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第三章 位置与坐标（复习讲义）
1. 了解有序数对、坐标、平面直角坐标系等概念的意义，体会平面直角坐标系与图形在坐标系中平移相
关知识之间的整体联系。
2. 能用坐标表示平面内点的位置，能根据坐标确定点的位置，能描述点在坐标平面内的平移过程。
3. 理解并利用关于坐标轴对称的点的坐标关系、平行于坐标轴的直线的表示、象限角平分线的特点等解
决问题，能运用坐标方法解决简单的实际问题。
【知识点01】平面直角坐标系
1.有序数对
有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对.
2.坐标
数轴上的点与实数（包括有理数与无理数）一一对应，数轴上的每一个点都对应一个实数，这个实数叫做
这个点在数轴上的坐标.
3.平面直角坐标系
①在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系.
②水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴为y轴或纵轴，取向上方向为正方向；
③两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点(坐标轴上的点不属于任何象限，原点既在 x轴上，又在y轴
上).
4.点的坐标
有了平面直角坐标系，平面内的点就可以用一个有序数对来表示，a点对应x轴的数值为横坐标，b点对应
y轴的数值为纵坐标，有序数对就叫做点A的坐标，记作（a,b）. 书写时先横后纵再括号，中间隔开用逗
号.
5.坐标平面图
坐标平面图是由两条坐标轴和四个象限构成的，也可以说坐标平面内的点可以分为六个区域：x轴上，y轴
上，第一象限，第二象限，第三象限，第四象限.在这六个区域中，除x轴与y轴的一个公共点（原点）之
外，其他区域之间都没有公共点.
6.坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的
对于坐标平面内任意一点M，都有唯一的一对有序实数（x，y）（即点M的坐标）的坐标和它对应；反过
来，对于任意一对有序实数（x，y）在坐标平面内都有唯一的一点M，即坐标为(x，y)的点和它对应，也
就是说，坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的.
7.象限
平面直角坐标系把坐标平面分成四个象限，从右上部分开始，按逆时针方向分别叫第一象限
(或第Ⅰ象限)、第二象限（或第Ⅱ象限）、第三象限（第Ⅲ象限）和第四象限（或第Ⅳ象限）.
注：ⅰ、坐标轴（x轴、y轴）上的点不属于任何一个象限.
ⅱ、平面直角坐标系的原点发生改变，则点的坐标相应发生改变；坐标轴的单位长度发生改变，点的坐标
也相应发生改变.
8.坐标平面内点的位置特点
①坐标原点的坐标为（0，0）；
②第一象限内的点，x、y同号，均为正；
③第二象限内的点，x、y异号，x为负，y为正；
④第三象限内的点，x、y同号，均为负；
⑤第四象限内的点，x、y异号，x为正，y为负；
⑥横轴（x轴）上的点，纵坐标为0，即（x，0），所以，横轴也可写作：y=0 （表示一条直线）
⑦纵轴（y轴）上的点，横坐标为0，即（0，y）,所以，纵横也可写作：x=0 （表示一条直线）
9.点到坐标轴的距离
坐标平面内的点的横坐标的绝对值表示这点到纵轴（y轴）的距离，而纵坐标的绝对值表示这点到横轴（x
轴）的距离.
注: ①已知点的坐标求距离，只有一个结果，但已知距离求坐标，则因为点的坐标有正有负，
可能有多个解的情况，应注意不要丢解.
②坐标平面内任意两点A（x₁，y₁）、B(x₂，y₂)之间的距离公式为：d =
10.坐标平面内对称点坐标的特点
①一个点A（a,b）关于x轴对称的点的坐标为A＇（a,-b）,特点为：x不变，y相反；
②一个点A（a,b）关于y轴对称的点的坐标为A＇（-a,b）,特点为：y不变，x相反；
③一个点A（a,b）关于原点对称的点的坐标为A＇（-a,-b），特点为：x、y均相反.
11.平行于坐标轴的直线的表示
①平行于横轴（x轴）的直线上的任意一点，其横坐标不同，纵坐标均相等，所以，可表示为：y=a（a为
纵坐标）的形式，a的绝对值表示这条直线到x轴的距离，直线上两点之间的距离等于这两点横坐标之差
的绝对值；②平行于纵轴（y轴）的直线上的任意一点，其纵坐标不同，横坐标均相等，所以，可表示为：x=b（b为
横坐标）的形式，b的绝对值表示这条直线到y轴的距离，直线上两点之间的距离等于这两点纵坐标之差
的绝对值.
12.象限角平分线的特点
①第一、三象限的角平分线可表示为y=x的形式，即角平分线上的点的纵坐标与横坐标相等（同号）
②第二、四象限的角平分线可表示为y=-x的形式，即角平分线的点的纵坐标与横坐标互为相反数(异号)
【知识点02】图形在坐标系中的平移
1.点的平移
在平面直角坐标系中，
将点（x,y）向右平移a个单位长度，可以得到对应点（x＋a ，y）；
将点（x,y）向左平移a个单位长度，可以得到对应点（x－a，y）；“左减右加”
将点（x,y）向上平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y＋b）；
将点（x,y）向下平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y－b）.“下减上加”
2.图形的平移
在平面直角坐标系内如果把一个图形各个点的横坐标都加（或减去）一个正数 a，相应的新图形就是把原
图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个正数 a，相应的新
图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度.
3.关于坐标轴对称的点的坐标关系
4.坐标方法的简单应用
①已知三角形的顶点坐标求三角形的面积
将坐标平面上的三角形的面积转化为几个图形的面积的组合（相加）或分解（相减），即将要求的三角形
面积转化为一个大的多边形（例如矩形或梯形）与一个或几个较小的三角形面积之差；
②已知多边形各顶点坐标求多边形的面积
将坐标平面上的多边形的面积分割成几个规则的图形组合的面积之和，或转化为一个更大的多边形（例如
矩形或梯形）与一个或几个较小的三角形面积之差.
