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专题 7.2 等比数列及求和
题型一 基本量的计算
题型二 等比中项及等比数列项的性质
题型三 等比数列的判定与证明
题型四 等比数列前 项和的性质
题型五 等比数列中的单调，最值问题
题型六 等比数列的简单应用
题型七 等差、等比数列的综合应用
题型一 基本量的计算
例1．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）在等比数列 中， ，则“
”是“数列 的公比为 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
例2．（2023春·高三课时练习）在等比数列 中，公比为q，前n项和为 .
(1) ， ，求n；
(2) ，求 及 .
练习1．（2023春·高二课时练习）在等比数列 中．
(1)若 ， ， ，求 和 ；
(2)已知 ， ，求 .
练习2．（2023·江西抚州·统考模拟预测）已知正项等比数列{ }的前n项和为 ，若
，则 =（ ）
A．64 B．81 C．128 D．192练习3．（2023春·新疆伊犁·高三奎屯市第一高级中学校考期中）已知等比数列 满足
， ，若 的前n项和 ，则 （ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
练习4．（2023·全国·高三专题练习）数列 中， ，若其前k项和为
86，则 ________．
练习5．（2023·甘肃金昌·统考模拟预测）在等比数列 中， 是数列
的前 项和．若 ，则 （ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
题型二 等比中项及等比数列项的性质
例3．（2023春·高二课时练习）已知等比数列 的前 项和为 ，且 ，
，求 .
例4．（2023春·高三课时练习）已知数列 为等比数列.
(1)若 ，且 ，求 的值；
(2)若数列 的前三项和为168， ，求 ， 的等比中项.
练习6．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知数列 为等比数列，则（ ）
A．数列 ， ， 成等比数列
B．数列 ， ， 成等比数列
C．数列 ， ， 成等比数列
D．数列 ， ， 成等比数列
练习7．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 、 满足 .其中
是等差数列，若 ，则 _____________.练习8．（2022·高三课时练习）已知等比数列 的首项为2，前 项满足
， ，则正整数m＝______.
练习9．（2022·全国·高三专题练习）在各项均为正数的等比数列 中，公比 ，
若 ， ， ，数列 的前 项和为 ，则数列 前n项和为
______.
练习10．（2023·全国·高三专题练习）已知一个等比数列的前 项和､前 项和､前 项和
分别为 ､ ､ ，则下列等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
题型三 等比数列的判定与证明
例5．（2023·山东潍坊·三模）已知数列 和 满足
．
(1)证明： 和 都是等比数列；
(2)求 的前 项和 ．
例6．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ， ．
证明：数列 是等比数列；
练习11．（2023春·湖北·高三武汉市第四十九中学校联考期中）记 为数列 的前 项
和，给出以下条件，其中一定可以推出数列 为等比数列的条件是（ ）．
A． B． C． D． 是等比数列
练习12．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的前n项和为 ， ，
．证明：数列 为等比数列；练习13．（2023·湖北·校联考模拟预测）已知数列 满足： .
(1)证明：数列 是等比数列；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
练习14．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ，且 ，
若 ．
(1)证明： 为等比数列．
(2)求 的通项公式．
练习15．（河南省部分重点中学2022-2023学年高三下学期5月质量检测数学试题）（多
选）数列 中， ．则下列结论中正确的是（ ）
A． 是等比数列 B．
C． D．
题型四 等比数列前 项和的性质
例7．（2023·全国·高三专题练习）已知等比数列 的公比 ，且
，则 ___________.
例8．（2023春·高二课时练习）在等比数列 中，若 ，则 ________.
练习16．（2022春·辽宁·高三辽阳县第一高级中学校联考阶段练习）（多选）已知等比数
列 的前n项和为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．数列 为等比数列
B．数列 ， ， ，…为等比数列
C．数列 ， ， ， ，…为等比数列D．数列 ， ， ，…为等比数列
练习17．（2023春·安徽宿州·高三江西省泰和中学校联考期中）（多选）已知等比数列
中，满足 ， ，则（ ）
A．数列 是等比数列 B．数列 是递增数列
C．数列 是等差数列 D．数列 中， ， ， 仍成等比数
列
练习18．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 的通项公式 ，求由其奇数项
所组成的数列的前 项和 ．
练习19．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）（多选）已知实数数列 的前n项和为 ，
下列说法正确的是（ ）．
A．若数列 为等差数列，则 恒成立
B．若数列 为等差数列，则 ， ， ，…为等差数列
C．若数列 为等比数列，且 ， ，则
D．若数列 为等比数列，则 ， ， ，…为等比数列
练习20．（2023春·山东德州·高二统考期中）已知 为等比数列 的前n项和， ，
，则 的值为（ ）
A．85 B．64 C．84 D．21
题型五 等比数列中的单调，最值问题
例9．（2023·山西忻州·统考模拟预测）在等比数列 中，若 ， ，
则当 取得最大值时， _______________．
例10．（2023·四川自贡·统考三模）等比数列 公比为 ，若
，则“数列 为递增数列”是“ 且 ”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
