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第 5 章生活中的轴对称（易错 30 题专练）
一．选择题（共5小题）
1．（2021秋•细河区期末）如图，已知∠MON＝40°，OE平分∠MON，点A，B，C分别是射线
OM，OE，ON上的动点（在B，C不与点O重合）连接AB，连AC交射线OE于点D，且
AB∥ON，当△OCD是等腰三角形时，则∠OAC＝（ ）
A．60°或40°或120° B．80°或40°
C．60°或120° D．70°或120°
【分析】分两种情况：①当∠COD＝∠OCD，即∠BAD＝∠ABD时，②当∠OCD＝∠CDO，
即∠BAD＝∠BDA时，运用平行线的性质以及角平分线的定义，可得∠ABO的度数，根据
∠ABO、∠BAD的度数以及△AOB的内角和即可求解．
【解答】解：∵∠MON＝40°，OE平分∠MON，
∴∠AOB＝∠BON＝20°，
∵AB∥ON，
∴∠ABO＝20°，
①当∠COD＝∠OCD，即∠BAD＝∠ABD时，
∵∠BAD＝∠ABD，
∴∠BAD＝20°，
∵∠AOB+∠ABO+∠OAB＝180°，
∴∠OAB＝140°，
∴∠OAC＝120°；
②当∠OCD＝∠CDO，即∠BAD＝∠BDA时，
∵∠BAD＝∠BDA，∠ABO＝20°，
∴∠BAD＝80°，
∵∠AOB+∠ABO+∠OAB＝180°，
∴∠OAC＝60°；
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理和平行线的性质的应用，利用
平行线以及角平分线的性质求出∠ABO的度数是关键，注意分类讨论思想的运用．
2．（2021秋•微山县期末）下列图形是轴对称图形的是（ ）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．三角形 D．四边形
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做
轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：等腰三角形是轴对称图形，它的底边上的高所在是直线就是它的对称轴，
直角三角形、三角形和四边形均不一定能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直
线两旁的部分能够互相重合，所以不一定是轴对称图形，
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠
后可重合．
3．（2021秋•高新区期末）正方形的对称轴条数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】根据正方形的对称性解答．
【解答】解：正方形有4条对称轴．
故选：A．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是正确确定对称轴位置．
4．（2021秋•钢城区期末）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E．
若△ABC的周长为22，BE＝4，则△ABD的周长为（ ）
A．26 B．20 C．18 D．14
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DB＝DC，BC＝2BE＝8，根据三角形的周长公式
计算即可．
【解答】解：∵DE是BC的垂直平分线，
∴DB＝DC，BC＝2BE＝8，
∵△ABC的周长为22，
∴AB+BC+AC＝22，
∴AB+AC＝14，
∴△ABD的周长＝AD+BD+AB＝AD+CD+AB＝AB+AC＝14，
故选：D．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两
个端点的距离相等是解题的关键．
5．（2021秋•盘龙区期末）下列说法错误的是（ ）
A．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
B．等腰三角形的角平分线，中线，高相互重合
C．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等D．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
【分析】根据等腰三角形的性质，等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质逐一判断即可．
【解答】解：A．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，故A不符合题意；
B．等腰三角形的顶角的角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合，故B符合题意；
C．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，故C不符合题意题意；
