文档内容
3.1-2 确定位置与平面直角坐标系-北师大版(2025)数学八年级上册
一、选择题
1．（2022八上·城阳期中）国庆假期，小磊和小强去电影院观看了首部聚焦“外交官撤侨”的电影
《万里归途》，若电影票上小磊的座号“5排6座”记作(5，6)，则小强的座号“6排7座”可记作
（ ）
A．(−6，7) B．(6，7) C．(7，6) D．(−6，−7)
2．如图，雷达探测器测得六个目标A，B，C，D，E，F出现.按照规定的目标表示方法，目标C，F
的位置分别表示为C(6，120° )，F(5，120°），按照此方法表示目标A，B，D，E的位置，其
中表示不正确的是（ ）
A．A(5，30°
)
B．B(2，90°
)
C．D(4，240°
)
D．E(3，60°
)
3．（2024八上·南山期末）在平面直角坐标系中，点(1，−2)在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（2025八上·威宁期末）在平面直角坐标系中，已知点P(−5,m)在第三象限，则m的值可能为（
）
1
A．−1 B．4 C．0 D．
3
5．（2021八上·丹东期末）在平面直角坐标系中，点M(m−3，m+1)在x轴上，则点M的坐标为（
）．
A．(−4，0) B．(0，−2) C．(−2，0) D．(0，−4)
6．（北师大版数学八年级上册第三章第2节平面直角坐标系同步练习）已知点P（1－2m，m－1），则
不论m取什么值，该P点必不在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．（2018-2019学年数学北师大版八年级上册第三章《位置与坐标》单元测试卷）如图，一个点在第一
1 / 19象限及x轴.y轴上运动，且每秒移动一个单位，在第1秒钟，它从原点运动到（0，1），然后接着按
图中箭头所示方向运动[即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→…]，那么第35秒时质点所
在位置的坐标是（ ）
A．（4，0） B．（0，5） C．（5，0） D．（5，5）
8． 若点M(x，y)坐标满足 (x+ y)❑ 2=x2+ y2-2,则点M所在的象限是( )
A．第一象限或第三象限 B．第二象限或第四象限
C．第二象限或第三象限 D．无法确定
9．（2024八上·武威期末）在平面直角坐标系中，已知点A(1,2)，B(4,5)，C(5,2)，如果存在点E，
使△ACE和△ACB全等，则下列选项中不符合题意的点E的坐标是（ ）
A．(2,5) B．(3,5) C．(4,−1) D．(2,−1)
二、填空题
10．（2020八上·昌图期末）若某个电影院用 (5，12) 表示5排12号，则3排4号可以表示为
．
11．（2025八上·成都期末）已知点P(2m+1,m)在y轴上，则常数m=
12． 已知点P(a，b)， ab>0，a+b<0，则点 P在第 象限.
13．（2020八上·沈阳期末）直角坐标系中，点P（x，y）在第三象限，且P到x轴和y轴的距离分别
为3，4，则点P的坐标为 ．
14．（2024八上·深圳期中）在平面直角坐标系中，点M(m+3,2m+4)在y轴上，则点M的坐标是
.
15．（2025八上·诸暨期末）在平面直角坐标系中，第一象限内一点(m,2m−1)到x轴和y轴的距离相
等，则m= ．
16．（2025八上·宝安期末）如图，平面上的25个点组成一个5×5的点阵，同一行或同一列中的两个
相邻点之间的距离相等，在点阵中建立平面直角坐标系，若B(2,0)，C(2,4)，则点A的坐标为
.
2 / 1917．（2024八上·玉州期末）平面直角坐标系中有点A(0,6)、b(8,0)，连接AB，以AB为直角边在第
一象限内作等腰直角三角形ABC，则点C的坐标是 .
三、解答题
18．（2023八上·宝鸡期中）已知点P（8﹣2m，m+1）．
（1）若点P在y轴上，求m的值．
（2）若点P在第一象限，且点P到x轴的距离是到y轴距离的2倍，求P点的坐标．
19．（2020八上·中宁期中）已知正方形ABCD的边长为1，分别写出图①和②中点A，B，C，D的
坐标.
