文档内容
2025 年中考第三次模拟考试（武汉卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．下列四个数中，负数是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】实数的运算，正数和负数，绝对值的性质，有理数的乘方的定义，算术平方根．
根据绝对值的性质，有理数的乘方的定义，算术平方根对各选项分析判断后利用排除法求解：
A、|-2|=2，是正数，故本选项错误；B、 =4，是正数，故本选项错误；
C、 ＜0，是负数，故本选项正确；D、 =2，是正数，故本选项错误．
故选C．
2．记忆里一段不算太遥远的时光，找准了对称轴，对折过来，没有丝毫误差地与现实重叠起来．让我们
学会欣赏轴对称图形的美，从中领略自然的奥妙，感受生活的韵律．京剧是中国的国粹，脸谱是传统戏曲
演员脸上的绘画，用于舞台演出时的化妆造型艺术．下列脸谱中不是轴对称图形的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】考查轴对称图形的定义，熟记它的概念是解题的关键．
根据轴对称图形的定义进行判断即可．
【详解】A、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项不符合题意．故选：B．
3．“月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的一种建筑材料，拟用于未来建造月球基地．据介绍，
“月壤砖”呈榫卯结构，密度与普通砖块相当，抗压强度却是普通砖的三倍以上．如图是一种“月壤砖”
及其主视图与俯视图，则它的左视图为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，掌握从几何体左侧看到的图形是左视图成为解题的关键．
根据左视图的定义以及三视图中看不见的线条用虚线表示即可解答．
【详解】解：其左视图是一个矩形，且中间有两条虚线，即
故选：D．
4．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了同底数幂的乘、除法，积的乘方，幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．
根据同底数幂的乘、除法，积的乘方，幂的乘方的运算法则计算，逐项判断即可．
【详解】解：A． ，故该选项不符合题意；B． ， 故该选项不符合题意；
C． ， 故该选项不符合题意；
D． 故该选项符合题意；
故选：D．
5．“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小兰购买
了四张“二十四节气”主题邮票，其中“立春”有两张，“雨水”和“惊蛰”各一张，从中随机抽取一张
恰好抽到“雨水”概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了简单的概率计算，直接用写有“雨水”的邮票数除以邮票的总数即可得到答案．
【详解】解；∵一共有四张邮票，其中写有“雨水”的邮票有一张，且每张邮票被抽到的概率相同，
∴从中随机抽取一张恰好抽到“雨水”概率是 ，
故选：C．
6．为了响应“劳动教育进课堂”的号召，某班组织学生利用劳动课时间去学校实践基地种藿香．若每小
组7人，则余2人；若每小组8人，则差4人．设该班有 人，分成 个组，可列出方程组（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了列二元一次方程组，设该班有 人，分成 个组，根据若每小组7人，则余2人；若每小组8人，则差4人，列出二元一次方程组即可．
【详解】解：设该班有 人，分成 个组，
根据题意有： ，
故选：A
7．如图所示，学校九年级举行跳绳比赛，图中的四个点分别描述了九年级的四个班级竞赛成绩的优秀率
（班级优秀人数占班级参加竞赛人数的百分率）与该班参加竞赛人数 的情况，其中描述1班和3班两个
班级情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则成绩优秀人数最多的是（ ）
A．1班 B．2班 C．3班 D．4班
【答案】D
【分析】本题主要考查反比例函数图象与性质的实际应用，设 ，过四个点作坐标轴的垂线，
设1班点为 ，2班点 ，3班点为 ，4班点 ，依题意得： ， ， ，
分别为1班、2班、3班、4班的优秀人数．于是得到结论．
【详解】解：设 ，
分别过四个点作坐标轴的垂线，则与原点围成的矩形面积即为 ，也就是优秀人数，
由矩形面积可得 ，
即：4班优秀人数 1班优秀人数 3班优秀人数 2班优秀人数，
故选：D．
8．2025年“体重管理年”正式启动，其中所涉及的体质指数“ ”是衡量人体胖瘦程度的标准，其计
算公式为 （ 表示体重，单位：公斤； 表示身高，单位：米）成年人 火女值标准见下表：
范围
