文档内容
期末押题培优01卷（考试范围：九上全册+九下第一二章）
一、单选题(共30分)
1．(本题3分)直立的圆柱对应的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据圆柱的特征即可判断．
【详解】因为直立的圆柱体的主视图就是从圆柱体的正面的正投影，所得的正投影是长方形，
故选：C
【点睛】本题考查了几何体的三视图，熟练掌握几何体的三视图的特征是解本题的关键．
2．(本题3分)在 中，已知 ， ， ，那么下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．以上均不正确
【答案】B
【分析】先根据勾股定理的逆定理判断 的形状，再根据三角函数的定义依次分析各项即可
【详解】∵
∴ 是直角三角形
∴ ， ，
故选：B
【点睛】直角三角形的判定和性质的应用是初中数学平面图形中极为重要的知识点，与各个知识
点结合极为容易，是中考中的热点，在各种题型中均有出现，需多加关注
3．(本题3分)将抛物线 先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，那么得到的新的抛物线
的解析式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答．
【详解】解：将抛物线 先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，那么得到的新的抛物线的解析式是 ．
故选：A．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的规律是解答此题的关键．
4．(本题3分)如图，直线 ，直线 分别交 ， ， 于点 ， ， ，直线 分别交
， ， 于点 ， ， ．若 ， ，则 的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】由平行线分线段成比例定理可得 ，由已知可得 ，则可求得 ．
【详解】∵ ，
，
， ，
，
解得： ，
故选： ．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟悉定理内容是关键．
5．(本题3分)如图，长方形 的周长为16，以这个长方形的四条边为边分别向外作四个正方
形，若四个正方形的面积和等于68，则长方形 的面积为（ ）
A．20 B．18
C．15 D．12
【答案】C【分析】设长方形的长为x，宽为y．依据长方形的周长为16，四个正方形的面积之和为68可得
到2x+2y=16，2x2+2y2=68，最后依据完全平方公式进行变形可求得xy的值．
【详解】解：设长方形的长为x，宽为y．
根据题意可知：2x+2y=16，2x2+2y2=68，
所以x+y=8，x2+y2=34．
所以64-2xy=34．
解得：xy=15．
所以长方形ABCD的面积为15．
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是完全平方公式的应用，依据完全平方公式得到64-2xy=34是解题的关键．
6．(本题3分)一个密码锁的密码由四个数字组成，每个数字都是 这十个数字中的一个，只有
当四个数字与所设定的密码相同时，才能将锁打开，粗心的小明忘了中间的两个数字，他一次就
能打开该锁的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】计算出数字的组合总共有几种，其中只有一种能打开．利用概率公式进行求解即可．
【详解】解：因为密码由四个数字组成，如个位和千位上的数字已经确定，假设十位上的数字是 ，
则百位上的数字即有可能是 中的一个，要试 次，同样，假设十位上的数字是 ，则百位上
的数字即有可能是 中的一个，也要试 次，依此类推，共有 种可能，而其中只有一种情
况可以打开，所以一次就能打开该锁的概率是 ；
故选： ．
【点睛】本题考查随机事件概率的求法：如果一个事件有 种可能，而且这些事件的可能性相同，
其中事件 出现 种结果，那么事件 的概率 ．
7．(本题3分)下列说法正确的是
A．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
B．任意两个等腰三角形相似
C．一元二次方程 ，无论a取何值，一定有两个不相等的实数根D．关于反比例函数 ，y的值随x值的增大而减小
【答案】C
【分析】利用正方形的判定定理、相似三角形的判定定理、一元二次方程的解及反比例函数的性
