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第二节 函数的性质
第1课时 系统知识牢基础——函数的单调性与最值、奇偶性、周期性
知识点一 函数的单调性
1．增函数与减函数
2．单调区间的定义
若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)
单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．
[提醒] (1)函数单调性定义中的x，x 具有以下三个特征：一是任意性，即“任意两数x，
1 2 1
x∈D”，“任意”两字决不能丢；二是有大小，即xx)；三是同属一个单调区间，
2 1 2 1 2
三者缺一不可．
(2)若函数在区间D上单调递增(或递减)，则对D内任意的两个不等自变量x，x 的值，都有
1 2
>0.
(3)函数f(x)在给定区间上的单调性，是函数在此区间上的整体性质，不一定代表在整个定义
域上有此性质．
3．谨记常用结论
(1)函数f(x)与f(x)＋c(c为常数)具有相同的单调性．
(2)k>0时，函数f(x)与kf(x)单调性相同；k<0时，函数f(x)与kf(x)单调性相反．
(3)若f(x)恒为正值或恒为负值，则f(x)与具有相反的单调性．
(4)若f(x)，g(x)都是增(减)函数，则当两者都恒大于零时，f(x)·g(x)是增(减)函数；当两者都恒
小于零时，f(x)·g(x)是减(增)函数．
(5)在公共定义域内，增＋增＝增，减＋减＝减，增－减＝增，减－增＝减．
(6)复合函数y＝f[g(x)]的单调性判断方法：“同增异减”．
[重温经典]
1．(人教A版教材P39B组T1)函数f(x)＝x2－2x的单调递增区间是( )
A．(1，＋∞) B．(－∞，1)
C．(－1，＋∞) D．(－∞，－1)答案：A
2．(教材改编题)如果二次函数f(x)＝x2－(a－1)x＋5在区间上是增函数，则实数a的取值范围
为________．
解析：∵函数f(x)＝x2－(a－1)x＋5的对称轴为x＝且在区间上是增函数，∴≤，即a≤2.
答案：(－∞，2]
3．函数f(x)＝lg(9－x2)的定义域为________；其单调递增区间为________．
解析：对于函数f(x)＝lg(9－x2)，令t＝9－x2＞0，解得－3＜x＜3，可得函数的定义域为(－
3,3)．
令g(x)＝9－x2，则函数f(x)＝lg(g(x))，又函数g(x)在定义域内的增区间为(－3,0]，所以函数
f(x)＝lg(9－x2)在定义域内的单调递增区间为(－3,0]．
答案：(－3,3) (－3,0]
4．(易错题)设定义在[－1,7]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的增区间为
________．
答案：[－1,1]，[5,7]
5．若函数y＝与y＝log (x－2)在(3，＋∞)上具有相同的单调性，则实数k的取值范围是
3
________．
解析：由于y＝log (x－2)的定义域为(2，＋∞)，
3
且为增函数，
故函数y＝＝＝2＋在(3，＋∞)上也是增函数，则有4＋k＜0，得k＜－4.
答案：(－∞，－4)
6．已知函数f(x)为定义在区间[－1,1]上的增函数，则满足f(x)0)在上的值域为，则a＝________，b＝________.
解析：∵f(x)＝－＋b(a>0)在上是增函数，
∴f(x) ＝f＝，f(x) ＝f(2)＝2.
min max
即解得
答案：1
3．(易错题)函数y＝的值域为________．
解析：法一：由y＝，可得x2＝.由x2≥0，知≥0，解得－1≤y<1，故所求函数的值域为[－1,1)．
法二：由y＝＝＝1＋，
令t＝x2＋1，则t≥1，∴∈[－2,0)，
∴y＝1＋∈[－1,1)，∴所求函数的值域为[－1,1)．
答案：[－1,1)
4．函数f(x)＝的最大值为________．
解析：当x≥1时，函数f(x)＝为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x<1时，
易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.故函数f(x)的最大值为2.
答案：2
5．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为________．
解析：函数f(x)＝－x2＋4x＋a＝－(x－2)2＋4＋a，x∈[0,1]，且函数f(x)有最小值－2.故当x＝
0时，函数f(x)有最小值，当x＝1时，函数f(x)有最大值．∵当x＝0时，f(0)＝a＝－2，∴f(x)＝
－x2＋4x－2，∴当x＝1时，f(x) ＝f(1)＝－12＋4×1－2＝1.
max
答案：1
知识点三 函数的奇偶性
1．函数奇偶性的定义及图象特征
奇函数 偶函数
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x
定义
都有 f ( － x ) ＝－ f ( x ) ，那么函数f(x)就 都有 f ( － x ) ＝ f ( x ) ，那么叫做奇函数 函数f(x)就叫做偶函数
图象特征 关于原点对称 关于 y 轴 对称
2.函数奇偶性的几个重要结论
(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.