题型一 定位法的应用
【例1】根据下列表述，能确定准确位置的是（ ）
A．万达影城1号厅2排 B．东经 ，北纬
C．马尾一中南偏东 D．马尾沿山路
【答案】B【分析】本题主要考查坐标的运用，掌握运用坐标表示地理位置的方法是解题的关键．
根据坐标表示地理位置的方法即可解答．
【详解】解：A．仅给出影厅、排数，缺少座位号，无法确定具体位置，不符合题意；
B．东经 和北纬 是地理坐标的两个参数，可唯一确定地球上的一个点，符合题意；
C．仅给出方向（南偏东 ），缺少距离，无法确定具体位置，不符合题意；
D．仅给出路名，未说明具体位置（如门牌号），无法准确定位，不符合题意．
故选B．
【变式1-1】如图，用方向和距离描述小明家相对学校的位置，下列选项正确的是（ ）
A．东偏北 ， B．东北方向， C．北偏东 ， D．北偏东 ，
【答案】D
【分析】本题考查了方向角和距离确定位置，根据方向角的定义求解即可．
【详解】解： ，
则小明家在学校北偏东 ， ，或者小明家在学校东偏北 ， ．
故选：D．
【变式1-2】 型电子侦察船是我国海上防御力量重要的组成部分，它能捕捉从短波到超高频的各种无
线电频谱，能监视水下潜艇的动向，还能监视空中低轨道过顶卫星的动向，其监测范围达到一千公里．如
图，雷达显示周围海域舰艇 ， 的位置表示为 ，按照此方法在表示舰艇
的位置时，表示正确的是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了用有序数对表示位置，根据题意可得数对中第一个数是自内向外的环数，第二个数是
度数，据此求解即可，正确识图是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴数对中第一个数是自内向外的环数，第二个数是度数，
∴ ， ， ， ，
故选： ．
【变式1-3】春天到了，七年级2班组织同学们到人民公园春游，李明、张华利用平面直角坐标系画出人
民公园示意图如图所示（图中每个小正方形边长代表 ，每个小正方形的对角线长为 ），规定
正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，并且景点A和景点B的坐标分别是 和 ．李
明、张华分别对景点C的位置进行了描述，则下列判断正确的是（ ）
李明：景点C的坐标是 ；
张华：景点C在景点D的北偏东 方向，相距 处．
A．只有李明说得对 B．只有张华说得对
C．两人说得都对 D．两人说得都不对
【答案】A
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系和方位角的知识，理解并掌握相关知识是解题关键．根据景点A
和景点 的坐标确定平面直角坐标系的原点，即可判定李明的说法；根据方位角的知识判定张华的说法．【详解】解：根据景点A和景点 的坐标分别是 和 ，可知平面直角坐标系的原点
在景点 处，故李明的说法正确；
根据所规定的正东、正北方向，可知景点 在景点D的南偏西 方向，相距 处，故张华的说法
不对；
综上分析可知：只有李明说得对．
故选：A．
题型二 判断点所在的象限
【例2】在平面直角坐标系中，点 在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】本题考查了根据坐标判断点所在的象限，根据各象限点的坐标符号特征即可求解，掌握各象限点
的坐标符号特征是解题的关键．
根据平面直角坐标系中各象限点的坐标符号特征即可判断．
【详解】解：在平面直角坐标系中，第三象限内的点的横坐标和纵坐标均为负数．题目中点的坐标为
，其横、纵坐标均为负数，因此该点位于第三象限．
故选C．
【变式2-1】若 ， ，则点 应在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】本题考查了点坐标所在的象限，解决本题的关键是记住平面直角坐标系中各个象限内点的符号，
四个象限的符号特点分别是：第一象限 ；第二象限 ；第三象限 ；第四象限 ．据此解
答即可．
【详解】解：∵ ， ，即 ， ，
∴点 应在第四象限．
故选：D．【变式2-2】在平面直角坐标系中，点 一定在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】本题考查点横纵坐标与所在象限的关系，判定点P的横纵坐标的符号即可得解．
【详解】∵ ， ， ，
∴点 一定在第四象限，
故选：D．
【变式2-3】在平面直角坐标系中，若点 在第四象限,则点 所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】本题考查点的坐标，根据第四象限点的坐标特征判断a、b的符号，从而判断 的符号，进
而判断点B所在的象限即可．
【详解】解：∵点 在第四象限，
∴ ，
∴ ，
∴点 所在的象限是第三象限．
故选：C．
题型三 已知点所在的象限求参数
【例3】若点 在y轴上，则 ．
【答案】1
【分析】本题考查了平面坐标系中 轴上点的特点，根据 轴上的点横坐标为0，列出式子求解即可．
【详解】解： 点 在y轴上，
，
．
故答案为：1【变式3-1】在平面直角坐标系中，点 在x轴上，则m的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了点的坐标，根据x轴上点的纵坐标为0得出 ，即可求出m的值．
【详解】解：∵点 在x轴上，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【变式3-2】在平面直角坐标系中，第四象限内的点 到 轴的距离等于 ，那么 的值为
．
【答案】1
【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象
限的符号特点分别是：第一象限 ；第二象限 ；第三象限 ；第四象限 ．
根据第四象限内的点的点的横坐标为正数，纵坐标为负数，再根据点到 轴的距离等于横坐标的绝对值求
解即可．
【详解】解： 在平面直角坐标系中，第四象限内的点 到 轴的距离等于 ，
，
解得 ，
∴ ，
∴ 符合题意，
故答案为： ．
【变式3-3】在平面直角坐标系中，第三象限点 ，且 到 轴的距离为 ，则点 的坐标是
．
【答案】
【分析】根据第三象限内点的横坐标与纵坐标都是负数，点到 轴的距离等于纵坐标的绝对值，到 轴的
距离等于横坐标的绝对值解答．
本题考查了点的坐标，熟记点到 轴的距离等于纵坐标的绝对值，到 轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键．
【详解】解： 第三象限点 ，且 到 轴的距离为 ，
， ，
解得 ，
点 的坐标为 ．
故答案为： ．
题型四 求点到坐标轴的距离
【例4】点 ，则点 到 轴的距离为 ．
【答案】
