文档内容
新教材完全解读教师用书 九年级数学上·新课标（北师）
第五章 投影与视图
1.经历有关投影与视图的实践和探索的过程,进一步积累数学活动经验,增强动手实践能力,发展空间观
念.
2.通过背景丰富的实例,了解中心投影和平行投影的概念.
3.会画圆柱、圆锥、球、直棱柱及简单组合体的三种视图,能判断简单物体的视图,并会根据视图描述
简单的几何体.
通过实例,了解视图在现实生活中的应用.
1.积极参与认识投影与视图的数学活动,对投影与视图有好奇心和求知欲.
2.敢于发表自己的想法、提出质疑,养成独立思考、合作交流等学习习惯.
本章首先从物体在日光或灯光下的影子说起,引出投影、平行投影、中心投影、正投影等概念,并通过
教学理解,让学生了解到中心投影是由同一个点发出的光线形成的投影,之后又通过问题解决,让学生认识到
物体在阳光下的不同时刻,不仅影子的大小,而且影子的方向也在变化.对物体的正投影的分析,提升对物体三
视图的认识和将立体图形平面化的能力,进一步研究了圆柱、圆锥、球、三棱柱、四棱柱以及组合体的三
视图,并揭示出三视图在度量上的联系,长对正,高平齐,宽相等,这是本章的重点,这些内容与培养空间想象能
力有直接的关系.本章还运用大量的例子,讲述了看得见的棱画成实线,因被其他部分遮挡而看不见的棱画成
虚线,这部分是学习的难点.
【重点】 物体的三视图.
【难点】 三视图和实物图形的相互转化.
1.根据本章内容的特点,在教学过程中采取多种多样的实践活动,在活动中促进学生对有关内容的理解,
增强学生合作交流的意识和能力,同时进一步发展学生的空间观念.
2.在太阳光和影子的教学中,让学生尽可能体会物体在阳光下形成的不同影子,并借助具体操作,观察影
子在不同时刻的方向和大小等特征的变化.
3.在视图部分的教学中,要注意引导学生对实物进行合理的抽象和想象,生活中的物体形状各异,但它们
并不是标准的几何体,因而画实物的视图时,必须对实物进行合理的想象,抽象出相应的几何体.
4.在画直三棱柱、直四棱柱时,要引导学生分析各个面间的位置关系,从而确定棱的位置关系,并区分视
图中的实线与虚线.
1 投 影 2课时
2 视 图 3课时1 投 影
认识投影的两种基本形式.
通过生活情境体验两种不同的投影.
体验用投影知识解决问题的乐趣.
【重点】 认识中心投影和平行投影.
【难点】 用投影知识解决简单的生活问题.
第 课时
了解投影及中心投影的含义.
1.通过皮影和手影,使学生体会中心投影在现实生活中的广泛应用,从而建立学生对中心投影的几何直
观认识.
2.通过观察、想象,能根据灯光来辨别物体的影子,从而掌握中心投影条件下物体与其投影之间的相互
转化.
运用中心投影这一概念解决实际问题的过程中,认识中心投影应用广泛的特点,体会中心投影的价值,并
在学习过程中感受成功的喜悦.
【重点】 利用中心投影解决实际问题.
【难点】 利用中心投影解决实际问题.
【教师准备】 生活中与投影有关的几张情境图片.演示用的手电筒、铁架台、小木棒、纸片(三角形
与矩形两种)等用具.
【学生准备】 划分好合作交流小组.导入一:
下面是两棵小树在同一时刻的影子,请在图中画出形成影子的光线.
导入二:
在日常生活中,我们可以看到各种各样的影子,比如,当太阳光照射在窗框、长椅等物体上时,会在墙或地
面上留下影子;而皮影和手影都是在灯光照射下形成的影子,如图所示.
一、认识中心投影
【教师活动】 下面请同学们以小组为单位,做如下的实践活动,并回答问题.
(1)将事先准备好的手电筒固定在铁架台上,打开手电筒,改变小木棒、纸片的摆放位置和方向,它们的影
子分别发生了怎样的变化?
(2)分别固定小木棒和纸片,改变手电筒的摆放位置和方向,它们的影子分别发生了怎样的变化?
(3)小木棒影子的长度与小木棒的长度相同吗?
(4)三角形纸片影子的大小与原来的大小相同吗?形状相同吗?三角形纸片的影子可能是一条线段吗?
(5)矩形纸片影子的大小与原来的大小相同吗?形状相同吗?矩形纸片的影子可能是一条线段吗?可能是
平行四边形吗?
【学生活动】 学生以小组为单位,完成上面的实践活动,并回答上述问题.
【教师总结】
(1)物体在光线的照射下,会在地面或其他平面上留下它的影子,这就是投影现象.影子所在的平面称为投
影面.
(2)探照灯、手电筒、路灯和台灯的照射光线可以看成是从一点发出的,物体经这样的光线照射所形成
的投影称为中心投影.
[设计意图] 通过小组活动,使学生体会在点光源下物体影子的变化情况.
二、例题讲解
[过渡语] 刚才我们通过实践,总结出灯光的光线可以看成是从一点发出的,由此可知,在同一灯光下物
体的影子与物体上对应点的连线肯定过灯泡所在的位置.现在同学们比一比谁理解得更透彻吧!
确定下面图中路灯灯泡所在的位置.〔解析〕 在灯光下,有两个高度不同的物体所形成的影子,路灯的位置就在影子的顶端和物体顶端的
连线上,很显然,一条这样的连线是无法确定灯光的具体位置的.同样的道理,另外一个物体影子的顶端和物体
顶端的连线,与前面连线的交点,就是图中路灯灯泡所在的位置.
解:如图所示,过一根木杆的顶端及其影子的顶端画一条直线,再过另一根木杆的顶端及其影子的顶端画
一条直线,两直线相交于点O,点O就是路灯灯泡所在的位置.
[知识拓展] (1)生活中能形成中心投影的点光源主要有探照灯、手电筒、路灯、台灯、投影仪、放映
机等.
(2)中心投影的光线相交于同一点,这一点就是光源.中心投影的性质:物体上的点和影子的对应点的连线
交于一点(光源).如图所示,A'B'是AB的影子,点A的影子是点A',点B的影子是点B',则光源在光线AA'上,光源
也在光线BB'上,所以光线AA',BB'相交于光源点O处.
从一点出发的光线所形成的投影称为中心投影.
1.下列说法是关于中心投影的有 ( )
①人在路灯下形成的影子;
②投影仪出示的教材图片;
③小明在台灯下学习的身影;
④舞台上表演的皮影戏.
A.①②③④ B.②③④
C.①③④ D.①②④
解析:根据中心投影的定义可知①②③④都正确.故选A.
2.若小明拿一个等边三角形的木框在灯下玩,则该木框在地面上形成的投影不可能是 ( )
解析:由中心投影的性质可知所形成的投影不可能是一点.故选B.第1课时
1.认识中心投影
2.例题讲解
一、教材作业
【必做题】
教材第127页随堂练习.
【选做题】
教材第128页习题5.1的2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.经过下列光源照射所形成的投影不是中心投影的是 ( )
A.探照灯 B.太阳
C.手电筒 D.路灯
2.已知小明比小强高,那么在同一路灯下 ( )
A.小明的影子比小强的影子长
B.小明的影子比小强的影子短
C.小明的影子与小强的影子一样长
D.无法判断谁的影子长
3.一个人晚上迎着路灯走时,他的影长的变化为 ( )
A.由长变短 B.由短变长
C.保持不变 D.不能确定
【能力提升】
4.某时刻两根木棒在同一平面内的影子如下图所示,此时第三根木棒的影子表示正确的是 ( )
5.如下图所示,已知李明的身高为1.8 m,他在路灯下的影长为2 m,李明距路灯杆底部3 m,则路灯灯泡距地
面的高度为 m.
【拓展探究】
6.如右图所示,在一间黑屋子里用一盏白炽灯照一个球.(1)球在地面上的投影是什么形状?
(2)当把白炽灯向上远移时,投影的大小会怎样变化?
