文档内容
八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）
1．（3分）若m＞n，下列不等式一定成立的是（ ）
A．m﹣2＞n+2 B．2m＞2n C．﹣ ＞ D．m2＞n2
2．（3分）如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库，要求油库到这三条公路的距离都
相等，则满足条件的油库位置有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
3．（3分）如图所示图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）不等式组 有（ ）个整数解．
A．2B．3C．4D．5
5．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AB=8，将△ABC沿CB向右平移得到
△DEF．若四边形ABED的面积等于8，则平移距离等于（ ）
A．2B．4C．8D．16
6．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长
线于点E．若∠E=35°，则∠BAC的度数为（ ）
A．40° B．45° C．60° D．70°
7．（3分）如图，将边长为3 的等边△ABC沿BC方向向右平移得到△A′B′C′，若△ABC与
△A′B′C重叠部分面积为2 ，则此次平移的距离是（ ）
第 1 页 共 24 页A．3 ﹣2 B． C．2D．2
8．（3分）在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，
得道△BAE，连接ED，若BC=5，BD=4，则以下四个结论中：①△BDE是等边三角形；
②AE∥BC；③△ADE的周长是9；④∠ADE=∠BDC．其中正确的序号是（ ）
A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
9．（3分）命题“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题是： ．
10．（3分）一次函数y =kx+b与y =x+a的图象如图，则kx+b＞x+a的解集是 ．
1 2
11．（3分）如图，在三角形纸片△ABC中，AC=BC，∠B=70°，将△ABC沿线段DE所在直线
对折，使点A、点C重合，连接AE，则∠AED的度数是 度．
12．（3分）为筹备趣味运动会，李明去酒店买20个乒乓球做道具，并买一些乒乓球拍做奖品，
已知乒乓球每个1.5元，球拍每个22元，如果购买金额不超过200元，那么李明最多可买
个球拍．
第 2 页 共 24 页13．（3分）如图，在长方形ABCD中，AB= ，AD=1，该长方形绕点A顺时针旋转α度得长
方形AB′C′D′，点C′落在AB的延长线上，则线段BC′的长是 ．
14．（3分）对于任意实数m、n，定义一种运运算m※n=mn﹣m﹣n+3，等式的右边是通常的加
减和乘法运算，例如：3※5=3×5﹣3﹣5+3=10．请根据上述定义解决问题：若a＜2※x＜7，且
解集中有两个整数解，则a的取值范围是 ．
三、作图题（满分4分）
15．（4分）已知：锐角∠α和线段a如图所示．
求作：等腰△ABC，使它的底角为α，腰为a．
四、解答题（满分74分）
16．（8分）解下列不等式
（1） ≤ ﹣1
（2）解不等式组 ．
17．（6分）如图，在ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上，求证：BE=CE．
18．（6分）列方程（组）或不等式（组）解应用题：
每年的5月20日是中国学生营养日，某校社会实践小组在这天开展活动，调查快餐营养情况．
他们从食品安全监督部门获取了一份快餐的信息（如图）．若这份快餐中所含的蛋白质与碳
水化合物的质量之和不高于这份快餐总质量的70%，求这份快餐最多含有多少克的蛋白质？
第 3 页 共 24 页19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标为A（﹣3，4），B（﹣4，2），C
（﹣2，1），△ABC绕原点逆时针旋转90°，得到△A B C ，将△A B C 向右平移6个单位，再
1 1 1 1 1 1
向上平移2个单位得到△A B C ．
2 2 2
（1）画出△A B C ；
1 1 1
（2）P（a，b）是△ABC的边AC上一点，△ABC经旋转、平移后点P的对应点分别为P 、P ，请
1 2
写出点P 、P 的坐标．
1 2
20．（8分）某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费和印
刷费两部分先收取固定的制版费，再按印刷数量收取印刷费，乙厂直接按印刷数量收取印刷
