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九年级期末考试
数 学 试 题
温馨提示：
1.本试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页. 考试时间120分
钟,满分120分.
2.答题前，考生务必认真阅读答题卡中的注意事项，并按要求进行填、涂和答题.
第Ⅰ卷 （选择题 共45分）
一、选择题（本大题共15个小题，每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．）
1.已知 ∠A为锐角，且sinA ，那么∠A的度数是
A. 15 B. 30 C. 45 D. 60
2.有一种圆柱体茶叶筒如图所示，则它的主视图是
A． B． C． D．
3．在△ABC中，D、E为边AB、AC的中点，已知△ADE的面积为4，那么
△ABC的面积是
A. 8 B. 12
C. 16 D. 20
第3题图
4.下列一元二次方程没有实数根的是
A. B. C. D.
5.已知关于x的一元二次方程 有一根为0，则 的值是
A. -1 B. 1 C. D. 0
6．已知粉笔盒里有4支红色粉笔和n支白色粉笔，每支粉笔除颜色外均相同，现从中任取一
2
支粉笔，取出红色粉笔的概率是 ，则n的值是
5
第 1 页 共 10 页A．4 B．6 C．8 D．10
7．反比例函数 的图象上有两点M，N,那么图中阴影部分面积最大的是
A. B. C. D.
8.抛物线 的顶点坐标是
A．（-2，1） B．（-2，-1） C．（2，-1） D．（2，1）
9.抛物线y＝－2x2不具有的性质是
A. 开口向下 B. 对称轴是y轴
C. 当x＞0时，y随x的增大而减小 D. 函数有最小值
10．函数y=－x2-3的图象向上平移2个单位，再向左平移2个单位后，得到的函数是
A．y=－（x+2）2-1 B．y=－（x-2）2-1
C．y=－（x-2）2+1 D．y=－（x+2）2+1
11．如图，小正方形的边长为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是
A B C D
12.如图，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺OA、OB在O点钉在一起，并
使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆
的直径为
A．10个单位
B．12个单位
C．1个单位
D．15个单位
第12题图
13．如图， 的直径 垂直弦 于P，且P是半径 的中点，
，则直径 的长是
A．
B．
C．
第13题图
D．
第 2 页 共 10 页14.小明、小亮、小梅、小花四人共同探讨代数式x2－6x+10的值的情况. 他们作了如下分工：
小明负责找其值为1时的x的值，小亮负责找其值为0时的x的值，小梅负责找最小值，小花
负责找最大值，几分钟后，各自通报探究的结论，其中错误的是
A. 小明认为只有当x=3时，x2－6x+10的值为1；
B. 小亮认为找不到实数x，使x2－6x+10的值为0；
C. 小梅发现x2－6x+10的值随x的变化而变化，因此认为没有最小值；
D. 小花发现当x取大于3的实数时，x2－6x+10的值随x的增大而增大，因此认为没有
最大值.
15.如图，在正方形ABCD中，AB=3cm，动点M自A点出发沿AB方向以每秒1cm的速度运动，同
时动点N自A点出发沿折线AD—DC—CB以每秒3cm的速度运动，到达B点时运动同时停
止，设△AMN的面积为 （cm2），运动时间为 （秒），则下列图象中能大致反映 与 之间
的函数关系的是
第15题图
第 3 页 共 10 页第Ⅱ卷 （非选择题 共75分）
二、填空题(本大题共6个小题．每小题3分，共18分)．
16.若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是 .
17.若 ，则 的值为_____.
18.2sin60°＋tan45°=_______.
19.如图， 的正切值等于 .
20.如图，点A、B、C在⊙O上，∠C＝115°，则∠AOB＝ .
21.如图，是二次函数 的图象的一部分， 给出下列命题 ：①
abc＜0；② 2a＜b；③ a+b+c=0；④ 的两根分别为-3和1；⑤8a+c＞0.
其中正确的命题是 .
A O
B
C
第19题图 第20题图 21题图
三、解答题（本题共7小题，共57分，解答应写出文字说明或演算步骤）
22.（1）（本小题满分3分）解方程：
(2) (本小题满分4分)求二次函数 的对称轴及顶点坐标.
第 4 页 共 10 页23.（7分）已知如图所示，OA、OB、OC是⊙O的三条半径，弧AC和弧 O
N
M
BC相等，M、N分别是OA、OB的中点．求证：MC=NC
A B
C
第23题图
24．（8分）已知，如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，
AB=5m，某一时刻AB在阳光下的投影BC=3m．
（1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影；
（2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为
6m，请你计算DE的长．
第24题图
25.（8分）父亲节，明明准备为爸爸煮四个大汤圆作早点：一个芝麻馅，一个水果馅，两个花
生馅，四个汤圆除内部馅料不同外，其它一切均相同．
（1）求爸爸吃前两个汤圆刚好都是花生馅的概率；
（2）若给爸爸再增加一个花生馅的汤圆，则爸爸吃前两个汤圆都是花生的可能性是否会增大？
请说明理由．
y
26.（9分）已知反比例函数y＝ (m为常数)的图象经过点A（－1，6）.
A
（1）求m的值；
B
（2）如图，过点A作直线AC与函数y＝ 的图象交于点B，与x轴交于
C O x
点C，且AB＝2BC，求点C的坐标.
