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1.3 同底数幂的除法
1、同底数幂的除法法则：am ÷an =am−n（a≠0,m,n都是正整数，且m≻n)
同底数幂相除，底数不变，指数相减。如：(ab) 4 ÷(ab)=(ab) 3 =a3b3
2、零指数和负指数；
a0 =1，即任何不等于零的数的零次方等于1。
1
a−p
=
ap （a≠0,p是正整数），即一个不等于零的数的−p次方等于这个数的p次方的
1 1
2−3
=( )
3
=
倒数。如： 2 8
题型一：同底数幂的除法
1．下列计算正确的有（ ）
① ； ② ；
③ ； ④
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．计算（－2a3）2÷a2的结果是（ ）
A．4a3 B．4a4 C．－2a4 D．－2a3
3．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．题型二：同底数幂的除法的逆用
4．已知xa＝4，xb＝5，则x3a﹣2b等于（ ）
A． B． C． D．
5．若 ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
6．若 ，则 的值为（ ）
A．4 B．3 C． D．
题型三：幂的混合运算
7．计算下列各题：
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) ；
(5) ．
8．计算：
(1) ； (2)
(3) ； (4)先化简，再求值： ，其中 ．
9．（1）已知 ， ，求 的值；
（2）已知 ，求 的值.一、单选题
10．下列运算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．计算：(﹣0.125)2021×22020×42020＝（ ）
A． B．﹣8 C．﹣1 D．1
13．已知3m=4， ，则2021n的值为（ ）
A． B．－ C．2021 D．－2021
14．若a＝﹣3﹣2，b＝（﹣ ）﹣2，c＝（﹣0.3）0，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．a＜c＜b
15．花粉的质量很小，一粒某种植物花粉的质量约为0.000036mg，那么0.000036mg用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
16．下列运算错误的是（ ）
A． B． C． D．
17．若 ， ，则 的值为（ ）．
A． B． C． D．
18．已知 ， ，求 的值．19．计算：
（1） ； （2） ； （3） ；
（4） ； （5） ．
一：选择题
20．下列各式计算正确的是（ ）
A．－3xy·（－2xy）2＝12x3y3 B．4x2·（－2x3）2＝16x12
C．（－a2）·a3＝a6 D．2a2b·（－ab）2＝2a4b3
21．下列运算正确的是（ ）
A．3x2+4x2＝7x4 B．2x3•3x3＝6x3
C．a÷a﹣2＝a3 D．（﹣ a2b）3＝﹣ a6b3
22．若am＝6，an＝4，则a2m﹣n的值是（ ）
A． B．2 C．9 D．
23．小马虎在下面的计算中只做对了一道题，他做对的题目是（ ）
A． B． C． D．
24．下列运算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
25．截至4月2日，全球累计确诊新冠肺炎病例约1.3亿例．我们切不可掉以轻心，要做好日常防护．科学研究表
明，导致新冠肺炎的新冠病毒比细菌小很多，平均直径仅为0.000000098m．这个数用科学记数法表示为（ ）
A．0.98×10﹣7 B．9.8×10﹣8 C．98×10﹣8 D．9.8×10﹣9
26．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．二、填空题
27． ________．
28．若8x=4x+2，则x＝______．已知10x＝2，10y＝5，则10x-y＝_____．
29．已知 ， ，则 的值为__．
30．若a＝(π﹣2021)0，b＝ ，c＝|﹣3|，则a，b，c的大小关系为______．（用“＜”号连接）
31．已知10m＝2，10n＝3，则103m﹣2n＝______．
32．已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系为_________．
33．计算 _______．
34．如果3a＝5，3b＝10，那么9a﹣b的值为_____．
三、解答题(共0分)
35．(1)已知4m＝a，8n＝b，用含a，b的式子表示下列代数式：
①求：22m+3n的值
②求：24m﹣6n的值
(2)已知2×8x×16＝223，求x的值．