费．甲厂的总费用y（干元）、乙厂的总费用y（千元）与印制证书数量x（千个）的函数关系图
1 2
分别如图中甲、乙所示．
（l）甲厂的制版费为 千元，印刷费为平均每个 元，甲厂的费用y 与证书数量x之间的
l
函数关系式为 ；
（2）当印制证书数量不超过2千个时，乙厂的印刷费为平均每个 元；当印制证书数量
超过2千个时，求乙厂的总费用y 与证书数量x之间的函数关系式为 ；
2
（3）若甲厂的总费用高于乙厂，但相差不超过500元，该单位需印制证书数量的范围是 ．
21．（8分）己知：△ABC、△A B C 均为锐角三角形，AB=A B ，BC=B C ，∠C=∠C
1 1 1 1 1 1 1 1
求证：△ABC≌△A B C ．
1 1 1
第 4 页 共 24 页22．（10分）某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10
台B型电脑的利润为3500元．
（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；
（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑
的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．
①求y关于x的函数关系式；
②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？
23．（10分）课本的作业题中有这样一道题：把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀，分
成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形，你能办到吗？请画示意图说明剪法．
我们有多少种剪法，图1是其中的一种方法：
定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形
的三分线．
（1）请你在图2中用两种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等
腰三角形顶角的度数；（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）
（2）△ABC中，∠B=30°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC边上，
且AD=BD，DE=CE，设∠C=x°，试画出示意图，并求出x所有可能的值．
24．（10分）问题：如图（1），点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，试判
断BE、EF、FD之间的数量关系．
【发现证明】小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，从而发现EF=BE+FD，请你利用
图（1）证明上述结论．
【类比引申】
如图（2），四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB=AD，∠B+∠D=180°，点E、F分别在边BC、
CD上，则当∠EAF与∠BAD满足 关系时，仍有EF=BE+FD．
【探究应用】
如图（3），在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD．已知AB=AD=80米，
∠B=60°，∠ADC=120°，∠BAD=150°，道路BC、CD上分别有景点E、F，且AE⊥AD，DF=
第 5 页 共 24 页（40 ﹣40）米，现要在E、F之间修一条笔直道路，求这条道路EF的长为 米．
第 6 页 共 24 页八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）
1．（3分）（2016春•马鞍山期末）若m＞n，下列不等式一定成立的是（ ）
A．m﹣2＞n+2 B．2m＞2n C．﹣ ＞ D．m2＞n2
【分析】根据不等式的性质：不等式的两边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变，不等式
的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一
个负数，不等号的方向改变，可得答案．
【解答】解：A、左边减2，右边2，故A错误；
B、两边都乘以2，不等号的方向不变，故B正确；
C、左边除以﹣2，右边除以2，故C错误；
D、两边乘以不同的数，故D错误；
故选：B．
【点评】本题考查了不等式的性质，不等式的基本性质是解不等式的主要依据，必须熟练地掌
握．要认真弄清不等式的基本性质与等式的基本性质的异同，特别是在不等式两边同乘以
（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，
