文档内容
九年级数学·下 新课标[北师]
第三章 圆
1.经历探索圆及其相关结论的过程,进一步认识和理解研究图形性质的各种方法,发展几何直观和推理
能力.
2.认识圆的轴对称性和中心对称性.
3.探索并认识圆心角、弧、弦之间相等关系的定理,探索并证明垂径定理.
4.探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系,了解并证明圆周角定理及其推论.
5.探索并了解点与圆、直线与圆的位置关系.
6.掌握切线的概念,探索切线与过切线的半径之间的关系,会过圆上一点画圆的切线.
7.探索并证明切线长定理.
8.了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系.
9.会计算圆的弧长、扇形的面积.
10.会利用基本尺规作图:过不在同一直线上的三点作圆;作三角形的外接圆、内切圆;作圆的内接正方
形和正六边形.
1.通过探索,使学生经历“观察——测量——平移——旋转——推理证明”的过程,帮助学生有意识
地积累活动经验,体会分类讨论、数形结合和演绎归纳的数学思想的应用,发展有条理的思考及表达能力.
2.通过折纸、对称、平移、旋转、推理证明的方式,使学生利用多种方法认识圆的有关性质,在探究活
动中去发现问题和提出问题,并在合作交流中解决问题.
1.经历探索圆及其相关结论的过程,发展学生的数学思维能力.
2.通过积极引导,帮助学生有意识地积累活动经验,获得成功的体验.
3.利用现实生活和数学中的素材,设计具有挑战性的情境,激发学生求知、探索的欲望.
本章是在学习了直线型图形的有关性质的基础上,进一步来探索一种特殊的曲线型图形——圆的有关
性质.学生在学习本章之前,已通过折叠、对称、平移、旋转、推理证明等方式认识了许多图形的性质,积
累了大量的空间与图形的经验.本章充分体现了已有经验的作用:利用折叠、旋转的方法探索圆的对称性;
用轴对称变换的方法探索垂径定理及其逆定理,并利用推理证明的方法进行证明;用旋转变换的方法探索圆
心角、弧、弦之间的相等关系的定理并证明;用推理证明的方法研究圆周角和圆心角的关系;用对称变换及
反证法探究切线的性质;用图形运动的方法研究直线与圆的位置关系等.通过本章的学习,对学生今后继续
学习数学,尤其是逐步树立分类讨论、归纳的数学思想起着良好的铺垫作用.同时本章的学习也是高中的数
学学习的基础.【重点】 利用圆的对称性、垂径定理、圆周角和圆心角定理、切线的性质及判定定理和弧长及扇
形的面积公式解决与圆有关的问题.
【难点】 运用圆的有关性质及推论并结合解直角三角形、相似三角形的知识解决相关问题.
1.学生在前面的学习中,已经掌握了很多研究图形的手段和方法,积累了大量研究图形问题的经验.在本
章的教学中,教师要有意识地引导、鼓励学生利用他们所掌握的观察、测量、轴对称、平移、旋转、推理、
证明等多种手段和方法,开展有关的研究活动,从而发现关系,获得结论.在这一过程中,鼓励学生动手、动口、
动脑,帮助他们有意识地积累活动经验,获得成功的体验.
2.学生在前面的学习中,已经积累了大量研究图形问题的经验,感受到了很多研究图形问题的基本思想.
在本章的教学中,教师应继续有意识地引导学生在相关的数学活动中感悟基本的数学思想.比如,在点与圆
的位置关系、直线与圆的位置关系这些内容中,蕴含着分类的思想;在探索圆周角与圆心角之间的关系时,也
涉及分类的思想.又如,推理的思想也是本章内容中蕴含的重要数学思想,其中既有合情推理,也有演绎推理.
此外,本章是图形与几何内容的最后一章,教学中还要有意识地引导学生对有关的数学思想进行归纳、总结
或反思,以提升学生对基本数学思想的领悟水平.
3.与圆有关的证明,《标准》只要求证明垂径定理、圆周角定理及其推论,而且其中的垂径定理和切线
长定理还是选学内容,不作考试要求.因此,教学中要以《标准》和教科书为依据,准确把握证明的深度与广
度.
1 圆 1课时
2 圆的对称性 1课时
*3 垂径定理 1课时
4 圆周角和圆心角的关系 2课时
5 确定圆的条件 1课时
6 直线和圆的位置关系 2课时
*7 切线长定理 1课时
8 圆内接正多边形 1课时
9 弧长及扇形的面积 1课时
回顾与思考 1课时
1 圆1.经历形成圆的概念的过程,经历探索点和圆位置关系的过程.
2.理解圆的概念,理解弦和弧的概念,了解点与圆的位置关系,并能根据条件画出符合条件的点或图形,初
步形成集合的观点.
1.经历探索圆的概念和点与圆的位置关系的过程,发展学生的实践探索能力.
2.了解点与圆的位置关系后,会在简单条件下判断点与圆的位置关系,训练学生的数学应用能力,培养学
生分析问题和解决问题的能力.
1.用生活和生产中的实例激发学生的学习兴趣,唤起学生尊重知识的意识,更加热爱生活.
2.通过操作、讨论、归纳等活动,培养学生的观察想象能力,同时训练他们的语言表达能力,使学生获得
学习数学的经验.
【重点】 理解圆、弦和弧的概念,会判断点与圆的位置关系.
【难点】 能根据条件画出符合条件的点或图形,初步形成集合的观念.
【教师准备】 多媒体课件和教学圆规.
【学生准备】
1.复习以前所了解的圆的相关知识.
2.直尺和圆规.
导入一:
观察下面的图形,你能发现它们有哪些共同特点吗?【学生活动】 学生观察图片后,会发现图中都有圆,让学生再举出一些生活中类似的图形.
【老师引入】 在我们生活中,大家经常可以看到圆这个图形“靓丽”的身影,古希腊数学家毕达哥拉
斯曾经说过:“一切立体图形中最美的是球形,一切平面图形中最美的是圆形.”让我们一起来感受生活中
最美的图形——圆.
[设计意图] 通过多媒体展示现实生活中有关圆的物体图片和名人名言引起学生的注意,使他们感受
数学与现实生活的密切联系,增强学生的数学应用意识,激起学生学习的兴趣,从而引入课题.
导入二:
篝火晚会,是草原人民一种传统的欢庆形式.在用火烤熟食物的过程中,便互相拉手围着火堆跳舞以表
达自己喜悦愉快的心情,这种欢庆的形式一直延续到今天,就形成了现在的篝火晚会.如图所示.
【问题】 你能说明篝火晚会中人们互相拉手围着火堆跳舞时,为什么习惯上围成一个圆圈吗?
[设计意图] 通过篝火晚会引出问题,学生既在了解课外知识的同时,又产生了疑问,为下面圆的概念的
得出埋下了伏笔.
[过渡语] 我们在七年级已经初步了解了圆的概念和相关知识,实际上圆的概念还有另外的一种定义
方法,你想了解吗?
一、圆的概念
【问题】 同学们玩过投圈游戏吗?如图所示,一些学生正在做投圈游戏,他们的投圈目标都是图中的
花瓶.如果他们呈“一”字排开,这样的队形对每个人都公平吗?你认为他们应当排成什么样的队形才公平?
老师引导学生分析并回答下面的问题:1.这样的队形对每个人来说显然不公平,因为他们到花瓶的距离不相等.
2.他们应该怎样排才是公平的?
3.上面的“花瓶”和导入中的“火堆”可以看做什么?所有人到它们的距离有什么关系?
【学生活动】 学生观察后并思考,大胆猜测,得出结论:
1.这样的队形对每个人来说显然不公平,因为他们到花瓶的距离不相等.
2.他们可以围成一个圆形,使每个同学到花瓶的距离相等,才能对每个同学都公平.
3.“花瓶”和“火堆”可以看做是一个定点,所有人到它们的距离都相等,可以看成是定长.
【老师点评】 圆可以看成是到定点的距离等于定长的所有点组成的图形,定点就是圆心,定长就是半
径.以点O为圆心的圆记作☉O,读作“圆O”.
【画一画】 请同学们利用圆规画一个圆.
大部分学生产生了疑惑:在哪画圆?画多大的圆?
【师生活动】 师借机引导学生发现问题:要确定一个圆,需要满足什么条件呢?
【学生小结】 确定一个圆的要素:(1)圆心;(2)半径.
【老师强调】 确定一个圆需要两个要素,一是位置,二是大小;圆心确定其位置,半径确定其大小.只有
圆心没有半径,虽圆的位置固定,但大小不定,因而圆不确定;只有半径而没有圆心,虽圆的大小固定,但圆心的
位置不定,因而圆也不确定.只有圆心和半径都固定,圆才被唯一确定.
[设计意图] 在七年级圆的概念的基础上,又利用集合的观点对圆进行定义,提高了学生对集合思想的
初步认识.
[过渡语] 通过上面的探究,我们已经了解了圆的定义,下面我们来探究和圆有关的一些概念.
二、弦和弧的概念
课件出示:
如图所示:
(1)圆中的线段AB是 ,线段CD是 .
(2)线段AB和线段CD有什么关系?
(3)点A,B之间的部分是什么?点C,D之间的部分是什么?
(4)弧有几种类型?怎么样区分呢?
(5)如何理解等圆和等弧的概念?
【学生活动】 学生通过自学的方式,逐一完成题目的回答,然后小组互相交流,代表发言.
【老师点评】
1.连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫做直径.
2.圆上任意两点间的部分叫做圆弧.
3.圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧都叫做半圆.
4.弧包括优弧和劣弧,大于半圆的弧叫做优弧,小于半圆的弧叫做劣弧.
5.能够重合的两个圆叫做等圆.
6.在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧.
【老师强调】 等弧的前提条件是在同圆或等圆中.
[设计意图] 通过两个探究活动引出圆及其相关的概念,明确确定圆的两个要素的作用,为下面的点和
圆的位置关系的探究打下了良好的基础.
[知识拓展]⏜ ⏜ ⏜
1.弧的表示法:如图所示,以B,C为端点的弧有两条:优弧BDC,记作BDC,劣弧BAC,记作BC或BAC.
优弧(大于半圆)
{
2.弧的分类:弧 半圆
劣弧(小于半圆)
[过渡语] 平面上,点与圆的位置关系有几种?我们如何判断它们之间的关系呢?
三、点与圆的位置关系
课件出示:
【想一想】 如图所示,☉O是一个半径为r的圆.在圆内、圆外、圆上分别取一点,点到圆心的距离为
d,你能用r与d的大小关系刻画它们的位置特征吗?
【师生活动】 学生动手操作画图,师巡视,观察学生画的图,教师在黑板上演示出所有的作图类型:
【问题】
1.在画图的过程中你认为点与圆有几种位置关系?
2.我们如何确定点与圆有几种位置关系?
【学生活动】 学生独立思考后小组讨论,代表发言.
【教师点评】
1.点与圆的位置关系有三种:点在圆外、点在圆上、点在圆内.
2.点在圆外,即d>r;点在圆上,即d=r;点在圆内,即dr;②点在圆上⇔d=r;③点在
圆内⇔dr;点在圆上⇔d=r;点在圆内
⇔d7,∴点B在圆P内、点C在圆P外.)
5.C (解析:∵OA=OD,∴∠ODA=∠OAD=55°,∵AD∥OC,∠AOC=∠OAD=55°,∴∠BOC=180°-∠AOC=125°.故选C.)
8
6.2或 (解析:设x秒后点P在圆O上,∵圆O从原点0开始以每秒1个单位长度的速度向右运动,同时,原点
3
右边距原点7个单位长度有一点P以每秒2个单位长度的速度向左运动,∴当第一次点P在圆上时,
8 8
(2+1)x=7-1=6,解得x=2;当第二次点P在圆上时,(2+1)x=7+1=8,解得x= .故填2或 .)
3 3
7.解:(1)当0❑√5 cm,∴点
B在☉C外.由中线性质得CM=❑√5 cm,∴点M在☉C上.
9.解:由题意可知AB=2.5 m,AC=1.5 m,小狗在地面上环绕跑时,圆的半径为❑√2.52-1.52=2.0(m),小狗活
动的最大区域是以2.0 m长为半径的圆,如图所示.
由于学生在七年级就掌握了圆及其相关概念,容易造成学生的学习兴趣不高,所以本节课一开始就通过
展示生活中有关圆的实物图,深深地吸引学生,使其产生很大的兴趣,让其体会到数学来源于生活,激发出学
生的求知欲.由于本节课的知识点比较简单,所以本节课主要以学生自主探究为主,合作探究为辅的方式进
行教学.让学生通过观察、猜想、动手操作等过程,积极主动地探究规律,通过归纳、综合概括或引申发展,
从而有所发现,并提出一般技巧和规律,有效地突破了学习的重难点,调动学生的积极思维,培养了学生理解
和分析能力.本节课教学容量较大,没能留给学生充分的时间进行拓展延伸,下次教学还要把概念教学的时间缩短,为
后面拓展延伸留更多的时间.
为了满足不同层次学生的需要,要对问题设置与提问进行分层设计,为每一位学生提供充分展示自己的
机会.
随堂练习(教材第66页)
1.解:将绳子的一端A固定,然后拉紧绳子的另一端B,并绕A在地上转一圈,B所经过的路径就是所要画的圆.
2.解:小明投的铅球落在区域5~6 m内,小华投的铅球落在区域6~7 m内.
习题3.1(教材第68页)
1.解:以柱脚为圆心,5 m长为半径画圆,此圆在草地上的部分是羊活动的区域.
2.(1)☉O外 (2)☉O内 (3)5
3.解:分别以A,B为圆心,以2 cm长为半径画☉A和☉B,在☉A内部且又在☉B外部所组成的图形即为所求.如
右图所示.
4.解:小明可能,如:1+1+1+1+1+3=8(分);小华不可能,因为最多只能得到9×6=54(分);小红可能,如:
5+5+5+5+7+1=28(分).
1.本节课的知识点主要是圆及其相关的概念,所以内容比较简单,学生通过自主探究基本上可以掌握,可
以利用观察、猜想、动手操作的方式进行探究.
2.要对探究的结论及时进行归纳总结,要得出一般性的结论,为知识的运用打下良好的基础,对于本节课
的难点,可以通过小组的交流合作进行突破.
已知AB=4 cm,画图说明满足下列条件的图形.
(1)到点A和B的距离都等于3 cm的所有点组成的图形;
(2)到点A和B的距离都小于3 cm的所有点组成的图形;
(3)到点A的距离大于3 cm,且到点B的距离小于2 cm的所有点组成的图形.
〔解析〕 (1)到点A和B的距离都等于3 cm的点为两圆的公共点;(2)在☉A内也在☉B内的点满足到
点A和B的距离都小于3 cm;(3)在☉A外,在☉B内的点满足条件.
解:(1)如图(1)所示,分别以点A和点B为圆心,3 cm长为半径画☉A与☉B,两圆的交点C,D为所求.(2)如图(1)所示,分别以点A和点B为圆心,3 cm长为半径画☉A与☉B,两圆的重叠部分为所求,不算边界.
(3)如图(2)所示,以点A为圆心,3 cm长为半径画☉A,以点B为圆心,2 cm长为半径画☉B,则☉B内除去两
圆的重叠部分为所求.
2 圆的对称性
1.经历探索圆的对称性及相关性质的过程.
2.理解圆的中心对称性及圆心角、弧、弦之间的相等关系.
3.进一步体会和理解研究几何图形的各种方法.
1.经历探索圆的对称性及相关性质的过程,进一步体会和理解研究几何图形的各种方法.
2.培养学生独立探索、相互合作交流的精神.
