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3.2 平面直角坐标系
题型一 判断点在坐标系中的位置
1．（24-25七年级下·广西河池·期末）下列坐标中，在第四象限的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【知识点】判断点所在的象限
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握各象限内点的坐标特征．
利用平面直角坐标系中第四象限内点的坐标特征，即横坐标大于0，纵坐标小于0，进行判断即可．
【详解】解：平面直角坐标系中第四象限内点的坐标特征为：横坐标大于0，纵坐标小于0，
符合该特征的是B选项，
故选：B．
2.如果点 在第三象限，那么点 在（ ）
A．x轴正半轴上 B．x轴负半轴上 C．y轴正半轴上 D．y轴负半轴上
【答案】D
【知识点】已知点所在的象限求参数、判断点所在的象限
【分析】本题考查直角坐标系中点的特征，熟练掌握点在直角坐标系中的特征是解题的关键，根据第三象
限点的坐标特征确定 的符号，进而计算 的符号，判断点 的位置．
【详解】解：∵点 在第三象限，
∴ ，
∴ ，
∴点 在y轴负半轴上．
故选：D．
题型二 点到坐标轴的距离问题
3.点P在第二象限内，点P到x轴的距离是4，到y轴的距离是3，那么点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】已知点所在的象限求参数、求点到坐标轴的距离
【分析】本题主要考查了点到坐标轴的距离，第二象限内的点的坐标特点，点到x轴的距离为该点纵坐标
的绝对值，点到y轴的距离为该点横坐标的绝对值，再结合第二象限内的点横坐标为负，纵坐标为正可得
答案．
【详解】解：∵点P到x轴的距离是4，到y轴的距离是3，
∴点P的横坐标的绝对值为3，纵坐标的绝对值为4，∵点P在第二象限内，
∴点P的横坐标为负，纵坐标为正，
∴点P的横坐标为 ，纵坐标为4，即点P的坐标为 ，
故选：C．
4.在平面直角坐标系中有一点P，其到x轴的距离为1，与原点的距离为 ，则点P到y轴的距离是
（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】D
【知识点】已知两点坐标求两点距离、求点到坐标轴的距离
【分析】本题考查了点的坐标，勾股定理，熟练掌握平面直角坐标系是解题的关键．
根据勾股定理求出点P到y轴的距离即可．
【详解】解：∵点P到x轴的距离为1，与原点的距离为 ，
∴点P到y的距离为 ，
故选：D．
5．（24-25七年级下·广东肇庆·期中）已知点A的坐标为 ，则点A到y轴的距离为 ．
【答案】2
【知识点】求点到坐标轴的距离
【分析】本题考查坐标平面内点的坐标的几何意义，掌握相关知识是解决问题的关键．点到y轴的距离是
点横坐标的绝对值，据此解得即可．
【详解】解：A的坐标为 ，则点A到y轴的距离为2．
故答案为：2．
6．（24-25七年级下·江苏南京·期中）若 ，则点 到x轴的距离是 ，到y
轴的距离是 ．
【答案】
【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、求点到坐标轴的距离【分析】本题考查了求点到坐标轴的距离，涉及了绝对值和算术平方根的非负性，由题意得
，即可求解；
【详解】解：由题意得 ，
∴ ，
∴ ；
故点 到x轴的距离是 ，到y轴的距离是 ；
故答案为：① ②
7.在如图所示的平面直角坐标系中描出下列各点，然后解答问题：
， ， ， ， ， ．
(1)A点到原点 的距离是______个单位长度；
(2)将点 向左平移6个单位，它会与点______重合；
(3)连接 ，则直线 与 轴是什么位置关系？
(4)点F到 、 轴的距离分别是多少？
【答案】(1)
(2)
(3)平行
(4)7 ；5．
【知识点】坐标系中描点、求点到坐标轴的距离
【分析】此题主要考查了点的坐标性质以及平移的性质，根据坐标系得出各点的位置是解题关键．
（1）根据 点坐标可得出 点在 轴上，即可得出 点到原点的距离；（2）根据点的平移的性质得出平移后的位置；
（3）利用图形性质得出直线 与 轴的位置关系；
（4）利用 点的横纵坐标得出点 分别到 、 轴的距离．
【详解】（1）如图所示： 点到原点的距离是3；
故答案为3；
（2）将点 左平移 个单位，它与点 重合；
故答案为 ；
（3）点 和点 的横坐标相同，所以直线 平行于 轴，
（4）因为 ，所以点 到 轴的距离为7、到 轴的距离为5．
8.已知点 是平面直角坐标系中的点．
(1)若点A在第二象限，且到x轴，y轴的距离相等，求a的值；
(2)若点A在第三象限，且到两坐标轴的距离和为9，请确定点A的坐标．
【答案】(1)
(2)
【知识点】已知点所在的象限求参数、求点到坐标轴的距离
【分析】本题考查了点的坐标；
（1）点A在第二象限，且到x轴，y轴的距离相等，点的横、纵坐标互为相反数可得 ，然后
进行计算即可解答；（2）根据第三象限点的坐标特征为 ，然后列出方程进行计算即可解答．
【详解】（1）解：∵点A在第二象限，且到x轴，y轴的距离相等，
∴点的横、纵坐标互为相反数，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵点A在第三象限，且到两坐标轴的距离和为9，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
题型三 坐标轴（平行坐标轴的直线）上的点的坐标特征
9.如果 在y轴上，那么点P的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】已知点所在的象限求参数
【分析】本题考查了y轴上点的坐标特征，熟练掌握y轴上的点的横坐标为0是解题的关键.
根据y轴上点的坐标特点可得 ，解方程求得m后即可求得答案.
