文档内容
第 5 章生活中的轴对称（单元提升卷）
（满分100分，完卷时间90分钟）
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，
在草稿纸、本试卷上答题一律无效．
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解题的
主要步骤．
一、仔细选一选（本题共10题，每小题3分，共30分。每小题给出的四个选项中，只有一个是
正确的，请选出正确的选项。注意可以用多种不同的方法来选取正确的答案）
1．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，点E是BC的中点，连接AE，将△ABE沿AE折
叠，点B落在点F处，连接FC，则sin∠ECF＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】过E作EH⊥CF于H，由折叠的性质得BE＝EF，∠BEA＝∠FEA，由点E是BC的
中点，得到CE＝BE，得到△EFC是等腰三角形，根据等腰三角形的性质得到∠FEH＝∠CEH，
推出△ABE∽△EHC，求得EH＝ ，结果可求sin∠ECF＝ ＝ ．
【解答】解：过E作EH⊥CF于H，
由折叠的性质得：BE＝EF，∠BEA＝∠FEA，
∵点E是BC的中点，
∴CE＝BE，
∴EF＝CE，
∴∠FEH＝∠CEH，
∴∠AEB+∠CEH＝90°，
在矩形ABCD中，
∵∠B＝90°，
∴∠BAE+∠BEA＝90°，
∴∠BAE＝∠CEH，∠B＝∠EHC，
∴△ABE∽△EHC，
∴ ，∵AE＝ ＝10，
∴EH＝ ，
∴sin∠ECF＝sin∠ECH＝ ＝ ，
（方法二，可以证明∠AEB＝∠ECF，求出AE＝10，sin∠ECF＝sin∠AEB＝ ）
故选：D．
【点评】本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考
查了矩形的性质以及勾股定理．
2．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，将纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，则下列
结论错误的是（ ）
A．AF＝AE B．△ABE≌△AGF C．EF＝2 D．AF＝EF
【分析】设BE＝x，表示出CE＝8﹣x，根据翻折的性质可得AE＝CE，然后在Rt△ABE中，
利用勾股定理列出方程求出x，再根据翻折的性质可得∠AEF＝∠CEF，根据两直线平行，内
错角相等可得∠AFE＝∠CEF，然后求出∠AEF＝∠AFE，根据等角对等边可得AE＝AF，过
点E作EH⊥AD于H，可得四边形ABEH是矩形，根据矩形的性质求出EH、AH，然后求出
FH，再利用勾股定理列式计算即可得解．
【解答】解：设BE＝x，则CE＝BC﹣BE＝8﹣x，
∵沿EF翻折后点C与点A重合，
∴AE＝CE＝8﹣x，
在Rt△ABE中，AB2+BE2＝AE2，
即42+x2＝（8﹣x）2
解得x＝3，
∴AE＝8﹣3＝5，
由翻折的性质得，∠AEF＝∠CEF，∵矩形ABCD的对边AD∥BC，
∴∠AFE＝∠CEF，
∴∠AEF＝∠AFE，
∴AE＝AF＝5，
∴A正确；
在Rt△ABE和Rt△AGF中，
，
∴△ABE≌△AGF（HL），
∴B正确；
过点E作EH⊥AD于H，则四边形ABEH是矩形，
∴EH＝AB＝4，
AH＝BE＝3，
∴FH＝AF﹣AH＝5﹣3＝2，
在Rt△EFH中，EF＝2 ，
∴C正确；
由AF＝5，EF＝2 ，可得EF≠AF，
故D错误；
故选：D．
【点评】本题考查了翻折变换的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，熟记各性质并作利用
勾股定理列方程求出BE的长度是解题的关键，也是本题的突破口．
3．数学兴趣小组开展以下折纸活动：
（1）对折矩形ABCD，使AD和BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；
（2）再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段
BN．
观察，探究可以得到∠ABM的度数是（ ）
