文档内容
2021/1/13 备授课-备课页
思维突破 / 初一 / 春季
第 1 讲 二次根式（一）
例题练习题答案
例1 【答案】①x ≥ −5；②x为任意实数；
3 1
③x ≤ 且x ≠ 1；④− < x ≤ 4．
2 2
例2 【答案】①6；②√5−2．
例3 【答案】2b+2c．
例4 【答案】①±3；②√1001．
例5 【答案】①3√2；②3√7；③11；④13；
7 5√2
⑤2√30；⑥5√6；⑦ ；⑧ ；
5 9
5√6 √210 2√3 √30
⑨ ；⑩ ；⑪ ；⑫ ．
12 7 5 5
例6 【答案】①√6a；②−xy√y；③−√−a．
例7 【答案】①3；②15√3；③30；④√2；
20√14
⑤2；⑥−4√3；⑦ ；⑧24√3．
7
例8 【答案】 1 3
2√3； √2；3√2；4√2； √3；
5 2
8 √5
2√6； √3；1.2；2√2； ．
3 2
√
2
√8的同类二次根式有： ，√18，√32，10√0.08．
25
例9 【答案】 45
①√2；②4√7+10√14；③ √6；④21√5−4√3．
2
例10 【答案】①2√6−6√2；②8√2+8；③1；④2+4√5．
例11 【答案】 √3
①−3 > (−4)3 ；②−3.5 < −2√3；
3 3
③√200 < √3000；④√60 < 4 < 3√2．
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1 【答案】4或8．
思维突破 / 初一 / 春季
第 1 讲 二次根式（一）
自我巩固答案
1 【答案】 3
①− ；②3√3；③10√6；④−4√3；⑤6；⑥−30．
4
思维突破 / 初一 / 春季
第 1 讲 二次根式（一）
课堂落实答案
1 【答案】 √15
①18√2；② ；③√3−√5；④−2√3．
2
2 【答案】 √6 √3
①8√6−12√2；② + ．
12 6
思维突破 / 初一 / 春季
第 2 讲 二次根式（二）
例题练习题答案
例1 【答案】①√5+2；②√6−5；③2+√3；
19−4√15
④√5+√3；⑤17+12√2；⑥ ．
11
例2 【答案】 15 15
①0；② √5− √3；
2 2
③√6+4−2√3；④2√5+2．
例3 【答案】①2+√3；②1+√2−√3；
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√7−√5
③√5−√3；④ ．
2
例4 【答案】 √5−9
①24；② ．
2
例5 【答案】√1121−1．
例6 【答案】4x+2．
例7 【答案】化简结果为n，值为√6．
例8 【答案】194．
例9 【答案】①√2−1；②√5−√2；③√21+√2；
④√6−2；⑤√7+3；⑥2√5−√3．
例10 【答案】 √10+√6 √6−√2
① ；② ；
2 2
3√6−√2 5√2+√6
③ ；④ ．
2 2
例11 【答案】①4+√2；②√7+√5+1．
例12 【答案】√10 1
− ．
10 6
1 (1)【答案】 1
1 ；
20
(2)【答案】 1 1 n2+n+1
1+ − （或 也可以）．
n n+1 n2+n
思维突破 / 初一 / 春季
第 2 讲 二次根式（二）
自我巩固答案
1 【答案】 √10
①−5；②48√6−6；③√3+ ；
2
√10 √2 √15 √5 4√6
④29；⑤ − ；⑥ − − −2√2．
2 2 6 2 3
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2 【答案】25．
3 【答案】4．
4 【答案】 √22+3√2
①2−√3；② ．
2
思维突破 / 初一 / 春季
第 2 讲 二次根式（二）
课堂落实答案
1 【答案】 7√2 5√3 17 √5
①1；②−3√6−4√14；③ − ；④− − −4√3．
2 3 2 2
2 【答案】184．
3 【答案】①3−√2；②5√2−2．
思维突破 / 初一 / 春季
第 3 讲 代数式综合
例题练习题答案
例1 【答案】 ①(x+2)2−7；②2(x+2)2−3；
1 1 1 13
( )2
③5 x+ − ；④− ( x2+3 )2 + ．
2 4 3 4
例2 【答案】 ①(x−2)2 = 11，x = 2+√11，x = 2−√11；
1 2
√2 √2
( )2
②2 x− = 0，x = x = ．
1 2
2 2
例3 【答案】0．
例4 【答案】2−3y．
例5 【答案】17．
例6 【答案】1．
例7 (1)【答案】13；
(2)【答案】0．
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例8 【答案】−131．
例9 (1)【答案】240；
(2)【答案】−1．
例10 【答案】−1．
1 【答案】3．
思维突破 / 初一 / 春季
第 3 讲 代数式综合
自我巩固答案
1 【答案】 3
①3；② ；③3+2√2；④2．
4
2 【答案】 3 7
( )2
①(x−3)2−7；②2 x+ + ．
4 8
3 【答案】等腰直角三角形．
思维突破 / 初一 / 春季
第 3 讲 代数式综合
课堂落实答案
1 【答案】 ①(x−6)2−29；②x+5．
2 【答案】 11 81
① ．② ．
8 16
3 【答案】 1
− ．
4
思维突破 / 初一 / 春季
第 4 讲 特殊的等腰三角形
例题练习题答案
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例1 (1)【答案】C
(2)【答案】60
例2 (1)【答案】15；
(2)【答案】2α = β+γ．
例3 (1)【答案】∵∠BAD = ∠CBE，
∴∠EDF = ∠BAD+∠ABE
= ∠CBE+∠ABE = ∠ABC = 60∘
(2)【答案】由（1）知∠EDF = 60∘，同理可得∠DFE = 60∘，∴△DEF为等边三角形．
例4 【答案】∵△RBC≌△QAB≌△PCA（SAS）
∴∠RBC = ∠QAB = ∠PCA
∠EDF = ∠BAD+∠ABE = ∠CBE+∠ABE = ∠ABC = 60∘
同理∠DFE = 60∘，∴△DEF为等边三角形．
例5 【答案】∵CE = CB ∴∠E = ∠CBE
∵BE = AB ∴∠E = ∠BAC
∠ACD = ∠E+∠CBE = 2∠E
又∵AD = AC ∴∠ACD = ∠ADC = 2∠E
∵在等腰△ACD中，B是底边DC的中点
∴∠DAB = ∠BAC = ∠E（三线合一）
∴∠DAC = 2∠DAB = 2∠E
∴∠DAC = ∠ACD = ∠ADC = 60∘，即△ACD为等边三角形
例6 (1)【答案】2cm；
(2)【答案】30或150
例7 【答案】5．
例8 【答案】∵AB = AC，∠BAC = 120∘
∴∠B = 30∘，又∵AD⊥BC，ED⊥AB
在Rt △ ABD中，∠B = 30∘，
1
∴AD = AB
2
∴在Rt △ AED中，∠BAD = 60∘，
1
∴AE = AD，
2
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∴AB = 4AE，∴BE = 3AE．
例9 (1)【答案】由题得∠FAD = ∠EAD，
∵FD∥AC
∴∠DAE = ∠ADF
∴∠FAD = ∠FDA
∴△AFD是等腰三角形
(2)【答案】过F作FG⊥AE，
1
在Rt △ AFG中，FG = AF = 5
2
∵FD∥AE，DE⊥AE，FG ⊥AE，
∴DE = FG = 5．
例10 【答案】倒角可得∠DAC = ∠HBD，∠ADC = ∠BDH，BH = AC,
可证△BHD≌△ACD（AAS），∴BD = AD，HD = CD，∴∠ABC = ∠BCH = 45∘．
例11 【答案】由题可知∠ABD = 150∘，AB = BD
∴∠BAD = ∠DBA = 15∘
且∠EAF = 45∘
连接CF，∵EF是AC的垂直平分线（三线合一）
∴AF = CF，∠ECF = ∠FAE = 45∘，∴∠CFD = 90∘
在Rt△DCF中，∠FDC = ∠BDC−∠BDA = 30∘
∴CD = 2CF ，∴CD = 2AF．
例12 (1)【答案】 ∵ ∠BAC = ∠DAE = 90∘
∴ ∠BAC+∠CAD = ∠DAE+∠CAD
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即∠CAE = ∠BAD
在 △ ABD和 △ ACE中
AB = AC
{
∠CAE = ∠BAD
AD = AE
∴△ ABD≌ △ ACE(SAS)
∴ BD = CE
(2)【答案】 ∵△ ABD≌ △ ACE
∴ ∠ABN = ∠ACE
∵ ∠ANB = ∠CND
∴ ∠ABN+∠ANB = ∠CND+∠NCE = 90∘
∴ ∠CMN = 90∘
即BD⊥CE．
例13 (1)【答案】∵ △ ABC和 △ CDE是正三角形，
∴AC = BC，CD = CE，∠ACB = ∠DCE = 60∘，