7.某学习小组学习了利用物体的影子测量物体的高之后,发现了建筑物AB被某灯塔上的两个位置不同的灯
光照射的影子BC和BD,这个学习小组测得两个影长的差DC=10米,并且测得光线AD与地面所成的角为
30°,光线AC与地面所成的角为45°(如图所示),求建筑物AB的高.
【答案与解析】
1.B
2.D(解析:路灯光线的投影是中心投影,在灯光下,直立物体的影子与物体的高度不成正比例.)
3.A
4.D(解析:先画出形成这两个影子的光线,得到它们交于一点,从而判断出这是中心投影,过交点与第三根木棒
的顶端画直线,并交平面于一点,该点为第三根木棒的影子的顶端,与木棒的底端连接,就得到第三根木棒的影
子.比较A,B,C,D四个选项,得出D正确.)
5.4.5(解析:根据题意,利用三角形相似求解.)
6.解:(1)投影是圆形. (2)投影会变小.
7.解:设建筑物AB的高为x米,则BC=x米,DB=(x+10)米,AD=2x米,∴x2+(x+10)2=4x2,得x=5❑√3+5或x=5-5❑√3
(舍去),则建筑物AB的高为(5❑√3+5)米.
灯光与影子在日常生活中有着非常广泛的应用,而本节课是学生在学习过程中第一次体会投影和中心
投影这一概念,本节课的目的在于让学生在简单的实践活动基础上,将“灯光与影子”“投影”“中心投
影”这些抽象的概念联系起来,从而激发学生的学习兴趣.
现代生活中,电灯无疑已成为了人类生活中必不可少的设施.无论是在家里、在学校,还是在马路上,每当
夜幕降临,一盏盏灯总会给人们带来光亮.由于电灯就存在于学生的身边,所以学生比较容易掌握本节课的内
容.因此在处理相关内容的时候,可以再简单些.
学生在解决实际问题时,应该留给学生更多的探索合作时间,这样可以调动学生主动学习的热情.
随堂练习(教材第127页)
2.解:(1)如图所示,点A就是路灯灯泡所在的位置.(2)线段BC就是婷婷的影长.习题5.1(教材第128页)
1.解:(1)如图所示,点O为灯泡所在的位置. (2)如图所示,AB为表示小赵身高的线段.
2.解:他到灯杆的距离越近,影子的长度就越短,他到灯杆的距离越远,影子的长度就越长.
3.解:如图所示,路灯杆AB,在灯光下,一人在点D处测得自己的影长DF=a,沿BD方向到达点F处再测得自己
bc CD DF
=
的影长FG=b,若此人的身高为c,可得路灯灯泡的高度为 .原理如下:由题意可知CD∥AB,∴
b-a AB BF
c a
EF FG DF FG a b ab =
.∵EF∥AB,∴ = .∵CD=EF,∴ = ,即 = ,解得BF= .∴AB ab ,解得
AB BG BF BG BF BF+b b-a
b-a
bc
AB= .
b-a
一天晚上,李明和张龙利用灯光下的影子来测量一路灯D的高度,如图所示,当李明走到点
A处时,张龙测得李明直立时身高AM与其影子长AE正好相等,接着李明沿AC方向继续向前走,走到点B处
时,测得李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB,并测得AB=1.25 m.已知李明直立时身高为1.75 m,求路
灯的高CD.(结果精确到0.1 m)解:设路灯的高CD为x m.
⊥ ⊥ ⊥
∵AM EC,CD EC,BN EC,EA=MA,
∴MA∥CD,BN∥CD,
∴EC=CD=x m,ΔABN∽ΔACD,
BN AB
=
∴ ,
CD AC
1.75 1.25
=
即 ,
x x-1.75
解得x=6.125≈6.1.
∴路灯的高CD约为6.1 m.
第 课时
经历太阳光下投影的探索过程,了解平行投影、正投影的含义.
1.通过观察、想象,了解不同时刻物体在太阳光下形成的影子的大小和方向是不同的这一过程,进一步
发展学生的空间观念.
2.通过综合应用中心投影、平行投影解决实际问题的过程,增强学生的应用意识,提高学生的实践能力.
在运用平行投影这一概念解决实际问题的过程中,鼓励学生敢于发表自己的想法,通过积极参与数学活
动,进一步增强学生对数学的学习兴趣.
【重点】 利用平行投影解决实际问题.
【难点】 利用平行投影解决实际问题.【教师准备】 教材情境和例题图片.
【学生准备】 小木棒若干根,三角形纸片一张、矩形纸片一张.
导入一:
下面是两棵小树在某时刻的影子,请在图中画出形成树影的光线.它们是太阳的光线?还是灯光的光线?
导入二:
下图的影子是在太阳光下形成的?还是在灯光下形成的?画出同一时刻旗杆的影子(用线段表示),并与同
伴交流这样做的理由.
一、平行投影和正投影
【教师活动】 物体在太阳光下形成的影子与灯光下形成的影子有什么不同呢?取若干根小木棒及三
角形、矩形纸片,观察它们在太阳光下的影子,请同学们按要求完成实践活动:
(1)固定投影面,改变小木棒、纸片的摆放位置和方向,观察物体的影子发生的变化;
(2)分别固定小木棒和纸片,改变投影面摆放的位置和方向,观察物体的影子发生的变化.
问题
(1)小木棒影子的长度与小木棒的长度相同吗?
(2)三角形纸片影子的大小与原来的大小相同吗?形状相同吗?它的影子可能是一条线段吗?
(3)矩形纸片影子的大小与原来的大小相同吗?形状相同吗?它的影子可能是一条线段吗?可能是平行四
边形吗?
【学生活动】 学生们以小组为单位,完成上面的实践活动.
【教师总结】 太阳光线可以看成平行光线,平行光线形成的投影称为平行投影.平行光线与投影面垂
直的投影称为正投影.
[设计意图] 通过具体操作,使学生体会在平行光线下物体影子的变化情况.
【教师活动】 下列三幅图是在我国北方某地某天上午不同时刻的同一位置拍摄的.在三个不同时刻,
同一棵树的影子长度不同,请将它们按拍摄的先后顺序进行排列,并说明你的理由.
【学生活动】 学生先自己判断,再小组讨论.
【教师活动】 在同一时刻,大树和小树的影子与它们的高度之间有什么关系?与同伴进行交流.
【学生活动】 学生们在小组中讨论得出结论:大树高度与其影子长之比等于小树高度与其影子长之
比.
[设计意图] 让学生在小组合作探究中总结出规律,培养学生的合作意识和归纳整理的能力.
二、例题讲解墙边有甲、乙两根木杆,已知乙木杆的高度为1.5 m.
(1)某一时刻甲木杆在阳光下的影子如图①所示,你能画出此时乙木杆的影子吗?
(2)在图①中,当乙木杆移动到什么位置时其影子刚好不落在墙上?
(3)在(2)的情形下,如果测得甲、乙木杆的影子长分别为1.24 m和1 m,那么你能求出甲木杆的高度吗?
〔解析〕 这里首先要明确投影的性质是平行投影,然后利用图形相似的知识进行解答.
解:(1)如图②所示,连接DD',过点E作DD'的平行线,交地面于点E'.BE'就是乙木杆的影子.
(2)如图③所示,平移由乙木杆、乙木杆的影子和太阳光线所构成的图形(ΔBEE'),直到乙木杆影子的顶端
E'抵达墙根为止.
AD AD' AD 1.24
= =
(3)因为ΔADD'∽ΔBEE',所以 ,即 .
BE BE' 1.5 1
1.5×1.24
所以甲木杆的高度为AD= =1.86(m).
1
[知识拓展] (1)在太阳光下,物体影子的长短变化规律:从早晨到正午,影子逐渐变短;从正午到黄昏,影子
逐渐变长.
(2)平行投影的性质:在平行光线下,物体上的点和影子上的对应点的连线互相平行.如图所示的AB的平
行投影,其影子为AB',影子上点B',C'分别是物体上B,C的对应点,所以光线的传播方向为B→B',C→C'.因为光
线为平行光线,所以BB'∥CC'.
1.投影及平行投影:物体在光线的照射下,会在投影面上留下它的影子,这就是投影现象.物体在平行光的
照射下所形成的投影称为平行投影.