如果是负数，不等号的方向必须改变．
2．（3分）（2016春•市北区期中）如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库，要求油库到
这三条公路的距离都相等，则满足条件的油库位置有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据角平分的性质，即可得出油库的位置在角平分线的交点处，依此画出图形，由此
即可得出结论．
【解答】解：∵三条公路两两相交，要求油库到这三条公路的距离都相等，
∴油库在角平分线的交点处，画出油库位置如图所示．
故选D．
第 7 页 共 24 页【点评】本题考查了角平分线的性质，依照题意画出图形，利用数形结合解决问题是解题的关
键．
3．（3分）（2016•河南模拟）如图所示图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形．故正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误．
故选C．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称
轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与
原图重合．
4．（3分）（2016春•市北区期中）不等式组 有（ ）个整数解．
A．2B．3C．4D．5
【分析】求出不等式组的解集，即可确定出整数解．
【解答】解： ，
由①得：x＞﹣ ，
由②得：x≤3，
∴不等式组的解集为﹣ ＜x≤3，
则整数解为0，1，2，3，共4个，
第 8 页 共 24 页故选C．
【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5．（3分）（2015•保定一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AB=8，将△ABC沿
CB向右平移得到△DEF．若四边形ABED的面积等于8，则平移距离等于（ ）
A．2B．4C．8D．16
【分析】先根据含30度的直角三角形三边的关系得到AC= AB=4，再根据平移的性质得
AD=BE，AD∥BE，于是可判断四边形ABED为平行四边形，则根据平行四边形的面积公式
得到AC•BE=8，即4BE=8，则可计算出BE=2，所以平移距离等于2．
【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠ABC=30°，
∴AC= AB=4，
∵△ABC沿CB向右平移得到△DEF，
∴AD=BE，AD∥BE，
∴四边形ABED为平行四边形，
∵四边形ABED的面积等于8，
∴AC•BE=8，即4BE=8，
∴BE=2，
即平移距离等于2．
故选A．
【点评】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，
新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动
后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．也考查了平行四边形的
判定与性质．
6．（3分）（2015•内江）如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD
交CB的延长线于点E．若∠E=35°，则∠BAC的度数为（ ）
A．40° B．45° C．60° D．70°
【分析】根据平行线的性质可得∠CBD的度数，根据角平分线的性质可得∠CBA的度数，根
据等腰三角形的性质可得∠C的度数，根据三角形内角和定理可得∠BAC的度数．
【解答】解：∵AE∥BD，
∴∠CBD=∠E=35°，
第 9 页 共 24 页∵BD平分∠ABC，
∴∠CBA=70°，
∵AB=AC，
∴∠C=∠CBA=70°，
∴∠BAC=180°﹣70°×2=40°．
故选：A．
【点评】考查了平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理．关
键是得到∠C=∠CBA=70°．
7．（3分）（2016春•市北区期中）如图，将边长为3 的等边△ABC沿BC方向向右平移得到
△A′B′C′，若△ABC与△A′B′C重叠部分面积为2 ，则此次平移的距离是（ ）
A．3 ﹣2 B． C．2D．2
【分析】重叠部分为等边三角形，设B C=x，则B C边上的高为 ，根据重叠部分的面积列
1 1
方程求x，再求BB ．
1
【解答】解：设B C=x，
1
根据等边三角形的性质可知，重叠部分为等边三角形，
则B C边上的高为 x，
1
∴ ×x× x=2 ，解得x=2 （舍去负值），
∴B C=2 ，
1
∴BB =BC﹣B C=3 ﹣2 = ．