36．概念学习规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如 ，
等．类比有理数的乘方，我们把 记作 ，读作“2的圈3次方”，
记作 ，读作“ 的圈4次方”，一般地，把 （n个a，a≠0）记作 ，
读作“a的圈n次方”．
（1）直接写出计算结果： ， ；
（2）试一试，将下列运算结果直接写成幂的形式： ； ；
；
（3）想一想：将一个非零有理数a的圈 次方写成幂的形式为 ；（4）算一算： ．
37．若a*b＝c，则ac＝b．例如：若2*8＝3，则23＝8
（1）根据上述规定，若5* ＝x，则x＝ ．
（2）记5*2＝a，5*6＝b，5*18＝c，求a，b，c之间的数量关系．
38．计算：
（1）34040×（﹣ ）2019﹣（3﹣π）0+（﹣ ）﹣1．
（2）（﹣3a3）2+2a2•a4﹣a8÷a2．
39．计算：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
40．若 （ 且 ，m、n为整数），则 ，利用这一结论解决下列问题：
（1）若 ，则 __________；
（2）已知 ，求x的值．1．B
【解析】
【分析】
根据同底数幂的除法法则、积的乘方法则逐个判断即可得．
【详解】
解：① ，原计算错误；
② ，原计算正确；
③ ，原计算错误；
④ ，原计算错误；
综上，计算正确的有1个，
故选：B．
【点睛】
本题考查了同底数幂的除法、积的乘方，熟练掌握运算法则是解题关键．
2．B
【解析】
【分析】
，代入计算即可得到正确答案．
【详解】
解：原式=
=
=
故选：B
【点睛】
本题考查积的乘方原则，同底数幂的除法原则，根据相关原则计算是关键．
3．A
【解析】
【分析】利用同底数幂的除法和乘法法则计算出正确结果即可判断．
【详解】
解：A、 ，正确，符合题意；
B、 ，错误，不符合题意；
C、 ，错误，不符合题意；
D、 ，错误，不符合题意；
故选A．
【点睛】
本题考查了同底数幂的除法和乘法，熟练掌握同底数幂的除法和乘法法则是解题的关键．
4．A
【解析】
【分析】
利用同底数幂的除法的逆运用和幂的乘方的性质的逆用计算即可．
【详解】
解：∵xa＝4，xb＝5，
∴x3a-2b=（xa）3÷（xb）2，
=64÷25，
= ．
故选：A．
【点睛】
本题考查同底数幂的除法，幂的乘方的性质，逆用性质，把原式转化为（xa）3÷（xb）2是解决本题的关键．
5．A
【解析】
【分析】
将所求式子利用同底数幂的除法法则及幂的乘方运算法则变形，把已知的等式代入计算，即可求出值．
【详解】
解：∵2a=3，2b=5，
∴23a-2b=（2a）3÷（2b）2=27÷25= ，
故选：A．
【点睛】
此题考查了同底数幂的乘法、除法运算，合并同类项，以及幂的乘方运算，熟练掌握法则是解本题的关键．6．D
【解析】
【分析】
逆用同底数幂的乘除法法则进行变形，然后再逆用幂的乘方法则变形，最后将 代入计算即可．
【详解】
解：∵ ，
∴
=
=
=
=
故选D．
【点睛】
本题主要考查的是同底数幂的乘除法和幂的乘方法则的应用，熟练掌握相关法则是解题的关键．
7．(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【解析】
【分析】
（1）直接利用多项式除以单项式即可求解；
（2）利用平方差公式进行求解；
（3）利用积的乘方，同底数幂的乘法或除法就算即可；
（4）利用平方差公式及完全平方差公式求解；
（5）利用零指数幂，有理数的混合运算计算即可．
(1)
解： ，；
(2)
解： ，
，
；
(3)
解： ，
，
，
；
(4)
解： ，
，
；
(5)
解： ，
，
，
．
【点睛】
本题考查了多项式除以多项式、平方差公式、积的乘方，同底数幂的乘法或除法、零指数幂，有理数的混合运算，
解题的关键是掌握相应的运算法则．
8．(1)-1
(2)
(3)
(4) ，－25．
【解析】【分析】
（1）先根据零指数幂，负整数指数幂计算，再合并即可求解；
（2）先算幂的乘方，再算乘除，最后计算加减即可求解；
（3）把 作为一个整体，从左往右计算，即可求解；
（4）先算括号内的，再计算除法，最后再代入求值，即可求解．
(1)
解：原式
；
(2)
原式
；
(3)
原式
．
(4)
原式=
=
= ，
当 =－5时，原式=－25．
【点睛】
本题主要考查了幂的混合运算，零指数幂，负整数指数幂，熟练掌握幂的运算法则，零指数幂，负整数指数幂法
则是解题的关键．
9．（1）500；（2）
【解析】
【分析】
运用幂的乘法运算，幂的乘方运算，幂的除法运算和逆运算，负指数幂进行计算．
【详解】
解：(1)(2)
【点睛】
本题考查了幂的乘法运算 ，幂的乘方运算 ，幂的除法运算 ，负指数幂
．
10．A
【解析】
【分析】
根据积的乘方，同底数幂的乘除运算进行求解即可．
【详解】
解：A中 ，正确，符合题意 ；
B中 ，错误，不符合题意；