2.平行投影的规律:
(1)物体在平行光线下形成的影子随着物体与投影面的位置的改变而改变.
(2)物体上平行线条的投影互相平行或在同一直线上.
(3)在不同时刻,同一物体影子的方向和大小都是不同的.就北半球而言,从早到晚影子的指向是:西→西北
→北→东北→东,其长度的变化为:长→短→长.
(4)在同一时刻,不同物体的高度与其影长之比相等.
1.如图所示的是几位同学画出的两根并立的木杆某一时刻在太阳光线下的影子,认真结合平行投影的特
征辨别,其中有误的是( )A.①② B.①④
C.①③ D.②④
解析:①中影子不平行,④中短杆的影长比长杆的长,故①④有误.故选B.
2.小亮的身高是1.7 m,他的影长是2 m,同一时刻学校旗杆的影长是10 m,则旗杆的高是 .
1.7 x
=
解析:设旗杆的高为x m,则有 ,解得x=8.5.故填8.5 m.
2 10
3.如图所示的是我国北方某地一棵树在一天中的不同时刻影子的变化情况,仔细观察后回答下列问题.
(1)说出这五张图片所对应时间的先后顺序;
(2)根据生活经验,谈谈由早到晚该地物体影子的长短变化规律.
解:(1)对应时间先后顺序分别是(b)(d)(a)(c)(e).
(2)上午太阳光照射物体产生的影子较长,后逐渐变短,到中午最短,到下午又逐渐变长.
第2课时
1.平行投影和正投影
2.例题讲解
一、教材作业
【必做题】
教材第132页随堂练习.
【选做题】
教材第133页习题5.2的2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列图形中,能表示两棵小树在同一时刻阳光下的影子的是 ( )
2.某天同一时刻的太阳光下,甲同学测得2 m长的测竿在地面上的影长为1.6 m,乙同学测得一棵大树在地面
上的影长为19.2 m,则大树的高为 ( )A.20 m B.24 m
C.26 m D.30 m
3.在某天同一时刻的阳光下小明的影子比小强的影子长,则可以说明 ( )
A.小明比小强高
B.小明比小强矮
C.小明和小强一样高
D.无法判断谁高
4.(2013·南宁中考)小乐用一块长方形硬纸板在阳光下做投影试验,通过观察,发现这块长方形硬纸板在平整的
地面上不可能出现的投影是 ( )
A.三角形 B.线段
C.矩形 D.平行四边形
【能力提升】
5.“玫瑰花园”小区有两栋坐北向南的8层楼房,两栋楼房在南北方向线上,且它们之间的距离是5米,平均
每层3.5米.当太阳光线与地面成60°角时,张老师住在北边一栋的7楼,此时他能否在自家的阳台上晒太阳?
6.如图所示,AB和DE是直立在地面上的两根立柱.AB=5 m.某一时刻AB在阳光下的投影BC=3 m.
(1)请你在图中画出此时DE在阳光下的投影;
(2)在测量AB的投影时,同时测量出DE在阳光下的投影长为6 m,求DE的长.
【拓展探究】
7.如图所示,有两根木杆,甲杆长80 cm,乙杆长
60 cm.某一时刻,甲、乙两杆均垂直于地面,甲杆的影长是40 cm,乙杆在墙面上的影长是10 cm,乙杆的底端
D离墙脚的距离是多少?
【答案与解析】
1.A(解析:由平行投影的定义及性质可知A正确.)
2.B
3.A(解析:由平行投影的性质可知小明比小强高.)
4.A5.解:能.如右图所示,AB为第一栋楼,CD为张老师所住的楼,AF为太阳光线,根据题意并结合图形可知:
❑√3
FD
FD DE ❑√3 ❑√3 3
=
.∵AB=3.5×8=28(米),DE= FD,且BE=BD+DE=5+ FD,∴FD=28× ,得FD=28-5
AB BE 3 3 ❑√3
5+ FD
3
❑√3≈19.3(米).∵张老师住7楼,3.5×6=21(米)>19.3(米),∴张老师能在自家的阳台上晒太阳.
6.解:(1)连接AC,过点D作DF∥AC,交直线BC的延长线于F,线段EF即为DE的投影.
AB BC
=
(2)∵AC∥DF,∴∠ACB=∠DFE.∵∠ABC=∠DEF=90°,∴ΔABC∽ΔDEF,∴ ,∵EF=6 m,AB=5 m,BC=3
DE EF
m,∴DE=10 m.
80 60-10
=
7.解:设乙杆的底端D离墙脚的距离为x cm,由题意知 ,解得x=25.故乙杆的底端D离墙脚的距
40 x
离为25 cm.
本课是在学生学习了投影和中心投影这两个概念后,再一次给出了平行投影和正投影的概念.本课时的
目的在于让学生通过众多实例进一步学习物体在太阳光下所形成的影子的大小、形状、方向等几何知识.
由于太阳光与影子是日常生活中的常见现象,学生在其他课程的学习中已经积累了物体在太阳光下形成的
影子的有关知识.因此在这一点上比较成功.
和上一个课时相比,本课时的内容难度要大一些,仅仅依靠学生的想象力,还无法解决全部问题,因此教师
应利用课堂时间组织学生动手实践,去体会太阳光与影子之间的关系.这一点在教学中体现的不够充分.
准备一个小立方体,让学生体验在两种投影下的不同形状,这样可以加深学生对不同投影概念的认识,并
能够比较概念之间的区别.
随堂练习(教材第132页)解:如图所示,甲、乙两根木杆的影子长度之比为3∶2.
习题5.2(教材第132页)
1.解:图(1),下午影子的长度随时间的推移越来越长,因为图(1)中的影子比图(2)中的影子长,且秦老师先参加女
子200 m比赛,然后又参加女子400 m比赛,所以图(1)是参加400 m比赛的照片.
2.解:教材中的图(2)可能是在太阳光下形成的影子,如图①所示,也可能是在这盏路灯下形成的影子,如图②所
示.教材中的图(3)是在太阳光下形成的,如图③所示.
3.提示:本题答案不唯一,不同的小组、不同的测量时间,结果会不同,但是我们可以发现相同时刻物高与影长
成正比.
4.解:通过动手操作,可知立方块的影子可能是四边形或六边形.
很早以前,人们发现房屋、树木等物体在太阳光照射下会投出影子,这些影子的变化有一定的规律.于是
便在平地上直立一根竿子或石柱来观察影子的变化,这根立竿或立柱就叫做“表”;用一把尺子测量表影的
长度和方向,则可知道时辰.后来,发现正午时的表影总是投向正北方向,就把石板制成的尺子平铺在地面上,与
立表垂直,尺子的一头连着表基,另一头则伸向正北方向,这把用石板制成的尺子叫做“圭”.正午时表影投在
石板上,古人就能直接读出表影的长度值.
经过长期观测,古人不仅了解到一天中表影在正午最短,而且得出一年内夏至日的正午烈日高照,表影最
短,冬至日的正午,煦阳斜射,表影则最长.于是,古人就以正午时的表影长度来确定节气和一年的长度.譬如,连
续两次测得表影的最长值,这两次最长值相隔的天数,就是一年的时间长度,难怪我国古人早就知道一年等于
365天多的数值.
在现存的河南登封观星台上,40尺的高台和128尺长的量天尺就是一个巨大的圭表.
2 视 图1.会从投影的角度理解视图的概念,能说出基本几何体的三视图的形状,会画三棱柱、四棱柱的三视图.
2.能根据几何体的俯视图画出其主视图和左视图.
1.经历探索简单几何体及棱柱的三视图的过程,培养学生的空间想象能力及画图能力.
2.经历由几何体的俯视图探索主视图和左视图的过程,进一步发展学生的推理能力和空间感.
让学生在课堂活动中通过相互间的合作与交流,进一步发展学生合作交流的能力和数学表达能力.
【重点】 从投影的角度加深对三视图的理解,会画简单几何体的三视图,会画三棱柱、四棱柱的三视
图,能进行几何体和三视图之间的相互转化.
【难点】 画直棱柱的三种视图要明确图中实线和虚线的区别.能根据几何体的俯视图想象其形状和
大小并画出主视图和左视图.
