文档内容
2025 年中考第二次模拟考试（武汉卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．在数轴上有分别表示 ，0，1，3四个数的点，其中离原点最远的点表示的数是（ ）
A． B．0 C．1 D．3
【答案】A
【分析】本题主要考查了有理数的大小比较，绝对值的定义，一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点
的距离．
到原点距离最远的点，即绝对值最大的点，首先求出各个数的绝对值，即可作出判断．
【详解】解： ，0，1，3的绝对值分别为 ，0，1，3，其中绝对值最大的为5，
∴离原点最远的点表示的数是 ，
故选：A．
2．剪纸是中国独特的民间艺术，如图是我国传统文化中的“福禄寿喜”剪纸图，其中是中心对称图形的
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋
转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点．
【详解】解：选项A、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，
所以不是中心对称图形，
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，
故选：B．
3．DeepSeek是一款先进的人工智能助手，可提供高效、精准的信息检索和智能对话服务．其活跃用户数在上线21天后达到了3370万．将3370万用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，熟练掌握其表示方法是解题的关键．
科学记数法的表示形式为 ，其中 ， 为整数．
【详解】解： 万 ．
故选：C ．
4．一个骰子相对两面的点数之和为 ，将它按如图位置放置后，按箭头所示方向滚动，滚动到最后一格时，
该骰子朝上一面的点数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，弄清各个面上的数字，动手操作是解题关键．
根据题意弄清各个面上的数字，动手操作即可解答．
【详解】解： 骰子相对两面的点数之和为 ，
的对面是 ， 的对面是 ， 的对面是 ，
第一次滚动后， 朝下， 朝上，
第二次滚动后， 朝下， 朝上，
第三次滚动后， 朝下， 朝上．
故选：B．
5．一台起重机的工作简图如图所示，吊杆 与吊绳的夹角为 ，在同一平面内，将 逆时针旋转
后到 的位置，则吊杆 与所连吊绳的夹角 为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，熟练掌握它们的性质是解题的关键．
首先根据题意可得： ，然后由两直线平行，内错角相等，即可求得 的度数，又由三角形
外角的性质，求得答案．
【详解】解：如图所示：
设 与逆时针旋转 后吊绳交与点C， ，
，
∴ ，
∴ ，
， ，
∴ ．
故选：C．
6．《孙子算经》中有这样一道题，大意为：今有100头鹿，每户分一头鹿后，还有剩余，将剩下的鹿按每
3户共分一头，恰好分完，问：有多少户人家？若设有x户人家，则下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】每户分一头鹿需x头鹿，每3户共分一头需 头鹿，一共分了100头鹿，由此列方程即可．
【详解】解：x户人家，每户分一头鹿需x头鹿，每3户共分一头需 头鹿，
由此可知 ，
故选C．【点睛】本题考查列一元一次方程，解题的关键是正确理解题意．
7．如图，在 中， ， 是 的内切圆，若 ， ，则图中
的面积为（ ）
A．5.5 B．2.75 C．6.05 D．3.025
【答案】D
【分析】本题考查与圆内切三角形．熟练掌握圆内切三角形性质，切线性质，切线长定理，正方形判定和
性质，三角形面积公式，是解题的关键．
设 的半径为r，分别切 的三边于D、E、F，连接 ，证明四边形 是正方形，
得 ，得 ， ，由 ，得 ，解得
，即得 ．
【详解】解：设 分别切 的三边于D、E、F，半径为r，连接 ，
则 ，
∵ ，
∴四边形 是正方形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ．故选：D．
8．图是一个正方体的表面展开图，正方体相对两个面上的代数式的积相同则A为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查正方体相对两个面上的文字、分式的混合运算法则等知识点，掌握正方体表面展开图中
相对两个面的特征“相间、Z端是对面”是正确解答的前提．
利用正方体及其表面展开图的特点可得：面“ ”与面“A”相对，面“ ”与面“ ”相对，
再根据相对两个面上的代数式的积相同表示出A，最后运用整式的混合吞噬法则化简即可．