∵∠ACD = ∠ACB+∠BCD，∠BCE = ∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD = ∠BCE，
∴ △ ADC≌ △ BEC(SAS)，
∴AD = BE；
∵ △ ADC≌ △ BEC，
∴∠ACP = ∠BCQ，AC = BC，∠CAP = ∠CBQ，
∴ △ APC≌ △ BQC(ASA)；
∴BQ = AP
(2)【答案】∵CD = CE，∠DCP = ∠ECQ = 60∘，∠ADC = ∠BEC，
∴ △ CDP≌ △ CEQ(ASA)．
∴CP = CQ，
180∘ −∠PCQ
∴∠CPQ = ∠CQP = = 60∘，
2
∴ △ CPQ是等边三角形．
1 (1)【答案】∵AB = AC，AE = CD，∠BAE = ∠C = 60∘，
在 △ ABE和 △ CAD中
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AE = DC
{
∠BAE = ∠C
AB = AC
∴ △ ABE≌ △ CAD(SAS)，
∴∠ABE = ∠CAD，
∴∠BPQ = ∠ABE+∠BAP
= ∠CAD+∠BAP = ∠BAC = 60∘，
∴∠DPE = 180∘ −∠BPQ = 120∘
(2)【答案】由（1）得 △ ABE≌ △ CAD，
在Rt △ BPQ中，∠BPQ = 60∘，
∴∠PBQ = 30∘，
∵PQ = 3，
∴BP = 2PQ = 6，
又∵PE = 1，
∴BE = BP+PE = 7，
∴AD = BE = 7．
思维突破 / 初一 / 春季
第 4 讲 特殊的等腰三角形
自我巩固答案
1 【答案】由题可知∠DCA = ∠DCB = 30∘
在Rt△ADC中，∠ACD = 30∘，CD = 2AD = 10
∵∠DCB = DBC
∴△DCB是等腰三角形
∴BD = CD = 10
2 【答案】在Rt△BHE中，∠ABD = 30∘，BH = 2HE = 6，
在Rt△CDH中，∠ACE = 30∘，CH = 2HD = 2，
∴CE = CH+EH = 5，BD = BH+HD = 7．
3 【答案】 AB = CE
{
由题得 ∠ABC = CED
BC = ED
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∴Rt △ ABC≌Rt △ CED(SAS)
∴AC = CD，∠ACB = ∠CDE
∵∠DCE+∠CDE = 90∘
∴∠ACB+∠DCE = 90∘
∴∠ACD = 90∘，
∴△ACD是等腰直角三角形．
4 【答案】∵△CDE是等边三角形
∴∠DCE = 60∘，CD = CE
∵BE = AD
∴Rt △ BCE≌Rt △ ACD(HL)
∴BC = AC
∵∠ACB = 90∘ −∠ACE = ∠DCE = 60∘
∴△ABC是等边三角形．
5 【答案】延长BD至F，使DF = BC，连接EF．
∵EC = ED，∴∠ECD = ∠EDC，
∴∠ECB = ∠EDF，又BC = DF，
∴△ECB≌△EDF（SAS）．∴BE = EF
又∵∠B = 60∘，∴△EBF为等边三角形，
∴BF = BE，又BD = AE，
∴BA = DF = BC，∴△ABC为等边三角形．
思维突破 / 初一 / 春季
第 4 讲 特殊的等腰三角形
课堂落实答案
1 【答案】∵AD = BE = CF ⇒ AE = CD = BF
且∠A = ∠B = ∠C
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∴△ADE≌△CFD≌△BEF（SAS）
∴DE = DF = EF，即△DEF是等边三角形
2 【答案】∵AD、BE为高，由8字型，∴∠HBD = ∠CAD
∴△BDH≌△ADC（AAS），∴AD = BD
∴△ADB为等腰直角三角形，即∠ABC = 45∘．
3 【答案】∵ △ ABC是等边三角形，D为边AC的中点
∴BD⊥AC，即∠ADB = 90∘
∵EC⊥BC
∴∠BCE = 90∘
∴∠DBC+∠DCB = 90∘，∠ECD+∠BCD = 90∘
∴∠ACE = ∠DBC
∵在 △ CBD和 △ ACE中
BD = CE
{
∠DBC = ∠ACE
BC = AC
∴ △ CBD≌ △ ACE(SAS)
∴CD = AE，∠AEC = ∠BDC = 90∘
∵D为边AC的中点，∠AEC = 90∘
∴AD = DE
∴AD = AE = DE
即 △ ADE是等边三角形
思维突破 / 初一 / 春季
第 5 讲 巧添辅助线（一）
例题练习题答案
例1 【答案】
连接DA，由题可知
DA = DB，∠DBA = ∠DAB = ∠C = 30∘
∴∠DAC = 120∘ −30∘ = 90∘
在Rt △ DEA中，AD = 2ED = 4
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在Rt △ CDA中，CD = 2AD = 8
例2 【答案】连接BC
可得∠ABC = ∠ACB
由条件可知∠OBC = ∠OCB，即OB = OC
故点A，O均在BC的中垂线上，可得AO平分∠BAC
例3 (1)【答案】连接AP
∵△APS≌△APR（HL）
∴AS = AR
(2)【答案】∵△APS≌△APR（HL）
∴AS = AR
∵△APS≌△APR（HL）
∴∠RAP = ∠SAP
又∵AQ = PQ，
∴∠SAP = ∠APQ（等边对等角）
∴∠RAP = ∠APQ
∴PQ∥AR．
例4 【答案】过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵△AED≌△AFD（AAS），
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∴AE = AF，DE = DF，
∴△BDE≌△CDF（HL），
∴BE = CF，
∴AB = BE+AE = CF+AF = AC，即AB = AC．
例5 【答案】延长CE至F，交AB于F，
∵AE是∠BAC角分线，AE⊥CF，
∴AF = AC，∴∠ACE = ∠AFE，
利用外角：∠AFE = ∠B+∠ECD，
∴∠ACE = ∠B+∠ECD．
例6 【答案】延长BE交AC于M，
∵ ， ，且AE = AE，
∴△ABE≌△AME(ASA)，
∴AB = AM，BE = EM，∠ABM = ∠AMB，
设∠MBC = x，则根据外角可知：∠ABM = ∠AME = ∠C+x，
又∠ABC = 3∠C，即∠ABM+x = 2x+∠C = 3∠C，
∴x = ∠C，即∠MBC = ∠C，∴MB = MC，
∵AC−AM = MC，∴AC−AB = 2BE．
例7 【答案】延长CE，BA，交于点F．
∵BE是∠FBC的角分线，CE⊥BE，
1
∴CE = CF(三线合一)，
2
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由题可知
∠DBA = ∠FCA，AB = AC，∠DAB = ∠FAC = 90∘
∵△ABD≌△ACF(ASA)，
1
∴BD = CF，∴CE = BD．
2
例8 【答案】连接BE，CE．
∵DE是BC的垂直平分线，
∴BE = CE，
∵AE是∠BAC的角分线，EF⊥AB，EG⊥AG，
∴EF = EG，
∴△FBE≌△GCE（HL），∴BF = CG．
例9 【答案】过D作DG∥AE，交BC于点G
∵DG∥AE
∴∠ACB = ∠DGB，∠CEF = ∠GFD
∵AB = AC，∴∠ACB = ∠B
∴∠B = ∠DGB，∴DB = DG
∵DB = CE，∴DG = CE
∵∠DFG = ∠EFC，∴△DGF≌△ECF(AAS)
∴DF = EF
例10 【答案】连接CE，
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∵ △ ABC是等边三角形，
∴AC = BC，
在 △ BCE与 △ ACE中，
AC = BC
{
AE = BE，
CE = CE
∴ △ BCE≌ △ ACE(SSS)，
∴∠BCE = ∠ACE = 30∘
∵BE平分∠DBC，
∴∠DBE = ∠CBE，
在 △ BDE与 △ BCE中，
BD = BC
{
∠DBE = ∠CBE，
BE = BE
∴ △ BDE≌ △ BCE(SAS)，
∴∠BDE = ∠BCE = 30∘．
1 (1)【答案】连接AC，AD．
AB = AE
{
由题可知 ∠B = ∠E
BC = ED
∴△ABC≌△AED(SAS)
∴AC = AD
又∵AM⊥CD
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∴CM = DM（三线合一）
(2)【答案】延长MC，AB交于G，延长MD，AE交于H．
∠GBC = ∠HED
{
由题可知 BC = ED
∠BCG = ∠EDH
∴BCG≌△EDH(ASA)