A．25° B．30° C．36° D．45°
【分析】连接AN，根据折叠的性质得到△ABN为等边三角形，可得∠ABN＝60°，于是得到∠ABM＝∠NBM＝30°．
【解答】解：连接AN，
∵EF垂直平分AB，
∴AN＝BN，
由折叠知AB＝BN，
∴AN＝AB＝BN，
∴△ABN为等边三角形，
∴∠ABN＝60°，
∴∠ABM＝∠NBM＝30°．
故选：B．
【点评】本题考查了翻折变换，等边三角形的性质，翻折前后对应角相等；对应边相等；注
意特殊角及三角函数的应用．
4．如果将长为6cm，宽为5cm的长方形纸片折叠一次，那么这条折痕的长不可能是（ ）
A．8cm B．5 cm C．5.5cm D．1cm
【分析】根据勾股定理计算出最长折痕即可作出判断．
【解答】解：易知最长折痕为矩形对角线的长，根据勾股定理对角线长为： ＝
≈7.8，故折痕长不可能为8cm．
故选：A．
【点评】考查了折叠问题，勾股定理，根据勾股定理计算后即可做出选择，难度不大．
5．如图，在矩形OABC中，OA＝8，OC＝4，沿对角线OB折叠后，点A与点D重合，OD与
BC交于点E，则点D的坐标是（ ）
A．（4，8） B．（5，8） C．（ ， ） D．（ ， ）
【分析】由四边形ABCD为矩形，利用矩形的性质得到两对边相等，再利用折叠的性质得到
OA＝OD，两对角相等，利用HL得到直角三角形BOC与直角三角形BOD全等，利用全等三
角形对应角相等及等角对等边得到OE＝EB，在直角三角形OCE中，设CE＝x，表示出OE，
利用勾股定理求出x的值，确定出CE与OE的长，进而由三角形COE与三角形DEF相似，
求出DF与EF的长，即可确定出D坐标．【解答】解：∵矩形ABCO中，OA＝8，OC＝4，
∴BC＝OA＝8，AB＝OC＝4，
由折叠得到OD＝OA＝BC，∠AOB＝∠DOB，∠ODB＝∠BAO＝90°，
在Rt△CBO和Rt△DOB中，
，
∴Rt△CBO≌Rt△DOB（HL），
∴∠CBO＝∠DOB，
∴OE＝EB，
设CE＝x，则EB＝OE＝8﹣x，
在Rt△COE中，根据勾股定理得：（8﹣x）2＝x2+42，
解得：x＝3，
∴CE＝3，OE＝5，DE＝3，
过D作DF⊥BC，可得△COE∽△FDE，
∴ ＝ ＝ ，即 ＝ ＝ ，
解得：DF＝ ，EF＝ ，
∴DF+OC＝ +4＝ ，CF＝3+ ＝ ，
则D（ ， ），
故选：C．
【点评】此题考查了翻折变换（折叠问题），坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，
勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键．
6．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，将△ABD沿对角线BD对折，得到△EBD，DE与BC交于
点F，∠ADB＝30°，则EF＝（ ）A． B．2 C．3 D．3
【分析】利用翻折变换的性质得出：∠1＝∠2＝30°，进而结合锐角三角函数关系求出FE的
长．
【解答】解：如图所示：由题意可得：∠1＝∠2＝30°，则∠3＝30°，
可得∠4＝∠5＝60°，
∵AB＝DC＝BE＝3，
∴tan60°＝ ＝ ＝ ，
解得：EF＝ ．
故选：A．
【点评】此题主要考查了翻折变换的性质以及锐角三角函数关系，得出∠4＝∠5＝60°是解题
关键．
7．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上
的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边
AB分别交于点E、F，则线段B′F的长为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据折叠的性质可知AC＝CD，∠A＝∠CDE，CE⊥AB，Rt△ABC中根据勾股定理
求得AB＝5，再根据三角形的面积可求得B′F的长．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝5，
根据折叠的性质可知AC＝CD，∠A＝∠CDE，CE⊥AB，
∴B′D＝BC﹣CD＝4﹣3＝1，∠DCE+∠B′CF＝∠ACE+∠BCF，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ECF＝45°，
