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2017-2018学年安徽省安庆市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题(本大题共10小题，共40分）
1．下列式子为最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．下面计算正确的是（ ）
A． =3 B． + =2 C． × =4 D．﹣ =2
3．若m是方程x2+x﹣1=0的根，则2m2+2m+2011的值为（ ）
A．2010B．2011C．2012D．2013
4．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．某篮球队12名队员的年龄如表：
年龄 18 19 20 21
（岁）
人数 5 4 1 2
则这12名队员年龄的众数和平均数分别是（ ）
A．18，19 B．19，19 C．18，19.5D．19，19.5
6．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6 B．2，3，4 C．1，1， D．1，2，2
7．如图，矩形ABCD的对角线AC=8cm，∠AOD=120°，则AB的长为（ ）
A． cm B．2cm C．2 cm D．4cm
8．用配方解方程3x2﹣6x﹣1=0，则方程可变形为（ ）
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A．（x﹣3）2= B．3（x﹣1）2= C．（3x﹣1）2=1 D．（x﹣1）2=
9．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为BC上的一点，AD=BD=2，AB= ，则
AC的长为（ ）
A． B． C．3 D．
10．根据如图所示的三个图所表示的规律，依次下去第n个图中平行四边形的个
数是（ ）
A．3n B．3n（n+1）C．6n D．6n（n+1）
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
11．当x 时，式子 有意义．
12．若a，b是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，则a2+b2= ．
13．三个正方形如图所示其中两个正方形面积分别是64，100，则正方形A的面积
为 ．
14．如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE，将△ADE沿
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AE 对折至△AFE．延长 EF 交边 BC 于点 G，连接 AG、CF．下列结论：
①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③AG∥CF；④△GCF是等边三角形，其中正确
结论有 ．
三、解答题（本题共两小题，每小题8分，共16分）
15．（8分）计算：
16．（8分）解方程：x（x﹣3）=4．
四、本题(本题共两小题，每小题8分，共16分）
17．（8分）如图，在▱ABCD中，E、F为对角线BD上的两点，且∠BAE=∠DCF．
求证：BE=DF．
18．（8分）已知关于x的方程x2﹣2x﹣2n=0有两个不相等的实数根．
（1）求n的取值范围；
（2）若方程的一个根为4，求方程的另一根．
五、本题（本题共两小题，每小题10分，共20分）
19．（10分）已知，如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC，垂足为D，交AB
于点E，且BE2﹣EA2=AC2，
①求证：∠A=90°．
②若DE=3，BD=4，求AE的长．
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20．（10分）某校九年级两个班，各选派10名学生参加学校举行的“汉字听写”
大赛预赛，各参赛选手的成绩如下：
A班：88，91，92，93，93，93，94，98，98，100
B班：89，93，93，93，95，96，96，98，98，99
通过整理，得到数据分析表如下：
班级 最高 平均 中位 众 方
分 分 数 数 差
A班 100 a 93 93 c
B班 99 95 b 93 8.4
（1）直接写出表中a、b、c的值；
（2）依据数据分析表，有人说：“最高分在A班，A班的成绩比B班好”，但也有
人说B班的成绩要好，请给出两条支持B班成绩好的理由．
六、本题（12分）
21．（12分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AM⊥BC，垂足为M，AN⊥DC，
垂足为N，若∠BAD=∠BCD=120°，AM=AN= ，
①求证：四边形ABCD是菱形；
②求四边形ABCD的面积．
七、本题12分
22．（12分）某超市如果将进货价为40元的商品按50元销售，就能卖出500个，
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但如果这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，如果你是超市的经理，为
了赚得8 000元的利润，你认为售价（售价不能超过进价的160%）应定为多少？
这时应进货多少个？