1 1
故选B
【点评】本题考查了等边三角形的性质，平移的性质．关键是判断重叠部分图形为等边三角形，
利用等边三角形的性质求边长．
8．（3分）（2016春•市北区期中）在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕
点B逆时针旋转60°，得道△BAE，连接ED，若BC=5，BD=4，则以下四个结论中：①△BDE
是等边三角形；②AE∥BC；③△ADE的周长是9；④∠ADE=∠BDC．其中正确的序号是（
）
第 10 页 共 24 页A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③
【分析】先由△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE得到BD=BE，∠DBE=60°，则可判断
△BDE是等边三角形；根据等边三角形的性质得BA=BC，∠ABC=∠C=∠BAC=60°，再根据
旋转的性质得到∠BAE=∠BCD=60°，∠BCD=∠BAE=60°，所以∠BAE=∠ABC=60°，则根据
平行线的判定方法即可得到AE∥BC；根据等边三角形的性质得∠BDE=60°，而∠BDC＞
60°，则可判断∠ADE≠∠BDC；由△BDE是等边三角形得到DE=BD=4，再利用△BCD绕点
B逆时针旋转60°，得到△BAE，则AE=CD，所以△AED的周长
=AE+AD+DE=CD+AD+DE=AC+BD．
【解答】解：∵△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，
∴BD=BE，∠DBE=60°，
∴△BDE是等边三角形，所以①正确；
∵△ABC为等边三角形，
∴BA=BC，∠ABC=∠C=∠BAC=60°，
∵△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，
∴∠BAE=∠BCD=60°，∠BCD=∠BAE=60°，
∴∠BAE=∠ABC，
∴AE∥BC，所以②正确；
∴∠BDE=60°，
∵∠BDC=∠BAC+∠ABD＞60°，
∴∠ADE≠∠BDC，所以④错误；
∵△BDE是等边三角形，
∴DE=BD=4，
而△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，
∴AE=CD，
∴△AED的周长=AE+AD+DE=CD+AD+DE=AC+4=5+4=9，所以③正确．
故选D．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段
的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质．
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
第 11 页 共 24 页9．（3分）（2009秋•泸水县校级期末）命题“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”的
逆命题是： 如果两个数的平方相等，那么这两个有理数相等 ．
【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．
【解答】解：命题“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”的题设是“如果两个有理数
相等”，结论是“它们的平方相等”，故其逆命题是“如果两个数的平方相等，那么这两个
有理数相等”．
【点评】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结
论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个
命题称为另一个命题的逆命题．
10．（3分）（2014•威海）一次函数y =kx+b与y =x+a的图象如图，则kx+b＞x+a的解集是 x
1 2
＜ ﹣ 2 ．
【分析】把x=﹣2代入y =kx+b与y =x+a，由y =y 得出 =2，再求不等式的解集．
1 2 1 2
【解答】解：把x=﹣2代入y =kx+b得，
1
y =﹣2k+b，
1
把x=﹣2代入y =x+a得，
2
y =﹣2+a，
2
由y =y ，得：﹣2k+b=﹣2+a，
1 2
解得 =2，
解kx+b＞x+a得，
（k﹣1）x＞a﹣b，
∵k＜0，
∴k﹣1＜0，
解集为：x＜ ，
∴x＜﹣2．
故答案为：x＜﹣2．
【点评】本题主要考查一次函数和一元一次不等式，本题的关键是求出 =2，把 看
作整体求解集．
11．（3分）（2016春•市北区期中）如图，在三角形纸片△ABC中，AC=BC，∠B=70°，将
△ABC沿线段DE所在直线对折，使点A、点C重合，连接AE，则∠AED的度数是 5 0 度．
