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1.3 勾股定理的应用
题型一 竹竿过门类问题
1．（24-25八年级下·山西忻州·期中）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有一道经典题目：“今有
户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高，广各几何？”其意思为：今有一扇门，高比宽多6尺8
寸，门对角线的长度恰好为1丈，问门的高和宽各是多少？（1丈=10尺，1尺=10寸）如图，若设门的高
为x尺，则根据题意可列方程为（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【难度】0.85
【分析】本题考查了勾股定理的应用．根据题意明确线段长度是解题的关键．
设门的高为 尺，则宽为 尺，对角线长为 尺，由勾股定理即可列出方程．
【详解】解：设门的高为 尺，则宽为 尺，
由题意知，对角线长为 尺，
由勾股定理得， ，
故选：B．
（二次根式学完之后）2．（24-25八年级上·河南平顶山·期中）李老师家因装修准备用电梯搬运一些木条
上楼，如图，已知电梯的长、宽、高分别是 ， ， ，那么电梯内能放入下列木条中的最大长度是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【难度】0.65
【分析】本题考查了勾股定理．电梯是个长方体，电梯中能放下的最大长度就是长方体对角线的长度，连
接 、 构造直角三角形，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如下图所示，电梯中能放下的最大长度就是线段 的长度，
，
，
，
故选：C．
题型二 秋千问题
3．（24-25八年级下·山西朔州·期中）勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何
问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板离地的竖直高度 ，
将它往前推 至C处时（即水平距离 ），踏板离地的竖直高度 ，它的绳索始终拉直，
则绳索 的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.85
【分析】本题考查勾股定理的实际应用，设 的长为 ，则 ，故 ，
在直角 中利用勾股定理即可求解，找到直角三角形，利用勾股定理是解题的关键．
【详解】解：由题意可知，
，
设 的长为 ，则
∴
在直角 中，
又∵解得： ．
故选：B．
4．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）我国古代数学名著《算法统宗》有一道“荡秋千”的问题：“平
地秋千未起，踏板一尺离地．送行8尺与人齐，5尺人高曾记，仕女家人争蹴．良工高士素好奇，算出索
长有几？”此问题可理解为：“如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离 的长为1尺，将它向
前水平推送8尺时，即 尺．秋千踏板离地的距离 和身高5尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很
直，试问绳索有多长？”请运用所学知识求出秋千的长是 尺．
【答案】10
【难度】0.85
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，明确题意，列出方程是解题的关键．设绳索 的长为x尺，
根据题意知，可列出关于 的方程，即可求解．
【详解】解：由题意可知： 尺， 尺，
∴ （尺），
设绳索 尺，则有 尺，
根据题意得： ，
即 ，
解得 ．
即绳索 的长为10尺．
故答案为：10．
题型三 大树折断/旗杆问题
5．（24-25八年级下·湖北孝感·期中）学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算出学校
旗杆的高度．爱动脑筋的小明这样设计了一个方案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端5米处，发现此时绳子底端距离打结处约1米．则小明算出旗杆的高度为（
）
A．10米 B．12米 C．13米 D．15米
【答案】B
【难度】0.85
【分析】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是读懂题意，找准等量关系，正确列出方程，再求
解．设旗杆长为x米，则绳长为 米，根据勾股定理即可列方程求解．
【详解】解：设旗杆长为x米，则绳长为 米，则由勾股定理可得：
，
解得 ，
答：旗杆的高度为12米．
故选：B．
6．（24-25八年级下·福建福州·期中）学校需要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆的绳子垂到了地面，
并多出了一段，经测量绳子垂直落地后还剩1米（如图1），将绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部
的距离 米（如图2），则旗杆的高度 为（ ）
A．10米 B．11米 C．12米 D．13米
【答案】C【难度】0.65
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，设旗杆的高度 为x米，则绳子的长度为 米，旗杆，绳子
与地面构成直角三角形，根据勾股定理即可解答．
【详解】解：设旗杆的高度 为x米，则绳子的长度为 米，
在 中，由勾股定理得： ，
解得： ，
∴旗杆的高度 为12米，
故选：C．
7．（24-25八年级下·广西来宾·期中）《九章算术》中有这样一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵
地，去本三尺，问折者高几何？意思是：一根竹子原高一丈（1丈 尺），中部一处折断，竹梢触地面
处离竹根3尺，问折断处离地面几尺？设折断处离地面的高度为 尺，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【难度】0.85
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设折断处离地面的高度为x尺，根据勾股定理列出方程即
可．
【详解】解：设折断处离地面的高度为x尺，
由题意得， ，
故选：A．
8．（24-25八年级下·浙江台州·期中）如图，强台风时一棵大树在距离地面 的点C处折断，大树顶端的
着地点A与大树底端B的距离为 ，则这棵大树折断前的高度为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【难度】0.85
【分析】根据大树的折断部分与未断部分、地面恰好构成直角三角形，再根据勾股定理求出直角三角形的
斜边的长度，进而可得出结论．
【详解】解：∵树的折断部分与未断部分、地面恰好构成直角三角形，
∴原来树的高度为 ，
∴这棵树原来的高度 ．
即：这棵大树在折断前的高度为18m.