∴∠G = ∠H，GC = DH
∴△AGM≌△AHM(AAS)
∴GM = HM
∴CM = DM．
(3)【答案】连EM、BM，延长MC、MD，作BG⊥MG，EH⊥MH
∠BGC = ∠EHD
{
由题可知 BC = ED
∠BCG = ∠EDH
∴△BCG≌△EDH(AAS)
∴BG = EH，GC = DH
又∵△ABM≌△AEM(SAS)
∴BM = EM
又∵△BGM≌△EHM(HL)
∴GM = HM
∴CM = GM−GC = HM−DH = MD
思维突破 / 初一 / 春季
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第 5 讲 巧添辅助线（一）
自我巩固答案
1 【答案】延长BA，CD交于点O，
∵∠BAD = ∠CDA，∴∠OAD = ∠ODA，
∴OA = OD，∵BA = CD，
∴OB = OC，∴∠B = ∠C．
2 【答案】连接DE，
∵DG垂直平分CE，∴ED = CD
∴∠ECD = ∠DEC，∴∠EDB = 2∠BCE
∵ED = CD = BE，∴∠ABC = ∠EDB
∴∠ABC = 2∠BCE
思维突破 / 初一 / 春季
第 5 讲 巧添辅助线（一）
课堂落实答案
1 【答案】连接BC，
∵BD = CE，CD = BE，BC = CB
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∴△DCB≌△EBC（SSS），∴∠DBC = ∠ECB
∴AB = AC．
2 【答案】连接DE，
∵∠EAO = ∠BAO，AO = AO，∠EOA = ∠BOA，
∴△AEO≌△ABO（ASA）
∴AD垂直平分BE，AE = AB
∴DE = DB，∴∠CDE = 2∠CBE = ∠C
∴CE = DE = DB，
∵AE+CE = AC，∴AB+BD = AC．
3 【答案】
连接BC，则△BDC是等腰三角形，∠DBC = ∠DCB
∴∠DBC+∠ABD = ∠DCB+∠ACD，即∠ABC = ∠ACB
∴AB = AC
思维突破 / 初一 / 春季
第 6 讲 巧添辅助线（二）
例题练习题答案
例1 【答案】1 < AD < 4．
例2 【答案】延长BE至F使EF = BE，连接DF
https://bsk.aixuexi.com/courseInfo.html#/printdiy?classTypeId=157920&lessonIds=1127830775,1127830776,1127830777,1127830778,1127830… 18/612021/1/13 备授课-备课页
∵BE = FE，∠BEA = ∠FED，AE = DE
∴△ABE≌△DFE(SAS)
∴AB = DF，∠ABE = ∠F
∵AB = CD，∴DF = CD
∴∠F = ∠C，∴∠ABE = ∠C
例3 【答案】延长FM至G使MG = FM，连接BG
∵△FMC≌△GMB(SAS)
∴BG = CF，∠G = ∠MFC
又∵AM∥ME，AD为∠BAC的角平分线
∴∠CFM = ∠CAD，∠E = ∠BAD
∠BAD = ∠DAC
∴∠G = ∠E
∴BE = BG = CF
又∵∠E = ∠AFE，∴AE = AF
∴BE+CF = AB+AE+CF
= AB+AF+CF = AB+AC
1
即BE = CF = (AB+AC)
2
例4 【答案】∵CF⊥AB，BE⊥AC，D是BC的中点，
1
∴在Rt △ BCFF中，DF = BC
2
https://bsk.aixuexi.com/courseInfo.html#/printdiy?classTypeId=157920&lessonIds=1127830775,1127830776,1127830777,1127830778,1127830… 19/612021/1/13 备授课-备课页
1
同理DE = BC，∴DE = DF．
2
例5 【答案】连接BD
∵AB = CB，∠B = 90∘，D为中点
∴BD = CD，∠C = ∠ABD = 45∘，DB⊥CD
又∵∠EDF = 90∘，
∴∠EDB = ∠FDC
∴△BED≌△CFD(ASA)
∴DE = DF
例6 【答案】连接MA
∵∠EDA = ∠EAB = ∠BCD = 90∘，AE = AB
∴△EDA≌△ACB(AAS)
∴DE = AC
又∵在Rt△ABE中，M是BE的中点，AE = AB
∴AM = EM = BM，∠AME = 90∘
又∵∠DEA = ∠BAC，∠AEM = ∠MAB = 45∘
∴∠DEM = ∠MAC
∴△EDM≌△ACM（SAS）
∴∠EMD = ∠AMC，MD = MC
∵∠EMD+∠DMA = 90∘，∠AMC+∠DMA = 90∘
∴∠DMC = 90∘
∴△MDC是等腰直角三角形．
例7 (1)【答案】延长CD至E，使DE = DB
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∵DE = DB，∠BDE = 60∘
∴BE = BD，∠EBD = 60∘
又∵∠ABC = 60∘，∴∠ABD = ∠CBE
∴△ABD≌△CBE(SAS)
∴AD = CE
∴CD+BD = CD+ED = CE = AD
(2)【答案】在DA上取E，使DE = DB
∵BD = DE，∠BDE = 60∘
∴BE = BD，∠EBD = 60∘
又∵∠ABC = 60∘，∴∠ABE = ∠CBD
∴△ABE≌△CBD(SAS)，∴AE = CD
∴CD+BD = AE+ED = AD
即AD = BD+CD
例8 【答案】
延长BA到C，使AC′ = AC，连接C′M
则BM = AB+AC = AB+AC′ = BC′
∴∠C′ = ∠C′MB
已知AD平分∠BAC，AM⊥AD
∴AM平分∠CAC′
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∴ △ ACM≌ △ AC′M(AAS)
∴∠AC′M = ∠ACM = ∠C′MB
在△BC′M中，∠ABC+∠C′ +∠C′MB = 180∘
∴∠ABC+∠ACM+∠ACM = 180∘
∴∠ABC+2(∠BAC+∠ABC) = 180∘
解得∠ABC = 52∘
∴∠ACB = 180∘ −∠ABC−∠BAC = 116∘
∴综上∠ABC = 52∘，∠ACB = 116∘
例9 【答案】延长BD至E，使得BE = BA，连接CE
∵BA = BE，∠ABD = 60∘
∴AE = AB，∠AED = 60∘，
又∵AB = AC
∴AE = AC，∠ACE = ∠AEC，
又∵∠ACD = ∠AED = 60∘
∴∠DCE = ∠DEC
∴DC = DE，BD+CD = BD+DE = BE = AB
即CD = AB−BD
例10 (1)【答案】延长NC至E，使得CE = BM，连接DE
由题可知∠MBD = ∠ACD = ∠ECD = 90∘
BD = CD，CE = BM
∴△BDM≌△CDE(SAS)
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得DM = DE，∠MDB = ∠EDC
∴∠EDN = ∠MDN = 60∘
∵DN = DN
∴△MDN≌△EDN(SAS)
得MN = EN = CN+CE = CN+BM
(2)【答案】MN+BM = CN
在线段CN上取一点E，使得CE = BM，连接DE
由题可知∠MBD = ∠ABD = ∠ECD = 90∘
BD = CD，CE = BM
∴△BDM≌△CDE(SAS)
得DM = DE，∠MDB = ∠EDC
∴∠EDN = ∠MDN = 60∘
∵DN = DN
∴△MDN≌△EDN(SAS)
得CN = NE+EC = NM+BM
1 【答案】分别在BC上取D，F，使得BD = BA，BF = BE
∵AB = DB，∠ABE = ∠DBE = 20∘
∴△ABE≌△DBE(SAS)
∴∠BDE = ∠A = 100∘
∴∠EDF = 80∘，ED = AE
又∵BE = BF，∠EBF = 20∘，∴∠EFD = 80∘
∴ED = EF，又∵∠C = ∠ABC = 40∘
∴∠FEC = ∠EFD−∠C = 40∘，∴CF = EF
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∴CF = EF = ED = AE
∴BC = BF+CF = BE+AE
即AE+BE = BC
思维突破 / 初一 / 春季
第 6 讲 巧添辅助线（二）
自我巩固答案
1 【答案】连接EF，DF，
1
∵F为BC中点，∴在Rt△BCE中，EF = BC
2
1
在Rt△BCD中，DF = BC，∴EF = DF
2
在等腰三角形DEF中，FG为底边中线
则FG⊥DE（三线合一）
即FG垂直平分DE
2 【答案】倍长DE至M，使DE = DM，连接CM
∴△BED≌△CMD(SAS)
∴∠BED = ∠M