第 12 页 共 24 页【分析】根据线段的垂直平分线性质得到CE=AE，由等腰三角形的性质得到∠C=∠CAE，根
据三角形的内角和即可得出结论．
【解答】解：∵DE是线段AC的垂直平分线，
∴CE=AE，
∴∠C=∠CAE，
∵AC=BC，∠B=70°，
∴∠C=40°，
∴∠AED=50°，
故答案为：50．
【点评】本题考查了折叠问题，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟知线段垂直平
分线的性质是解答此题的关键．
12．（3分）（2016春•市北区期中）为筹备趣味运动会，李明去酒店买20个乒乓球做道具，并
买一些乒乓球拍做奖品，已知乒乓球每个1.5元，球拍每个22元，如果购买金额不超过200
元，那么李明最多可买 7 个球拍．
【分析】设购买球拍x个，根据乒乓球每个1.5元，球拍每个22元，购买的金额不超过200元，
列出不等式，求解即可．
【解答】解：设购买球拍x个，依题意得：
1.5×20+22x≤200，
解之得：x≤7 ，
由于x取整数，故x的最大值为7，
故答案是：7．
【点评】此题考查了一元一次不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，依题意列出不等式
进行求解．
13．（3分）（2016春•市北区期中）如图，在长方形ABCD中，AB= ，AD=1，该长方形绕点
A顺时针旋转α度得长方形AB′C′D′，点C′落在AB的延长线上，则线段BC′的长是 2﹣
．
第 13 页 共 24 页【分析】直接利用旋转的性质得出AC=AC′，再利用勾股定理得出AC的长即可得出答案．
【解答】解：由题意可得：AC=AC′，
∵AB= ，AD=1，
∴AC= =2，
∴BC′=AC′﹣AB=2﹣ ．
故答案为：2﹣ ．
【点评】此题主要考查了旋转的性质，根据题意得出AC的长是解题关键．
14．（3分）（2015•达州）对于任意实数m、n，定义一种运运算m※n=mn﹣m﹣n+3，等式的右
边是通常的加减和乘法运算，例如：3※5=3×5﹣3﹣5+3=10．请根据上述定义解决问题：若a
＜2※x＜7，且解集中有两个整数解，则a的取值范围是 4 ≤ a ＜ 5 ．
【分析】利用题中的新定义化简所求不等式，求出a的范围即可．
【解答】解：根据题意得：2※x=2x﹣2﹣x+3=x+1，
∵a＜x+1＜7，即a﹣1＜x＜6解集中有两个整数解，
∴a的范围为4≤a＜5，
故答案为：4≤a＜5
【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
三、作图题（满分4分）
15．（4分）（2016春•市北区期中）已知：锐角∠α和线段a如图所示．
求作：等腰△ABC，使它的底角为α，腰为a．
【分析】首先画∠NBM=α，再在BN上截取AB=a，再以A为圆心a长为半径画弧，交BM于
C，再连接AC即可．
【解答】解：如图所示：
第 14 页 共 24 页．
【点评】此题主要考查了复杂作图，关键是掌握做一个角等于已知角的方法．
四、解答题（满分74分）
16．（8分）（2016春•市北区期中）解下列不等式
（1） ≤ ﹣1
（2）解不等式组 ．
【分析】（1）去分母、去括号、移项、合并同类项，系数化成1即可求解；
（2）首先解每个不等式，两个不等式解集的公共部分就是不等式组的解集．
【解答】解：（1）去分母，得4（2x﹣1）≤3（3x+2）﹣12，
去括号，得8x﹣4≤9x+6﹣12，
移项，得8x﹣9x≤6﹣12+4，
合并同类项，得﹣x≤﹣2，
系数化成1得x≥2；
（2） ，
解①得x＞﹣3，
解②得x≤2．
则不等式组的解集是﹣3＜x≤2．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不
等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间
找；大大小小找不到．
17．（6分）（2015•未央区二模）如图，在ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上，
求证：BE=CE．
第 15 页 共 24 页【分析】根据等腰三角形的三线合一，从而得出∠BAE=∠EAC，根据SAS证明
△ABE≌△ACE，再得出BE=CE．
【解答】证明：∵AB=AC，D是BC的中点
∴∠BAE=∠EAC
在△ABE和△ACE中，
，
∴△ABE≌△ACE（SAS），
∴BE=CE．
【点评】本题考查等腰三角形的性质和全等三角形的判定，解答本题的关键证明
∠BAE=∠EAC，利用三线合一的性质进行证明．
18．（6分）（2014•海淀区二模）列方程（组）或不等式（组）解应用题：
每年的5月20日是中国学生营养日，某校社会实践小组在这天开展活动，调查快餐营养情况．
他们从食品安全监督部门获取了一份快餐的信息（如图）．若这份快餐中所含的蛋白质与碳