故选：D．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，熟知直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和是解答此题的
关键．
9．（24-25八年级下·河南三门峡·期中）《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，
去根三尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈 尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰
好抵地，抵地处离竹子底部 尺远，则折断处离地面的高度为（ ）
A． 尺 B． 尺 C． 尺 D． 尺
【答案】C
【难度】0.85
【分析】本题考查勾股定理的应用，由题意知：竹子折断前直立于地面，竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面 尺，则斜边为 尺，利用勾股定理解题即可．解题的关键是利用题目信息
构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．
【详解】解：设竹子折断处离地面 尺，则斜边为 尺，
依题意，得： ，
解得： ，
∴折断处离地面的高度为 尺．
故选：C．
题型四 芦苇问题
10．（2025·浙江·模拟预测）数学经典著作《九章算术》中有一道著名的“引葭(jiā)赴岸”题：“今有池方
一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”意思为：如图，有一池塘，
底面是边长为一丈(一丈等于十尺)的正方形，池的中央生有一棵芦苇，高出水面一尺，若将芦苇引到池边
中点处，正好与岸边齐平，则水深为 尺．
【答案】12
【难度】0.85
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用．我们可以将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可
知 的长为 尺，则 尺，设出 尺，表示出水深 ，根据勾股定理建立方程，求出
的方程的解即可得到芦苇的长和水深．
【详解】解：依题意画出图形，设芦苇长 尺，则水深 尺，因为 尺，所以 尺，
在 中， ，
解之得 ，
∴水深为 (尺)．
故答案为：12．
11．如图，有一个水池，截面是一个边长为14尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，
如果把这根芦苇拉向水池的一边，它的顶端恰好到达池边的水面．则水的深度是（ ）
A．15尺 B．24尺 C．25尺 D．28尺
【答案】B
【难度】0.85
【分析】本题考查了勾股定理的应用，正方形的性质等知识，熟悉数形结合的解题思想是解题关键．根据
题意，可知EB'的长为14尺，则 尺，设出 尺，表示出水深AC，根据勾股定理建立方
程即可．
【详解】解：依题意画出图形，设芦苇长 尺，则水深 尺，因为 尺，所以 尺，
在 中，∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴水深为： 尺，
故选：B．
题型五 项目式问题
12．（24-25八年级下·山东济宁·期中）某校八年级数学兴趣小组开展了测量学校旗杆高度的实践活动．他
们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．测量结果如表．
如图1，某校八年级数学兴趣小组自主开展测量学校旗杆高
项目背景 测量实物图
度的项目研究，他们制订了测量方案，并进行实地测量．
测量过程步骤一：如图2，线段 表示旗杆高度， 垂
直地面于点 ．将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，并多出 测量示意图
了一段 ．用皮尺测出 的长度．
项目
步骤二：如图3，小丽同学将绳子末端放置于头顶，向正东
方案 方向水平移动，直到绳子拉直为止，此时小丽同学直立于地
面点 处．用皮尺测出点 与点 之间的距离．
步骤三：用皮尺测量出小丽直立位置距旗杆底端的水平距
离．
测量项目 数据
绳子垂到地面多出的部分
各项数据
小丽直立位置距旗杆底端的水平距离 6
小丽身高请根据表格所给信息，完成下列问题．
(1)直接写出线段 与 之间的数量关系；
(2)根据该数学兴趣小组的测量方案和数据，求学校旗杆 的高．
【答案】(1)
(2) 米
【难度】0.85
【分析】本题考查了勾股定理的应用，注意计算的准确性即可．
（1）根据 即可求解；
（2）设 ，则 ，根据 即可求解；
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ；
（2）解：由图可知：
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
解得： ；
∴ ，
∴ ；
即：学校旗杆 的高为 米；
题型六 简单折叠问题
13．（2025·吉林长春·二模）如图，在 中， ， ， ．点E、F分别是边 、
上的点，连结 ，将 沿 翻折，使得点 的对称点落在边 的中点 处，则 的长为（
）A． B． C．3 D．2
【答案】A
【难度】0.85
【分析】本题考查了勾股定理与翻折问题，熟练掌握勾股定理和翻折的性质是解题的关键．根据勾股定理
和翻折的性质即可求解．
【详解】解： 点 是边 的中点，
，
由翻折的性质得， ，
设 ，则 ，
在 中， ，
，
解得： ，
．
故选：A．
14．（24-25八年级下·四川泸州·期中）已知直角三角形纸片 的两直角边长分别是 ， ，现将
按如图所示那样折叠，使点A与点B重合，折痕为 ，则 的长是（ ）
A．3 B． C．4 D．
【答案】B
【难度】0.65
【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，先由勾股定理得到 ，再由折叠的性