D．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，故D不符合题意题意；
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练
掌握这些数学概念是解题的关键．
二．填空题（共9小题）
6．（2021秋•越城区期末）如图，在3×3的正方形网格中，其中有三格被涂黑，若在剩下的6个
空白小方格中涂黑其中1个，使所得的图形是轴对称图形，则可选的那个小方格的位置有
2 种．
【分析】直接利用轴对称图形的性质分析得出答案．
【解答】解：如图所示：在图中剩余的方格中涂黑一个正方形，使整个阴影部分成为轴对称
图形，只要将1，2处涂黑，都是符合题意的图形．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．
7．（2021秋•沙坪坝区校级期末）如图，三角形纸片ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、
BC上，∠BAC＝60°．将这张纸片沿直线DE翻折，点A与点F重合．若∠EFC比∠DFB大
38°，则∠DFB＝ 4 1 °．
【分析】由折叠的性质可知，∠DFE＝∠A＝60°，则∠DFB+∠DFE+∠EFC＝180°，根据∠EFC比∠DFB大38°建立方程，求解即可．
【解答】解：由折叠的性质可知，∠DFE＝∠A＝60°，
∴∠DFB+∠DFE+∠EFC＝180°，
∵∠EFC比∠DFB大38°，
∴∠EFC＝∠DFB+38°，
∴∠DFB+38°+∠DFB+60°＝180°，解得∠DFB＝41°，
故答案为：41．
【点评】本题主要考查折叠的性质，平角的定义等知识，由图形及角度之间的关系建立方程
是解题关键．
8．（2021春•菏泽月考）在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD将△ABC的周长分成2：3
两部分，若△ABC的周长为20cm，则BC＝ 4 或 cm．
【分析】首先应先想到等腰三角形的两腰相等，寻找问题中的等量关系，列方程求解，然后
结合三角形三边关系验证答案．
【解答】解：∵AC边上的中线BD将△ABC的周长分成2：3两部分，△ABC的周长为20cm，
∴两部分的长分别为8cm和12cm，
设等腰三角形的底边长为x，腰长为y，则根据题意，
得 或 ，
解得 或 ，
经检验，这两组解均能构成三角形，所以底边长为4或 （cm）．
故答案为：4或 ．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，根据题意画出图形，列出关于x、y的方程组是解
答此题的关键．
9．（2021秋•曹县期中）如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC于点D，AE＝AD，则∠ADE的
度数为 75 ° ．【分析】由△ABC为等边三角形，AD⊥BC，根据等边三角形的性质，可求得∠CAD的度数，
又由AD＝AE，根据等腰三角形的性质，可求得∠ADE的度数．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∵AD⊥BC，
∴∠CAD＝ ∠BAC＝30°，
∵AE＝AD，
∴∠ADE＝∠AED＝ ＝75°．
故答案为：75°．
【点评】此题考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数
形结合思想的应用．
10．（2021春•武侯区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD是∠ABC的平分线，
DE⊥AB，垂足为E，若△ABC和△ADE的周长分别为30和6，则BC的长为 1 2 ．
【分析】先根据角平分线的性质得出CD＝DE，故可得出AD+CD＝AD+DE＝AC，再根据全
等三角形的判定定理得出△BCD≌△BED，故BE＝BC，由此可得出AE的长，由△ADE的周
长＝AE+AD+DE＝AE+AC即可得出结论．
【解答】解：∵BD是∠ABC平分线，DE⊥AB，
∴DE＝CD，
∴AD+CD＝AD+DE＝AC，
在Rt△BCD与Rt△BED中，
，
∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL），
∴BE＝BC，∴△ADE的周长＝AE+AD+DE＝AE+AC＝6，
∵△ABC的周长＝AB+AC+BC＝BE+AE+BC+AC＝2BC+AE+AC＝30，
∴2BC＝30﹣6＝24，
∴BC＝12．
故答案为：12．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解答此
题的关键．
11．（2020秋•鄞州区期末）如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD
的高．若AB+AC＝8 ，S△ABC ＝24，∠EDF＝120°，则AD的长为 4 ．
【分析】先证明△ADE≌△ADF，再利用面积法求出DE的值，最后根据直角三角形30度角
的性质即可解决问题．