质分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】A、两条对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故错误；
B、等腰三角形的对应角不一定相等，故错误；
C、方程x2﹣ax﹣2＝0中△＝a2+8＞0，一定有两个不相等的实数根，故正确；
D、关于反比例函数y＝ ，在每一象限内y的值随x值的增大而减小，故错误，
故选C．
【点睛】本题考查了正方形的判定定理、相似三角形的判定定理、一元二次方程的解及反比例函
数的性质，知识点比较多，较复杂．
8．(本题3分)如图，A，B，C，D均为网格图中的格点，线段AB与CD相交于点P，则∠APD的
正切值为（ ）
A．3 B．2 C．2 D．3
【答案】A
【分析】连接CM，DN，根据题意可得 ，从而可得∠APD＝∠NCD，然后先利用勾股定
理的逆定理证明 CDN是直角三角形，然后再利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【详解】解：取△格点M， 连接CM，在CM上取格点N，连接 DN，
由题意得： ，
∴∠APD＝∠NCD，
由题意得：
， ， ，
∴ ，
∴△CDN是直角三角形，
∴tan∠DCN＝ ＝ ＝3，∴∠APD的正切值为3，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了求正切值，勾股定理逆定理， 根据题目的已知条件并结合图形添加适当
的辅助线是解题的关键．
9．(本题3分)函数 与 在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题可先由反比例函数的图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否
一致．
【详解】解：由解析式y=-kx2+k可得：抛物线对称轴x=0；
A、由双曲线的两支分别位于二、四象限，可得k＜0，则-k＞0，抛物线开口方向向上、抛物线与y
轴的交点为y轴的负半轴上，而不是交于y轴正半轴，故选项A错误；
B、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则-k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y
轴的交点在y轴的正半轴上，本图象符合题意，故选项B正确；
C、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则-k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y
轴的交点在y轴的正半轴上，而不是y轴的负半轴，本图象不符合题意，故选项C错误；
D、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则-k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y
轴的交点在y轴的正半轴上，而不是开口向上，本图象不符合同意，故选项D错误．
故选B．
【点睛】本题考查二次函数及反比例函数和图象，解决此类问题步骤一般为：（1）先根据图象的
特点判断k取值是否矛盾；（2）根据二次函数图象判断抛物线与y轴的交点是否符合要求．
10．(本题3分)如图，正方形ABCD中，AC、BD相交于点O，P是BC边上的一点，且PC=2PB，
连接AP、OP、DP，线段AP、DP分别交对角线BD、AC于点E、F．过点E作EQ⊥AP，交CB的延长线于Q．下列结论中：①∠PAO+∠PDO+∠APD=90°；②AE=EQ；③sin∠PAC= ； ④S
正方形
ABCD=10S OEPF，其中正确的结论有（ ）
四边形
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】①正方形对角线垂直平分三角形外角等于和它不相邻的两个内角和，可得结果；
②连接AQ，可得∠QEP=∠AEQ=∠ABQ=90°，即A、Q、B、E四点共圆，可得∠QAE=90°-
∠AQE=45°，即可得AE=EQ；
③过P作AC的垂线于点G，设BP=a，由勾股定理求得AP，AC，正方形对角线垂直相等且互相平
分可得sin∠PAC的值；
④AD∥BC，可得△BEP∽△DEA，△PFC∽△DFA，设S BEP=s，则S OEP=s，S BPO=2s，
△ △ △
S POC=4s，S OPF= s，即可求解．
△ △
【详解】解：①∵∠POB=∠PDO+∠OPD，
∠POC=∠PAO+∠APO，
