文档内容
八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本部分共12小题，每小题3分，共36分，每小题只有一个选项正确）
1．（3分）已知a＞b，下列不等式中正确的是（ ）
A．a+3＜b+3 B．a﹣1＜b﹣1 C．﹣a＞﹣b D． ＞
2．（3分）下列各式从左到右，不是因式分解的是（ ）
A．x2+xy+1=x（x+y）+1 B．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）
C．x2﹣4xy+4y2=（x﹣2y）2 D．ma+mb+mc=m（a+b+c）
3．（3分）下列多项式中，不能运用平方差公式因式分解的是（ ）
A．﹣m2+4 B．﹣x2﹣y2 C．x2y2﹣1 D．（m﹣a）2﹣（m+a）2
4．（3分）将一把直尺与一把三角板如图那样放置，若∠1=35°，∠2的度数是（ ）
A．65° B．70° C．75° D．80°
5．（3分）已知点P（3﹣m，m﹣1）在第二象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是
（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）若a﹣b=2，ab=3，则ab2﹣a2b的值为（ ）
A．6B．5C．﹣6 D．﹣5
8．（3分）等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．16 B．18 C．20 D．16或20
9．（3分）如果关于x的不等式（a+1）x＞a+1的解集为x＜1，那么a的取值范围是（ ）
A．a＞0 B．a＜0 C．a＞﹣1 D．a＜﹣1
10．（3分）已知△ABC中，求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PB=PC，则下列确
定P点的方法正确的是（ ）
A．P是∠A与∠B两角平分线的交点
B．P是AC、AB两边上中垂线的交点
C．P是∠A的角平分线与BC的中垂线的交点
D．P是∠A的角平分线与AB的中垂线的交点
11．（3分）某校举行关于“保护环境”的知识竞赛，共有25道题，答对一题得10分，答错（或
不答）一题倒扣5分，小明参加本次竞赛，得分超过了100分，则他至少答对的题数是（ ）
第 1 页 共 15 页A．17 B．16 C．15 D．12
12．（3分）如图所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且
S△ABC =4cm2，则S阴影 等于（ ）
A．2cm2B．1cm2C． cm2D． cm2
二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）分解因式：4x2﹣8x+4= ．
14．（3分）如图，△ABC中，AD⊥BC，AE是∠BAC的平分线，∠B=60°，∠BAC=84°，则
∠DAE= ．
15．（3分）如图，已知一次函数y =kx +b 与一次函数y =kx +b 的图象相交于点（1，2），则不
1 1 1 2 2 2
等式kx +b ＜kx +b 的解集是 ．
1 1 2 2
16．（3分）如图，已知Rt△ABC中，AC⊥BC，∠B=30°，AB=10，过直角顶点C作CA ⊥AB，
1
垂足为A ，再过A 作A C ⊥BC，垂足为C ，过C 作C A ⊥AB，垂足为A ，再过A 作
1 1 1 1 1 1 1 1 2 2
A C ⊥BC，垂足为C ，…，这样一直做下去，得到了一组线段A C ，A C ，…，则A C = ；
2 2 2 1 1 2 2 1 1
则A C = ；则A C = ．
3 3 n n
第 2 页 共 15 页三、解答题（本题共7小题，共52分）
17．（12分）计算：
（1）解不等式：x﹣（2x﹣1）≤3
（2）解不等式组： ，并把它的解集在数轴上表示出来．
（3）因式分解：﹣4a2x+12ax﹣9x．
18．（5分）先因式分解，再求值：4x（m﹣1）﹣3x（m﹣1）2，其中x= ，m=3．
19．（6分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标
系后，Rt△OAB的B点在第三象限，到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，直角顶点A在y
轴，画出△OAB．
①点B的坐标是 ；
②把△OAB向上平移5个单位后得到对应的△O A B ，画出△O A B ，点B 的坐标是 ；
1 1 1 1 1 1 1
③把△OAB绕原点O按逆时针旋转90°，画出旋转后的△O A B ，点B 的坐标是 ．
2 2 2 2
20．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∠ABC=60°，AB的垂直平分线分别交
AB，AC于点D，E．
（1）求证：AE=2CE；
（2）求证：DE=EC．