【详解】解：∵ 在y轴上，
∴ ，
解得 ，
∴点P的坐标为 ，
故选：C．
10.将点 向上平移1个单位得到点Q，且点Q在x轴上，则点P的坐标为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】已知点所在的象限求参数、由平移方式确定点的坐标
【分析】本题主要考查了点的平移，点在坐标轴上的特点，根据将点 向上平移1个单位得
到点Q，点Q在x轴上，可得出 ，进而可求出m的值，进一步即可求出点P的坐标．
【详解】解：将点 向上平移1个单位得到点Q，
则
∵点Q在x轴上，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
11.（24-25九年级下·广东中山·期中）过点 和点 作直线，则直线 （ ）
A．平行于 轴 B．平行于 轴 C．与 轴相交 D．与 轴垂直
【答案】B
【知识点】坐标系中的平移
【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征，数形结合，熟记过纵坐标相等的点的直线垂直于 轴
（平行于 轴）是解决问题的关键．
【详解】解：∵点 和点 的纵坐标相等，
∴直线 平行于 轴，
故选：B．
12．（23-24七年级下·陕西延安·期末）在平面直角坐标系中，已知点 ， ．
(1)若点 在 轴上，求点 的坐标；
(2)若线段 轴，求线段 的长．【答案】(1)
(2)4
【知识点】已知点所在的象限求参数、写出直角坐标系中点的坐标、求点到坐标轴的距离
【分析】本题考查了点的坐标，平面直角坐标系，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据在x轴上的点的纵坐标为0，列式计算，即可作答．
（2）根据平行于y轴的两个点的横坐标是相等的，进行列式计算，即可作答．
【详解】（1）解：∵ 在 轴上，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点 的坐标是 ；
（2）解：∵ 轴， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ．
题型四 根据点的位置求参数（范围）
13.已知点 在第三象限的角平分线上，则 的值为 ．
【答案】1
【知识点】已知点所在的象限求参数
【分析】此题主要考查了点的坐标，正确掌握第三象限的角平分线上点的坐标关系是解题关键．
利用第三象限的角平分线上点横纵坐标相等进而得出答案．
【详解】解：∵点 在第三象限的角平分线上，
∴ ，解得： ．
故答案为：1．
14.平面直角坐标系中，若点 在第四象限，则m 0（填“ ”或“ ”）．
【答案】
【知识点】已知点所在的象限求参数
【分析】本题考查了平面直角坐标系中各象限内点的坐标特征，解题的关键是掌握各象限内点的坐标符号
特点．根据平面直角坐标系中第四象限内点的坐标特征进行判断．
【详解】解：在平面直角坐标系中，四个象限的符号特点分别是：第一象限 ；第二象限 ；第三
象限 ；第四象限 ．
已知点 在第四象限，第四象限内点的横坐标为正，纵坐标为负，
所以 ．
故答案为： ．
15．（24-25九年级上·广东肇庆·期末）已知点 与点 关于点 对称，则 ．
【答案】
【知识点】中点坐标
【分析】本题考查了两点关于某点对称的点的坐标特征，解题的关键是掌握两点关于某点对称，则该点的
坐标为这两点的中点坐标，利用中点坐标公式建立方程即可解答．
【详解】解：∵点 与点 关于点 对称，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
题型五 建立平面直角坐标系表示坐标
16.如图所示，在象棋棋盘上建立直角坐标系，使“帅”位于点 ，“马”位于点 ，则“兵”
位于点 ．【答案】
【知识点】实际问题中用坐标表示位置
【分析】本题考查了用坐标表示位置，正确建立平面直角坐标系是解题关键．根据“帅”和“马”的坐标，
建立平面直角坐标系，由此即可得．
【详解】解：如图，由“帅”位于点 ，“马”位于点 ，建立平面直角坐标系如下（每一格表
示1个单位长度）：
则“兵”位于点 ，
故答案为： ．
17.府兴中学举行秋季田径运动会，为了保障开幕式表演的整体效果，该校在操场中标记了几个关键位置，
如图是利用平面直角坐标系画出的关键位置分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为 轴、 轴的
正方向，表示点 的坐标为 ，表示点 的坐标为 ，则表示其他位置的点的坐标正确的是
（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【知识点】实际问题中用坐标表示位置
【分析】本题主要考查了利用坐标确定位置，正确建立平面直角坐标系是解题关键．利用已知点坐标先确
定平面直角坐标系，再逐项判断即得答案．
【详解】解：根据题意，建立平面直角坐标系如下：
∴ ， ， ， ，
故选：D．
18.如图，这是某市部分简图，请按要求画出平面直角坐标系，分别写出各地的坐标．
(1)画出平面直角坐标系；
(2)文化宫： ，超市∶ ．
体育场：(__________)．
医院∶ (__________)．
火车站∶ (__________)．
宾馆∶ (__________)．
市场∶ (__________)．
【答案】(1)见解析(2) ， ， ， ，
【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、实际问题中用坐标表示位置
【分析】本题考查了平面直角坐标系的应用，熟练掌握用坐标表示地理位置的方法是解题的关键．
（1）根据文化宫和超市的坐标建立平面直角坐标系即可；
（2）根据坐标系得出所求点的坐标．
【详解】（1）解：如图所示，
（2）解：体育场： ．
医院∶ ．
火车站∶ ．
宾馆∶ ．
市场∶ ．
19.已知： ．请在坐标系中描出各点，并找出点A和点D，点B和点F之间的位置关系．
【答案】见解析，点A和点D都在y轴上，并且到原点的距离相等，都是1，点B和点F都在x轴上，且
到原点的距离也相等，都是2．
【知识点】坐标系中描点
【分析】本题主要考查在直角坐标系中描点，观察点的关系，掌握点的坐标是解题的关键．
根据点坐标在直角坐标系中描绘出，观察点之间的关系即可．
【详解】如图所示：
从平面直角坐标系中可以看出，点A和点D都在y轴上，并且到原点的距离相等，都是1，
点B和点F都在x轴上，且到原点的距离也相等，都是2．
20.（1）写出图中A，B，C，D各点的坐标；
（2）描出下列各点： ；
（3）顺次连接A，B，C，D各点，再顺次连接E，F，G，H，点A，B，C，D围成的封闭图形是什么图形？【答案】（1） ；（2）见解析；（3）正方形
【知识点】坐标系中描点、写出直角坐标系中点的坐标
【分析】本题考查平面直角坐标系，掌握在平面直角坐标系中写出点的坐标与根据坐标描点是解题的关键．
（1）由图直接写出各点的坐标即可；
（2）根据各点的坐标的坐标直接描点；
（3）根据图形即可解答．
【详解】解：（1）各点坐标分别为 ；
（2）所求各点如图所示；
（3）如图所示，围成的封闭图形是是正方形．
题型六 中点坐标问题
21．（23-24八年级上·广东茂名·期末）点 和点 的中点坐标为 ．
【答案】
【知识点】中点坐标
【分析】本题考查中点坐标公式．若 ， ，则中点坐标为 ，熟练掌握公式
是解题的关键．根据中点坐标公式运算即可．
【详解】解：∵点 和点
∴ ， ，
∴点 和点 的中点坐标为 ．
故答案为： ．
22．（24-25八年级上·吉林·期末）等腰 在平面直角坐标系中，底边的两端点坐标是 ， ，
则其顶点的坐标能确定的是（ ）
A．横坐标 B．纵坐标 C．横坐标及纵坐标 D．横坐标或纵坐标
【答案】B
【知识点】三线合一、中点坐标、等腰三角形的定义
【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，利用等腰三角形的三线合一的性质得出顶点的位置是解本题
的关键．
根据题目条件可以求出等腰三角形底边中点的坐标，从而得出答案．
【详解】解：∵等腰三角形底边的两端点坐标是 ， ，
∴两点都在y轴上，
∴底边中点的坐标为： ，即 ，
∴由等腰三角形的性质可以知道其顶角顶点的纵坐标为 ．
故选：B．