∠POB+∠POC=∠BOC，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BOC=90°，
∴∠PDO+∠OPD+∠PAO+∠APO=90°，
∴∠PAO+∠APO+∠PDO=90°，故①正确；
②连接AQ，∵QE⊥AP，
∴∠QEP=∠AEQ=∠ABQ=90°，
∴A、Q、B、E四点共圆，
∴∠AQE=∠ABE= ∠ABC=45°，
∴∠QAE=45°，
∴AE=EQ，故②正确；
③过P作AC的垂线于点G，
设BP=a，PC=2a，
∴BC=3a，
∴AP= ，
∴AC=3 a，
∴AO=BO= a，
∵BD⊥AC，PE⊥AC，
∴BD∥PG，
∴ ，
∴PG= × a= a，
∴sin∠PAC= ，故③错误；
④∵AD∥BC，
∴△BEP∽△DEA，△PFC∽△DFA，∴BE：DE=1：3，CF：AF=2：3，
∴BE：ED=1：1，OF：CF=1：4，
设 BEP=s，则S OEP=s，S BPO=2s，S POC=4s，
△ △ △ △
∴S OPF= s，
△
∴S BCO=2s+4s=6s，
△
∴S OPEQ=s+ s= s，
四边
S ABCD=4s×6=24s，故④错误，
正方形
综上，①②正确，
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质的应用，解本题关键掌握正方形的性质，解直角三角形，相似
三角形判定与性质等．
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题(共15分)
11．(本题3分)已知 ，则 ______．
【答案】
【分析】利用设 法，进行计算即可解答．
【详解】解：设 ，
， ，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握设 法是解题的关键．
12．(本题3分)在一个不透明的盒子中装有 个除颜色外完全相同的球，这 个球中只有4个红球，
若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到
红球的频率稳定在20%左右，则 的值大约为_______．
【答案】20
【分析】先利用频率估计概率，再利用概率求数量即可．【详解】解：通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，
∴ （摸到红球） ，
即： （摸到红球） ，
∴ ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查利用频率估计概率，以及利用概率求数量．熟练掌握概率是频率的稳定值，以
及概率的计算公式是解题的关键．
13．(本题3分)小红和爸爸绕着小区广场锻炼，在矩形广场 边 的中点M处有一座雕塑，
在某一时刻，小红到达点P处，爸爸到达点Q处，此时雕塑在小红的南偏东 方向，爸爸在小红
的北偏东 方向，若小红到雕塑的距离 ，则小红与爸爸的距离 ____．（结果保
留根号）
【答案】
【分析】过点 作 于点 ，在Rt 中， ，解得 ，
即可得 ，在Rt 中， ，求出 的值，即可得
出答案．
【详解】解：过点 作 于点 ，由题意可得 ，
在Rt 中， ，
解得 ，
为 的中点，
∴ ，
在Rt 中， ，
解得 ，
经检验， 是原方程的解且符合题意，
小红与爸爸的距离 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用 方向角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题
的关键．
14．(本题3分)如图，在正方形 中， ，点E，F分别在 ， 上，且 ，
过点E作 ，过点F作 ， 与 交于点G，连接 ，则 的长为______．
【答案】
【分析】连接 ，过点E作 于点N，过点D作 于点M，如图，根据解直角三
角形可求得 ， ，则 ，可证 ，从而可得A、C、G
三点共线，由菱形的性质，可得 ，即可求解 ．【详解】解：连接 ，过点E作 于点N，过点D作 于点M，如图，
， ，
四边形 是平行四边形，
四边形 是正方形，
， ，
，
，
在 和 中，
，
，
四边形 是菱形，
，
在 和 中，
，
，
四边形 是正方形，
，
，
，
A、C、G三点共线，
四边形 是正方形，
，，
，
，
，
，
，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了正方形的性质、菱形的性质、解直角三角形、全等三角形的判定和性质，解
题的关键是作出正确的辅助线，以及证得A、C、G三点共线．