【详解】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“ ”与面“A”相对，面“
”与面“ ”相对，
由题意可得： ，
∴．
故选D．
9．如图，在平面直角坐标系中，正方形 的顶点 在 轴上， 在直线 上， 在双曲线
的一支上．已知点 的横坐标为6，则 的值为（ ）
A．6 B．12 C．24 D．48
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，一次函数的性质，正方形的性质，根据题意可知
点横坐标，利用直线 解析式得到 ，依据正方形性质推出 ．根据点 的坐标求
出 值即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵点M的横坐标为6，
∴ ，
∵ 在直线 上，
可设 ，
则 ，
∴ ，
∵四边形 是正方形，∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵点 在反比例函数图像上，
∴ ，
故选： ．
10．如图，在正方形 中， 是等边三角形， 、 的延长线分别交 于点 、 ，连结
、 ， 与 相交于点 ，给出下列结论：① ；② ；③ ；
④ ，其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】由正方形的性质得出 ， ，由等边三角形的性
质得出 ， ，进而得出 ，即可判断选项①；由等腰三角
形的性质得出 ，由正方形对角线的性质得出 ，得 ，
得出 ，由平行线的性质得出 ，得出 ，即可判断选项②；证明
，由相似三角形的性质即可判断选项③；利用含30度角的直角三角形的性质，结合线段
的和差关系求出 与 的数量关系从而判断④．
【详解】解：∵四边形 是正方形， 是等边三角形，
∴ ， ， ， ，
，
∴ ， ， ，∴ ， ，
∴结论①正确；
∴ ，
∵ 是正方形 的对角线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴结论②正确；
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴结论③正确；
在 中， ，则： ，
∴ ，
在 中， ，则 ， ，
∴ ，
∴ ，∴ ；故④正确
∴正确的是①②③④．
故选：D．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，正方形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握正方形的性质，
等边三角形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识是解题的
关键．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．因式分解： ．
【答案】
【分析】本题考查了分解因式．熟练掌握提公因式法分解因式是解题的关键．
提公因式x即可，另一个因式为 ．
【详解】解： ．
故答案为： ．
12．当 时，分式 的值为0．
【答案】3
【分析】本题考查了分式的值为0的条件．熟练掌握分子为0，分母不为0，两个条件需同时具备，缺一不
可，是解答本题的关键．根据分式的值为0的条件解答即得．
【详解】解：∵ 的值为0，
∴ ，
∴ ，∴ ，
故答案为：3．
13．虹吸现象描述了液体在两个具有高度差的容器之间，通过充满液体的倒U形管自动流动的过程．如图
1，是利用虹吸现象的原理从甲容器向乙容器注水的示意图，已知甲、乙容器完全相同，开始时甲容器液
面高 ．设甲容器中的液面高为 （单位： ），乙容器中的液面高为 （单位： ），小明绘制
了 ， 关于虹吸时间x（单位： ）的函数图象，如图2所示．当甲容器中的液面比乙容器中的液面低
时，x的值为 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了一次函数的应用．利用待定系数法求得 ，再利用甲容器向乙容器注水，
始终有 ，求得 ，根据题意列方程求解即可．
【详解】解：当 时， ，
∵开始时甲容器液面高 ，
∴ ，
又∵ 时， ，
∴设 ，
将 代入得 ，解得 ，
∴ ，∵甲容器向乙容器注水，始终有 ，
∴ ，
∴甲容器中的液面比乙容器中的液面低 时，即 ，
∴ ，
解得 ，
故答案为： ．
14．如图，△ABC的边上有D，E，F三点， ， ， ．若 ， ，
，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定以及相似三角形面积之比等于
相似比的平方是解题的关键．
先证 即可求出 的长，再证 ，根据相似三角形面积之比等于相似比的平方
即可得出答案．
【详解】解：∵ 为公共角，
，
，
即 ，
，，
，
解得 ，
，
，