∴△ECF是等腰直角三角形，∴EF＝CE，∠EFC＝45°，
∴∠BFC＝∠B′FC＝135°，
∴∠B′FD＝90°，
∵S△ABC ＝ AC•BC＝ AB•CE，
∴AC•BC＝AB•CE，
∴CE＝ ，
∴EF＝ ，ED＝AE＝ ＝ ，
∴DF＝EF﹣ED＝
∴B′F＝ ＝ ．
故选：B．
【点评】此题主要考查了翻折变换，勾股定理的应用等，根据折叠的性质求得相等的角是本
题的关键．
8．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝12，AD⊥BC于D，点E、F分别在AB、AC边上，
把△ABC沿EF折叠，使点A与点D恰好重合，则△DEF的周长是（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
【分析】由题意得EF为△ABC的中位线，△AEF≌△DEF，分别求出EF、DE、DF的长度，
即可求得周长．
【解答】解：由题意，△AEF≌△DEF，EF为△ABC的中位线，
∵AB＝10，AC＝8，BC＝12，
∴AE＝ED＝5，AF＝FC＝4，EF＝6，
∴△DEF的周长＝5+4+6＝15．
故选：B．
【点评】本题考查了翻折变换，解答本题的关键是掌握折叠的性质：折叠是一种对称变换，
它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
9．如图，ABCD是矩形纸片，翻折∠B，∠D，使AD，BC边与对角线AC重叠，且顶点B，D恰
好落在同一点O上，折痕分别是CE，AF，则 等于（ ）A． B．2 C．1.5 D．
【分析】根据矩形的性质和折叠的性质，得到AO＝AD，CO＝BC，∠AOE＝∠COF＝90°，
从而AO＝CO，AC＝AO+CO＝AD+BC＝2BC，得到∠CAB＝30°，∠ACB＝60°，进一步得到
∠BCE＝ ，所以BE＝ ，再证明△AOE≌△COF，得到OE＝OF，所以四
边形AECF为菱形，所以AE＝CE，得到BE＝ ，即可解答．
【解答】解：∵ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠B＝90°，
∵翻折∠B，∠D，使AD，BC边与对角线AC重叠，且顶点B，D恰好落在同一点O上，
∴AO＝AD，CO＝BC，∠AOE＝∠COF＝90°，
∴AO＝CO，AC＝AO+CO＝AD+BC＝2BC，
∴∠CAB＝30°，
∴∠ACB＝60°，
∴∠BCE＝ ，
∴BE＝
∵AB∥CD，
∴∠OAE＝∠FCO，
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF，
∴OE＝OF，
∴EF与AC互相垂直平分，
∴四边形AECF为菱形，
∴AE＝CE，
∴BE＝ ，
∴ ＝2，故选：B．
【点评】本题考查了折叠的性质，解决本题的关键是由折叠得到相等的边，利用直角三角形
的性质得到∠CAB＝30°，进而得到BE＝ ，在利用菱形的判定定理与性质定理解决问题．
10．如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE＝EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF
交AB于G，连接DG，现在有如下4个结论：①△ADG≌△FDG；②GB＝2AG；
③△GDE∽△BEF；④S△BEF ＝ ．在以上4个结论中，正确的有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据正方形的性质和折叠的性质可得AD＝DF，∠A＝∠GFD＝90°，于是根据
“HL”判定△ADG≌△FDG，再由GF+GB＝GA+GB＝12，EB＝EF，△BGE为直角三角形，
可通过勾股定理列方程求出AG＝4，BG＝8，进而求出△BEF的面积，再抓住△BEF是等腰
三角形，而△GED显然不是等腰三角形，判断③是错误的．
【解答】解：由折叠可知，DF＝DC＝DA，∠DFE＝∠C＝90°，
∴∠DFG＝∠A＝90°，
∴△ADG≌△FDG，①正确；
∵正方形边长是12，
∴BE＝EC＝EF＝6，
设AG＝FG＝x，则EG＝x+6，BG＝12﹣x，