【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，解题的关键是：点 到 轴的距离等于横坐标的绝对值，到 轴
的距离等于纵坐标的绝对值．点 到 轴的距离等于横坐标的绝对值．
【详解】解：点 到 轴的距离 ，
故答案为： ．
【变式4-1】在平面直角坐标系中，点 到 轴的距离为 ．
【答案】
【分析】本题考查了平面直角坐标系中点到坐标轴的距离．根据点到 轴的距离为点的纵坐标的绝对值，
进行计算即可．
【详解】解：点 到 轴的距离是 ．
故答案为： ．
【变式4-2】在平面直角坐标系中，点 到坐标原点的距离为 ．
【答案】17
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内的点到原点的距离，勾股定理，
先确定点Ａ到坐标轴的距离，再根据勾股定理求出答案．
【详解】解：点 到x轴的距离是15，到y轴的距离是 ，∴点 到原点的距离是 ．
故答案为：17．
【变式4-3】已知平面直角坐标系内不同的两点 和 到 轴的距离相等，则 的值为
．
【答案】1或
【分析】考查点的坐标的相关知识；用到的知识点为：两点到y轴的距离相等的点的横坐标相等或互为相
反数，根据题意则有 ，解出方程即可．
【详解】解： 点 和 到 轴的距离相等，
，
解得 ，
故答案为：1或 ．
题型五 根据已知点的坐标在平面直角坐标系中作图
【例5】如图，已知水果店的坐标为 ，博物馆的坐标为 ．
(1)请你根据题目条件，建立适当的平面直角坐标系；
(2)写出体育场的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查坐标确定位置，解答的关键是建立正确的平面直角坐标系．（1）由所给的条件可知坐标原点的位置，从而可作图；
（2）根据（1）写出相应的坐标即可．
【详解】（1）解：建立平面直角坐标系，如图所示：
（2）解：体育场的坐标为 ．
【变式5-1】下图所示的是某学校及周围建筑的位置．已知各建筑都在小正方形的格点（网格线的交点）
上，少年宫的坐标是 ，商店的坐标为 ．
(1)根据题意，在上图中建立平面直角坐标系．
(2)分别写出体育馆、食堂、图书馆和公交站的坐标，指出它们分别在哪个象限或哪条坐标轴上．
【答案】(1)见详解
(2)体育馆 ，在第一象限；食堂 ，在第二象限；图书馆 ，在x轴上；公交站 ，在第
三象限
【分析】本题考查了建立平面直角坐标系、点的坐标；
（1）根据少年宫的坐标是 ，商店的坐标为 ，建立平面直角坐标系即可；
（2）根据平面直角坐标系写出坐标即可求解．【详解】（1）解：根据少年宫的坐标是 ，商店的坐标为 ，建立平面直角坐标系如下：
（2）解：由上图得：体育馆 ，在第一象限；食堂 ，在第二象限；图书馆 ，在x轴上；公
交站 ，在第三象限．
【变式5-2】下图所示的是某市火车站及周围的平面示意图，已知超市的坐标是 ，广场的坐标是
．
(1)根据题意，画出相应的平面直角坐标系．
(2)分别写出体育场、火车站和文化宫的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)体育场的坐标为 ，火车站的坐标为 ，文化宫的坐标为
【分析】本题考查了平面直角坐标系知识，包括坐标系的建立、点的坐标表示以及如何根据给定的坐标在
坐标系中标记点的位置．解题的关键在于准确理解已知点的坐标意义，通过这些点确定坐标系的原点和轴
的方向，进而利用坐标系读取或确定其他点的坐标，整个过程需要精确对应横、纵坐标与网格位置，确保
每个点的坐标值正确无误．
（1）需利用已知超市 和广场 的坐标确定平面直角坐标系的原点、x轴和y轴的位置，通过坐标的横、纵坐标对应网格位置来构建坐标系；
（2）在建立好的平面直角坐标系中，依据各点所在位置对应的横、纵坐标值确定体育场、火车站、文化
宫的坐标．
【详解】（1）解：如图所示；
；
（2）解：体育场的坐标为 ，火车站的坐标为 ，文化宫的坐标为 ．
【变式5-3】如图，已知火车站的坐标为 ，文化宫的坐标为 ．
(1)请根据题目条件画出平面直角坐标系；
(2)写出体育场、市场、超市的坐标；
(3)若宾馆的坐标为 ，请在图上标出宾馆所在位置．
【答案】(1)图见解析
(2)体育场 ，市场 ，超市
(3)见解析
【分析】（1）以火车站向左两个单位，向下一个单位为坐标原点建立平面直角坐标系；
（2）根据平面直角坐标系写出各场所的坐标即可．
（3）根据坐标标注点即可．
本题考查了坐标确定位置，主要利用了平面直角坐标系的定义以及平面直角坐标系中点的坐标的确定方法．【详解】（1）解：平面直角坐标系如图所示．
（2）体育场 ，市场 ，超市 ．
（3）宾馆 的位置如图所示．
题型六 点在平面直角坐标系中的平移
【例6】将点 向右平移1个单位长度后，正好落在y轴上，则m的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查坐标与图形变换—平移，熟知点的坐标平移规律和坐标轴上点坐标特征是解答的关键．
根据点的坐标平移规律“左减右加”和y轴上的点的横坐标为0求解即可．
【详解】解：∵点 向右平移1个单位长度后，正好落在y轴上，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ．
【变式6-1】在平面直角坐标系中，将点 先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到
点B，则点B的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是坐标与图形变化-平移， “右移加，左移减，上移加，下移减”．利用点平移的坐
标规律，把A点的横坐标加3，纵坐标减4即可得到点B的坐标．
【详解】解：点 先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到点B，则点B的坐标是，即 ．
故答案为： ．
【变式6-2】在平面直角坐标系中，把点 向下平移5个单位得到点 ，则代数式
的值为 ．
【答案】11
【分析】本题考查坐标与图形变换-平移、代数式求值，根据点的坐标平移规则“左减右加，上加下减”得
到 ，然后代值求解即可．
【详解】解：∵点 向下平移5个单位得到点 ，
∴ ，则 ，
∴ ，
故答案为：11．
【变式6-3】如图，在平面直角坐标系中，将正方形 平移得到正方形 ，若 ，
， ，则点 的坐标为 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了点的平移规律与图形的平移．根据A和 的坐标得出正方形 先向上平移2
个单位，再向右平移3个单位得到正方形 ，则点C的平移方法与A点相同，即可得到答案．
【详解】解：由 ， 可知正方形 先向上平移2个单位，再向右平移3个单位得到正方形 ，
∵ ，
∴ 的坐标为 即 ，
故答案为： ．
题型七 平面直角坐标系中的平移作图
【例7】在直角坐标系中， 的位置如图所示．