胖瘦程度 瘦弱 偏瘦 正常 偏胖 肥胖
已知某位成年人身高为1.6米，以下说法正确的是（ ）
A． 数值随着体重 的值的增加而减少
B． 数值与体重 的值之间成正比例关系
C． 数值与体重 的值之间的函数图像为双曲线位于第一象限的一支
D．如果这位成年人的体重为64公斤，他的胖瘦程度属于正常
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、一次函数的应用，根据题意及
反比例函数图象上点的坐标特征，逐项分析判断即可．
【详解】解：A、某位成年人身高为1.6米， 数值随着体重m的值的增加而增加，原说法错误，不符
合题意；
B、某位成年人身高为1.6米， 数值与体重m的值之间成正比例关系，原说法正确，符合题意；
C、某位成年人身高为1.6米， 数值与体重m的值之间的函数图象为第一象限内的直线，原说法错误，
不符合题意；
D、某位成年人身高为1.6米，这位成年人的体重为64公斤，则 数值是25，属于偏胖，原说法错误，
不符合题意；
故选：B．
9．如图，在正三角形 中， ， ， 分别是 ， 的中点，以 为直径作 ， 是边
上的动点，连接 ，以 为直径作半圆交 于点 ，则线段 长的最小值是（ ）A．1 B． C． D．2
【答案】B
【分析】作 ，由题意可知， 是 的中位线，那么 ， ，由 是直
径，可知 是直角，那么 ，那么当 最短时， 最小，根据垂线段最
短，可知当 时， 最短，根据平行线之间距离处处相等，此时， ，接着在
中，算得 ，最后算得答案．
【详解】解： 在正三角形 中， ，
，
， 分别是 ， 的中点，
， ，
在 上，
，
以 为直径作半圆交 于点 ，
那么当 最短时， 最小，根据垂线段最短，可知当 时， 最短，
作 ，如图所示：当 时， ，
故选：B．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，三角形中位线，垂线段最短，直径所对的圆周角是90
度，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
10．如图，四边形 是正方形，点O为对角线 的中点，E、F分别是 边上的点，且
， 与 分别交于点H、G， 与 交于点I，有下列命题：① ；②
；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ．其中正确的是（ ）
A．①②③⑤ B．①③④⑤⑥ C．②③④ D．①②③⑤⑥
【答案】D
【分析】①连接 ，先证 可得： ，进而再证 ，由此得
，据此可对结论①进行判断；
②过点O作 交 于K，可得 ，进而得 为等腰直角三角形，据此可对结论②进行判断；
③由题可得 ，进而得 ，再证 ，即可对结论③进行判断；
④设 的中点为K，连接 ，则 ， ，假设 ，则
，则 ，从而得 ，则 为 的平分线，这与点E为
边上的点相矛盾，据此可对结论④进行判断；
⑤根据 可对结论⑤进行判断；
⑥过点O作 交 于P，先证 为等腰直角三角形，则 ，
，再证 ，据此可对结论⑥进行判断，综上所述即可得出答案．
【详解】解：①连接 ，如图1所示：
∵四边形 为正方形，点O为一对角线 的中点，
∴ ， ， ， ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴∠ ，
∴ ，
故结论①正确；
②过点O作 交 于K，如图2所示：
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
由结论①正确得 ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，∴ ，
即 ，
故结论②正确；
③∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
故结论③正确；
④设 的中点为K，连接 ，如图3所示：∵ ，
∴ 为Rt 斜边 上的中线，
∴ ，
∴ ，
假设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为 的平分线，这与点E为 边上的点相矛盾，
∴假设不正确，
故结论④不正确；
⑤∵ ，
∴ ，
即 ，
故结论⑤正确；
⑥过点O作 交 于P，如图4所示：
∵ ， ，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
由勾股定理得： ，
∴ ，
在 和 中，，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
故结论⑥正确．
综上所述：正确的结论是①②③⑤⑥．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，垂直的定义等知识点，解决此题的关
键是熟练掌握以上知识点．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．因式分解： ．