【解答】解：∵DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，
∴∠AED＝∠AFD＝90°，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠DAE＝∠DAF，
∵AD＝AD，
∴△ADE≌△ADF（AAS），
∴DE＝DF，∠ADE＝∠ADF，
∴S△ABC ＝ •AB•DE+ •AC•DF＝ •DE（AB+AC）＝24，
∵AB+AC＝8 ，
∴DE＝2 ，
∵∠EDF＝120°，
∴∠ADE＝∠ADF＝ ∠EDF＝ ×120°＝60°，
∴∠DAE＝180°﹣∠AED﹣∠ADE＝30°，
∴AD＝2DE＝4 ．
故答案为：4 ．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，角平分线等知识，解题的
关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用面积法解决问题，属于中考常考题型．
12．（2021秋•钢城区期末）如图，BD垂直平分AC，交AC于E，∠BCD＝∠ADF，FA⊥AC，垂足为A，AF＝DF＝5，AD＝6，则AC的长为 9. 6 ．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，BA＝BC，根据等腰三角形的性质得到
∠DAC＝∠DCA，∠BAC＝∠BCA，证明AB∥DF，进而得到四边形AFDB为平行四边形，根
据平行四边形的性质得到BD＝AF＝5，AB＝DF＝5，根据勾股定理列出方程，解方程得到答
案．
【解答】解：∵BD垂直平分AC，
∴DA＝DC，BA＝BC，
∴∠DAC＝∠DCA，∠BAC＝∠BCA，
∴∠DAC+∠BAC＝∠DCA+∠BCA，即∠DAB＝∠BCD，
∵∠BCD＝∠ADF，
∴∠DAB＝∠ADF，
∴AB∥DF，
∵FA⊥AC，DB⊥AC，
∴AF∥BD，
∴四边形AFDB为平行四边形，
∴BD＝AF＝5，AB＝DF＝5，
设BE＝x，则DE＝5﹣x，
在Rt△AEB中，AB2﹣BE2＝AE2，
在Rt△AED中，AD2﹣DE2＝AE2，
∴AB2﹣BE2＝AD2﹣DE2，即52﹣x2＝62﹣（5﹣x）2，
解得：x＝ ，
∴AE＝ ＝ ，
∴AC＝2AE＝9.6，
故AC的长为9.6，
故答案为：9.6．
【点评】本题考查的是平行四边形的判定和性质、线段垂直平分线的性质，掌握垂直平分线
上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
13．（2021秋•茶陵县月考）若一个等腰三角形的两边长分别为17，34，则这个等腰三角形的周
长为 8 5 ．
【分析】因为等腰三角形的两边分别为17、34，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．
【解答】解：当17为底时，其它两边都为34，17、34、34可以构成三角形，周长为85；
当17为腰时，其它两边为17和34，因为17+17＝34，所以不能构成三角形，故舍去．
故这个等腰三角形的周长为85．
故答案为：85．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；对于底和腰不等的等腰三
角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．
14．（2022春•江都区月考）如图，有一张三角形纸片ABC，∠B＝30°，∠C＝50°，点D是AB
边上的固定点（BD＜ AB），请在BC上找一点E，将纸片沿DE折叠（DE为折痕），点B
落在点F处，使EF与三角形ABC的一边平行，则∠BDE的度数为 35 ° 或 75 ° 或 125 ° ．
【分析】分三种情况：①当BD∥EF时，②当AC∥EF时，根据折叠性质、平行线的性质即
可解决问题．
【解答】解：①当BD∥EF时，
由折叠可知，∠B＝∠F＝30°，∠BED＝∠DEF，
∵BD∥EF，
∴∠B＝∠CEF＝30°，
∴∠BEF＝180°﹣30°＝150°，
∴∠BED＝∠DEF＝ ∠BEF＝ ×150°＝75°，
∴∠BDE＝180°﹣30°﹣75°＝75°．
②当AC∥EF时，∠C＝∠BEF＝50°，∴∠BED＝∠FED＝ ∠BEF＝ 50°＝25°，
∴∠BDE＝180°﹣∠B﹣∠BED＝180°﹣30°﹣25°＝125°，
∴∠BDE＝125°，
③当AC∥EF时，∠C＝∠CEF＝50°，
∴∠BGD＝50°+30°＝80°，
∴∠BDG＝180°﹣80°﹣30°＝70°，
∴∠BDE＝ ∠BDG＝ 70°＝35°，
综上所述，∠BDE＝35°或75°或125°．
故答案为：35°或75°或125°．
【点评】此题考查的是翻折变换和平行线的性质，掌握翻折的性质是解决此题的关键．
三．解答题（共16小题）
15．（2021春•罗湖区校级期末）如图，在正方形网格上有一个△ABC，A、B、C均为小正方形
的顶点．
（1）画△ABC关于直线a的对称图形（不写画法）；
（2）若网格上的每个小正方形的边长为1，求所画出的对称图形的面积．
