题，共66分．第19-20题每题6分，第21-22题每题8分，第23-24题每题9
分，第25-26题每题10分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．计算： ．
【答案】
【分析】本题考查负整数指数幂，零次幂，绝对值，特殊角的三角函数值，根据负整数指数幂，零次幂，
绝对值，特殊角的三角函数值进行计算即可．
【详解】解：原式
．
20．解不等式组 ，并写出它的最大整数解．
【答案】不等式组的解为 ，最大整数解为
【分析】本题考查了解不等式组，解题的关键是掌握不等式组的解法．先求出每个不等式的解集，再根据
“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再找到其最
大整数解即可．
【详解】解： ,
解不等式①：
，解不等式②：
，
不等式组的解为 ，最大整数解为 ．
21．某校为了解学生的劳动教育情况，对九年级学生寒假期间“参加家务劳动的时间”进行了抽样调查，
并将劳动时间x分为如下四组（ ： ； ： ； ： ； ： ，单位：分
钟）进行统计，绘制了如下不完整的统计图．
(1)求出本次抽样的学生人数并补全条形统计图；
(2)已知该校九年级有 名学生，请估计该校九年级学生中参加家务劳动的时间在 到 分钟（含 分
钟）的学生有多少人？
(3)若 组中有 名女生，其余均是男生，从中随机抽取两名同学交流劳动感受，请用列表法或树状图法，
求抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的概率．
【答案】(1) （人），补全图形见解析；
(2) 人；
(3) ．
【分析】 根据条形统计图中 组有 人，扇形统计图中 组人数占总人数的 ，计算出抽查的学生
的总人数为 人，用总人数减去 组、 组、 组的人数，求出 组的人数，根据 组的人数补全条形统
计图；根据条形统计图可知被抽查到的学生中参加家务劳动的时间在 到 分钟的人数共有 人，
占被抽查的总人数的 ，利用样本估计总体，可得：全校参加家务劳动的时间在 到 分钟的人
数有 人；
利用列表法把所有可能出现的情况表示出来，共有 种等可能的结果，其中抽取的两名同学中恰好是
一名女生和一名男生的结果有 种，所以可知抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的概率为 ．
【详解】（1）解：本次抽样的学生人数为 （人），
组的人数为 （人），
补全条形统计图如下图所示；
（2）解： （人），
估计该校九年级学生中参加家务劳动的时间在 到 分钟（含 分钟）的学生约 人；
（3）解：由题意得，有 名女生， 名男生，
列表如下：
男 男 女 女 女
（男， （男， （男， （男，
男
男） 女） 女） 女）
（男， （男， （男， （男，
男
男） 女） 女） 女）
（女， （女， （女， （女，
女
男） 男） 女） 女）
女 （女， （女， （女， （女，男） 男） 女） 女）
（女， （女， （女， （女，
女
男） 男） 女） 女）
共有 种等可能的结果，其中抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的结果有 种，
抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的概率为 ．
【点睛】本题主要考查了条形统计图、扇形统计图、用样本的数据估计总体数据、列表法求概率．解决本
题的关键是先求出样本数据，再利用样本数据估计总体数据．
22．如图，在 中，对角线 ， 相交于点 ， ， 是 的中点，过点 作 ，
交 于点 ．
(1)求证：四边形 是矩形；
(2)若 ， ，求四边形 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识，
熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
（1）证 是 的中位线，得 ，则四边形 是平行四边形，再证 ，即可得出
结论；
（2）根据勾股定理得出 ，进而利用矩形的面积公式解答即可．
【详解】（1） 四边形 是平行四边形，
．
点 是 的中点，
是 的中位线．
．
又 ，
四边形 是平行四边形．
，，
．
四边形 是矩形．
（2） ，
，
，
，
，
矩形 的面积 ．
23．如图是长沙九龙仓国际金融中心，位于长沙市黄兴路与解放路交会的东北角，投资160亿元人民币，
总建筑面积达98万平方米，中心主楼 高 ，是目前湖南省第一高楼，大楼顶部有一发射塔 ，已
知和 处于同一水平面上有一高楼 ，在楼 底端D点测得A的仰角为 ， ，在顶端E点
测得A的仰角为 ， ．
(1)求两楼之间的距离 ；
(2)求发射塔 的高度．
【答案】(1)两楼之间的距离为
(2)发射塔AB的高度为
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-俯角仰角的问题，熟练解直角三角形是解题的关键．
（1）过点E作 于点F，即可求得 ，可得答案；（2）利用解直角三角形，可得 ，再减去 ，即可解答．
【详解】（1）解：如图，过点E作 于点F，
， ，
，
由题可知：四边形 为矩形，
，故两楼之间的距离为 ；
（2）解：在 中， ，
，
，
故发射塔 的高度为 .