1.结合本课教学内容向学生渗透事物之间可相互转化的辩证唯物主义教育.
2.渗透圆的内在美,并使得学生在小组合作中尝试交流,在“做数学”中体会数学的严谨性.
【重点】 理解并掌握圆的对称性及圆心角、弧、弦之间的相等关系.
【难点】 应用圆心角、弧、弦之间的相等关系定理解决有关问题.
【教师准备】 多媒体课件和教学圆规.
【学生准备】
1.复习圆心角、弧、弦等概念以及旋转的有关知识.
2.圆规和自制圆形纸片.导入一:
同学们,通过上节课的学习我们对圆已经有了初步的认识,圆与我们的生活有着密切的联系.请欣赏下
面一些生活中美丽的图案,让我们一起走进圆的美丽世界.
课件出示:
【引入】 因为有圆,万物才显得富有生机, 我们的生活才会如此的美好!这些图案蕴含着一种对称美,
你知道圆是什么样的对称图形吗?
[设计意图] 从美丽和谐的图案出发,发现圆的对称美的同时,开门见山引入新课,具有明显对比的图片
非常容易激发学生的兴趣和引起学生的共鸣,提高了学生的学习兴趣,同时也让学生体会到数学来源于生活,
增强学好本节课的信心.
导入二:
我们已经学习了几何图形的对称性,圆是什么对称图形?请说明理由.
[设计意图] 通过问题的形式,直入正题,让学生对本节课的探究内容一目了然.
[过渡语] 我们已经了解了一些几何图形的对称性,既有轴对称图形,也有中心对称图形,那么圆是什么
对称图形呢?
一、圆的对称性
课件出示:
如图所示,圆是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴?
思路一
猜想
【学生活动】 学生凭借经验猜想:圆是轴对称图形,有无数条对称轴的结论.
教师引导学生思考:圆的对称轴是直径还是直径所在的直线?
【教师点评】 圆是轴对称图形,有无数条对称轴,对称轴是直径所在的直线.
思路二
折纸
【学生活动】 学生交流后,想到可以利用折叠的方法,解决上述问题.
学生利用自制的圆形纸片边动手实验,边思考把一个圆对折以后,圆的两部分重合,折痕是一条过圆心的
直线,由于过圆心可以作无数条直线,这样便可知圆有无数条对称轴.
师出示折叠示意图:
【学生活动】 学生观察分析这些对称轴的特点,发现它们都经过圆心.
【教师点评】 圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条过圆心的直线.[过渡语] 通过上面的实验,我们探索了圆的轴对称性,下面我们继续通过实验探索圆是不是中心对称
图形.
课件继续出示:
【想一想】 一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,还能与原来的图形重合吗?
【学生活动】 学生利用准备好的圆,同伴合作,共同操作完成,交流得出结论.
【师生小结】 一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与原来的图形重合.
【教师点评】 一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与原来的图形重合的性质就是圆的旋转
不变性;而圆的中心对称性是其旋转不变性的一个特例.
圆是中心对称图形,对称中心为圆心.
[设计意图] 问题可以激发学生学习数学的兴趣,而兴趣又是最好的老师.通过设计一连串的问题情境
容易引发学生学习和探究的兴趣,在动手操作中既复习圆的意义,又探索出圆的对称性.
二、圆心角、弧、弦之间相等关系定理
[过渡语] 通过上面的探究,我们得到了圆的旋转不变性,下面我们继续实验,看看圆还有哪些性质定理.
课件出示:
【做一做】 在等圆☉O 和☉O'中,分别作相等的圆心角∠AOB和∠A'O'B'(如图所示),将两圆重叠、并
固定圆心,然后将其中一个圆旋转一个角度,使得OA与O'A'重合,你能发现哪些等量关系?说一说你的理由.
【活动方式】 分小组进行实验操作,小组之间交流.
【师生活动】 教师巡视、指导学生,等学生完成后,请各小组组长汇总,展示结果,教师板书.
思路一
旋转能使∠AOB和∠A'O'B'完全重合,从而可以得到
⏜ ⏜
OA=OB=O'A'=O'B',∠OAB=∠OBA=∠O'A'B'=∠O'B'A',AB=A'B',AB=A'B',是通过证明△AOB≌△A'O'B'得到
的.
思路二
⏜ ⏜
由两圆旋转可知:点A与点A'重合,点B与点B'重合, 所以AB=A'B',AB=A'B'(叠合法).
【学生小结】 在等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等.
【问题】 你能对圆心角、弧、弦之间的相等关系进行证明吗?
【学生活动】 学生先独立解答,然后互相讨论交流.代表展示:
证明:∵半径OA与O'A'重合,∠AOB=∠A'O'B',
∴半径OB与O'B'重合.
∵点A与点A'重合,点B与点B'重合,
⏜ ⏜
∴AB与A'B'重合,弦AB与弦A'B'重合.
⏜ ⏜
∴AB=A'B',AB=A'B'.
【议一议】 上面的结论,在同圆中成立吗?
【学生活动】 学生思考、猜想后得出肯定的结论.
【教师点评】 圆心角、弧、弦之间相等关系定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对
的弦相等.[过渡语] 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,会得出什么样的结论?
课件出示:
【想一想】
(1)在同圆或等圆中,如果两个圆心角所对的弧相等,那么它们所对的弦相等吗?这两个圆心角相等吗?
(2)在同圆或等圆中,如果两条弦相等,你能得出什么结论?
【学生活动】 学生思考、猜想后得出结论,然后互相交流、讨论,统一想法.
【教师活动】 要求学生说明得出的结论的理由.(证明△AOB≌△A'O'B'或叠合法)
【师生总结】 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应
的其余各组量都分别相等.
【教师强调】 注意事项:
(1)不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件.
(2)此定理中的“弧”一般指劣弧.
(3)要结合图形深刻体会圆心角、弧、弦这三个概念和“所对”一词的含义,否则易错用此关系.
[设计意图] “学起于思,思起于疑,无疑则无知”,所以通过让学生提出疑难,再解决疑难的方式来理解
圆心角、弧、弦之间相等关系定理的含义,从而引发出圆心角、弧、弦之间相等关系定理的逆定理.
[过渡语] 通过上面的探究过程,我们掌握了圆心角、弧、弦之间的关系,你能运用这些知识解决下面
的问题吗?
课件出示:
⏜ ⏜
如图所示,AB,DE是☉O 的直径,C是☉O上的一点,且AD=CE.BE与CE的大小有什么关系?为
什么?
〔解析〕 通过观察可以猜想BE=CE.因为BE与CE都是☉O的弦,要证明弦相等,可证明弦所对的弧
⏜ ⏜ ⏜ ⏜ ⏜ ⏜
相等,因为AD=BE,又AD=CE,继而可得BE=CE.
解:BE=CE.理由是:
∵∠AOD=∠BOE,
⏜ ⏜
∴AD=BE.
⏜ ⏜
又∵AD=CE,
⏜ ⏜
∴BE=CE.
∴BE=CE.
【议一议】 在得出本节结论的过程中,你用到了哪些方法?与同伴进行交流.
【学生活动】 学生思考后进行交流,得出本节课采用的方法:折叠、轴对称、旋转、推理证明等.
[设计意图] 本环节主要是通过例题透析,训练学生的知识综合应用能力,使其在巩固应用的基础上,拓
展知识面,培养他们的概括、推理能力.1.圆的对称性:轴对称图形和中心对称图形.
2.圆心角、弧、弦之间的关系:在同圆或等圆中,①圆心角相等,②所对的弧相等,③所对的弦相等,三项
“知一推二”,一项相等,其余二项皆相等.
1.下列命题中,正确的是( )
A.圆只有一条对称轴
B.圆的对称轴不止一条,但只有有限条
C.圆有无数条对称轴,每条直径都是它的对称轴
D.圆有无数条对称轴,每条直径所在的直线都是它的对称轴
解析:圆有无数条对称轴,每条对称轴都是直径所在的直线.故选D.
2.若圆的一条弦把圆分成度数比为1∶3的两条弧,则优弧所对的圆心角为 ( )
A.45° B.90° C.135° D.270°
解析:如图所示,∵圆的一条弦把圆分成度数比为1∶3的两条弧,∴∠AOB∶大角∠AOB=1∶3,∴大角
3
∠AOB=360°× =270°.故选D.
4
⏜ ⏜ ⏜
3.如图所示,已知AB是☉O的直径,BC=CD=DE,∠BOC=40°,那么∠AOE等于 ( )
A.40° B.60° C.80° D.120°
⏜ ⏜ ⏜
解析:∵BC=CD=DE,∠BOC=40°,∴∠BOE=3∠BOC=120°,∴∠AOE=180°-∠BOE=60°.故选B.
(第4题图)
4.如图所示,直尺ABCD的一边与量角器的零刻度线重合,若从量角器的中心O引射线OF经过刻度
120°,交AD于点E,则∠DEF= .解析:由已知量角器的一条刻度线OF的读数为120°,即∠BOF=120°,得∠COF=180°-
∠BOF=60°,∵AD∥BC,∴∠DEF=∠COF=60°.故填60°.
2 圆的对称性
1.圆的对称性.
(1)圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条过圆心的直线.
(2)圆是中心对称图形,对称中心为圆心.
2.圆心角、弧、弦之间相等关系定理.
(1)在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等.
(2)在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量
都分别相等.
一、教材作业
【必做题】
1.教材第72页随堂练习第1,2,3题.
2.教材第72页习题3.2第1,2题.
【选做题】
教材第73页习题3.2第3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.如图所示,在☉O中,∠B=37°,则劣弧AB 的度数为 ( )
A.106° B.126° C.74° D.53°
⏜ ⏜
2.如图所示,在☉O中,AB=AC,∠A=30°,则∠B等于 ( )
A.150° B.75° C.60° D.15°
⏜ ⏜
3.如图所示,ABD=BDC,若AB=3,则CD= .4.如图所示,AB是☉O的直径,点C在☉O上,∠AOC=40°,D是弧BC的中点,则∠ACD= .
【能力提升】
5.如图所示,AB是☉O的直径,四边形ABCD内接于☉O,若BC=CD=DA=4 cm,则☉O的周长为 ( )
A.5π cm B.6π cm C.9π cm D.8π cm
6.(2014·菏泽中考)如图所示,在△ABC中,∠C=90°,∠A=35°,以点C为圆心,BC为半径的圆交AB于点D,交AC
⏜
于点E,则BD的度数为 .
⏜ ⏜
7.如图所示,AC=CB, D,E分别是半径OA和OB的中点,CD与CE的大小有什么关系?为什么?
【拓展探究】
⏜ ⏜ ⏜
8.如图所示,AB是☉O的直径,点C,D在圆上,且CD=BD.若∠AOD=110°,求AC的度数.【答案与解析】
1.A(解析:连接OA,∵OA=OB,∠B=37°,∴∠A=∠B=37°,∠O=180°-2∠B=106°.)
180°-30°
⏜ ⏜
2.B(解析:在☉O中,∵AB=AC,∴AB=AC,∴△ABC是等腰三角形,∴∠B=∠C.又∠A=30°,∴∠B=
2
=75°.故选B.)
⏜ ⏜ ⏜ ⏜ ⏜ ⏜ ⏜ ⏜
3.3 (解析:∵ABD=BDC,∴ABD-BD=BDC-BD,即AB=CD,∴CD=AB=3.)
4.125°(解析:连接OD,∵AB是☉O的直径,∠AOC=40°,∴∠BOC=140°,∠ACO=70°,∵D是弧BC的中点,
∴∠COD=70°,∴∠OCD=55°,∴∠ACD=∠ACO+∠OCD=70°+55°=125°.)
⏜
5.D (解析:如图所示,连接OD,OC.∵AB是☉O的直径,四边形ABCD内接于☉O,BC=CD=DA=4 cm,∴AD=
⏜ ⏜
CD=BC,∴∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°.又OA=OD,∴△AOD是等边三角形,∴OA=AD=4 cm,∴☉O的周长
=2×4π=8π(cm).故选D.)
⏜
6.70°(解析:∵∠C=90°,∠A=35°,∴∠B=55°,连接CD,∵CB=CD,∴∠BDC=55°,∴∠BCD=70°.∴BD的度数为70°.)
⏜ ⏜
7.解:CD=CE.理由如下:如图所示,连接OC,∵D,E分别是OA,OB的中点,∴OD=OE,又∵AC=CB,
∴∠DOC=∠EOC,又OC=OC,∴△CDO≌△CEO,∴CD=CE.
⏜ ⏜
8.解:如图所示,连接OC.∵∠AOD=110°,∴∠DOB=70°.又∵CD=BD,∴∠COD=∠DOB=70°,∴∠AOC=∠AOD-
⏜
∠COD=110°-70°=40°,∴AC的度数为40°.本节课首先利用课件出示生活中的圆形图片,利用圆的对称美引入新课,极大地活跃了课堂气氛,激发了
学生学习的积极性.然后在课堂上可以先给学生留有充足的动手实验和思考的时间,在学生探究完成后利用
多媒体进行动态演示,使探究的结论更加直观形象.同时,通过学生自己动手体验知识的形成过程,使学生获
得成功的体验,使他们的观察、分析、归纳等能力都得到了进一步提升.
本节课学生操作和自主学习的时间较多,所以教学时间不太容易把握,造成不能顺利完成课堂教学任务.
合理安排时间,对于有些学生感觉有难度的知识点,可以通过小组交流讨论,这样既可以增强交流的意识,
又节约了时间.
随堂练习(教材第72页)
1.解:如碗口、圆桌、方向盘等.
2.解:如图所示.答案不唯一.
⏜ ⏜ ⏜
3.解:四边形OACB是菱形.理由如下:如图所示,∵C是AB的中点,∴AC=BC.又
∵∠AOB=120°,∴∠AOC=∠BOC=60°.∵OA=OC=OB,∴△AOC和△BOC都是等边三角形.∴OA=OB=AC=BC.∴四
边形OACB是菱形.
习题3.2(教材第72页)
⏜ ⏜
1.解:△ABC与△DCB全等.理由如下:∵AB=DC,BC=CB,∴AC=DB,∴AC=DB.∴在△ABC与△DCB中,
AB=DC,BC=CB,AC=DB,∴△ABC≌△DCB(SSS).1
2.解:(1)OE=OF.理由如下:∵OE⊥AB,OF⊥CD,OA=OB,OC=OD,∴∠OEB=∠OFD=90°,∠EOB= ∠AOB,∠FOD=
2
1
∠COD,∵∠AOB=∠COD,∴∠EOB=∠FOD,∵在△EOB和△FOD中,∠OEB=∠OFD,
2
⏜ ⏜
∠EOB=∠FOD,OB=OD,∴△EOB≌△FOD(AAS),∴OE=OF. (2)AB=CD,AB=CD,∠AOB=∠COD.理由如下:
∵OE⊥AB,OF⊥CD,∴∠OEB=∠OFD=90°,∵在Rt△BEO和Rt△DFO中,
⏜ ⏜
OB=OD,OE=OF,∴Rt△BEO≌Rt△DFO(HL),∴BE=DF,同理,AE=CF,∴AB=CD,∴AB=CD,∠AOB=∠COD.
⏜ ⏜
3.解:CD=BD.理由如下:连接
⏜ ⏜
OC,∵OD∥AC,∴∠BOD=∠A,∠ACO=∠COD.∵OA=OC,∴∠A=∠ACO,∴∠BOD=∠COD,∴CD=BD.
1.本节课的重点是通过实验探究出圆的对称性,并利用对称性总结归纳出圆心角、弧、弦之间的相等
关系,所以动手操作是学生探究学习的重点.