水化合物的质量之和不高于这份快餐总质量的70%，求这份快餐最多含有多少克的蛋白质？
【分析】设这份快餐含有x克的蛋白质，根据所含的蛋白质与碳水化合物的质量之和不高于
这份快餐总质量的70%，列出不等式，求解即可．
【解答】解：设这份快餐含有x克的蛋白质，
根据题意可得：x+4x≤400×70%，
解不等式，得x≤56．
答：这份快餐最多含有56克的蛋白质．
【点评】此题考查了一元一次不等式的应用，关键是读懂题意，找出题目中的数量关系，列出
不等式，本题的数量关系是所含的蛋白质与碳水化合物的质量之和不高于这份快餐总质量的
70%．
第 16 页 共 24 页19．（8分）（2016春•市北区期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标为A
（﹣3，4），B（﹣4，2），C（﹣2，1），△ABC绕原点逆时针旋转90°，得到△A B C ，将△A B C
1 1 1 1 1 1
向右平移6个单位，再向上平移2个单位得到△A B C ．
2 2 2
（1）画出△A B C ；
1 1 1
（2）P（a，b）是△ABC的边AC上一点，△ABC经旋转、平移后点P的对应点分别为P 、P ，请
1 2
写出点P 、P 的坐标．
1 2
【分析】（1）利用旋转的性质得出对应点坐标，进而结合平移的性质得出答案；
（2）利用A，B，C点坐标变化得出P点坐标的变化，进而得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：△A B C ，△A B C ，即为所求；
1 1 1 2 2 2
（2）∵A（﹣3，4），A （﹣4，﹣3），B（﹣4，2），B （﹣2，﹣4），
1 1
∴P（a，b），则P （﹣b，a），
1
∵A （﹣4，﹣3），B （﹣2，﹣4），A （2，﹣1），B （4，﹣2），
1 1 2 2
∴P （﹣b+6，a+2）．
2
【点评】此题主要考查了旋转变换以及平移变换，正确得出对应点位置是解题关键．
20．（8分）（2016春•市北区期中）某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂
费用分为制版费和印刷费两部分先收取固定的制版费，再按印刷数量收取印刷费，乙厂直接
按印刷数量收取印刷费．甲厂的总费用y（干元）、乙厂的总费用y（千元）与印制证书数量x
1 2
（千个）的函数关系图分别如图中甲、乙所示．
第 17 页 共 24 页（l）甲厂的制版费为 1 千元，印刷费为平均每个 0. 5 元，甲厂的费用y 与证书数量x之
l
间的函数关系式为 y =0.5x + 1 ；
l
（2）当印制证书数量不超过2千个时，乙厂的印刷费为平均每个 1. 5 元；当印制证书数
量超过2千个时，求乙厂的总费用y 与证书数量x之间的函数关系式为 y = ；
2 2
（3）若甲厂的总费用高于乙厂，但相差不超过500元，该单位需印制证书数量的范围是 6 ＜
x ≤ 2006 ．
【分析】（1）结合图象便可看出y是关于x的一次函数，从图中可以观察出甲厂的制版费为1
千元，一次函数的斜率为0.5，即为证书的单价；
（2）用2到6千个时的费用除以证件个数计算即可得解，设函数解析式后用待定系数法解答
即可；
（3）分别求出甲乙两厂的费用y关于证书个数x的函数，根据题意列不等式即可得到结论．
【解答】解：（1）制版费1千元，y=0.5x+1，证书单价0.5元；
l
故答案为：1；0.5；y=0.5x+1；
l
（2）当印制证书数量不超过2千个时，乙厂的印刷费为平均每个=3÷2=1.5元，
故答案为：1.5；
设y =kx+b，
2
由图可知，当x=6时，y =y =0.5×6+1=4，
2 1
所以函数图象经过点（2，3）和（6，4），
所以把（2，3）和（6，4）代入y =kx+b，
2
得 ，
解得 ，所以y 与x之间的函数关系式为y = ；
2 2
故答案为：y = ；
2
（3）0＜0.5x+1﹣（ ）≤0.5，
解得6＜x≤8．
故答案为：6＜x≤8．
【点评】本题主要考查了一次函数和一元一次不等式的实际应用，是各地中考的热点，同学们
在平时练习时要加强训练，属于中档题．
第 18 页 共 24 页21．（8分）（2016春•市北区期中）己知：△ABC、△A B C 均为锐角三角形，AB=A B ，
1 1 1 1 1
BC=B C ，∠C=∠C
1 1 1
求证：△ABC≌△A B C ．
1 1 1
【分析】过B作BD⊥AC于D，过B 作B D ⊥B C 于D ，得出
1 1 1 1 1 1
∠BDA=∠B D A =∠BDC=∠B D C =90°，根据SAS证△BDC≌△B D C ，推出BD=B D ，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
根据HL证Rt△BDA≌Rt△B D A ，推出∠A=∠A ，根据AAS推出△ABC≌△A B C 即可．
1 1 1 1 1 1 1