C中 ，错误，不符合题意；
D中 ，错误，不符合题意；
故选A．
【点睛】
本题考查了积的乘方，同底数幂的乘除．解题的关键在于正确的计算．
11．C
【解析】
【分析】
利用同底数幂的乘法的法则，同底数幂的除法的法则，幂的乘方的法则，合并同类项法则对各项进行运算即可．【详解】
解：A、 ，故A不符合题意；
B、 ，故B不符合题意；
C、 ，故C符合题意；
D、 ，故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题主要考幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项法则，掌握相应的运算法则是解题的关键．
12．A
【解析】
【分析】
先将底数都转化为2，再根据同底数幂运算法则进行计算即可．
【详解】
解：原式
＝
＝
＝
故选：A．
【点睛】
本题考查有理数的乘方及混合运算，要熟记同底数幂的乘法法则： （m，n都是正数）；幂的乘方法
则： （m，n都是正数）； （ a≠0，p是正整数）．
13．A
【解析】
【分析】
根据同底数幂的乘法的逆运算，可得 ，再根据同底数幂之间的关系即可求得．
【详解】解：∵3m=4，
∴ ，
∴ ，
∴4n=-4，解得n=-1，
∴
故选：A．
【点睛】
本题考查了同底数幂的乘法的逆运算，同底数幂之间的关系，负整数指数幂，掌握逆运算的变式是解决本题的关
键．
14．D
【解析】
【分析】
根据负整数指数幂，零次幂进行计算进而判断结果的大小即可
【详解】
解：∵a＝﹣3﹣2＝﹣ ，b＝（﹣ ）﹣2＝9，c＝（﹣0.3）0＝1，
∴a＜c＜b．
故选：D．
【点睛】
本题考查了负整数指数幂，零次幂，有理数的大小比较，掌握负整数指数幂，零次幂的运算法则是解题的关键．
15．A
【解析】
【分析】
绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用
的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】
解：0.000036mg＝3.6×10﹣5 mg．
故选：A．
【点睛】
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的
数字前面的0的个数所决定．
16．A
【解析】【分析】
利用负整数指数幂的性质和零次幂的性质、乘方的意义进行计算．
【详解】
解：A、（−0.1）−1＝−10，故原题计算错误；
B、 ，故原题计算正确；
C、 ，故原题计算正确；
D、−12＝−1，故原题计算正确；
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了负整数指数幂，关键是掌握负整数指数幂：a−p＝ （a≠0，p为正整数），零指数幂：a0＝1
（a≠0）．
17．A
【解析】
【分析】
将 变形为 ，建立与已知条件联系，代入计算即可．
【详解】
解：∵ ，
∵ ， ，
∴ ，
故选：A
【点睛】
本题考查了同底数幂的除法与幂的乘方的逆用，灵活运用运算法则是解题的关键．
18． ．
【解析】
【分析】
根据同底数幂的乘法与除法逆运用，然后幂的乘方逆运算代入求值即可．
【详解】
解： ，= ，
= ，
∵ ， ，
∴原式 ，
= ，
．
【点睛】
本题考查了同底数幂的乘法，与除法，幂的乘方，代数式求值，熟悉相关运算法则是解题的关键．
19．（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ．
【解析】
【分析】
（1）先计算同底数幂的除法，然后计算积的乘方即可；
（2）利用同底数幂的除法计算法则求解即可；
（3）先得到 ，然后利用同底数幂的除法计算法则求解即可；
（4）先计算同底数幂的除法，然后计算积的乘方即可；
（5）直接根据同底数幂的乘除法计算法则求解即可．
【详解】
解：（1）
；
（2）
；
（3）；
（4）
；
（5）
．
【点睛】
本题主要考查了同底数幂的乘除法，积的乘方，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则．
20．D
【解析】
【分析】
根据幂的运算法则逐一计算，可得结果．
【详解】
解：A、 ，故选项错误；
B、 ，故选项错误；
C、 ，故选项错误；
D、 ，故选项正确；
故选D．
【点睛】
本题考查了幂的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．21．C
【解析】
【分析】
根据整式运算法则把原式各项计算得到结果，即可作出判断．
【详解】
解：A、原式＝7x2，不符合题意；
B、原式＝6x6，不符合题意；
C、原式＝a1+2＝a3，符合题意；
D、原式＝﹣ a6b3，不符合题意，
故选：C．
【点睛】
本题考查了整式的运算，解题关键是明确整式运算法则，准确进行计算．
22．C
【解析】
【分析】
根据 求解即可.