【分析】（1）依据轴对称的性质，即可得到△ABC关于直线a的对称图形；
（2）利用割补法，即可得到所画出的对称图形的面积．
【解答】解：（1）如图所示，△DEF即为所求；（2）由图可得，S＝4×2﹣ ×2×1﹣ ×3×1﹣ ×4×1＝3.5
【点评】此题主要考查了利用轴对称变换进行作图以及三角形面积求法，利用结合网格解题
是关键．
16．（2021春•渠县期末）已知如图，在△ABC中，AB＝AC，
（1）如图（1），若∠ ＝35°，AD是BC上的高，AD＝AE，则∠ ＝ ；
（2）如图（2），若∠ ＝46°，AD是BC上的高，AD＝AE，则∠ ＝ 23 ° ；
α β
（3）如图（3），D为BC上任意一点．请你思考：在△ABC中，若AB＝AC，AD＝AE，则
α β
∠ 和∠ 之间有什么关系？如果有，请你写出来，并说明你的理由．
α β
【分析】（1）等腰三角形三线合一，所以∠ ＝35°，又因为AD＝AE，所以∠ADE＝∠AED
α
＝ ，所以∠ ＝ °；
（2）同理，易证∠ADE＝67°，所以∠ ＝23°；
β
（3）由于AD＝AE，所以∠ADE＝∠AED，根据已知，易证∠ +∠B＝2∠ +∠C，而∠B＝
β
∠C，所以∠ ＝2∠ ．
α β
【解答】解解：（1）∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC上的高，
α β
∴∠ ＝∠CAD，
∵∠ ＝35°，
α
∴∠ ＝∠CAD＝35°，
α
∵AD＝AE，
α
∴∠ADE＝∠AED＝ ，∴∠ ＝90°﹣ ＝ ；
β
故答案为： ；
（2）∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC上的高，
∴∠ ＝∠CAD，
∵∠ ＝46°，
α
∴∠BAD＝∠CAD＝46°，
α
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝67°，
∴∠ ＝23°；
故答案为：23°；
β
（3）∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED，
∴∠ +∠B＝∠ADC＝∠ADE+∠ ＝∠AED+∠ ＝（∠ +∠C）+∠ ＝2∠EDC+∠C
又∵AB＝AC，
α β β β β
∴∠B＝∠C，
∴∠ ＝2∠ ．
【点评】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，三角形的一个外角等
α β
于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．
17．（2021秋•金乡县期中）如图，△ABC是等边三角形，D为BC边上一个动点（D与B、C均
不重合），AD＝AE，∠DAE＝60°，连接CE．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）若AB＝2，当四边形ADCE的周长取最小值时，求BD的长．
【分析】（1）由于AB＝AC，AD＝AE，所以只需证∠BAD＝∠CAE即可得结论；
（2）根据全等三角形的性质可得AB＝BC＝AC＝2，将四边形ADCE的周长用AD表示，AD
最小时就是四边形ADCE的周长最小，根据垂线段最短原理，当AD⊥BC时，AD最小，此时
BD就是BC的一半．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵∠DAE＝60°，
∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
（2）解：∵△ABD≌△ACE，
∴CE＝BD，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝2，
∴四边形ADCE的周长＝CE+DC+AD+AE＝BD+DC+2AD＝2+2AD，
根据垂线段最短，当AD⊥BC时，AD值最小，四边形ADCE的周长取最小值，
∵AB＝AC，
∴BD＝ BC＝ ×2＝1．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质定理以及垂线段最短原理，关键是找出能
使三角形全等的条件，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的
对应边相等，对应角相等．
18．（2021春•沭阳县期中）将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在
AB边上，折痕为AD，展平纸片（如图1）；再次折叠该三角形纸片，使得点A与点D重合，
折痕为EF，再次展平后连接DE、DF（如图2）．判断四边形AEDF的形状，并说明理由．
【分析】第一次折叠，AC落在AB边上，则折痕AD平分∠BAC，∠EAD＝∠FAD；第二次折
叠，A、D重合，则∠EAF＝∠EDF、∠EDA＝∠FDA；AE＝ED、AF＝FD；易证得
△AED≌△AFD，得AE＝AF、DE＝DF，再根据第二次折叠所得到的AE＝DE、AF＝FD，可
证得四边形AEDF的四边相等，由此可判定四边形AEDF是菱形．