23．（24-25七年级下·贵州黔南·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为 ，
，将线段 向右平移4个单位长度后得到线段 ，再将线段 向下平移4个单位长度后得到
线段 ．(1)请画出平移后的线段 和 ；
(2)连接 ， ， ，分别写出三条线段的中点坐标；
(3)若点 和 ，直接写出线段 的中点坐标．
【答案】(1)见详解
(2) ； ；
(3)
【知识点】中点坐标、由平移方式确定点的坐标、已知图形的平移，求点的坐标
【分析】（1）根据平移的方向及距离即可作图；
（2）观察图像即可得解．
（3）设线段 的中点坐标为 ，根据 ， 求出 ， 即可得线段
的中点坐标．
【详解】（1）解：如图，线段 和 即为所求；（2）解：观察图像可得：
的中点坐标为 ，
的中点坐标为 ，
的中点坐标为 ．
（3）解：若点 和 ，设线段 的中点坐标为 ，
设 ， ，
则 ，
解得 ，
，
解得 ，
∴线段 的中点坐标为 ．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中的平移作图和求线段中点坐标，熟练掌握平移的口诀：上加下减，
左加右减是解题的关键．
题型七 求平移前或平移后的点的坐标24.在同一平面直角坐标系内点 通过平移得到 ，则点 通过平移所得到的点的 坐
标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】由平移方式确定点的坐标、已知点平移前后的坐标，判断平移方式
【分析】本题考查了根据平移的性质求点的坐标；根据已知可得平移方向为向左平移1个单位，向上平移
1个单位，即可求解．
【详解】解：∵点 通过平移得到 ，
∴平移方向为向左平移1个单位，向上平移1个单位．
∴点 通过平移所得到的点的 坐标为 即 ．
故选：A．
25．（2025·贵州遵义·模拟预测）在平面直角坐标系中，将线段 平移到线段 的位置，a的值为
（ ）
A．1 B． C．3 D．
【答案】C
【知识点】由平移方式确定点的坐标、已知图形的平移，求点的坐标
【分析】本题考查坐标与图形变化—平移，利用坐标平移的变化规律即可解决问题．
【详解】解：∵线段 平移到线段 ，
∴线段 向左平移1个单位，再向上平移5个单位得到线段 ，
∴ ．
故选：C26.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，将线段 平移，使得点A
平移到点 ，则平移后点B的坐标为（ ）
A． B． C． D． 或
【答案】B
【知识点】已知图形的平移，求点的坐标
【分析】根据点 平移到点 可得该线段平移的方法，用这个平移方法即可得到平移后点B的坐
标．本题考查了平移，掌握平移的性质是解题的关键．
【详解】解：点A的坐标为 ，点A平移到点 ，
故平移的方法为：向右平移2个单位，向上平移4个单位，
故将点 向右平移2个单位，向上平移4个单位后，坐标为 ，
故选：B．
27.（2025·河南驻马店·三模）在平面直角坐标系中，若将点 先向下平移 个单位长度，再向右平移 个单
位长度得到的点的坐标为 ，则点 坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】已知平移后的坐标求原坐标
【分析】本题考查坐标与图形的变化—平移，已知新点的坐标，求原来点的坐标，根据平移的逆过程，将
平移后的点反向平移即可得到原坐标即可．解题的关键是掌握点坐标平移的坐标特征：左右移动改变点的
横坐标，左减右加；上下移动改变点的纵坐标，上加下减．【详解】解：∵将点 先向下平移 个单位长度，再向右平移 个单位长度得到的点的坐标为 ，
∴将坐标为 的点先向上平移 个单位长度，再向左平移 个单位长度可得到点 ，
∴点 坐标为 ，即 ．
故选：A．
28.如果把点 向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，若平移后的坐标是 ，则可确定点
的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】已知平移后的坐标求原坐标
【分析】此题主要考查了点坐标的平移变换．上加下减，右加左减，上下平移是纵坐标变化，左右平移是
横坐标变化，据此求解即可．
【详解】解：把点 向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点 的坐标为 ，
即为 ，
故选：C．
29．（24-25九年级下·甘肃武威·期中）在平面直角坐标系中，已知点 、 ，现将线段 向
右平移，使A与坐标原点O重合，则B平移后的坐标是 ．
【答案】
【知识点】由平移方式确定点的坐标、已知点平移前后的坐标，判断平移方式
【分析】本题考查了由坐标的变化确定平移方式，根据平移方式确定点的坐标，掌握“点的平移，坐标变
化规律”是解本题的关键．先由A平移后的坐标变化可得：点A向右平移5个单位后与原点重合，再根据
平移方式确定B的对应点的坐标即可．
【详解】解：∵点 、 ，现将线段 向右平移，使A与坐标原点O重合，
∴点 向右平移5个单位后与原点重合，∴点 也向右平移5个单位，平移后为 ．
故答案为： ．
30．（24-25七年级下·湖北黄石·期末）如图，已知点 ，点 ，连接 ，将线段 平移至线
段 ，点A的对应点 的坐标为 ，则点 的对应点 的坐标为 ．
【答案】
【知识点】由平移方式确定点的坐标、已知图形的平移，求点的坐标
【分析】本题主要考查了点平移的坐标变化规律，掌握点的坐标变化规律“横坐标右移加，左移减；纵坐
标上移加，下移减”成为解题的关键．
先根据点A的对应点 的坐标为 确定平移方式，然后再确定点 的对应点 的坐标即可．
【详解】解：∵点 的对应点 的坐标为 ，
∴将线段 向左平移4个单位，向下平移1个单位得到线段 ，
∴点 的对应点 的坐标为 ，即 ．
故答案为： ．
题型八 图形与坐标——图形的面积
31.如图，在平面直角坐标系中，已知点 ， ，求 的面积．【答案】2
【知识点】利用网格求三角形面积、求点到坐标轴的距离
【分析】本题考查坐标与图形，点到坐标轴的距离，掌握数形结合思想是解题的关键．
过点A作 轴于点C，由点A，B的坐标可得 ， ，再根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】解：过点A作 轴于点C，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ．
32.如图，在边长为1的小正方形网格中，三角形 的顶点均在小正方形的格点上且 ．三角形
平移后得到三角形 ，且点A、B、O的对应点分别是点 ，点O的坐标为 ，点
的坐标为 ．请你分析平移规律，并写出点 的坐标．【答案】向右平移4个单位，
【知识点】由平移方式确定点的坐标、已知点平移前后的坐标，判断平移方式
【分析】本题主要考查坐标的平移变换，熟练掌握平移的变换，“左减右加，上加下减”是解题的关键．
根据点O平移后坐标 ，可知三角形 是向右平移4个单位长度后得到三角形 ，再根据平
移得到 即可．
【详解】∵点O的坐标为 ，点 的坐标为 ，
∴ ，
∴三角形 是向右平移4个单位长度后得到三角形 ，
∵点 ，
∴点 ，
即点 ．
33．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）如图，已知正方形网格中，每个小正方形的边长均为 个单位长度．
(1)请在这个正方形网格中，建立一个平面直角坐标系，描出点 ， ， ， ．画出四边形 ；
(2)直线 上的任意一点的纵坐标是___________；
(3)若将四边形 向左平移三个单位，再向下平移两个单位，则点 的对应点 的坐标是___________；
(4)求四边形 的面积是___________平方单位。
【答案】(1)见解析；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【知识点】由平移方式确定点的坐标、写出直角坐标系中点的坐标、坐标系中的平移
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系及点的坐标、图形的平移作图、网格中图形的面积等知识，准确
建立平面直角坐标系是解题的关键．
（1）建立平面直角坐标系，在平面直角坐标系中分别描出点 ， ， ， 并顺次连
接，即可得到四边形 ；
（2）根据点 、 的纵坐标均为 ，可知 轴，所以直线 上的点的纵坐标均为 ；