(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点
对称的非空数集．
(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的
单调性．
3．有关对称性的结论
(1)若函数y＝f(x＋a)为偶函数，则函数y＝f(x)关于x＝a对称．
若函数y＝f(x＋a)为奇函数，则函数y＝f(x)关于点(a,0)对称．
(2)若f(x)＝f(2a－x)，则函数f(x)关于x＝a对称；若f(x)＋f(2a－x)＝2b，则函数f(x)关于点(a，
b)对称．
[重温经典]
1．(多选)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上是增函数的有( )
2
A．y＝2－|x| B．y＝x
3
C．y＝x2－1 D．y＝x3
解析：选BC A．令y＝f(x)＝2－|x|，f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)，是偶函数，但在(0， ＋∞)
2 2 2
上，y＝2－x是减函数，故A错误；B.令y＝f(x)＝x ，f(－x)＝(－x) ＝x ，是偶函数，且在区
3 3 3
间(0，＋∞)上是增函数，故B正确；C.令y＝f(x)＝x2－1，f(－x)＝(－x)2－1＝x2－1＝f(x)，是
偶函数，且在区间(0，＋∞)上是增函数，故C正确；D.令y＝f(x)＝x3，f(－x)＝ (－x)3＝－
x3＝－f(x)，是奇函数，故D错误．故选B、C.
2．(人教A版教材P39A组T6)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋
x)，则f(－1)＝________.
答案：－2
3．(教材改编题)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2＋1，则f(－2)＋f(0)＝
________.
解析：由题意知f(－2)＝－f(2)＝－(22＋1)＝－5，f(0)＝0，∴f(－2)＋f(0)＝－5.
答案：－5
4．已知函数 f(x)为奇函数且定义域为 R，当 x>0 时，f(x)＝x＋1，则 f(x)的解析式为
________________．
解析：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．
当x＝0时，有f(－0)＝－f(0)，∴f(0)＝0.当x<0时，－x>0.
f(x)＝－f(－x)＝－(－x＋1)＝x－1.
∴f(x)＝
答案：f(x)＝
5．(易错题)已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b 的值是________．
解析：∵f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，∴a－1＋2a＝0，∴a＝.
又f(－x)＝f(x)，∴b＝0，∴a＋b＝.
答案：
6．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝3x＋m(m为常数)，则f(－log 5)的值为
3
________．
解析：当x≥0时f(x)＝3x＋m(m为常数)，则f(0)＝30＋m＝0，解得m＝－1，∴f(x)＝3x－1.∵
函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(－log 5)＝－f(log 5)＝－(3 log35－1)＝－4.
3 3
答案：－4
知识点四 函数的周期性
1．周期函数
对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有 f ( x ＋ T )
＝ f ( x )，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
2．最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最
小正周期．
3．谨记常用结论
定义式f(x＋T)＝f(x)对定义域内的x是恒成立的．
(1)若f(x＋a)＝f(x＋b)，则函数f(x)的周期为T＝|a－b|；
(2)若在定义域内满足f(x＋a)＝－f(x)，f(x＋a)＝，f(x＋a)＝－(a>0)，则f(x)为周期函数，且T
＝2a为它的一个周期．
[重温经典]
1．(教材改编题)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈(－1,1)时，f(x)＝则f＝
________.
答案：1
2．(教材改编题)若f(x)是R上周期为2的函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)＝
________.
解析：由f(x)是R上周期为2的函数知，f(3)＝f(1)＝1，f(4)＝f(2)＝2，∴f(3)－f(4)＝ －1.
答案：－1
3．已知f(x)是R上的奇函数，且对任意x∈R都有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)成立，则f(2 022)＝________.
解析：∵f(x)是R上的奇函数，
∴f(0)＝0，又对任意x∈R都有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)，
∴当x＝－3时，有f(3)＝f(－3)＋f(3)＝0，
∴f(－3)＝0，f(3)＝0，∴f(x＋6)＝f(x)，周期为6.
故f(2 022)＝f(0)＝0.
答案：0
4．偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝________.
解析：因为f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(x)＝f(4－x)，f(－x)＝f(4＋x)，
又f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝f(4＋x)，则f(－1)＝f(4－1)＝f(3)＝3.
答案：3
5．定义在R上的函数f(x)，满足f(x＋5)＝f(x)，当x∈(－3，0]时，f(x)＝－x－1，当x∈(0,2]时，
f(x)＝log x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 021)的值等于________．
2
解析：定义在R上的函数f(x)，满足f(x＋5)＝f(x)，即函数的最小正周期为5.当x∈(0,2]时，
f(x)＝log x，所以f(1)＝log 1＝0，f(2)＝log 2＝1.当x∈(－3,0]时，f(x)＝－x－1，所以f(3)＝
2 2 2
f(－2)＝1，f(4)＝f(－1)＝0，f(5)＝f(0)＝－1.所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 021)＝404×[f(1)
＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)]＋f(1)＝404×1＋0＝404.
答案：404