15．(本题3分)如图，矩形 的面积为36，对角线 与双曲线 相交于点 ，且
，则 的值为__________．
【答案】
【分析】由矩形的性质求出 的面积，由平行线分线段成比例可求 ，可求
的面积，由反比例函数的性质可求解．
【详解】如图，连接 ，过点D作 于E，
∵矩形 的面积为36，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵双曲线 图象过点D，
∴ ，
又∵双曲线 图象在第二象限，
∴ ，
∴ ，
故答案为：
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性
质，相似三角形的判定与性质等知识，求出 的面积是解题的关键．
三、解答题(共75分)
16．(本题8分)计算：
(1)
(2) ．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）代入特殊角三角函数值，然后再计算即可；
（2）先化简零指数幂、绝对值，再代入特殊角三角函数值，然后再计算即可．
【详解】（1）
=
=
= ；
（2）
=
=
=
【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
17．(本题9分)为了解某校九年级男生1000米跑的水平，从中随机抽取部分男生进行测试，并把
测试成绩分为A、B、C、D四个等次，绘制成如图所示的不完整的统计图，请回答下列问题．
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）请将条形统计图补充完整，并计算表示C等次的扇形所对的圆心角的度数为 ；
（3）学校决定从A等次的甲、乙、丙、丁四名男生中，随机选取两名男生参加全市中学生1000
米跑比赛，请用列表法或画树状图法，求甲乙两名男生同时被选中的概率．【答案】（1）2，45；（2）条形统计图补充见解析；72°；（3）甲、乙两名男生同时被选中的概
率为 ．
【分析】（1）用A等次的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再分别求出a和B等次的
人数，然后计算出b的值；
（2）先补全条形统计图，然后用360°乘以C等次所占的百分比得到C等次的扇形所对的圆心角
的度数；
（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出甲、乙两名男生同时被选中的结果数，然
后根据概率公式求解．
【详解】（1）∵被调查的总人数为12÷30%＝40（人），
∴a＝40×5%＝2；
b%＝ ×100%＝45%，即b＝45；
故答案为：2、45；
（2）表示C等次的扇形所对的圆心角的度数为360°× ＝72°，
B等次人数为40﹣12﹣8﹣2＝18（人），
条形统计图补充为：
故答案为：72°；
（3）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中甲、乙两名男生同时被选中的结果数为2，所以甲、乙两名男生同时被选中的概率为 ．
【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图，概率的求法，解题关键是准确从统计图中获取信
息，熟练运用树状图求概率．
18．(本题10分)为积极响应新旧动能转换．提高公司经济效益．某科技公司近期研发出一种新型
高科技设备，每台设备成本价为6万元，经过市场调研发现，每台售价为8万元时，月销售量为
120台；每台售价为9万元时，月销售量为110台．假定该设备的月销售量y(单位：台)和销售单价
x(单位：万元)成一次函数关系．
(1)求月销售量y与销售单价x的函数关系式；
(2)根据相关规定，此设备的销售单价不得低于10万元，如果该公司想获得240万元的月利润．则
该设备的销售单价应是多少万元？
【答案】(1)
(2) 万元/台
【分析】（1）利用待定系数法即可求出年销售量y与销售单价x的函数关系式；
（2）设此设备的销售单价为x万元/台，则每台设备的利润为 万元，销售数量为
台，根据总利润=单台利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其不
小于10的值即可得出结论．
【详解】（1）解：设年销售量y与销售单价x的函数关系式为 ，
将 时， 时， 代入 ，得
，
解得： ，
∴年销售量y与销售单价x的函数关系式为 ；
（2）设此设备的销售单价为 万元/台，
则每台设备的利润为 万元，销售数量为 台，
根据题意得： ．整理，得： ，
解得： ．