（3）根据平移的方向和距离求出点 的坐标即可；
（4）把四边形 补充成一个 的矩形，利用割补法求出四边形 的面积即可．
【详解】（1）解：如下图所示，在网格中建立平面直角坐标系，
在平面直角坐标系中分别描出点 ， ， ， 并顺次连接，
得到四边形 即为所求；
（2）解： 点 、 的纵坐标均为 ，轴，
直线 上的任意一点的纵坐标是 ，
故答案为： ；
（3）解： 点 的坐标是 ，
把点 向左平移三个单位，得到的横坐标是 ，向下平移两个单位，得到的纵坐标是 ，
点 的坐标是 ，
故答案为： ；
（4）解：如下图所示，把四边形 补充成一个 的矩形，
则四边形 的面积为： ．
故答案为： ．
34.已知：在平面直角坐标系中， ， ， ，
(1)求 的面积；
(2)设点P在y轴上，且 的面积是 的面积的2倍，求点P的坐标．
【答案】(1)(2) 或
【知识点】坐标与图形综合
【分析】本题主要考查了坐标与图形，利用数形结合的思想求解是解题的关键．
（1）过点C作 轴于D，根据 列式求解即可；
（2）根据（1）所求可得 的面积，则根据三角形面积计算公式可得 ，据此求出
的长即可得到答案．
【详解】（1）解：如图所示，过点C作 轴于D，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ；
∴
；
（2）解：∵ 的面积是 的面积的2倍， 的面积为4，
∴ 的面积为8，
∵点P在y轴上，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴点P的坐标为 或 ．题型一 根据点的位置特征求参数（坐标）
1.在平面直角坐标系中，把点 先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点B．若点B
的横坐标和纵坐标互为相反数，则 （ ）．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】由平移方式确定点的坐标
【分析】本题主要考查坐标的平移变化，熟练掌握平移的变化，“左减右加，上加下减”是解题的关键．
由平移得到点B的坐标为 ，进而得到 ，解方程即可．
【详解】∵点 先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点B，
∴点B的坐标为 ，
∵点B的横坐标和纵坐标互为相反数，
∴ ，
解得 ．
故选：C．
2．（23-24八年级下·四川巴中·期中）将点 向左平移 个单位得到 ，且 在 轴上，则
的坐标是 ．
【答案】
【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、坐标系中的平移
【分析】本题考查了点坐标平移的规律，在 轴上点的坐标特征，熟知点坐标的平移规律是解题的关键．
先根据点坐标平移的规律得到点 的坐标，再由 轴上点的横坐标为 求解即可．
【详解】解： 将点 向左平移 个单位得到 ，
，在 轴上，
，解得 ，
，
的坐标是 ．
故答案为： ．
3．（24-25七年级下·广东肇庆·期中）在平面直角坐标系中，已知点 ．
(1)当点P在x轴上时，求出点P的坐标；
(2)当直线 平行于x轴，且 ，求出点P的坐标；
(3)若点P到x轴和y轴距离相等，求m的值．
【答案】(1)
(2)
(3) 或
【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、求点到坐标轴的距离
【分析】本题考查坐标平面内图形性质与点坐标特点，掌握相关知识是解决问题的关键．
（1）点P在x轴上时，点P的纵坐标为零，据此列方程即可求解；
（2）直线 平行于x轴，即P点纵坐标等于A点纵坐标，据此列方程求解即可；
（3）点P到x轴，y轴距离相等，即P点纵坐标的绝对值等于横坐标的绝对值，据此列方程求解即可．
【详解】（1）解：∵点 在x轴上，
∴ ，
，
此时 ，
∴点P的坐标为 ；（2）解：∵直线 平行于x轴，且 ，
∴ ，
解得 ，
此时 ，
∴点P的坐标为 ；
（3）解：点P到x轴，y轴距离相等，
∴ ，
或 ，
解得： 或 ．
题型二 求坐标系中任意两点间的距离
4.如图，在平面直角坐标系中，已知点 ， ，则线段 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】已知两点坐标求两点距离
【分析】本题考查了平面内两点间的距离公式，熟记公式是解题的关键．根据两点间距离公式代入求解即
可．
【详解】解：∵点 ， ，
∴线段 ，
故选：B．
5.平面上三个点 的坐标分别是 ， ，则 是（ ）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．以上都不是
【答案】A
【知识点】判断三边能否构成直角三角形、已知两点坐标求两点距离
【分析】本题考查了两点间的距离公式：也考查了三角形形状的判定．先根据两点间的距离公式计算出三
边长，然后利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
，
，
∴ ，
∴ 是直角三角形，
故选：A．
6.已知第二象限内点P到x轴的距离为2，到原点的距离为 ，那么点P的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】已知点所在的象限求参数、已知两点坐标求两点距离、写出直角坐标系中点的坐标
【分析】本题考查点的坐标特点，勾股定理，首先求出到y轴的距离为 ，然后根据第二象
限内点的坐标特征和点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答．
【详解】解：∵第二象限内点P到x轴的距离为2，到原点的距离为 ，
∴到y轴的距离为 ，
∴点P的横坐标是 ，纵坐标是 ，
∴点P的坐标为 ．
故选：B．7.如图， 在平面直角坐标系中， ， ，O是 的中点， 点A 的坐标是 ，
点B的坐标是 ， 则a的值为 ．
【答案】10
【知识点】用勾股定理解三角形、已知两点坐标求两点距离
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中两点间距离公式，勾股定理，关于原点对称点的坐标，熟练掌
握两点间距离公式，是解题的关键．根据原点对称点的坐标求出点C的坐标为 ，根据两点间距离公
式求出 ， ，根据勾股定理求出
即可得出答案．
【详解】解：∵O是 的中点，
∴点B与点C关于原点对称，
∵点B的坐标是 ，
∴点C的坐标为 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．故答案为：10．
8.在平面直角坐标系中，点 ，点 ，若 ， ，即点 ，则表示
点A到点 的一个平移．例如：点 ，若 ， ，则表示点A向右平移1个单位长度，
再向下平移2个单位长度得到 ．
根据上述定义，探究下列问题：
（1）已知点 ，点 ，则线段 的长度是 ；
（2）已知点 ，点 ，则线段 的长度是 ；
（3）长方形 在平面直角坐标系中的位置如图所示， ， ，点 ，若 ，
（ 为正数），当 时，点 在 的直角边上．
【答案】 2 5
【知识点】已知点所在的象限求参数、已知两点坐标求两点距离
【分析】本题考查的是新定义，坐标与图形，勾股定理的应用，熟练掌握平面直角坐标系是解题的关键．
（1）由点 ，点 ，利用两点间距离公式可得答案．
（2）由点 ，点 ，根据勾股定理即可求出线段 的长度．
（3）由点 的坐标为 ， 假设点 在边 上时求出m，检验 是否在边 上，若点 在边
上，检验 是否在边 上即可求解．
【详解】解：（1）∵点 ，点 ，∴线段 的长度是 ．
故答案为：
（2）∵点 ，点 ，
∴线段 的长度是 ．
故答案为：
（3）∵ ， ， ， ，
∴ ， ，
∴点 的坐标为 ，
当点 在边 上，则 ，
解得 ，此时点 的坐标为 ．
∵ ，
∴当 时，点 在边 上．
当点 在边 上，则 ，此时点 的坐标为 ，在第四象限，
∴当 时，点 不在边 上．
综上：当 时，点 在 的直角边上．
故答案为：
9.阅读一段文字，再回答下列问题：已知在平面内两点的坐标为 ，则该两点间距离公式
为 ，同时，当两点在同一坐标轴上或所在直线平行于 轴或平行于 轴时，两
点间的距离公式可化简成 或 ．