【答案】
【分析】本题考查因式分解，先提公因式，再利用完全平方公式法进行因式分解即可，熟练掌握因式分解
的方法，是解题的关键．
【详解】解：原式 ；
故答案为： ．12．从国家统计局网站获悉，截止到 年末，全国人口 万人（包括 个省、自治区、直辖市和
现役军人的人口，不包括居住在 个省、自治区、直辖市的港澳台居民和外籍人员），比上年末减少
万人．其中数据 万人，用科学记数法表示为 人．
【答案】
【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为 ，其中 ， 为整数，
解答本题的关键是要正确确定 的值以及 的值．
根据科学记数法的定义解答即可．
【详解】解： 万 ，
故答案为： ．
13．已知圆锥的底面半径为5，母线长为12，则其侧面展开扇形的圆心角的度数为 ．
【答案】150
【分析】本题考查了圆锥的侧面展开图，熟练掌握圆锥侧面展开图扇形的弧长等于底面圆的周长是解题的
关键．设圆心角的度数为 ，根据圆锥侧面展开图扇形的弧长等于底面圆的周长，列出方程解出 的值即
可．
【详解】解：设圆心角的度数为 ，
由题意得， ，
解得： ，
扇形的圆心角的度数为 ．
故答案为：150．
14．若直线 与直线 的交点在第四象限，则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了两直线相交的问题，解答此题的关键是解一元一次不等式组，联立两函数解析式求交
点坐标是常用的方法．联立两直线解析式求出交点坐标，再根据交点在第四象限列出不等式组求解即可．
【详解】解：联立，得
，
解得 ，∵交点在第四象限，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
15．《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形
的面积为18，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形 ，若 ，则四
边形 的外接圆的半径为 ．
【答案】2
【分析】此题考查了位似图形的性质、正多边形与圆等，解直角三角形等知识，连接 ，根据相似
三角形的性质得到正方形 与正方形 的面积比为 ，确定正方形 的面积为8，得到正
方形 的边长为 ，利用等腰直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：连接 ，如图所示：
∵正方形 与正方形 是位似图形， ，
∴正方形 与正方形 的面积比为 ，
∵正方形 面积为18，∴正方形 的面积为8，
∴正方形 的边长为 ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 的外接圆的半径为2，
故答案为：2．
16．已知抛物线 的开口方向向上，与 轴的正半轴交于两点 ．下列四个结论：
① ；②当 时， ；③点 ，点 在抛物线上，若 时，总有 ，
则 ；④若 ，则不等式 的解集为 ．其中一定正确的是
．（填写序号）
【答案】①②③
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，抛物线与与 轴的交点问题，根据抛物线 的开口
方向向上，与 轴的正半轴交于两点，得 ，对称轴 ， ，即可判断①是正确的；结合
，得 ，此时对称轴为直线 ，整理得 ，即可判断
②是正确的；再因为点 ，点 在抛物线上，且 ，得 ，
即 ，即可判断③是正确的；先得 ，得 ，结合 ，整理得
，函数 的开口向上，则 ，令 解得
，然后再进行分类讨论，即可作答．【详解】解：∵抛物线 的开口方向向上，与 轴的正半轴交于两点 ．
∴ ，对称轴 ，
即 ，
在 时， 随 的增大而减小，且 ，
把 代入 ，得 ，
即
∴ ，
故①是正确的；
∵抛物线 的开口方向向上，与 轴的正半轴交于两点 ．
且 ，
∴ ，
∴对称轴为直线 ，
即 ，
∴ ，
故②是正确的；
∵点 ，点 在抛物线上，且
∴ ， ，
∵ ，且对称轴为直线 ，且抛物线 的开口方向向上，
∴
∴ ；
∵抛物线 与 轴的正半轴交于两点 ．
∴ ，
故③是正确的；∵抛物线 与 轴的正半轴交于两点 ．
∴ ，
∴ ，
∵对称轴为直线
∴ ，
∵ ，
∴
设函数 ，
∵ ，
∴开口向上，
则
令 则 ，
解得 ，
∵函数 的开口向上，
则不等式 的解集为 ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
当 时，则不等式 的解集为 ．当 时，则 ，故不等式 的解集为 ．
故④是不正确的；
故答案为：①②③．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21每题8分，22-23题每题10分，24题12分。解答应写
出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（8分）