2.让学生在课前预习的同时准备好本节课所需要的学具;在探究的过程中,要亲身体验实验过程,切记眼
高手低,要在与同伴一起的操作过程中深刻理解圆的对称性,并对所探究出的结论进行及时总结,得出一般性
的结论.
3.要注意类比、转化、数形结合思想在探究过程中的运用.
*3 垂径定理
1.利用圆的轴对称的性质探索垂径定理及其逆定理.
2.运用垂径定理及其逆定理进行有关的计算和证明,并能解决一些实际问题.
3.进一步体会和理解研究几何图形的各种方法.
1.经历探索垂径定理和推论的证明过程,掌握由猜测到论证的证明思路和探索方法的多样性.
2.学会与人合作探索获得新知识的一些方法.通过学习垂径定理及其逆定理的证明,使学生领会数学的严谨性和探索精神,培养学生实事求是的科学
态度和积极参与的主动精神.
【重点】
1.利用圆的轴对称的性质探索垂径定理及其逆定理的过程.
2.垂径定理的简单应用.
【难点】 运用垂径定理及其逆定理解决有关的实际问题.
【教师准备】 多媒体课件和圆规.
【学生准备】
1.复习轴对称的知识和圆心角、弧、弦之间的关系.
2.圆规、直尺以及圆形纸片.
导入一:
如右图所示,“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的问题:“今有圆材,埋在壁中,不知大
小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何.”用几何语言可表述为:CD为☉O的直径,弦AB⊥CD于E,CE=1
寸,AB=10寸,则直径CD的长为多少?
【问题】 当弦AB⊥CD时,你能得出哪些相等的线段?相等的弧?相等的角?
[设计意图] 利用古代数学问题引入,让学生了解本节课的探究任务的同时,又感受到了中国古代劳动
人民的聪明才智,再次体会数学的博大精深.
导入二:
如图所示,一只聪明的小蚂蚁想吃点B处的糖,欲沿着弦AB的方向由点A处爬向点B处,如果已知☉O
的半径为5,弦AB的长为8,你知道小蚂蚁在爬行的过程中什么时候离圆心O最近吗?你能帮助它求出这个
最近距离吗?【学生活动】 学生互相讨论解决问题的方法并猜想:应该是爬到线段AB的中点处时,离圆心O的距
离最近.
【问题】 为什么到线段AB的中点处时离圆心O的距离最近呢?最近的距离又是多少呢?
[设计意图] 由学生熟悉的小蚂蚁找食物的生活情境入手,让学生通过观察、猜想发现不能解决的问
题,不但逐步引出本节课的课题,同时又有效地激发了学生的学习热情.
[过渡语] 上节课我们探究了圆的对称性中的中心对称的性质,本节课我们继续探讨圆的轴对称的性
质.
一、垂径定理
【做一做】 如右图所示,AB是☉O的一条弦,作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.
【活动方式】 学生前后四人一组,分工合作,互相帮助,动手画圆、剪圆,按轴对称图形的探究方法探
究,寻找活动过程中产生的直径、弦、弧的关系并总结.给学生留出充分的时间在小组内讨论、交流,教师
要深入到小组中指导.
问题1
此图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
【学生分析】 这个图是轴对称图形,对称轴是直径CD所在的直线.
问题2
你能发现图中有哪些等量关系?说一说你的理由.
【学生活动】 学生统一答案后,代表发言:我们采用折叠的方法.方法如下:将这个图沿着直径CD折
⏜ ⏜ ⏜ ⏜
叠,发现AM与BM重合,∠CMA与∠CMB重合,∠DMA与∠DMB重合,AC与BC重合,AD与BD重合,所以
⏜ ⏜ ⏜ ⏜
等量关系有AM=BM, ∠CMA=∠CMB=90°,∠DMA=∠DMB=90°,AC=BC,AD=BD.
【教师点评】 平分弦AB所对的弧指平分弦AB所对的优弧和劣弧.我们上面这个结论称为垂径定理.
垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.
【教师强调】 垂径定理的注意事项:
(1)条件中的“弦”可以是直径;
(2)结论中的“弧”指平分弦所对的劣弧、优弧.
⏜ ⏜ ⏜ ⏜
符号语言:∵CD是圆的直径,CD⊥AB于M,∴AM=BM,AC=BC,AD=BD .
[过渡语] 上面我们是利用折叠的方法得出了垂径定理,我们能不能对垂径定理进行推理证明呢?你能
写出它的证明过程吗?
【师生活动】 学生思考后认为:可以利用轴对称的性质,通过三角形全等进行证明.学生独立解答,代
表板演展示.教师课件出示解题过程,规范学生的解题步骤.⏜
如右图所示,已知AB是☉O的一条弦,CD是☉O的一条直径,并且CD⊥AB,垂足为M.求证AM=BM, AC
⏜ ⏜ ⏜
=BC,AD=BD.
证明:连接OA,OB, 则OA=OB.
在Rt△OAM和Rt△OBM中,
∵OA=OB,OM=OM,
∴Rt△OAM≌Rt△OBM.
∴AM=BM,∠AOC=∠BOC.
⏜ ⏜
∴AC=BC.
∵∠AOD=180°-∠AOC,
∠BOD=180°-∠BOC,
∴∠AOD=∠BOD.
⏜ ⏜
∴AD=BD.
[设计意图] 让学生在探究的过程中得出垂径定理,并能快速、准确地将该定理的三种语言进行转化.
应鼓励学生用多种方法进行探讨,体会研究图形的多种方法.
[知识拓展] 1.垂径定理是在圆中证明线段相等及弧相等的一种非常好的方法.
2.连接半径是圆中最常用的辅助线作法.
[过渡语] 你能说出垂径定理的逆命题吗?它的逆命题正确吗?
二、垂径定理的逆定理
课件出示:
如右图所示,AB是☉O的弦(不是直径),作一条平分AB的直径CD,交AB于M.
(1)此图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
(2)你能发现图中有哪些等量关系?说一说你的理由.
【活动方式】 类比刚才的探究垂径定理的方法,学生先独立思考,然后让学生分组讨论,各组选派代表
发言,全班交流,达成共识.之后教师用课件展示解题思路.
教师引导学生思考下面的问题:
1.类比垂径定理的语言描述,你能总结得出结论吗?
2.平分弦中的弦可以是直径吗?3.你得出的结论和垂径定理有什么区别?
【师生总结】 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.
【教师点拨】 我们把“平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧”称为垂径定理的
逆定理.
⏜ ⏜ ⏜ ⏜
符号语言表示:∵CD是圆的直径,CD平分AB (AB不是直径),∴CD⊥AB,AC=BC,AD=BD.
[设计意图] 在垂径定理的逆定理的环节的处理上,学生可以类比垂径定理的探讨方法,所以这里尽量
放手学生,并让学生再次体会研究图形的多种方法,教师此时只要起到辅助、提升的作用即可.
[知识拓展] 垂径定理及逆定理的运用方法为知二推二:在 “①直径、②垂直于弦、③平分弦、④平
分弧” 四个结论中,已知其中的两个结论就可以推导出其他的两个结论.
[过渡语] 我们已经掌握了垂径定理及其逆定理,下面就让我们在实战中检验一下我们的理解、掌握
程度吧!
三、垂径定理的应用
课件出示:
⏜ ⏜
如右图所示,一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中CD,点O是CD所在圆的圆心),其中
⏜
CD=600 m,E为CD上一点,且OE⊥CD,垂足为F,EF=90 m.求这段弯路的半径.
【学生活动】 观察示意图,分析题目的已知和要求的结果,寻求相互关系,然后尝试独立解答,再与小
组其他同学交流,确定解题思路.
【教师活动】 要求学生独立解答,并与个别学生交流解题的思想方法,找代表在黑板上板演过程,并说
明为什么这样解答.师课件出示,规范学生的解题步骤.
〔解析〕 连接OC,根据垂径定理可得CF=300 m,设圆弧的半径是R,OF=R-90,OC=R, 在Rt△OCF中,
根据勾股定理可得OC的长,即可求得半径.
解:如图所示,连接OC,
设弯路的半径是R,则OF=(R-90)m.
∵OE⊥CD,
1 1
∴CF= CD= ×600=300(m).
2 2
在Rt△OCF中,根据勾股定理,
得OC2=CF2+OF2,
即R2=3002+(R-90)2,
解这个方程,得R=545.
所以这段弯路的半径是545 m.
[设计意图] 让学生亲身经历数学知识发生、发展、形成的过程或让学生参与探索数学问题解决的全
过程,给出相对充足的时间让学生去观察、猜想、验证、讨论,允许学生出错和走弯路,只有这样,学生才能
在探究活动中获得学习方法,发展数学能力,形成良好的思维品质,这也正是数学教育的终极目标.1.垂径定理.
2.垂径定理的逆定理.
3.总结研究图形的常用方法.
4.运用垂径定理及逆定理进行计算和推理.
1.如图所示,☉O的半径为5,弦AB的长为8,点M在线段AB(包括端点A,B)上移动,则OM的取值范围是
( )
A.3≤OM≤5
B.3≤OM<5
C.4≤OM≤5
D.4≤OM<5
解析:当M与A或B重合时,OM达到最大值,即圆的半径5;当OM⊥AB时,OM取最小值,为❑√52-42=3.
故OM的取值范围是3≤OM≤5.故选A.
2.如图所示,在☉O中,OC⊥弦AB于点C,AB=4,OC=1,则OB的长是 .
1 1
解析:∵OC⊥弦AB于点C,∴BC=AC= AB= ×4=2,在Rt△OBC中,OC=1,BC=2,∴OB=❑√OC2+BC2=
2 2
❑√5.故填❑√5.
3.如图所示,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB,垂足为P.若CD=8,OP=3,则☉O的半径为 .
1 1
解析:连接OC,∵CD⊥AB,CD=8,∴PC= ·CD= ×8=4,在Rt△OCP中,∵PC=4,OP=3,∴OC=
2 2
❑√PC2+OP2=❑√42+32=5.故填5.4.如图(1)所示,水平放置的一个油管的截面半径为13 cm,其中有油部分油面宽AB为24 cm,求截面上有
油部分油面高CD.
解析:根据垂径定理,易知AC,BC的长,连接OA,根据勾股定理即可求出OC的长,进而可求出CD的值.
解:如图(2)所示,连接OA.
根据垂径定理,得AC=BC=12 cm.
在Rt△OAC中,OA=13 cm,AC=12 cm.
根据勾股定理,得OC=❑√OA2-AC2=5 cm,
∴CD=OD-OC=8 cm.
∴油面高CD为8 cm.
*3 垂径定理
1.垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.
2.垂径定理的逆定理:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.
3.垂径定理的应用.
一、教材作业
【必做题】
1.教材第76页随堂练习第1,2题.
2.教材第76页习题3.3第1,2题.
【选做题】
教材第77页习题3.3第3,4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.绍兴是著名的桥乡,如图所示,石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8 m,桥拱半径OC为5 m,则水面宽AB为
( )
A.4 m B.5 m
C.6 m D.8 m
2.如图所示,☉O的直径AB=12,CD是☉O的弦,CD⊥AB,垂足为P,且BP∶AP=1∶5,则CD的长为 ( )A.4❑√2 B.8❑√2
C.2❑√5 D.4❑√5
3.如图所示,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,点P在第一象限,☉P与x轴交于O,A两点,点A的坐标为
(6,0),☉P的半径为❑√13,则点P的坐标为 .
【能力提升】
4.CD是☉O的一条弦,作直径AB,使AB⊥CD,垂足为E,若AB=10,CD=8,则BE的长是 ( )
A.8 B.2
C.2或8 D.3或7
⏜
5.如图所示,将☉O沿弦AB折叠,使AB经过圆心O,则∠OAB= .
6.如图所示,已知在☉O中,弦AB的长为24 cm,半径为13 cm,过O作OC⊥AB,求点O与AB的距离.
7.(2015·邵阳中考)如图所示,某窗户由矩形和弓形组成,已知弓形的跨度AB=3 m,弓形的高EF=1 m,现计划安
⏜
装玻璃,请帮工程师求出AB所在圆O的半径r.【拓展探究】
8.已知△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,在BC上取一点O,以O为圆心,OB为半径作圆,且☉O过A点,连接OA.
(1)如图(1)所示,若☉O的半径为5,求线段OC的长;
BD
(2)如图(2)所示,过点A作AD∥BC交☉O于点D,连接BD,求 的值.
AC
【答案与解析】
1.B(解析:如图所示,连接OA,∵桥拱半径OC为5 m,∴OA=5 m,∵CD=8 m,∴OD=8-5=3(m),∴AD=
❑√OA2-OD2=❑√52-32=4(m),∴AB=2AD=2×4=8(m).故选D.)
1 1 1
2.D(解析:∵☉O的直径AB=12,∴OB= AB=6,∵BP∶AP=1∶5,∴BP= AB= ×12=2,∴OP=OB-BP=6-
2 6 6
2=4,∵CD⊥AB,∴CD=2PC.如图所示,连接OC,在Rt△OPC中,∵OC=6,OP=4,∴PC= ❑√OC2-OP2=
❑√62-42=2❑√5,∴CD=2PC=2×2❑√5=4❑√5.故选D.)
1
3.(3,2)(解析:过点P作PD⊥x轴于点D,连接OP,∵A(6,0),PD⊥OA,∴OD= OA=3,在Rt△OPD中,∵OP=❑√13
2
,OD=3,∴PD=❑√OP2-OD2= ❑√(❑√13) 2-32=2,∴P(3,2).故填(3,2).)1 1 1
4.C(解析:如图所示,连接OC,∵直径AB⊥CD,∴CE=DE= CD= ×8=4,在Rt△OCE中,OC= AB=5,∴OE=
2 2 2
❑√OC2-CE2=3,当点E在半径OB上时,BE=OB-OE=5-3=2,当点E在半径OA上时,
BE=OB+OE=5+3=8,∴BE的长为2或8.故选C.)
1
⏜
5.30°(解析:过点O作OC⊥AB于点D,交☉O于点C,∵将☉O沿弦AB折叠,使AB经过圆心O,∴OD=
2
1
OC,∴OD= OA,∵OC⊥AB,∴∠OAB=30°.故填30°.)
2
1
6.解:如图所示,连接OA.∵OC⊥AB于点C,∴AC= ·AB=12 cm,∵OA=13 cm,∴OC=❑√OA2-AC2=
2
❑√132-122=5(cm),即O与AB的距离为5 cm.
1 3
7.解:∵弓形的跨度AB=3 m,EF为弓形的高,∴OE⊥AB,∴AF= AB= m,∵AB 所在圆O的半径为r,弓形的高
2 2
(3) 2 13
EF=1 m,∴AO=r,OF=r-1,在Rt△AOF中,AO2=AF2+OF2,即r2= +(r-1)2,解得r= (m).答: AB 所在圆O的
2 8
13
半径为 m.
8
8.解:(1)∵△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,∴∠B=∠C=30°,∵OA=OB,∴∠BAO=∠B=30°,∴∠AOC=30°
+30°=60°,∠OAC=90°,∵OA=5,∴OC=2AO=10. (2)连接OD,由(1)知
∠AOC=60°,∵AD∥BC,∴∠DAO=∠AOC=60°,∵OD=OA,∴∠ADO=60°,∴∠DOB=∠ADO=60°,∵OD=OB,∴△DOB是
BD ❑√3
等边三角形,∴BD=OB=OA,在Rt△OAC中,由(1)知OC=2BD,由勾股定理得AC=❑√3BD,∴ = .