∴BE = CM = AC，∴∠M = ∠CAD
∴∠CAD = ∠BED = ∠AEF
∴AF = EF
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3 【答案】BE+CD = BC
在BC上取点F，使得BE = BF，连接OF
可证△BEO≌△BFO(SAS)
计算角度可得∠BOE = ∠BOF = 60∘
∠COD = ∠COF = 60∘
可再证△COF≌△COD(ASA)，故CF = CD
所以BE+CD = BC．
思维突破 / 初一 / 春季
第 7 讲 阶段自检A
期中试卷答案
1 【答案】B
2 【答案】B
3 【答案】C
4 【答案】B
5 【答案】C
6 【答案】C
7 【答案】 3
3+√2，√32，6，√220
8 【答案】1007
9 【答案】①②③
10 【答案】45∘
11 【答案】①8√5+√2；②−24√3；③6√2−2√15； ④√10．
12 【答案】 5
①−12；② ．
4
13 【答案】如图在AB上截取AE = AC，连接DE
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∵ AD平分∠BAC
∴ ∠CAD = ∠EAD
在 △ CAD和 △ EAD中
AC = AE
{
∠CAD = ∠EAD
AD = AD
∴△ CAD ≅△ EAD(SAS)
∴ CD = DE，∠DCA = ∠DEA = 90∘
∵ ∠B = 45∘，∠DEB = 90∘
∴ DE = EB
∴ DC = BE
∴ AE+BE = AC+DC = AB
∴ AB = AC+CD
14 【答案】在线段BC上截取BE = BA，连接DE，如图所示
∵ BD平分∠ABC
∴ ∠ABD = ∠EBD
在 △ ABD和 △ EBD中
AB = EB
{
∠ABD = ∠EBD
BD = BD
∴△ ABD ≅△ EBD(SAS)
∴ AD = ED，∠A = ∠BED
∵ AD = CD
∴ ED = CD
∴ ∠DEC = ∠C
∵ ∠BED+∠DEC = 180∘
∴ ∠A+∠B = 180∘
https://bsk.aixuexi.com/courseInfo.html#/printdiy?classTypeId=157920&lessonIds=1127830775,1127830776,1127830777,1127830778,1127830… 26/612021/1/13 备授课-备课页
15 【答案】取BC中点G，延长AG到H使得AG = GH，
连接BH，DH，延长HD交AB于K．
在 △ HBG和 △ GCA中，
AG = GH
{
∠AGC = ∠BGH，
CG = BG
∴△ BGH≌ △ CGA，
∴ AC = BH，同理可得DH = AE，
∵ BH+BK > KH即BH+BK > KD+DH，
又 ∵ AK+KD > AD，
∴ BH+BK+AK+KD > KD+DH+AD，
∴ BH+AB > DH+AD，
∵ AC = BH，AE = DH，
∴ AB+AC > AD+AE．
16 【答案】在 △ AGF和 △ ACF中，
∠GAF = ∠CAF
{
AF = AF ，
∠AFG = ∠AFC
∴△ AGF≌ △ ACF，
∴ AG = AC = 3，GF = CF，
则BG = AB−AG = 4−3 = 1．
又 ∵ BE = CE，
∴ EF是 △ BCG的中位线，
1 1
∴ EF = BG = ．
2 2
17 (1)【答案】 <
(2)【答案】 >
【解析】(√3a+1+√3b+1 )2
= 3a+1+3b+1+2√(3a+1)(3b+1)
= 3(a+b)+2√9ab+3(a+b)+1+2 > (√3(a+b)+1+1 )2 ， 得 到
https://bsk.aixuexi.com/courseInfo.html#/printdiy?classTypeId=157920&lessonIds=1127830775,1127830776,1127830777,1127830778,1127830… 27/612021/1/13 备授课-备课页
√3a+1+√3b+1 > √3(a+b)+1+1 ， 同 理 可 证 ：
√3(a+b)+1+1+√3c+1 > √3(a+b+c)+1+1+1 ， ∵a+b+c = 1 ， 得 到
√3(a+b+c)+1+1+1 = 4，即可以得到所求．
思维突破 / 初一 / 春季
第 8 讲 勾股定理（一）
例题练习题答案
例1 【答案】证明：设AS = BP = CQ = DR = a
AP = BQ = CR = DS = b
易证△ASP≌△BPQ ≌△CQR≌△DRS
四边形ABCD与四边形SPQR均是正方形
令正方形SPQR的边长为c
1
计算面积有：S = (a+b)2 = c2+4× ab
正方形ABCD
2
整理得a2+b2 = c2
例2 【答案】证明：设BC = a，AC = b，AB = c
易证△AFB≌△ACE（SAS）
1 1
故S = S = b2 = S = S
ΔAFB ΔAFC ΔAEC 四边形AEKH
2 2
1 1
同理可得 a2 = S 四边形BDKH
2 2
1 1 1 1
故 a2+ b2 = ( S +S ) = c2
四边形AEKH 四边形BDKH
2 2 2 2
即a2+b2 = c2
例3 (1)【答案】13
(2)【答案】√15
(3)【答案】5或√7
例4 (1)【答案】√3
4
https://bsk.aixuexi.com/courseInfo.html#/printdiy?classTypeId=157920&lessonIds=1127830775,1127830776,1127830777,1127830778,1127830… 28/612021/1/13 备授课-备课页
(2)【答案】6√3
例5 【答案】√74cm
例6 【答案】CE = 4cm，CF = 3cm
例7 【答案】 15
水深 尺
4
例8 【答案】84
例9 【答案】B
例10 【答案】36m2
例11 (1)【答案】直角三角形
(2)【答案】锐角三角形
(3)【答案】当n = 0时为直角三角形，当n > 0时是钝角三角形
例12 【答案】5 < c < 7或1 < c < √7
例13 【答案】256
1 【答案】6.5
思维突破 / 初一 / 春季
第 8 讲 勾股定理（一）
自我巩固答案
1 【答案】C
2 【答案】1.5
3 【答案】2+√2
4 【答案】会受到影响，影响时间为24s
5 【答案】3√3+3或3√3−3
思维突破 / 初一 / 春季
第 8 讲 勾股定理（一）
课堂落实答案
1 【答案】①10；②13；③17；④25
https://bsk.aixuexi.com/courseInfo.html#/printdiy?classTypeId=157920&lessonIds=1127830775,1127830776,1127830777,1127830778,1127830… 29/612021/1/13 备授课-备课页
2 【答案】24cm2
3 【答案】37cm
思维突破 / 初一 / 春季
第 9 讲 勾股定理（二）
例题练习题答案
例1 (1)【答案】证明：
如图，设△ABC，∠A < 90∘
过B作BD⊥AC于D
则BC2 = BD2+CD2 = BD2+(AC−AD)2
= BD2+AC2+AD2−2AC⋅AD
= AB2+AC2−2AC⋅AD < AB2+AC2
即AB2+AC2 > BC2
(2)【答案】证明：
如图，设△ABC，∠A > 90∘
过B作BD⊥AC交CA延长线于D
则BC2 = BD2+CD2 = BD2+(AC+AD)2
= BD2+AC2+AD2+2AC⋅AD
= AB2+AC2+2AC⋅AD > AB2+AC2
即AB2+AC2 < BC2
例2 (1)【答案】 在Rt△ACD中，AD2 = AC2+CD2 ，
https://bsk.aixuexi.com/courseInfo.html#/printdiy?classTypeId=157920&lessonIds=1127830775,1127830776,1127830777,1127830778,1127830… 30/612021/1/13 备授课-备课页
在Rt△BCE中，BE2 = BC2+CE2 ，
∴AD2+BE2 = ( AC2+BC2) + ( CD2+CE2) = AB2+DE2 ；
(2)【答案】
延长ED至点F，使得ED = DF，连接BF
∵D、E是中点，∴CD = BD，CE = AE
∵∠EDC = ∠FDB，∴ △ EDC≌ △ FDB
∴∠DFB = ∠DEC，BF = CE∴AC//BF，∴∠AEB = ∠FBE
1
∴ △ AEB≌ △ FBE，∴EF = BA，∴ED = AB
2
1 5
∴AD2+BE2 = AB2+DE2 = AB2+ AB2 = AB2
4 4
例3 【答案】证明：
延长ED于G，使得DG = DE，连接FG、BG
∵D是AB中点，∴AD = BD，DE = DG