解不等式组： ，
并把它们的解集在数轴上表示出来．
【答案】 ，图形见解析
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，熟练掌握解一元一次不等式组
是解题的关键．先分别求解两个不等式，再求公共解，并在数轴上表示解集．
【详解】解：由①得， ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
两边同除以 ，得 ，（2分）
由②去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
两边同除以 ，得 ，（4分）
不等式组的解集为 ，（6分）
在数轴上表示如下：
（8分）
18．（8分）遥遥为了测量一幢高楼 的高度，在旗杆 与楼之间选定一点 ．如图， ， ，测得
旗杆顶点 视线 与地面夹角 ，测得楼顶 视线 与地面夹角 ，且 ．
已知 ， ，求大楼 的高度（用 、 表示）．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质的应用，先求出 ，再证明全等，利用全
等三角形的性质得出 即可求解．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，（4分）
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，（8分）
故楼 高度是 ．
19．（8分）
在某次音乐素养测评中，某学校从七年级400名学生中，随机抽取了40名学生的素养测评数据（单位：
分）：
89 79 91 64 75 85 54 97 75 52 58 91 93 73 80 61 75 80 91 57
81 88 64 69 63 82 81 61 70 73 69 63 66 70 54 91 65 73 96 62
我们对上述数据进行整理、描述、分析：
①求数据中最大值与最小值的差，它们的差是 ．
②确定组数和组距，取组数为6，将数据分成以下6组：52~60，60~68，68~76，76~84，84~92，92~100．③列出频数分布表：
组别 1 2 3 4 5 6
数
52~60 60~68 68~76 76~84 84~92 92~100
据/分
频数 5 9 a b 7 c
④画出频数直方图．
根据以上信息，回答下列问题：
(1)填空： ______， ______， ______；
(2)补全频数直方图；
(3)根据频数直方图说说你获得了哪些信息．
(4)请估计该校七年级学生中，本次音乐素养测评中数据在76分及以上的人数．
【答案】(1)10，6，3
(2)见解析
(3)见解析
(4)本次音乐素养测评中数据在76分及以上的人数约有160人．
【分析】本题考查的是频数分布直方图，用样本估计总体，能从题目中获取有用信息是解题的关键．
（1）根据频数，直接求得a，b，c各数；
（2）根据频数分布表补全频数直方图即可；
（3）根据频数直方图，获取信息，言之有理即可；
（4）利用样本估计总体即可．
【详解】（1）解：由题意得 ， ， ；
故答案为：10，6，3；（3分）（2）解：根据题意得，
，（4分）
（3）解：从频数分布直方图中可以看出，成绩分布在68~76分内的人数最多，有10人；
在92~100分内的人数最少，有3人．
测评数据主要集中在60~92分之间；（6分）
（4）解： （人）
答：本次音乐素养测评中数据在76分及以上的人数约有160人．（8分）
20．（8分）
如图， 是 的直径，D是 上的点， 是 的切线且切点为点D，过点A作 的垂线，垂足为
点E，直线 交 的延长线于点F．
(1)求证： 平分 ；
(2)若 ， ，求 的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接 ，由题意可证 ，利用平行线的性质，可得 ，即可证得
平分 ；（2）连接 ，过点C作 于点M，过点D作 于点N，首先根据勾股定理可求得 ，
根据面积可求得 ，再根据勾股定理可求得 ，再根据圆周角定理可证得 ，即可求
得 的长，据此即可解答．
【详解】（1）证明：如图：连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的切线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 平分 ；（3分）
（2）解：如图：连接 ，过点C作 于点M，过点D作 于点N，
，
是⊙O的直径，
，
，
，
，∴ ，
，（5分）
， ，
，
，
，
是 的直径， ，
，
，
， ，
，
．（8分）
【点睛】本题考查了平行线的判定及性质，圆的切线的性质，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定
及性质，求角的正切值，作出辅助线是解决本题的关键．
21．（8分）