(1)请画出 关于x轴对称的 ；
(2)写出点的坐标 （ ， ）， （ ， ）
【答案】(1)见解析
(2) ，
【分析】本题考查平面直角坐标系中作关于x轴的对称图形，点的坐标，掌握知识点是解题的关键．
（1）根据轴对称的定义，即可解答；
（2）根据平面直角坐标系中的点的坐标，即可解答．
【详解】（1）解：作图如图（2）由图可知， ， ．
【变式7-1】已知，在平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别为 ， ， ．
(1)将 先向左平移5个单位，再向下平移4个单位到 ，请画出 ；
(2)将 沿 轴向下翻折得到关于 轴对称的 ，请画出 ；
(3)求出 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题主要考查作图，轴对称变换、平移变换，熟练掌握轴对称的性质，平移的性质是解题的关键．
（1）根据平移的性质作图即可；
（2）根据轴对称的性质作图即可；
（3）用长方形的面积减去三个小三角形的面积即可求出答案．
【详解】（1）解： 如图：；
（2）解： 如图：
；
（3）解： ．
【变式7-2】 在平面直角坐标系中的位置如图所示．
(1)作出 关于y轴对称的 并写出 的坐标；
(2)求 的面积；
(3)在x轴上画出点P，使 最小（不写作法）．
【答案】(1) 的坐标为 ，图见解析(2)5
(3)见解析
【分析】本题考查坐标与图形变换——轴对称，利用割补法求三角形面积，线段最值问题，掌握轴对称的
性质是解题的关键．
（1）作出 各顶点关于y轴的对称点，顺次连接即可，根据 的位置可写出坐标；
（2）利用割补法求解；
（3）作点B关于x轴的对称点 ，连接 交x轴于点P，由 ，可得点P即为
所求．
【详解】（1）解：如图， 即为所求， 的坐标为 ；
（2）解：
；
（3）解：如图，点P即为所求．【变式7-3】如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为 ， ，(4,1)．
(1)若 各顶点的横、纵坐标都乘 ，得到 （点A，B，C的对应点分别为点 、 、 ）
①画出变换后的 ；
②点 关于x轴的对称点 的坐标为______；点 A与点 关于______对称；
(2)将 平移得到 （点A，B，C的对应点分别为 ， ， ），小博写出平移后三个顶点的
坐标A (−3,1)，B (−1,3)， ，有一个顶点的坐标是不正确的，则该点为点______，正确的坐标
1 1
应该是______．
【答案】(1)画图见解答；② ，y轴
(2)画图见解答； ，
【分析】本题考查作图-平移变换、作图-旋转变换，熟练掌握平移的性质、旋转的性质是解答本题的关键．
（1）根据点A，B，C的坐标分别为 ， ， ， 各顶点的横、纵坐标都乘 ，即可得到
；
①进而画出变换后的 ；
②根据轴对称的性质即可得点 关于x轴的对称点 的坐标；点A与点 关于 轴对称；
（2）根据平移的性质即可将 平移得到 ，进而可以解决问题．
【详解】（1）解： 点A，B，C的坐标分别为 ， ， ，
各顶点的横、纵坐标都乘 ，
点 ， ， 的坐标分别为 ， ， ，
①如图， 即为所求；②点 关于x轴的对称点 的坐标为 ；点A与点 关于y轴对称；
故答案为： ，y轴；
（2）解：如图， 即为所求，平移后三个顶点的坐标 ， ， ，有一个顶点
的坐标是不正确的，则该点为点 ，正确的坐标应该是(0,0)．
故答案为： ，(0,0)．
题型八 平面直角坐标系的性质求解
【例8】已知点 在平面直角坐标系中．
(1)若点 在第三象限且到两坐标轴的距离相等，求 点坐标；
(2)若点 在第四象限，且到两坐标轴的距离之和为9，求 点坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了点的坐标以及一元一次方程的应用，理解题意得出方程是解题关键．（1）根据第三象限角平分线上的点的特征，可得答案；
（2）根据到两坐标轴的距离之和可得方程，解方程可得答案．
【详解】（1）解：由题意，得 ，
解得 ，
点 的坐标为 ．
（2）解：由题意，得 ，
则 ，解得 ，
此时点 的坐标为 ．
【变式8-1】在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ．
(1)若点 在 轴上时，求点 的坐标；
(2)若点 的横坐标比纵坐标大2，则点 在第几象限？
(3)若点 在过点 且与 轴平行的直线上时，求点 的坐标．
【答案】(1)
(2)第一象限
(3)
【分析】本题考查了坐标轴上点及平行于坐标轴的直线上点的坐标特征，点的象限判断；掌握 轴上的点
纵坐标为 ，平行与 轴的直线上的点横坐标相同，象限的符号特征是解题的关键．
（1）由 轴上的点纵坐标为 得 ，即可求解；
（2）由已知得 ，求出坐标，判断象限，即可求解；
（3）由平行于 轴的直线上的点横坐标相同得 ，即可求解．
【详解】（1）解：由题意得
，
解得： ，
，
；（2）解：由题意得
，
解得： ，
，
，
，
在第一象限；
（3）解：由题意得
，
解得： ，
，
．
【变式8-2】在平面直角坐标系中，已知点 ．
(1)若点A在y轴上，则点A的坐标为 ．
(2)若点 ，且 轴，则点A的坐标为 ．
(3)若点A到x轴的距离为2，求a的值；
【答案】(1)
(2)
(3) 或
【分析】本题考查坐标轴上的点的坐标特点，平行于坐标轴的点的坐标特点．熟练掌握平面直角坐标系中
的点的坐标特点是解答本题的关键．
（1）根据y轴上点的其横坐标为0进行解答，即可得出答案；
（2）由平行于y轴的点的横坐标相同，可得 ，即 ，求得a的值，再将a的值代入 求
得纵坐标即可解答；
（3）根据点到x轴的距离为其纵坐标的绝对值，到y轴的距离为其横坐标的绝对值，即可解答.【详解】（1）解：∵点A在y轴上，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴点A的坐标为 ；
（2）解：∵点B的坐标为 ，且 轴，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴点A的坐标为 ．
（3）∵点A到x轴的距离为2，
∴ ，
解得： 或
【变式8-3】已知点 ，解答下列各题．
(1)若点P在x轴上，求点P的坐标；
(2)若点Q的坐标为 ，直线 轴，求点P的坐标；
(3)若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求 的立方根．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了坐标与图形性质及立方根，熟知坐标轴上的点及平行于坐标轴的直线上的点的坐标特
征，是解答本题的关键．（1）根据在x轴上的点纵坐标为0，得到 ，解出 的值，由此得到答案．