AC 3由于本节课知识容量较大,为了让学生能直观、快速的理解所研究的知识,所以利用课件及学生的动手
操作相结合的方法.首先让学生通过观察、猜想、实验、形成感性上的认识,然后再过渡到理性的思考.这
不仅增加了学生学习本节知识的兴趣信心,而且也降低了对垂径定理及其逆定理理解的难度.对于逆定理的
探究引导学生采用类比垂径定理探究的方法进行,这样既增加了学生的亲切度,还节约时间,为例题的解决保
留了充足的时间.
教学中,由于一部分成绩优秀的学生的抢先发言,使基础差的学生被动地接受了知识,导致这些学生在解
题时思路不是太清晰.
在探究的过程中,给学生留出充足的思考时间,不要让基础好的学生代替了其他同学的意愿.
随堂练习(教材第76页)
(
37.4) 2
1.解:根据图示可知AB=37.4,CD=7.2.在Rt△AOD中,OA2=AD2+OD2,即R2= +(R-7.2)2.解得
2
R≈27.9.答:拱桥所在圆的半径约为27.9 m.
2.解:相等.理由如下:如图所示,AB,CD为☉O的两条弦,且AB∥CD,作半径OE⊥AB,则OE⊥CD.∵OE⊥AB,∴
⏜ ⏜ ⏜ ⏜ ⏜ ⏜ ⏜ ⏜ ⏜ ⏜
AE=BE.∵OE⊥CD,∴ CE=DE .∴AE -CE =BE -DE ,则 AC= BD.即两条平行弦所夹的弧相等.
习题3.3(教材第76页)
1.解:连接OA.∵AB⊥CD,∴AE=BE.∵AB=10,∴AE=5.在Rt△AOE中,
∵OA2=OE2+AE2,∴OA2=(OA-1)2+52,∴OA=13,∴CD=2AO=26(寸).答:直径CD的长为26寸.
1 1
2.解:过点O作OC⊥AB于C,则AC= AB= ×36=18(mm),∴OC=❑√OA2-AC2=❑√302-182
2 2
AC 18 3
=24(mm),∴cos∠OAB= = = .
OA 30 5
3.解:AC=BD.过点O作OE⊥AB于E,则AE=EB,CE=ED, ∴AC=DB.
4.提示:(1)连接OM;(2)过点M作OM的垂线,交☉O于点A,B.AB即为所求作的弦,如图所示.1.本节课的主要任务是利用圆的轴对称性探究出垂径定理,所以让学生通过动手操作利用课前准备好
的圆进行作图,然后通过折叠即可得到所需要的等量关系.首先通过观察、猜想、实验形成感性上的认识,
然后再过渡到理性的思考.
2.对于垂径定理的逆定理的探究,可以利用类比垂径定理的探究方法来进行.
3.通过对垂径定理的特征图形的分析,培养学生抓特征图形的能力,对图形可以进行合理的分析,同时可
以提高应用图形的能力.
一个半圆形桥洞截面如图所示,圆心为O,直径AB是河底线,弦CD是水位线,CD∥AB,且CD=16
4
m,OE⊥CD于点E.已测得sin∠DOE= .
5
(1)求半径OD;
(2)根据需要,水面要以每小时0.5 m的速度下降,则经过多长时间才能将水排干?
〔解析〕 (1)由OE⊥CD,根据垂径定理求DE,解Rt△DOE可求半径OD;(2)在Rt△DOE中,由勾股定理
求OE,再用OE长度÷水面下降速度求出时间.
解:(1)∵OE⊥CD于E,CD=16,
1
∴ED= CD=8.
2
ED 4
在Rt△DOE中,∵sin∠DOE= = ,
OD 5
∴OD=10(m).
(2)在Rt△DOE中,OE=❑√OD2-DE2=❑√102-82=6(m).根据题意知水面要以每小时0.5 m的速度下
降,即时间t=6÷0.5=12(小时),故将水排干需12小时.
〔注意事项〕 本题考查了垂径定理的运用.关键是由垂径定理求DE,解直角三角形求半径OD,利用
勾股定理求水面高度OE.
4 圆周角和圆心角的关系1.经历探索圆周角和圆心角及其所对弧的关系的过程.
2.理解圆周角的概念,了解并证明圆周角定理及其推论.
3.理解圆的内接四边形的性质.
1.经历探索圆周角和圆心角及其所对弧的关系的过程,培养学生观察、分析、猜想、归纳和逻辑推理
的能力.
2.通过渗透分类讨论、归纳等数学思想方法,培养学生的探究意识和探索新知识的能力.
在经历探索圆周角和圆心角关系的过程中,感受探索的艰辛与喜悦,体验数学活动充满着探索与创造,激
发学生的学习欲望.
【重点】
1.掌握圆周角定理及其证明过程.
2.运用圆周角定理及其推论解决相关问题.
3.圆的内接四边形的性质及其应用.
【难点】
1.圆周角定理的证明过程.
2.体会分类讨论、归纳等数学思想方法的应用.
第 课时
1.理解圆周角的概念,掌握圆周角和圆心角之间的关系(圆周角定理)及其推论1,并会运用它们进行有关
的证明和运算.
2.理解并掌握圆周角和圆心角之间的关系(圆周角定理)的证明方法.
经历探索圆周角和圆心角的关系的过程,学会以特殊情况为基础,通过转化来解决一般性问题的方法,渗
透分类的数学思想.
通过观察、猜想、验证、推理,培养学生探索数学问题的能力和方法.【重点】 掌握圆周角的概念、圆周角定理及推论1及其证明过程.
【难点】 了解圆周角与圆心的三种位置关系,用化归思想合情推理验证圆周角定理.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】
1.复习三角形外角的知识和圆的基础知识.
2.圆规和直尺.
导入一:
课件出示:
如图所示,有一只小蚂蚁从C点出发,沿着圆周的方向逆时针爬行,在爬行的过程中,蚂蚁所在的点B与
点A,C所组成的∠ABC的度数会发生变化吗?若∠AOC=60°,那么∠ABC的度数可能是多少?
学生猜测:∠ABC的度数应该不会发生变化,∠ABC的度数可能是30°.
【问题】 ∠ABC是什么角?圆心角∠AOC和∠ABC之间有什么样的关系?
[设计意图] 通过活泼的小蚂蚁的运动,让学生初步感知圆周角的基本概念以及圆周角与圆心角的关
系,使学生对本节课的探究任务一目了然.
导入二:
课件出示:
同学们,你们喜欢踢足球吗?看了2014年巴西世界杯和2015年加拿大女足世界杯了吗?(投影展示世界
杯的精彩片段)
【问题】 请同学们想一想,球员射中球门的难易与什么有关?
【学生活动】 学生思考后积极回答,学生的答案可能会五花八门.
【引导】 射门球员与两个门柱组成的角度会决定球员射中球门的难易程度,相信学完本节课的知识
你就可以解决这个问题了.[设计意图] 由学生熟知的世界杯为引子,创设问题情境,吸引学生的注意,激发学生的学习兴趣.复习所
学过的圆心角,并且引出要学习的圆周角,引导学生在观察图形的基础上进行独立思考,然后再进行合作交流,
最后达成共识.
[过渡语] 前面我们了解了圆心角,同学们知道吗,其实它还有一个同胞兄弟——圆周角,那么什么样的
角是圆周角,它和圆心角有什么关系呢?
一、圆周角的概念
课件出示:
如图所示,球员射中球门的难易程度与他所处的位置B对球门AC的张角(∠ABC)有关.当球员分别站在
B,D,E的位置上射门时,哪个位置进球的可能性大?
【学生活动】 学生思考后并猜测,可能会有大部分的学生认为在D处进球的可能性大,也有学生认为
一样大.
【教师活动】 教师对于学生的回答,暂时不做评论,教师出示动画效果的视频进行演示,继续引导学生
思考下面的问题.
【问题】 图中的三个角∠ABC,∠ADC,∠AEC,以前见过这种类型的角吗?它们有什么共同特征?
【学生活动】 生观察后,与同伴交流,代表小结三个角的共同特征:(1)角的顶点在圆上;(2)角在圆的内
部;(3)角的两边都与圆相交.
【教师点评】 我们把具有这样特征的角称为圆周角.
圆周角的概念:顶点在圆上,两边分别与圆还有另一个交点,像这样的角,叫做圆周角.
【教师强调】 理解圆周角的概念的两个特征:
(1)角的顶点在圆上;
(2)角的两边都与圆相交.
[过渡语] 同学们了解了圆周角的概念,通过下面的题目,来检测一下同学们对圆周角概念的理解程度.
课件出示:
判断下列图中的角是否是圆周角,并说明理由.【学生活动】 先让学生观察思考,独立判断,基础差的学生回答,并说明是与不是的理由.
[设计意图] 让学生学好基础知识、基本概念,识别其内容反映出来的数学思想和方法,培养学生的基
本技能及分析问题和解决问题的能力,使学生通过自己的观察与探索,发现、理解并掌握圆周角的定义.
[过渡语] 我们知道圆周角和圆心角只有一字之差,它们都是圆中具有明显特征的角,这两者之间有什
么关系吗?
二、圆周角与圆心角的关系
课件出示:
【做一做】 如图所示,∠AOB=80°.
问题1
⏜
请你画出几个AB所对的圆周角,这几个圆周角有什么关系吗?请与同伴进行交流.
教师引导学生动手操作并思考下面的问题:
1.你所画出的圆周角的度数之间有什么关系?你是怎么得到这个结论的?
2.你能画出多少个圆周角?
【师生活动】 要求学生动手操作,师巡视,发现学生出现的问题,及时纠正.学生独立完成并与同伴进
行交流后,代表发言.⏜
1.使用量角器进行测量可得AB所对的圆周角的度数都相等.
2.可以画出无数个相等的圆周角.
问题2
这些圆周角与圆心角∠AOB的大小有什么关系?你是怎么发现的?与同伴进行交流.
【师生活动】 学生继续进行操作,师参与其中.
⏜
【学生活动】 学生独立完成并与同伴进行交流后,代表发言.利用量角器得出AB所对的圆周角都等
⏜
于40°,都等于AB所对的圆心角80°的一半.
【议一议】 如果改变图中的∠AOB的度数,上面的结论还成立吗?
【活动方式】 分组探究,分别以∠AOB的度数为30°,90°,120°和150°为例,分四组练习,得出结论.再结
合各组的结论,总结出圆周角与圆心角之间的关系.
【师生小结】 圆周角定理:圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
[过渡语] 刚才我们是通过测量得到的这个结论,那么你能对这个定理进行证明吗?
【师生活动】 要求同学们仔细观察刚才所画的圆周角,和其他同学对照一下.
【学生活动】 学生在小组内交流、汇总,并在全班交流、补充.
【教师归纳】 圆周角与圆心的位置关系只有三种:
(1)圆心在圆周角的一边上(如图(1)所示);
(2)圆心在圆周角的内部(如图(2)所示);
(3)圆心在圆周角的外部(如图(3)所示).
【教师活动】 要求学生独立写出已知和求证,并利用图(1)进行证明.
教师引导学生思考下面的问题:
1.△AOC是什么三角形?
2.∠AOB与△AOC有什么关系?
⏜ ⏜ 1
代表展示:如图(1)所示,∠ACB是AB所对的圆周角,∠AOB是AB所对的圆心角.求证∠C= ·∠AOB.
2
证明:圆心O在∠C的一条边上,如图(1)所示.
∵∠AOB是△AOC的外角,
∴∠AOB=∠A+∠C.
∵OA=OC,
∴∠A=∠C.
∴∠AOB=2∠C,
1
即∠C= ∠AOB.
2
【做一做】 请你完成其他两种情况的证明.
教师引导学生思考下面的问题:
1.证明圆周角定理的主要思路是什么?
2.我们用推理论证的方法得到了第一种情况结论是成立的.对于第二、三种情况都可以转化成圆心在
圆周角的一边上的情况去处理.如何进行转化呢?【师生活动】 学生分组讨论,师要参与其中,对有困难的小组进行指点.
代表发言:
1.主要是利用等腰三角形的外角的知识进行证明.
2.可以通过作直径的方法进行转化.
【活动方式】 分成四组解答,第一、三组利用图(2)进行证明,第二、四组利用图(3)进行证明.
【学生活动】 学生讨论后,理清了思路,独立解答.找2名学生代表板演展示.
【教师活动】 师利用多媒体出示证明过程,规范学生的证明步骤.
证明:圆心O在圆周角的内部(如图所示).
1 1
在☉O中作直径CD,由前面的结论可知∠ACD= ∠AOD,∠BCD= ∠BOD,
2 2
1 1
∴∠ACD+∠BCD= ∠AOD+ ∠BOD.
2 2
1
即∠ACB= ∠AOB.
2
证明:圆心O在圆周角的外部(如图所示).
1 1
在☉O中作直径CD,由前面的结论可知∠ACD= ∠AOD,∠BCD= ∠BOD,
2 2
1 1
∴∠ACD-∠BCD= ∠AOD- ∠BOD.
2 2
1
即∠ACB= ∠AOB.
2
[设计意图] 通过测量和推理证明两种方式得出圆周角的判定定理,加深了学生对于圆周角定理的理
解,为下面的运用奠定了良好的基础.
[过渡语] 直到现在有同学还存有疑问,开始时的足球射门游戏中到底在哪个点的射门更容易一些呢?
课件出示:
【想一想】 在射门游戏中,当球员在B,D,E处射门时,所形成的三个张角∠ABC,∠ADC,∠AEC的大小
有什么关系?你能用圆周角定理证明你的结论吗?⏜
学生分析:如图所示,因为∠ABC,∠ADC,∠AEC都是同一条AC所对的圆周角,根据圆周角定理,它们都等
⏜
于AC所对的圆心角∠AOC度数的一半,所以这三个角都相等.
【问题】 根据上述探究的结论,以及三个圆周角的共性,你还能得出什么样的结论?
【师生总结】 圆周角定理推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等.
【想一想】 你现在知道球员在哪个位置把球射进球门的可能性大了吗?
学生统一了想法:因为∠ABC=∠ADC=∠AEC,所以球员在B,D,E处把球射进球门的可能性是一样大的.
[设计意图] 利用情境题及时巩固新知,使每个学生都有收获,感受成功的喜悦,充分肯定探索活动的意
义,提高学生的积极性和主观能动性.
[知识拓展] 在同一个圆中,同弦所对的圆周角可能相等也可能互补.如图所示.
【教师强调】
(1)“同弧”指“同一个圆”.
(2)“等弧”指“在同圆或等圆中”.
(3)“同弧或等弧”不能改为“同弦或等弦”.
1.圆周角的概念.
2.圆周角定理.
3.圆周角定理的证明方法.
4.圆周角定理的推论1.
⏜
1.(2014·温州中考)如图所示,已知A,B,C在☉O上,ACB为优弧,下列选项中与∠AOB相等的是 (
)
A.2∠C B.4∠B
C.4∠A D.∠B+∠C
解析:由圆周角定理可得∠AOB=2∠C.故选A.
2.如图所示,在☉O中,AC∥OB,∠BAO=25°,则∠BOC的度数为 ( )
A.25° B.50° C.60° D.80°解析:∵OA=OB,∴∠B=∠BAO=25°,∵AC∥OB,∴∠BAC=∠B=25°,∴∠BOC=2∠BAC=50°.故选B.
3.如图所示,☉O的直径CD⊥AB,∠AOC=50°,则∠CDB的大小为 .
1
⏜ ⏜
解析:由垂径定理,得AC=BC,∴∠CDB= ·∠AOC=25°.故填25°.
2
⏜
4.如图所示,☉O是△ABC的外接圆,点D为AC上一点,∠ABC=∠BDC=60°,AC=3 cm,求△ABC的周长.
⏜ ⏜
解:∵BC=BC,
∴∠BDC=∠BAC.