∵此设备的销售单价不得低于 万元，
∴ ．
答：该设备的销售单价应是 万元/台．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，根据题意列出函数关系式以及一元
二次方程是解题的关键．
19．(本题10分)校内数学兴趣小组组织了一次测量探究活动．如图，大楼的顶部竖有一块广告牌
CD，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B处测
得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i＝1： ，AB＝12米，AE＝24米.（测角器的
高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据： ， ≈1.73，sin53°≈ ，
）
（1）求点B距水平地面AE的高度；
（2）求广告牌CD的高度．
【答案】（1）点B距水平地面AE的高度为6米；（2）广告牌CD的高约8.4米
【分析】（1）根据坡度的意义，求出 ，再利用直角三角形的边角关系求出答案；
（2）在 中求出 ，进而求出 ，即 ，再在 中，得出 ，在
中由边角关系求出 ，最终求出 ，取近似值得出答案．
【详解】解：（1）如图，过点 作 ， ，垂足分别为 ，由题意可知， ， ， ， 米， 米，
∵ ，
∴ ，
∴ （米），
即点 距水平地面 的高度为6米；
（2）在 中，
∴ （米），
（米），
∴ 米，
∵ ，
∴ 米，
∴ 米，
在 中， ， 米，
∴ （米），
∴
（米）
答：广告牌 的高约8.4米．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的前提，理解坡
度的意义是解决问题的关键．20．(本题10分)如图，点A（1，6）和B（n，2）是一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝
1 2
（x＞0）的图象的两个交点．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）设点P是y轴上的一个动点，当△PAB的周长最小时，求点P的坐标；
（3）从下面A，B两题中任选一题作答．
A.在（2）的条件下，设点D是坐标平面内一个动点，当以点A，B，P，D为顶点的四边形是平行
四边形时，请直接写出符合条件的所有点D的坐标．
B．设直线AB交y轴于点C，点M是坐标平面内一个动点，点Q在y轴上运动，以点A，C，Q，
M为顶点的四边形能构成菱形吗？若能，请直接写出点Q的坐标；若不能，说明理由．
【答案】（1）y＝ ，y＝﹣2x+8；（2）（0，5）；（3）A.点D的坐标为（2，1）或（﹣2，9）
或（4，3）；B.能；点Q的坐标为（0，8+ ）或（0，8﹣ ）或（0，4）或（0， ）
【分析】（1）将点A的坐标代入反比例函数表达式，求出m＝6，利用反比例函数求点B的坐标
为（3，2），将点A、B坐标代入一次函数表达式解方程组即可；
（2）作点A关于y轴的对称点G（﹣1，6），连接BG交y轴于点P，则点P为所求点；
（3）A：先确定点A、B、P的坐标,设点D的坐标为（s，t），①当AB是边时，利用平移可得0+2
＝s，5﹣4＝t或0﹣2＝s，5+4＝t，求出s、t，②当AB是对角线时，由中点公式得： （1+3）＝
（s+0）， （6+2）＝ （5+t）求即可；
B：由直线AB求点C（0，8），由点A、C的坐标求AC2＝5，设点Q的坐标为（0，m），点M的
坐标为（s，t），①当AC为边时，则AC＝CQ或AC＝AQ，即5＝（m﹣8）2或5＝1+（m﹣6）2，求出s、m，②当AC是对角线时，则AM＝AQ且AC的中点即为MQ的中点，则
，解方程组即可．
【详解】解：（1）将点A的坐标代入反比例函数表达式得：6＝ ，
解得m＝6，
故反比例函数表达式为y＝ ，
当y＝ ＝2时，x＝3＝n，即点B的坐标为（3，2），
将点A、B坐标代入一次函数表达式得： ，
解得 ，
故一次函数表达式为y＝﹣2x+8；
（2）作点A关于y轴的对称点G（﹣1，6），连接BG交y轴于点P，则点P为所求点，
理由： PAB的周长＝AP+PB+AB＝GP+PB+AB＝BG+AB为最小，
由点B、△G的坐标，同理可得：BG的表达式为y＝﹣x+5，
故点P的坐标为（0，5）；
（3）能，理由：
A：由（1）（2）知，点A、B、P的坐标分别为（1，6）、（3，2）、（0，5），设点D的坐标为（s，t），
①当AB是边时，
则点A向右平移2个单位向下平移4个单位得到B，同样点P（D）向右平移2个单位向下平移4