如图是由小正方形组成的 网格，四边形 的顶点都在格点上．仅用无刻度的直尺在给定网格中完
成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条．
(1)在图1中，以点 为位似中心，将四边形 缩小为原来的 ，画出缩小后的四边形 ，再在
上画点 ，使得 平分四边形 的周长；(2)在图2中，先在 上画点 ，使得 ，再分别在 ， 上画点 ， ，使得四边形
是平行四边形．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】本题主要考查了尺规作图，位似图形，勾股定理，平行四边形的定义，直角三角形的性质等知识，
熟练掌握尺规作图和相关知识是解题的关键．
（1）运用位似图形和勾股定理即可作出所求图形；
（2）运用直角三角形的性质和平行四边形的定义即可作出所求图形．
【详解】（1）解：如下图，四边形 ，点 ，线段 即为所求；
的中点即为点 ， 的中点即为点 ， 的中点即为点 ，
由图可知 ，由勾股定理可知： ， ，依据平行线对应线段成比例和线段 ，将
线段 五等分即可求出点 ．（4分）
（2）解：如下图，点 ，线段 ，四边形 即为所求．
连接 网格对角线 ，交线段 于点 ,此时 ，所以 是直角三角形，且 ，所
以 ，依据是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
连接 网格对角线 ，交线段 于点 ,此时 ，连接 网格对角线 ，此时 ，
连接 网格对角线 ，交线段 于点 ,连接 交 于点 ，此时 ，所以四边形
为平行四边形，依据是两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（8分）
22．（10分）综合与实践
【发现问题】如图1是某景点的入口处，大门轮廓形状可视为抛物线，拱门宽3米（拱门所在抛物线与地
面所在直线的两交点之间的距离称为拱门宽，这两个交点称为拱门的左端点与右端点），拱高4米（拱门
所在抛物线的顶点到地面所在直线的距离称为拱高）．为了缓解入口处人流压力，让拱门成为景点的新一
个标志建筑，需要重造扩建拱门．经测算，当拱顶到地面的距离为拱门宽的一半时，拱门最为美观．
【提出问题】在拱门右侧距拱门右端点10米处有一棵高为2米的珍贵树木，不宜移栽，为了不影响树木的
生长，需要给树木左右两侧各留足3米，上方留足8米的生长空间（不考虑拱门厚度）．由于地域限制，
为使改建后拱门的拱门宽不能超过25米，现以原拱门左端点为起点，向右扩建，拱高在什么范围，才能使
拱门最美观，又不影响树木的生长呢？
【分析问题】
（1）二次函数 的图象经过 和 ，此抛物线的对称轴为直线________；
（2）如图2，已知二次函数 经过点 ，且 与 的图象
均经过 和 ，则 的取值范围是________；
【解决问题】
（3）以原拱门左端点为原点，建立如图3所示的平面直角坐标系，以 ， 为端点的拱门表示原拱门，
表示大树．当以原拱门左端点为起点向右扩建，使拱门扩建后最美观且不影响树木的生长时，求此时
拱顶到地面的距离 的取值范围．【答案】（1） ；（2） ；（3） 或
【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．
（1）根据二次函数的性质求解即可；
（2）待定系数法求出 ， ，由图
象可得 的顶点在 的下方，即可得出 ，求解即可；
（3）设新拱门抛物线解析式为 ，则抛物线顶点坐标为 由题意可得 ，从
而解得 ， （不符题意，舍去），得到新拱门抛物线解析式为 ，将 代入得，
，解得 ，从而可得 ，将 代入得， ，解得 ，
从而可得 ；将 代入得， ，解得 ，从而可得 ；分别求解即
可得解．【详解】解：（1）∵二次函数 的图象经过 和 ，
∴此抛物线的对称轴为直线 ；（2分）
（2）∵二次函数 经过 和 ，
∴ ，
将 代入 可得： ，
∴ ，
∴ ，
∵ 的图象均经过 和 ，
∴ ，
∵由图象可得： 的顶点在 的下方，
∴ ，
解得： ；（6分）
（3）如图所示，将点 分别向左右两侧平移3个单位得到点 、 ，将 向上平移 个单位，矩
形 即为大树生长空间．
由题意得， ， ， ，∴ ， ；
设新拱门抛物线解析式为 ，
∴抛物线顶点坐标为 ，
∵拱顶到地面的距离为拱宽的一半，
∴ ，
解得 ， （不符题意，舍去），
∴新拱门抛物线解析式为 ，
将 代入得， ，解得 ，
∴ ，
∵原拱门拱顶距地面为4米，
∴ ，（8分）
将 代入得， ，解得 ，
∴ ，
将 代入得， ，解得 ，
∴ ，
∴ ，
综上所述， 的取值范围是 或 ．（10分）
23．（10分）
在△ABC中， ， 是 边上的高，射线 与 相交于点E，将 绕点D逆时针旋转与 相交于点F，分别过E，F作 ， ，交于点P，令 ．
(1)证明推断：如图1，连接 ，若 ．
①推断：四边形 的形状是________；
②求证： ；
(2)类比探究：如图2，若 ．探究 是否仍然成立，并证明你的结论；