∵∠ABC=∠BDC=60°,
∴∠ABC=∠BAC=60°,∴∠ACB=60°.
∴△ABC为等边三角形.
∵AC=3 cm,∴△ABC的周长为3×3=9(cm).
第1课时
1.圆周角的概念:顶点在圆上,两边分别与圆还有另一个交点的角.
2.圆周角定理:圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
3.圆周角定理的推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等.
一、教材作业
【必做题】
1.教材第80页随堂练习第1,2题.2.教材第80页习题3.4第1,2,3题.
【选做题】
教材第81页习题3.4第4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.(2014·山西中考)如图所示,☉O是△ABC的外接圆,连接OA,OB,∠OBA=50°,则∠C的度数为 ( )
A.30° B.40° C.50° D.80°
2.(2014·株洲中考)如图所示,点A,B,C都在圆O上,如果∠AOB+∠ACB=84°,那么∠ACB的大小是 .
3.如图所示,边长为1的小正方形网格中,☉O的圆心在格点上,则∠AED的余弦值是 .
【能力提升】
4.(2014·齐齐哈尔中考)如图所示,在☉O中,OD⊥BC,∠BOD=60°,则∠CAD的度数等于 ( )
A.15° B.20° C.25° D.30°
⏜
5.如图所示,点E是BC的中点,点A在☉O上,AE交BC于D.求证BE2=AE·DE.
6.如图所示,A,B,C,D是☉O上的四点,AB=AC,AD交BC于点E,AE=2,ED=4,求AB的长.7.如图所示,在半径为5 cm的☉O中,直径AB与弦CD相交于点P,∠CAB=50°,∠APD=80°.
(1)求∠ABD的大小;
(2)求弦BD的长.
【拓展探究】
8.(2015·安徽中考)在☉O中,直径AB=6,BC是弦,∠ABC=30°,点P在BC上,点Q在☉O上,且OP⊥PQ.
(1)如图(1)所示,当PQ∥AB时,求PQ的长度;
(2)如图(2)所示,当点P在BC上移动时,求PQ长的最大值.
【答案与解析】
1
1.B(解析:∵OA=OB,∠OBA=50°,∴∠OAB=∠OBA=50°,∴∠AOB=180°-50°×2=80°,∴∠C= ∠AOB=40°.故选B.)
2
2.28° (解析:∵∠AOB=2∠ACB,∠AOB+∠ACB=84°,∴3∠ACB=84°,∴∠ACB=28°.故填28°.)
2❑√5
⏜
3. (解析:∵∠AED与∠ABC都对应AD,∴∠AED=∠ABC,在Rt△ABC中,AB=2,AC=1,根据勾股定理得BC=
5
2 2❑√5
❑√5,则cos∠AED=cos∠ABC= = .)
❑√5 5
⏜ ⏜ 1 1
4.D (解析:∵在☉O中,OD⊥BC,∴BD=CD,∴∠CAD= ∠BOD= ×60°=30°.故选D.)
2 2
⏜ ⏜ ⏜
5.证明:∵点E是BC的中点,∴BE=CE.∴∠BAE=∠CBE,∵∠E=∠E(公共角),
∴△BDE∽△ABE,∴BE∶AE=DE∶BE,∴BE2=AE·DE.
AB AE
6.解:∵在☉O中,AB=AC,∴弧AB=弧AC.∴∠ABC=∠D.又∠BAE=∠DAB,∴△ABE∽△ADB.∴ = ,即
AD AB
AB2=AE·AD=2×6=12.∴AB=2❑√3.7.解:(1)∵∠APD是△APC的外角,∠CAB=50°,∠APD=80°,∴∠C=80°-50°=30°,∴∠ABD=∠C=30°. (2)如图所示,
❑√3 3❑√3
过点O作OE⊥BD于点E,则BD=2BE,由(1)知∠ABD=30°,OB=5 cm,∴BE=OB·cos 30°=3× =
2 2
3❑√3
(cm),∴BD=2BE=2× =3❑√3(cm).
2
OP
8.解:(1)连接OQ,如图(1)所示,∵PQ∥AB,OP⊥PQ,∴OP⊥AB,在Rt△OBP中,∵tan B= ,∴OP=3tan 30°=❑√3,
OB
在Rt△OPQ中,∵OP=❑√3,OQ=3,∴PQ=❑√OQ2-OP2=❑√6. (2)连接OQ,如图(2)所示,在Rt△OPQ中,PQ=
1 3
❑√OQ2-OP2=❑√9-OP2,∴当OP的长最小时,PQ的长最大,此时OP⊥BC,则OP= OB= ,∴PQ长的
2 2
√ (3) 2 3❑√3
最大值为 ❑9- = .
2 2
本节课教学设计上,一是注重了创设情境,激发学生学习的兴趣、主动性和求知欲望,为下一步教学的顺
利展开开个好头;二是注重了引导学生经历探索、验证、论证、应用数学新知的过程,鼓励学生用动手实践、
自主探究、合作交流的学习方法进行学习,使学生在数学活动中深刻地理解知识和掌握由特殊到一般的认
知方法.探索并证明圆周角和圆心角的关系,学生解决起来是有一定难度的,教学时可以给学生留出充足的
时间和空间,让他们进行思考、交流.学生在经历画图、猜想、推理、交流、严格证明等过程后,自己得出
了结论,收到了预期的效果.
在学生证明圆周角定理时由于引导效果不好,导致有些学生解决问题还有困难,不知如何入手.
今后在教学中多训练学生的思维能力,再放手,采取结对子帮扶,充分发挥小组长的示范作用.练习(教材第80页)
1 1
1.解:∠A= ∠BOC= ×50°=25°.
2 2
2.解:∠BDC=∠BAC.相等的角还有:∠ADB=∠ACB,∠DBA=∠DCA,∠CAD=∠CBD.
习题3.4(教材第80页)
1 1
1.解:∠ACB=2∠BAC.∵∠ACB= ∠AOB, ∠BAC= ∠BOC,且∠AOB=2∠BOC, ∴∠ACB=2∠BAC.
2 2
1 1
2.解:∵∠C=100°,∴∠BOD(大于180°的)=200°,∴∠BOD(小于180°的)=160°,∴∠A= ∠BOD= ×160°=80°.
2 2
3.解:尽量保证同排的人视角相同.
4.解:当船位于安全区域时,∠α小于“危险角”.
对于圆周角的概念的得出,可以通过对情境题的仔细观察就可以直接得出圆周角的概念,而定理的探索,
则需要通过动手操作,利用量角器测量的方法得出圆周角与圆心角之间的关系.对于圆周角定理的证明遵循
“由特殊到一般”的方法,对于三种可能性的证明则可以利用“转化”的思想方法进行解决.
第 课时
1.掌握圆周角定理的另外两个推论,会熟练运用这两个推论解决相关问题.
2.掌握圆的内接四边形的概念及性质,并能加以熟练运用.
1.培养学生观察、分析及理解问题的能力.
2.在学生自主探索推论的过程中,经历猜想、推理、验证等环节,获得正确的学习方式.
通过观察、猜想、验证、推理,培养学生的探索精神和解决问题的能力.
【重点】 圆周角定理的两个推论及圆的内接四边形性质的应用.
【难点】 理解推论的“题设”和“结论”,灵活运用推论进行问题的“转化”.【教师准备】 多媒体课件和圆规.
【学生准备】
1.复习圆周角定理.
2.圆规.
导入一:
某种零件加工时,需要把两个半圆环形拼成一个完整的圆环,并确定这个圆环的圆心,在加工时首先要检
测两个半圆环形是否合格.检测方法如图(1)所示,把直角钢尺的直角顶点放在圆周上,如果在移动钢尺的过
程中,钢尺的两个直角边始终和A,B两点接触,并且直角顶点一直在圆周上,就说明这个半圆环形是合格的.
把两个合格的半圆环形拼接在一起就形成了如图(2)所示的一个圆环.你能说明其中的原因吗?
学生看完介绍后,思考原因,并回答下面的问题:
1.线段AB表示的是什么?它所对的角度是多少度?
2.线段AB所对的是一个怎样特殊的角?
学生猜测:线段AB可能是直径,它所对的角度应该是90°.
【教师引入】 上节课我们了解了圆周角定理,这节课我们探究一下最长的弦——直径所对的圆周角
的特征.
[设计意图] 利用情境引入,吸引了学生的注意力,激发了他们的求知欲望,使他们急于想知道答案,同时
也在提出的问题中了解了本节课所要探究的内容,一举两得.
导入二:
如图所示,小花同学设计了一个直径的测量器,标有刻度的尺子在O点钉在一起,并使它们保持垂直,在
测直径时,把O点靠在圆周上,交圆于E,F两点,读得刻度OE=8 cm,OF=6 cm,她就认为圆的直径为10 cm.你
同意她的做法吗?
学生分析题目中的数量关系:如果连接EF,因为圆周角∠FOE是90°,在Rt△EOF中,利用勾股定理可以得
出EF=10 cm.
【问题】 为什么90°的圆周角所对的弦EF是直径?那么直径所对的圆周角又是多少度呢?[设计意图] 通过对直径测量器的研究,学生初步了解了90°的圆周角与直径之间存在着一定的联系,为
下面圆周角定理的推论的得出打下了良好的基础.
[过渡语] 通过前面的学习,我们知道了弧与圆周角之间存在着一定的关系,那么最长的弦——直径与
圆周角之间是否也存在着一定的关系呢?
一、圆周角定理推论2
课件出示:
如图所示,BC是☉O的直径,它所对的圆周角有什么特点?你是如何得出这个结论的呢?
【学生活动】 学生动手操作,作出直径BC不同方向的圆周角,完成后运用自己的方法进行判断.
【教师活动】 让学生说出得出结论的理由.
学生分析:
1.结论:直径BC所对的圆周角等于90°.
2.方法:
方法1:运用量角器.
方法2:利用三角板的直角进行测量.
【教师点评】 直径BC所对的圆周角是直角,因为一条直径将圆分成了两个半圆,而半圆所对的圆心
角是∠BOC=180°,所以所对的圆周角∠BAC=90°.
圆周角定理推论:直径所对的圆周角是直角.
[过渡语] “直径所对的圆周角是直角”的逆命题是什么?这个逆命题也成立吗?
课件出示:
【想一想】 如图所示,圆周角∠A=90°,弦BC是直径吗?为什么?
师引导学生思考:
1.能不能直接证明BC是直径?
2.作辅助线时,是要分别连接OB,OC,还是直接连接BC?
【师生活动】 学生分组讨论,统一意见,师参与其中,及时给予指点.
解:弦BC是直径.理由如下:如图所示,连接OB,OC.
∵圆周角∠BAC=90°,
∴圆心角∠BOC=180°,
即BOC是一条线段,
∴BC是☉O的一条直径.
师重点提示:这里要分别连接OB,OC,而不是直接连接BC.
【学生小结】 圆周角定理推论:90°的圆周角所对的弦是直径.
【师生小结】 圆周角定理推论2:直径所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径.
【教师点评】 圆周角定理这一推论应用非常广泛,一般地,如果题目的已知条件中有直径时,往往作出
直径所对的圆周角——直角;如果需要直角或证明垂直时,往往作出直径即可解决问题.运用圆周角定理的
推论作辅助线的口诀记忆法:“见直径出直角”,“见直角连直径”.
[设计意图] 教师通过组织、点拨、引导,促进学生主动探索,积极思考,总结规律,充分发挥学生的主体
作用.
[过渡语] 我们已经掌握了圆周角定理及其一些推论,你能利用所学知识解决圆内接四边形中的问题
吗?
二、圆内接四边形的性质
课件出示:
【议一议】 如图所示,A,B,C,D是☉O上的四点,AC为☉O的直径,∠BAD与∠BCD之间有什么关系?为
什么?
【学生活动】 学生观察后,把得出的结论与同伴交流,然后统一答案,并说出理由.
学生分析:
结论:∠BAD+∠BCD=180°.
理由:∵AC为☉O的直径,∴∠ABC=∠ADC=90°.∴∠BAD+∠BCD=180°.
课件继续出示:
【变式训练】 如图所示,点C的位置发生了变化,∠BAD与∠BCD之间的关系还成立吗?为什么?
【学生活动】 学生小组交流后得出结论,代表发言:
结论:∠BAD+∠BCD=180°.
理由:∵优弧BCD和劣弧BAD的度数和为360°,那么它们所对的圆心角的和也是360°,∴它们所对的圆
周角∠BAD和∠BCD的和是180°.
【教师点评】 圆内接四边形的概念:四个顶点都在圆上的四边形叫做圆内接四边形.这个圆叫做四边
形的外接圆.
推论3:圆内接四边形的对角互补.
[设计意图] 学生互相交流讨论,总结规律,通过教师把问题进一步深化,引导学生逐步得出探究问题的
“由特殊到一般”的数学思想方法.[过渡语] 上面我们探究的是圆内接四边形的内对角之间的关系,那么它的外角和它的内对角又存在
什么样的关系呢?
课件出示:
【想一想】 如图所示,∠DCE是圆内接四边形ABCD的一个外角,∠A与∠DCE的大小有什么关系?
学生分析:由圆内接四边形的性质可得∠A+∠BCD=180°,∵∠BCD +∠DCE =180°,∴∠A=∠DCE.
【师生小结】 圆内接四边形性质的推论:圆内接四边形的任何一个外角等于它的内对角(就是和它相
邻的内角的对角).
[设计意图] 通过对问题的探究,不但进一步理解了圆内接四边形的性质,同时也得出了圆内接四边形
的外角的性质,一举两得.
[知识拓展] 1.本节课用到的数学方法:
(1)度量与证明:比如说在探究直径所对的圆周角这一定理时.
(2)类比:比如说在探究圆内接四边形的性质时.
(3)由特殊到一般:比如说在探究圆内接四边形的性质时.
2.运用圆周角的推论作辅助线的口诀记忆法:
(1)直径所对的圆周角是直角→“见直径出直角”;
(2)90°的圆周角所对的弦是直径→“见直角连直径”.
1.圆周角定理推论2.
2.圆内接四边形的概念和性质(推论3).
3.运用圆周角定理的推论作辅助线的口诀记忆法.
1.(2014·台州中考)从下列直角三角板与圆弧的位置关系中,可判断圆弧为半圆的是 ( )
解析:∵直径所对的圆周角等于直角,∴直角三角板与圆弧的位置关系中,可判断圆弧为半圆的是B.故选
B.
2.如图所示,四边形ABCD为圆内接四边形,E是AD延长线上一点,如果∠B=60°,那么∠EDC等于 (
)
A.120° B.60° C.40° D.30°
解析:∵四边形ABCD为圆内接四边形,∠B=60°,∴∠ADC=180°-∠B=180°-
60°=120°,∵∠ADC+∠EDC=180°,∴∠EDC=180°-120°=60°.故选B.3.(2014·兰州中考)如图所示,△ABC为☉O的内接三角形,AB为☉O的直径,点D在☉O上,∠ADC=54°,则
∠BAC的度数等于 .
⏜
解析:∵∠ABC与∠ADC是AC所对的圆周角,∴∠ABC=∠ADC=54°,∵AB为☉O的直径,
∴∠ACB=90°,∴∠BAC=90°-∠ABC=90°-54°=36°.故填36°.
4.(2015·泰州中考)如图所示,☉O的内接四边形ABCD中,∠A=115°,则∠BOD等于 .
解析:∵∠A=115°,∴∠C=180°-∠A=65°,∴∠BOD=2∠C=130°.故填130°.
5.如图所示,☉O是△ABC的外接圆,AB是☉O的直径,D为☉O上一点,OD⊥AC,垂足为E,连接BD.