（2）根据直线 轴，得到 ，解出 的值，由此得到答案．
（3）根据点 在第二象限，且它到 轴、 轴的距离相等，得到 与 互为相反数，故
，解出 的值，由此得到答案．
【详解】（1）解：因为点 在 轴上，
所以 ，
解得 ，
所以 ，
所以 ．
（2）解：因为直线 轴，
所以 ，
解得 ，
所以 ，
所以 ．
（3）解：因为点 在第二象限，且它到 轴、 轴的距离相等，
所以 ，
解得 ，
所以 ，
所以 的立方根是 ．
题型九 在平面直角坐标系中求图形的面积
【例9】在平面直角坐标系中，点O为坐标原点， ， ，且 ．
(1)求a，b的值；
(2)点C在x轴上，且三角形 的面积是三角形 面积的2倍，求点C的坐标．
【答案】(1) ，
(2) 或
【分析】本题考查了算术平方根的非负性，点的坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）先结合非负性进行列式计算，即可作答．
（2）先得出 ， ，故 ，然后得 ，则 ，因为 ，且点C在x轴
上，得 或 ，即可作答．
【详解】（1）解：∵ ，
∴
∴ ，
解得 ；
（2）解：由（1）得 ，
即 ， ，
∴
依题意 ，
∵三角形 的面积是三角形 面积的2倍，
∴ ．
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，且点C在x轴上，
∴ 或 ；
∴ 或 ．
【变式9-1】如图，在下面直角坐标系中，已知 ， ， 三点，其中 满足关系式
．(1)求a，b，c的值；
(2)如果在第二象限内有一点 ，请用含 的式子表示四边形 的面积；
(3)在（2）的条件下，是否存在点 ，使四边形 的面积与 的面积相等？若存在，求出点 的
坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ， ，
(2)
(3)存在点 ，使四边形 的面积与 的面积相等
【分析】本题考查了坐标与图形性质：三角形的面积公式．利用坐标计算线段的长度和判断线段与坐标轴
的位置关系．
（1）根据几个非负数和的性质得到 ， ， ，分别解一元一次方程得到 ， ，
；
（2）根据三角形的面积公式和四边形 的面积 进行计算；
（3）若 ，则 ，解得 ，然后分别写出 点的坐标．
【详解】（1）解：∵ ．
， ， ，
， ， ；
（2）解：∵ ， ，
∴在三角形 ，底 ，高 ，
∴ ．
∵点 在第二象限，所以 ，对于 ，底 ，高为 （因为 ），
∴ ．
∴四边形 的面积
（3）∵ ， ， ，则 垂直于 轴， ， 到 轴的距离为 ，
∴ 的底 ，高为 ，
∴ ．
由（2）知四边形 的面积 ，
∴ ，
解得 ．
所以点 的坐标为 ，
∴存在点 ，使四边形 的面积与 的面积相等．
【变式9-2】如图1，在平面直角坐标系中，已知 ， ，其中 ， 满足 ．
(1)填空： _________， __________；
(2)若在第四象限内有一点 ，请用含 的式子表示 的面积；
(3)在（2）条件下，线段 与 轴相交于 ，当 时，点 是 轴上的一动点，当满足 的面
积是 的面积的2倍时，求点 的坐标．
【答案】(1) ，2
(2)(3) 或
【分析】本题考查了非负数的性质，三角形的面积，坐标与图形，解题的关键是：
（1）由非负数性质求解即可；
（2）根据三角形面积公式求解即可；
（3）设 ，分两种情况讨论：D在 上方；D在C下方，然后根据割补法构建关于m 的方程求解
即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
故答案为： ，2；
（2）解：由（1）知 ， ，
∴ ，
∵ 在第四象限，
∴ ；
（3）解：当 时， ，
∵ 的面积是 的面积的2倍，
∴ ，
设 ，
当D在 上方时，如图，过D作x轴的平行线，过A、B作y轴的平行线，与过D的平行线相交与M、
N，则 ，
解得 ，
∴ ；
当D在C下方时，如图，过D作x轴的平行线，过A、B作y轴的平行线，与过D的平行线相交与M、
N，
则 ，
解得 ，
∴ ，
综上，点D的坐标为 或 ．
【变式9-3】如图1，在平面直角坐标系中，O为原点，已知 ， ，且a，b满足关系式：，其中 ，连接 ， ．
(1)填空： _______， _______，三角形 的面积是_______；
(2)点C是x轴上一点，连接 ，延长 与x轴相交于点D．
①如图2，当点C在x轴负半轴上，三角形 的面积与三角形 的面积相等时，求点C的坐标；
②若三角形 的面积等于三角形 面积的一半，三角形 的面积等于 ，求点B，C，D的坐标．
【答案】(1)3，2，3
(2)① ② ， 或 ，
【分析】本题考查坐标与图形，非负性，熟练掌握数形结合的思想，是解题的关键：
（1）非负性求出 的值，面积公式求出三角形 的面积即可；
（2）①根据面积公式求出 的长，即可求出点C的坐标；②根据三角形 的面积等于三角形 面
积的一半，求出 的面积，再根据面积公式求出 的长，进而求出 点坐标，再根据三角形
的面积等于三角形 面积的一半，求出 点坐标，然后根据三角形 的面积等于 ，求出 的长，
进而求出 点坐标．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴三角形 的面积是 ；
（2）①由（1）知：三角形 的面积是3， ，∴ ，
∴ ；
∴ ；
②∵三角形 的面积等于三角形 面积的一半，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 或 ，
∴ 或 ．
基础巩固通关测
一、单选题
1．在平面直角坐标系中，点 关于x轴对称的点落在（ ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】本题考查坐标系中关于坐标轴对称的点的坐标特征、各象限内点的坐标特征，熟练掌握以上知识
点是解题的关键．先求出点 关于x轴对称的点的坐标，再判断其所在象限即可．
【详解】点 关于x轴对称的点为 ，
该点落在第一象限，
故选A．
2．已知点 在y轴上，则 的值为
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】本题考查了坐标轴上的点的特征，牢记y轴上的点横坐标为零是解题的关键．本题令横坐标为零
即可求解．
【详解】解：∵点 在y轴上，
∴
∴
故选：B ．
3．点 关于x轴对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了平面直角坐标系中关于x轴对称的点的坐标规律．熟练掌握平面直角坐标系中关于x
轴对称的点的坐标规律是解题的关键．
关于x轴对称的点的坐标，横坐标不变，纵坐标互为相反数，根据此性质来求解点 关于x轴对称的
点的坐标即可．
【详解】解： 关于x轴对称的点的坐标为 ，
故选：D．4．如图，七颗棋子只有“兵”是红方的，“马”所在的位置的坐标为 ，“象”所在位置的坐标为