【解答】解：四边形AEDF是菱形．理由如下：由第一次折叠可知：AD为∠CAB的平分线，
∴∠1＝∠2，
由第二次折叠可知：∠CAB＝∠EDF，
∵AE＝ED，AF＝FD，
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，
∵∠1＝∠2，
∴∠3＝∠4，
在△AED与△AFD中，
，
∴△AED≌△AFD（ASA），
∴AE＝AF，DE＝DF，
∴EO＝FO，AO＝DO，AD⊥EF，
故四边形AEDF是菱形．
【点评】此题考查了折叠的性质、全等三角形的判定和性质及菱形的判定方法，掌握其性质
定理是解决此题关键．
19．（2021秋•正定县期末）两个城镇A、B与两条公路ME，MF位置如图所示，其中ME是东
西方向公路．现电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离
必须相等，到两条公路ME，MF的距离也必须相等，且在∠FME的内部，请在图中，用尺规
作图找出符合条件的点C．（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹）
【分析】到城镇A、B距离相等的点在线段AB的垂直平分线上，到两条公路距离相等的点在
两条公路所夹角的角平分线上，分别作出垂直平分线与角平分线，它们的交点即为所求作的
点C．
【解答】解：如图：点C即为所求作的点．
【点评】此题考查作图﹣应用与设计作图，掌握垂直平分线和角平分线的性质，以及尺规作
图的方法是解决问题的关键．
20．（2021秋•洪江市期末）如图，直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，l与m
分别交边AB于点D和点E．
（1）若AB＝10，则△CDE的周长是多少？为什么？
（2）若∠ACB＝125°，求∠DCE的度数．
【分析】（1）依据线段垂直平分线的性质，即可得到△CDE的周长＝CD+DE+CE＝
AD+DE+BE＝AB；
（2）依据AD＝CD，BE＝CE，即可得到∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCE，再根据三角形内角和
定理，即可得到∠A+∠B＝55°，进而得到∠ACD+∠BCE＝55°，再根据∠DCE＝∠ACB﹣
（∠ACD+∠BCE）进行计算即可．
【解答】解：（1）△CDE的周长为10．
∵直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，
∴AD＝CD，BE＝CE，
∴△CDE的周长＝CD+DE+CE＝AD+DE+BE＝AB＝10；
（2）∵直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，
∴AD＝CD，BE＝CE，
∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCE，
又∵∠ACB＝125°，
∴∠A+∠B＝180°﹣125°＝55°，
∴∠ACD+∠BCE＝55°，
∴∠DCE＝∠ACB﹣（∠ACD+∠BCE）＝125°﹣55°＝70°．
【点评】本题考查了线段的垂直平分线的性质，线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点
的距离相等．21．（2021春•商河县校级期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE为AB的垂直平分线，DE
交AC于点D，连接BD．若∠ABD＝2∠CBD，求∠A的度数．
【分析】依据线段垂直平分线的性质，可得∠A＝∠ABD＝2∠CBD，设∠A＝ ，则∠ABD＝ ，
α α
∠CBD＝ ，依据三角形内角和定理，即可得到∠A的度数．
【解答】解：∵DE为AB的垂直平分线，
α
∴∠A＝∠ABD，
又∵∠ABD＝2∠CBD，
∴∠A＝∠ABD＝2∠CBD，
设∠A＝ ，则∠ABD＝ ，∠CBD＝ ，
又∵∠C＝90°，
α α α
∴∠A+∠ABC＝90°，
即 + + ＝90°，
解得 ＝36°，
α α α
∴∠A＝36°．
α
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形性质，三角形内角和定理的应用，
解题的关键是注意线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
22．（2021春•槐荫区期末）如图，在等边△ABC中，已知点E在直线AB上（不与点A、B重
合），点D在直线BC上，且ED＝EC．
（1）若点E为线段AB的中点时，试说明DB＝AE的理由；
（2）若△ABC的边长为2，AE＝1，求CD的长．【分析】（1）根据等边三角形的性质得到∠BCE＝30°，BE＝AE，等腰三角形的判定和性质；
（2）如图1，E在线段AB上时，由（1）知，BD＝AE＝1，则CD＝BC+BD＝3；如图2，E
在线段AB的反向延长线上时，过E作AC的平行线与BC交于点H，构造等边△BEH，通过
证得△EBD≌△EHC，得到BD＝HC＝AE＝1，从而求得CD．