由勾股定理得：EG2＝BE2+BG2，
即：（x+6）2＝62+（12﹣x）2，
解得：x＝4
∴AG＝GF＝4，BG＝8，BG＝2AG，②正确；
BE＝EF＝6，△BEF是等腰三角形，易知△GED不是等腰三角形，③错误；
S△GBE ＝ ×6×8＝24，S△BEF ＝ •S△GBE ＝ ＝ ，④正确．
故选：C．【点评】本题综合性较强，考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性
质，勾股定理，平行线的判定，三角形的面积计算，有一定的难度．
二、认真填一填（本题有8个小题，每小题3分，共24分。注意认真看清题目的条件和要填写
的内容，尽量完整地填写答案）
11．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，E为CD上一点，分别以EA，EB为折痕将
两个角（∠D，∠C）向内折叠，点C，D恰好落在AB边的点F处．若AD＝2，BC＝3，则
EF的长为 ．
【分析】先根据折叠的性质得DE＝EF，CE＝EF，AF＝AD＝2，BF＝CB＝3，则DC＝2EF，
AB＝5，再作AH⊥BC于H，由于AD∥BC，∠B＝90°，则可判断四边形ADCH为矩形，所以
AH＝DC＝2EF，HB＝BC﹣CH＝BC﹣AD＝1，然后在Rt△ABH中，利用勾股定理计算出AH
＝2 ，所以EF＝ ．
【解答】解∵分别以AE，BE为折痕将两个角（∠D，∠C）向内折叠，点C，D恰好落在AB
边的点F处，
∴DE＝EF，CE＝EF，AF＝AD＝2，BF＝CB＝3，
∴DC＝2EF，AB＝5，
作AH⊥BC于H，
∵AD∥BC，∠C＝90°，
∴四边形ADCH为矩形，
∴AH＝DC＝2EF，HB＝BC﹣CH＝BC﹣AD＝1，
在Rt△ABH中，AH＝ ＝2 ，
∴EF＝ ．
故答案为： ．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形
状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了勾股定理．
12．如图，正方形ABCD的边长是2，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和
AE上的动点，则DQ+PQ的最小值为 ．
【分析】过D作AE的垂线交AE于F，交AC于D′，再过D′作D′P′⊥AD，由角平分线
的性质可得出D′是D关于AE的对称点，进而可知D′P′即为DQ+PQ的最小值．
【解答】解：作D关于AE的对称点D′，再过D′作D′P′⊥AD于P′，
∵DD′⊥AE，
∴∠AFD＝∠AFD′，
∵AF＝AF，∠DAE＝∠CAE，
∴△DAF≌△D′AF，
∴D′是D关于AE的对称点，AD′＝AD＝2，
∴D′P′即为DQ+PQ的最小值，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAD′＝45°，
∴AP′＝P′D′，
∴在Rt△AP′D′中，
P′D′2+AP′2＝AD′2，AD′2＝4，
∵AP′＝P′D'，
2P′D′2＝AD′2，即2P′D′2＝4，
∴P′D′＝ ，即DQ+PQ的最小值为 ．
故答案为： ．【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．
13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，点D是BC边上的点，CD＝1，将△ABC沿直
线AD翻折，使点C落在AB边上的点E处，若点P是直线AD上的动点，则△PEB的周长的
最小值是 1+ ．
【分析】根据折叠和等腰三角形性质得出当P和D重合时，PE+BP的值最小，即可此时
△BPE的周长最小，最小值是BE+PE+PB＝BE+CD+DB＝BC+BE，先求出BC和BE长，代入
求出即可．
【解答】解：∵沿AD折叠C和E重合，
∴∠ACD＝∠AED＝90°，AC＝AE，∠CAD＝∠EAD，
∴AD垂直平分CE，即C和E关于AD对称，CD＝DE＝1，
∴当P和D重合时，PE+BP的值最小，即此时△BPE的周长最小，最小值是BE+PE+PB＝
BE+CD+DB＝BC+BE，
∵∠DEA＝90°，
∴∠DEB＝90°，
∵∠B＝60°，DE＝1，
∴BE＝ ，BD＝ ，