八、本题14分
23．（14分）以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直
角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，顺次连接这四个点，得四边形EFGH．
（1）如图1，当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形；如图
2，当四边形ABCD为矩形时，请判断：四边形EFGH的形状（不要求证明）；
（2）如图3，当四边形ABCD为一般平行四边形时，设∠ADC=α（0°＜α＜90°），
①试用含α的代数式表示∠HAE；
②求证：HE=HG；
③四边形EFGH是什么四边形？并说明理由．
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2017-2018 学年安徽省安庆市八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共10小题，共40分）
1．下列式子为最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】最简二次根式．
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次
根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【解答】解：A、 被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故
A正确；
B、 被开方数含能开得尽方的因数或因式，故B错误；
C、 被开方数含能开得尽方的因数或因式，故C错误；
D、 被开方数含分母，故D错误；
故选：A．
【点评】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式
必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式
2．下面计算正确的是（ ）
A． =3 B． + =2 C． × =4 D．﹣ =2
【考点】二次根式的混合运算．
【分析】首先判断根式要有意义，再把各二次根式化为最简二次根式，再进行计算．
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【解答】解：A、 =3，正确；
B、 =2 ，错误；
C、根式无意义，错误；
D、﹣ =﹣2，错误．
故选A．
【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，在进行此类运算时一般先把二次根
式化为最简二次根式的形式后再运算．
3．若m是方程x2+x﹣1=0的根，则2m2+2m+2011的值为（ ）
A．2010B．2011C．2012D．2013
【考点】一元二次方程的解．
【分析】把x=m代入方程求出m2+m=1，代入求出即可．
【解答】解：∵m为一元一次方程x2﹣x﹣1=0的一个根，
∴m2+m﹣1=0，
m2+m=1，
∴2m2+2m+2011=2+2011=2013，
故选D．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的应用，关键是求出m2+m=1，用了整体代
入思想，即把m2+m当作一个整体来代入．
4．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【考点】多边形内角与外角．
【分析】多边形的外角和是360°，则内角和是2×360=720°．设这个多边形是n边
形，内角和是（n﹣2）•180°，这样就得到一个关于n的方程组，从而求出边数n的
值．
【解答】解：设这个多边形是n边形，根据题意，得
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（n﹣2）×180°=2×360，
解得：n=6．
即这个多边形为六边形．
故选：C．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出
方程是解题的关键．根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方
程的问题来解决．
5．某篮球队12名队员的年龄如表：
年龄 18 19 20 21
（岁）
人数 5 4 1 2
则这12名队员年龄的众数和平均数分别是（ ）
A．18，19 B．19，19 C．18，19.5D．19，19.5
【考点】众数；加权平均数．
【分析】根据众数及平均数的概念求解．
【解答】解：年龄为18岁的队员人数最多，众数是18；
平均数= =19．
故选：A．
【点评】本题考查了众数及平均数的知识，掌握众数及平均数的定义是解题关键．
6．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6 B．2，3，4 C．1，1， D．1，2，2
【考点】勾股定理的逆定理．
【分析】三角形三边满足两个较小边的平方和等于较大边的平方，这个三角形就
是直角三角形．
【解答】解：A、52+42≠62，不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意．
B、22+32≠42，不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意．