第 课时
了解视图及主视图、左视图、俯视图的概念.
通过观察、交流、讨论等方式领会视图及三视图的含义.
积累数学活动经验,增强动手实践能力,发展空间观念.
【重点】 视图和三视图的概念.
【难点】 三种视图之间的区别.
【教师准备】 教学用的投影图片.
【学生准备】 复习以往学过的简单的观察物体的知识.
导入一:
如图所示,假设有一束平行光线从正面投射到图中的物体上,你能想象出它在这束平行光线下的正投影
吗?把你想象的正投影画出来,并与同伴交流.导入二:
我们在生活中经常见到航拍的图片,其实这也可以理解为是一种视图的方式.那么,航拍可以理解成什么
视图方式呢?
[过渡语] 工人师傅经常根据三视图的图纸加工零件,那么什么叫做三视图呢?
一、三视图的定义
教师给出定义:(结合导入一)像这样,用正投影的方法绘制的物体在投影面上的图形,称为物体的视图.
[设计意图] 利用多媒体演示,让学生通过直观感受正确画出几何体的正投影,也为下面从投影的角度学
习三视图的定义埋下伏笔.
【教师提问】 这个投影能完全反映这个物体的形状和大小吗?如果不能,那么还需要哪些投影面?
【教师总结】 为了全面反映一个物体的形状和大小,我们常常选择从正面、左面和上面三个不同方
向观察,就得到这个物体的三视图.
【给出定义】 通常我们把从正面得到的视图叫做主视图,从左面得到的视图叫做左视图,从上面得到
的视图叫做俯视图.
[设计意图] 通过提问让学生思考从三个不同方向观察物体的必要性,从而引出三视图的定义.
二、物体的三视图
观察下图并思考:
(1)把这些物体看成一个几何体,大家的看法一样吗?
(2)从不同的角度观察,大家看到的几何体是一样的吗?
(3)在下图中分别找出上述几何体的主视图.
(4)各物体的左视图是什么?俯视图呢?与同伴交流.
【教师总结】[设计意图] 以提问的形式引导学生逐步深入地思考三种视图的区别与联系.问题的设置意在培养
学生的空间想象能力,要求学生能说出几何体的三视图.在以上问题的铺设下,图表的设置起到归纳总结的作
用.
【想一想】 如图所示的是一个蒙古包的照片.小明认为这个蒙古包可以看成几何体,你能帮小明画出
这个几何体的一种视图吗?
【师生活动】 学生可自由选择画出三视图中的一种,然后组内互相交流判断正误.最后全班展示,教师
点评.
1.用正投影的方法绘制的物体在投影面上的图形,称为物体的视图.
2.从正面得到的视图叫做主视图,从左面得到的视图叫做左视图,从上面得到的视图叫做俯视图.
1.如图所示的几何体的俯视图是 ( )
解析:由俯视图的定义可知选项D正确.故选D.
2.下列几何体中,三视图形状相同的是 ( )解析:由三视图的定义可知球的三视图形状相同.故选D.
3.长方体的三视图是 ( )
A.三个正方形
B.三个一样大的长方形
C.三个大小不一样的长方形,但其中可能有两个大小一样
D.以上都不对
解析:由三视图的定义,想象从正面、左面、上面三个不同的方向看长方体得到的三个平面图形的形状,
它们均为长方形,但因为长方体的长、宽、高没有明确的规定,所以综合考虑,三视图中可能会出现两个大小
一样的长方形.故选C.
第1课时
1.三视图的定义
从正面得到的视图叫做主视图
从左面得到的视图叫做左视图
从上面得到的视图叫做俯视图
2.物体的三视图
一、教材作业
【必做题】
教材第136页随堂练习的1,2题.
【选做题】
教材第137页习题5.3的2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.一个正立的圆锥体(如图所示)的主视图的图形是 ,左视图的图形是 ,俯视图的图形是
.
2.一个正四面体(如图所示)的左视图是等腰三角形及底边上的高,那么它的俯视图是 .
3.圆柱、圆锥、球、正方体四个几何体中,主视图、左视图与俯视图是全等图形的几何体是 .
【能力提升】
4.如图所示的是小明用八个小正方体搭成的,该几何体的俯视图是( )5.将如下图所示放置的一个直角三角形ABC(∠C=90°)绕斜边AB所在直线旋转一周,所得的几何体的主视图
是下面四个图形中的 .(填序号)
【拓展探究】
6.一个圆柱和一个正方体按如右图所示的方式放置,则其俯视图为( )
【答案与解析】
1.等腰三角形 等腰三角形 带圆心的圆
2.等边三角形及各顶点与其重心连接的三条线段
3.球和正方体
4.D
5.②(解析:旋转所成的几何体是两个圆锥的组合体,上面的圆锥高,下面的圆锥矮.)
6.A(解析:注意圆柱和正方体的位置.)
本课在探究棱柱的三视图的过程中,能够给予学生自主探究的时间与空间,让学生在轻松和谐的氛围中
主动学习.在探索过程中,培养了学生的推理能力和创新精神,最大限度地调动学生学习数学的积极性.在数学
学习中,使学生获得成功体验,建立起学习的自信心.
学生容易受到小学时学到的观察物体知识的影响,对物体的观察停留在比较浅的层次,因此有必要强调
小学时学习的对物体的观察,只是直接的观察体验,并没有严格从视图的角度进行要求,课堂教学中没有对这
方面进行点拨.
在教学过程中,要帮助学生建立起从实物到图形的转化思维方式,建立起从实物到图形的直接联系.为此
要选取生活中学生比较熟悉的几何体进行视图练习.
随堂练习(教材第136页)
1.(1)C (2)B (3)D (4)A
2.D(解析:第一个圆盘在球的下面,第二个圆盘在茶叶桶的前面,茶叶桶的底部没完全挡住.)
习题5.3(教材第137页)
1.解:(1)如图所示. (2)略2.(1)B (2)A (3)D (4)C
(2014·白银中考)如图所示的几何体是由一个正方体切去一个小正方体形成的,它的主视图是
( )
〔解析〕 主视图是从正面得到的视图,该图形从正面看上去,在右上角有一个挖空的小正方体,在主视
图中所体现的是一个小正方形.故选D.
[规律方法] 在观察几何体的三视图时,要注意看得见的画出来是实线,看不见的画出来是虚线,一定要
掌握好虚实线的应用.
(2014·赤峰中考)下面的几何体中,主视图为三角形的是 ( )〔解析〕 A中几何体的主视图是长方形,故A选项错误;B中几何体的主视图是长方形,故B选项错误;
C中几何体的主视图是三角形,故C选项正确;D中几何体的主视图是长方形,中间还有一条线,故D选项错误.
故选C.
(2014·百色中考)下列几何体中,同一个几何体的主视图与俯视图不同的是 ( )
〔解析〕 A中圆柱的主视图是矩形,俯视图是矩形,主视图与俯视图相同,故A选项错误;B中正方体的
主视图是正方形,俯视图是正方形,主视图与俯视图相同,故B选项错误;C中圆锥的主视图是三角形,俯视图是
圆及圆心,主视图与俯视图不相同,故C选项正确;D中球的主视图是圆,俯视图是圆,主视图与俯视图相同,故
D选项错误.故选 C.
(2014·南昌中考)如图所示,贤贤同学用手工纸制作一个台灯灯罩,做好后发现上口太小了,于是他
把纸灯罩对齐压扁,剪去上面一截后,正好合适,以下裁剪示意图中,正确的是 ( )
〔解析〕 圆锥压扁后为扇形,圆台压扁后为扇形的一部分.故选A.
第 课时
能够画出简单物体的三视图.
在准确理解三视图概念的基础上,通过观察、交流、操作等方式,掌握画出三视图的基本要领.
培养严谨认真的精神,体会学习中合作带来的乐趣.【重点】 画简单物体的三视图.
【难点】 准确画出物体的三视图.
【教师准备】 教材例题图片、供学生画三视图的小物体.
【学生准备】 复习有关视图、三视图的基本知识.
导入一:
怎样画这两个纯净水水桶的三视图呢?