20．已知点A，B，C的坐标分别为(m，-2)，(3，m-1)，(2-n，3n+6).
（1）若点C在y轴上，求n的值；
（2）若AB所在的直线∥x轴，则AB的长为多少?
（3）点C到两坐标轴的距离相等，求点C的坐标.
21．（2024八上·沈北新期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大
值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“角平分线点”．
（1）点A(−3,5)的“长距”为______；
（2）若点B(4−2a,−2)是“角平分线点”，求a的值；
（3）若点C(−2,3b−2)的长距为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为(9−2b,−5)，请判断
点D是否为“角平分线点”，并说明理由．
22．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD=4，BC=6，AB=3.
3 / 19（1）建立适当的直角坐标系，并写出顶点A，B，C，D的坐标.
（2）若要使点A的坐标为(-3，3)，该如何建立直角坐标系?
四、实践探究题
23．（2023八上·六安期中）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A(a，b)，B(c，d)，若点
a+c b+d
T(x，y)满足x= ，y= ，那么称点T是点A和B的衍生点.例如：M(−2，5)，
3 3
N(8，−2)，则点T(2，1)是点M和N的衍生点.已知点D(3，0)，点E(m，m+2)，点T(x，y)
是点D和E的衍生点.
（1）若点E(4，6)，则点T的坐标为
（2）请直接写出点T的坐标（用m表示）；
（3）若直线ET交x轴于点H，当∠DHT=90°时，求点E的坐标.
24．（2021八上·盂县期中）我们在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在
一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题．例如：我们在解决：“如图1，在△ABC
中，∠ACB=90°，AC=BC，线段DE经过点C，且AD⊥DE于点D，BE⊥DE于点E．求证：
AD=CE，CD=BE”这个问题时，只要证明△ADC≌△CEB，即可得到解决，
（1）积累经验：
请写出证明过程；
（2）类比应用：
如图2，在平面直角坐标系中，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点A的坐标为(0，2)，点
C的坐标为(1，0)，求点B与x轴的距离．
（3）拓展提升：
4 / 19如图3，△ABC在平面直角坐标系中，∠ACB=90°，AC=BC，点A的坐标为(2，1)，点C的
坐标为(4，2)，求点B的坐标．
五、阅读理解题
n+2
25．（2023八上·江州期末）已知当m，n都是实数，且满足2m＝8+n时，称p（m﹣1， ）为“开
2
心点”．例如点A（5，3）为“开心点”．
n+2
∵当A（5，3）时，m﹣1＝5， ＝3，得m＝6，n＝4，∴2m＝2×6＝12，
2
8+n＝8+4＝12，∴2m＝8+n．∴A（5，3）是“开心点”．
（1）判断点B（9，6）是否为“开心点”，并说明理由；
（2）若点M（a，2a-3）是“开心点”，请判断点M在第几象限？并说明理由．
5 / 19答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】有序数对
【解析】【解答】解：∵“5排6座”记作(5，6)
∴“6排7座”可记作(6，7)
故答案为：B
【分析】根据有序数对的定义及题干中的书写要求求解即可。
2．【答案】D
【知识点】有序数对
【解析】【解答】解：由题意知C(6，120°)，F（5，210°)，按照规律即可判断A(5，30°），B(2，
90°），D(4，240°），E(3，300°）.
故答案为：D.
【分析】利用圆圈数表示横坐标，度数表示纵坐标，即可得出答案.
3．【答案】D
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：点(1，−2)的横坐标为正，纵坐标为负，故在第四象限.