即BC＝1+ ，
∴△PEB的周长的最小值是BC+BE＝1+ + ＝1+ ，
故答案为：1+ ．
【点评】本题考查了折叠性质，等腰三角形性质，轴对称﹣最短路线问题，勾股定理，含30
度角的直角三角形性质的应用，关键是求出P点的位置，题目比较好，难度适中．
14．如图，正方形ABCD的边长是2，以正方形ABCD的边AB为边，在正方形内作等边三角形ABE，P为对角线AC上的一点，则PD+PE的最小值为 2 ．
【分析】由于点B与D关于AC对称，所以连接BD，与AC的交点即为P点．此时PD+PE＝
BE最小，而BE是等边△ABE的边，BE＝AB，从而得出结果．
【解答】解：连接BD，与AC交于点F，则BE与AC交点为P，连接PD，
∵点B与D关于AC对称，
∴PD＝PB，
∴PD+PE＝PB+PE＝BE最小．
又∵△ABE是等边三角形，
∴BE＝AB＝2．
即所求最小值为2．
故答案是：2．
【点评】此题主要考查了轴对称﹣﹣最短路线问题，难点主要是确定点P的位置．注意充分
运用正方形的性质：正方形的对角线互相垂直平分．再根据对称性确定点P的位置即可．要
灵活运用对称性解决此类问题．
15．如图，菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝8，M、N分别是BC、CD的中点，P是线段BD
上的一个动点，则PM+PN的最小值是 5 ．
【分析】作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，
连接AC，求出CP、PB，根据勾股定理求出BC长，证出MP+NP＝QN＝BC，即可得出答案．
【解答】解：作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值
最小，连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠QBP＝∠MBP，
即Q在AB上，∵MQ⊥BD，
∴AC∥MQ，
∵M为BC中点，
∴Q为AB中点，
∵N为CD中点，四边形ABCD是菱形，
∴BQ∥CD，BQ＝CN，
∴四边形BQNC是平行四边形，
∴NQ＝BC，
∵AQ＝CN，∠QAP＝∠PCN，∠APQ＝∠CPN，
∴△APQ≌△CPN（AAS），
∴AP＝PC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CP＝ AC＝3，BP＝ BD＝4，
在Rt△BPC中，由勾股定理得：BC＝5，
即NQ＝5，
∴MP+NP＝QP+NP＝QN＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，平行四边形的性质和判定，菱形的性质，勾股
定理的应用，解此题的关键是能根据轴对称找出P的位置．
16．如图，在矩形ABCD中，AB的长度为a，BC的长度为b，其中 b＜a＜b．将此矩形纸片按
下列顺序折叠，则C′D′的长度为 3 a ﹣ 2 b （用含a、b的代数式表示）．
【分析】由轴对称可以得出A′B＝AB＝a，就有A′C＝b﹣a，从而就有A′C′＝b﹣a，就
可以得出C′D′＝a﹣2（b﹣a），化简就可以得出结论．
【解答】解：由轴对称可以得出A′B＝AB＝a，
∵BC＝b，
∴A′C＝b﹣a．由轴对称可以得出A′C′＝b﹣a，
∴C′D′＝a﹣2（b﹣a），
∴C′D′＝3a﹣2b．
故答案为：3a﹣2b．
【点评】本题考查了轴对称的运用，代数式的运用，折叠问题在实际问题中的运用，解答本
题时利用折叠问题抓住在折叠变化中不变的线段是解答本题的关键．
17．菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，E是AD边中点，点P是对角线BD上的动点，当
AP+PE的值最小时，PC的长是 ．
【分析】作点E关于直线BD的对称点E′，连接AE′，则线段AE′的长即为AP+PE的最小
值，再由轴对称的性质可知DE＝DE′＝1，故可得出△AE′D是直角三角形，由菱形的性质
可知∠PDE′＝ ∠ADC＝30°，根据锐角三角函数的定义求出PE的长，进而可得出PC的长．
【解答】解：如图所示，
作点E关于直线BD的对称点E′，连接AE′，则线段AE′的长即为AP+PE的最小值，
∵菱形ABCD的边长为2，E是AD边中点，