(1)求证BD平分∠ABC;
(2)当∠ODB=30°时,求证BC=OD.
证明:(1)∵OD⊥AC,OD为半径,
⏜ ⏜
∴CD=AD,
∴∠CBD=∠ABD,∴BD平分∠ABC.
(2)∵OB=OD,∴∠OBD=∠ODB=30°,
∴∠AOD=∠OBD+∠ODB=30°+30°=60°,
∵OD⊥AC于E,∴∠OEA=90°,
∴∠A=180°-∠OEA-∠AOD=180°-90°-60°=30°,
又∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°.
1
∴在Rt△ACB中,BC= AB,
21
∵OD= AB,∴BC=OD.
2
第2课时
1.圆周角定理推论:直径所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径.
2.圆内接四边形的概念:四个顶点都在圆上的四边形叫做圆内接四边形.这个圆叫做四边形的外接圆.
3.圆内接四边形的性质:
(1)圆内接四边形的对角互补.
(2)圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角.
一、教材作业
【必做题】
1.教材第83页随堂练习第1,2,3题.
2.教材第83页习题3.5第1,2,3题.
【选做题】
教材第84页习题3.5第4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.(2014·湖州中考)如图所示,已知AB是△ABC外接圆的直径,∠A=35°,则∠B的度数是 ( )
A.35° B.45° C.55° D.65°
2.(日照中考)如图所示,在△ABC中,以BC为直径的圆分别交边AC,AB于D,E两点,连接BD,DE.若BD平分
∠ABC,则下列结论不一定成立的是 ( )
A.BD⊥AC B.AC2=2AB·AE
C.△ADE是等腰三角形 D.BC=2AD
3.如图所示,四边形ABCD内接于圆O,若∠BOD=130°,则∠DCE= .4.(2014·黔西南中考)如图所示,AB是☉O的直径,AB=15,AC=9,则tan∠ADC= .
【能力提升】
5.(2014·自贡中考)如图所示,在半径为1的☉O中,∠AOB=45°,则sin C的值为 ( )
❑√2 ❑√2-❑√2
A. B.
2 2
❑√2+❑√2 ❑√2
C. D.
2 4
6.如图所示,△ABC内接于☉O,∠BAC=120°,AB=AC,BD为☉O的直径,AD=6,则DC= .
7.如图所示的是以△ABC的边AB为直径的半圆O,点C恰好在半圆上,过C作CD⊥AB交AB于D.已知
3
cos∠ACD= ,BC=4,求AC的长.
5
8.如图所示,四边形ABCD是☉O的内接四边形,DP∥AC,交BA的延长线于P,求证AD·DC=PA·BC.
【拓展探究】
9.(2014·沈阳中考)如图所示,☉O是△ABC的外接圆,AB为直径,OD∥BC交☉O于点D,交AC于点E,连接
AD,BD,CD.
(1)求证AD=CD;3
(2)若AB=10,cos∠ABC= ,求tan∠DBC的值.
5
【答案与解析】
1.C(解析:∵AB是△ABC外接圆的直径,∴∠C=90°,∵∠A=35°,∴∠B=90°-∠A=55°.故选C.)
2.D(解析:∵BC是直径,∴∠BDC=90°,∴BD⊥AC,故A正确;∵BD平分∠ABC,BD⊥AC,∴△ABC是等腰三角形,
AD=CD,∵四边形BCDE是圆内接四边形,∴∠AED=∠ACB,∴△ADE∽△ABC,∴△ADE是等腰三角形,
AC BC 2BC 2AB
∴AD=DE=CD,∴ = = = ,∴AC2=2AB·AE,故B正确;由B的证明过程,可得C选项正确.故
AE DE 2DE AC
选D.)
1
3.65° (解析:∵∠BOD=130°,∴∠A= ∠BOD=65°,∵∠A+∠BCD=180°,∠DCE+∠BCD=180°,∴∠DCE=∠A=65°.)
2
3 AC 9 3
4. (解析:∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°,∴BC=❑√152-92=12,∴tan∠ADC=tan B= = = .)
4 BC 12 4
❑√2 ❑√2
5.B (解析:过点A作AD⊥OB于点D,∵在Rt△AOD中,∠AOB=45°,∴OD=AD=OA·cos 45°=1× =
2 2
❑√2
,∴BD=OB-OD=1- ,∴AB=❑√AD2+BD2= ❑√2-❑√2,∵AC是☉O的直径,∴∠ABC=90°,AC=2,∴sin C=
2
❑√2-❑√2
.故选B.)
2
6.2❑√3(解析:∵BD为☉O的直径,∴∠BAD=∠BCD=90°,∵∠BAC=120°,∴∠CAD=120°-
90°=30°,∴∠CBD=∠CAD=30°,又∵∠BAC=120°,∴∠BDC=180°-∠BAC=180°-
1 1
120°=60°,∵AB=AC,∴∠ADB=∠ADC,∴∠ADB= ∠BDC= ×60°=30°,∵AD=6,∴在Rt△ABD中,BD=AD÷sin
2 2
❑√3 1 1
60°=6÷ =4❑√3,在Rt△BCD中,DC= BD= ×4❑√3=2❑√3.故填2❑√3.)
2 2 2
3
7.解:∵AB为直径,∴∠ACB=90°,∴∠ACD+∠BCD=90°,∵CD⊥AB,∴∠BCD+∠B=90°,∴∠B=∠ACD,∵cos∠ACD=
5
3 4 AC AC 4 16
,∴cos B= ,∴tan B= ,∵BC=4,∴tan B= = = ,∴AC= .
5 3 BC 4 3 38.证明:如图所示,连接BD.∵DP∥AC,∴∠PDA=∠DAC.∵∠DAC=∠DBC,∴∠PDA=∠DBC.∵四边形ABCD是圆内
接四边形,∴∠DAP=∠DCB.∴△PAD∽△DCB,∴PA∶DC=AD∶BC,即AD·DC=PA·BC.
⏜ ⏜
9.(1)证明:∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°,∵OD∥BC,∴∠AEO=∠ACB=90°,∴OD⊥AC,∴AD=CD,∴AD=CD.
1
(2)解:∵AB=10,∴OA=OD= AB=5,∵OD∥BC,∴∠AOE=∠ABC,在Rt△AEO中,
2
3
OE=OA·cos∠AOE=OA·cos∠ABC=5× =3,∴AE=❑√AO2-OE2=❑√52-32=4,∴DE=OD-OE=5-3=2.在
5
DE 2 1 1
Rt△AED中,tan∠DAE= = = ,∵∠DBC=∠DAE,∴tan∠DBC= .
AE 4 2 2
本节课充分利用现实生活和数学中的素材,尽可能地设计具有挑战性的情境,关注每一个学生的参与程
度,激发学生求知、探索的欲望,使教学活动更丰富、更生活化.在探究结论的过程中,鼓励学生主动、及时
地总结出了研究图形的使用方法.本节课的难点和易错点是推论“90°的圆周角所对的弦是直径”的证明,
往往会有学生直接连接直径,所以注重了对辅助线的作法的引导,以避免学生大面积出错.为了强化圆周角
定理的推论的运用,把其辅助线的作法编成口诀,这样更有利于学生记忆.
在运用推论的过程中,部分学生对“如果需要直角或证明垂直时,往往作出直径即可解决问题”等知识
的运用还不够熟练,个别学生对实际问题的理解和分析不透彻,需要在以后的课堂中逐步地积累和培养.
对于圆内接四边形的教学,可以采用分组讨论的形式进行,这样可以提高学生的学习效率、大大减少探
究时间.
随堂练习(教材第83页)
1
1.解:∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°.∴AC=AB·sin B=10× =5(cm).
2
2.解:图形(2)是半圆形,因为90°的圆周角所对的弦是直径.
3.解:∵∠A∶∠C=4∶5,而∠A+∠C=180°,∴可以设∠A=4x,则∠C=5x.由题意,得4x+5x=180°,解得
x=20°.∴∠C=5x=100°.
习题3.5(教材第83页)
1 1
1.解:∵∠BOD=80°,∴∠A= ∠BOD= ×80°=40°.∴∠C=180°-∠A=180°-40°=140°.
2 2
2.解:连接BD,∵∠ACD=15°,∴∠ABD=15°.∵AB是直径,∴∠ADB =90°.∴∠BAD=∠ADB -∠ABD=90°-15°=75°.
3.解:在△AEB中,∵∠E=40°,∴∠ABE=180°-∠A -40°.同理,∠ADF=180°-∠A -60°.∴∠ABE=∠ADF
+20°.∵∠ABE+∠ADF =180°,∴∠ABE =100°,∠ADF =80°.∴在△AEB中,∠A=180°-∠ABE -∠E =180°-100°
-40°=40°.
4.解:(1)图略. (2)∠APB,∠ACB,∠BCP,∠CBP大小不变.本节课的教学关键是掌握一些数学思想方法在探究过程中的运用:
(1)在探究直径所对的圆周角这一定理时利用度量的方法可以初步探究出“直径所对的圆周角是直
角”这一性质.
(2)在探究圆内接四边形的性质时可以利用类比上节课探究圆周角定理的方法进行探究.
(3)在探究圆内接四边形的对角互补性质时利用“由特殊到一般”,先探究对角线是直径的特殊情况时
的结论,使学生有了初步的感知,然后再对一般情况进行证明就比较容易了.
(2014·无锡中考)如图所示,AB是半圆O的直径,C,D是半圆O上的两点,且OD∥BC,OD与AC交
于点E.
(1)若∠B=70°,求∠CAD的度数;
(2)若AB=4,AC=3,求DE的长.
〔解析〕 (1)根据圆周角定理的推论可得
∠ACB=90°,则∠CAB的度数即可求得,在等腰三角形AOD中,根据等边对等角求得∠DAO的度数,则∠CAD即
可求得;(2)易证OE是△ABC的中位线,利用中位线定理求得OE的长,则DE即可求得.
解:(1)∵AB是半圆O的直径,∴∠ACB=90°,
又∵OD∥BC,∠B=70°,
∴∠CAB=90°-∠B=90°-70°=20°,∠DOA=∠B=70°.
180°-∠AOD 180°-70°
∵OA=OD,∴∠DAO=∠ADO= = =55°,
2 2
∴∠CAD=∠DAO-∠CAB=55°-20°=35°.
(2)在Rt△ABC中,BC=❑√AB2-AC2=❑√42-32=❑√7,
由(1)知OE⊥AC,∴AE=EC,
1 ❑√7
∵OA=OB,∴OE= BC= .
2 2
1
又∵OD= AB=2,
2
❑√7
∴DE=OD-OE=2- .
2
[解题策略] 本题考查了圆周角定理的推论以及三角形的中位线定理,正确证明OE是△ABC的中位线
是关键.
5 确定圆的条件1.经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程.
2.了解不在同一条直线上的三个点确定一个圆,会用尺规过不在同一直线上的三个点作圆,了解三角形
的外接圆、三角形的外心等概念.
1.经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程,培养学生的探索能力.
2.通过探索不在同一条直线上的三个点确定一个圆的问题,进一步体会解决数学问题的策略.
1.形成解决问题的一些基本策略,体验解决问题策略的多样性,发展实践能力与创新精神.
2.学会与人合作,并能与他人交流思维的过程和结果.
【重点】 掌握过不在同一条直线上的三个点作圆的方法.了解三角形的外接圆、三角形的外心等概
念.
【难点】 经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程,过不在同一条直线上的三个点作
圆.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】
1.复习线段垂直平分线的尺规作法.
2.圆规,直尺.
导入一:
如右图所示,一只花猫发现一只老鼠溜进了一个内部连通的鼠洞,鼠洞只有三个出口A,B,C,要想同时顾
及这三个出口以防老鼠出洞,这只花猫最好蹲守在什么位置?学生分析:要想同时顾及三个出口,就要满足花猫所在的点到三个洞口A,B,C的距离相等.
【问题】 A,B,C可以看成△ABC的三个顶点,在三角形的内部有没有到三个顶点的距离相等的点呢?
[设计意图] 利用“猫捉老鼠”的游戏进行引入,极大地吸引了学生的注意力,激发了他们学习的欲望,
为下面新知的探究奠定了良好的基础.
导入二:
长沙马王堆一号汉墓的发掘,在我国的考古界算得上惊人的发现,在世界考古学史上,也产生了深远的影
响.一位考古学家在马王堆汉墓挖掘时,发现一破损的圆形铜镜,如图所示,你能帮助这位考古学家将这个圆
形铜镜复原,以便于进行深入的研究吗?
教师引导学生思考:要复原圆形铜镜,即画出和铜镜一样大小的圆,关键是什么呢?
【学生活动】 学生相互讨论后发言:关键是要找出圆形铜镜的圆心和半径.
【引入】 确定圆的两个要素就是圆心和半径.那么如何才能找出它的圆心和半径呢?通过本节课的
学习,相信大家一定能找到解决问题的办法.
[设计意图] 通过创设问题情境,吸引学生的注意,激发学生的学习兴趣,并感受祖国历史文化的源远流
长;通过问题的思考讨论,让学生回忆圆的定义及作圆的关键是确定圆心和半径,自然地引入课题.
[过渡语] 我们知道经过一点可以作无数条直线,经过两点可以确定一条直线,那么经过几点能确定一
个圆呢?
一、确定圆的条件
课件出示:
活动1:作圆,使它经过已知点A,你能作出几个这样的圆?
【师生活动】 先由学生自己动手尝试画图,师巡视发现学生出现的问题.学生完成后,根据学生的画
法,发现了以下两种情况,供学生判定对与错.
1.有的同学以点A为圆心画了很多同心圆.
2.经过点A画了很多圆.
学生分析:第二种作法正确,因为经过点A意味着点A在圆上,而不是圆心.
【教师点评】 以点A以外的任意一点为圆心,以这一点与点A所连的线段为半径就可以作一个圆.
(教师利用多媒体动画演示画圆)
【学生小结】 经过已知一点的圆有无数个,如图所示.
活动2:作圆,使它经过已知点A,B. 你是如何做的?你能作出几个这样的圆?其圆心的分布有什么特点?与
线段AB有什么关系?为什么?
【师生活动】 先由学生自己动手尝试画图.师巡视发现学生出现的问题.待学生完成后,询问作出的
圆的个数.
根据学生的回答,展示三种作法让学生进行对比.1.有的同学取线段AB的中点为圆心,作出一个圆;
2.有的同学作线段AB的垂直平分线,作出两个圆.
3.有的同学作线段AB的垂直平分线,能作出无数多个圆.
【教师点评】 在线段AB的垂直平分线上任意取一点,都能满足到A,B两点的距离相等,所以在线段
AB的垂直平分线上任取一点都可以作为圆心,这点到A的距离即为半径.圆就确定下来了.因为有无数个圆
心,所以作出的圆就有无数个.(教师多媒体动画演示画圆)
【学生小结】 经过已知两点的圆也有无数个,如图所示.
活动3:作圆,使它经过已知点A,B,C(A,B,C三点不在同一条直线上).你是如何做的?你能作出几个这样的
圆?
【学生活动】 先由学生自己动手尝试画图,可能会有很多同学不知道如何下手.
【师生活动】 教师让学生说出自己利用尺规过不在同一条直线上的三点作圆的方法和步骤,教师同
时利用多媒体展示作法,让没完成的同学跟着完成.
作法 图示
(1)连接AB,BC
(2)分别作线段AB,BC的垂直平分
线DE和FG,DE和FG相交于点
O
(3)以O为圆心,OB为半径作
圆.☉O就是所要求作的圆
想一想:这样作出的圆符合要求吗?与同伴交流.