(1)若已知两点 ，试求 两点间的距离；(2)已知点 在平行于 轴的直线上，点 的纵坐标为7，点 的纵坐标为 ，试求 ， 两点间的
距离；
(3)已知一个三角形各顶点的坐标为 ， ，请求出该图形的面积．
【答案】(1)
(2)9
(3)
【知识点】判断三边能否构成直角三角形、求一个数的算术平方根、已知两点坐标求两点距离
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理、两点坐标距离公式，理解两点坐标距离公式是解答的关键．
（1）直接将两点坐标代入公式求解即可；
（2）直接根据平行于 轴时，两点间的距离公式 求解即可；
（3）先利用两点坐标距离公式求得 的值，再验证 成立，进而利用勾股定理
的逆定理得到 是直角三角形，然后利用面积公式求解即可．
【详解】（1）解：因为点 ，
所以 ，
即 两点间的距离是 ．
（2）解：因为点 在平行于 轴的直线上，点 的纵坐标为7，点 的纵坐标为 ，
所以 ，
即 两点间的距离是9．
（3）解：因为一个三角形各顶点的坐标为 ，所以 ， ，
．
因为 ，
所以 是直角三角形，
所以 ．
题型三 根据两点间的距离分类讨论点的坐标
10.点 到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，则这样的点M有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】求点到坐标轴的距离
【分析】本题主要考查了点到坐标轴的距离，坐标系中一点到x轴的距离是该点纵坐标的绝对值，到y轴
的距离时该点横坐标的绝对值，据此可求出 的值，从而可确定点M的坐标，进而可得答案．
【详解】解：∵点 到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，
∴ ，
∴ ，
∴点M的坐标为 或 或 或 ，
∴这样的点M有4个，
故选：D．
11.已知点 到x轴的距离是到y轴的距离的3倍，则a的值是 ．
【答案】3或7
【知识点】求点到坐标轴的距离
【分析】本题主要考查了点到坐标轴的距离，点到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值，点到y轴的距离为该点横坐标的绝对值，据此可得 ，解方程即可得到答案．
【详解】解：∵点A的坐标为 ，
∴点A到x轴的距离为 ，到y轴的距离为 ，
∵点 到x轴的距离是到y轴的距离的3倍，
∴ ，
解得 或 ，
故答案为：3或7．
12．（24-25七年级下·重庆·期末）若不同两点 和 到x轴的距离相等，则实数a的值为
．
【答案】
【知识点】绝对值方程、求点到坐标轴的距离
【分析】本题考查了解绝对值方程，点到坐标轴之间的距离．
利用不同两点到x轴的距离相等，得出 ，解方程求出a的值，检验是否符合题意，即可得出答案．
【详解】解：由题意得： ，
∴ 或 ，
∴ 或 ，
当 时， ，不符合题意，
当 时， ，符合题意，
故答案为： ．
13.已知平面直角坐标系中一点 ；
(1)当点 在 轴上时，写出点 的坐标________；
(2)当 平行于 轴，且 ，写出点 的坐标________；
(3)当点 到两坐标轴的距离相等时，求出 的值．（写全过程）【答案】(1)
(2)
(3) 或1
【知识点】坐标与图形综合、已知点所在的象限求参数、求点到坐标轴的距离
【分析】本题主要考查了点坐标与图形，熟练掌握点坐标的特征是解题关键．
（1）根据 轴上的点的横坐标等于0可得 ，则可得 ，再求出 ，由此即可得；
（2）根据题意可得点 的纵坐标相等，则可得 ，求出 ，再求出 ，由此即可
得；
（3）根据点 到两坐标轴的距离相等可得 ，解方程即可得．
【详解】（1）解：∵点 在 轴上，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
（2）解：∵当 平行于 轴，且 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
（3）解：∵点 到两坐标轴的距离相等，
∴ ，∴ 或 ，
解得 或 ，
综上， 的值为 或1．
题型四 坐标与图形——构造全等解决问题
14．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，已知点 在第一象限角平分线 上，若
是直角顶点，点P在 上，角两边与x轴y轴分别交于A点，B点，则 等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】已知点所在的象限求参数、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，坐标与图形综合，由条件可知 ，求出点P的
坐标为 ，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为D、E，由点P的坐标知，
，证明 ，得出 ，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵
活运用是解此题的关键．
【详解】解：由条件可知 ，
解得： ，
则点P的坐标为 ，
过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为D、E，如图，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
由点P的坐标知， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
答案：D．
15. 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A在y轴上， ， ，点 ，
，则点A的坐标为 ．
【答案】
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、求点到坐标轴的距离
【分析】本题考查三角形的判定及性质，坐标与图形，掌握三角形全等的判定及性质是解题的关键．
过点B作 轴于点M，过点C作 轴于点N，得到 ，进而
，又 ，可得 ，根据“ ”证明
，得到 ，根据 ， 得到 ， ，
，进而 ，即可得到点A的坐标．
【详解】解：过点B作 轴于点M，过点C作 轴于点N，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴在 和 中，
，
∴ ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
16.在边长为1的正方形网格中，建立如图所示的平面直角坐标系， 的三个顶点都在格点上，在网格
中，作出格点 ，使 与 全等，且写出点D的坐标．（作出一个符合要求的 即
可）【答案】图见解析，点D的坐标为 或 或
【知识点】坐标与图形综合、用SSS证明三角形全等（SSS）
【分析】本题主要考查了坐标与图形，全等三角形的判定，根据网格的特点可证明 ，
，再根据坐标系得到 的坐标即可得到答案．
【详解】解：如图所示，在 和 中，
，
∴ ，
∴ 符合题意，
同理可证明 ，
∴ 都符合题意，
综上所述，符合题意的点D的坐标为 或 或 ．题型五 坐标与图形——点的存在性问题
17.如图， ， ，点B在x轴上，且 ．
(1)求点B的坐标．
(2)在y轴上是否存在点P，使以A，B，P三点为顶点的三角形的面积为10？若存在，请求出点P 的坐标；
若不存在，请说明理由．
【答案】(1)点B的坐标为 或
(2)存在，点P的坐标为 或
【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、求点到坐标轴的距离
【分析】本题主要考查平面直角坐标系中点的坐标的计算，能够熟练地转化线段长度与点的坐标是解题关
键．
（1）根据两点之间的距离求点B的坐标即可，注意分左右两边讨论；
（2） 以 为底，以点P的纵坐标的绝对值为高，利用面积计算公式求高的值即可．
【详解】（1）解：当点B在点A的右边时，点B的坐标为 ；
当点B在点A的左边时，点B的坐标为 ．所以点B的坐标为 或 ；
（2）解：设点P到x轴的距离为h，
根据题意得， ，
解得 ，
①当点P在y轴正半轴时，点P的坐标为 ；
②当点P在y轴负半轴时，点P的坐标为
综上所述，点P的坐标为 或 ．
题型六 根据图形规律求坐标
18．（25-26八年级上·全国·期中）如图，平面直角坐标系中，已知点 ，