【详解】
解：∵ ， ，
∴ ，
故选C.
【点睛】
本题主要考查了幂的乘方的逆用，同底数幂的除法的逆用，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
23．B
【解析】
【分析】
根据同底数幂的乘除法法则幂的乘方法则，积的乘方法则，逐一判断选项，即可．
【详解】
解：A. ，故该选项错误；
B. ，故该选项正确；
C. ，故该选项错误；D. ，故该选项错误．
故选B．
【点睛】
本题主要考查整式的运算，熟练掌握同底数幂的乘除法法则幂的乘方法则，积的乘方法则，是解题的关键．
24．B
【解析】
【分析】
根据同底数幂的乘除法，积的乘方，合并同类项的计算法则求解即可.
【详解】
解：A、 ，故错误；
B、 ，故正确；
C、 ， 故错误；
D、 ，故错误；
故选B.
【点睛】
此题主要考查同底数幂的乘除法，积的乘方，合并同类项，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
25．B
【解析】
【分析】
根据科学记数法的一般形式a×10n（0＜∣a∣≤10，n为整数），确定a和n值即可．
【详解】
解：0.000000098m＝9.8×10﹣8m．
故选B．
【点睛】
本题考查科学记数法，熟记科学记数法的一般形式，正确确定a和n值是解答的关键．
26．A
【解析】
【分析】
根据同底数幂的乘除法，积的乘方，合并同类项的计算法则进行计算求解即可.
【详解】
解：A、 ，故此选项正确；B、 ，故此选择错误；
C、 ，故此选项错误；
D、 ，故此选项错误.
故选A.
【点睛】
本题主要考查了同底数幂的乘除法，积的乘方，合并同类项的计算法则，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识
进行求解.
27． ##0.25
【解析】
【分析】
直接利用零指数次幂和负整数指数幂计算即可．
【详解】
解： ，
故答案是： ．
【点睛】
本题考查了零指数次幂和负整数指数次幂，解题的关键是掌握相应的运算法则．
28． 4 ##0.4
【解析】
【分析】
（1）先都化成以2为底数，再根据幂的乘方计算即可；
（2）根据同底数幂的除法逆运算计算即可．
【详解】
∵
∴
∴
解得
∵10x＝2，10y＝5，
∴故答案为：4， ．
【点睛】
本题主要考查了同底数幂的除法、幂的乘方，熟记幂的运算性质是解答本题的关键．
29．
【解析】
【分析】
将已知等式进行变形，求出 的值，再代入所求代数式中计算即可
【详解】
解： ，
．
，
．
．
．
．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查同底数幂的除法和负整数指数幂，综合应用这些知识点是解题关键．
30．a＜b＜c
【解析】
【分析】
首先根据零指数幂，负整数指数幂的运算法则，去绝对值符号法则进行运算，即可比较出大小．
【详解】
解：∵a＝1， ，c＝3，1＜2＜3，
∴a＜b＜c，
故答案为：a＜b＜c．
【点睛】
本题考查了零指数幂，负整数指数幂的运算法则，去绝对值符号法则，有理数大小的比较，熟练掌握和运用各法
则是解决本题的关键．31．
【解析】
【分析】
选逆用同底数幂除法，将原式变形为103m÷102n，再逆用幂的乘方，变形为（10m）3÷（10n）2，然后把已知代入
计算即可．
【详解】
解：103m﹣2n=103m÷102n
=（10m）3÷（10n）2
=23÷32
= ．
故答案是： ．
【点睛】
本题考查同底数幂除法和幂的乘方，逆用同底数幂除法和幂的乘方法则将式子恒等变形是解题的关键.