【学生活动】 学生分组讨论后,代表发言:
因为连接AB,作AB的垂直平分线ED,则ED上任意一点到A,B的距离相等,连接BC,作BC的垂直平分
线FG,则FG上的任一点到B,C的距离相等.ED与FG的交点O满足OA=OB=OC,因此这样的画法满足条件.
因为两条直线的交点只有一个,所以只有一个圆心,即只能作出一个满足条件的圆.
【教师点评】 不在同一条直线上的三个点确定一个圆.活动4:过同一直线上的三点能作圆吗?
学生动手操作后都感觉疑惑,然后继续分组讨论.代表发言:不能,找不到圆心.原因是:线段AB的垂直平
分线和线段BC的垂直平分线平行,没有交点,如图所示.
【教师强调】 过同一直线上的三点是无法确定圆的,所以要注意“不在同一条直线上”这个条件的
重要性.
[设计意图] 通过前两个问题的探究,不但使学生掌握了经过一个点和两个点都不能确定圆的事实,还
进一步激发了学生的探究欲望,使其自然而然的想要探究经过三个点是否可以确定一个圆,为下面的探究打
下了良好的基础.
[过渡语] 我们知道三角形的三个内角的平分线会交于一点,并且这一点到三角形三边的距离相等,那
存不存在到三角形三个顶点的距离相等的点呢?
二、三角形的外心
【想一想】 三角形的三个顶点可以确定一个圆吗?
学生分析:因为三角形的三个顶点一定不会在同一直线上,所以经过三角形的三个顶点肯定能作一个圆.
【教师点评】 这个三角形和圆之间有如下的特殊关系.
三角形外接圆和外心的概念:
三角形的三个顶点可以确定一个圆,这个圆就叫做三角形的外接圆.
外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点,叫做三角形的外心.
师出示示意图,如图所示,供学生加深印象.
【议一议】 三角形的外心具有什么样的特征?
【学生小结】 三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点,到三角形三个顶点的距离相等.
[设计意图] 学生亲自动手画图,体会不在同一直线上的三个点确定一个圆的事实.在其参与知识的探
索过程中,享受发现知识的快乐.
[知识拓展] 三角形外心的位置:
(1)锐角三角形的外心在三角形的内部,如图(1)所示;
(2)直角三角形的外心在斜边中点上,如图(2)所示;
(3)钝角三角形的外心在三角形的外部,如图(3)所示.
[过渡语] 我们已经掌握了确定圆的条件,你能运用这些知识解决下面的问题吗?相信自己,一定行!课件出示:
【做一做】 你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗?你有哪些方法?与同伴进行交流.
【学生活动】 学生根据所学到的知识动手操作,然后与同伴交流做法.
方法1:把圆形纸片对折两次,两次折痕的交点即是圆形纸片的圆心.
方法2:在圆形纸片上任取两条不平行的线段,作出这两条线段的垂直平分线,其交点即是圆形纸片的圆
心.
[设计意图] 通过此问题,让学生体会数学在生活中的应用,用数学知识可以解决一些实际问题,培养学
生“用数学”的意识.
1.确定圆的条件:不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
2.三角形外接圆和外心的概念.
3.三角形外心的位置和性质.
1.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了,其中四块碎片如图所示,为配到与原来大小一样的圆形玻璃,小明
带到商店去的一块玻璃碎片应该是 ( )
A.第①块
B.第②块
C.第③块
D.第④块
解析:第②块出现一段完整的弧,可在这段弧上任作两条不平行的弦,作出这两条弦的垂直平分线,交点
就是圆心,进而可得到半径的长.故选B.
2.如图(1)所示,在5×5的正方形网格中,一条圆弧经过A,B,C三点,那么这条圆弧所在圆的圆心是 (
)
A.点P B.点M
C.点R D.点Q
解析:如图(2)所示,连接BC,根据垂径定理的推论,作弦AB和BC的垂直平分线,交点Q即为圆心.故选D.3.(2014·抚州中考)如图所示,△ABC内接于☉O,∠OAB=20°,则∠C的度数为 .
1
解析:∵∠OAB=20°,OA=OB,∴∠OBA=∠OAB=20°,∴∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=140°,∴∠ACB=
2
∠AOB=70°.故填70°.
4.如图所示,破残的圆形纸片上,弦AB的垂直平分线交弧AB于点C,交弦AB于点D.已知AB=24
cm,CD=8 cm.
(1)求作此残片所在的圆(不写作法,保留作图痕迹);
(2)求(1)中所作圆的半径.
解:(1)如图(1)所示的圆O.
(2)如图(2)所示,连接OA,设OA=x cm,
由题知AD=12 cm,OD=(x-8)cm,
则根据勾股定理列方程为:
x2=144+(x-8)2,解得x=13.
所以圆的半径为13 cm.
5 确定圆的条件
1.确定圆的条件:不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
2.三角形外接圆和外心的概念:
三角形的三个顶点可以确定一个圆,这个圆就叫做三角形的外接圆.
外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点,叫做三角形的外心.
一、教材作业
【必做题】
1.教材第86页随堂练习.2.教材第87页习题3.6第1,2题.
【选做题】
教材第88页习题3.6第3,4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列关于确定一个圆的说法中,正确的是 ( )
A.三个点一定能确定一个圆
B.以已知线段为半径能确定一个圆
C.以已知线段为直径能确定一个圆
D.菱形的四个顶点能确定一个圆
2.如图所示,☉O是△ABC的外接圆,已知∠B=60°,则∠CAO的度数是( )
A.15° B.30° C.45° D.60°
3.(2014·龙岩中考)如图所示,A,B,C是半径为6的☉O上三个点,若∠BAC=45°,则弦BC= .
4.(2014·宁夏中考)如图所示,将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中,点A,B,C均落在格点上,用一个
圆面去覆盖△ABC,能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是 .
【能力提升】
5.在Rt△ABC中,AB=12,BC=16,那么这个三角形的外接圆的直径是( )
A.10 B.20
C.10或8D.20或16
6.如图所示,△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-1,3),B(-2,-2),C(4,-2),则△ABC外接圆半径的长度为 .
7.如图所示,☉O是△ABC的外接圆,且半径为10,∠A=60°,求弦BC的长.8.如图所示,△ABC内接于☉O,AD为边BC上的高.
(1)若AB=6,AC=4,AD=3,求☉O的直径AE的长度;
(2)若AB+AC=10,AD=4,求☉O的直径AE的长的最大值,并指出此时边AB的长.
【拓展探究】
9.如图所示,将△AOB置于直角坐标系中,O为原点,A(3,0),∠ABO=60°.若△AOB的外接圆与y轴交于点D.
(1)直接写出∠ADO的度数;
(2)求△AOB的外接圆半径r.
【答案与解析】
1.C(解析:不在同一直线上的三点可确定一个圆,没有强调不在同一直线上,故本选项错误;B.以已知线段为半
径能确定2个圆,分别以线段的两个端点为圆心,故本选项错误;C.以已知线段为直径能确定一个圆,此时圆
心为线段的中点,半径为线段长度的一半,故本选项正确;D.菱形的四个顶点不一定能确定一个圆,故本选项
错误.故选C.)
2.B(解析:如图所示,连接OC,由圆周角定理知∠AOC=2∠B=120°,在△OAC中,∵OA=OC,∴∠CAO=∠ACO=30°.
故选B.)
3.6❑√2 (解析:如图所示,连接OB,OC,∵∠BAC=45°,∴∠BOC=2∠BAC=90°,∵OB=OC=6,∴BC=❑√OB2+OC2
=6❑√2.)4.❑√5(解析:如图所示,点O为△ABC外接圆圆心,则AO为外接圆半径,故能够完全覆盖这个三角形的最小圆
面的半径是❑√5.)
5.D (解析:根据题意得:(1)斜边是BC,即外接圆直径是16;(2 )斜边是AC,即外接圆直径是❑√122+162=20.故
选D.)
6.❑√13(解析:设△ABC的外心为M.∵B(-2,-2),C(4,-2),∴M必在直线x=1上,由图知AC的垂直平分线过(1,0),故
M(1,0).过M作MD⊥BC于D,连接MB,Rt△MBD中,MD=2,BD=3,由勾股定理得MB=❑√M D2+BD2=❑√13
,即△ABC的外接圆半径为❑√13.)
1
7.解:如图所示,过O作OD⊥BC于D.∵∠BOC=2∠BAC,且∠BOD=∠COD= ∠BOC,∴∠BOD=∠BAC=60°.在
2
❑√3
Rt△BOD中,OB=10,∠BOD=60°,∴BD= OB=5❑√3,∴BC=2BD=10❑√3.
2
8.解:(1)如图所示,连接BE.∵AE是直径,AD⊥BC,∴∠ABE=90°=∠ADC.又∵∠E=∠C(同弧所对的圆周角相等),
AC AD AC·AB 4×6
∴△ABE∽△ADC.∴ = ,∴AE= = =8. (2)∵AB+AC=10,∴AC=10-AB,∵AD=4,由(1)中
AE AB AD 3
AC AD AB(10-AB) AB2 5 1 25 25
= ,得AE= =- + AB=- (AB-5)2+ ,∴☉O的直径AE的长的最大值为 ,
AE AB 4 4 2 4 4 4
此时边AB的长为5.
9.解:(1)∠ADO=60°. (2)设三角形AOB外接圆的圆心为M,如图所示,连接OM,过M作MN⊥OA于N,那么
1 3 3 ❑√3
∠OMN=∠OBA=60°,ON= OA= .直角三角形OMN中,OM=ON÷sin 60°= ÷ =❑√3,因此三角形AOB外
2 2 2 2
接圆的半径r=❑√3.由实际背景的问题引出学习主题,有助于激发学生的探究热情.通过四个探究活动,逐步使学生亲身感
受结论的形成过程和结论的确定性.在教学中大胆放手让学生探究,在动手实践中去经历、体验、观察、类
比、讨论、合作、归纳.通过充分的过程探究,最后总结归纳出相关知识要点.这有助于学生经历真正的
“学数学”和“用数学”的过程,逐步发展学生的应用意识和推理能力.
(1)线段中垂线的性质与找三角形的外心的相互关系有少数学生理解得还不是很透彻.
(2)学生的探究活动时间不够充分,应让学生真正成为学习的主人.
关于“内接”与“外接”这两个术语,学生容易混淆,教学中应重点强调.
随堂练习(教材第86页)
解:作图略.锐角三角形的外心在三角形的内部;直角三角形的外心在斜边中点上;钝角三角形的外心在三角
形的外部.
习题3.6(教材第87页)
1.解:连接放牧点1和放牧点2,并作其垂直平分线;连接放牧点2和放牧点3,并作其垂直平分线.这两条垂直
平分线的交点为P,则点P即为定居点位置.
2.解:这样的圆能作两个,圆心在线段AB的垂直平分线上,且到线段AB的距离为❑√5 cm.
3.解:不能.例如:四点中有三个点共线时,同时过四点就不能作圆.
4.解:最少用2次.第一次作AB 的垂直平分线MN,第二次作AB(AB 与AB 不平行)的垂直平分线MN,
1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2
两条直线的交点就是圆形工件的圆心.理由如下:圆心到A,B 两点的距离相等,因此圆心一定在AB 的垂直
1 1 1 1
平分线上.同理,圆心一定在AB 的垂直平分线上.直线MN 与MN 的交点到点A,B ,A,B 的距离相等,所以
2 2 1 1 2 2 1 1 2 2
它是圆心.
1.本节课的主要任务是通过动手操作逐步探究确定圆的条件,所以尺规作图的能力是本节课探究学习
的保障,特别是关于线段的垂直平分线的作法,学生在课前一定要及时复习,要达到非常熟练地程度.
2.在动手实践中要让学生积极地去经历、体验、观察,并结合类比、讨论、合作、归纳等思想,亲身感
受结论的形成过程和结论的确定性,逐步发展自己的应用意识和推理能力.6 直线和圆的位置关系
1.经历探索直线与圆的位置关系的过程,了解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系.
2.掌握切线的概念;探索切线与过切点的直径之间的关系,能判定一条直线是否为圆的切线,会过圆上一
点画圆的切线;了解三角形的内切圆、三角形的内心等概念.
1.通过观察、实验、讨论、合作探究等数学活动,使学生了解探索问题的一般方法;培养学生联想、类
比和推理能力.
2.通过“转化”数学思想的运用,让学生认识到事物之间是普遍联系、相互转化的.
1.创设问题情境,激发学生的好奇心.
2.体验数学活动中的探索与创造,感受数学的严谨性和数学结论的确定性,在学习活动中获得成功的体
验.
【重点】
1.会判断直线和圆的三种位置关系.
2.掌握切线的性质和判定方法,并会用切线的性质和判定方法计算和证明.
【难点】
1.利用切线的性质和判定方法计算和证明.
2.作三角形内切圆的方法.
第 课时
1.经历探索直线与圆位置关系的过程.
2.理解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系.
3.了解切线的概念,探索切线与过切点的直径之间的关系.1.经历探索直线与圆位置关系的过程,培养学生的探索能力.
2.通过观察得出“圆心到直线的距离d和半径r的数量关系”与“直线和圆的位置关系”的对应与等
价,从而实现位置关系与数量关系的相互转化.
1.通过探索直线与圆的位置关系的过程,体验数学活动充满着探索与创造,感受数学的严谨性以及数学
结论的确定性.
2.在数学学习活动中获得成功的体验,锻炼克服困难的意志,建立自信心.
【重点】 理解直线与圆的三种位置关系;了解切线的概念以及切线的性质.
【难点】 经历探索直线与圆的位置关系的过程,归纳总结出直线与圆的三种位置关系.
【教师准备】 多媒体课件和圆规.
【学生准备】
1.复习点与圆的位置关系.
2.圆规,直尺和圆形纸片.
导入一:
同学们,还记得唐代诗人白居易的《忆江南》这首诗吗?诗里面的句名是“日出江花红胜火,春来江水
绿如蓝,能不忆江南?”实际上 “日出江花红胜火”便是“旭日东升”的真实写照,同学们能不能简单描述
一下“旭日东升”的画面?
【课件出示】 “旭日东升”的美丽画面.
【想一想】 当太阳逐渐升起时,地平线与太阳的位置发生了怎样的变化?
【问题】 直线和圆有几种位置关系呢?
【学生分析】 把太阳看做圆,地平线看做直线,由图片可以看出直线(地平线)和圆(太阳)有三种位置关
系.
[设计意图] 为了引起学生的好奇,在上课的开始阶段就激发起他们的学习热情,引用了学生非常熟悉
的唐代诗人白居易的《忆江南》中的名句“日出江花红胜火”并欣赏图片,让学生感受生活中反映直线与
圆的位置关系的现象,为揭示课题做好铺垫.
导入二:
回忆点和圆有几种位置关系?
学生说出点和圆的三种位置关系:点在圆内,点在圆上,点在圆外.
【问题】 类比点和圆的三种位置关系,你能猜测直线和圆的位置关系吗?[设计意图] 通过对点和圆的三种位置关系的回忆,复习旧知的同时,又引出了新知,学生自然而然地会
利用类比点和圆的位置关系判断直线和圆的位置关系.
[过渡语] 通过导入我们了解了直线与圆也存在着几种位置关系,到底是什么样的位置关系?它们又有
哪些相关的性质?下面我们就揭开它们神秘的面纱.
一、直线和圆的位置关系
课件出示:
观察上面三幅图,地平线(直线)与太阳(圆)的位置关系是怎样的?
活动1:利用公共点的个数判断直线和圆的位置关系.
【观察】 当太阳逐渐升起时,地平线与太阳的位置,直线(地平线)和圆(太阳)的公共点个数是怎样变化
的?