(3)拓展应用：如图3，在（2）的条件下，连接 ．若 ， ， ，求线段 的长．
【答案】(1)①正方形；②见解析
(2) 仍然成立
(3)
【分析】（1）①证明 ， 得出 ，根据 ， ，证明四边形
为平行四边形，根据 ，证明四边形 为菱形，根据 ，证明四边形 为正方
形 ；
②根据正方形的性质得出 ， ，求出 ，根据 ，得出
；
（2）证明 ，得出 ， 证明 ，得出 ，即 ，求
出 ；（3）连接 交 于O，交 于M，连接 ，在 中， ，解直角三角形得出
， ，证明 ，得出 ， ，求出
， ，证明四边形 是矩形，得出 ，证明 ，说明
垂直平分 ，求出 ， ， ，证明 ，得出
，求出 ，得出 ，即可得出答案．
【详解】（1）解：①∵ ，
∴ ，
∵ 是 边上的高，
∴ ， ， ，
又∵ ，
∴ ，
∵将 绕点D逆时针旋转 与 相交于点F，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ， ，
∴四边形 为平行四边形，
∵ ，
∴四边形 为菱形，
∵ ，
∴四边形 为正方形 ；
故答案为：正方形；（1分）
②证明：∵四边形 为正方形，
∴ ， ，∴ ，
∵ ，
∴ ；（3分）
（2）解：结论： 仍然成立．理由如下：
∵ 是 边上的高， ，
∴ ， ，
∴ ．
∵将 绕点D逆时针旋转 与 相交于点F，
∴ ．
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
由（1）①知，四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
在 中， ；（6分）
（3）解：连接 交 于O，交 于M，连接 ，如图所示：在 中， ，
∴设 ， ，
根据勾股定理得： ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ， ，
根据解析（2）可知： ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
又∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ， ， ，
∴ ，
又∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．（10分）
【点睛】本题主要考查了正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，相似三角
形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的
判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，作出辅助线．
24．（12分）
在平面直角坐标系中，点 ，点 ，抛物线 （ ， 为常数， ）的顶点为 ．
(1)若抛物线经过点 ， ，连接 ．
①求此抛物线的解析式；
②过点 作直线 ，与抛物线相交于点 ，求线段 的长．
(2)若 ，连接点 和点 ，分别过点 画直线 轴， ，在直线 上截取
（点 在直线 下方），当 的最小值为 时，求抛物线解析式．
【答案】(1)① ；②
(2)
【分析】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键：
（1）①待定系数法求出函数解析式即可；②求出点 坐标，根据两直线平行， 值相同，待定系数法求出
函数解析式，联立直线和抛物线的解析式求出 点坐标，进而求出 的长即可；
（2）求出点 ，进而得到直线 为 ，把点 向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到点 ，连接 ， ， ，易得四边形 为平行四边形，得到 ，作
点 关于直线 的对称点 ，连接 ，则 ，得到 ，进而得到当点
， ， 共线时， 的值最小，最小值为线段 的长，过点 作 轴，垂足为 ，利
用勾股定理列出方程进行求解即可．
【详解】（1）解：①把点 ，点 坐标代入 ，
则： 解得 ．
抛物线的解析式为 ．（3分）
②解：由 得点 坐标为 ．
设直线 的解析式为 ，把 ，
分别代入 ，得 解得
直线 的解析式为 ．
由 可设 的解析式为 ．
把点 代入 解得 ．
的解析式为 ．
由 解得 ， ．
故点 的坐标为 ．
∴ ．（6分）
（2）解：由 得 ，
故点 ，直线 为 ．把点 向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到点 ．
连接 ，则 ，且 ．
， ，
， ．
连接 ， ，则四边形 为平行四边形，
∴ ．
作点 关于直线 的对称点 ，则 ．
连接 ，则 ．
．
即当点 ， ， 共线时， 的值最小，最小值为线段 的长．
过点 作 轴，垂足为 ，则 ， ．
由勾股定理知 ，即
解得 ， ．
，
应舍去．
抛物线的解析式为 ．（12分）