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C、12+12=（ ）2，能作为直角三角形的三边长，故本选项符合题意．
D、12+22≠22，不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意．
故选C．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理，关键知道两个较小边的平方和等于较大边
的平方，这个三角形就是直角三角形．
7．如图，矩形ABCD的对角线AC=8cm，∠AOD=120°，则AB的长为（ ）
A． cm B．2cm C．2 cm D．4cm
【考点】矩形的性质；等边三角形的判定与性质．
【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分可得AO=BO= AC，再根据邻角互补
求出∠AOB的度数，然后得到△AOB是等边三角形，再根据等边三角形的性质
即可得解．
【解答】解：在矩形ABCD中，AO=BO= AC=4cm，
∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=180°﹣120°=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=AO=4cm．
故选D．
【点评】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，判定出△AOB是等
边三角形是解题的关键．
8．用配方解方程3x2﹣6x﹣1=0，则方程可变形为（ ）
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A．（x﹣3）2= B．3（x﹣1）2= C．（3x﹣1）2=1 D．（x﹣1）2=
【考点】解一元二次方程-配方法．
【分析】先把常数项移到等号的右边，再把二次项系数化为1，然后再在等式的两
边同时加上一次项系数一半的平方，配成完全平方的形式即可得出答案．
【解答】解：∵3x2﹣6x﹣1=0，
∴3x2﹣6x=1，
∴x2﹣2x= ，
∴x2﹣2x+1= +1，
∴（x﹣1）2= ；
故选D．
【点评】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤是：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
9．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为BC上的一点，AD=BD=2，AB= ，则
AC的长为（ ）
A． B． C．3 D．
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【考点】勾股定理．
【分析】根据题意作出图形，设CD=x，在直角三角形ACD中，根据勾股定理表示
出AC的长，再在直角三角形ABC中，根据勾股定理求出x的值，从而可得AC
的长．
【解答】解：如图：设CD=x，在Rt△ACD中，
AC2=22﹣x2；
在Rt△ACB中，
AC2+BC2=AB2，
即22﹣x2+（2+x）2=（2 ）2，
解得x=1．
则AC= = ．
故选：A．
【点评】本题考查了解直角三角形，利用勾股定理是解题的关键，正确设出未知数
方可解答．
10．根据如图所示的三个图所表示的规律，依次下去第n个图中平行四边形的个
数是（ ）
A．3n B．3n（n+1）C．6n D．6n（n+1）
【考点】平行四边形的性质．
【分析】从图中这三个图形中找出规律，可以先找出这三个图形中平行四边形的
个数，分析三个数字之间的关系．从而求出第n个图中平行四边形的个数．
【解答】解：从图中我们发现
（1）中有6个平行四边形，6=1×6，
（2）中有18个平行四边形，18=（1+2）×6，
（3）中有36个平行四边形，36=（1+2+3）×6，
∴第n个中有3n（n+1）个平行四边形．
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故选B．
【点评】本题为找规律题，从前三个图形各自找出有多少个平行四边形，从中观察
出规律，然后写出与n有关的代数式来表示第n个中的平行四边形的数目．
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
11．当x ≥ 3 时，式子 有意义．
【考点】二次根式有意义的条件．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：由题意得，x﹣3≥0，
解得，x≥3，
故答案为：≥3．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非
负数是解题的关键．
12．若a，b是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，则a2+b2= 1 0 ．
【考点】根与系数的关系．
【分析】根据根与系数的关系得到a+b=2，ab=﹣3，再把a2+b2变形为（a+b）2﹣2ab，
然后利用整体代入思想计算．
【解答】解：∵a，b是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，
∴a+b=2，ab=﹣3，
∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab=22﹣2×（﹣3）=10．