【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，E为AB的中点，
∴∠BCE＝30°，BE＝AE，
∵ED＝EC，
∴∠EDB＝∠BCE＝30°，
∵∠ABD＝120°，
∴∠DEB＝30°，
∴DB＝EB，
∴AE＝DB；
（2）如图1，E在线段AB上时，
∵AB＝2，AE＝1，
∴点E是AB的中点，
由（1）知，BD＝AE＝1，
∴CD＝BC+BD＝3；
如图2，E在线段AB的反向延长线上时，
∵AE＝1，AB＝2，
∴BE＝3，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠BCA＝60°，AB＝BC＝AC＝2，
过E作EH∥AC交BC的延长线于H，
∴∠BEH＝∠BHE＝60°，
∴△BEH是等边三角形，
∴BE＝EH＝BH＝3，∠B＝∠H＝60°，
∵ED＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD，
∴∠B+∠BED＝∠H+∠HEC，
∴∠BED＝∠HEC，在△BDE和△HCE中，
，
∴△BDE≌△HCE（SAS），
∴BD＝HC＝BH﹣BC＝3﹣2＝1，
∴CD＝BH﹣BD﹣HC＝3﹣1﹣1＝1．
综上所述，CD的长为1或3．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的判定和性
质，正确的作出辅助线是解题的关键．
23．（2021秋•朝阳区期末）在平面直角坐标系xOy中，对于任意图形G及直线l ，l ，给出如
1 2
下定义：将图形G先沿直线l 翻折得到图形G ，再将图形G 沿直线l 翻折得到图形G ，则
1 1 1 2 2
称图形G 是图形G的＜l ，l ＞伴随图形．
2 1 2
例如：点P（2，1）的＜x轴，y轴＞伴随图形是点P′（﹣2，﹣1）．
（1）点Q（﹣3，﹣2）的＜x轴，y轴＞伴随图形点Q′的坐标为 （ 3 ， 2 ） ；
（2）已知A（t，1），B（t﹣3，1），C（t，3），直线m经过点（1，1）．
①当t＝﹣1，且直线m与y轴平行时，点A的＜x轴，m＞伴随图形点A′的坐标为 （ 3 ，
﹣ 1 ） ；
②当直线m经过原点时，若△ABC的＜x轴，m＞伴随图形上只存在两个与x轴的距离为1的
点，直接写出t的取值范围．
【分析】（1）点Q关于x轴对称的点坐标为（﹣3，2），再关于y轴对称的点坐标为（3，
2），故可得点的伴随图形点Q′坐标；（2）①t＝﹣1时，A点坐标为（﹣1，1），直线m为x＝1，此时点A先关于x轴对称的点
坐标为（﹣1，﹣1），再关于m轴对称的点坐标为（3，1），进而得到点的伴随图形点A′
坐标；
②由题意知直线m为直线y＝x，A，B，C三点的＜x轴，m＞的伴随图形点坐标依次表示为：
（﹣1，t），（﹣1，t﹣3），（﹣3，t），由题意可得|t|＜1或|t﹣3|＜1解出t的取值范围即可．
【解答】解：（1）由题意知（﹣3，﹣2）沿x轴翻折得点坐标为（﹣3，2）；
（﹣3，2）沿y轴翻折得点坐标为（3，2），
故答案为：（3，2）；
（2）①t＝﹣1时，A点坐标为（﹣1，1），直线m为x＝1，
（﹣1，1）沿x轴翻折得点坐标为（﹣1，﹣1），
（﹣1，﹣1）沿直线x＝1翻折得点坐标为（﹣1+2（1﹣（﹣1）），﹣t），即为（3，﹣1），
故答案为：（3，﹣1）；
②直线m经过原点，
∴直线为y＝x．
∴A，B，C的伴随点先沿x轴翻折，点坐标依次为（t，﹣1），（t﹣3，﹣1），（t，﹣3）；
沿直线y＝x翻折，点坐标依次为：（﹣1，t），（﹣1，t﹣3），（﹣3，t），
由题意可得|t|＜1或|t﹣3|＜1，
∴﹣1＜t＜1或2＜t＜4．
【点评】本题考查了直角坐标系中的点对称，几何图形翻折．解题的关键在于正确的将翻折
后的点坐标表示出来．
24．（2021秋•莱州市期中）如图，在3×3的正方形网格图中，一个三角形是格点三角形（顶点
在正方形顶点上）．请你画出这个三角形关于某条直线成轴对称的格点三角形，并画出对称
轴．
要求：画出5种情况：
【分析】根据△ABC和△DEF是关于某条直线成轴对称的两个格点三角形，运用轴对称的性
质画出图形即可．
【解答】解：如图所示即为所求．
【点评】本题考查的是作图﹣轴对称变换，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．
25．（2021秋•宜兴市校级月考）如图是四幅都由4×4个小正方形组成的正方形网格图，现已将每幅图中的两个涂黑．请你用三种不同的方法分别在下列四幅图选三幅图涂黑三个空白的小
正方形，使它成为轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的性质可知，正方形的轴对称图形，是四边的垂直平分线，所以可
以先找到正方形的对称轴，再在对称图形中找到相同的部分就是轴对称图形．
【解答】解：如图所示：
【点评】本题主要考查了轴对称图形的性质，解决本题的关键是画轴对称图形要先找到对称
轴．
26．（2019秋•邓州市期末）如图1，A村和B村在一条大河CD的同侧，它们到河岸的距离AC、
BD分别为1千米和4千米，又知道CD的长为4千米．