又∠ADE = ∠BDG
∴△ADE≌△BDG(SAS)
∴AE = BG，∠A = ∠DBG
∴∠FBG = ∠ABC+∠DBG = ∠ABC+∠A = 90∘
∴△FBG是直角三角形
https://bsk.aixuexi.com/courseInfo.html#/printdiy?classTypeId=157920&lessonIds=1127830775,1127830776,1127830777,1127830778,1127830… 31/612021/1/13 备授课-备课页
∴BF2+BG2 = FG2 ，即BF2+AE2 = EF2
例4 【答案】证明：如图，过点A作AD⊥BC于点D
设BO = CO = a，AD = h，OD = x
则BD = a+x，CD = a−x
由勾股定理可得：
AB2+AC2 = AD2+BD2+AD2+CD2
= 2h2+(a+x)2+(a−x)2
= 2
( h2+x2+a2)
= 2
( AO2+BO2)
即AB2+AC2 = 2 ( AO2+BO2)
例5 (1)【答案】证明：如图，过点A作AO⊥BC于点O
AB2 = AO2+BO2
= AP2−OP2+BO2
= AP2+(BO−OP)(BO+OP)
= AP2+BP⋅CP
(2)【答案】证明：如图，过点A作AO⊥BC于点O
AB2 = AO2+BO2
= AP2−OP2+BO2
= AP2+(BO−OP)(BO+OP)
https://bsk.aixuexi.com/courseInfo.html#/printdiy?classTypeId=157920&lessonIds=1127830775,1127830776,1127830777,1127830778,1127830… 32/612021/1/13 备授课-备课页
= AP2−BP⋅CP
例6 【答案】证明：由勾股定理可得：
AH2 = AE2+HE2 ，CH2 = CE2+HE2
两式相减得AE2−EC2 = AH2−HC2
同理可得：CD2−BD2 = CH2−BH2BF2−AF2 = BH2−AH2
三式相加即得
AE2+CD2+BF2 = AF2+BD2+CE2
例7 【答案】证明：延长FD到G使GD = DF，连接BG，EG，
∵ D为BC中点， ∴ BD = DC，
BD = DC
{
∵ 在 △ BDG和 △ CDF中， ∠FDC = ∠BDG，
DG = DF
∴△ BDG≌ △ CDF，
∴ BG = FC，∠C = ∠GBD， ∴ BG//AC
ED = EC
{
∵ 在 △ EDG和 △ EDF中， ∠EDG = ∠EDF = 90∘
DG = DF
∴△ EDG≌ △ EDF， ∴ EG = EF
∵ BE2+FC2 = EF2 ， ∴ BG2+BE2 = EG2
∴ ∠ABG = 90∘， ∵ BG//AC， ∴ ∠A+∠ABG = 180∘
∴ ∠BAC = 90∘
例8 【答案】 证明：在Rt △ ADE中，DE2 = AD2+AE2 = 5
在Rt △ BCE中，CE2 = BE2+BC2 = 20
∴有DE2+CE2 = CD2
∴△DEC是直角三角形，DE⊥CE
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例9 (1)【答案】90∘
(2)【答案】2√5
例10 (1)【答案】证明：
连接PA、PB、PC，由勾股定理得：
PA2−PB2 = AD2−BD2
PB2−PC2 = BE2−CE2
PC2−PA2 = CF2−AF2
三式相加即得：
AD2+BE2+CF2 = BD2+CE2+AF2
(2)【答案】证明：由（1）知：
AD2−BD2+BE2−CE2+CF2−AF2
= (AD−BD)(AD+BD)+(BE−CE)(BE+CE)+(CF−AF)(CF+AF)
= (AD−BD+BE−CE+CF−AF)⋅AB
= 0
故AD−BD+BE−CE+CF−AF = 0
即AD+BE+CF = BD+CE+AF
思维突破 / 初一 / 春季
第 9 讲 勾股定理（二）
自我巩固答案
1 (1)【答案】210
(2)【答案】28m
2 【答案】证明：过A点作AE⊥BC于E
https://bsk.aixuexi.com/courseInfo.html#/printdiy?classTypeId=157920&lessonIds=1127830775,1127830776,1127830777,1127830778,1127830… 34/612021/1/13 备授课-备课页
由勾股定理可得：
AC2−AB2 = CE2−DE2 = (CE+DE)(CE−DE) = BC⋅DC
3 【答案】证明：如图，过点P作矩形ABCD四边的垂线，交四边于点E，F，G，H
由题可得PA2 = HP2+PE2 ，PC2 = PG2+PF2
PB = PE2+PF2 ，PD2 = HP2+PG2
∴PA2+PC2 = PB2+PD2
4 【答案】证明：易知△ABD和△ACD都是直角三角形，由勾股定理可得：
AB2 = AD2+BD2 ，AC2 = AD2+CD2
两式相加得：AB2+AC2 = BD2+2AD2+CD2
= BD2+2BD⋅CD+CD2 = (BD+CD)2 = BC2
由勾股定理的逆定理可知：△ABC是直角三角形
思维突破 / 初一 / 春季
第 9 讲 勾股定理（二）
课堂落实答案
1 (1)【答案】30
(2)【答案】②③
2 【答案】证明：
https://bsk.aixuexi.com/courseInfo.html#/printdiy?classTypeId=157920&lessonIds=1127830775,1127830776,1127830777,1127830778,1127830… 35/612021/1/13 备授课-备课页
作AE⊥BC于E，设DE = x，CE = a
则BD = a−x，CD = a+x
原式等价于证明(a−x)2+(a+x)2 = 2 ( a2+x2)
即BD2+CD2 = 2AD2
思维突破 / 初一 / 春季
第 10 讲 平行四边形
例题练习题答案
例1 (1)【答案】32
(2)【答案】AB = CD = 13，AD = BC = 15
例2 【答案】20
例3 (1)【答案】∠ADC = ∠ABC = 68∘，∠BAD = ∠BCD = 112∘
(2)【答案】∠ABC = ∠ADC = 96∘，∠DAB = ∠DCB = 84∘
例4 【答案】证明：由平行四边形的性质及条件可得：
∠BAE = ∠DCF，AB = CD，∠ABE = ∠CDF
∴△ABE≌△CDF（ASA），∴BE = DF
例5 【答案】证明：设AB和DE相交于点G
∵AF是角分线，∴∠BAF = ∠DAF = ∠F
∴BA = BF，∵DE⊥AF
∴∠E+∠F = 90∘，∠BAF+∠AGD = 90∘
∴∠E = ∠AGD = ∠EDC，∴CD = CE
又∵AB = CD，∴CE = BF，∴BE = CF
例6 (1)【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD = BC，又∵AE = CF
∴AD−AE = BC−CF，即DE = BF
又DE∥BF，∴四边形BFDE是平行四边形
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(2)【答案】证明：由（1）知BE//DF且BE = DF
∵M、N是中点
1 1
∴ME = BE = DF = NF，ME∥FN
2 2
∴四边形MFNE是平行四边形
例7 【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴CF∥AE，DO = BO
∴∠DFO = ∠BEO,∠FDO = ∠EBO
∴△DFO≌△BEO，∴DF = BE
∴DF+CD = CF = BE+AB = AE
∴四边形AECF是平行四边形
例8 【答案】证明：连接AC交BD于点O
由平行四边形的性质可得：
AO = CO，BO = DO
∵BE = DF，∴EO = FO
即四边形AECF的对角线互相平分
∴四边形AECF是平行四边形
例9 【答案】 BC = FC
{
证明： ∠BCA = ∠FCD ⇒ △BCA≌△FCD
CA = CD
∴DF = AB = AE
BC = BF
{
∠ABC = ∠EBF ⇒ △ABC≌△EBF
BA = BE
∴EF = AC = AD
∴四边形ADFE为平行四边形
例10 【答案】证明：延长EP交AC于G，过E作EH∥PD交AB于H
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易得四边形ADPG是平行四边形，△GPF是等边三角形
∴AD = PG = PF
同理四边形DHEP是平行四边形，△BHE是等边三角形
∴DH = PE，BH = HE = PD
∴PD+PE+PF = BH+HD+DA = AB
1 【答案】证明：如图，连接BM，BN
作BE⊥AN于E，BF⊥CM于F