动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度按逆时针方向沿四边形 的边做环绕运动；另一动点Q从
点C出发，以每秒3个单位的速度按顺时针方向沿四边形 的边做环绕运动，则第2029次相遇点的坐
标是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】点坐标规律探索
【分析】本题考查的是坐标系内点坐标规律问题，利用行程问题中的相遇问题，由于矩形的边长为3和2，P、Q的速度和是5，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答．
【详解】解：∵ ，
∴ ，即 ，
∴经过1秒钟时，P与Q在 处相遇，
接下来两个点走的路程和为10的倍数时，则每过2秒，两点相遇，
∵第二次相遇在 的中点 ，
第三次相遇在 ，
第四次相遇在 ，
第五次相遇在 ，
第六次相遇在B点 ，
∴每五次相遇点重合一次，
∵ ，
即第2029次相遇点的坐标与第四次相遇点的坐标重合，即 ．
故选：A．
19．（25-26八年级上·全国·期中）长为8、宽为4的长方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，动点P
从点 出发，沿所示的箭头方向运动，到点 时记为第一次反弹，以后每当碰到长方形的边时记一
次反弹，反弹时反射角等于入射角，那么点P第2025次反弹时碰到长方形边上的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【知识点】点坐标规律探索
【分析】本题考查了反弹，点的坐标变化规律，根据坐标的变化找出规律是解题的关键．根据反弹补充图
形，根据坐标的变化可知6次一个循环，然后利用 ，即可得出点P第2025次反弹的点
与第3次反弹的点，从而得出答案．
【详解】解：依照题意画出图形，如图所示．
由题意得，点P第1次反弹的点为 ，
第2次反弹的点为 ，
第3次反弹的点为 ，
第4次反弹的点为 ，
第5次反弹的点为 ，
第6次反弹的点为 ，
故6次一个循环， ，
故点P第2025次反弹的点与第3次反弹的点相同为 ．
故选：B．
20.如图，一个粒子在第一象限和x轴，y轴的正半轴上运动，在第1秒内，它从原点运动到 ，接着它
按图所示在x轴，y轴的平行方向来回运动，即 …，且每秒运动一
个单位长度，那么2024秒时，这个粒子所处位置为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】点坐标规律探索
【分析】本题主要考查了点的坐标规律探究，分析粒子在第一象限的运动规律得到数列 的递推关系式
是本题的突破口，对运动规律的探索知： 中，奇数点处向下运动，偶数点处向左
运动是解题的关键．设粒子运动到 时所用的时间分别为 ，则
由 ，则 ，
以上相加得到 的值，进而求得 ，再找到运动方向的规律即可求解．
【详解】解：由题意，设粒子运动到 时所用的时间分别为 ，则
，
∴ ，
相加得： ，
．
∵ ，
∴运动了1980秒时它到点 ；又由运动规律知： 中，奇数点处向下运动，偶数点处向左运动．
故达到 时向左运动43秒到达点 ，
∴运动了2023秒．所求点应为 ．
故选：A．
21．（24-25八年级下·黑龙江七台河·期末）在平面直角坐标系中，如图把一个点从原点开始，先向上平移
1个单位，再向右平移1个单位，得到点 ；把 先向上平移2个单位长度，再向左平移2个单位长
度，得到点 ；把 先向下平移3个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到点 ；把
先向下平移4个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到点 ，…，按此规律依次进行下去，则
点 的坐标为 ．
【答案】
【知识点】点坐标规律探索、坐标系中的平移
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化-平移，规律型问题，解题的关键是学会探究规律，属于中考常考
题型．先根据平移规律得到第n次变换时，相当于把点的坐标向右或向左平移n个单位长度，再向下或向
上平移n个单位长度得到下一个点，然后推出每四次坐标变换为一个循环，得到点 的坐标为 ，
由此求解即可．【详解】解： 把一个点从原点开始向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点 ；
把点 向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点 ；
把点 向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得到点 ；
把点 向下平移4个单位，再向右平移4个单位，得到点 ，
第n次变换时，相当于把点的坐标向右或向左平移n个单位长度，再向下或向上平移n个单位得到下一
个点，
到 是向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，
到 是向左2个单位长度，向上平移2个单位长度，
到 是向左平移3个单位长度，向下平移3个单位长度，
到 是向右平移4个单位长度，向下平移4个单位长度，
到 是向右平移5个单位长度，向上平移5个单位长度，
可以看作每四次坐标变换为一个循环，
点 的坐标为 ，
，
点 的坐标为 ，
点 的坐标为 ．
故答案为： ．
22.在平面直角坐标系中，对于点 ，把点 叫做点P的如意点．已知点 的如意点为点
点 的如意点为点 这样依次得到点 若点 的坐标为 ，则根据如意点的定义，点 的坐标为 ．
【答案】
【知识点】点坐标规律探索
【分析】本题考查了点坐标的规律、图形与坐标等知识点，发现点坐标的规律是解题的关键．
先分别算出 ， ， ， ， ， ， ，发现规律后，然后运
用规律解答即可．
【详解】解：∵对于点 ，把点 叫做点P的如意点， ，
∴ ， ， ， ， ， ， ，
发现每4个点为一个循环组依次循环．
∵
∴点 的坐标与 的坐标相同为 ．
故答案为 ．
23.如图，在平面直角坐标系中，第一次将 变换成 ，第二次将 变换成 ，第三次
将 变换成 ．
(1)观察每次变换前后的三角形的变化规律，若将 变换成 ，则 的坐标是＿＿＿＿， 的坐
标是＿＿＿．(2)若按第（1）题找到的规律将 进行n次变换，得到 ，比较每次变换中三角形顶点坐标有
何变化，找出规律，推测A 的坐标是＿＿＿＿＿，B 的坐标是＿＿＿＿＿．
n n
【答案】(1) ；
(2) ；
【知识点】点坐标规律探索
【分析】本题考查了坐标与图形性质、坐标点的规律变化，根据给定点的坐标的变化找出变化规律是解题
的关键．
（1）根据点 的变化，可找出点 的坐标；同理可得出点 的坐标；
（2）结合（1）中点的坐标的变化，可找出点 的坐标；
【详解】（1）解： ，
；
，
．
故答案为： ； ．
（2） ，
；
…，
．
故答案为： ； ．
题型七 图形与坐标——动点问题24.如图，在平面直角坐标系中， ， ，将线段 沿x轴向右平移12个单位长度得到线段
，点P为射线 上一动点．
(1)点C的坐标为______，点D的坐标为______；
(2)如图，点M是线段 上一点（不与点C，D重合），当点P在射线 上运动时（点P不与点D重
合），连接 ， ， ， 之间有怎样的数量关系？请说明理由．
【答案】(1) ；
(2) 或 ；理由见解析
【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、由平移方式确定点的坐标
【分析】本题考查了坐标与图形变化—平移，平行线的判定和性质，注意分类讨论是解题的关键．
（1）根据坐标平移的规律，即可解答；
（2）根据点P为射线 上一动点，当点P在点D右边时，当点P在点D左边时，利用平行线的性质进
行解答即可．
【详解】（1）解：∵将线段 沿x轴向右平移12个单位得到线段 ，
， ，
故答案为： ， ；
（2）解：当点P在点D右边时，如图，过点M作 ，
，
∵ ， ，
， ，，
∵ ， ，
∴ ，
，
，
，
；
当点P在点D左边时，如图，过点M作 ，
同理可得 ， ， ，
，
即 ，
综上所述， 或
25．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形 的边 、 分别在