【解答】证明：过B作BD⊥AC于D，过B 作B D ⊥B C 于D ，
1 1 1 1 1 1
则∠BDA=∠B D A =∠BDC=∠B D C =90°，
1 1 1 1 1 1
在△BDC和△B D C 中
1 1 1
∴△BDC≌△B D C ，
1 1 1
∴BD=B D ，
1 1
在Rt△BDA和Rt△B D A 中
1 1 1
，
∴Rt△BDA≌Rt△B D A （HL），
1 1 1
∴∠A=∠A ，
1
在△ABC和△A B C 中，
1 1 1
，
∴△ABC≌△A B C ．
1 1 1
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，判定两个三角形全等的一般方法有：
SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
22．（10分）（2016•新抚区模拟）某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销
售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元．
第 19 页 共 24 页（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；
（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑
的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．
①求y关于x的函数关系式；
②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？
【分析】（1）设每台A型电脑销售利润为x元，每台B型电脑的销售利润为y元，然后根据利
润4000元和3500元列出方程组，然后求解即可；
（2）①根据总利润等于两种电脑的利润之和列式整理即可得解；
②根据B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍列不等式求出x的取值范围，然后根据一次
函数的增减性求出利润的最大值即可．
【解答】解：（1）设每台A型电脑销售利润为x元，每台B型电脑的销售利润为y元，
根据题意得 ，
解得 ．
答：每台A型电脑销售利润为100元，每台B型电脑的销售利润为150元；
（2）①据题意得，y=100x+150（100﹣x），
即y=﹣50x+15000，
②据题意得，100﹣x≤2x，
解得x≥33 ，
∵y=﹣50x+15000，
∴y随x的增大而减小，
∵x为正整数，
∴当x=34时，y取最大值，则100﹣x=66，
即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大．
【点评】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式，读懂题目信
息，准确找出等量关系列出方程组是解题的关键，利用一次函数的增减性求最值是常用的方
法，需熟练掌握．
23．（10分）（2015秋•阎良区期末）课本的作业题中有这样一道题：把一张顶角为36°的等腰
三角形纸片剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形，你能办到吗？请画示
意图说明剪法．
我们有多少种剪法，图1是其中的一种方法：
第 20 页 共 24 页定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形
的三分线．
（1）请你在图2中用两种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等
腰三角形顶角的度数；（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）
（2）△ABC中，∠B=30°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC边上，
且AD=BD，DE=CE，设∠C=x°，试画出示意图，并求出x所有可能的值．
【分析】（1）45°自然想到等腰直角三角形，过底角一顶点作对边的高，发现形成一个等腰直
角三角形和直角三角形．直角三角形斜边的中线可形成两个等腰三角形，则易得一种情况．
第二种情形可以考虑题例中给出的方法，试着同样以一底角作为新等腰三角形的底角，则另
一底脚被分为45°和22.5°，再以22.5°分别作为等腰三角形的底角或顶角，易得其中作为底角
时所得的三个三角形恰都为等腰三角形．即又一三分线作法．
（2）用量角器，直尺标准作30°角，而后确定一边为BA，一边为BC，根据题意可以先固定BA
的长，而后可确定D点，再标准作图实验﹣﹣分别考虑AD为等腰三角形的腰或者底边，兼