质得到 ，设 ，则 ，由勾股定理可得 ，解方程可得 ，再利用勾股定理即可求出答案．
【详解】解：∵在 中， ， ， ，
∴ ，
由折叠的性质可得 ， ， ，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
（二次根式学完之后）15．（24-25七年级下·湖北荆州·期中）如图，将长方形纸按如图所示的方式折叠，
若设长方形纸的宽为 ，则长方形纸的面积为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【难度】0.85
【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理．
由最后一个图可知 即为长方形纸的长，由折叠的性质知 ，由勾股定理得 ，计算即
可．
【详解】如图，由最后一个图可知 即为长方形纸的长，由折叠可知 ，
∴
∴长方形纸的面积为 ，
故选：A．
题型七 航行/飞行问题
16．（24-25八年级下·四川泸州·期中）如图，某港口 位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”
号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号沿东北方向航行，每小时航行 海里，“海
天”号沿西北方向航行，每小时航行 海里．它们离开港口 小时后分别位于点 处，此时两船的距
离是（ ）
A．20海里 B．24海里 C．30海里 D．32海里
【答案】C
【难度】0.65
【分析】本题考查了方位角，勾股定理的运用，理解方位角的意义，掌握勾股定理的计算是解题的关键．
根据方位角可得 ，由勾股定理即可求解．
【详解】解：“远航”号沿东北方向航行，“海天”号沿西北方向航行，
∴ ，
∴ ，
∵“远航”号每小时航行 海里，“海天”号每小时航行 海里，它们离开港口 小时，
∴ （海里）， （海里），
∴ （海里），故选：C．
17．（24-25八年级下·河南驻马店·期中）一艘轮船位于灯塔 的南偏东 方向，距离灯塔 海里的 处，
它沿北偏东 方向航行 海里到达 处，此时与灯塔 的距离为（ ）
A． 海里 B． 海里 C． 海里 D． 海里
【答案】B
【难度】0.85
【分析】本题考查勾股定理的应用．先求得 ，再利用勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，过点 作 交 于 ，
根据题意得 ， ， 海里， 海里，
，
在 中，根据勾股定理得，
（海里），
故此时与灯塔 的距离为 海里．
故选：B．
18．（22-23八年级上·河南平顶山·开学考试）如图，甲货船以 的速度从港口A出发向东北方向
航行，乙货船以 的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口 时两船相距（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【难度】0.85
【分析】本题主要考查勾股定理的应用，由勾股定理得 ，即可求解；能根据方位角等表
示出位置，利用勾股定理进行求解是解题的关键．
【详解】解：对图形进行点标注．
根据题意知3小时后，其中甲货船航行到B点，乙货船含蓄到C点，连结 ．
，
，
，
，
，
，
∴3小时后两船相距 ．
故选：C．题型一 几何体表面最短路径问题
1．（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）如图所示，是一段楼梯，高 是5米，斜边长 是13米，如
果在楼梯上铺地毯，那么地毯至少需要 米．
【答案】17
【难度】0.85
【分析】本题考查的是勾股定理的应用．当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度
的和，根据勾股定理求得 ，然后求得地毯的长度即可．
【详解】解：∵ 是直角三角形， 米， 米，
∴ 米，
∴如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为 米．
故答案为：17．
2．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）圆柱的底面直径为 ， ，动点 从点 出发，沿着圆柱
的侧面移动到 的中点 ，则点 移动的最短路径长为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．20
【答案】A
【难度】0.85
【分析】本题考查勾股定理—最短路径问题，将立体图形展开，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：如图所示，将圆柱体的侧面展开如图，则 即为所求，由题意，得： ， ， ，
由勾股定理，得： ；
故选A．
（二次根式学完之后）3．（24-25八年级下·贵州贵阳·期中）某公园内滑雪场U型池的示意图如图所示，
该场地可以看作是从一个长方体中挖去了半个圆柱而成，它的横截面图中半圆的半径为 ，其边缘
，点E在 上， ．一名滑雪爱好者从点A滑到点E，他滑行的最短路线长为
m．
【答案】
【难度】0.65
【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，根据题意可得， ， ，线段
即为滑行的最短路线长．在 中，根据勾股定理即可求出滑行的最短路线长．
【详解】解：将半圆面展开可得：
，在 中， ，
即滑行的最短路线长为 ，
故答案为： ．
（二次根式学完之后）4．如图，长方体的长为 ，宽为 ，高为 ，点 与点 之间的距离为
，一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点 爬到点 去吃一滴蜜糖．
(1)求点 到点 的距离；
(2)蚂蚁从点 爬到点 的最短路程是多少？
【答案】(1)点 到点 的距离为
(2)
【难度】0.65
【分析】考查平面展开-最短路径问题，勾股定理，解题的关键是注意分类讨论，画出示意图．
（1）过点B作长方体宽的垂线，垂足为H，连接 ，根据勾股定理求解即可；