（1）现要在河岸CD上建一水厂向两村输送自来水，有两种方案备选择．
方案1：水厂建在C点，修自来水管道到A村，再到B村（即AC+AB）（如图2）；
方案2：作A点关于直线CD的对称点A'，连接A'B交CD于M点，水厂建在M点处，分别向
两村修管道AM和BM（即AM+BM）（如图3）．
从节约建设资金方面考虑，将选择管道总长度较短的方案进行施工，请利用已有条件分别进
行计算，判断哪种方案更合适．
（2）有一艘快艇Q从这条河中驶过，若快艇Q在CD之间（即点Q在线段CD上），当DQ
为多少时？△ABQ为等腰三角形，请直接写出结果．
【分析】（1）方案1：AC+AB＝1+5＝6，根据勾股定理求出方案2，进行比较即可；
（2）分3种情况讨论画图解答即可．
【解答】解：（1）方案1：AC+AB＝1+5＝6，
方案2： ，
∵ ，∴方案1更合适；
（2）（方法不唯一）如图，
①若AQ ＝AB＝5或AQ ＝AB＝5时，
1 4
（或 ）＞4
∴（不合题意，舍去）
②若AB＝BQ ＝5或AB＝BQ ＝5时，
2 5
，
③当AQ ＝BQ 时，
3 3
设DQ ＝x，
3
则有x2+42＝（4﹣x）2+12
8x＝1
∴ ，
即： ；
故当DQ＝3或 时，△ABQ为等腰三角形．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，解决本题的关键是掌握等腰三角形的性质．
27．（2021春•海阳市期末）数学理解
（1）如图1，在等边△ABC内，作DB＝DC，且∠BDC＝80°，E是△DBC内一点，且∠CBE
＝10°，BE＝BD，求∠BCE的度数；
联系拓广（联系图1特点，解决下列问题）
（2）如图2，在△DBC中，DB＝DC，∠BDC＝80°，E是△DBC内一点，且∠CBE＝10°，
∠BCE＝30°，连接DE，求∠CDE的度数．【分析】（1）连接AD，依据直线AD是线段BC的垂直平分线，即可得到AD平分∠BAC，
进而得出∠BAD的度数；再判定△ABD≌△CBE（SAS），即可得到∠BCE＝∠BAD＝30°；
（2）作等边三角形ABC，连接AD，判定△ABD≌△CBE（SAS），即可得到BD＝BE，进而
得出∠BDE＝70°，再根据∠CDE＝∠BDC﹣∠BDE进行计算即可．
【解答】解：（1）如图1，连接AD，
∵AB＝AC，DB＝DC，
∴直线AD是线段BC的垂直平分线，
∴AD平分∠BAC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ABC＝60°，
∴∠BAD＝30°，
∵∠BDC＝80°，
∴∠DBC＝50°，
∴∠ABD＝60°﹣50°＝10°＝∠CBE，
又∵AB＝BC，BE＝BD，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴∠BCE＝∠BAD＝30°；
（2）如图2，作等边三角形ABC，连接AD，
由（1）解答知，∠BAD＝∠BCE＝30°，∠ABD＝∠CBE＝10°，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴BD＝BE，
∵∠DBE＝60°﹣10°﹣10°＝40°，
∴∠BDE＝70°，
∴∠CDE＝∠BDC﹣∠BDE＝80°﹣70°＝10°．【点评】本题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，关键是掌握等边三角形
的三个内角都相等，且都等于60°．
28．（2019秋•建邺区校级期中）如图，网格中的△ABC和△DEF是轴对称图形．
（1）利用网格线，作出△ABC和△DEF的对称轴l；
（2）结合所画图形，在直线l上找点G，使GA+GC最小；
（3）如果每个小正方形的边长为1，则△ABC的面积为 3 ；
（4）在图中到EF、BC的距离相等的格点有 8 个．
【分析】（1）依据轴对称的性质，即可得到△ABC和△DEF的对称轴l；
（2）依据轴对称的性质以及两点之间，线段最短，即可得到点G，使GA+GC最小；
（3）依据割补法进行计算，即可得到△ABC的面积；
（4）根据角的轴对称性可得，到EF、BC的距离相等的格点在∠BHE的角平分线上，进而得
出结论．
【解答】解：（1）如图所示，直线l即为△ABC和△DEF的对称轴；
（2）如图所示，连接CD，交l于G，连接AG，则GA+GC最小，点G即为所求；（3）△ABC的面积＝2×4﹣ ×1×2﹣ ×2×2﹣ ×1×4＝3，
故答案为：3；
（4）如图，延长EF，BC交于点H，根据角的轴对称性可得，到EF、BC的距离相等的格点
在∠BHE的角平分线上，
故符合题意的格点在直线l上，共8个．
故答案为：8．
【点评】本题主要考查了利用轴对称变换作图，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段
的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
29．（2021秋•鄞州区期末）定义：若a，b，c是△ABC的三边，且a2+b2＝2c2，则称△ABC为
“方倍三角形”．