为公共角，
，
，
故答案为： ．
15．如图， 为 的直径，C为半圆 上的一动点，以 为边向 外作等边 （点D在直线
的上方），连接 ．若 的半径为2，则线段 的最大值为 ．
【答案】4
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，点到圆的距离，以 为边作
等边三角形 ，连接 ，证明 ，可得点D在以点E为圆心，半径为2的圆上运
动，即可解答，正确做出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，以 为边作等边三角形 ，连接 ，
， ，
是等边三角形，
， ，
，
，，
，
点D在以点E为圆心，半径为2的圆上运动，
当O，E，D三点共线时，OD最大，最大值为 ．
故答案为： ．
16．如图，抛物线 与x轴交于A、B两点，与轴的正半轴交于点C，对称轴是直线
，其顶点在第二象限，给出以下结论：① ；② ；③若 ，则 ；④不
论m取任何实数，均有 ．其中正确的有 ．
【答案】①②③
【分析】本题主要考查了二次函数与系数的关系、二次函数图像上点的坐标特征及抛物线与 轴的交点，
根据所给函数图像，得出 ， ， 的符号，再结合抛物线的对称性及增减性对所给结论依次进行判断即可．
熟知二次函数的图像与性质是解题的关键．
【详解】解：由所给图像可知，
， ， ，
所以 ．
故①正确．因为抛物线的对称轴为直线 ，
所以 ，
则 ．
故②正确．
因为点 坐标为 ，
由 得， ，
所以点 的坐标为 ，
则 ，
所以 ．
因为抛物线的对称轴为直线 ，且点 坐标为 ，
所以点 的坐标为 ．
由 得，
，
所以 ．
故③正确．
因为抛物线的对称轴为直线 ，且开口向下，
所以当 时，二次函数有最大值 ，
即对于抛物线上的任意一点（横坐标为 ，总有 ，即 ．
故④错误．
故答案为：①②③．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21每题8分，22-23题每题10分，24题12分。解答应写
出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（8分）
解不等式组： ，并写出它的所有整数解．
【答案】 ，整数解为 ，0，1．
【分析】本题考查了求一元一次不等式组的整数解．先求出每个不等式的解集，再找出不等式组的解集，
最后找出整数解即可．【详解】解： ，
解不等式①，得： ，（3分）
解不等式②，得： ，（6分）
原不等式组的解集是 ，（7分）
整数解为 ，0，1．（8分）
18．（8分）
如图， 与 交于点 ，且 ，点 在 上， ， ．求证： ．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法和性质是解题的关键．
根据题意证明 即可求解．
【详解】证明： ，
，
，
，（2分）
在 和 中，
，
，（6分）
．（8分）
19．（8分）
近年来，人工智能浪潮席卷全球，我国抓住这一机遇迎潮而上，成果丰硕．为了提升学生的信息素养，某
校特组织七、八年级全体学生开展“灵动数据·智汇AI”信息技术知识竞赛，为了解竞赛成绩，现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩x进行整理，共分成A，B，C，D四个等级，成绩在90以上
（含90分）为优秀．
【信息整理】
信息1：
等级 A B C D
成绩
信息2：
信息3：七年级B，C两组同学的成绩分别为：94，92，92，92，92，89，88，86，85；
八年级C组同学的成绩分别为：89，89，89，89，89，88，87，86．
【数据分析】七、八年级抽取学生的竞赛成绩统计表如下：
平均 中位 众 优秀
年级
数 数 数 率
七年
88 a 95
级
八年
88 89 35%
级
(1)填空： ______； ______， ______；
(2)根据成绩统计表中的数据，你认为在此次竞赛中哪个年级的学生对当前信息技术的了解情况更好？请说
明理由（写出一条理由即可）；
(3)若该校七年级学生有420人，八年级学生有580人，请估计该校七、八年级成绩为优秀的学生共有多少
人．
【答案】(1)87，89，40
(2)七年级学生对当前信息技术的了解情况更好，理由见解析
(3)估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生有 人．
【分析】本题考查众数、中位数、用样本估计及总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
（1）根据题意和统计图中的信息，可以分别计算出a、b、m的值；
（2）根据表格中的数据，可以解答本题；
（3）根据表格中的数据，可以计算出这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数．