∴DE＝DE′＝ AD＝1，
∴△AE′D是直角三角形，
∵∠ABC＝60°，
∴∠PDE′＝ ∠ADC＝30°，
∴PE′＝DE′•tan30°＝ ，
∴PC＝ ＝ ＝ ．
故答案为： ．【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知菱形的性质及锐角三角函数的定义是解
答此题的关键．
18．如图1，正方形纸片ABCD的边长为2，翻折∠B、∠D，使两个直角的顶点重合于对角线
BD上一点P，EF、GH分别是折痕（如图2）．设AE＝x（0＜x＜2），给出下列判断：
①当x＝1时，点P是正方形ABCD的中心；
②当x＝ 时，EF+GH＞AC；
③当0＜x＜2时，六边形AEFCHG面积的最大值是 ；
④当0＜x＜2时，六边形AEFCHG周长的值不变．
其中正确的是 ①④ （写出所有正确判断的序号）．
【分析】（1）由正方形纸片ABCD，翻折∠B、∠D，使两个直角的顶点重合于对角线BD上
一点P，得出△BEF和△三DGH是等腰直角三角形，所以当AE＝1时，重合点P是BD的中
点，即点P是正方形ABCD的中心；
（2）由△BEF∽△BAC，得出EF＝ AC，同理得出GH＝ AC，从而得出结论．
（3）由六边形AEFCHG面积＝正方形ABCD的面积﹣△EBF的面积﹣△GDH的面积．得出
函数关系式，进而求出最大值．
（4）六边形AEFCHG周长＝AE+EF+FC+CH+HG+AG＝（AE+CH）+（FC+AG）+
（EF+GH）求解．
【解答】解：（1）正方形纸片ABCD，翻折∠B、∠D，使两个直角的顶点重合于对角线BD
上一点P，
∴△BEF和△DGH是等腰直角三角形，
∴当AE＝1时，重合点P是BD的中点，
∴点P是正方形ABCD的中心；
故①结论正确，
（2）正方形纸片ABCD，翻折∠B、∠D，使两个直角的顶点重合于对角线BD上一点P，
∴△BEF∽△BAC，
∵x＝ ，∴BE＝2﹣ ＝ ，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴EF＝ AC，
同理，GH＝ AC，
∴EF+GH＝AC，
故②结论错误，
（3）六边形AEFCHG面积＝正方形ABCD的面积﹣△EBF的面积﹣△GDH的面积．
∵AE＝x，
∴六边形AEFCHG面积＝22﹣ BE•BF﹣ GD•HD＝4﹣ ×（2﹣x）•（2﹣x）﹣ x•x＝﹣
x2+2x+2＝﹣（x﹣1）2+3，
∴六边形AEFCHG面积的最大值是3，
故③结论错误，
（4）当0＜x＜2时，
∵EF+GH＝AC，
六边形AEFCHG周长＝AE+EF+FC+CH+HG+AG＝（AE+CH）+（FC+AG）+（EF+GH）＝
2+2+2 ＝4+2
故六边形AEFCHG周长的值不变，
故④结论正确．
故答案为：①④．
【点评】考查了翻折变换（折叠问题），菱形的性质，本题关键是得到EF+GH＝AC，综合性
较强，有一定的难度．
三、全面答一答（本题有7个小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤。如
果觉得有的题目有点难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以）
19．如图，△ABC与△DEF关于直线l对称，请仅用无刻度的直尺，在下面两个图中分别作出直
线l．
【分析】根据轴对称的性质，对应边所在直线的交点一定在对称轴上，图1过点A和BC与EF的交点作直线即为对称轴直线l；图2，延长两组对应边得到两个交点，然后过这两点作直
线即为对称轴直线l．
【解答】解：如图所示．
【点评】本题考查了利用轴对称变换作图，熟记对应边所在直线的交点一定在对称轴上是解
题的关键．
20．（1）在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，过D作DE∥AC，交AB于E，若
AB＝5，求线段DE的长．
（2）已知x2﹣4x+1＝0，求 ﹣ 的值．
【分析】（1）求出∠CAD＝∠BAD＝∠EDA，推出AE＝DE，求出∠ABD＝∠EDB，推出BE
＝DE，求出AE＝BE，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可．
（2）化简以后，用整体思想代入即可得到答案．