练习21．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 是等差数列， 是等比数列 的前
n项和， ， ， ．
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)求 的最大值和最小值．
练习22．（2023·全国·高三专题练习）设公比为 的等比数列 的前 项和为 ，前
项积为 ，且 ， ， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． 是数列 中的最大值 D．数列 无最大值
练习23．（2023·广西·统考模拟预测）已知正项等比数列 满足 ，则
取最大值时 的值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
练习24．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考二模）已知数列 为等比数列，首项
，公比 ，则下列叙述不正确的是（ ）
A．数列 的最大项为 B．数列 的最小项为
C．数列 为严格递增数列 D．数列 为严格递增数列
练习25．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）（多选）设等比数列 的公比为 ，
其前 项和为 ，前 项积为 ，并且满足条件 ，则下列结论正确的是（
）
A． B．
C． 的最大值为 D． 的最大值为题型六 等比数列的简单应用
例11．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）中国古代著作《张丘建算经》有
这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里”，意思是说有一匹马行走
的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了 里路，则该马第
五天走的里程数约为（ ）
A． B． C． D．
例12．（2023·广东广州·统考模拟预测）小明的父母在他入读初中一年级起的9月1日向
银行教育储蓄账户存入1000元，并且每年在9月1日当天都存入一笔钱，每年比上年多存
1000元，即第二年存入2000元，第三年存入3000元，……，连续存6年，每年到期利息
连同本金自动转存，在小明高中毕业的当年9月1日当天一次性取出，假设教育储蓄存款
的年利率为p，不考虑利率的变化．在小明高中毕业的当年9月1日当天，一次性取出的金
额总数（单位：千元）为（ ）．
A． B．
C． D．
练习26．（2023·湖南长沙·长沙市明德中学校考三模）中国古代数学著作《增减算法统
宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，如此六
日过其关.” 则此人在第六天行走的路程是__________里（用数字作答）.
练习27．（2023·贵州遵义·校考模拟预测）公元前1650年的埃及莱因德纸草书上载有如下
问题：“十人分十斗玉米，从第二人开始，各人所得依次比前人少八分之一，问每人各得
玉米多少斗？”在上述问题中，前五人得到的玉米总量为（ ）
A． 斗 B． 斗
C． 斗 D． 斗
练习28．（2023春·安徽·高三合肥市第八中学校联考期中）某公司为庆祝公司成立9周年，
特意制作了两个热气球，在气球上写着“9年耕耘，硕果累累”8个大字，已知热气球在第
一分钟内能上升30m，以后每分钟上升的高度都是前一分钟的 ，则该气球上升到70m高度至少要经过（ ）
A．3分钟 B．4分钟 C．5分钟 D．6分钟
练习29．（2023·四川·校联考模拟预测）“勾股树”，也被称为毕达哥拉斯树，是根据勾
股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形．如图所示，以正方形 的一边为直
角三角形的斜边向外作一个等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的两直角边为正方形的
边长向外作两个正方形，如此继续，若共得到127个正方形，且 ，则这127个正方
形的周长之和为（ ）
A． B．
C． D．
练习30．（2023春·湖北孝感·高三校联考阶段练习）为响应国家号召，某地出台了相关的
优惠政策鼓励“个体经济”.个体户小王2022年6月初向银行借了1年期的免息贷款8000
元，用于进货，因质优价廉，供不应求.据测算：他每月月底获得的利润是该月初投入资金
的20%，并且每月月底需扣除生活费800元，余款作为资金全部用于下月再进货，如此继
续，预计到2023年5月底他的年所得收入（扣除当月生活费且还完贷款）为（ ）元（参
考数据： ， ）
A．35200 B．43200 C．30000 D．32000
题型七 等差、等比数列的综合应用
例13．（2023秋·贵州铜仁·高三统考期末）在正项等比数列 中，若 是 与 的
等差中项，则数列 的公比 ______.
例14．（2023·北京·北京八十中校考模拟预测）已知 是首项为正数，公比不为 的等
比数列， 是等差数列，且 ，那么（ ）
A． B． C． D． 的大小关系
不能确定练习31．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）若分别从下表的第一、二、三
列中各取一个数，依次作为等比数列{ }的 ， ， ；分别从下表的第一、二、三行中
各取一个数，依次作为等差数列 的 ， ， ．
第一列 第二列 第三列
第一行 1 4 7
第二行 3 6 9
第三行 2 5 8
(1)请写出数列{ }，{ }的一个通项公式；
(2)若数列{ }单调递增，设 ，数列{ }的前n项和为 ．求证： ．
练习32．（2023·湖北咸宁·校考模拟预测）设 为公差不为0的等差数列 的前 项和，
若 成等比数列， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
练习33．（2023·河南·校联考模拟预测）定义矩阵运算： ．已知数
列 ， 满足 ，且 ．
(1)证明： ， 分别为等差数列，等比数列．
(2)求数列 的前n项和 ．
练习34．（2023春·北京东城·高三北京市第十一中学校考阶段练习） 是各项均为正数
的等差数列，其公差 ， 是等比数列，若 ， ， 和 分别是
和 的前 项和，则（ ）A． B．
C． D． 和 的大小关系不确定
练习35．（2023·河南·河南省实验中学校考模拟预测）已知等比数列 的公比 ，
前 项和为 ．若 ，且 是 与 的等差中项.
(1)求 ；
(2)设数列 满足 ， ，数列 的前 项和为 .求 ．