（1）对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是 A ．
A．①一定是“方倍三角形”
B．②一定是“方倍三角形”
C．①②都一定是“方倍三角形”
D．①②都一定不是“方倍三角形”
（2）若Rt△ABC是“方倍三角形”，且斜边AB＝ ，则该三角形的面积为 ；
（3）如图，△ABC中，∠ABC＝120°，∠ACB＝45°，P为AC边上一点，将△ABP沿直线BP
进行折叠，点A落在点D处，连接CD，AD．若△ABD为“方倍三角形”，且AP＝ ，求
△PDC的面积．【分析】（1）根据“方倍三角形”定义可得，等边三角形一定是“方倍三角形”，直角三角
形不一定是“方倍三角形”进而可以判断；
（2）设Rt△ABC其余两条边为a，b，满足a2+b2＝3，根据“方倍三角形”定义，还满足：
a2+3＝2b2，即可得a和b的值，进而可得直角三角形的面积；
（3）根据题意可得△ABP≌△DBP，根据“方倍三角形”定义可得△ABD为等边三角形，从
而证明△APD为等腰直角三角形，可得AP＝DP＝ ，延长BP交AD于点E，根据勾股定理
求出BE的长，根据△PBC为等腰直角三角形，可得PC＝ PB＝ ﹣ ，进而可以求
△PDC的面积．
【解答】解：（1）对于①等边三角形，三边相等，
设边长为a，
则a2+a2＝2a2，
根据“方倍三角形”定义可知：
等边三角形一定是“方倍三角形”；
对于②直角三角形，三边满足关系式：
a2+b2＝c2，
根据“方倍三角形”定义可知：
直角三角形不一定是“方倍三角形”；
故答案为：A；
（2）设Rt△ABC其余两条边为a，b，
则满足a2+b2＝3，
根据“方倍三角形”定义，还满足：
a2+3＝2b2，
联立解得 ，
则Rt△ABC的面积为： ；
故答案为： ；（3）由题意可知：
△ABP≌△DBP，
∴BA＝BD，∠ABP＝∠DBP，
根据“方倍三角形”定义可知：
BA2+BD2＝2AD2＝2BA2，
∴AD＝AB＝BD，
∴△ABD为等边三角形，∠BAD＝60°，
∴∠ABP＝∠DBP＝30°，
∴∠PBC＝90°，
∵∠CPB＝45°，
∴∠APB＝180°﹣45°＝135°，
∴∠DPC＝90°，
∵∠ABC＝120°，∠ACB＝45°，
∴∠BAC＝15°，
∴∠CAD＝45°，
∴△APD为等腰直角三角形，
∴AP＝DP＝ ，
∴AD＝2，
延长BP交AD于点E，如图，
∵∠ABP＝∠PBD，
∴BE⊥AD，PE＝ AD＝AE＝1，
∴BE＝ ＝ ＝ ，
∴PB＝BE﹣PE＝ ﹣1，
∵∠CPB＝∠PCB＝45°，
∴△PBC为等腰直角三角形，
∴PC＝ PB＝ ﹣ ，∴S△PDC ＝ PC•PD＝ （ ﹣ ）× ＝ ﹣1．
【点评】本题考查了翻折变换、等边三角形的性质，解决本题的关键是掌握等边三角形的性
质．
30．（2021秋•德城区期末）同学们，我们已经学习了角的平分线的定义，请你用它解决下列问
题：
（1）如图1，已知∠AOC，若将∠AOC沿着射线OC翻折，射线OA落在OB处，则射线OC
一定平分∠AOB．
理由如下：因为∠BOC是由∠AOC翻折而成，而翻折不改变图形的形状和大小，所以∠BOC
＝ ∠ AOC ，所以射线 OC 是∠AOB的平分线；
（2）如图2，将长方形纸片的一角折叠，使顶点A落在A′处，EF为折痕．
①若EA′恰好平分∠FEB，求出∠FEB的度数；
②过点E再将长方形的另一角∠B做折叠，使点B落在∠FEB的内部B′处（B′不在射线
EA′上），EH为折痕，H为EH与射线BC的交点．请猜想∠A′EF，∠B′EH与
∠A′EB′三者的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）根据角平分线定义即可解决问题；
（2）①根据折叠的性质和角平分线定义可得3∠AEF＝180°，所以∠AEF＝60°，进而可以解
决问题；
②根据题意分两种情况讨论：当EB′落在A′E右侧时，当EB′落在A′E左侧时，根据折
叠的性质即可解决问题．
【解答】解：（1）因为∠BOC是由∠AOC翻折而成，而翻折不改变图形的形状和大小，所
以∠BOC＝∠AOC，所以射线OC是∠AOB的平分线；
故答案为：∠AOC，OC；
（2）①由翻折可知：∠AEF＝∠A′EF，
∵EA′恰好平分∠FEB，
∴∠A′EF＝∠A′EB，
∵∠AEF+∠A′EF+∠A′EB＝180°，
∴3∠AEF＝180°，
∴∠AEF＝60°，
∴∠FEB＝180°﹣60°＝120°；∴∠FEB的度数为120°；
②根据题意点B落在∠FEB的内部B′处（B′不在射线EA′上），EH为折痕，
∴2∠A′EF+2∠B′EH＝180°±∠A′EB′，
所以分两种情况讨论：
当EB′落在A′E右侧时，2∠A′EF+∠A′EB′+2∠B′EH＝180°，
∴2∠A′EF+2∠B′EH＝180°﹣∠A′EB′；
当EB′落在A′E左侧时，2∠A′EF+2∠B′EH﹣∠A′EB′＝180°，
∴2∠A′EF+2∠B′EH＝180°+∠A′EB′．
综上所述：2∠A′EF+2∠B′EH＝180°﹣∠A′EB′或2∠A′EF+2∠B′EH＝180°
+∠A′EB′．
【点评】本题考查了翻折变换，角平分线的定义，解决本题的关键是掌握翻折的性质．