32． ##
【解析】
【分析】
分别求出各数的值，再比较大小即可．
【详解】
解：∵ ， ， ；
∵ ，
∴ ；
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了负指数、0指数和乘方运算，解题关键是熟记负指数、0指数和乘方运算的法则，准确进行计算．
33．
【解析】
【分析】
根据同底数幂的乘法，积的乘方的逆运算以及零指数幂求解即可．
【详解】解：
故答案为：
【点睛】
此题考查了同底数幂的乘法，积的乘方的逆运算以及零指数幂，掌握它们的运算规则是解题的关键．
34．
【解析】
【分析】
利用同底数幂的除法法则进行计算即可．
【详解】
解：∵3a＝5，3b＝10，
∴9a﹣b＝（3a﹣b）2＝（3a÷3b）2＝（ ）2＝
故答案为： ．
【点睛】
此题考查了同底数幂除法的逆运算，熟练掌握运算法则是解题的关键
35．（1）①ab ，② （2）x =6
【解析】
【分析】
（1）①根据题意分别将4m，8n化为底数为2的形式，然后代入求解；②根据题意分别将4m，8n化为底数为2的
形式，然后代入求解
（2）由题意将8x化为23x，将16化为24，列出方程求出x的值．
【详解】
解：（1）∵4m=a，8n=b，
∴22m=a，23n=b，
①22m+3n=22m•23n=ab；
②24m-6n=24m÷26n=（22m）2÷（23n）2= ；
（2）∵2×8x×16=223，
∴2×（23）x×24=223，
∴2×23x×24=223，∴1+3x+4=23，
解得：x=6．
【点睛】
本题考查同底数幂的除法以及幂的乘方和积的乘方，熟练掌握相关的运算法则是解答本题的关键．
36．（1） ， ；（2） ， ， ；（3） ；（4） ．
【解析】
【分析】
（1）根据“a的圈n次方”的意义计算即可求解；
（2）根据“a的圈n次方”的意义化为乘积的形式，再写成乘方的形式即可求解；
（3）根据（2）的计算结果得出规律即可求解；
（4）根据（3）的规律进行化简，再进行计算．
【详解】
解：（1） ， ；
故答案为： ， ；
（2） ；
；
=
；
故答案为： ， ， ；
（3） ；
故答案为： ；
（4）．
【点睛】
本题为新概念问题，考查了乘方运算，幂的意义等知识，读懂题意，理解“a的圈n次方”的意义是解题关键．
37．（1）﹣3；（2）2b＝a+c．
【解析】
【分析】
（1）根据定义和负整数指数幂公式即可解答；
（2）根据定义得5a＝2，5b＝6，5c＝18，发现62＝2×18，从而得到a，b，c之间的关系．
【详解】
解：（1）根据题意得： ，
∴x＝﹣3．
故答案为：﹣3；
（2）根据题意得：5a＝2，5b＝6，5c＝18，
∴52b＝（5b）2＝62＝36，
5a×5c＝2×18＝36，
∴52b＝5a×5c＝5a+c，
∴2b＝a+c．
【点睛】
本题考查了负整数指数幂，同底数幂的乘法，幂的乘方，会逆用幂的运算法则是解题的关键．
38．（1）﹣13；（2）10a6．
【解析】
【分析】
（1）根据实数运算法则，先算乘方，再算乘除，最后算加减；
（2）根据幂的运算法则先算幂的运算，再合并同类项．
【详解】
（1）34040×（﹣ ）2019﹣（3﹣ ）0+（﹣ ）﹣1
π
＝92020×（﹣ ）2019﹣1﹣3
＝9×[9×（﹣ ）]2019﹣1﹣3＝9×（﹣1）﹣1﹣3
＝﹣9﹣1﹣3
＝﹣13；
（2）（﹣3a3）2+2a2•a4﹣a8÷a2
＝9a6+2a6﹣a6
＝10a6．
【点睛】
考核知识点：0指数幂,负指数幂运算．掌握幂的运算法则是关键．
39．（1）0；（2） ；（3） ；（4）
【解析】
【分析】
（1）先根据同底数幂的乘法和幂的乘方法则计算，再合并；
（2）先根据幂的乘方法则计算，再利用同底数幂的乘除法则计算；
（3）先提取负号，再利用同底数幂的乘除法则计算；
（4）先根据有理数的乘方，负整数指数幂，零指数幂进行计算，再求出答案即可．
【详解】
解：（1）
=
=0；
（2）
=
=
= ；
（3）
=
=
= ；（4）
=
=
【点睛】
本题考查了实数的混合运算，整式的混合运算，负整数指数幂，零指数幂等知识点，能灵活运用知识点进行计算
和化简是解此题的关键．
40．（1）3；（2）2
【解析】
【分析】
（1）根据幂的乘方运算法则得到3m=9，可得m值；
（2）根据幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘除法法则将已知等式变形，得到 ，解之即可．
【详解】
解：（1） ，
则有 ，
∴ ；
（2） ，
，
，
∴ ，
∴ ．