故答案为：D．
【分析】根据象限的坐标特征：第一象限(+，+)，第二象限(−，+)，第三象限(−，−)，第四象限
(+，−)，即可得解．
4．【答案】A
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点P(−5,m)在第三象限，
∴m<0，
∴m的值可能为−1；
故选A．
【分析】
根据点P(−5,m)在第三象限可得m<0，再逐项进行判断即可．
5．【答案】A
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：∵点M(m−3，m+1)在x轴上，
∴m+1=0
解得m=−1
6 / 19∴m−3=−1−3=−4
∴M(−4，0)
故答案为：A
【分析】根据x轴上的点坐标的特征可得m+1=0，求出m的值，即可得到点M的坐标。
6．【答案】A
【知识点】点的坐标与象限的关系
1
【解析】【解答】解：①1-2m>0时， m< ，
2
m－1＜0，
所以，点P在第四象限，一定不在第一象限；
1
②1-2m＜0时，m> ，
2
m-1既可以是正数，也可以是负数，
点P可以在第二、三象限，
综上所述，P点必不在第一象限．
故选A．
【分析】分别从横坐标大于0和小于0两个方面，求出横坐标m的取值范围，进而确定m-1的符号，
从而确定P点的位置
7．【答案】C
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】3秒时到了（1，0）；8秒时到了（0，2）；15秒时到了（3，0）；24秒到了
（0，4）；35秒到了（5，0）；48秒到了（0，6）；63秒到了（7，0）；∴那么第63秒后质点所
在位置的坐标是（7，0）．
故答案为：C
【分析】抓住已知条件：一个点在第一象限及x轴.y轴上运动，且每秒移动一个单位，观察可得出
点的移动和时间的关系，找出规律，即可解答。
8．【答案】B
7 / 19【知识点】完全平方公式及运用；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵ (x+ y)❑ 2=x2+ y2-2,
∴x2+2xy+ y2=x2+ y2-2
xy=-1
∴当x>0时，y<0
当x<0时，y>0
∴ 点M所在的象限是第二象限或第四象限
故答案为：B
【分析】根据(x+ y)❑ 2=x2+ y2-2,可得xy=-1，则当x>0时，y<0，当x<0时，y>0，点M所在的象
限是第二象限或第四象限。
9．【答案】B
【知识点】点的坐标；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：如图所示：
∴有3个点，当E在D、F处以及本身处时，△ACE和△ACB全等，
则点E的坐标是：(2,5)，(2,−1)，(4,−1)，
故答案为：B
【分析】根据题意画出图像，进而直接读出点的坐标即可求解。
10．【答案】(3，4)
【知识点】有序数对
【解析】【解答】解：电影院里第5排12号可以表示为（5，12），那么3排4号可以表示为 （3，
4）．
8 / 19故答案为：（3，4）．
【分析】由于电影院用（5，12）表示5排12号，根据这个规律即可确定3排4号的表示方法。
1
11．【答案】−
2
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：∵点P(2m+1,m)在y轴上，
∴2m+1=0，
1
解得：m=− ，
2
1
故答案为：− ．
2
【分析】y轴上的点（0，y），x轴上的点（x，0），据此列出关于字母m的方程，求解即可.
12．【答案】三
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵ ab>0，a+b<0，
∴a<0，b<0
∴点P(a，b)在第三象限
故答案为：三
【分析】根据ab>0，a+b<0可得a<0，b<0，则点P(a，b)在第三象限。
13．【答案】（﹣4，﹣3）
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：∵点P在第三象限，且点P到x轴和y轴的距离分别为3，4，
∴点P的横坐标是﹣4，纵坐标是﹣3，即点P的坐标为（﹣4，﹣3）．
故答案是：（﹣4，﹣3）．
【分析】根据点的坐标的几何意义及点在第三象限内的坐标符号的特点解答即可．
14．【答案】(0,−2)
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：∵点M在y轴上，
∴m+3=0，
解得：m=-3，
∴2m+4=2×（-3）+4=-2，
∴点M的坐标为（0，-2），
故答案为：（0，-2）.
9 / 19【分析】利用y轴上点坐标的特征可得m+3=0，求出m的值，再求出2m+4的值，即可得到点M的
坐标.