故答案为：10．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程
两个解为x ，x ，则x +x =﹣ ，x •x = ．
1 2 1 2 1 2
13．三个正方形如图所示其中两个正方形面积分别是64，100，则正方形A的面积
为 3 6 ．
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【考点】勾股定理．
【分析】根据正方形面积可以得斜边的平方和一条直角边的平方，则另一条直角
边的平方根据勾股定理就可以计算出来，进而可得答案．
【解答】解：由题意知，BD2=100，BC2=64，且∠DCB=90°，
∴CD2=100﹣64=36，
正方形A的面积为CD2=36．
故答案为：36．
【点评】本题考查了勾股定理的运用，以及正方形面积的计算，关键是掌握在任何
一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
14．如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE，将△ADE沿
AE 对折至△AFE．延长 EF 交边 BC 于点 G，连接 AG、CF．下列结论：
①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③AG∥CF；④△GCF是等边三角形，其中正确
结论有 ①②③ ．
【考点】翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定；正
方形的性质．
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【分析】根据翻折变换的性质和正方形的性质可证△ABG≌△AFG；在直角
△ ECG 中 ， 根 据 勾 股 定 理 可 证 BG=GC ； 通 过 证 明
∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，由平行线的判定可得AG∥CF；由于BG=CG，
得 到 tan∠ AGB=2 ， 求 得 ∠ AGB≠ 60° ， 根 据 平 行 线 的 性 质 得 到
∠FCG=∠AGB≠60°，求得△GCF不是等边三角形；
【解答】解：①正确，∵四边形ABCD是正方形，将△ADE沿AE对折至△AFE，
∴AB=AD=AF，
在△ABG与△AFG中， ，
△ABG≌△AFG；
②正确，
∵EF=DE= CD=2，
设BG=FG=x，则CG=6﹣x，
在直角△ECG中，
根据勾股定理，得（6﹣x）2+42=（x+2）2，
解得x=3，
∴BG=3=6﹣3=GC；
③正确，
∵CG=BG=GF，
∴△FGC是等腰三角形，∠GFC=∠GCF，
又∠AGB=∠AGF，∠AGB+∠AGF=180°﹣∠FGC=∠GFC+∠GCF，
∴∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，
∴AG∥CF；
④错误．
∵BG=CG，
∴BG= AB，
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∴tan∠AGB=2，
∴∠AGB≠60°，
∵AG∥CF，
∴∠FCG=∠AGB≠60°，
∴△GCF不是等边三角形；
故答案为：①②③．
【点评】本题考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，
勾股定理，平行线的判定，此题综合性较强，难度较大，解题的关键是注意数形结
合思想应用．
三、解答题（本题共两小题，每小题8分，共16分）
15．计算：
【考点】二次根式的混合运算．
【分析】先计算二次根式的除法运算，再化简二次根式为最简二次根式，最后合并
同类二次根式即可．
【解答】解：
=
= ．
【点评】本题主要考查了二次根式的加减及除法运算，注意理解最简二次根式的
概念．
16．解方程：x（x﹣3）=4．
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【考点】解一元二次方程-因式分解法；因式分解-十字相乘法等．
【分析】把方程化成一般形式，用十字相乘法因式分解求出方程的根．
【解答】解：x2﹣3x﹣4=0
（x﹣4）（x+1）=0
x﹣4=0或x+1=0
∴x =4，x =﹣1．
1 2
【点评】本题考查的是用因式分解法解一元二次方程，把方程化成一般形式，再用
十字相乘法因式分解求出方程的根．
四、本题(本题共两小题，每小题8分，共16分）
17．如图，在▱ABCD中，E、F为对角线BD上的两点，且∠BAE=∠DCF．求证：
BE=DF．
【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．
【分析】先由平行四边形的性质得出 AB=CD，∠ABE=∠CDF，再加上已知
∠BAE=∠DCF可推出△ABE≌△DCF，得证．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠ABE=∠CDF，
又已知∠BAE=∠DCF，
∴△ABE≌△DCF，
∴BE=DF．
【点评】此题考查的知识点是平行四边形的性质与全等三角形的判定和性质，关
键是证明BE和DF所在的三角形全等．
18．已知关于x的方程x2﹣2x﹣2n=0有两个不相等的实数根．
（1）求n的取值范围；
（2）若方程的一个根为4，求方程的另一根．
【考点】根的判别式；根与系数的关系．