由平行四边形的性质可得：
1
S = S = S
△ABN ▱ABCD △CBM
2
将AN，BM视为底边，则BE，BF是对应的高，故BE = BF
由角平分线定理的逆定理可得，BO平分∠AOC
思维突破 / 初一 / 春季
第 10 讲 平行四边形
自我巩固答案
1 【答案】AB = CD = 14，AD = BC = 6
2 【答案】证明：∵AD//BC，ED//BF
∴∠DAE = ∠BCF，∠DEF = ∠BFE
∴∠AED = ∠CFB
∵AF = CE，∴AE = CF
∴△ADE≌△CBF，∴AD = BC
∴四边形ABCD是平行四边形
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3 【答案】证明：∵四边形ABCD为平行四边形
∴AD = BC，AB = CD，AD//BC，AB//CD
∴∠CEB = ∠ECD，∠AFD = ∠FDC，∠ADC+∠BCD = 180∘
∵AD = 2AB，EA = AB = BF
∴EB = BC = AD = AF
∴∠E = ∠ECB，∠F = ∠FDA
∴∠DCE = ∠BCE，∠FDA = ∠FDC
1
∴∠FDC+∠ECD = (∠ADC+∠BCD) = 90∘
2
4 【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD = BC，AD//BC
∵AE = CF，∴四边形AFCE为平行四边形
∴AF//EC，∵AE = CF，∴ED = BF
∴四边形BFDE为平行四边形
∴ME//NF，∴四边形EMFN是平行四边形
思维突破 / 初一 / 春季
第 10 讲 平行四边形
课堂落实答案
1 【答案】20∘
2 【答案】10 < m < 22
3 【答案】∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB//CD，AB = CD，∴∠EAO = ∠FCO
1
∵E、F分别是AB、CD的中点，∴AE = CF = AB
2
又∵∠AOE = ∠FOC，∴△AOE≌△COF
∴AO = CO
4 【答案】
连接BD交AC于O
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∵四边形ABCD是平行四边形
∴BO = DO，AO = CO
又∵AF = CE，∴EO = FO
∴四边形BEDF是平行四边形
思维突破 / 初一 / 春季
第 11 讲 矩形和菱形
例题练习题答案
例1 【答案】①③④
例2 【答案】证明：由题意知：
AE = DF，∠EAB = ∠FDC，AB = DC
∴△EAB≌△FDC，∴BE = CF
例3 (1)【答案】45∘
(2)【答案】2√2
例4 【答案】2.4
例5 【答案】证明：
设AF交BC于点M，由题易得：
∠BAF = ∠DAF = ∠AMB，∠ABE = ∠CBE
∴BE⊥AF，即∠FEH = 90∘
同理可得四边形EFGH的其余内角也为90∘
所以四边形EFGH是矩形
例6 【答案】③④⑤
例7 (1)【答案】5
(2)【答案】150
(3)【答案】120
例8 【答案】证明：由菱形的性质易得：
BC = DC，∠BCE = ∠DCE，CE = CE
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∴△BCE≌△DCE，∴∠CBE = ∠CDE = ∠AFD
例9 【答案】证明：由平行四边形的性质易得△AOE≌△COG
∴OE = OG
同理易得OF = OH
又∵EG⊥FH，∴四边形EFGH是菱形
例10 【答案】6cm
例11 【答案】证明：由题可得△ABM≌△FBN≌△CDN≌△EDM
∴BM = BN = DM = DN
∴四边形BMDN是菱形
例12 (1)【答案】120∘
(2)【答案】√3a
(3)【答案】√3
a2
2
1 (1)【答案】由题知∠1 = ∠BCA = ∠DCA = ∠2
∴MC = MD，∴BC = CD = 2CE = 2
(2)【答案】证明：连接BD交AC于O
1
∵F是中点，∴CF = AB = CE
2
∴△CFM≌△CEM
∴∠CFM = ∠CEM = 90∘
∴∠BCD = 60∘，∴△BCD是等边三角形
∴AO = CO = DF，ME = MO
∴AM = AO+OM = DF+ME
2 【答案】证明：连接AC，设AF交BC于M
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易得∠DAG = ∠AMB = ∠CMF = 45∘
∴∠F = ∠ECB−∠CMF = ∠ECB−45∘
∠CAF = ∠DAG−∠DAC = ∠DAG−∠DBC
= ∠DAG− ( 90∘ −∠ECB ) = ∠ECB−45∘
∴∠CAF = ∠F，∴CF = CA = BD
思维突破 / 初一 / 春季
第 11 讲 矩形和菱形
自我巩固答案
1 【答案】D
2 【答案】20
3 【答案】45∘
4 【答案】10
√3cm
3
5 【答案】证明：∵DF⊥AC、MF⊥AC，∴DF//ME
同理，EG//MD，∴四边形DMEP是平行四边形
∵AB = AC，∴∠B = ∠C
∠MDB = ∠MEC
{
∴在 △ BMD和 △ CME中 ∠B = ∠C
BM = CM
∴ △ BMD≌ △ CME，∴MD = MF
∴四边形DMEP是菱形．
6 【答案】证明：
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延长DM交AB延长线于E，易证△DCM≌△EBM
∴DM = EM，CD = EB
∵∠MAD = ∠MDA，∴AM = DM，∴AM = EM
∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB = CD，∴AB = BE
∴BM⊥AB，∴四边形ABCD是矩形
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第 11 讲 矩形和菱形
课堂落实答案
1 【答案】6．
2 【答案】证明：
连接AC，由菱形的性质可知∠CAE = ∠CAF
结合条件AE = AF及公共边AC
可得△ACE≌△ACF（SAS），∴CE = CF
3 (1)【答案】证明：∵AB//CE，AC//BE
∴四边形ABEC为平行四边形
∴AC = BE，∵AC = BD，∴BD = BE
(2)【答案】由∠DBC = 30∘，BO = 4
易得BD = 8，AB = CD = 4，BC = 4√3
∴S = AB×BC = 16√3
平行四边形ABEC
思维突破 / 初一 / 春季
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第 12 讲 正方形
例题练习题答案
例1 【答案】①②③④⑤
例2 【答案】75∘
例3 【答案】70∘
例4 【答案】证明：由题可得△BCF≌△DCE，∴DE = BF
∴∠FBC = ∠EDC
∴∠FBC+∠CED = ∠EDC+∠CED = 90∘
∴DE⊥BF
例5 【答案】证明：由正方形的性质可得：
AD = DC，∠ADE = ∠DCG = 45∘
∠AED = ∠AGF = ∠DGC
∴△ADE≌△DCG（AAS）
例6 (1)【答案】证明：将EG，FH分别平移至AM，BN
易证△AMB≌△BNC
故EG = AM = BN = HF
(2)【答案】不成立，证明：
（1）问中的图就是垂直且相等的情况
设EG和FH的交点为O
过点O作AB的平行线l
再作EG关于l的对称线段MN
显然有MN = FH，但MN⊥FH显然不成立
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例7 (1)【答案】证明：延长CB于G，使得BG = DF，连接AG
∴△ADF≌△ABG
∴∠FAD = ∠GAB，AF = AG
∠GAE = ∠GAB+∠BAE = ∠FAD+∠BAE = 45∘ = ∠EAF
易得△AEF≌△AEG
∴EF = EG = BE+GB = BE+DF
(2)【答案】证明：延长CB于G，使得BG = DF，连接AG
∴△ADF≌△ABG
∴∠FAD = ∠GAB，AF = AG
EF = BE+DF = BE+BG = EG
易得△AEF≌△AEG
1 1
∴∠EAF = ∠EAG = ∠FAG = ∠DAB = 45∘
2 2
例8 【答案】 1
易知A′B = AB = 1，BN =
2
√3
故∠BA′N = 30∘，A′N =
2
√3 1
A′M = 1− ，∠EBA = ∠ABA′ = 15∘
2 2
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例9 【答案】169
cm
24
例10 【答案】
延长CB至E，使得BE = DN，连接AE
设∠MAN = ∠DAN = α，易得△AEB≌△AND
∴∠EAB = ∠NAD = α