，若“兵”再往前走一步，则“兵”所在位置的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意画出相应的平面直角坐标系，然后即可写出“兵”再往前走一步，“兵”所在位置的坐
标．
本题考查坐标确定位置，解答本题的关键是明确题意，画出相应的平面直角坐标系．
【详解】解：平面直角坐标系如下所示，
由上可得，“兵”再往前走一步，则“兵”所在位置的坐标为 ，
故选：A
5．如图，在直角坐标系中， ， ，第一次将 变换成 ， ， ；第二
次将 变换成 ， ， ，第三次将 变换成 ，…，则 的横坐标
为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查点的坐标变化规律，能根据所给点的坐标，发现点的横坐标依次增加2倍是解题的
关键．依次求出点 ， ， ，…，的横坐标，发现规律即可解决问题．
【详解】解：由题知，
点B的横坐标为： ，
点 的横坐标为： ，
点 的横坐标为： ，
…，
依次类推，点 的横坐标为： ；
当 时，
点 的横坐标为 ．
故选：D．
二、填空题
6．若点 和点 关于 轴对称，则点 在第 象限．
【答案】四
【分析】本题考查了关于 轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握关于y轴对称的点的坐标规律．
根据关于 轴对称的点：纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得C点坐标，再根据点所在象限可得答案．
【详解】解：由点 和点 关于 轴对称，得：
， ，
解得： ， ，
∴点 在第四象限，
故答案为：四．
7．如图，小悦一家要到山西革命圣地八路军总部旧址参观，则小悦家在八路军总部旧址的 方向
处．【答案】北偏东
【分析】本题考查了方位角，根据图形解答即可．
【详解】解：小悦家在八路军总部旧址的北偏东 方向 处．
故答案为：北偏东 ．
8．点P在第四象限，P到x轴的距离为7，P到y轴的距离为4，则点P的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了点的坐标，解题关键是熟练掌握点到坐标轴的距离与点的坐标的关系．
设点P坐标为 ，根据P到x轴的距离为7，P到y轴的距离为4，列出关于x、y的方程，解方程求出
x、y，再根据点P的位置，求出点P的坐标．
【详解】解：设点P坐标为 ，
到x轴的距离为7，P到y轴的距离为4，
， ，
解得： ， ，
点P在第四象限，
， ，
， ，
点P的坐标为： ，
故答案为： ．
9．如图，把两个一样大小的小长方形沿“水平一竖直”排列在平面直角坐标系的第二象限，已知小长方
形周长为8，则点 的坐标是 ．【答案】
【分析】本题考查坐标与图形，解题的关键是掌握确定点坐标的方法．
根据小长方形周长为8，可得 即可得 ．
【详解】解：如图
∵两个一样大小的小长方形沿“水平一竖直”排列在平面直角坐标系的第二象限，
∴B，C，D共线，E，C，F共线，且 轴， 轴，
∵小长方形周长为8，
∴ ， ，
即 ，
∴ ；
故答案为： ．
10．已知点 ，在 轴上存在一点 ，使 的面积为6，则点 的坐标为 ．
【答案】 或
【分析】本题考查了三角形的面积，坐标与图形性质，熟练掌握坐标与图形性质是解题的关键．
设点 ，根据题意可得 ，再由 的面积为6，可得 ，即可求解．
【详解】解：设点 ，∵ ，
∴ ，
∵ 的面积为6，
∴ ，
解得： 或4，
∴点C的坐标为 或
故答案为： 或
三、解答题
11．如图是县城部分标志性建筑，如果分别用有序数对 和 表示宝福院塔和桂花屋．
(1)请画出平面直角坐标系，此时以___________为坐标原点（填建筑物名称）；
(2)请用有序数对表示：兴隆大桥（ ， ），博物馆（ ， ）；
(3)假设一个单位表示 ，王庆从兴隆大桥以 每分钟的速度骑自行车去长征公园，需要多少分钟．
【答案】(1)见解析，琴江廊桥
(2)兴隆大桥 ，博物馆
(3)需要 分钟
【分析】本题考查了平面直角坐标系的实际应用的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）根据 和 表示宝福院塔和桂花屋，可得坐标原点是琴江廊桥，进而建系即可．
（2）由（1）的平面直角坐标系可知，兴隆大桥 ，博物馆 ．（3）根据长征公园 ，兴隆大桥 ，可得长征公园距离兴隆大桥 米，结合速度为 每分钟，
即可得时间．
【详解】（1）解：∵有序数对 和 表示宝福院塔和桂花屋，
∴坐标原点是琴江廊桥，
故平面直角坐标系如下图：
（2）解：由（1）的平面直角坐标系可知，兴隆大桥 ，博物馆 ；
（3）解：∵长征公园 ，兴隆大桥
∴长征公园距离兴隆大桥 米，
速度为 每分钟，
时间为： （分钟），
答：需要 分钟．
12．如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点的坐标分别为 ， ， ．
(1)在图中作出 关于y轴对称的 （其中点 ， ， 分别是点A、B、C的对称点），并写出点 ， 的坐标；
(2)在x轴上求作一点P，使得 的值最小，并求出 的最小值．（保留作图痕迹）
【答案】(1)见解析， ，
(2)见解析，
【分析】本题考查作图-轴对称变换，最短距离问题，熟练掌握利用轴对称作轴对称图形，利用轴对称求最
短距离问题是解题的关键．
（1）分别作出点A、B、C关于y轴的对称点 ， ， ，顺次连接即可得；然后根据点在直角坐标系中
的位置，写出坐标即可；
（2）作C点关于x轴的对称点D，连接 交x轴于点P，则点P即为所求．
【详解】（1）解：如图， 即为所作，
由图知 ， ；
（2）解：如图，点P即为所作，
的最小值为 ．
13．已知点 ，分别根据下列条件求出点P的坐标．
(1)点P在x轴上；
(2)点P在y轴上；
(3)点P到两坐标轴的距离相等；
(4)点P与点 的连线平行于x轴．【答案】(1)
(2)
(3) 或
(4)
【分析】本题考查求点的坐标，熟练掌握特殊点的特征，是解题的关键：
（1）根据x轴上的点的纵坐标为0，进行求解即可；
（2）根据y轴上的点的横坐标为0，进行求解即可；
（3）根据点P到两坐标轴的距离为横纵坐标的绝对值，进行求解即可；
（4）根据平行于x轴上的点的纵坐标相同，进行求解即可．
【详解】（1）解： 点P在x轴上，
纵坐标为0，即
，
；
（2） 点P在y轴上，
横坐标为0，即 ，
，
；
（3） 点P到两坐标轴的距离相等，
横纵坐标相等或横纵坐标互为相反数
① ，即 ；
；
② ，即 ，
；综上： 或 ；
（4） 点P与点 的连线平行于x轴，
点P的纵坐标是3，
即： ，
，
．
14．如图，在平面直角坐标系中，已知点 ，点 ，点 ，且 ， ．
(1)点A的坐标为__________，点B的坐标为__________；
(2)将线段 平移得到线段 ，点A的对应点是点C，求三角形 的面积；