15．【答案】1
【知识点】点的坐标；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵在平面直角坐标系中，点(m,2m−1)到x轴和y轴的距离相等，
∴|m|=|2m−1|，
∴m=2m−1或−m=2m−1，
1
解得m=1或m= ，
3
当m=1时，2m−1=1，此时点的坐标为(1,1)，位于第一象限内，符合题意；
1 1 (1 1)
当m= 时，2m−1=− ，此时点的坐标为 ,− ，位于第四象限内，不符合题意；
3 3 3 3
∴m=1
故答案为：1．
【分析】利用点到x轴的距离是纵坐标的绝对值、到y轴的距离是横坐标的绝对值得到|m|=|2m−1|，
求出m的值，然后利用第一象限内点的特征解题．
16．【答案】（-2，4）
【知识点】点的坐标；平面直角坐标系的构成
【解析】【解答】解：∵B(2,0)，C(2,4)，
∴建立坐标系如图所示：
10 / 19∴点A的坐标是 （-2，4）
故答案为： （-2，4）
【分析】根据点B和点C的坐标建立坐标系，进而直接读出点A的坐标即可求解。
17．【答案】(6,14)或(14,8)
【知识点】点的坐标；勾股定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：根据题意可得AB=√(6-0) 2+(0-8) 2=10，
∵以AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，
可得：AC＝5或BC＝5，
①如图，当∠CAB＝90°时，AC ＝5，
1 1
过点C 作y轴的垂线段，交y轴于点E，
1
∴∠EAC ＋∠BAO＝90°，
1
∵CE⊥EA，
1
∴∠EAC ＋∠EC A＝90°，
1 1
11 / 19∴∠BAO＝∠AC E，
1
在△CEA和△AOB中，
1
¿，
∴△C EA≌△AOB（AAS），
1
∴EC ＝AO＝6，EA＝OB＝8，
1
∴EO＝EA＋AO＝14，
∴C（6，14）；
1
②如图，当∠CBA＝90°时，BC ＝5，
2 2
同（1）中得△AOB≌△BDC （AAS），
2
∴BD＝AO＝6，CD＝BO＝8，
2
∴OD＝OB＋BD＝14，
∴C（14，8），
2
综上所述，点C的坐标是（6，14）或（14，8），
故答案为：（6，14）或（14，8）．
【分析】先利用勾股定理求出AB的长，再分类讨论：①如图，当∠CAB＝90°时，AC ＝5，②如图，
1 1
当∠CBA＝90°时，BC ＝5，再利用全等三角形的判定方法和性质求出BD＝AO＝6，CD＝BO＝
2 2 2
8，再分别求出ED和OD的长，即可得到点C的坐标.
18．【答案】（1）解：∵点P（8﹣2m，m+1）在y轴上
∴8﹣2m=0
解得：m=4
（2）∵点P（8﹣2m，m+1）在第一象限
∴8﹣2m＞0 ，m+1＞0，解得-1＜m＜4
∵（8﹣2m，m+1）到x轴的距离是到y轴距离的2倍
∴m+1=2（8﹣2m）
解得：m=38﹣2m=2 m+1=4
∴P（2，4）
【知识点】点的坐标；利用合并同类项、移项解一元一次方程；点的坐标与象限的关系
【解析】【分析】（1）根据y轴上的点横坐标为0，列一元一次方程，解方程即可求出m的值；
（2）根据第一象限的点横坐标和纵坐标都大于0，列不等式，即可求出m的解集；根据一个点的横
坐标是到y轴的距离，纵坐标是到y轴的距离，列一元一次方程，即可求出m的值；将m的值代入
代数式，即可求出点P的坐标.
12 / 1919．【答案】解：图①中各点的坐标：A(0，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)；图②中各点的坐标：
1 1 1 1 1 1 1 1
A (− ，− ) ，B ( ，− ) ，C ( ， ) ，D (− ， ) .