∠E = ∠AND = 90∘ −α
∠BAM = 90∘ −2α
∴∠EAM = ∠EAB+∠BAM = 90∘ −α = ∠E
∴AM = EM = EB+BM = DN+BM
DN+BM
∴ = 1
AM
1 【答案】证明：连接BD交AC于点O，过点F作FH⊥AC于H
1
由正方形的性质可得：BO = AC，BO⊥AC
2
由条件易证四边形BOHF是矩形
1 1
故FH = BO = AC = AF，可得∠FAC = 30∘
2 2
∴∠BAF = ∠BAC−∠FAC = 15∘
思维突破 / 初一 / 春季
第 12 讲 正方形
自我巩固答案
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1 【答案】证明：∵ABCD是正方形
∴AD = AB，∠D = ∠ABF = ∠DAB = 90∘
∵AF⊥AE，∴∠BAF = 90∘ −∠EAB = ∠DAE
又∵AD = AB，∴ △ ADE≌ △ ABF
2 【答案】证明：∵AD = CD
∠FDC = 90∘ −∠ADE = ∠DAE
∠ADE = ∠DCF
∴△ADE≌△DCF，∴AE = DF，CF = DE
∴AE = DF = EF+DE = EF+CF
3 【答案】45∘
4 【答案】AM = CM，AN = CN
∴△AMN≌△CMN
则∠CME+∠CNF = ∠NAC+∠NCA+∠MAC+∠MCA
= ∠MAN+∠MCN = 100∘
思维突破 / 初一 / 春季
第 12 讲 正方形
课堂落实答案
1 【答案】B
2 【答案】60∘
3 【答案】证明：∵AD = CD，∠ADE = ∠CDE = 45∘，ED = ED
∴△ADE≌△CDE，∴∠DAE = ∠DCE
∵H是Rt△GCF底边上的中点，∴∠HGC = ∠HCG
∴∠ECH = ∠ECG+∠HCG = ∠DCE+∠DGE = 90∘
∴EC⊥CH
思维突破 / 初一 / 春季
第 13 讲 梯形
例题练习题答案
例1 【答案】C
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例2 (1)【答案】证明：
已知：梯形ABCD中，AD//BC，AB = CD
过D作DE//AB交BC于E
又∵AD//BC
∴四边形ABED是平行四边形
∴AB = DE，∵AB = CD
∴DE = DC，∴∠1 = ∠C
∵AB//DE，∴∠B = ∠1
∴∠B = ∠C
同理可得∠A = ∠ADC
∴等腰梯形同一底边上的两个角相等
(2)【答案】证明：
已知：在梯形ABCD中AD//BC，∠B = ∠C
过D作DE//AB交BC于E
则∠B = ∠1
∵∠B = ∠C，∴∠1 = ∠C，∴DE = DC
∵AD//BC，AB//DE
∴四边形ABED是平行四边形
∴AB = DE，∴AB = DC
∴梯形ABCD是等腰梯形
∴同一底边上两个角相等的梯形是等腰梯形
例3 (1)【答案】证明：
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已知：在梯形ABCD中，AD//BC，AB = CD
∵AB = DC，∴∠ABC = ∠DCB
又∵BC = CB，∴ △ ABC≌ △ DCB
∴AC = DB
∴等腰梯形的两条对角线相等
(2)【答案】证明：
如图，在梯形ABCD中，AC = BD，对角线的交点为O，将BD平移至AE
∵AD//EB，AE//BD
∴四边形ADBE是平行四边形
∴AE = BD = AC，故∠AEC = ∠ACE = ∠DBC
∴ △ ABC≌ △ DCB，∴AB = DC
∴对角线相等的梯形是等腰梯形
例4 【答案】4
例5 【答案】18
例6 【答案】3√2
2
例7 【答案】√17
例8 【答案】60∘
例9 【答案】30
例10 【答案】120∘
例11 【答案】2.3
例12 【答案】
过D作DE∥AB交BC于E，过D作DF⊥BC于F
∴DE = AB = 8，BE = AD = 3，∠DEC = ∠B
∴∠DEC+∠C = ∠B+∠C = 90∘，∴CE = 10
DE⋅CD 24
∴DF = = ，BC = BE+EC = 13
CE 5
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1 192
∴S = (AD+BC)⋅DF =
梯形ABCD
2 5
例13 【答案】 62 192
等腰梯形；周长： ；面积：
5 25
∵∠ECA = ∠BCA = ∠DAC
且AC = AC，EC = BC = AD
∴△ECA≌△DAC，∴∠EAC = ∠DCA
同理易得∠CDE = ∠AED
∴∠EAC = ∠CDE，∴DE∥AC，且DE ≠ AC
所以四边形ACED是等腰梯形
设AE，CD交于G，设DG = x
7
∴AG = 4−x，在Rt △ ADG中，可得x =
8
25
∴AG = ，△DGE∽△AGC
8
DE DG 7
∴ = ，可得DE =
AC AG 5
7 62 3×4 12
∴C = 2×3+5+ = ，h = =
5 5 5 5
1 12 7 192
( )
∴S = × × +5 =
2 5 5 25
1 【答案】两底之差和两腰应该能构成三角形
①两底1，2，两腰3，4，不成立；
②两底1，3，两腰2，4，不成立；
③两底1，4，两腰2，3，成立；
④两底2，3，两腰1，4，不成立；
⑤两底2，4，两腰1，3，不成立；
⑥两底3，4，两腰1，2，不成立；
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4√2
综上，两底为1，4，两腰为2，3的梯形满足条件，作两高，可得h =
3
1 4√2 10√2
∴S = (1+4)× =
2 3 3
思维突破 / 初一 / 春季
第 13 讲 梯形
自我巩固答案
1 【答案】∠B = 60∘，AC = 2√3
2 【答案】证明：过A点作BD的平行线AE，交CD延长线于E
由题可知四边形ABDE是平行四边形
∴AE⊥AC
∴由勾股定理得AE2+AC2 = CE2
即AC2+BD2 = (AB+CD)2
3 (1)【答案】证明：作CF⊥AB于F
由题得四边形AFCD为矩形
∠B = ∠B
{
且 ∠AEB = CFB，∴△ABE≌△CBF
AB = CB
即有AE = CF = AD
(2)【答案】 设AB = BC = x，则有BC2 = CF2+BF2
即x2 = 82+(x−4)2 ，解得x = 10
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∴AB长为10
4 【答案】分三种情况讨论：
①1和4为底，则4和5为腰：
平移腰，由勾股定理逆定理易知该梯形为直角梯形，高为4，面积为10．
②1和5为底，则4和4为腰：
该梯形为等腰梯形，易知高为2√3，面积为6√3．
③4和5为底，1和4为腰：
平移腰，发现这种情况不可能．
思维突破 / 初一 / 春季
第 13 讲 梯形
课堂落实答案
1 【答案】2
2 (1)【答案】∵在□ABCD中，AD//BC，AB = CD
∴∠CAD = ∠ACB
∵∠B = ∠CAD，∴∠ACB = ∠B
∴AB = AC，∵AB//CD，∴∠B = ∠DCE
又∵BC = CE，∴ △ ABC≌ △ DCE(SAS)
∴AC = DE = AB，∵AD//BE
∴四边形ABED是等腰梯形
(2)【答案】∵四边形ABCD为平行四边形
∴AD = BC = CE = 4
∴ △ ABC为等边三角形
√3
∴ △ ABC的高 = AB×sin60∘ = 4× = 2√3
2
1
∴S = (4+8)×2√3× = 12√3
2
3 【答案】∵AB = AC，∴∠ABC = ∠ACB
1
∴∠DBC = ∠BCE = ∠ABC
2
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∠ABC = ∠ACB
{
在 △ EBC与 △ DCB中， BC = CB
∠BCE = ∠DBC
∴ △ EBC≌ △ DCB(ASA)，∴BE = CD
∴AB−BE = AC−CD，即AE = AD
AE AD
∴ = ，且∠A = ∠A
AB AC
∴ △ ABC ∽△ AED，∴ED//BC
180∘ −∠A
∴∠ABC = ∠AED =
2
又∵EB与DC交于点A，即EB与DC不平行
∴四边形EBCD是梯形，∵BE = DC
∴梯形EBCD是等腰梯形
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第 14 讲 中位线
例题练习题答案
例1 【答案】证明：延长DE至F，使EF = DE
ED = EF
{
由题可得 ∠AED = ∠CEF，∴△ADE≌△CFE
EA = EC
∴FC与AD平行且相等
即FC与BD平行且相等
∴四边形BDFC为平行四边形
1 1
∴DE∥BC且DE = DF = BC
2 2
例2 【答案】证明：延长DE至F，使EF = DE