个单位得到D（P），
则0+2＝s，5﹣4＝t或0﹣2＝s，5+4＝t，
解得 或 ；
②当AB是对角线时，
由中点公式得： （1+3）＝ （s+0）， （6+2）＝ （5+t），
解得 ；
故点D的坐标为（2，1）或（﹣2，9）或（4，3）．
B：由直线AB的表达式知，点C（0，8），由点A、C的坐标知AC2＝5，
设点Q的坐标为（0，m），点M的坐标为（s，t），
①当AC为边时，则AC＝CQ或AC＝AQ，
即5＝（m﹣8）2或5＝1+（m﹣6）2，
解得m＝8± 或8（舍去）或4，
即m＝8± 或4；
②当AC是对角线时，
则AM＝AQ且AC的中点即为MQ的中点，
则 ，
解得 ，综上，点Q的坐标为（0，8+ ）或（0，8﹣ ）或（0，4）或（0， ）．
【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式与反比例函数解析式，轴对称性质，两点之间线
段最短，平行四边形性质，菱形性质，本题综合性强，难度较大，灵活掌握知识是解题关键．
21．(本题14分)如图1，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，如果点E由点B出发沿BC方向
向点C匀速运动，同时点F由点D出发沿DA方向向点A匀速运动，它们的速度分别为每秒2cm
和1cm，FQ⊥BC，分别交AC、BC于点P和Q，设运动时间为t秒（0＜t＜4）．
（1）连接EF，若运动时间t＝ 秒时，求证：△EQF是等腰直角三角形；
（2）连接EP，当△EPC的面积为3cm2时，求t的值；
（3）在运动过程中，当t取何值时，△EPQ与△ADC相似．
【答案】（1）详见解析；（2）2秒；（3）2秒或 秒或 秒．
【分析】（1）由题意通过计算发现EQ＝FQ＝6，由此即可证明；
（2）根据题意利用三角形的面积建立方程即可得出结论；
（3）由题意分点E在Q的左侧以及点E在Q的右侧这两种情况，分别进行分析即可得出结论．
【详解】解：（1）证明：若运动时间t＝ 秒，则
BE＝2× ＝ （cm），DF＝ （cm），
∵四边形ABCD是矩形
∴AD＝BC＝8（cm），AB＝DC＝6（cm），∠D＝∠BCD＝90°
∵∠D＝∠FQC＝∠QCD＝90°，
∴四边形CDFQ也是矩形，
∴CQ＝DF，CD＝QF＝6（cm），
∴EQ＝BC﹣BE﹣CQ＝8﹣ ﹣ ＝6（cm），
∴EQ＝QF＝6（cm），又∵FQ⊥BC，
∴△EQF是等腰直角三角形；
（2）由（1）知，CE＝8﹣2t，CQ＝t，
在Rt△ABC中，tan∠ACB＝ ＝ ，
在Rt△CPQ中，tan∠ACB＝ ＝ ＝ ，
∴PQ＝ t，
∵△EPC的面积为3cm2，
∴S ＝ CE×PQ＝ ×（8﹣2t）× t＝3，
EPC
△
∴t＝2秒，
即t的值为2秒；
（3）解：分两种情况：
Ⅰ．如图1中，点E在Q的左侧．
①∠PEQ=∠CAD时，△EQP∽△ADC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠CAD=∠ACB，
∵△EQP∽△ADC，
∴∠CAD=∠QEP，
∴∠ACB=∠QEP，
∴EQ=CQ，
∴CE=2CQ，
由（1）知，CQ=t，CE=8-2t，
∴8-2t=2t，∴t=2秒；
②∠PEQ=∠ACD时，△EPQ∽△CAD，
∴ ，
∵FQ⊥BC，
∴FQ∥AB，
∴△CPQ∽△CAB，
∴ ，即 ，
解得： ，
∴ ，
解得： ；
Ⅱ．如图2中，点E在Q的右侧．
∵0＜t＜4，
∴点E不能与点C重合，
∴只存在△EPQ∽△CAD，
可得 ，即 ，
解得： ；
综上所述，t的值为2秒或 秒或 秒时，△EPQ与△ADC相似．
【点睛】本题是相似形综合题，主要考查矩形的性质和判定，三角函数，相似三角形的判定和性
质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．22．(本题14分)如图，在平面直角坐标系中，已知直线 与直线 相交于点A，与 轴
相交于点B，与 轴相交于点C，抛物线 经过点O、点A和点B，已知点A到
轴的距离等于2.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点H为直线 上方抛物线上一动点，当点H到 的距离最大时，求点H的坐标；
（3）如图，P为射线OA的一个动点，点P从点O出发，沿着OA方向以每秒 个单位长度的速
度移动，以OP为边在OA的上方作正方形OPMN，设正方形POMN与 OAC重叠的面积为S，设移
动时间为t秒，直接写出S与t之间的函数关系式. △
【答案】（1） ;（2）H;（2，2）; （3） .