2 2 2 2 2 2 2 2
【知识点】点的坐标
【解析】【分析】（1）根据图（1）可以得到点A、B、C、D的坐标；
（2）根据图（2）可以得到点A、B、C、D的坐标.
20．【答案】（1）解：∵ 点C在y轴上
∴2-n=0
解得 n=2
（2）解：∵ AB所在的直线∥x轴
∴m-1=-2
解得 m=-1
∴AB=|(-1)-3|=4
（3）解：∵ 点C到两坐标轴的距离相等
∴2-n=3n+6，解得 n=-1
2-n+3n+6=0，解得n=-4
当n=-1时，点C的坐标是（3，3）
当n=-4时，点C的坐标为是(6，-6).
【知识点】点的坐标；点的坐标与象限的关系
【解析】【分析】（1）根据平面直角坐标系中y轴上点的横坐标为0可得2-n=0，解之可得n=2；
（2）根据平面直角坐标系中平行于x轴的直线上的点纵坐标相等可得m-1=-2，解之可得m=-1，则
AB=4；
（3）根据点C到两坐标轴的距离相等可得2-n=3n+6，解得 n=-1；2-n+3n+6=0，解得n=-4，进而求
出点C的坐标。
21．【答案】（1）5
（2）解：∵点B(4−2a,−2)是“角平分线点”，
∴|4−2a|=|−2|，
∴4−2a=2或4−2a=−2，
解得a=1或a=3；
（3）解：∵点C(−2,3b−2)的长距为4，且点C在第二象限内，
13 / 19∴3b−2=4，解得b=2，
∴9−2b=5，
∴点D的坐标为(5,−5)，
∴点D到x轴、y轴的距离都是5，
∴点D是“角平分线点”．
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】（1）解：根据题意，得点A(−3,5)到x轴的距离为5，到y轴的距离为3，
∴点A的“长距”为5．
故答案为：5；
【分析】（1）利用“长距”的定义解答；
（2）利用“角平分线点”的定义列方程解题即可；
（3）根据“长距”的定义得到b的值，再利用“角平分线点”的定义解题．
（1）解：根据题意，得点A(−3,5)到x轴的距离为5，到y轴的距离为3，
∴点A的“长距”为5．
故答案为：5；
（2）解：∵点B(4−2a,−2)是“角平分线点”，
∴|4−2a|=|−2|，
∴4−2a=2或4−2a=−2，
解得a=1或a=3；
（3）解：∵点C(−2,3b−2)的长距为4，且点C在第二象限内，
∴3b−2=4，解得b=2，
∴9−2b=5，
∴点D的坐标为(5,−5)，
∴点D到x轴、y轴的距离都是5，
∴点D是“角平分线点”．
22．【答案】（1）解：以点B为坐标原点，AB所在直线为y轴，BC所在直线为x轴建立直角坐标
系，如图：
14 / 19则B（0，0），A（0，3），C（6，0）．D（4，3）
（2）解：由题意可得：
若要使点A的坐标为（-3，3），则应以BC为x轴，在AD上截取AE=3，过点E作BC的垂线为y
轴
【知识点】点的坐标；平面直角坐标系的构成
【解析】【分析】（1）以点B为坐标原点，AB所在直线为y轴，BC所在直线为x轴建立直角坐标
系，再根据各点位置即可求出答案.
（2）根据点A坐标特征建立直角坐标系即可.