24．某校开展社会实践活动，要求学生调查当地某品牌火腿的市场行情．下表是“智多星”小组的调查记
录表，请根据下表中的相关信息解决两个实际问题．
某校社会实践调查记录表
团队名称 智多星 活动时间 2024.10.2 活动地点 某火腿销售店
实践内容 调查火腿市场行情，帮助店家解决销售问题，让顾客得到更大的实惠
火腿的进价为40元/千克．
调研信息 当火腿售价为50元/千克时，每天可销售100千克．
若每千克火腿每涨价1元，销售量每天就会减少2千克．
问题1 涨价后，若该店某天销售火腿获利1600元，则火腿的售价为多少元/千克？
解决问题
问题2 当火腿的售价定为多少元/千克时，该店当日销售火腿所获利润最大？
【答案】（1）火腿的售价为60元/千克；（2）当火腿的售价定为70元/千克时，该店当日销售火腿所获利润最大．
【分析】本题考查二次函数和一元二次方程的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式和方程．
问题1：设火腿的售价为x元/千克，根据每千克火腿的利润×销售量=1600列出方程，解方程求出x的值即
可；
问题2：该店当日销售火腿所获利润为y元，根据该店每天的利润=每千克火腿的利润×销售量列出函数解
析式，根据函数的性质求最值．
【详解】解：问题1：设火腿的售价为x元/千克，
由题意得： ，
解得： 或 ，
∵要让顾客得到更大的实惠，
∴ ，
答：火腿的售价为60元/千克；
问题2：该店当日销售火腿所获利润为y元，
由题意得：
，
∵ ，
∴当 时，y最大，最大值为1800，
答：当火腿的售价定为70元/千克时，该店当日销售火腿所获利润最大．
25．如图， 是 的直径，点C是劣弧 中点， 与 相交于点E．连接 ， ，
与 的延长线相交于点F．
(1)求证： 是 的切线；
(2)求证： ；
(3)若 ，求 的长．【答案】(1)见解析
(2)见解析
14
(3)
5
【分析】(1)连接OC，由圆周角定理得∠ACO+∠OCB=90°，再由等腰三角形性质及切线的判定定理可
得结论；
(2)根据同圆中等弧对等角、等角对等弧可得答案；
(3)设OH为x，则CH为(5−x)，根据勾股定理可得方程，求得OH的长，再根据三角形中位线定理可得答
案．
此题考查的是圆周角定理、切线的判定与性质、勾股定理和三角形中位线定理，正确作出辅助线是解决此
题关键．
【详解】（1）解：连接OC，
∵AB
是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACO+∠OCB=90°，
∵OA=OC，
∴∠BAC=∠ACO，
∵∠BCF=∠BAC，
∴∠BCF+∠OCB=90°，
∴∠OCF=90°，
∴OC⊥CF，
∴CF是⊙O的切线．
⏜
（2）解：∵点C是
BD
中点，
⏜ ⏜
∴CD=BC ，
∴∠CAD=∠BAC，
∵∠BCF=∠BAC，
∴∠CAD=∠BCF，⏜ ⏜
∵CD=CD ，
∴∠CAD=∠CBD，
∴∠BCF=∠CBD，
∴BD∥CF，
∴∠ABD=∠F，
⏜ ⏜
∵AD=AD ，
∴∠ACD=∠ABD，
∴∠ACD=∠F.
（3）解：如图：连接线OC，交BD于H，
∵BD∥CF，OC⊥CF，
∴OC⊥BD于点H，
设OH为x，则CH为(5−x)，根据勾股定理，
62−(5−x) 2=52−x2，
7
解得：x= ，
5
7
∴OH= ，
5
∵OH是中位线，
14
∴AD=2OH= .
5
26．对于函数定义变换：当 时，函数值不变；当 时，函数值变为原来的相反数，我们把这种变
换称为函数的“关联变换”，变换后的函数称为原函数的“关联函数”，“关联函数”与x轴的交点叫做
“转折点”．如：一次函数 ，关联函数为 ，这个关联函数的转折点是 ．
(1)已知一次函数 ，请直接写出它的“关联函数”的解析式和转折点．
(2)已知二次函数 ，点 在它的“关联函数”的图象上，求a的值.
(3)在平面直角坐标系内，有点 、 ，请直接写出a的取值范围是多少时，二次函数
的关联函数与线段MN恰有两个公共点．
【答案】(1)关联函数为 ，关联函数的转折点为 ，
(2) 或1
(3) 或
【分析】（1）令 ，求出直线 与 轴的交点坐标，根据“关联函数”的定义求解．
（2）令 ，求出抛物线与 轴的交点坐标，根据抛物线开口方向求出其关联函数解析式，将
分别代入其关联函数解析式中求解．
（3）作 关于 轴的对称的线段 ，由二次函数解析式可得抛物线顶点坐标，结合图象求解．
【详解】（1）令 ，
解得 ，
其关联函数为 ，关联函数的转折点为 ， ．
（2）令 ，
解得 ， ，抛物线 与 轴交点坐标为 ， ，
抛物线开口向上，
关联函数 ，
将 代入 得 ，
解得 ， ，
将 代入 得 ，
解得 ，
或1．
（3） ，
抛物线开口向上，顶点坐标为 ，对称轴为直线 ，
点 、 关于直线 对称，
如图，作 关于 轴的对称的线段 ，
当 时， ，抛物线顶点在线段 上，
当 时， ，抛物线顶点在线段 上，
满足题意，
当抛物线经过点 ， 时，将 代入 得 ，
解得 ，将 代入 得 ，
解得 ，
符合题意，
综上所述， 或 ．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方
程的关系，通过数形结合求解．