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【分析】（1）根据判别式的意义得到△=4+8n＞0，然后解不等式即可得到n的取值
范围；
（2）设方程另一个根为t，根据根与系数的关系得到4+t=2，然后解关于t的一次方
程即可．
【解答】解：（1）根据题意得△=4+8n＞0，
解得n＞﹣ ；
（2）设方程另一个根为t，
根据题意得4+t=2，
解得t=﹣2，
即方程的另一根为﹣2．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式（△=b2﹣4ac）：当△＞0时，方程有
两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0
时，方程无实数根．也考查了根与系数的关系．
五、本题（本题共两小题，每小题10分，共20分）
19．（10分）（2016春•安庆期末）已知，如图，在△ABC中，D是BC的中点，
DE⊥BC，垂足为D，交AB于点E，且BE2﹣EA2=AC2，
①求证：∠A=90°．
②若DE=3，BD=4，求AE的长．
【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．
【分析】（1）连接CE，由线段垂直平分线的性质可求得BE=CE，再结合条件可求
得EA2+AC2=CE2，可证得结论；
（2）在Rt△BDE中可求得BE，则可求得CE，在Rt△ABC中，利用勾股定理结合
已知条件可得到关于AE的方程，可求得AE．
【解答】（1）证明：
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连接CE，如图，
∵D是BC的中点，DE⊥BC，
∴CE=BE…
∵BE2﹣EA2=AC2，
∴CE2﹣EA2=AC2，
∴EA2+AC2=CE2，
∴△ACE是直角三角形，即∠A=90°；
（2）解：
∵DE=3，BD=4，
∴BE= =5=CE，
∴AC2=EC2﹣AE2=25﹣EA2，
∵BC=2BD=8，
∴在Rt△BAC中由勾股定理可得：BC2﹣BA2=64﹣（5+EA）2=AC2，
∴64﹣（5+AE）2=25﹣EA2，解得AE= ．
【点评】本题主要考查勾股定理及其逆定理的应用，掌握勾股定理及其逆定理是
解题的关键，注意方程思想在这类问题中的应用．
20．（10分）（2016春•顺义区期末）某校九年级两个班，各选派10名学生参加学
校举行的“汉字听写”大赛预赛，各参赛选手的成绩如下：
A班：88，91，92，93，93，93，94，98，98，100
B班：89，93，93，93，95，96，96，98，98，99
通过整理，得到数据分析表如下：
班级 最高 平均 中位 众 方
分 分 数 数 差
A班 100 a 93 93 c
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B班 99 95 b 93 8.4
（1）直接写出表中a、b、c的值；
（2）依据数据分析表，有人说：“最高分在A班，A班的成绩比B班好”，但也有
人说B班的成绩要好，请给出两条支持B班成绩好的理由．
【考点】方差；加权平均数；中位数；众数．
【分析】（1）求出A班的平均分确定出a的值，求出A班的方差确定出c的值，求
出B班的中位数确定出b的值即可；
（2）分别从平均分，方差，以及中位数方面考虑，写出支持B成绩好的原因．
【解答】解：（1）A班的平均分= =94，
A班的方差= ，
B班的中位数为（96+95）÷2=95.5，
故答案为：a=94 b=95.5 c=12；
（2）①B班平均分高于A班；
②B班的成绩集中在中上游，故支持B班成绩好；
【点评】本题考查了方差的计算，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动
性越大，反之也成立．要学会分析统计数据，运用统计知识解决问题．
六、本题（12分）
21．（12分）（2016春•安庆期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AM⊥BC，
垂足为M，AN⊥DC，垂足为N，若∠BAD=∠BCD=120°，AM=AN= ，
①求证：四边形ABCD是菱形；
②求四边形ABCD的面积．
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【考点】菱形的判定．
【分析】①利用全等三角形的判定与性质得出AB=AD，进而利用菱形的判定方法
得出答案；
②直接利用等边三角形的性质结合勾股定理得出AN，AD的长进而得出答案．
【解答】①证明：∵AD∥BC，
∴∠B+∠BAD=180°，∠D+∠C=180°，
∵∠BAD=∠BCD，
∴∠B=∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形
∵AM⊥BC，AN⊥DC
∴∠AMB=∠AND=90°
在△ABM和△ADN中，
，
∴△ABM≌△ADN（AAS），
∴AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形；
②解：如图：连接AC，
在Rt△AND中，∠D=60°
则AD=2DN AN= ，有AD2=DN2+AN2
即4DN2=DN2+3，
解得：DN=1，
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故AD=2，AN= ，
在等边三角形ACD中S = CD×AN= ，
△ACD