7
23．【答案】（1）( ，2)
3
3+m 2+m
（2）解：( ， )
3 3
3 7
（3）解：( ， )
2 2
【知识点】点的坐标；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）∵点D(3，0)，E(4，6)，
3+4 7 0+6
根据衍生点的定义可得：x= = ，y= =2，
3 3 3
7
∴点T的坐标为（ ，2）；
3
7
故答案为：（ ，2）；
3
（2）点D(3，0)，E(m，m+2)，
3+m m+2
根据衍生点的定义可得：x= ，y= ，
3 3
3+m 2+m
∴点T的坐标为：( ， )；
3 3
3+m 2+m
故答案为：( ， )；
3 3
（3）
∵∠DHT=90°，
∴点E和点T的横坐标相同，
15 / 193+m
∴ =m，
3
3
∴m= ，
2
3 7
∴m+2= +2= ，
2 2
3 7
∴点E的坐标为( ， )
2 2
3 7
故答案为：( ， )
2 2
【分析】(1)根据衍生点的定义进行计算即可得出点T的坐标；
（2）根据衍生点的定义进行计算即可得出点T的坐标；
3+m 3
（3）首先根据∠DHT=90°得出点E和点T的横坐标相同，即可得出等式 =m，解得m= ，
3 2
进一步即可得出点E的坐标。
24．【答案】（1）证明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠D=∠E=90°，
∴∠DAC+∠ACD=90°，
16 / 19又∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，
∴∠DAC=∠BCE，
{
∠D=∠E
在△ADC和△CEB中， ∠DAC=∠BCE，
AC=BC
∴△ADC≌△CEB，
∴AD=CE，CD=BE；
（2）解：如图，过点B作BE⊥x轴于点E，
∵∠AOC=90°，
∴∠OAC+∠ACO=90°，
又∵∠ACB=90°，
∴∠ACO+∠BCE=90°，
∴∠OAC=∠BCE，
{∠AOC=∠CEB=90°
在△AOC和△CEB中， ∠OAC=∠ECB ，
AC=BC
∴△AOC≌△CEB，
∴CO=BE，
又∵点C的坐标(1，0)，
∴CO=1，
∴BE=1，即点B到x轴的距离是1；
（3）解：如图，过点C作CF⊥x轴于点F，再过点A、B分别作AE⊥CF，BD⊥CF，
17 / 19∵AE⊥CF，BD⊥CF，
∴∠AEC=∠CDB=90°，
∴∠ACE+∠CAE=90°，
又∵∠ACB=90°，
∴∠ACE+∠BCD=90°，
∴∠CAE=∠BCD，
{∠AEC=∠CDB
在△ACE和△BCD中， ∠CAE=∠BCD，
AC=BC
∴△ACE≌△CBD，
∴BD=CE，AE=CD，
又∵A的坐标为(2，1)，点C的坐标为(4，2)，
∴CE=BD=2−1=1，CD=AE=4−2=2，
设B点坐标为(a，b)，
则a=4－1=3，b=2+2=4，
∴点B的坐标为(3，4)．
【知识点】点的坐标；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）利用全等三角形的判定与性质证明求解即可；
（2）先求出 ∠OAC=∠BCE， 再求出 △AOC≌△CEB， 最后求解即可；
（3）先求出 ∠CAE=∠BCD， 再利用全等三角形的判定与性质证明求解即可。
25．【答案】（1）解：点B（9，6）不是“开心点”，理由如下：
n+2
∵当点B（9，6）时，m−1＝9， =6，
2
解得：m＝10，n＝10，
∵2m＝20，8＋n＝18，
∴2m≠8＋n，
∴点B（9，6）不是“开心点”.
18 / 19（2）解：∵点M（a，2a−3）是“开心点”，
n+2
∴m−1＝a， =2a-3，
2
解得：m＝a＋1，n＝4a−8，
∵2m＝8＋n，
∴2（a＋1）＝8＋4a−8，
解得：a＝1，
∴2a−3＝−1，
此时点M的坐标为（1，−1），
∴点M在第四象限．
【知识点】点的坐标；点的坐标与象限的关系
【解析】【分析】（1）先利用“开心点”的定义求出m，n的值，再结合2m≠8＋n，即可得到点B
（9，6）不是“开心点”；
（2）先利用“开心点”的定义求出m＝a＋1，n＝4a−8，再结合题意可得2（a＋1）＝8＋4a−8，求
出a的值，再求出点M的坐标，再利用点坐标与象限的关系分析求解即可.
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