21．（6分）某产品生产车间有工人10名．已知每名工人每天可生产甲种产品12个或乙种产
品10个，且每生产一个甲种产品可获利润100元，每生产一个乙种产品可获利润180元．在
这10名工人中，如果要使此车间每天所获利润不低于15600元，你认为至少要派多少名工人
去生产乙种产品才合适．
22．（8分）某校张老师寒假准备带领他们的“三好学生”外出旅游，甲、乙两家旅行社的服
务质量相同，且报价都是每人400元，经协商，甲旅行社表示：“如果带队张老师买一张全票，
则学生可半价”；乙旅行社表示：“所有游客全部享受6折优惠．”则：
第 3 页 共 15 页（1）设学生数为x（人），甲旅行社收费为y甲 （元），乙旅行社收费为y乙 （元），两家旅行社的
收费各是多少？
（2）哪家旅行社收费较为优惠？
23．（9分）如图，已知△ABC中AB=AC=12厘米，BC=9厘米，点D为AB的中点．
（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上
由C点向A点运动．
①若点P点Q的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
②若点P点Q的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全
等？
（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时
针沿△ABC三边运动，求经过多长时间，点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？
第 4 页 共 15 页八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本部分共12小题，每小题3分，共36分，每小题只有一个选项正确）
1．（3分）（2016春•城固县期末）已知a＞b，下列不等式中正确的是（ ）
A．a+3＜b+3 B．a﹣1＜b﹣1 C．﹣a＞﹣b D． ＞
【分析】根据不等式的性质1，可判断A，B；
根据不等式的性质3，可判断C；
根据不等式的性质2，可判断D．
【解答】解；A、不等式的两边都加上那个同一个数，不等号的方向不变，故A错误；
B、不等式的两边都减去同一个数，不等号的方向不变，故B错误；
C、不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，故C错误；
D、不等式的两边都除以同一个负数不等号的方向改，故D正确；
故选：D．
【点评】本题考查了不等式的性质，不等式的两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．
2．（3分）（2016春•深圳期中）下列各式从左到右，不是因式分解的是（ ）
A．x2+xy+1=x（x+y）+1 B．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）
C．x2﹣4xy+4y2=（x﹣2y）2 D．ma+mb+mc=m（a+b+c）
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫
做分解因式，根据定义即可判断．
【解答】解：A、结果不是乘积的形式，不是分解因式，选项正确；
B、是分解因式，选项错误；
C、是分解因式，选项错误；
D、是分解因式，选项错误．
故选A．
【点评】本题考查了因式分解的定义，因式分解是整式的变形，注意结果是整式的乘积的形式，
并且变形前后值不变．
3．（3分）（2014秋•腾冲县校级期末）下列多项式中，不能运用平方差公式因式分解的是（
）
A．﹣m2+4 B．﹣x2﹣y2 C．x2y2﹣1 D．（m﹣a）2﹣（m+a）2
【分析】能运用平方差公式因式分解的式子的特点是：两项平方项；符号相反．
【解答】解：A、﹣m2+4符合平方差公式因式分解的式子的特点，故A错误；
B、﹣x2﹣y2两项的符号相同，所以不能用平方差公式因式分解，故B正确；
C、x2y2﹣1符合平方差公式因式分解的式子的特点，故C错误；
D、（m﹣a）2﹣（m+a）2符合平方差公式因式分解的式子的特点，故D错误．
故选B．
【点评】本题考查能运用平方差公式因式分解的式子的特点，符号问题是最常见的容易出错
的问题．
第 5 页 共 15 页4．（3分）（2016春•深圳期中）将一把直尺与一把三角板如图那样放置，若∠1=35°，∠2的度
数是（ ）
A．65° B．70° C．75° D．80°
【分析】先根据平行线的性质求出∠3的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论．
【解答】解：∵直尺的两边互相平行，∠1=35°，
∴∠3=∠1=35°，
∴∠2=35°+30°=65°．
故选A．
【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．
5．（3分）（2014•威海）已知点P（3﹣m，m﹣1）在第二象限，则m的取值范围在数轴上表示正