故S =2S =2 ．
ABCD △ACD
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及菱形的判定，正确掌握菱形的判
定方法是解题关键．
七、本题12分
22．（12分）（2016春•安庆期末）某超市如果将进货价为40元的商品按50元销
售，就能卖出500个，但如果这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，如果
你是超市的经理，为了赚得8 000元的利润，你认为售价（售价不能超过进价的
160%）应定为多少？这时应进货多少个？
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】根据售价减去进价表示出实际的利润，根据这种商品每个涨价1元，其销
售量就减少10个，表示出实际的销售量．由利润=（售价﹣进价）×销售量，列出
方程，求出方程的解即可得到结果．
【解答】解：设此商品的单价为（50+x）元，则每个商品的利润是[（50+x）﹣40]元，
销售数量为（500﹣l0x）个．
由题意，得[（50+x）﹣40]（500﹣l0x）=8 000，
整理得x2﹣40x﹣300=0．
解得x =10，x =30，
1 2
∵商品售价不能超过进价的160%，
∴取x=10．
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这时应进货500﹣l0x=400（个）．
故售价定为60元，这时应进货400个．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解“商品每个涨价1
元，其销售量就减少10个”．
八、本题14分
23．（14分）（2011•嘉兴）以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外
侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，顺次连接这四个点，得四边形
EFGH．
（1）如图1，当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形；如图
2，当四边形ABCD为矩形时，请判断：四边形EFGH的形状（不要求证明）；
（2）如图3，当四边形ABCD为一般平行四边形时，设∠ADC=α（0°＜α＜90°），
①试用含α的代数式表示∠HAE；
②求证：HE=HG；
③四边形EFGH是什么四边形？并说明理由．
【考点】正方形的判定；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；菱形的判定
与性质．
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到∠E=∠F=∠G=∠H=90°，求出四边
形是矩形，根据勾股定理求出AH=HD= AD，DG=GC= CD，CF=BF= BC，
AE=BE= AB，推出EF=FG=GH=EH，根据正方形的判定推出四边形EFGH是
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正方形即可；
（2）①根据平行四边形的性质得出，∠BAD=180°﹣α，根据△HAD和△EAB是等
腰直角三角形，得到∠HAD=∠EAB=45°，求出∠HAE即可；
②根据△AEB和△DGC是等腰直角三角形，得出AE= AB，DG= CD，平行
四边形的性质得出 AB=CD，求出∠HDG=90°+a=∠HAE，根据 SAS 证
△HAE≌△HDG，根据全等三角形的性质即可得出HE=HG；
③与②证明过程类似求出GH=GF，FG=FE，推出GH=GF=EF=HE，得出菱形
EFGH，证△HAE≌△HDG，求出∠AHD=90°，∠EHG=90°，即可推出结论．
【解答】（1）解：四边形EFGH的形状是正方形．
（2）解：①∠HAE=90°+α，
在平行四边形ABCD中AB∥CD，
∴∠BAD=180°﹣∠ADC=180°﹣α，
∵△HAD和△EAB是等腰直角三角形，
∴∠HAD=∠EAB=45°，
∴∠HAE=360°﹣∠HAD﹣∠EAB﹣∠BAD=360°﹣45°﹣45°﹣（180°﹣a）=90°
+α，
答：用含α的代数式表示∠HAE是90°+α．
②证明：∵△AEB和△DGC是等腰直角三角形，
∴AE= AB，DG= CD，
在平行四边形ABCD中，AB=CD，
∴AE=DG，
∵△AHD和△DGC是等腰直角三角形，
∴∠HDA=∠CDG=45°，
∴∠HDG=∠HDA+∠ADC+∠CDG=90°+α=∠HAE，
∵△AHD是等腰直角三角形，
∴HA=HD，
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∴△HAE≌△HDG，
∴HE=HG．
③答：四边形EFGH是正方形，
理由是：由②同理可得：GH=GF，FG=FE，
∵HE=HG，
∴GH=GF=EF=HE，
∴四边形EFGH是菱形，
∵△HAE≌△HDG，
∴∠DHG=∠AHE，
∵∠AHD=∠AHG+∠DHG=90°，
∴∠EHG=∠AHG+∠AHE=90°，
∴四边形EFGH是正方形．
【点评】本题主要考查对正方形的判定，等腰直角三角形的性质，菱形的判定和性
质，全等三角形的性质和判定，平行线的性质等知识点的理解和掌握，综合运用
性质进行推理是解此题的关键．
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