文档内容
2025 年中考第三次模拟考试（湖南卷）
数学·参考答案
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A C D D A A B D D C
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．2 12．甲 13．108 14．1
15．3 16．6 17．12 18．①②③
三、解答题（本大题共8个小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
√3
19．解：原式=4+2× −(√3−1)+1（4分）
2
=6．（6分）
20．解：
(4x+1)(x−4xy)−(2x−y) 2
=−16x2y+x−y2；（4分）
当x=
1
，y=2时，=−16×
(1) 2
×2+
1
−22=−5
3
．（6分）
4 4 4 4
21．（1）解：由题意知样本容量为8÷0.16=50；
m=50×0.24=12；
n=0.48×50=24；
p=1−0.16−0.24−0.48=0.12．
故答案为： 50，12，24，0.12（4分）
（2）一共50名同学，从小到大排列后，中位数为第25位和第26位数的平均数，A，B两组共有20人，且
C组有24人，
∴所抽取学生成绩的中位数落在C组．
依据题意补全频数分布直方图如下图所示：（6分）
（3）成绩不低于80分的学生有：1200×(0.12+0.48)=720（名），
答：估计成绩不低于80分的学生有720名．（8分）
22．（1）解：过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，如图．
∵在Rt△DCE中，∠E=90°，∠DCE=60°，CD=200√3（米）
√3
∴DE=CDsin60°=200√3× =300（米）
2
答：点D到BC的距离为300米；（3分）
（2）解：过点D作DH⊥AB于点H，如图．
∵∠E=90°，∠B=90°，
∴四边形DEBH是矩形．
∴BH=DE=300（米），
∴AH=AB−BH=700−300=400（米），
∵∠DAH=45°，
∴AH=DH，
1
∵CE= CD=100√3（米），
2
∴BC=400−100√3（米），
∵在Rt△ADH中，∠DAH=45°，AD=√2AH=400√2（米），
∴AD+DC=400√2+200√3≈912.0（米），AB+BC=700+400−100√3=1100−100√3≈926.8（米），
∵912.0<926.8．
答：小红经过点D到达点C的这条路较近．（8分）
23．（1）证明：如图，连接OD，
∵OE∥AB
，
∴∠DOE=∠BDO、∠COE=∠OBD，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD，
∴∠DOE=∠COE，
在△DOE与△COE中，
¿，
∴△DOE≌△COE(SAS)，
∴∠ODE=∠ACB=90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE与⊙O相切；（5分）
（2）解：如图，连接OD，
∵ ∠B=45°
，
∴∠COD=2∠B=90°，∠A=90°−45°=45°，
∴∠ODE=∠ACB=90°，OA=OC，
∴四边形CODE为正方形，
∴∠AED=90°，∴∠EAD=∠EDA=45°，
∴AE=ED，
∵AD=2√2，
∴DO=EA=ED=2，
90π×22
∴图中阴影部分的面积=四边形CODE的面积-扇形DOC的面积=2×2− =4−π．（9分）
360
24．（1）解：设一个人打药的面积为x亩，则一台无人机对玉米地喷洒农药的面积为8x亩，由题意得：
600 200
= −25，
8x x
解得：x=5，
经检验：x=5是原方程的解，
∴8x=40，
答：一个人打药的面积为5亩，则一台无人机对玉米地喷洒农药的面积为40亩．（5分）
（2）解：设王伯伯还需要y个人同时打药，由题意得：
220−5(y+1)
≤2，
40
解得：y≥27；
答：王伯伯至少还需要27个人同时打药．（9分）