【解答】解：（1）∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵DE∥AC，
∴∠CAD＝∠ADE，
∴∠BAD＝∠ADE，
∴AE＝DE，
∵AD⊥DB，
∴∠ADB＝90°，
∴∠EAD+∠ABD＝90°，∠ADE+∠BDE＝∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝∠BDE，
∴DE＝BE，
∵AB＝5，∴DE＝BE＝AE＝ ＝2.5．
（2）原式＝
＝
∵x2﹣4x+1＝0，∴x2﹣4x＝﹣1，
原式＝
【点评】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线性质
的应用，关键是求出DE＝BE＝AE．学会用整体思想解答有关问题是我们学习的关键．
21．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，分别以A、C为圆心，大于 AC长为半径画弧，两弧相
交于点M、N，连接MN，与AC、BC分别交于点D、E，连接AE，则：
（1）∠ADE＝ 9 0 °；
（2）AE ＝ EC；（填“＝”“＞”或“＜”）
（3）当AB＝3，AC＝5时，△ABE的周长＝ 7 ．
【分析】（1）由作图可知，MN是线段AC的垂直平分线，故可得出结论；
（2）根据线段垂直平分线的性质即可得出结论；
（3）先根据勾股定理求出BC的长，进而可得出结论．
【解答】解：（1）∵由作图可知，MN是线段AC的垂直平分线，
∴∠ADE＝90°．
故答案为：90°；
（2）∵MN是线段AC的垂直平分线，
∴AE＝EC．
故答案为：＝；
（3）∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，
∴BC＝ ＝4，∵AE＝CE，
∴△ABE的周长＝AB+BC＝3+4＝7．
故答案为：7．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质以及勾股定理的应用，熟知线段垂直平分线的
性质是解答此题的关键．
22．在图示的方格纸中
（1）作出△ABC关于MN对称的图形△A B C ；
1 1 1
（2）说明△A B C 是由△A B C 经过怎样的平移得到的？
2 2 2 1 1 1
【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C关于MN的对称点A 、B 、C 的位置，然后顺
1 1 1
次连接即可；
（2）根据平移的性质结合图形解答．
【解答】解：（1）△A B C 如图所示；
1 1 1
（2）向右平移6个单位，再向下平移2个单位（或向下平移2个单位，再向右平移6个单
位）．
【点评】本题考查了利用轴对称变换作图，利用平移变换作图，熟练掌握网格结构准确找出
对应点的位置以及变化情况是解题的关键．23．如图，△ABC中，AB＝BC，AC＝8，tanA＝k，P为AC边上一动点，设PC＝x，作PE∥AB
交BC于E，PF∥BC交AB于F．
（1）证明：△PCE是等腰三角形；
（2）EM、FN、BH分别是△PEC、△AFP、△ABC的高，用含x和k的代数式表示EM、FN，
并探究EM、FN、BH之间的数量关系；
（3）当k＝4时，求四边形PEBF的面积S与x的函数关系式．x为何值时，S有最大值？并求
出S的最大值．
【分析】（1）根据等边对等角可得∠A＝∠C，然后根据两直线平行，同位角相等求出∠CPE
＝∠A，从而得到∠CPE＝∠C，即可得证；
（2）根据等腰三角形三线合一的性质求出CM＝ CP，然后求出EM，同理求出FN、BH的
长，再根据结果整理可得EM+FN＝BH；
（3）分别求出EM、FN、BH，然后根据S△PCE ，S△APF ，S△ABC ，再根据S＝S△ABC ﹣S△PCE ﹣
S△APF ，整理即可得到S与x的关系式，然后利用二次函数的最值问题解答．
【解答】（1）证明：∵AB＝BC，
∴∠A＝∠C，
∵PE∥AB，
∴∠CPE＝∠A，
∴∠CPE＝∠C，
∴△PCE是等腰三角形；
（2）解：∵△PCE是等腰三角形，EM⊥CP，
∴CM＝ CP＝ ，tanC＝tanA＝k，
∴EM＝CM•tanC＝ •k＝ ，
同理：FN＝AN•tanA＝ •k＝4k﹣ ，
由于BH＝AH•tanA＝ ×8•k＝4k，而EM+FN＝ +4k﹣ ＝4k，