确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据第二象限内点的坐标特点，可得不等式，根据解不等式，可得答案．
【解答】解：已知点P（3﹣m，m﹣1）在第二象限，
3﹣m＜0且m﹣1＞0，
解得m＞3，m＞1，
故选：A．
【点评】本题考查了在数轴上不等式的解集，先求出不等式的解集，再把不等式的解集表示在
数轴上．
6．（3分）（2016•哈尔滨）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】依据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义回答即可．
【解答】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故A错误；
B、是中心对称图形，不是轴对称图形，故B错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C错误；
第 6 页 共 15 页D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故D正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查的是轴对称图形和中心对称图形，掌握轴对称图形和中心对称图形的
特点是解题的关键．
7．（3分）（2016春•深圳期中）若a﹣b=2，ab=3，则ab2﹣a2b的值为（ ）
A．6B．5C．﹣6 D．﹣5
【分析】直接将原式提取公因式ab，进而分解因式将已知代入求出答案．
【解答】解：∵a﹣b=2，ab=3，则b﹣a=﹣2，
∴ab2﹣a2b=ab（b﹣a）=3×（﹣2）=﹣6．
故选：C．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
8．（3分）（2012•肇庆）等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．16 B．18 C．20 D．16或20
【分析】由于题中没有指明哪边是底哪边是腰，则应该分两种情况进行分析．
【解答】解：①当4为腰时，4+4=8，故此种情况不存在；
②当8为腰时，8﹣4＜8＜8+4，符合题意．
故此三角形的周长=8+8+4=20．
故选：C．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质和三边关系，解答此题时注意分类讨论，不要漏解．
9．（3分）（2005•绵阳）如果关于x的不等式（a+1）x＞a+1的解集为x＜1，那么a的取值范围
是（ ）
A．a＞0 B．a＜0 C．a＞﹣1 D．a＜﹣1
【分析】本题可对a＞﹣1，与a＜﹣1的情况进行讨论．不等式两边同时除以一个正数不等号
方向不变，同时除以一个负数不等号方向改变，据此可解本题．
【解答】解：（1）当a＞﹣1时，原不等式变形为：x＞1；
（2）当a＜﹣1时，原不等式变形为：x＜1．
故选：D．
【点评】本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意同除a+1时
是否要改变符号这一点而出错．
解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式，不等
号的方向不变．在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；在不等式
的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．
10．（3分）（2016春•深圳期中）已知△ABC中，求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，
且PB=PC，则下列确定P点的方法正确的是（ ）
A．P是∠A与∠B两角平分线的交点
B．P是AC、AB两边上中垂线的交点
C．P是∠A的角平分线与BC的中垂线的交点
D．P是∠A的角平分线与AB的中垂线的交点
【分析】分别作出∠BAC的平分线及线段BC的垂直平分线，其交点即为所求点．
第 7 页 共 15 页【解答】解：作出∠BAC的平分线及线段BC的垂直平分线，其交点即为所求点，
故选C．
【点评】本题考角平分线的性质，熟知角平分线的性质及线段垂直平分线的性质是解答此题
的关键．
11．（3分）（2016春•深圳期中）某校举行关于“保护环境”的知识竞赛，共有25道题，答对
一题得10分，答错（或不答）一题倒扣5分，小明参加本次竞赛，得分超过了100分，则他至
少答对的题数是（ ）
A．17 B．16 C．15 D．12
【分析】根据竞赛得分=10×答对的题数+（﹣5）×未答对的题数，根据本次竞赛得分要超过
100分，列出不等式求解即可．
【解答】解：设要答对x道．
10x+（﹣5）×（20﹣x）＞100，
10x﹣100+5x＞100，
15x＞200，
解得：x＞ ，
根据x必须为整数，故x取最小整数14，即小彤参加本次竞赛得分要超过100分，他至少要