25．（1）证明：∵BA=BC，D是AC的中点，
∴∠BDC=90°．
∵∠ABC=90°，EF∥AB，
∴∠EFC=∠ABC=90°，∠DCB=45°，
∵M是CE的中点，
1
∴DM=FM= CE，∠DME=2∠DCE，∠FME=2∠FCE，
2
∴∠DMF=∠DME+∠FME=2(∠DCE+∠FCE)=2∠DCF=90°，
∴△DFM是等腰直角三角形．（3分）
（2）解：∵△EMF∽△DCF，
∴∠EMF=∠DCF．
由（1）知：∠EMF=2∠FCE，
∴CE平分∠DCF．
∵EF⊥BC，BD⊥CD，
∴DE=EF，∠EFO=90°，∠BDC=90°．由（1）得∠DBC=∠DCB=45°，
∴EF=BF，BD=CD．
设DE=m，则BE=√2m，
∴ ，
DC=BD=DE+BE=(1+√2)m
DC (1+√2)m
∴ = =1+√2．（6分）
DE m
（3）解：如图：过点F作FG⊥BD，垂足为G，连接NF交CE于点P．
∵EF∥AB，
∴∠ABE=∠BEF．
∵AB=BC，D是AC的中点，
∴∠ABE=∠EBF，BD⊥CD，
∴GF∥DC，∠BEF=∠EBF，
∴BF=EF，
∴BG=EG．
∵E是BD的中点，
BG 1
∴ = ．
BD 4
∵GF∥DC，
∴△BGF∽△BDC，
GF BG 1
∴ = = ．
DC BD 4
1
∵DN= DC，
4
∴GF=DN，
∴四边形DGFN是矩形，
∴FN∥BD，
∴△CPF∽△CEB，△CPN∽△CED，
PF PN CP CN 3
∴ = = = = ，
BE DE CE CD 4
1
∴PF=PN，PE= CE，
4
∵M是CE的中点，1
∴ME= CE，
2
1
∴PM=ME−PE= CE=PE，
4
∴四边形EFMN是平行四边形．（10分）
3
26．（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+ (a≠0)与x轴分别交于点A(1,0)，点B(3,0)．
4
∴设抛物线的函数解析式为y=a(x−1)(x−3)，
3
∴y=ax2−4ax+3a，即3a= ，
4
1
解得：a= ，
4
1 1 3
抛物线的函数解析式：y= (x−1)(x−3)= x2−x+
4 4 4
1 3
（2）解：∵抛物线y= x2−x+ ，
4 4
3
当x=0，y= ，
4
( 3)
∴C 0, ，
4
由（1）知，点B(3,0)；
∵BQ=CQ ，
(3 3)
∴Q , ，
2 8
∵A(1,0)，
设直线AD为y=ex+f，
∴¿，解得：¿，
3 3
∴直线AD的解析式为：y= x− ，
4 4
联立抛物线解析式得：¿
解得：¿或¿，
( 15)
∴D 6, ，
4
如图，过P作PS⊥x轴交AD于S点，设P ( x, 1 x2−x+ 3) ，则S ( x, 3 x− 3) ，
4 4 4 4
1 5 3 3 1 3 5
∴S = ⋅PS⋅(x −x )= ( x− − x2+x− )=
△ADP 2 D A 2 4 4 4 4 2
∴x2−7x+10=0，
∴x=2或x=5．
( 1)
∴P 2,− 或P(5,2)；
4
5
即：在直线AD下方的抛物线上存在点P，使S = ．
△ADP 2
（3）解：如图，过E，F分别作x轴的垂线，垂足分别为G，H，
设E ( a, 1 a2−a+ 3) ，F ( b, 1 b2−b+ 3) ，
4 4 4 4
∵EG⊥x轴，
∴EG∥OM，
∴△EAG∽△MAO，
EG AG
∴ = ，
OM AO
1
(a−1)(a−3)
即4 a−1，
=
OM 1
1
∴OM= (a−3)，
41
同理可得ON= (b−3)，
4
1 1 1
∴OM⋅ON= (a−3)⋅ (b−3)= ，
4 4 4
∴ab−3(a+b)+5=0 ，
令直线EF的解析式为y=kx+m，
∴¿，
1 3
∴ x2−(k+1)x+ −m=0，
4 4
∴a+b=4+4k，ab=3−4m，
即3−4m−3(4+4k)+5=0，
∴m=−3k−1，
∴直线EF的解析式为y=kx−3k−1=k(x−3)−1，
∴直线EF必经过定点(3,−1).（10分）