顾A、E、C在同一直线上，易得2种三角形ABC．根据图形易得x的值．
【解答】解：（1）如图2作图，
（2）如图3 ①、②作△ABC．
①当AD=AE时，
∵2x+x=30+30，
∴x=20．
②当AD=DE时，
∵30+30+2x+x=180，
∴x=40．
所以∠C的度数是20°或40°．
【点评】本题考查了学生学习的理解能力及动手创新能力，知识方面重点考查三角形内角、外
角间的关系及等腰三角形知识，是一道很锻炼学生能力的题目．
24．（10分）（2016春•市北区期中）问题：如图（1），点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD
上，∠EAF=45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系．
第 21 页 共 24 页【发现证明】小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，从而发现EF=BE+FD，请你利用
图（1）证明上述结论．
【类比引申】
如图（2），四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB=AD，∠B+∠D=180°，点E、F分别在边BC、
CD上，则当∠EAF与∠BAD满足 ∠ BAD= 2 ∠ EAF 关系时，仍有EF=BE+FD．
【探究应用】
如图（3），在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD．已知AB=AD=80米，
∠B=60°，∠ADC=120°，∠BAD=150°，道路BC、CD上分别有景点E、F，且AE⊥AD，DF=
（40 ﹣40）米，现要在E 、F之间修一条笔直道路，求这条道路EF的长为 10 9 米．
【分析】【发现证明】根据旋转的性质可以得到△ADG≌△ABE，则GF=BE+DF，只要再证明
△AFG≌△AFE即可．
【类比引申】延长CB至M，使BM=DF，连接AM，证△ADF≌△ABM，证△FAE≌△MAE，
即可得出答案；
【探究应用】利用等边三角形的判定与性质得到△ABE是等边三角形，则BE=AB=80米．把
△ABE绕点A逆时针旋转150°至△ADG，只要再证明∠BAD=2∠EAF即可得出
EF=BE+FD．
【解答】【发现证明】证明：如图（1），∵△ADG≌△ABE，
∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，DG=BE，
又∵∠EAF=45°，即∠DAF+∠BEA=∠EAF=45°，
∴∠GAF=∠FAE，
在△GAF和△FAE中，
，
∴△AFG≌△AFE（SAS）．
∴GF=EF．
又∵DG=BE，
∴GF=BE+DF，
∴BE+DF=EF．
【类比引申】∠BAD=2∠EAF．
理由如下：如图（2），延长CB至M，使BM=DF，连接AM，
∵∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠ABM=180°，
∴∠D=∠ABM，
在△ABM和△ADF中，
第 22 页 共 24 页，
∴△ABM≌△ADF（SAS），
∴AF=AM，∠DAF=∠BAM，
∵∠BAD=2∠EAF，
∴∠DAF+∠BAE=∠EAF，
∴∠EAB+∠BAM=∠EAM=∠EAF，
在△FAE和△MAE中，
，
∴△FAE≌△MAE（SAS），
∴EF=EM=BE+BM=BE+DF，
即EF=BE+DF．
故答案是：∠BAD=2∠EAF．
【探究应用】如图3，把△ABE绕点A逆时针旋转150°至△ADG，连接AF，过A作AH⊥GD，
垂足为H．
∵∠BAD=150°，∠DAE=90°，
∴∠BAE=60°．
又∵∠B=60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴BE=AB=80米．
根据旋转的性质得到：∠ADG=∠B=60°，
又∵∠ADF=120°，
∴∠GDF=180°，即点G在 CD的延长线上．
易得，△ADG≌△ABE，
∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，DG=BE，
又∵AH=80× =40 ，HF=HD+DF=40+40（ ﹣1）=40 ，
故∠HAF=45°，
∴∠DAF=∠HAF﹣∠HAD=45°﹣30°=15°
从而∠EAF=∠EAD﹣∠DAF=90°﹣15°=75°
又∵∠BAD=150°=2×75°=2∠EAF
∴根据上述推论有：EF=BE+DF=80+40（ ﹣1）≈109（米），即这条道路EF的长约为109米．
故答案是：109．
第 23 页 共 24 页【点评】此题主要考查了四边形综合题，关键是正确画出图形，证明∠BAD=2∠EAF．此题是
一道综合题，难度较大，题目所给例题的思路，为解决此题做了较好的铺垫．
第 24 页 共 24 页