导入二:
下面的物体三视图,反映了物体的哪些特征呢?
[过渡语] 怎样画出一个物体的三视图呢?
思路一
如下图所示的是一个正三棱柱.
问题1
你能想象出这个正三棱柱的主视图、左视图和俯视图吗?动手试一试.
问题2
如下图所示的是小亮画出的这个正三棱柱的主视图、左视图和俯视图,你同意他的画法吗?【教师活动】 学生对左视图和俯视图做出正确的猜想是较容易的,但想象主视图有一定困难,可引导
学生结合实物画图.对于问题2可引导学生思考主视图为什么多一条实线,改变三棱柱的位置,主视图应怎样
画?
【学生活动】 先自己动手画图,再与小亮所画三视图进行对比,对于主视图中看不见的棱如何处理,在
小组内展开讨论.
【师生共同总结】 看得见的棱画实线,看不见的棱画虚线.
问题3
你所画的主视图与俯视图中有哪些部分对应相等?主视图与左视图中有哪些部分对应相等?左视图与俯
视图呢?
【师生活动】 学生畅所欲言,展开讨论,教师点评.
【师生共同总结】 主视图反应物体的长和高,俯视图反应物体的长和宽,左视图反映物体的高和宽.因
此在画三视图时,对应部分的长度要相等.
(1)如图所示,三视图是从三个不同方向观察同一个物体的结果,能较完整地表示出物体的结构.
(2)三视图的特征:从图中可以看出,在物体的三视图中,主视图、俯视图长对正,主视图、左视图高平齐,
俯视图、左视图宽相等,即长对正,高平齐,宽相等.
(3)从图中可以看出三视图和物体之间有以下关系:主视图反映了物体长和高的形状特征;俯视图反映了
物体长和宽的形状特征;左视图反映了物体宽和高的形状特征.
【教师提示】 画三视图时要把俯视图画在主视图的下面,左视图画在主视图的右面.
[设计意图] 问题1,2的设置旨在让学生了解三棱柱的三视图的画法,视图中看得见的棱和看不见的棱
要注意区分.
问题4画出如右图所示的四棱柱的主视图、左视图和俯视图.
【学生活动】 先由学生想象,然后动手画出三视图;以小组为单位交流四棱柱的三视图,看看谁画的最
正确,并派代表向全班展示,说明画四棱柱的三视图的注意事项.
【教师活动】 提示学生在视图中注意区分看得见的棱和看不见的棱.
[设计意图] 使学生掌握四棱柱的三视图的画法和注意事项.采用上述设计是为了让学生在已经学习的
三棱柱的三视图画法和注意事项的基础上,类比学习四棱柱的三视图画法.
【做一做】 两个三棱柱的底面均为等腰直角三角形,它们的俯视图分别如图(1)(2)所示,画出它们的主
视图和左视图.【师生活动】 学生根据俯视图想象其主视图和左视图,再动手画图.教师进行巡视,加以指导.
[设计意图] 要求学生能根据三棱柱的俯视图想象三棱柱的摆放位置,并画出其主视图和左视图,此题对
学生要求较高,培养学生的推理能力和空间感.
【教师总结】
简单组合体的形状可能并不是很标准的几何体,在研究它们的三视图时要进行合理的分解.把它分解成
几个基本几何体,先画出几个基本几何体的三视图,再把它们组合起来就是组合体的三视图.
(1)组合体的各个基本几何体的画图顺序,一般按组合体的生成过程先画基础部分,再画局部细节.
(2)同一个组合体三个视图的画图顺序,一般先画形状特征最明显的那个视图.
思路二
如图所示的是一个正三棱柱.
(1)小明和小亮分别画出了这个正三棱柱的三视图,你认为谁的画法更合理,为什么?
(2)如果改变三棱柱的位置如图所示,那么它的三视图有变化吗?你能画出它们吗?z
(3)在画三视图时,如何区分看得见的棱和看不见的棱?
(4)三视图中主视图和俯视图有哪些部分对应相等?主视图与左视图中有哪些部分对应相等?左视图与俯
视图呢?
【师生活动】 学生能顺利地解决前两个问题,对于问题(3)教师可直接告诉学生画三视图时看得见的
棱画实线,看不见的棱画虚线.对于问题(4)教师要总结主视图反映物体的长和高,左视图反映物体的高和宽.俯
视图反映物体的长和宽,因此在画三视图时,对应部分的长度要相等.[设计意图] 问题(1)让学生通过对比理解主视图应体现三棱柱的侧棱;问题(2),(3)引发学生对看得见的
棱和看不见的棱如何区分的思考,为新知的学习奠定基础.问题(4)的目的是让学生体会三视图反映物体的长、
宽、高以及画图时对应部分的长度应相等.
在三种视图中,主视图反映物体的长和高,左视图反映物体的高和宽,俯视图反映物体的长和宽.因此在画
三种视图时,对应部分的长度要相等,而且通常把俯视图画在主视图的下面,把左视图画在主视图的右面.
1.小杰观察如图所示的热水瓶时,得到的俯视图是 ( )
解析:从上面看可得到图形的左边是一个小矩形,右边是一个同心圆.故选C.
2.已知一个正棱柱的俯视图和左视图如图所示,则其主视图为( )
解析:由三视图的长对正,高平齐,宽相等可知D正确.故选D.
第2课时
1.正三棱柱的三视图
2.例题讲解
一、教材作业
【必做题】教材第139页随堂练习的1,2题.
【选做题】
教材第140页习题5.4的3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.如图所示的几何体的俯视图是( )
2.如图所示的几何体的俯视图为( )
【能力提升】
3.(2013·平凉中考)如右图所示的是两个相同的正方体和一个圆锥组成的立体图形,其主视图是 ( )
【拓展探究】
4.如右图所示的是一粮仓,其顶部是一个圆锥,底部是一圆柱.
(1)画出该粮仓的三视图;
(2)若圆柱的底面圆的半径为1 m,高为2 m,求圆柱的侧面积;
(3)在(2)的条件下,假设粮食最多只能装至与圆柱同样高,则最多可以存放多少立方米的粮食?
【答案与解析】
1.C
2.A(解析:由俯视图的定义可知A正确.故选A.)
3.B
4.解:(1)此粮仓是由上部的圆锥和下部的圆柱组成.依圆锥和圆柱的三视图,易得其三视图,图略. (2)圆柱侧面
展开为一个长方形,长为圆柱底面圆的周长,宽为圆柱的高,故侧面积为4π m2. (3)实质是求圆柱的体积,故最
多可以存放粮食2π m3.学生是课堂活动的主体,要充分调动学生参与课堂活动的积极性.在本课时的教学的过程中,能够放手让
学生大胆地尝试画物体的三视图,并结合学生画图过程中遇到的问题,进行及时的提示和指导,取得了较好的
课堂教学效果.
在画三棱柱的三视图时,看得见的棱和看不见的棱的区分是课时教学的一个难点.老师不能担心学生出
错,过早地进行点拨,可以在学生完成视图后,结合问题再给予说明和指导.
课堂活动中还应该增加例题和练习的数量.学生对三视图的画法必须通过强化训练来掌握,仅靠老师的
提示和指导,是不能真正让学生掌握三视图的画法的.
随堂练习(教材第139页)
1.解:如图所示.
2.解:三视图如图所示.
习题5.4(教材第140页)
1.解:(1)中的俯视图错误,中间应有两条虚线. (2)中的两种视图都错误.主视图的虚线应画成实线.俯视图中间
的两条实线应画成虚线. (3)正确.
2.解:如图(1)(2)所示.3.解:如图所示.
4.解:如图所示.
1.三视图的位置关系:三视图的位置是有规定的,主视图要在左边,它的下方应是俯视图,它的右边是左视
图.
2.三视图的大小关系:三视图之间的大小是相互联系的.遵循主视图与俯视图的长对正、主视图与左视
图的高平齐、左视图与俯视图的宽相等的原则.
画出图(a)(b)中几何体的主视图、左视图和俯视图.〔解析〕 对图形应按从左到右,从上到下的顺序观察,画图时想象观察者从正面观察,得到主视图,然后
移至左侧观察,得到左视图;再想象观察者从上面观察,得到俯视图.