答对14道题．
故选C．
【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用，得到得分的关系式是解决本题的关键．
12．（3分）（2014•黄冈模拟）如图所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的
中点，且S△ABC =4cm2，则S阴影 等于（ ）
A．2cm2B．1cm2C． cm2D． cm2
【分析】根据三角形的面积公式，知：等底等高的两个三角形的面积相等．
【解答】解：S阴影= S△BCE = S△ABC =1cm2．
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形的面积，充分运用三角形的面积公式以及三角形的中线的性质．
二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）（2013•深圳）分解因式：4x2﹣8x+4= 4 （ x﹣ 1 ） 2 ．
【分析】先提取公因式4，再根据完全平方公式进行二次分解即可求得答案．
【解答】解：4x2﹣8x+4=4（x2﹣2x+1）=4（x﹣1）2．
故答案为：4（x﹣1）2．
第 8 页 共 15 页【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次
分解，注意分解要彻底．
14．（3分）（2016春•深圳期中）如图，△ABC中，AD⊥BC，AE是∠BAC的平分线，
∠B=60°，∠BAC=84°，则∠DAE= 12 ° ．
【分析】由角平分线的定义可求得∠BAE，在Rt△ABD中可求得∠BAD，再利用角的和差可
求得∠DAE的大小．
【解答】解：
∵AE是∠BAC的平分线，∠BAC=84°，
∴∠BAE= ∠BAC= ×84°=42°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=90°﹣∠B=90°﹣60°=30°，
∴∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=42°﹣30°=12°，
故答案为：12°
【点评】本题主要考查角平分线的定义及三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和为
180°是解题的关键．
15．（3分）（2016春•深圳期中）如图，已知一次函数y =kx +b 与一次函数y =kx +b 的图象
1 1 1 2 2 2
相交于点（1，2），则不等式kx +b ＜kx +b 的解集是 x ＜ 1 ．
1 1 2 2
【分析】看两函数交点坐标左边的图象所对应的自变量的取值即可．
【解答】解：一次函数y =kx +b 与一次函数y =kx +b 的图象相交于点（1，2），
1 1 1 2 2 2
所以不等式kx +b ＜kx +b 的解集是x＜1．
1 1 2 2
故答案为：x＜1．
【点评】本题主要考查一次函数和一元一次不等式，本题是借助一次函数的图象解一元一次
不等式，两个图象的“交点”是两个函数值大小关系的“分界点”，在“分界点”处函数值
的大小发生了改变．
第 9 页 共 15 页16．（3分）（2016春•深圳期中）如图，已知Rt△ABC中，AC⊥BC，∠B=30°，AB=10，过直角
顶点C作CA ⊥AB，垂足为A ，再过A 作A C ⊥BC，垂足为C ，过C 作C A ⊥AB，垂足
1 1 1 1 1 1 1 1 1
为A ，再过A 作A C ⊥BC，垂足为C ，…，这样一直做下去，得到了一组线段A C ，
2 2 2 2 2 1 1
A C ，…，则A C = 5 × （ ） 2 ；则A C = 5 × （ ） 6 ；则A C = 5 × （ ） 2 n ．
2 2 1 1 3 3 n n
【分析】首先求出∠A的度数和AC的长，根据角的正弦函数与三角形边的关系，可求出各边
的长，然后再总结出规律．
【解答】解：∵Rt△ABC中，AC⊥BC，∠B=30°，AB=10，
∴∠A=60°，AC= AB=5，
∴sinA= ，
∴A C=AC× =5× ，
1
又∵A C ⊥BC，CA ⊥AB，
1 1 1
∴∠A CC =∠A，
1 1
∴在Rt△A C C中，根据锐角三角函数得，
1 1
A C =5×（ ）2，
1 1
以此类推，则A C =5×（ ）6；
3 3
∴A n C n，5× （ ）2n；
故答案为： ，5×（ ）6，5×（ ）2n．
【点评】本题主要考查了勾股定理/、直角三角形的性质、运用锐角三角函数表示未知的边及
分析归纳能力；根据题意得出规律是解决问题的关键．
三、解答题（本题共7小题，共52分）
17．（12分）（2016春•深圳期中）计算：
（1）解不等式：x﹣（2x﹣1）≤3
（2）解不等式组： ，并把它的解集在数轴上表示出来．
（3）因式分解：﹣4a2x+12ax﹣9x．
【分析】（1）先去括号，再移项，合并同类项，把x的系数化为1即可；