x轴、y轴上，B点在第一象限，点A的坐标是 ， ．
(1)直接写出点B、点C的坐标．
(2)点P从原点O出发，在边 上以每秒1个单位长度的速度匀速向C点运动，同时点Q从点B出发，在
边 上以每秒2个单位长度的速度匀速向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设
运动时间为t秒，探究下列问题：
①当t为多少时，直线 轴？②在运动过程中，当点Q到y轴的距离为2个单位长度时，求t的值．
③在整个运动过程中，能否使得四边形 的面积是长方形 面积的 ？若能，请求出P、Q两点
的坐标；若不能，说明理由．
【答案】(1)
(2) ； ； 能，点P的坐标是 ，点Q的坐标是
① ② ③
【知识点】坐标系中的动点问题（不含函数）、写出直角坐标系中点的坐标、动点问题（一元一次方程的
应用）
【分析】本题是四边形综合题．考查了长方形的性质以及四边形的面积，解题的关键是化动为静，用含t
的代数式表示线段的长．
（1）根据给定点的坐标和线段长，再利用长方形的性质求出点B和点C的坐标；
（2）①根据题意得 ， ，则 ，可知 ，根据题意有 ，列
方程求解即可；
②根据题意可知 ，则有 ，求解t即可；
③根据题意求得 ，有题意知 ， ，可求得 ， ，则
，结合题意求得t，即可知点的坐标．
【详解】（1）解：∵四边形 是长方形，
∴ ，
∵点A的坐标是 ， ，
∴ ，
∴ ，
故点 ；
（2）解：由题意得 ， ，
∴ ，∴ ，
①∵直线 轴，
∴
∴ ，
∴ ，
∴当t值为 秒时，直线 轴；
②∵点Q到y轴的距离为2个单位长度，
∴ ，
由①知 ，则 ，解得 ，
③∵ ， ，
∴ ，
由运动知， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵四边形 的面积是长方形 的面积的 ，
∴ ，解得 ，
∴ ，
∴ ， ．
题型一 新定义坐标关系
1.在平面直角坐标系中，对于点P、Q两点给出如下定义：若点P到x轴，y轴的距离的较大值等于点Q到
x轴，y轴的距离的较大值，则称P、Q两点为“等距点”．如点 和点 就是等距点．(1)下列各点中，是 的等距点的有 ；
① ，② ，③
(2)已知点B的坐标是 ，点C的坐标是 ，若点B与点C是“等距点”，求点C的坐标；
(3)若点 与点 是“等距点”，直接写出k的值．
【答案】(1)①③
(2) 或
(3) 的值为 或
【知识点】求点到坐标轴的距离
【分析】本题考查了点的坐标，解绝对值方程，正确理解“等距点”的定义是解题的关键．
（1）根据“等距点”的定义进行判断，即可求解；
（2）根据“等距点”的定义得出方程，求出m的值，即可得到点C的坐标；
（3）分情况讨论：①当 时，②当 时，分别根据“等距点”的定义得出方程，求出k的
值，再舍去不合题意的k值即可．
【详解】（1）解：依题意， 到坐标轴的距离的较大值为 ，
① 到坐标轴的距离的较大值为 ，
② 到坐标轴的距离的较大值为 ，
③ 到坐标轴的距离的较大值为 ，
则 的等距点的有①③，
故答案为：①③；
（2） 点 到 轴， 轴的距离的较大值为 ，点 与点 是“等距点”，
或 ，
解得： 或 或 或 ，当 时，点 的坐标是 ，符合题意；
当 时，点 的坐标是 ，不符合题意；
当 时，点 的坐标是 ，不符合题意；
当 时，点 的坐标是 ，符合题意；
点 的坐标为： 或 ；
（3）解：分情况讨论：
①当 时，
点 与点 是“等距点”，
，
解得： 或 ，
当 时，点 坐标为 ，点 坐标为 ，符合题意；
当 时，点 坐标为 ，点 坐标为 ，不符合题意，舍去；
，
②当 时，
点 与点 是“等距点”，
，
解得： 或 ，
当 时，点 坐标为 ，点 坐标为 ，符合题意；
当 时，点 坐标为 ，点 坐标为 ，不符合题意；
，综上， 的值为 或 ．
题型二 实际问题中的坐标模型
2.如图，某建筑公司有 ， ， 三个建筑工地，三个工地的水泥日用量分别为 吨， 吨，
吨，有 ， 两个原料库供应水泥，使用一辆载重量大于 吨的运输车可沿途中虚线
所示的道路运送水泥．为节省运输成本，公司要进行运输路线规划，使总的“吨千米数”（吨数×运输路
线千米数）最小．若公司安排一辆装有 吨的运输车向 和 工地运送当日所需的水泥，且 ，为
使总的“吨千米数”最小，则应从 原料库（填“ ”或“ ”）装运；若公司计划从 原料
库安排一辆装有 吨的运输车向 ， ， 三个工地运送当日所需的水泥， ， ， 则
总的“吨千米数”最小为 ．
【答案】 24
【知识点】用勾股定理解三角形、整式加减的应用、已知两点坐标求两点距离
【分析】本题考查了坐标与图形，整式加减运算的应用，勾股定理，解答此类问题的关键是明确题意，找
出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
先利用勾股定理和点的坐标求出各线段的长度，根据题意列式，利用整式的加减运算，分类求解即可．
【详解】解：（1）根据点的坐标得， ， ， ， ，
，
由勾股定理得 ， , ，
，
若从 原料库装运，应先沿着 运往 工地，再沿着 运往 工地，总的“吨千米数”至少为 ；
若从 原料库装运，应先沿着 运往 工地，再沿着 运往 工地，
总的“吨千米数”至少为 ；
∵ ，
∴ ，
∴应选从 原料库装运；
（2）方案一，若先送达到 工地，则总的“吨千米数”为 ，
将 ， ， 代入上式得，
原式 ；
方案二，若先送达到 工地，则总的“吨千米数”为 ，
将 ， ， 代入上式得，
原式 ；
方案三，若先送达到 工地，则总的“吨千米数”为 ，
将 ， ， 代入上式得，
原式 ；
方案一和方案三比较，方案一的值较小，选择方案一，
方案一和方案二比较，
∵ ， ，
∴方案二的值最小，选择方案二，
所以，最小值为 ．
3.综合与实践．
【材料一】如图，象棋棋子“马”每步走“日”字形，“马”所在位置可以直接走到点A，B处．
【材料二】若坐标平面上的点作如下平移：沿x轴方向平移的数量为a（向右为正，向左为负，平移|a|个
单位长度），沿y轴方向平移的数量为b（向上为正，向下为负，平移|b|个单位长度），则把有序数对叫作这一平移的平移量．平移量 与平移量 的加法运算法则为 ．
【解决问题】如图，设“帅”位于点 ，“相”位于点 ．
(1)图中“马”所在的点的坐标为_________；
(2)在整个平面直角坐标系中，不是棋子“马”的一步平移量的是___________（填选项）；
A． B． C． D．
(3)“马”的初始位置如图，现在命令“马”每一步只能向右和向上前进，在整个坐标系中，
①“马”___________走到点C（填“能”或“不能”）；
②“马”能否走到点 ？若能，则需要走几步；若不能，请说明理由．
【答案】(1)
(2)C
(3)①能，②能，需要走1352步．
【知识点】由平移方式确定点的坐标、写出直角坐标系中点的坐标、已知点平移前后的坐标，判断平移方
式
【分析】本题考查新定义，平面内点的坐标，实数的运算；能够准确理解题意，找到马移动的向量规律，
利用实数的运算进行求解是解题的关键．
（1）根据“帅”，“相”的位置确定“马”的位置；
（2）由于马走“日”，因此马的平移向量左或右平移1，则相应的上或下平移2；平移向量左或右平移
2，则相应的上或下平移1，由此可判断所给平移量；
（3）①马可以先走到 ，再走到 ；也可以先走到 ，再走到 ；
②设马沿着平移量 移动 次，沿着平移量 移动 次，则马沿着平移量 移动；走到
点 时，向右移动2029，向上移动2027，可得 ， ；求解即可．【详解】（1）解：由“帅”位于点 ，“相”位于点 ，
∴“马”坐标为 ；
故答案为： ．
（2）解：由于马走“日”，因此马的平移量为左或右平移1，则相应的上或下平移2；平移量向左或右平
移2，则相应的上或下平移1，
∴A、B、D是“马”的一步“平移量”，C不是“马”的一步“平移量”，
故选：C．
（3）解：①马可以先走到 ，再走到 ；也可以先走到 ，再走到 ；
故答案为：能；
②由题意可知“马”的走法只有两种平移量 或 ，
设马沿着平移量 移动 次，沿着平移量 移动 次，
则马沿着平移量 移动，
如图马的初始位置是 ，
走到点 时，向右移动2029，马向上移动2027，
， ，
， ，
∴马沿着平移量 移动677次，沿着平移量 移动675次，走到点
马能走到 ；
马由点 ，沿着平移量 移动677次，沿着平移量 移动675次．
∴共移动 （步）.