〔答案〕 图(a)中几何体的三种视图如右图所示.
图(b)中几何体的三种视图如下图所示.
[规律方法] 在画三视图时,主视图、俯视图要长对正,主视图、左视图要高平齐,左视图、俯视图要宽
相等.画对称形物体的三视图时,要先画物体的对称轴或中心线(画好三视图以后可以将其擦掉).
第 课时
能够根据三视图确定物体形状和描述简单的物体.在能画出简单物体三视图的基础上,建立从图到形之间的联系.
体验数学知识在生活中的应用,提升用数学问题观察生活的意识.
【重点】 根据三视图还原简单物体的形状.
【难点】 建立起图和形之间的联系.
【教师准备】 投影图片.
【学生准备】 复习三视图的相关知识.
导入一:
我们能画出一个物体的三视图,能不能根据物体的三视图确定这个物体的形状呢?
导入二:
根据如图所示的三种视图,你能想象出相应几何体的形状吗?
[设计意图] 要求学生能根据几何体的三视图描述物体的形状,旨在让学生体会物体的三视图可唯一确
定物体的形状和大小,发展学生的空间想象能力和语言表达能力.
一、从三视图到几何体
观察以下三种视图,你能找出右侧与之相对应的几何体吗?[设计意图] 要求学生能根据几何体的三视图找到与之相对应的立体图形,培养学生的推理能力和空间
感.
【教师提示】 由物体的三视图想象几何体的形状是有一定难度的,可以从如下途径进行分析:
(1)根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的正面、上面和左面的形状以及几何体的长、宽、高;
(2)从实线和虚线想象几何体看得见的部分和看不见的部分的轮廓线;
(3)熟记一些简单的几何体的三视图,对复杂的几何体的想象会有帮助;
(4)由三视图画几何体与由几何体画三视图为互逆过程,反复练习,不断总结方法.
二、例题讲解
一个物体的三视图如下图所示,请描述该物体的形状.
〔解析〕 由一个物体的三视图,描述该物体的形状,关键是能想象出三视图和立体图形之间的联系,从
而描述该物体的形状.
〔答案〕 该物体是一个圆柱体被左右两侧平面及水平平面切成缺口面形成的几何图形,它的形状如
右图所示.
【错因分析】 由于空间想象能力不够,加之对视图的掌握不熟练,很难想象物体的形状,而画不出该物
体的形状.因此,应注重对空间想象能力的培养.[知识拓展] 转化思想在本章的应用体现在两个方面:(1)把立体图形反映在平面上,用的是三视图,这就
是说,三视图实现了由立体图形到平面图形的转化;(2)在画复杂的几何体的三视图时,需将复杂的几何体分解
成若干个基本几何体,从基本几何体着手,进而完成复杂几何体的三视图,这也反映了化繁为简,化难为易的转
化思想.
由视图描述几何体的注意事项:(1)要分清长、宽、高的关系;(2)要分清上下、左右、前后的关系;(3)要读
懂各视图的含义.
1.一个几何体的三视图如下图所示,那么这个几何体是 ( )
解析:由三视图的定义可知C正确.故选C.
2.根据如图所示的三种视图,可知相应的几何体是 .
解析:由三视图和空间想象能力可知该几何体是圆柱.故填圆柱.
第3课时
1.从三视图到几何体
2.例题讲解
一、教材作业
【必做题】
教材第142页随堂练习的1,2题.
【选做题】
教材第143页习题5.5的3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.如下图所示的三视图所对应的几何体的直观图是 ( )2.如图所示的是一个几何体的三视图,则这个几何体是 ( )
A.圆柱 B.圆锥
C.圆台 D.长方体
【能力提升】
3.某几何体的三视图如图所示,则组成该几何体共用小正方体 ( )
A.12块 B.9块 C.7块 D.6块
4.三棱柱的三视图如图所示,在ΔEFG中,EF=8 cm,EG=12 cm,∠EGF=30°,则AB的长为 cm.【拓展探究】
5.
下列给出某种工件的三视图,如图所示,某工厂要铸造5000件这种铁质工件,要用去多少吨生铁?工件铸成后,
表面需涂一层防锈漆,已知每千克防锈漆可以涂4 m2的铁器面,涂完这批工件要用多少千克防锈漆?(铁的比
重为7.8 g/cm3,单位为 cm)
【答案与解析】
1.C
2.B(解析:由三视图的含义可知该几何体是圆锥.)
3.C
4.6
5.解:因为一件工件的体积为:(30×10+10×10)×20=8000(cm3),所以其重量为8000×7.8=62400(g),62400 g=62.4
kg,所以铸造5000件工件需要生铁:5000×62.4×10-3=312(吨),一件工件的表面积为
2×(30×20+20×20+10×30+10×10)=2800(cm2),2800 cm2=0.28 m2.所以涂完全部工件要用防锈漆:
5000×0.28÷4=350(kg).答:铸造这批工件要用去312吨生铁,涂完这批工件要用350 kg防锈漆.从三视图到对实物的确认和描述,是本课教学的一个难点.为突破这个难点,利用给出的物体实物图,通
过逐一用三视图对照给出的四个实物,经过反复比较、逐渐确认的方式引领学生找到对应的图形.
忽略了对虚线在视图中含义的强调.因为三视图中的虚线是确定对应实物的关键所在,同时也是学生画
视图时必须处理好的问题.
根据班级里摆放的物品,比如纯净水桶、讲桌、灯管等物品,事先画出这些物品的三视图,然后让学生猜
测是教室中的哪件物品,这样更能提升学生的学习兴趣.
随堂练习(教材第142页)
1.解:如图所示.
2.解:该几何体是圆柱.如图所示.
习题5.5(教材第142页)
1.解:如图所示.2.解:(1)该几何体是半个球体.如图(1)所示. (2)该几何体是四棱柱.如图(2)所示.
3.解:如图所示.
4.解:如图所示.复习题(教材第144页)
1.解:如图所示.点O为灯泡所在位置.EF为婷婷在路灯下的影子.
2.解:如图所示的AB.
3.解:(1)圆形. (2)当球的位置从下向上变化时,球的影子(圆)越来越大,形状不变;当球的位置变化从上向下时,
球的影子(圆)越来越小,形状不变.
4.解:就半球而言,在太阳光的照射下,球在地面上的影子是椭圆形或圆形;在同一地方,同一时刻,当球的位置变
化时,影子的形状和大小不变.
5.解:(1)(2)中几何体的左视图和俯视图均有错误.理由如下:在画视图时,看得见部分的轮廓线要画成实线,看不
见部分的轮廓线要画成虚线.(1)改正如图(1)所示. (2)改正如图(2)所示.6.解:(1)如图(1)所示. (2)如图(2)所示.
7.解:(1)如图(1)所示. (2)如图(2)所示.
8.解:(1)如图(1)所示. (2)如图(2)所示.
9.解:(1)如图(1)所示. (2)如图(2)所示. (3)如图(3)所示.10.解:(1)顺序为(C)(D)(A)(B).因为在一天中,物体在太阳光下的影子的方向是正西、北偏西、正北、北偏东、
正东. (2)正西→北偏西→正北→北偏东→正东.
11.解:没有道理.理由:因为灯光下广告牌高度与其影长之比不一定等于竹竿长与其影长之比.
12.解:(1)如图(1)所示. (2)如图(2)所示.
13.解:如图所示.
14.提示:请同学们亲自动手操作,答案不唯一.
15.提示:通过实际观察测量得到答案(答案不唯一).如图①所示,观察由棱长为1的小立方体摆成的图形,寻找规律:图①中,共有1个小立方体,其中1
个看得见,0个看不见;图②中,共有8个小立方体,其中7个看得见,1个看不见;图③中,共有27个小立方体,其
中19个看得见,8个看不见;….则图⑥中,看得见的小立方体有 个.