（2）分三种情况讨论：把左侧面展开到水平面上，连接 ，如图1 ；把右侧展开到正面上，连接 ，
如图2 ；把向上的面展开到正面上，连接 ，如图3，然后利用勾股定理分别计算各情况下的 ，比较
即可．
【详解】（1）解：如图，过点B作长方体宽的垂线，垂足为H，连接 ，由长方体的性质得到： ，
，
，
点 到点 的距离为 ；
（2）解：如图1，把左侧面展开到水平面上，连接 ，
由题意可得： ，
，
在 中，根据勾股定理得： ，
如图2，把右侧展开到正面上，连接 ，由题意得： ，
在 中，根据勾股定理得：
则需要爬行的最短距离是 ；
如图3，把向上的面展开到正面上，连接 ，
由题意可得： ，
在 中，根据勾股定理得： ；
同理，把向上的面展开到后面时， ；
∵ ，
∴则需要爬行的最短距离是 ．
（二次根式学完之后）5．（2025·江苏宿迁·模拟预测）如图，用3个棱长为1的正方体搭成一个几何体，
沿着该几何体的表面从点 到点 的所有路径中，最短路径的长是 ．【答案】
【难度】0.65
【分析】本题主要考查了两点之间线段最短，以及勾股定理，正确画出侧面展开图，确定两点之间线段最
短是解题的关键．
先画出侧面展开图，根据两点之间践段最短，利用勾股定理求出线段 的长即可．
【详解】解：向正表面展开，如图，
∴最短路径的长是 ，
向左表面展开，如图，
∴最短路径的长是 ，
向上表面展开，如图，
∴最短路径的长是 ，
∵ ，∴最短路径的长是 ，
故答案为： ．
（二次根式学完之后）6．（24-25八年级下·重庆巫山·期中）如图，长方体的长为 ，宽为 ，高为 ，
点 与点 的距离为 ，一只蚂蚁沿着长方体的表面从点 爬到点 ，需要爬行的最短距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.85
【分析】本题主要考查了两点之间线段最短，勾股定理，长方体的展开图，理解题意、掌握立方体的展开
图是解题关键．
将长方体展开，连接 ，根据两点之间线段最短，即可求解．
【详解】解：将长方体展开，连接 ，
根据两点之间线段最短，共有 种情况：
①如图，
， ，
由勾股定理，得： ；
②如图，
， ，由勾股定理，得： ；
③如图，
， ，
由勾股定理，得： ；
，
蚂蚁需要爬行的最短距离是 ．
故选：B．
（二次根式学完之后）7．（24-25八年级上·山东青岛·期中）棱长分别为 ， 的两个正方体如图放置，
点A，B，C在同一直线上，顶点E在棱BF上，点P是棱DK的靠近点D的三等分点．一只蚂蚁要沿着正
方体的表面从点A爬到点P，它爬行的最短距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【难度】0.65
【分析】本题考查平面展开 最短问题．求出两种展开图 的值，比较即可判断．
【详解】解：如图， ，有两种展开方法：
方法一： ，
方法二： ．故需要爬行的最短距离是 ．
故选：D．
题型二 梯子下滑或风筝问题
8．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，一根长为 的梯子 斜靠在垂直于地面的墙上，这时梯子
的底端B点离墙根E点的距离为 ，如果梯子的底端向外（远离墙根方向）移动 到D点处，试求梯子
的顶端将沿墙向下移动的距离 为多少？
【答案】
【难度】0.65
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，根据题意可得 ， ， ，
，由勾股定理求出 ， 的长，即可求解．
【详解】解：由题意得， ， ， ， ，
，
在 中，由勾股定理得 ，
在 中，由勾股定理得 ，
，
答：梯子的顶端将沿墙向下移动的距离 为 ．
9．（24-25八年级下·贵州遵义·期中）梦想科技小组在实践课上制作机器人的零件如图1所示，该零件内有两个小滑块 ， ，由一根连杆连接，滑块 分别可以在互相垂直的两个滑道上滑动．滑块大小忽略
不计，将零件图抽象成几何图，如图2所示，开始时，滑块 距 点 ，滑块 距 点 ．
(1)求 的长；
(2)当滑块 向下滑 至点 处时，滑块 滑动到点 的位置，则 的长为多少 ？
【答案】(1)
(2)
【难度】0.85
【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）在 中，运用勾股定理列式代入数值进行计算，即可作答．
（2）先理解题意得 ， ，再算出 ，再结
合线段的和差关系列式计算，即可作答．
【详解】（1）解： ，
∴在 中， ；
（2）解：在 中， ， ，
，
．
10．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，“广州湾号”货轮和“小蛮腰号”科考船从某港口P同时出
发执行任务，已知“广州湾号”以每小时12海里的速度沿北偏东 方向航行，“小蛮腰号”以每小时5
海里的速度沿另一方向航行，2小时后两船分别位于点R，Q处，此时两船相距26海里．求：
(1)两船分别航行了多少海里？
(2)“小蛮腰号”的航行方向．
【答案】(1)“广州湾号”航行路程为 海里；“小蛮腰号”航行路程为 海里；
(2)“小蛮腰号”的航行方向是南偏东 ．
【难度】0.65
【分析】此题主要考查了勾股定理的逆定理的应用，方向角，根据题意得出 是直角三角形是解题关
键．
（1）根据题意直接求解即可；
（2）利用勾股定理的逆定理得出 是直角三角形，进而得出答案．
【详解】（1）解： “广州湾号”以每小时12海里的速度沿北偏东 方向航行，“小蛮腰号”以每小时
5海里的速度沿另一∵方向航行，航行时间为2小时，
“广州湾号”航行路程为： 海里；“小蛮腰号”航行路程为 海里；
∴
（2）由（1）得 （海里）， （海里），
两船相距26海里，
∵
（海里），
∴
， ，
∵
故 ，
是直角三角形，
，
，
∴ “小蛮腰号”的航行方向是南偏东 ．
11．（24-25七年级上·山东烟台·期中）课本原题呈现：一架云梯长25米，如图斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米．
（1）这个梯子的顶端距底而有多高?