【详解】（1）解：∵A，B两组人数共有 人，
∴七年级抽取学生的竞赛成绩中位数为86与88的平均数，
由条形统计图可得： ，
由八年级C组同学的分数可知：89出现的次数最多，所占的百分比为 ，
∴ ，
，
故答案为：87，89， ；（3分）
（2）解：七年级学生对当前信息技术的了解情况更好，理由：
由表格可知，七八年级的平均数相同，七年级学生对当前信息技术的了解的优秀率高于八年级学生对当前
信息技术的了解的优秀率；（5分）
（3）解：由题意可得，
（人），
答：估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生有 人．（8分）
20．（8分）
如图，在 中， ，点O为 上一点，以点O为圆心， 为半径作 交 于另一
点D，点E为 上一点，且 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）连接 ，如图1．根据 ，得出 ．根据等边对等角得出
， ，即可得出 ，即可证明．
（2）连接 ，如图2．根据 ，得出 ．设 ，则 ．由勾股定理
得 ，解方程即可求解．
【详解】（1）解：证明：连接 ，如图1．
，
．
，
，
．
又 ，
，
，
，
．
是 的半径，
是 的切线．（4分）
（2）解：连接 ，如图2．
，
．，
．（6分）
设 ，则 ．
，
由勾股定理得 ，
，
解得： ，
的长为 ．（8分）
【点睛】该题主要考查了切线的判定，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形的性质等知识点，解题的关
键是正确做出辅助线，掌握以上知识点．
21．（8分）
如图是由边长为1的小正方形构成的8×8网格，每个小正方形的顶点叫做格点，圆上三点A、B、C均为格
点，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示完成下列各题：
(1)在图1中，先画出圆心O，再画 的中点N，在 画出点D，使 （点D与A不重合）；
(2)在图2中，E为圆与横格线的交点，在优弧 上画出点F，使 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析【分析】（1）连接 ，取 与网格线的交点 ，知点 为圆心，平移 到 ，取 与网格线的交
点 ，作直线 交 于点N； 交 于点D，由弧、弦的知识得到 ；
（2）取 与横格线的交点 ，连接 ，由平行线的性质知 ，取格点 ，连接 ，则
， 交 于点F，则 ．
【详解】（1）解：如图，点N，点D，即为所作，
；（4分）
（2）解：如图，点F即为所作，
．（8分）
【点睛】此题考查了弧、弦的性质，直角所对的弦是直径，圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定，平
行四边形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点并运用．
22．（10分）
“大众创业、万众创新”，互联网和大数据的时代，创新已成为提升企业竞争力的关键．已知商家购进一
批文创产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销量 单位：
件)与线下售价 单位：元 件， )满足一次函数的关系，部分数据如下表：
x(元/件) 12 14 16120
y(件) 1000 800
0
(1)求y与x的函数关系式；
(2)若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销售量固定为400件．
①当x为多少时，线上和线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润；
②若线下月利润与线上月利润的差不低于800元，直接写出x的取值范围．
【答案】(1)
(2)①当x为19时，线上和线下月利润总和达到最大，最大利润为7300元；
②
【分析】本题考查二次函数的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数关系
式，利用一次函数和二次函数的性质解答．
（1）根据线下的月销量 单位：件)与线下售价 单位：元 件， 满足一次函数的关系和表格
中的数据，利用待定系数法可以求得y与x的函数关系式；
（2）①根据题意和（1）中的函数关系式，可以得到利润和x的函数关系式，再利用二次函数的性质，即
可得到当x为多少时，线上和线下月利润总和达到最大，并求出此时的最大利润；
②根据题意，可以得到线下月利润与线上月利润的差和x的函数关系式，然后根据二次函数的性质，即可
得到x的取值范围．
【详解】（1）解：设 ，
由表格信息可得 ，
解得 ，
∴y与x的函数关系式为 ；（3分）
（2）设线下利润为 元，线上利润为 元，
根据题意，得 ，，（5分）