(3)在（2）的条件下，过点D作 轴于点E，请问在射线 上，是否存在点P，使得三角形 的
面积等于三角形 面积的一半？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1) ， ．
(2)12
(3)存在，点
【分析】本题考查绝对值和平方根的性质、图形的平移、坐标与图形等知识，熟练掌握相关知识的运用，
分类讨论是解答的关键．
（1）利用绝对值和算术平方根的性质求得a、b值即可；
（2）先由点A和其对应点C的坐标得到平移方式，进而得到点B对应点D的坐标，过点D作 轴于
点F，然后根据面积公式即可求解；
（3）设 ，三角形 的面积为 ，则 ，然后分当 时，当 时，当 时，当 时四种情况分析即可．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ， ，
∵A在x轴负半轴，
∴ ，
∴ ， ，
故答案为： ， ．
（2）解： 点 的对应点是点 ，
将线段 先向右平移4个单位长度，再向下平移4个单位长度得到线段 ，
点 对应点D坐标为 ．
如图-1，过点D作 轴于点F，则 ， ．
三角形 的面积 ．
（3）解：存在，点 ．
设 ，三角形 的面积为 ，三角形 的面积为 ，则 ．
当 时，如图-1，连接 ．
， ，
．
不成立；当 时， ， 不成立；
当 时，如图-2．
．
， ．
．
，此时点P的坐标为 ．
当 时， ， 不成立．
综上可知，点P的坐标为 ．
能力提升进阶练
一、单选题
1．已知点 ，点 关于y轴对称，则 的值（ ）
A． B． C．1 D．3
【答案】C
【分析】此题主要考查了关于 轴对称的点的坐标，若两点关于y轴对称，则它们的横坐标互为相反数，
纵坐标相等。．
根据点 ，点 关于 轴对称特征，求得 ， 的值，代入即可求解；
【详解】解：点 ，点 关于 轴对称，
， ，
则 ；
故选：C2．在平面直角坐标系中，已知线段 的两个端点分别是 ，将线段 平移后得到线段
．若点 的坐标为 ，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了点的平移，其平移规则是：横坐标左减右加，纵坐标上加下减，平移的确定等知识；
根据平移的性质，确定平移方式，进而根据平移方式确定点B的对应点的坐标即可．
【详解】解：确定平移：点 平移后为 ，横坐标变化为 ，纵坐标变化为
，故平移为向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度．
按此平移，点B平移后的横坐标为 ，纵坐标为 ，即点 的坐标为 ；
故选：C．
3．已知点 及第一象限的动点 ，且 ，设 的面积为 ，当 时，则点P的
坐标为( )
A． B． C． 或 D．
【答案】A
【分析】本题考查了点的坐标；根据三角形面积公式及点 在第一象限的条件求解，逐项分析判断，即可
求解．
【详解】解：点 、 、 构成的 ，以 为底边，其长度为 ．
点 到 的垂直距离为 ，故面积公式为：
当 时，
或
若 ，则 ，此时点 为 ，在第一象限，符合条件若 ，则 ，此时点 为 ，在第四象限，不符合第一象限要求
选项C包含 ，但该点不在第一象限；选项B、D的坐标均含负数 值，排除．
综上，唯一符合条件的点为 ，对应选项A．
故选：A．
4．在平面直角坐标系中，给出如下定义：一个点到两坐标轴的距离相等，称该点为“完美点”．若
为“完美点”，a的值为（ ）
A．0 B．2 C． 或2 D．0或2
【答案】D
【分析】本题考查的是新定义的含义，点到坐标轴的距离，根据“完美点”的定义，点C到x轴和y轴的
距离相等，即横纵坐标绝对值相等．由此建立方程 ，分情况求解即可．
【详解】解：∵ 为“完美点”，
∴ ，
∴ 或 ，
解得： 或 ，
故选：D
5．如图，平面直角坐标系 内，动点 按图中箭头所示方向依次运动，第 次从点 运动到点 ，
第二次运动到点 ，第 次运动到点 ， 按这样的运动规律，动点 第 次运动到的点的坐
标是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查点坐标的规律：解题的关键是找到点的横坐标和纵坐标的规律．
观察图形可知：每 次运动为一个循环，点的纵坐标依次为 、 、 ， ，并且每一个循环向右运动 个
单位，用 可判断出第 次运动时，点 在第几个循环第几次运动中，进一步即可计算出坐标．
【详解】解：由题意得，动点 的运动规律可以看作每运动四次为一个循环，点的纵坐标依次为 、 、
， ，每个循环向右运动 个单位，
∵ ，
第 次运动时，点 在第 次循环的第 次运动上，
横坐标为 ，纵坐标为 ，
此时 ．
故选：A．
二、填空题
6．已知点 ，则：点P关于x轴对称的点的坐标为 ；点P关于y轴对称的点的坐标为
．
【答案】
【分析】本题考查了点关于坐标轴对称变化的规律；掌握好相关基础知识是关键．
“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标为相反数”、“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标变为
相反数”，据此进行作答即可．
【详解】解：点 关于x轴对称的点的坐标为 ；
点 关于y轴对称的点的坐标为 ．
故答案为： ，
7．如图所示的是一所学校的平面示意图.若用 表示教学楼， 表示校门，则实验楼的位置可表示
成 .【答案】
【分析】本题主要考查了坐标确定位置，直接利用已知点坐标得出原点位置进而得出答案．
【详解】解：∵ 表示教学楼， 表示校门，
∴可建立坐标系如下：
∴实验楼的位置可表示成 ．
故答案为： ．
8．已知点 在第二象限，点 到 轴的距离是点 到 轴的距离的3倍，则点 的坐标为
．
【答案】
【分析】本题考查坐标系中点的坐标特征，由点 在第二象限，可知 ，再由
点 到 轴的距离是点 到 轴的距离的3倍，列方程求解即可得到答案．熟记坐标系中点的坐标特征是
解决问题的关键．
【详解】解： 点 在第二象限，点 到 轴的距离是点 到 轴的距离的3倍，，
，
解得 ，
，
故答案为： ．
9．已知点 的坐标为 ，若点 在 轴上，则点 的坐标为 ；若点 到两坐标轴的距离相
等，则点 的坐标是 ．
【答案】 或
【分析】根据 轴上点的纵坐标为 ，列方程求出 的值，再代入求横坐标，确定点 坐标．点到两坐标
轴距离相等时，横、纵坐标相等或互为相反数，据此列方程求 ，进而得点 坐标．本题主要考查了平面
直角坐标系中点的坐标特征（ 轴上点纵坐标为 、点到两坐标轴距离相等时横纵坐标的关系 ），熟练掌
握这些坐标特征并据此列方程求解是解题的关键．
【详解】解： 点 在 轴上， 轴上点的纵坐标为
解得
把 代入 ，得
点 坐标为
点 到两坐标轴距离相等
有 或
当 时：
移项可得 ，即 ，解得
把 代入坐标，横坐标 ，纵坐标 ，此时当 时：