（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向也滑动了4米吗?
解决问题：
(1)请直接写出原题中（1）问这个梯子的顶端距底面_______米；（2）问中，梯子的底部_______在水平方
向也滑动4米（填会或不会）；
(2)在原题中，若保持梯子底端不动，将梯子再次斜靠到原题当中的墙体的对面，且与之平行的另一面墙上，
梯子的顶端到地面的距离为15米，求这两面墙之间的距离．
(3)将原题中的条件“云梯长25米”改变为“云梯顶端距底面20米”，将“梯子底端离墙7米”改变为
“梯子的顶端下滑了5米，梯子的底部在水平方向也滑动了5米”，请求出此梯子的长度是多少米？
【答案】(1)24；不会
(2)27米
(3)25米
【难度】0.65
【分析】此题考查勾股定理的实际应用．
（1）直接利用勾股定理求得直角边 的长即可；首先求得 的长，然后利用勾股定理求得线段 的
长，最后求得线段 的长即可；
（2）由勾股定理得出 米，再由 即可得出答案；
（3）先由题意得 米，设 米，则 米，再根据 列
关于a的等式方程，解方程得出a，再由勾股定理得出 即可．
【详解】（1）解：由题意可得， ， 米， 米， 米，∴ ，
∴ ，
∴ ，
，
∴梯子底部不会在水平方向也滑动4米；
故答案为：24；不会；
（2）解：由题意可得， ， ， 米， 米， 米，
∴ ，
∴ 米，
∴ 米，
∴这两面墙之间的距离为27米；
（3）解：由题意得， 米， 米， 米，
∴ 米，
设 米，则 米，
又∵ ，
∴ ，即 ，
解得： ，
∴ 米，
∴梯子的长度是25米．
（二次根式学完之后）12.（24-25八年级下·河北廊坊·期中）在学习了勾股定理之后，珍珍想利用所学知识
测量如图所示的风筝的垂直高度 ，她进行了如下操作：
①测得水平距离 的长为 ；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线 的长为 ；
③牵线放风筝的珍珍的身高 为 ．请根据以上数据解答：
(1)求风筝的垂直高度 ．
(2)若要风筝沿 方向再上升 ，求珍珍应该再放出风筝线的长度．（结果保留根号）
【答案】(1) 米
(2)珍珍应该再放出 的风筝线
【难度】0.65
【分析】本题考查的是勾股定理的应用；
（1）先利用勾股定理求解 ，再进一步求解即可；
（2）如图，延长 至点M，连接 ．由题意得 ，求解 ，再进
一步求解即可.
【详解】（1）解：在 中，
由勾股定理得 ，
∴ ，
∴风筝的高度 为 ．
（2）解：如图，延长 至点M，连接 ．由题意得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴珍珍应该再放出 的风筝线．
（二次根式学完之后）13．（24-25八年级下·湖北咸宁·期中）有一艘游轮即将靠岸，当游轮到达 点后熄
灭发动机，在离水面高度为 的岸上，工作人员用绳子牵引靠岸，开始时绳子 的长为 ．（假设绳
子是直的，结果保留根号）
(1)若工作人员以 的速度收绳． 后船移动到点 的位置，问此时游轮距离岸边还有多少米？
(2)若游轮熄灭发动机后保持 的速度匀速靠岸， 后船移动到 点，工作人员手中的绳子被收上来
多少米？
【答案】(1)此时游轮距离岸边还有 米
(2)工作人员手中的绳子被收上来 米
【难度】0.85
【分析】本题考查勾股定理解应用题，读懂题意，构造直角三角形求解是解决问题的关键．
（1）根据题意，求出绳子缩短的长度，进而在 中，由勾股定理求解即可得到答案；（2）根据题意，先求出 ，在 中和 中由勾股定理求出线段长，再由
即可得到答案
【详解】（1）解：如图所示：
则 ， ，
若工作人员以 的速度收绳， 后船移动到点 的位置，则绳子缩短了 ，
，
在 中， ， ， ，则由勾股定理可得 ，
答：此时游轮距离岸边还有 米；
（2）解：若游轮熄灭发动机后保持 的速度匀速靠岸， 后船移动到 点，则 ，
在 中， ， ， ，则由勾股定理可得 ，
，
在 中， ， ， ，则由勾股定理可得 ，
工作人员手中的绳子被收上来 米．
题型三 判断决策式问题
14．（24-25八年级下·河南驻马店·期中）吊车在行驶过程中会产生较大的噪声．如图，有一台吊车沿公路
由点A向点B行驶，已知点C处为一所学校，点C与直线 上两点A，B的距离分别为 和
，吊车周围 以内为受噪声影响区域．(1)求 的度数．
(2)学校C会受噪声影响吗？为什么？
【答案】(1)
(2)学校C会受噪声影响，见解析
【难度】0.85
【分析】本题考查勾股定理逆定理的应用，熟练掌握勾股定理逆定理，是解题的关键：
（1）利用勾股定理逆定理进行求解即可；
（2）过点C作 于D，等积法求出 的长，进行判断即可。
【详解】（1）解： ，
，
是直角三角形，且 ；
（2）学校C会受噪声影响．
理由：如图，过点C作 于D，则：
，
，
∵吊车周围 以内为受噪声影响区域， ，
∴学校C会受噪声影响．
15．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，一根直立的旗杆高 ，因刮大风旗杆从点 处折断，顶部着地且离旗杆底部 的距离为 ．
(1)求旗杆在距地面多高处折断；
(2)在折断点 的下方 的点 处，有一明显裂痕，如果本次大风将旗杆从点 处吹断，那么行人在距
离旗杆底部5米处是否有被砸到的风险？
【答案】(1)
(2)行人在距离旗杆底部 处没有被砸伤的风险
【难度】0.65
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟知勾股定理是解题的关键．
（1）设 长为 ，则 长 ，由勾股定理可得 ，解方程即可得到答案；