〔解析〕 由题意可知共有小立方体的个数为序号数×序号数×序号数,看不见的小立方体的个数
=(序号数-1)×(序号数-1)×(序号数-1),看得见的小立方体的个数为共有小立方体的个数减去看不见的小立方
体的个数. n=1时,共有小立方体的个数为1,看不见的小立方体的个数为0,看得见的小立方体的个数为1-
0=1;n=2时,共有小立方体的个数为2×2×2=8,看不见的小立方体的个数为(2-1)×(2-1)×(2-1)=1,看得见的小立方
体的个数为8-1=7;n=3时,共有小立方体的个数为3×3×3=27,看不见的小立方体的个数为(3-1)×(3-1)×(3-1)=8,
看得见的小立方体的个数为27-8=19;…;n=6时,共有小立方体的个数为6×6×6=216,看不见的小立方体的个数
为(6-1)×(6-1)×(6-1)=125,看得见的小立方体的个数为216-125=91.故填91.
1.通过实例了解中心投影与平行投影.
2.会画直棱柱、圆柱、圆锥和球的三视图.
3.能根据三视图描述简单的几何体.
在观察、操作、想象等活动中增强对空间物体的把握和理解能力.
通过数与形的联系,领悟数学来自生活的道理,增强用数学知识解决生活中问题的能力.
【重点】 画直棱柱、圆柱、圆锥和球的三视图.
【难点】 根据三视图描述简单的几何体.专题一 几何体与三视图的相互转化
【专题分析】
几何体与三视图是数形结合思想的直接体现.在近几年的中考中逐渐加大了考查的分值.题型主要以选
择题和填空题为主.画一个几何体的三视图时,要根据物体的特征,想象分别从正面、左面和上面看到的是什
么图形,然后把各个图形画出来即可.
根据三视图描述几何体的形状,需要将三个平面图形结合起来综合分析,这样有利于形成整体意识、空
间观念及综合分析问题的能力.
(1)如图所示,在一个透明的玻璃正方体内镶嵌了一条铁丝,请指出图①中的两个图是正方体的哪
种视图.
(2)如图②所示,粗线表示嵌在玻璃正方体内的一根铁丝,画出该正方体的主视图、左视图、俯视图.
解:(1)由三视图的定义可以看出,图①分别是正方体的俯视图、主视图.
(2)几何体的三视图如图所示.[易错提示] 由几何体确定三视图时,一定要理清以下概念:主视图是从几何体的正面观察到的平面图形;
左视图是从几何体的左面观察到的平面图形;俯视图是从几何体的上面观察到的平面图形.
【针对训练1】 下图是一几何体的两种视图,请你指出其中的错误,并把它们改正过来.
解:主视图中多了一段实线,左视图中上下矩形宽不应相同.如下图所示.
[规律方法] 在观察几何体的三视图时,要注意看得见的画出来是实线,看不见的画出来是虚线,一定要
掌握好虚实线的应用.
【针对训练2】 一个立体图形的三视图如图所示,根据图中的数据得这个立体图形的表面积为 (
)
A.2π B. 6π C. 7π D.8π
〔解析〕 由立体图形的三视图可知该立体图形为平放的圆柱体,底面半径r=1,高为3,故其表面积
S=2πr2+2πr·3=2π·12+2π·1·3=8π.故选D.
[规律方法] 由三视图计算几何体的体积或表面积的一般步骤:(1)首先要根据三视图描述几何的形状
(或画出表面展开图);(2)再根据三视图“长对正、高平齐、宽相等”的关系和轮廓线的位置确定各个方向的
尺寸;(3)最后用面积公式求出表面积或用体积公式求体积.
专题二 利用光沿直线传播的性质构造相似三角形测高
【专题分析】
投影在现实生活中有很多应用,解决这类问题,往往应用到相似三角形的知识.
小明想测量路灯杆上灯泡的高度,就拿起一根2 m长的竹竿伸向路灯,但无论如何也触不到.于
是他走到路灯旁的一个地方,竖起竹竿,量得竹竿的影长正好是1 m;然后他沿着影子的方向走出两根竹竿的
长度(即4 m),又竖起竹竿,测得竹竿的影长正好是一根竹竿的长度(即2 m),你知道小明将怎样计算灯泡的高
度吗?
〔解析〕 利用投影知识,建立相似三角形的数学模型,是解决该类问题的基本思路.解:如图所示,AE是第一次竖竹竿的位置,此时有ΔAEC∽ΔPOC,AE=2 m,AC=1 m.
BF是第二次竖竹竿的位置,此时有ΔBFD∽ΔPOD,BF=2 m,BD=2 m,AB=4 m.
对于ΔAEC∽ΔPOC,
AE OP 2 OP
= =
有 ,即 ,
AC CP 1 CP
1 1 1
所以CP= OP,AP= OP-AC= OP-1.
2 2 2
FB DB
=
对于ΔBFD∽ΔPOD,有 ,
OP DP
1
所以DP=OP.又DP=DB+BA+AP=2+4+ OP-1,
2
1
所以OP=2+4+ OP-1,解得OP=10.
2
故灯泡的高为10 m.
[规律方法] 在投影问题的实际应用中,常用三角形相似来求物高或影长.在学习中要善于思考、归纳题
目的应用规律.
【针对训练3】 如下图所示,墙边有甲、乙两根木杆,乙木杆的影子刚好不落在墙上.
(1)画出太阳光线及甲木杆的影子;
(2)当甲木杆高为2 m,乙木杆高为1.5 m,乙木杆到墙的距离为1.5 m时,求甲木杆的影长.
解:(1)如图所示,用AB表示乙木杆(A为顶部),CD表示甲木杆,墙角用E表示,连接AE,过C作AE的平行线
交地面于点F,则直线AE,CF是光线,DF是甲木杆的影子.
AB BE
=
(2)图中ΔABE∽ΔCDF,则有 ,DF=2 m.
CD DF专题三 利用阳光下物高与影长的比例关系测高(距离)
【专题分析】
转化思想、构造思想、数形结合思想、方程思想等在利用视图解决问题中经常有所涉及.
如图所示,已知AB和DE是直立在地面上的两根立柱,AB高5 m,DE高10 m.某一时刻AB在阳
光下的影子BC=3 m,你能推算出此时DE在阳光下的影子EF的长吗?
AB DE 5 10
= =
解:连接AC,DF,如图所示,由平行投影的知识可得 ,即 ,
BC EF 3 EF
解得EF=6.
∴DE在阳光下影子EF的长为6 m.
[规律方法] 当我们身边没有任何测量工具时,可用踱步测量一些数据,再结合自己的身高计算要求的高
度或距离.
【针对训练4】 在同一时刻的太阳光照下,身高为1.44 m的小强的影长是1.2 m,旗杆的影长是15 m,
则旗杆的高为 ( )
A.16 m B.18 m
C.20 m D.22 m
1.2 15
=
〔解析〕 设旗杆的高为x m,由平行投影的知识可得 ,x=18.故选B.
1.44 x
本章质量评估
(时间:90分钟 满分:120分)
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.有一个“田”字形的窗子如图所示,阳光照射后,地面上便呈现出它的影子,正确的是( )
2.(2013·荆门中考)过正方体上底面的对角线和下底面一顶点的平面截去一个三棱锥所得到的几何体如图所
示,它的俯视图为 ( )3.小明在上午8时、9时30分、10时、12时四次到室外的阳光下观察向日葵随太阳转动的情况,他发现这
四个时刻向日葵影子的长度各不相同,那么影子最长的时刻为 ( )
A.上午10时 B.12时
C.上午9时30分 D.上午8时
4.在一个晴朗的好天气里,小颖在向正北方向走时,发现自己的身影向左偏,则小颖当时所处的时间大概是
( )
A.上午 B.中午
C.下午 D.无法确定
5.如下图所示的是由四个完全相同的正方体组成的几何体,这个几何体的左视图是( )
6.从不同方向看一只茶壶,你认为是俯视效果图的是 ( )
7.(2013·淄博中考)在正六棱柱(如图所示)的视图(主视图、左视图、俯视图)中,画法错误的是 ( )
8.太阳光照射一扇矩形的窗户,投在平行于窗户的墙上的影子的形状是 ( )
A.与窗户全等的矩形
B.平行四边形
C.比窗户略小的矩形
D.比窗户略大的矩形
9.一个长方体的三视图如下图所示,若其俯视图为正方形,则这个长方体的表面积为 ( )A.66 B.48
C.48❑√2+36 D.57
10.如下图所示,身高为1.6 m的某学生想测量一棵大树的高度,他沿着树影BA由B向A走去,当走到C点时,
他的影子顶端正好与树的影子顶端重合,测得BC=3.2 m,CA=0.8 m,则树的高度为 ( )
A.4.8 m B.6.4 m
C.8 m D.10 m
二、填空题(每小题4分,共24分)
11.一个几何体是由一些大小相同的小正方体摆成的,其主视图与左视图如下图所示,则组成这个几何体的小
正方体最少有 个.