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ED = EF
{
由题可得 ∠AED = ∠CEF，∴△ADE≌△CFE
EA = EC
∴∠ECF = ∠EAD，∴FC∥BD
∵DE∥BC
∴四边形BDFC为平行四边形
1 1
∴AD = CF = BD且DE = DF = BC
2 2
例3 【答案】证明：由题可知：
DE为△ABC的中位线，MN为△GBC的中位线
1
∴DE∥MN∥BC，且DE = BC = MN
2
∴四边形DENM为平行四边形
例4 【答案】证明：过F作MN//AB交AD的延长线于点M，交BC于点N
由题可知四边形ABNM为平行四边形
1 1
∴AE = AB = MN = FM
2 2
∠DFM = ∠CFN
{
∵ ∠DMF = ∠CNF，∴△DMF≌△CNF
FD = FC
又∵MN∥AE，∴四边形AEFM为平行四边形
1
则EF∥AD，EF = (AM+BN)
2
1 1
= (AD+MD+BC−CN) = (AD+BC)
2 2
例5 【答案】12
例6 【答案】证明：取FD的中点G，连接CG
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由题可知CG为△BDF的中位线
又∠GCD = ∠B = ∠ACB = ∠DCE，且DF⊥BD
∴△CEG为等腰三角形
∴BF = 2CG = 2CE
例7 【答案】证明：连接EF
由题可知AE和BF平行且相等
∴四边形AEFB为平行四边形
∴EF和AB平行且相等
∴四边形EDCF为平行四边形
∴G为BE中点，H为EC中点，
∴HG为△ECB中位线
∴BC = 2GH
例8 【答案】证明：连接BD，交AC于E，记AC交PD于F
∵∠CAB = ∠ACD = 60∘ = ∠ABP，∴PB∥AC
又∵E为BD中点，∴EF为△PBD中位线
∴F为PD的中点，∴AC平分PD
例9 (1)【答案】证明：连接EG、EH、GF、HF
∵EG为△ABD中位线，∴EG//AB//CD
又∵EH为△ADC中位线，∴EH∥DC
而过E平行DC的直线有且仅有一条
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∴E，G，H共线，同理G，H，F共线
由两点确定一条直线可知E，G，H，F共线
(2)【答案】 1
证明：由（1）可知GH = EH−EG = (DC−AB)
2
例10 (1)【答案】证明：延长AH，AG交BC于M，N
由三线合一逆定理可知：
△ACM、△ABN为等腰三角形
∴H，G分别为AM，AN的中点
∴HG为△AMN中位线，∴GH∥BC
(2)【答案】由（1）可知AB = BN = 9cm，AC = CM = 14cm
∴MN = BN+CM−BC = 5cm
1 5
∴GH = MN = cm
2 2
1 【答案】证明：取AC，AD中点M，N
1 1
由题可知FM = AD，FN = AC
2 2
1 1
由斜边中线可得BM = AC，EN = AD
2 2
∴FM = EN，BM = FN
∵∠BMF = ∠BMC+∠CMF = 2∠BAC+∠CAD
= 2∠EAD+∠FND = ∠END+∠FND = ∠ENF
∴△BMF≌△FNE，∴BF = EF
思维突破 / 初一 / 春季
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第 14 讲 中位线
自我巩固答案
1 【答案】∠EDF = 72∘
2 【答案】证明：由题可知DE//CF
∴DE⊥AB，∵E为AB的中点
∴△DBA为等腰三角形
∴∠A = ∠DBA = ∠BEF，∴DB//EF
∴四边形DEFB是平行四边形
3 【答案】证明：设AB的中点为N，连接MN
由题可知MN//AD，∴MN⊥AB
由三线合一的逆定理可得AM = BM
4 【答案】证明：取CD中点G，连接EG，FG
可知EG，FG分别为△ACD和△CBD的中位线
∵AC = BD，∴EG = FG，∴∠GEF = ∠GFE
∵FG//BD，GE//AC
∴∠GEM = ∠AME，∠GFE = ∠BNM
故∠AMN = ∠BNM
思维突破 / 初一 / 春季
第 15 讲 阶段自检B
期末试卷答案
1 【答案】B
2 【答案】D
3 【答案】A
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4 【答案】D
5 【答案】C
6 【答案】A
7 【答案】3
8 【答案】10
9 【答案】4或4√3或4√7
10 【答案】√6
11 【答案】证明：由题可知：
四边形ODEC为平行四边形且OD = OC
∴四边形ODEC为菱形
12 (1)【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形
∴∠BOE = ∠AOF = 90∘，OB = OA
又∵AM⊥BE
∴∠MEA+∠MAE = 90∘ = ∠AFO+∠MAE
∴∠MEA = ∠AFO，∴ △ BOE≌ △ AOF
∴OE = OF
(2)【答案】OE = OF成立，证明：
∵四边形ABCD是正方形
∴∠BOE = ∠AOF = 90∘，OB = OA
又∵AM⊥BE，∴∠F+∠MBF = 90∘
∵∠E+∠OBE = 90∘且∠MBF = ∠OBE
∴∠F = ∠E，∴ △ BOE≌ △ AOF
∴OE = OF
13 (1)【答案】BE = BF，证明如下：
∵ 四边形ABCD是边长为4的菱形，BD = 4
∴ △ ABD、 △ CBD都是边长为4的正三角形
∵AE+CF = 4
∴CF = 4−AE = AD−AE = DE
又∵BD = BC = 4，∠BDE = ∠C = 60∘
DE = CF
{
在 △ BDE和 △ BCF中 ∠BDE = ∠C
BD = BC
∴ △ BDE≌ △ BCF，∴BE = BF
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(2)【答案】∵ △ BDE≌ △ BCF，∴∠EBD = ∠FBC
∴∠EBD+∠DBF = ∠FBC+∠DBF
∴∠EBF = ∠DBC = 60∘，又∵BE = BF
∴ △ BEF是正三角形，∴EF = BE = BF
当动点E运动到点D或点A时，BE取到最大值，最大值为4；
当BE⊥AD，即E为AD的中点时，BE取到最小值，最小值为2√3，
∵EF = BE，∴EF的最大值为4，最小值为2√3
14 【答案】证明：过E作EF//BC交BD于F
∵∠ACE = ∠ACB+∠BCE = 135∘
∠DFE = ∠DBC = 45∘
∴∠EFB = 135∘
1 1
又∵EF = BC，EF//BC，AC = BC
2 2
∴EF = AC，CE = FB，∴ △ EFB≌ △ ACE
∴∠CEA = ∠DBE，又∵∠DBE+∠DEB = 90∘
∴∠DEB+∠CEA = 90∘，故∠AEB = 90∘
∴AE⊥EB
15 【答案】证明：在△ABD与△ACD中分别列勾股方程，得
AD2 = AB2−BD2 ，AD2 = AC2−CD2
AD2 = AB2−BD2
{
联立方程得 AD2 = AC2−CD2 ，∴AB = AC
AB+CD = AC+BD
16 【答案】证明：
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如图，连接PH、PG、PF、PE，交点分别为：M、N、L、K，再连接HG、GF、FE、EH、
PH
根据平行四边形的性质：
M平分AD和PH，N平分CD和PG
因此MN是 △ PHG的中位线
所以HG//MN，HG = 2MN
∵顺次连接正方形ABCD各边中点得MNLK是正方形
∴MN = NL = LK = KM，4个角都为90∘
同理可证：GF//NL，GF = 2NL
FE//LK，FE = 2LK
EH//KM，EH = 2KM
∴HG = GF = EF = EH，四边形EFGH的4个角也为90∘
所以E，F，G，H是正方形的四个顶点
17 【答案】∵ △ ABC是直角三角形，∠C = 90∘
∴AB2 = BC2+AC2 ，则AB2−AC2 = BC2
又∵在直角 △ AMP中，AP2 = AM2−MP2
∴AB2−AC2+(AM2−MP2) = BC2+(AM2−MP2)
又∵AM = CM，
∴AB2−AC2+ ( AM2−MP2)
= BC2+ ( MC2−MP2) ，①
∵ △ APM是直角三角形，AM2 = AP2+MP2
则AM2−MP2 = AP2 ，②
∵ △ BPM与 △ BCM都是直角三角形
∴BM2 = BP2+MP2 = MC2+BC2
MC2+BC2−MP2 = BM2−MP2 = BP2 ，③
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把②③代入①，得
AB2−AC2+AP2 = BP2 ，即BP2 = AP2+BC2
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