（2）由题意可得 ，则 ．利用勾股定理求出 的长即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得， ， ，
设 长为 ，则 长 ，
在 中，由勾股定理可得，
∴ ，
解得 ，
∴ ；
答：旗杆距地面 处折断．
（2）解：如图，由题意可得 ，
∴ ．
在 中， ，
∵ ，
∴行人在距离旗杆底部 处没有被砸伤的风险．
16．（23-24八年级上·陕西西安·期中）某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长 的云梯 ，
如图，云梯斜靠在一栋楼的外墙面上，这时云梯底端距墙脚的距离 ， ．
(1)当消防员接到命令，按要求将云梯从顶端A下滑 到 位置上（云梯长度不改变），即 ，那
么它的底部B在水平方向滑动到 的距离 是多少？
(2)在演练中，高 的楼房窗口处有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员，经验表明，云梯靠墙
摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的 ，则云梯和消防员相对安全，在相对安全的前提下，
云梯的顶端能否到达 高的楼房窗口去救援被困人员？
【答案】(1)它的底部B在水平方向滑动到 的距离 是
(2)云梯的顶端能到达 高的楼房窗口去救援被困人员
【难度】0.65
【分析】本题考查了勾股定理的应用；
（1）在 中利用勾股定理求出 ，可得 的长度，然后在 中利用勾股定理求出 ，
进而可求 的长；（2）利用勾股定理求出能够到达墙面的最大高度，然后与 进行比较即可．
【详解】（1）解：∵在 中， ，
∴ ，
∵在 中， ，
∴ ，
即它的底部B在水平方向滑动到 的距离 是 ；
（2）解：若云梯底端离墙的距离刚好为云梯长度的 ，
则能够到达墙面的最大高度为： ，
∵ ，
∴云梯的顶端能到达 高的楼房窗口去救援被困人员．
17．（24-25八年级下·广西南宁·期中）五一即将来临，某家电商场准备开展促销活动，现采用移动车在公
路上进行广播宣传．已知一辆移动广播车在笔直的公路 上，沿东西方向由 向 行驶．小丽的家在公
路的一侧点 处，且点 与直线 上的两点 的距离分别为 ，又 ，
假如移动广播车周边250米以内能听到广播宣传．
(1)求 的度数．
(2)请你通过计算说明小丽在家能听到广播吗？
(3)若移动广播车在笔直的公路 上以10米/秒的速度行驶，当移动广播车行驶到点 时，小丽在家刚好
听到广播，当移动广播车行驶到点 时，小网在家刚好不再听到广播，即 米，问小丽在家
听到广播宣传的时长是多长？
【答案】(1)
(2)小丽在家能听到广播，计算见解析
(3)小丽在家听到广播宣传的时间为14秒
【难度】0.65【分析】本题考查勾股定理的逆定理，勾股定理的应用；
（1）利用勾股定理的逆定理判断 的形状；
（2）过点 作 ，根据等积法求出 的长，然后和250米作比较解答即可；
（3）作 ，根据勾股定理求出 长，再根据时间 路程 时间解答即可．
【详解】（1）解： ，
又 ，
，
是直角三角形，即 ．
（2）解：过点 作 ，垂足为D，
直角三角形，
，
，
解得 ，
小丽在家能听到广播；
（3）解：依题意， ，
根据勾股定理， ，
移动广播车的速度为10米／秒，
秒
答：小丽在家听到广播宣传的时间为14秒．
18．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图， ， ， 是我国南部的三个岛屿，已知 ， 两岛的距离为 ， ， 两岛的距离为 ， ， 两岛的距离为 ．2024年9月，超强台风“摩
羯”登陆岛屿 ，台风中心由 向 移动，风力影响半径为 ．
(1)请判断岛屿 是否会受到台风的影响？并说明理由
(2)若台风影响岛屿 的时长是 小时，求台风中心的移动速度．
【答案】(1)岛屿 是否会受到台风的影响；理由见解析
(2)台风中心的移动速度为 ．
【难度】0.65
【分析】本题考查勾股定理的应用，理解题意，通过作 构造直角三角形是解题的关键．
（1）过点C作 于点D，利用勾股定理得 可求出 和 ，由 ，
可知会受影响；
（2）以点C为圆心， 长为半径画弧与 交于点E，F，利用勾股定理求出 ，进而得到 的长，
再除以台风影响岛屿 的时长，即可求出台风移动的速度．
【详解】（1）解：岛屿 是否会受到台风的影响；理由如下，
过点C作 于点D，
由勾股定理得： ，
∴ ，
解得 ，∴ ， ，
∵ ，
∴岛屿 是否会受到台风的影响；
（2）解：以点C为圆心， 长为半径画弧与 交于点E，F，
则 ，在 中，
由勾股定理，得 ，
，
，
答：台风中心的移动速度为 ．
19．（23-24八年级上·陕西西安·期中）2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影
响，据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径 （即以台风中心为圆心，
为半径的圆形区域都会受台风影响），如图，线段 是台风中心从C市向西北方向移动到B市的大致路
线，A是某个大型农场，且 ．若A，C之间相距 ，A，B之间相距 ．
(1)判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由．
(2)若台风中心的移动速度为 ，则台风影响该农场持续时间有多长？
【答案】(1)会受到台风的影响，理由见解析；
(2)
【难度】0.65
【分析】（1）作 ， 中，根据勾股定理，求出 的长，进而求得 的长，即可求解，