第 10 页 共 15 页（2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可；
（3）先提取公因式，再利用公式法进行因式分解即可．
【解答】解：（1）去括号得，x﹣2x+1≤3，
移项得，x﹣2x≤3﹣1，
合并同类项得，﹣x≤2，
把x的系数化为1得，x≥﹣2；
（2）由①得，x≥﹣3，由②得，x＜2，
故不等式组的解集为：﹣3≤x＜2．
在数轴上表示为：
；
（3）原式=﹣x（4a2﹣12a+9）
=﹣x（2a﹣3）2．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大
大小小找不到”的法则是解答此题的关键．
18．（5分）（2016春•深圳期中）先因式分解，再求值：4x（m﹣1）﹣3x（m﹣1）2，其中x= ，
m=3．
【分析】先分解因式，再代入求值．
【解答】解：4x（m﹣1）﹣3x（m﹣1）2，
=（m﹣1）[4x﹣3x（m﹣1）]，
=（m﹣1）（4x﹣3mx+3x），
=（m﹣1）（7x﹣3mx），
当x= ，m=3时，原式=（3﹣1）（7× ﹣3×3× ）=2×（﹣3）=﹣6．
【点评】本题是因式分解的应用，将原式分解因式后，再代入求值，可以简化计算，使计算更准
确．
19．（6分）（2016春•深圳期中）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，
在建立平面直角坐标系后，Rt△OAB的B点在第三象限，到x轴的距离为3，到y轴的距离为
4，直角顶点A在y轴，画出△OAB．
①点B的坐标是 （﹣ 4 ，﹣ 3 ） ；
②把△OAB向上平移5个单位后得到对应的△O A B ，画出△O A B ，点B 的坐标是 （﹣
1 1 1 1 1 1 1
4 ， 1 ） ；
③把△OAB绕原点O按逆时针旋转90°，画出旋转后的△O A B ，点B 的坐标是 （ 3 ，﹣ 4 ）
2 2 2 2
．
第 11 页 共 15 页【分析】①根据第三象限内点的坐标特征写出B点坐标；
②利用网格特点和平移性质写出A、B、O的对应点A 、B 、O 的坐标，然后描点得到
1 1 1
△O A B ；
1 1 1
③利用网格特点和旋转的性质画出A、B、O的对应点A 、B 、O ，从而得到△O A B ．
2 2 2 2 2 2
【解答】解：①点B的坐标是（﹣4，﹣3）；
②如图，△O A B 为所作，点B 的坐标是（﹣4，1）；
1 1 1 1
③如图，△O A B 为所作，点B 的坐标是（3，﹣4）．
2 2 2 2
故答案为（﹣4，﹣3），（﹣4，1），（3，﹣4）．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对
应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，
顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．
20．（6分）（2016春•深圳期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∠ABC=60°，AB的
垂直平分线分别交AB，AC于点D，E．
（1）求证：AE=2CE；
（2）求证：DE=EC．
第 12 页 共 15 页【分析】（1）首先连接BE，由在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，可求得∠ABC的度数，又由
AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，根据线段垂直平分线的性质，可得AE=BE，
继而可求得∠CBE的度数，然后由含30°角的直角三角形的性质，证得AE=2CE；
（2）通过BE=AE，得到∠ABE=∠A=30°，求得∠CBE=∠ABE=30°，根据角平分线的性质即可
得到结论．
【解答】解：（1）连接BE，
∵在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=90°﹣∠A=60°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠A=30°，
∴∠CBE=∠ABC﹣∠ABE=30°，
在Rt△BCE中，BE=2CE，
∴AE=2CE；
（2）∵BE=2CE，AE=2CE；
∴BE=AE，
∴∠ABE=∠A=30°，
∴∠CBE=∠ABE=30°，
∵DE⊥AB，∠C=90°，
∴DE=CE．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及含
30°角的直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应
用．
21．（6分）（2014•丰台区二模）某产品生产车间有工人10名．已知每名工人每天可生产甲种
产品12个或乙种产品10个，且每生产一个甲种产品可获利润100元，每生产一个乙种产品