①设线上和线下月利润总和为w元，
根据题意，得
，
∵ ， ，
∴当 时，w最大，最大值为 元，
答：当x为19时，线上和线下月利润总和达到最大，最大利润为 元；（8分）
②线下月利润与线上月利润的差为W元，
，
令 ，则 ，
解得 ，
∴当 时，W的值不小于800，
又∵ ，
∴线下月利润与线上月利润的差不低于800元时，x的取值范围是 ．（10分）
23．（10分）
如图，点F在四边形ABCD的边AB上，
（1）如图①，当四边形ABCD是正方形时，过点B作BE⊥CF，垂足为O，交AD于点E．求证：BE＝
CF；
（2）当四边形ABCD是矩形，AD＝6，AB＝8时，
①如图②，点P是BC上的一点，过点P作PE⊥CF，垂足为O，点O恰好落在对角线BD上，求 的值；
②如图③，点P是BC上的一点，过点P作PE⊥CF，垂足为O，点O恰好落在对角线BD上，延长EP、
AB交于点G，当BG＝2时，DE＝ ．【答案】（1）见解析；（2）① ；②
【分析】（1）根据正方形的性质和BE⊥CF，可证明△ABE≌△BCF ，即可求证；
（2）①过点O作MN∥AB交AD、BC于点M、N，可得四边形ABNM和DMNC为矩形，然后设ON=a，
BN=b，则OM=8-a，DM=CN=6-b，根据△DOM∽△BON，可得 ，可求出 ，从而得到
，再由△EOM∽△OCN，可得到 ，即可求解；
②根据AB∥CD ，AD∥BC，可得 COD FOB， DOE BOP，从而得到 ， ，进而
得到 ，再由 PBG FBC，可得 ，即可求解．
【详解】证明：（1）在正方形ABCD中，
∠A=∠ABC=90°，AB=CB，
∴∠FBO+∠OBC=90°，
∵BE⊥CF，
∴∠BOC=90°，
∴∠BCO+∠OBC=90°，
∴∠FBO=∠BCO，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴BE=CF；（3分）
（2）① 如图，过点O作MN∥AB交AD、BC于点M、N，在矩形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，∠ABC=90°，
∴MN∥CD，
∴四边形ABNM和DMNC为矩形，
∴MN=AB=8，
设ON=a，BN=b，则OM=8-a，DM=CN=6-b，
∵△DOM∽△BON，
∴ ，即 ，
解得： ，
∴ ，
∵PE⊥CF，
∴∠EOM+∠CON=90°，
∵∠OCN+∠CON=90°，
∴∠OCN=∠EOM，
∴△EOM∽△OCN，
∴ ，
∴即 ；（7分）
②在矩形ABCD中，AB∥CD ，AD∥BC，∠ABC=90°
∴ COD FOB， DOE BOP，
∴ ， ，
∴ ，∴ ，
∵∠ABC=90°，
∴∠BFC+∠BCF =90°
∵ ，
∴∠FOG=90°，
∴∠G+∠BFC =90°，
∴∠G=∠BCF，
∵∠PBG=∠CBF =90°，
∴ PBG FBC，
∴ ，
∴ ，
∴ ．（10分）
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，正方形和矩形的性质，得到相似三角形是解题的关键．
24．（12分）
如图，已知二次函数 (a是常数，且 )的图像 与x轴交于A，B两点(点A在点B的
左侧)，与y轴交于点C，并将图像 中位于y轴左侧的部分作关于y轴的对称图像，该对称图像记为图像
．(1)则点A坐标为 ，点B坐标为 ；
(2)若直线 是常数 交图像 于点D，E(点D在点E的左侧)，并与图像 交于点F，若
，求a与m的数量关系；
(3)当 时，连接 ，图像 上是否存在一点P，过点P作 ⊥直线 ，垂足为点Q，连接 ，使
得 ？若存在，求点P坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）令 ，求出x值即可解题；
（2）由二次函数 知，其对称轴为直线 故设点 则点
则点 的横坐标为： 则 求出 值解题即可；
（3）证明 得到 求出点 ，即可求解．
【详解】（1）解：令
解得 或
即点 、 的坐标分别为：
故答案为： ；（2分）（2）由题意得： ，
由二次函数 )得，其对称轴为直线 ，
设点 ，则点 则点 的横坐标为
则
解得
∴ ；（6分）
（3）存在， 理由：
取 则 ，
当 时， 时， ，
∴点 的坐标为 ，
由点 、 的坐标得，
设 边上的高为 ，
则 ，即
解得
∵
∴
设直线 的解析式为 ，代入得：，解得 ，
∴直线 的表达式为：
设点 ， 点 （10分）
过点 作 轴的平行线交过点 和 轴的平行线于点 ，交过点 和 轴的平行线于点 ，
， ，
，
，
即
解得：
即点
将点 的坐标代入 得
解得： (舍去)或 ，
则
即点 ．（12分）
【点睛】主要考查了二次函数的图像和性质，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