（2）假设台风在线段 上移动时，会对农场A造成影响，所以 ，根据勾股定理求出
的长，即可，
此题考查了勾股定理的应用，应用勾股定理解决实际问题，正确理解题意确定直角三角形利用勾股定理进
行计算是解题的关键．
【详解】（1）解：会受到台风的影响.
理由：如图，过点A作 ，垂足为D，在 中， ， ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
答：农场A会受到台风的影响，
（2）解：如图，
假设台风在线段 上移动时，会对农场A造成影响，所以 ， ，由勾股定理，
可得
∵台风的速度是 ，
∴受台风影响的时间为 ，
答：台风影响该农场持续时间为 ．
（二次根式学完之后）20．（24-25八年级下·重庆巴南·阶段练习）钓鱼岛及其附属岛屿是中国的固有领土，
我国对钓鱼岛的巡航已经常态化．如图，甲、乙两艘海警船同时从位于南北方向的海岸线上某港口 出发，
各自沿一固定方向对钓鱼岛巡航，若甲船每小时航行6海里，乙船每小时航行8海里．(1)若甲乙两船离开港口一小时后分别位于 、 处（图1），且相距10海里，如果知道甲船沿北偏东
方向航行，你知道乙船沿哪个方向航行吗？请说明理由．
(2)若甲船沿北偏东 方向航行（图2），从港口 离开经过两个小时后位于点 处，此时船上有名乘客需
要以最快的速度回到 海岸线上，若他从 处出发，乘坐的快艇的速度是每小时45海里，他能在14分钟
内回到海岸线吗？请说明理由．（参考数据： ）
【答案】(1)乙船沿南偏东 方向航行，理由见解析
(2)他能在14分钟内到海岸线，理由见解析
【难度】0.65
【分析】此题考查勾股定理的应用，关键是根据勾股定理的逆定理得出 是直角三角形进行解答．
（1）根据勾股定理的逆定理得出 是直角三角形，进而解答即可；
（2）作 于D，根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得 的长，进一步计算得出答
案．
【详解】（1）解：由题意可得： （海里），
（海里），
在 中，
∵ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，且 ，
∴ ，
∴乙船沿南偏东 方向航行；
（2）过点C作 于D，由题知 ，则 （海里），
∴ 海里，
∴ （海里），
（海里），
∴他能在14分钟内到海岸线．
题型四 折叠问题
21．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在 中， ， ， ，点 为 边上
一点，把 沿 折叠，使 落在直线 上，则重叠部分（阴影部分）的面积是 ．
【答案】
【难度】0.65
【分析】本题考查了勾股定理及逆定理，勾股定理与折叠，先由 ，得出
为直角三角形，且 ，设 ，由折叠的性质，可得 ， ，
然后通过勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵在 中， ， ， ，
∴ ，
∴ 为直角三角形，且 ，
设 ，由折叠的性质，可得 ， ，∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴重叠部分（阴影部分）的面积为 ，
故答案为： ．
22．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在矩形纸片 中， ， ，将矩形纸片折叠，
使点B与点D重合，点A折叠至点E处，则 的长为 ．
【答案】
【难度】0.65
【分析】本题考查矩形中的折叠问题，解题的关键是掌握矩形的性质和翻折的性质；
设 ，根据翻折性质和勾股定理可得 ，即可解得答案，
【详解】∵在矩形纸片 中， ， ，
设 ，则 ，
将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，点A折叠至点E处，
∴ ， ， ，
在 中
，
即
解得 ．
故答案为∶ ．
23．（24-25九年级上·河南开封·期末）如图，在矩形纸片 中， ， ，点 在 上，将
沿 折叠，点 恰落在边 上的点 处；点 在 上，将 沿 折叠，点 恰落在线段
上的点 处，① ；② ；③ ；④ ．则下列结论正确的有（ ）
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③
【答案】B
【难度】0.65
【分析】根据矩形的性质得出 ，根据折叠得出
， ，根据勾股定理求出 ，
再逐个判断即可．
【详解】解：根据矩形的性质得出
由折叠的性质得， ， ，
∴ ，故①正确；
由折叠的性质得， ， ，
∴
在 中， ，设 ，则 ，
在 中， ，
解得 ，
∴ ，
∴ ，
同理在 中， ， ，
由 得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 与 不相似，故②不正确；∵ ， ，
∴ ，即 ，故③正确；
∵ ， ， ，
∴ ，故④正确．
正确的有①③④．
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理，折叠的性质，矩形的性质、相似三角形的判定等知识点，能灵活运用定理
进行推理和计算是解此题的关键．
1．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）【问题背景】
著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都
为c，大正方形的面积可以表示为 ，也可以表示为 ，由此推导出重要的勾股定理：如果
直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则 ．