可获利润180元．在这10名工人中，如果要使此车间每天所获利润不低于15600元，你认为
至少要派多少名工人去生产乙种产品才合适．
【分析】首先设车间每天安排x名工人生产甲种产品，其余工人生产乙种产品，利用使此车间
每天所获利润不低于15600元，得出不等关系进而求出即可．
【解答】解：设车间每天安排x名工人生产甲种产品，其余工人生产乙种产品．
根据题意可得，12x×100+10（10﹣x）×180≥15600，
解得；x≤4，
∴10﹣x≥6，
∴至少要派6名工人去生产乙种产品才合适．
第 13 页 共 15 页【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用，得出正确的不等关系是解题关键．
22．（8分）（2016春•深圳期中）某校张老师寒假准备带领他们的“三好学生”外出旅游，甲、
乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人400元，经协商，甲旅行社表示：“如果带队
张老师买一张全票，则学生可半价”；乙旅行社表示：“所有游客全部享受6折优惠．”则：
（1）设学生数为x（人），甲旅行社收费为y甲 （元），乙旅行社收费为y乙 （元），两家旅行社的
收费各是多少？
（2）哪家旅行社收费较为优惠？
【分析】（1）设我校区级“三好学生”的人数为x人．则选甲旅行社时总费用
=400+400×50%x，选乙旅行社时总费用=400×60%（x+1）；
（2）当400+400×50%x＜400×60%（x+1）时，甲旅行社较为优惠．反之，乙旅行社优惠，相等
时，两旅行社一样．
【解答】解：（1）根据题意得，
甲旅行社时总费用：y甲=400+400×50%x，
乙旅行社时总费用：y乙=400×60%（x+1）；
（2）设我校区级“三好学生”的人数为x人，根据题意得：
400+400×50%x＜400×60%（x+1），
解得：x＞10，
当学生人数超过10人，甲旅行社比较优惠，当学生人数10人之内，乙旅行社比较优惠，刚好
10人，两个旅行社一样．
【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用，关键是根据学生人数算出两家旅行社的收
费．
23．（9分）（2016春•深圳期中）如图，已知△ABC中AB=AC=12厘米，BC=9厘米，点D为
AB的中点．
（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上
由C点向A点运动．
①若点P点Q的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
②若点P点Q的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全
等？
（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时
针沿△ABC三边运动，求经过多长时间，点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？
【分析】（1）①先求得BP=CQ=3，PC=BD=6，然后根据等边对等角求得∠B=∠C，最后根据
SAS即可证明；
第 14 页 共 15 页②因为V ≠V ，所以BP≠CQ，又∠B=∠C，要使△BPD与△CQP全等，只能BP=CP=4.5，根
P Q
据全等得出CQ=BD=6，然后根据运动速度求得运动时间，根据时间和CQ的长即可求得Q
的运动速度；
（2）因为V ＞V ，只能是点Q追上点P，即点Q比点P多走AB+AC的路程，据此列出方程，
Q P
解这个方程即可求得．
【解答】解：（1）①∵t=1（秒），
∴BP=CQ=3（厘米）
∵AB=12，D为AB中点，
∴BD=6（厘米）
又∵PC=BC﹣BP=9﹣3=6（厘米）
∴PC=BD
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△BPD与△CQP中，
，
∴△BPD≌△CQP（SAS），
②∵V
P
≠V
Q
，
∴BP≠CQ，
又∵∠B=∠C，
要使△BPD≌△CPQ，只能BP=CP=4.5，
∵△BPD≌△CPQ，
∴CQ=BD=6．
∴点P的运动时间t= = =1.5（秒），
此时V = = =4（厘米/秒）．
Q
（2）因为V ＞V ，只能是点Q追上点P，即点Q比点P多走AB+AC的路程，
Q P
设经过x秒后P与Q第一次相遇，依题意得4x=3x+2×12，
解得x=24（秒）
此时P运动了24×3=72（厘米）
又∵△ABC的周长为33厘米，72=33×2+6，
∴点P、Q在BC边上相遇，即经过了24秒，点P与点Q第一次在BC边上相遇．
【点评】本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，以及数形结合思想的运用，
解题的根据是熟练掌握三角形全等的判定和性质．
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