第26题图
27．(本题满分9分)
进入冬季，济南市雾霾天气频发，商场根据市民健康需要，代理销售一种防尘口罩，进价
为20元/包。经商场销售发现：售价为30元/包时，每周可售出200包。每涨价1元，就少售出
5包。若供货厂家规定市场售价不得低于30元/包，且商场每周要完成不少于150包的销售
第 5 页 共 10 页任务：
（1）试确定周销售量 （包）与售价（ 元/包）之间的函数关系式；
（2）试确定商场每周销售这种防尘口罩所获得的利润 （元）与售价 （元/包）之间的函数
关系式，并直接写出售价 的范围；
（3）当售价 （元/包）定为多少时，商场每周销售这种防尘口罩所获得的利润 （元）最大？
最大是多少？
28.（本题满分9分）
如图，在平面直角坐标系中，以点C(1,1) 为圆心，2 为半径作圆，交 轴于A，B 两点，
点 P在 ⊙C上．
(1) 求出A，B 两点的坐标；
(2) 试确定经过 A、 B两点且以点 P为顶点的抛物线解析式；
(3) 在该抛物线上是否存在一点D，使线段 OP与CD 互相平分？若存在，求出点 D 的坐标；
若不存在，请说明理由．
第28题图
九年级期末考试
数学试题参考答案
一、选择
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
第 6 页 共 10 页选项 B D C D A B C C D A B A D C B
二．填空：
16. 17. 18. 19. 20.130° 21.
①③④⑤
22.（1）（本小题满分3分）解方程：
x2- 2x = 3
解：
x2- 2x- 3= 0 a=1 b=-2 c= -3
b2-4ac=4+12=16 > 0 ----------------------------------------------1
分
---------------------------------------2分
3
x1=3 x2=-1 ---------------------------------------------------------
分
(2) (本小题满分4分)
解:∵a=-2 b=4 c=3
∴ -----------------------------------------------------2分
---------------------------------3分
∴对称轴：x=1,顶点坐标（1，5） --------------------------------------4分
23．证明：∵弧AC和弧BC相等
∴∠AOC=∠BOC…………………………………………2分
又∵OA=OB M、N分别是OA、OB的中点
∴OM=ON，………………………………………………4分
又知OC=OC
∴△MOC≌△NOC……………………………………6分
∴MC=NC………………………………………………7分
24.解（1）连接AC，过点D作DF∥AC，交直线BC于点F，
线段EF即为DE的投影．……………………………3分
（2）∵AC∥DF，
∴∠ACB=∠DFE………………………………………4分
∵∠ABC=∠DEF=90°
∴△ABC∽△DEF……………………………………6分
∴ ∴ ∴DE=10（m）…………8分
补充说明：画图时，不要求学生做文字说明，只要画出两条平行线AC和DF，再连接EF即可．
第 7 页 共 10 页25. 解：（1）分别用A，B，C表示芝麻馅、水果馅、花生馅的大汤圆，
画树状图得：
………………2分
∵共有12种等可能的结果，爸爸吃前两个汤圆刚好都是花生馅的有2种情况，…3分
∴爸爸吃前两个汤圆刚好都是花生馅的概率为： = ；………4分
（2）会增大．
理由：分别用A，B，C表示芝麻馅、水果馅、花生馅的大汤圆，画树状图得：
…………6分
∵共有20种等可能的结果，爸爸吃前两个汤圆都是花生的有6种情况，………7分
∴爸爸吃前两个汤圆都是花生的概率为： = ＞ ；
∴给爸爸再增加一个花生馅的汤圆，则爸爸吃前两个汤圆都是花生的可能性会增
大．………………………………………………………………8分
第 8 页 共 10 页26.解:(1)∵图象过点A(-1,6) ,
∴ ,……………………………2分
计算得m=2,故m的值为2; ……….3分
(2)分别过点A、B作x轴的垂线,垂足分别为点E、D,
根据题意得,AE=6,OE=1 ,即A(-1,6),
∵BD⊥X轴，AE⊥X轴,∴AE∥BD ∴⊿CBD∽⊿CAE,
∴
∵AB=2BC,
∴ ∴ ∴BD=2，即点B的纵坐标为2………5分
当y=2时,x=-3,即B(-3,2),
设直线AB解析式为:y=kx+b,
把A和B代入得:
计算得出 ………………………………7分
∴直线AB解析式为y=2x+8, ………………………8分
令y=0,计算得出x=-4,∴C(-4,0) ………9分
27．(本小题满分9分)
解：（1） y=-5x+350 ----------------------------------------------------3分
（2） w=(x-20)(-5x+350)
既：w=-5x2+450x-7000 (30≤x≤40) -----------------------------6分
（3） w=-5x2+450x-7000
a=-5 b=450 c= -7000
30≤x≤40
当x=40时，w最大，此时w=3000元.------------------------------------9分
第 9 页 共 10 页28. 解：(1) 做CH⊥x轴，H 为垂足，连接CB-----------1分
∵CH=1，半径CB=2
∴HB= -------------------------------------2分
故 -----------------------3
分
(2) 由圆与抛物线的对称性可知抛物线的顶点P 的坐标为
(1，3) 或(1，-1)---------------------------------4分
情况一：设抛物线表达式y=a(x-1)2+3，
把点 代入上式，解得a=-1．
∴ y=-x2+2x+2-----------------------------------5分
情况二：设抛物线解析式y=a(x-1)2-1，
把点 代入上式，解得 ，
------------------------------6分
(3) 假设存在点D 使线段OP 与CD 互相平分，
则四边形OCPD 是平行四边形----------------7分
∴PC∥OD且PC=OD
∵PC∥Y轴
∴点D在Y轴上．
又PC=2，
∴OD=2，即D(0，2) 或(0，-2) --------------8分
(0，2) 满足y=-x2+2x+2
(0,-2) 不满足任何一条抛物线的解析式，
∴ 点D(0，2) 在抛物线上．
所以存在D(0，2) 使线段OP 与CD 互相平分---------------------------------9分
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