12.如图所示,此时的影子是在 (填“太阳光”或“灯光”)下的影子,理由是 .
13.在一间黑屋子里用一盏白炽灯按如图所示的方式照球、圆桌和圆锥,它们在地面上的阴影形状分别是
, , .(文字回答即可)14.如右图所示,一根直立于水平地面上的木杆AB在灯光下形成影子,当木杆绕A按逆时针方向旋转直至到
达地面时,影子的长度发生变化.设AB垂直于地面时的影长为AC(假定AC>AB),影长的最大值为m,最小值为
n,那么下列结论:①m>AC;②m=AC;③n=AB;④影子的长度先增大后减小.其中正确的结论的序号是 .
15.为了测量校园内一棵不可攀的树的高度,数学应用实践小组做了如下的探索实践:根据《自然科学》中的
反射定律,利用一面镜子和一根皮尺,设计如示意图所示的测量方案:把镜子放在离树(AB)9米远的点E处,然
后沿着直线BE后退到点D,这时恰好在镜子里看到树梢顶点A,再用皮尺量得DE=2.7米,观察者目高CD=1.8
米,则树(AB)的高度为 .
16.小芳和爸爸在一起散步.爸爸的身高为1.8米,他在地面上的影长为2.1米,若小芳比爸爸矮0.3米,则她的影
长为 .
三、解答题(共66分)
17.(6分)分别画出如下图所示的两物体的三视图.
18.(7分)与一盏路灯相对,有一玻璃幕墙,幕墙前面的地面上有盆花和一棵树.晚上,幕墙反射路灯灯光形成了
那盆花的影子(如下图所示),树影是路灯灯光形成的.请你确定此时路灯光源的位置.19.(7分)如下图所示的是一个立体图形的三视图,请写出这个立体图形的名称,并计算这个立体图形的体积.
(结果保留π)
20.(9分)如右图所示,小明家楼房旁立了一根长4米的竹竿,小明在测量竹竿的影子时,发现影子不全落在地面
上,有一部分落在楼房的墙壁上,小明测出它落在地面上的影子长为2米,落在墙壁上的影子长为1米,此时,小
明想把竹竿移动位置,使其影子刚好不落在墙上.小明应把竹竿移到什么位置?(要求竹竿移动的距离尽可能
小)
21.(9分)如下图所示,一段街道的两边缘所在直线分别为AB,PQ,并且AB∥PQ.建筑物的一端DE所在的直线
⊥
MN AB于点M,交PQ于点N,小亮从胜利街的A处,沿着AB方向前进,小明一直站在点P的位置等候小亮.
(1)请你在图中画出小亮恰好能看见小明的视线以及此时小亮所在的位置(用点C标出);
(2)已知MN=20 m,MD=8 m,PN=24 m,求(1)中的点C到胜利街口的距离CM.
22.(9分)阳光通过窗口照到教室内,竖直窗框在地面上留下2.1 m长的影子,如图所示,已知窗框的影子DE的
顶端到窗下墙脚的距离CE=3.9 m,窗口底边离地面的距离BC=1.2 m,求窗口的高度(即AB的长).23.(9分)某工厂要加工一批无盖的纸杯,设计者给出了纸杯的三视图,如图所示,请你根据三视图确定制作每
个纸杯至少所需纸板的面积,若一张纸板的长、宽分别为190 cm,15 cm,求此张纸板最多能制作多少个纸杯.
(π≈3.14)
24.(10分)如下图所示,在晚上,身高是1.6 m的王磊由路灯A走向路灯B,当他走到点P时,发现他身后的影子
的顶部刚好接触到路灯A的底部;当他再向前步行12 m到达点Q时,发现他身前的影子的顶部刚好接触到
路灯B的底部.已知两个路灯的高度都是9.6 m.
(1)求两个路灯之间的距离;
(2)当王磊走到路灯B时,他在路灯A的照射下的影长是多少?
【答案与解析】
1.D(解析:由平行投影的定义可知D正确.)
2.B
3.D(解析:从上午8时到12时,影长逐渐变短.)
4.A
5.C(解析:由左视图的定义可知C正确.)
6.A
7.A(解析:从上面看易得俯视图为B,从左面看易得左视图为D,从正面看易得主视图为C.故选A.)8.B(解析:题中没说明阳光是从哪个角度射入,因此投影可以是矩形,也可以是平行四边形.故选B.)
9.A
AC 1.6
=
10.C(解析:因为人和树垂直于地面,所以和光线构成的两个直角三角形相似,设树高x m,则 ,即
AB x
0.8 1.6
=
,所以x=8.故选C.)
0.8+3.2 x
11.5(解析:结合左视图和主视图可知,这个几何体的底层最少有2+1=3个小正方体,第二层最少有2个小正方
体,因此组成这个几何体的小正方体最少有3+2=5个.)
12.太阳光 通过作图发现相应的光线是平行关系
13.椭圆 圆 三角形(解析:在灯光下,离点光源近的物体它的影子短,离点光源远的物体它的影子长,所以照
球、圆桌和圆锥,它们在地面上的阴影形状分别是椭圆、圆、三角形.)
14.①③④
15.6米
16.1.75米
17.解:如下图所示.
18.解:如下图所示,点P就是路灯光源的位置.
19.解:该立体图形为圆柱,∵圆柱的底面半径r=5,高h=10,∴圆柱的体积V=πr2h=π×52×10=250π (立方单位).答:
立体图形的体积为250π立方单位. AB BE 4 2+CE 2
= =
20.解:如图2所示8,AB=4,CD=1,BC=2,∵AB∥CD,∴8RtΔABE∽RtΔDCE,∴ ,即 ,解得CE=
,∴BE=2+ = .答:小明应把竹竿移至距离墙 米远的地方. DC CE 1 CE 3
3 3 3⊥
21.解:(1)如图所示,CP为视线,点C为小亮所在的位置. (2)∵AB∥PQ,MN AB于M,∴∠CMD=∠PND=90°.又
CM MD CM 8
= =
∵∠CDM=∠PDN,∴ΔCDM∽ΔPDN,∴ .∵MN=20 m,MD=8 m,∴ND=12 m.∴ ,∴CM=16
PN ND 24 12
m.∴点C到胜利街口的距离CM为16 m.
22.解:由于阳光是平行线,即AE∥BD,所以∠AEC=∠BDC.又因为∠C是公共角,所以ΔAEC∽ΔBDC,从而有
AC EC
=
.又AC=AB+BC,DC=EC-ED,EC=3.9 m,ED=2.1 m,BC=1.2 m,于是有
BC DC
AB+1.2 3.9
=
,解得AB=1.4(m).答:窗口的高度为1.4 m.
1.2 3.9-2.1
(6) 2
23.解:由三视图可知该纸杯为无盖圆柱形状,其表面积为π· +π×6×8=57π≈179(cm2).因为该张纸板面积
2
为190×15=2850(cm2),所以2850÷179≈15(个),故此张纸板最多能制作15个纸杯.
24.解:(1)如图所示,因为D,M,A和C,N,B分别共线,分别连接D,M,A和C,N,B,设AP=BQ=x m,由题意可知
NQ BQ 1.6 x
= =
RtΔBNQ∽RtΔBCA,所以 ,即 ,解得x=3,又PQ=12 m,∴AB=12+6=18(m). (2)设王
AC BA 9.6 12+2x
1.6 y
=
磊走到路灯B时,他在路灯A下的影长为BE=y m,因为RtΔEFB∽RtΔECA.所以 ,解得y=3.6,即
9.6 18+ y
他在路灯A下的影长为3.6 m.