【探索求证】
（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”， 与 按如图所示位置放置，连接
，其中 ，请你利用图②推导勾股定理；
【问题解决】
（2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中 ，由于
某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在
同一条直线上），并新修一条路 ，且 ．测得 千米， 千米，求新路 比原路 少多少千米？
【延伸扩展】
（3）在第（2）向中若 时， ， ， ， ，设 ，求 的值．
【答案】（1）见解析；（2）新路 比原路 少 5千米；（3）
【难度】0.65
【分析】此题主要考查了勾股定理的证明与应用：
（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等
列出关系式，化简即可得证；
（2）设 千米，则 千米，根据勾股定理列方程，解得即可得到结果；
（3）在 和 中，由勾股定理得求出 ，列出方程求解即可得到
结果．
【详解】解：（1） ，
，
∴ ，
即 ；
（2）设 千米，则 千米，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
解得 ，
即 千米，
∴ （千米），
∴新路 比原路 少 5千米；
（3）设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得 ，在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
即 ，
解得： ．
（二次根式学完之后）2．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）同学们，我们已经学过勾股定理，那是
直角三角形特有的哦！
(1)直接填空：如图①，若 ，则 ；若 ，则直角三角形的面积是 ；
(2)观察图②，其中两个相同的直角三角形边 在一条直线上，请利用几何图形的之间的面积关系，
试说明 ；
(3)如图③所示，折叠长方形 的一边 ，使点 落在 边的点 处，已知
，求 的长．
【答案】(1) ， ；
(2)见解析；
(3)
【难度】0.65
【分析】本题主要勾股定理的证明，几何图形面积的计算，矩形与折叠中勾股定理的运用，
（1）运用勾股定理可得 的值，根据 ，代入求值即可；
（2）图②的面积 ，又图②的面积
，由此即可求解；
（3）根据折叠，矩形的性质，在 中，运用勾股定理 ，可得 ，设 ，
则 ，在 中，运用勾股定理得 即可求解．【详解】（1）解：根据勾股定理得， ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ， ；
（2）证明：图②的面积 ，
又图②的面积 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：由折叠的性质得： ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
在 中， ，即 ，
解得： ，
∵ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
在 中， ，
即 ，
解得： ，
∴ ．
（二次根式学完之后）3．（24-25九年级下·重庆·阶段练习）某市规划修建铁路 ，并将火车始发站定于
B处．已知始发站B位于小区A的东北方向，位于商场C 的北偏西 方向，且 距离为 米，小区A
位于商场C的南偏西 方向．火车在行驶的过程中，以火车头为圆心，半径为 米的范围内都会受到噪音干扰．火车从始发站B出发，以 米 秒的速度沿铁路 低速行驶．
(1)请问A小区是否会受到噪音干扰？若受到干扰，干扰的时间有多长？(结果保留整数，参考数据：
(2)火车从始发站出发时，小明开车从小区沿正南方向以10米／秒的速度出发，小明出发多久后会受到噪
音影响？
【答案】(1)A小区会受到噪音干扰，干扰的时间有10秒
(2)小明出发4秒后会受到噪音影响
【难度】0.65
【分析】（1）过 作 于 ，过点B作 于H，根据题意得 ， ，
根据含30度和45度直角三角形的性质求出 米，得到 ，于是得到
小区会受到噪音干扰，设火车到点 小区开始受到噪音干扰，到点 小区受到噪音干扰结束，连接
， ，根据勾股定理即可得到结论．
（2）假设当小明开始受影响时行到E处，此时行到F处，则此时 米，
又设小明出发t秒后会受到噪音影响，则 ， ，则 ，
，利用勾股定理得到，从而得到得到关于t 的方程，即可得
解．
【详解】（1）解：过 作 于 ，过点B作 于H，
由题意得， ， ，
，
， 米，(米 ，
∴ 米，
，
，
小区会受到噪音干扰，
设火车到点 小区开始受到噪音干扰，到点 小区受到噪音干扰结束，
连接 ， ，
则 米，
米，
(米 ，
(米 ，
干扰的时间 (秒 ，
答：A小区会受到噪音干扰，干扰的时间有10秒．
（2）假设当小明开始受影响时行到E处，火车行到F处，则此时 米，
又设小明出发t秒后会受到噪音影响，则 ，
又∵∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
解得： ，
答：小明出发4秒后会受到噪音影响．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确地找出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