题型三 图形与坐标（综合性强）
4.等腰 中， ， ，点A、点B分别是y轴、x轴上两个动点，直角边 交x轴
于点D，斜边 交y轴于点E．(1)如图(1)，已知点C的横坐标为 ，直接写出点A的坐标；
(2)如图(2)，当等腰 运动到使点D恰为 中点时，连接 ，求证: ；
(3)如图(3)，若点A在x轴上，且 ，点B在y轴的正半轴上运动时，分别以 为直角边在第一、
二象限作等腰直角 和等腰直角 ，连接 交y轴于点P，问当点B在y轴的正半轴上运动时，
的长度是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，请求出 的长度．
【答案】(1)
(2)见详解
(3) 的长度不变，
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的定义、写出直角坐标系中点的
坐标
【分析】本题考查了点的坐标，三角形综合题．主要利用了全等三角形的性质定理与判定定理，解决本题
的关键是作出辅助线，构建全等三角形．
（1）如图1，过点C作 轴于点F，构建全等三角形： ，结合该全等三角形的
对应边相等易得 的长度，由点A是y轴上一点可以推知点A的坐标；
（2）过点C作 交y轴于点G，则 ，即得 ， ，由
，可证 得 ，从而得到结论；
（3）如图3，过点C作 轴于点E，构建全等三角形： ，结合全等三角形的对
应边相等推知： ， ．再结合已知条件和全等三角形的判定定理 得到：
，故 ．【详解】（1）解：如图1，过点C作 轴于点F，
∵ 轴于点F，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
∴
∵ 点的横坐标为 ，
∴ ，
∴ ；
（2）证明：如图2，过点C作 交y轴于点G，
∵ ，
∴ ， ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中
，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解： 的长度不变，理由如下：
如图3，过点C作 轴于点E，
∵ ，
∴ ．
∵ ，∴ ．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
5．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中， B、C 在坐标轴上， 其中 、 ，
满足（ ， ， ，其中点B在x轴正半轴上， 点C在y轴正
半轴上， 交y轴负半轴于点D．
(1)如图1，若 ，直接写出点B的坐标为 ，点C的坐标为 ，点A 的坐标为 ．
(2)如图2， 交x轴负半轴于点E， 连接 ， ， 交 于点F．求证： ；
(3)在（2）的条件下，若A 点到x轴、y轴的距离相等，求证： ．
【答案】(1) ， ，
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用算术平方根的非负性解题、写出直角坐
标系中点的坐标【分析】（1）由非负数的性质求解 ， ，如图1，过点 作 轴于点 ，证明 ，
可得 ， ，再进一步可得答案；
（2）如图 中，证明 即可得到结论；
（3）如图3中，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ．证明 ，
， ，设 ，而 ， ，可得 ，
, , ，进一步利用面积公式解答即可.
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ， ，
解得： ， ，
∴ ， ，
如图1，过点 作 轴于点 ．
， ，
， ，
，
， ，
，
在 和 中，
，，
， ，
，
.
（2）证明：如图 中，
， ，
，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
.
（3）证明：如图3中，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ．，
， ，
，
在 和 中，
，
，
，
同法可证， ，
，
在 和 中，
，
，
， ，
设 ，而 ， ，
∵ ， ，
， , ,
∴ ，
∴ ，∴ ，
∵A 点到x轴、y轴的距离相等，
∴ ，
∴ .
【点睛】本题考查的是坐标与图形，非负数的性质，全等三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本
题的关键.
6.已知点 ，且 ．
(1)直接写出A，B两点坐标；
(2)将线段 平移至线段 （点A与C对应，点B与D对应），
①如图（1），若点D坐标为 ，点C在y轴上，求线段 与y轴交点E的坐标；
②如图（2），若点D坐标为 ，点P在坐标轴上，三角形 的面积是三角形 面积的2倍，直接
写出P点坐标．
【答案】(1) ；
(2)① ② 或 或 或
【知识点】绝对值方程、利用算术平方根的非负性解题、由平移方式确定点的坐标、写出直角坐标系中点
的坐标
【分析】本题主要考查了非负数的性质、坐标图形与平移、动点面积问题等内容，熟练掌握相关知识是解
题的关键．（1）由非负数的性质即可得解；
（2）①连接 ，根据等面积建立关于 的方程求解即可；②分类讨论，当点P在x轴上：直接可利用
面积公式建立方程求解；当点P在y轴上时，需用割补法表示出三角形 的面积，进而建立方程求解即
可．
【详解】（1）解：（1）∵ ， ，且 ，
∴ ，
∴ ；
（2）①由平移可得， ，
∴ ，
连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②由题可知线段 向右平移6个单位，向下平移3个单位，
∴ ，
当点P在x轴上时，设 ，此时 与 是等高的，
∵ 的面积是 面积的2倍，
∴ ，
∴ ，
解得 或 ，
∴ 或 ；
当点P在y轴上时，设 ，
i如图，当点P在直线 上方时，连接 ，
，
，
∵ 的面积是 面积的2倍，
∴ ，
解得 ，∴ ；
ii当如图，当点P在直线 下方时，连接 ，
，
m-9，
∵ 的面积是 面积的2倍，
∴ ，
解得 ，
∴ ；
综上，点P的坐标为 或 或 或 ．
7.在平面直角坐标系中 、 ，a、b满足 ．(1)如图1，求点A、B的坐标；
(2)如图2，y轴上有一点E， 的面积是6，求点E的坐标；
(3)如图3，将线段 沿x轴的正方向平移4个单位长度，过A、B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为
D、C，在坐标平面内是否存在点 ，使得 与 的面积相等，且 与
的面积相等？若存在，请求P点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ，
(2) 或
(3) 或
【知识点】坐标与图形综合、利用算术平方根的非负性解题、写出直角坐标系中点的坐标
【分析】本题是三角形综合题，考查了非负性，三角形的面积公式，利用分类讨论思想解决问题是解题的
关键．
（1）利用非负性可求a、b的值，即可求解；
（2）分两种情况讨论：①当E在直线 上方时；②当E在直线 下方时；分别根据 的面积是6，
列方程求解；
（3）由 与 的面积相等，列出方程可求m的值，再分两种情况讨论，即可求解．
【详解】（1）解：∵ ，且 ，
又∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ；
（2）解：设E为 ，
分以下两种情况讨论：①如图，当E在直线 上方时，作 轴，作 连接 ，
则
，
∴ ， ，
②当E在直线 下方时，同样可得 ，
∴ ， ，
∴点E的坐标为 或 ；
（3）解：存在，设点P的坐标为 ，由平移得 、 ，则 、 ，
依题意知点P不可能在梯形 的上方或线段 的右上方或线段 左方，故分以下两种情形：
①如图，当点P在梯形 的内部时，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，∵ ，
，
∴ ，
解得 ，
∴ ；
②如图，当点P在梯形 的下方时，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴点 在x轴上，
如图，作 轴于G，连接 ，
，
，∴ ，
解得 ，
∴ ，
综上所述，P点的坐标为 或 ．