【分析】（1）根据题意求出A、B坐标，由图像可知，图像经过原点，则c=0，设出抛物线解析式
为 ，将A（4,2）、B（6,0）代入 ，即可得到答案.
（2）设H（ , ）,作HD∥ ,当HD∥ 时，点H到 的距离最大.设直线HD的解析式
，并与抛物线解析式联立，得到一元二次方程，因为由函数图像可知，直线HD与 ，
有且只有一个交点，所以 =0，求出c,进而求出H坐标，得到答案.
(3)通过运动过程中，分情△况讨论，并将不规则图像利用分割法求解即可.
【详解】（1）由点A到 轴的距离等于2得知，A的纵坐标是2当y=2时，代入 ，得 ，则A（4,2）
当x=0时，代入 ，得y=6,则B（6,0）
由图像可知，图像经过原点，则c=0，则抛物线解析式为
将A（4,2）、B（6,0）代入
解得
所以抛物线的解析式
（2）
设H（ , ）,作HD∥ ,当HD∥ 时，点H到 的距离最大.
设直线HD的解析式 ，则
得 化简得：
由函数图像可知，直线HD与 ，有且只有一个交点，所以 =
△
所以c=1
当c=1时， 即为 ，
即 ,则所以H（2,2）
综上所述，点H为直线 上方抛物线上一动点，当点H到 的距离最大时，点H的坐标H（2,2）.
（3）第一种情况：下图：P点由O点运动到图（2）位置（M正好在AC上）轴时.
,由题意得：OP=ON= ，则MN= .
= -
=
=
=
=
作CD⊥AO,于点D，交y轴于点Q
由 ： ，可知B（6,0），C（0,6），则OC=6，
由（1）可知A(4,2),可知： ，通过解直角三角形方法可知： 即：
解得AD= ,利用勾股定理得
∴
∵CD⊥ ，MP⊥
∴ 即 解得
所以
第二种情况：下图：P点图（1）位置（M正好在AC上）轴运动到O点运动到时.
取中间过程图分析面积：
作CD⊥AO,于点D，交MN轴于点E，MN交AC于点F,MP交AC于点I.
由情况一可知 则 ,代入得：
所以，∴
∵CD⊥ ，AP⊥
∴MP∥CD,
∴ ，则
∴
= - -
= -
=
当AO=OP时，是临界点，此时 ，t=2
综上所述：
第三种情况：下图：P点图（1）位置（P与A点重合）运动到MN经过点C时.
取中间过程图分析面积：MN交y轴于点Q，交BC于点D，由题意知： ，
=
此时 = - -
= -
=
临界点范围求值：
作CG⊥OP于点G，
OP=MP=CG=
OP= 即 解得：第四种情况：下图：当△AOC完全被正方形覆盖时：
此时正方形边长＞△AOC中AO边上的高，即 ＞ ,得t＞
= = A点横坐标=
即当t＞ ，S=12
综上所述
【点睛】本题考查二次函数综合题、一次函数、面积问题，最值问题等知识，解题的关键是学会
构建二次函数解决最值问题，学会分类讨论，学会构建一次函数，利用方程组求交点坐标，属于
中考压轴题．