∴EM+FN＝BH；
（3）解：当k＝4时，EM＝2x，FN＝16﹣2x，BH＝16，
所以，S△PCE ＝ x•2x＝x2，S△APF ＝ （8﹣x）•（16﹣2x）＝（8﹣x）2，S△ABC ＝ ×8×16＝
64，
S＝S△ABC ﹣S△PCE ﹣S△APF ，
＝64﹣x2﹣（8﹣x）2，
＝﹣2x2+16x，
配方得，S＝﹣2（x﹣4）2+32，
所以，当x＝4时，S有最大值32．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，锐角三角函数，二次函数的
最值问题，表示出各三角形的高线是解题的关键，也是本题的难点．
24．如图①，在矩形纸片ABCD中，AB＝ +1，AD＝ ．
（1）如图②，将矩形纸片向上方翻折，使点D恰好落在AB边上的D′处，压平折痕交CD
于点E，则折痕AE的长为 ；
（2）如图③，再将四边形BCED′沿D′E向左翻折，压平后得四边形B′C′ED′，
B′C′交AE于点F，则四边形B′FED′的面积为 ﹣ ；
（3）如图④，将图②中的△AED′绕点E顺时针旋转 角，得△A′ED″，使得EA′恰好
经过顶点B，求弧D′D″的长．（结果保留 ）
α
π
【分析】（1）先根据图形反折变换的性质得出AD′，D′E的长，再根据勾股定理求出AE
的长即可；
（2）由（1）知，AD′＝ ，故可得出BD′的长，根据图形翻折变换的性质可得出
B′D′的长，再由等腰直角三角形的性质得出B′F的长，根据梯形的面积公式即可得出结
论；
（3）先根据直角三角形的性质求出∠BEC的度数，由翻折变换的性质可得出∠DEA的度数，
故可得出∠AEA′＝75°＝∠D′ED″，由弧长公式即可得出结论．
【解答】解：（1）∵△ADE反折后与△AD′E重合，∴AD′＝AD＝D′E＝DE＝ ，
∴AE＝ ＝ ＝ ；
（2）∵由（1）知AD′＝ ，
∴BD′＝1，
∵将四边形BCED′沿D′E向左翻折，压平后得四边形B′C′ED′，
∴B′D′＝BD′＝1，
∵由（1）知AD′＝AD＝D′E＝DE＝ ，
∴四边形ADED′是正方形，
∴B′F＝AB′＝ ﹣1，
∴S梯形B′FED′ ＝ （B′F+D′E）•B′D′＝ （ ﹣1+ ）×1＝ ﹣ ；
故答案为：（1） ；（2） ﹣ ；
（3）∵∠C＝90°，BC＝ ，EC＝1，
∴tan∠BEC＝ ＝ ，
∴∠BEC＝60°，
由翻折可知：∠DEA＝45°，
∴∠AEA′＝75°＝∠D′ED″，
∴ ＝ ＝ ．
【点评】本题考查的是图形的翻折变换，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．
25．在折纸这种传统手工艺术中，蕴含许多数学思想，我们可以通过折纸得到一些特殊图形．把
一张正方形纸片按照图①～④的过程折叠后展开．
（1）猜想四边形ABCD是什么四边形；
（2）请证明你所得到的数学猜想．
【分析】（1）猜想四边形ABCD是菱形；（2）根据折叠的性质得到∠MAD＝∠DAC＝ ∠MAC，∠CAB＝∠NAB＝ ∠CAN，∠DCA
＝∠MCD＝ ∠ACM，∠ACB＝∠NCB＝ ∠ACN，再根据正方形的性质得∠MAC＝
∠∠MCA＝∠NAC＝∠NCA，所以∠DAC＝∠BAC＝∠BCA＝∠DCA，于是可判断四边形
ABCD为平行四边形，且DA＝DC，然后根据菱形的判定方法得到四边形ABCD为菱形．
【解答】解：（1）四边形ABCD是菱形；
（2）∵△AMG沿AG折叠，使AM落在AC上，
∴∠MAD＝∠DAC＝ ∠MAC，
同理可得∠CAB＝∠NAB＝ ∠CAN，∠DCA＝∠MCD＝ ∠ACM，∠ACB＝∠NCB＝
∠ACN，
∵四边形AMCN是正方形，
∴∠MAC＝∠MCA＝∠NAC＝∠NCA，
∴∠DAC＝∠BAC＝∠BCA＝∠DCA
∴AD∥BC，AB∥DC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵∠DAC＝∠DCA，
∴AD＝CD，
∴四边形ABCD为菱形．
【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形
状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了菱形的判定方法以及正方形的性
质．