去括号得 ，移项 ，即 ，解得
把 代入坐标，横坐标 ，纵坐标 ，此时
点 坐标为 或
故答案为： ； 或 ．
10．在平面直角坐标系 中，对于点 我们把 叫做点P的伴随点，已知 的伴随点
为 ，点 的伴随点为 ，点 的伴随点为 ，这样依次得到 ，若点 的坐标为 ，则
点 的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查点的坐标规律，读懂题目信息，理解“伴随点”的定义，解题的关键是求出每4个点为
一个循环组依次循环．
根据“伴随点”的定义依次求出各点，不难发现，每4个点为一个循环组依次循环，用2021除以4，根据
商和余数的情况确定点 的坐标即可．
【详解】解： 的坐标为 ，
， ， ， ，
，
依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，
，
点 的坐标与 的坐标相同，为 ．
故答案是： ．
三、解答题
11．已知点 ，分别根据下列条件求出点 的坐标．
(1)点 在 轴上；
(2)点 在 轴上；(3)点 的坐标为 ，直线 轴．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了平行直角坐标系上点的坐标特征，解一元一次方程，求代数式的值．熟练掌握以上知
识点是解题的关键．
（1）根据在 轴上的点的纵坐标为 ，先求出 的值，即可求得点 的坐标；
（2）根据在 轴上的点的横坐标为 ，先求出 的值，即可求得点 的坐标；
（3）根据与 轴平行的直线上点的横坐标相同，先求出 的值，即可求得点 的坐标．
【详解】（1）解：∵点 在 轴上，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
故点 的坐标为 ；
（2）解：∵点 在 轴上，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴点 的坐标为 ；
（3）解：∵点 ，点 的坐标为 ，直线 轴，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点 的坐标为 ．12．如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点的坐标分别是
(1)在图中作出 ，关于y轴对称的 ．
(2)在y轴上画出点 P，使 最小（保留作图痕迹）．
(3)如果要使以 为顶点的三角形与 全等（A与D不重合），写出所有符合条件的点 D 坐标．
【答案】(1)图见解析
(2)图见解析
(3)点D坐标为： 或 或
【分析】本题主要考查平面直角坐标系的特点，轴对称图形的性质，全等三角形的判定方法，掌握平面直
角坐标系的特点，轴对称图形的性质，全等三角形的判定方法是解题的关键．
（1）根据轴对称图形的性质作图即可；
（2）根据轴对称最短路径的方法作图即可；
（3）根据全等三角形的判定方法作图即可．
【详解】（1）解：如图所示， 即为所求；
（2）解：如图所示，由（1）可得点A关于y轴的对称点 ，连接 交y轴于点 ，则点 即为所求点的位置；
（3）解：如图所示，
∴ ，
∴ ，
∴所有符合条件的点D坐标为： 或 或 ．
13．在平面直角坐标系中，点 ， ， 、 满足关系式 ．
(1) ______， ______；
(2)平面直角坐标系中有一点 ．
若直线 与 轴平行，求此时三角形 的面积；
记三角形 的面积为 ，三角形 的面积为 ，当 时，求 的值．
【答案】(1) ，
(2)① ；② 或
【分析】本题主要考查了坐标与图形的性质，能够根据坐标求出三角形面积是本题解题的关键．（1）根据算术平方根和绝对值的非负性，列出二元一次方程组，求解 ， 的值即可；
（2） 根据直线 与 轴平行，求出 值，根据坐标与图形的关系，利用三角形面积公式求解即可；
利用割补法，用 表示出 的面积，求出 的面积，最后根据两个三角形面积关系求解 值即
可．
【详解】解：（1） ， ， ，
， ，
，
解得： ， ；
故答案为： ， ；
（2）由 知， ， ，
轴，
， ，
；
如图：
，
轴，
，，
，
解得： 或 ．
14．综合与实践
在平面直角坐标系 中，对于点 ，若点 的坐标为 ，则称点 是点 的“ 阶派生
点”（其中 为常数，且 ）．例如：点 的“2阶派生点”为点 ，即点 ．
(1)若点 的坐标为 ，则它的“3阶派生点”的坐标为______；
(2)若点 的“5阶派生点”的坐标为 ，求点 的坐标；
(3)若点 先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到了点 ．点 的“4阶派生
点” 位于坐标轴上，求点 的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3) ，
【分析】本题考查了“ 阶派生点”的定义，由题目已知“ 阶派生点”的定义是解决本题的关键．
（1）根据“ 阶派生点”的定义，则“3阶派生点”需“ ； ”即可求解；
（2）设出点P的坐标，根据“ 阶派生点”的定义即可求解；
（3）根据直角坐标系下点的平移规律先表示出点 ，再根据 在哪个轴分类讨论求解即可．
【详解】（1）解： ； ，
点 的坐标为 ，则它的“3阶派生点”的坐标为 ．
故答案为： ；（2）解：设点 的坐标为 ，
由题意可知 ，解得： ，
点 的坐标为 ；
（3）解：∵点 先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到了点
∴ ，
的“4阶派生点” 为： ，即
当 在 轴上， ， ，
；
当 在 轴上， ， ，
．
15．如图， 在x轴上，将线段 平移，得到线段 （点D与点A对应）．其中， ，
， ， ， ，四边形 的面积是 ．
(1)求点D的坐标；
(2)连接 与y轴交于点E，若 ，求m的值；
(3)点P从O点出发，以每秒1个单位的速度沿 方向运动，同时点Q从B点出发，以每秒2个单位的速
度沿 方向运动，当点P到达点D后停止运动，若射线 交y轴于点F，设运动时间为 ，，求 （可以用m表示）．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了坐标与图形，平移的性质，三角形面积，一元一次方程的应用等等，灵活运用所
学知识是解题的关键．
（1）根据平移可得 ，进而根据四边形 的面积是8，得出 ，即可求解；
（2）由 ，得出 ，即可求解；
（3）分当点Q在线段 上时，当点Q在 上时，两种情况分别求出S的值即可得到答案．
【详解】（1）解： ， ，
，
将线段 平移，得到线段 ，
，
，
，
四边形 的面积是 ，
，
解得： ，
；
（2）解： ， ， ，
，即 ，
，
， ，
；
（3）解：①如图1，当点Q在线段 上时，连接 ，由题意： ， ，
， ，
，
，
；
②如图2，当点Q在 上时，连接 ，
由①可知 ，，
综上所述， ．