学生分析得出:直线与圆分别有两个公共点、一个公共点、没有公共点.
【做一做】 为了验证直线与圆的位置关系,请同学在纸上画一条直线,把硬币的边缘看做圆,在纸上移
动硬币,你能发现直线和圆有几种位置关系?
【师生活动】 学生操作画图并动手实践,等学生完成后教师课件出示:
【教师点评】 根据直线与圆的公共点个数我们可以把直线与圆的位置关系分为三种:相交、相切、
相离.
切线的定义及相关概念:
直线和圆有唯一的公共点(即直线和圆相切)时,这条直线叫做圆的切线,这个唯一的公共点叫做切点.
[设计意图] 通过设置数学实验让学生进行独立的探究学习,促使学生主动参与数学知识的“再发
现”,培养学生动手实践能力,观察、分析、比较、抽象、概括的思维能力,这样既加深了学生对定义本身的
理解,同时可以提高对定义形成过程中涉及的思想、方法的认识,促进了思维的发展.
[知识拓展] 利用公共点的个数判断直线和圆的位置关系:当直线与圆有唯一公共点时⇔直线与圆相
切;当直线与圆有两个公共点时⇔直线与圆相交;当直线与圆没有公共点时⇔直线与圆相离.
[过渡语] 通过刚才的研究我们知道,利用公共点的个数可以判定直线和圆的位置关系,请同学们想一
想,能否用类似于判定点和圆的位置关系那样,通过数量关系来判定直线和圆的位置关系呢?
活动2:利用圆心O到直线l的距离d与圆的半径r的关系来判断直线和圆的位置关系.
课件出示:
【想一想】 圆心O到直线l的距离d与☉O的半径r的大小有怎样的数量关系?你能根据d与r的大
小关系确定直线和圆的位置关系吗?
【师生活动】 为便于学生思考,教师出示下面的三幅示意图,然后学生观察并独立思考,最后小组讨论
交流.【学生小结】 圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系:
直线和圆相交,即dr.
【教师点评】 由位置关系得到了d与r的数量关系,同时反过来也成立,我们就可以根据数量关系判
断直线和圆的位置关系.
直线和圆相交⇔dr.
[设计意图] 利用数量关系判断直线和圆的位置关系,开拓了学生的视野,增加了学生的学习方法,再一
次体会了数形结合思想的运用.
[知识拓展] 判断直线和圆的位置关系的方法:(1)利用直线和圆的公共点个数来判断;(2)利用圆心到直
线的距离d与半径r的大小关系来判断.
[过渡语] 圆的切线是我们以后解决圆的问题中的一条重要直线,那么它又具有什么样的性质呢?
二、切线的性质
课件出示:
问题1
你能举出生活中直线与圆相交、相切、相离的实例吗?
【师生活动】 学生大胆发言,举出生活中的实例,教师可以多找一些学生回答.
问题2
图中的三个图形是轴对称图形吗?如果是,你能画出它们的对称轴吗?
【学生活动】 学生观察思考后与同伴交流,统一答案:图中的三个图形都是轴对称图形,对称轴是过圆
心O且与直线l垂直的直线.
问题3
如图所示,直线CD与☉O相切于点A,直径AB与直线CD有怎样的位置关系?说一说你的理由.
思路一
教师引导学生思考下面的问题:
1.此图是对称图形吗?是什么对称图形?
2.把图形沿AB对折后,会得到什么结论?【学生活动】 学生独立思考后,小组交流讨论,代表发言说明理由:直径AB与直线CD垂直. 因为此图
形是轴对称图形,所以沿AB所在的直线对折时,AC与AD重合,因此∠BAC=∠BAD=90°,所以AB⊥CD.
思路二
【想一想】 利用圆的轴对称性可以说明AB⊥CD,我们能否从理论验证的方法说明这一结论呢?
【师生活动】 引导学生利用“反证法”进行证明,教师课件出示证明过程,供学生参考.
解:能.因为AB与CD要么垂直,要么不垂直,所以假设AB与CD不垂直,过点O作一条直径垂直于
CD(如图所示),垂足为M,则OMr时,直线与
圆相离.
解:(1)如图所示,过点C作AB的垂线,垂足为D.
∵AC=4 cm,AB=8 cm,AC 1
∴cos A= = .
AB 2
∴∠A=60°.
∴CD=ACsin A=4sin 60°=2❑√3(cm).
因此,当半径长为2❑√3 cm时,AB与☉C相切.
(2)由(1)可知,圆心C到AB的距离d=2❑√3 cm,所以当r=2 cm时,d>r,☉C与AB相离;
当r=4 cm时,dr.
3.圆的切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径.
一、教材作业
【必做题】
1.教材第91页随堂练习第1,2题.
2.教材第91页习题3.7第1,2题.
【选做题】
教材第91页习题3.7第3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3 cm,BC=4 cm,以C为圆心,r为半径作圆,若圆C与直线AB相切,则r的值为
( )
A.2 cm B.2.4 cmC.3 cm D.4 cm2.如图所示,在平面直角坐标系xOy中,半径为2的☉P的圆心P的坐标为(-3,0),将☉P沿x轴正方向平移,使
☉P与y轴相切,则平移的距离为 .
3.(2014·西宁中考)☉O的半径为R,点O到直线l的距离为d,R,d是方程x2-4x+m=0的两根,当直线l与☉O相
切时,m的值为 .
【能力提升】
k
4.(2014·长春中考)如图所示,在平面直角坐标系中,点A,B均在函数y= (k>0,x>0)的图象上,☉A与x轴相切,
x
☉B与y轴相切.若点B的坐标为(1,6),☉A的半径是☉B的半径的2倍,则点A的坐标为 ( )
( 3)
A.(2,2) B.(2,3) C.(3,2) D.
4,
2
5.(2014·玉林中考)如图所示,直线MN与☉O相切于点M,ME=EF且EF∥MN,则cos E= .
6.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,CD⊥AB,BC=4 cm,以点C为圆心,4 cm长为半径画☉C,请判断
BD与☉C的位置关系,并说明理由.
7.已知☉O的直径AB的长为4 cm,C是☉O上一点,∠BAC=30°,过点C作☉O的切线交AB的延长线于点P,求
BP的长.8.(2015·铜仁中考)如图所示,已知三角形ABC的边AB是☉O的切线,切点为B.AC经过圆心O并与圆相交于
点D,C,过C作直线CE⊥AB,交AB的延长线于点E.
(1)求证CB平分∠ACE;
(2)若BE=3,CE=4,求☉O的半径.
【拓展探究】
9.(2015·天津中考)已知A,B,C是☉O上的三个点.四边形OABC是平行四边形,过点C作☉O的切线,交AB的
延长线于点D.
(1)如图(1)所示,求∠ADC的大小;
⏜
(2)如图(2)所示,经过点O作CD的平行线,与AB交于点E,与AB交于点F,连接AF,求∠FAB的大小.
【答案与解析】
1.B(解析:Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3 cm,BC=4 cm.由勾股定理,得AB2=32+42=25,∴AB=5(cm).∵AB是☉C的切
1 1
线,且设切点为D,∴CD⊥AB,∴CD=r.∵S = AC·BC= AB·r,∴r=2.4 cm.故选B.)
△ABC 2 2
2.1或5(解析:当☉P位于y轴的左侧且与y轴相切时,平移的距离为1;当☉P位于y轴的右侧且与y轴相切时,
平移的距离为5.故填1或5.)
3.4(解析:∵d,R是方程x2-4x+m=0的两个根,且直线l与☉O相切,∴d=R,∴方程有两个相等的实根,∴Δ=16-
4m=0,解得m=4.)
6
4.C (解析:把B点坐标(1,6)代入函数解析式得k=6,则函数的解析式是y= ,∵B点坐标为(1,6),☉B与y轴相切,
x
6
∴☉B的半径是1,则☉A的半径是2,把y=2代入y= ,得x=3,则A点坐标是(3,2).故选C.)
x
1
5. (解析:如图所示,连接OM,OM的反向延长线交EF于C,∵直线MN与☉O相切于点
2
M,∴OM⊥MN,∵EF∥MN,∴MC⊥EF,∴CE=CF,∴ME=MF,而ME=EF,∴ME=EF=MF,∴△MEF为等边三角形,
1
∴∠E=60°,∴cos E=cos 60°= .)
26.解:相交.理由如下.∵∠ACB=90°,∠A=30°,∴AB=2BC=8 cm,∴AC=❑√AB2-BC2=4❑√3 cm,由三角形面积公
AC·BC
式得AC·BC=AB·CD,∴CD= =2❑√3 cm,∵CD=2❑√3 cm<4 cm,∴BD与☉C的位置关系是相交.
AB
7.解:如图所示,连接OC,∵OA=OC,∴∠ACO=∠BAC=30°,∴∠COB=60°,∵PC是切线,
∴OC⊥PC,∴∠P=30°,∴OP=2OC=4 cm,∴BP=OP-OB=4-2=2(cm).
8.(1)证明:如图所示,连接OB,∵AB是☉O的切线,
∴OB⊥AB,∵CE⊥AB,∴OB∥CE,∴∠1=∠3,∵OB=OC,∴∠1=∠2,∴∠2=∠3,∴CB平分∠ACE. (2)解:如图所示,连接
BD, ∵CE⊥AB,∴∠E=90°,∴BC=❑√BE2+CE2=❑√32+42=5,∵CD是☉O的直径,∴∠DBC=90°,∴∠E=∠DBC,
CD BC 52 25 1 25 25
又∠2=∠3,∴△DBC∽△BEC,∴ = ,∴BC2=CD·CE,∴CD= = ,∴OC= CD= ,∴☉O的半径为 .
BC CE 4 4 2 8 8
9.解:(1)∵CD是☉O的切线,C为切点,∴OC⊥CD,即∠OCD=90°.∵四边形OABC是平行四边形,∴AB∥OC,即
AD∥OC,有∠ADC+∠OCD=180°,∴∠ADC=180°-∠OCD=90°. (2)如图所示,连接OB,则OB=OA=OC, ∵四边形
OABC是平行四边形,∴OC=AB,∴OA=OB=AB,即△AOB是等边三角形,∴∠AOB=60°,由OF∥CD,∠ADC=90°,得
⏜ ⏜ 1 1
∠AEO=∠ADC=90°,∴OF⊥AB,∴BF=AF,∴∠FOB=∠FOA= ∠AOB=30°,∴∠FAB= ∠FOB=15°.
2 2本课导入选用了学生熟悉的唐代诗人白居易的《忆江南》这首诗作为课程资源,为直线与圆位置关系
的教学提供了知识上的经验支持. 让学生感受到了数学源于生活,初步体会到数学的价值.在直线与圆位置
关系相应的数量关系的探究中,运用了类比迁移、大胆猜想、实验验证的方法,发现直线与圆的位置关系可
通过半径与圆心到直线的距离的数量关系来判断,使学生充分理解位置关系与数量关系的相互转化,这种等
价关系是研究切线的理论基础,从而为下节课的学习打好基础.
学生对圆的切线性质理解不够,对突破难点点拨不是很到位,在今后教学工作中应努力改进.
例题的解答要相信学生的实力,完全交给学生独立解答,教师只给少数学生指点,规范学生的解答过程即
可.
随堂练习(教材第91页)
1.r>5.
2.πd[提示:圆心经过的路径是与桌面平行的一条线段,硬币沿直线滚动一圈,圆心经过的路径的长度等于硬
币的周长.]
习题3.7(教材第91页)
❑√3 ❑√3
1.解:如图所示,过O作OD⊥AC与D,∵∠B=30°,∴∠A=60°,∴OD=OAsin 60°=msin 60°= m.(1)当r> m时,
2 2
❑√3 ❑√3
直线AC与☉O相交;(2)当r= m时,直线AC与☉O相切;(3)当r< m时,直线AC与☉O相离.
2 2
2.提示:如图所示,波纹刚好抵达对岸,即此时的☉O与对岸相切,设切点为A,连接OA,由于圆的切线垂直于过
切点的半径,所以OA与对岸垂直,即OA为河宽.另一方面,OA为☉O的半径,因此OA=OB,所以只要测出OB
即可.3.解:设光盘的圆心为O,连接OC,OB,OA,如图所示.∵AC,AB分别为圆O的切线,∴AO为∠CAB的平分线,
1
OC⊥AC,OB⊥AB,又∠CAD=60°,∴∠OAC=∠OAB= ∠CAB=60°,在Rt△AOB中,∠OAB=60°,AB=6
2
OB OB
cm,∴tan∠OAB=tan 60°= ,即 =❑√3,∴OB=6❑√3(cm),∴光盘的直径为12❑√3 cm.
AB 6
首先学生可以通过观察,感受生活中的直线与圆位置关系的现象,然后通过自己动手操作,在纸上画一条
直线,把硬币的边缘看做圆进行实际体验,从而归纳出直线与圆的几种位置关系,然后类比点与圆的位置关系
的探究方法,进一步探究出直线与圆的不同位置关系中d与r的大小关系,继而对d=r的情形特别关注,从而
归纳出切线的性质,并学会运用其解决问题.
(2014·枣庄中考)如图所示,A为☉O外一点,AB切☉O于点B,AO交☉O于C,CD⊥OB于E,交☉O于
点D,连接OD.若AB=12,AC=8.
(1)求OD的长;
(2)求CD的长.
〔解析〕 (1)设☉O的半径为R,根据切线定理得OB⊥AB,则在Rt△ABO中,利用勾股定理得到
R2+122=(R+8)2,解得R,进而求得OD的长;(2)根据垂径定理由CD⊥OB得DE=CE,再证明△OEC∽△OBA,利用
相似比可计算出CE的长,所以CD=2CE可求.
解:(1)设☉O的半径为R,∵AB切☉O于点B,
∴OB⊥AB,在Rt△ABO中,OB=R,AO=OC+AC=R+8,AB=12,
∵OB2+AB2=OA2,∴R2+122=(R+8)2,解得R=5,∴OD的长为5.
CE OC CE 5
(2)∵CD⊥OB,∴DE=CE,而OB⊥AB,∴CE∥AB,∴△OEC∽△OBA,∴ = ,即 = ,
AB OA 12 5+8
60 120
∴CE= ,∴CD=2CE= .
13 13
[解题策略] 本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了勾股定理、垂径定理
和相似三角形的判定与性质.
第 课时1.掌握切线的判定定理,会判断一条直线是否为圆的切线.
2.掌握经过圆上一点画圆的切线的方法.
3.理解三角形的内切圆和内心的概念及内心的性质;掌握用尺规作三角形内切圆的方法.
1.通过判定一条直线是否为圆的切线,训练学生的推理判断能力.
2.会过圆上一点画圆的切线,训练学生的作图能力.
1.经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程,发展合情推理能力和初步演绎推理能力,能有条理地、
清晰地阐述自己的观点.
2.经历探究圆与直线的位置关系的过程,掌握图形的基础知识和基本技能,并能解决简单的问题.
【重点】 探索圆的切线的判定方法,并会用切线的判定方法进行计算和证明.
【难点】
1.探索圆的切线的判定方法,并会用切线的判定方法进行计算和证明.
2.作三角形内切圆的方法.
【教师准备】 多媒体课件和圆规.
【学生准备】
1.复习判断一个角等于90度的方法及切线的性质.
2.圆规、直尺.
导入一:
教师引入:同学们,请观察下面四张图片(多媒体展示),我们会发现,在下雨天当车从我们身边飞驰而过时,
我们会看到车轮后留下一条水流痕迹,砂轮打磨零件会飞出火星,如果我们把车轮和砂轮看做一个圆,留下的
水流痕迹和飞出的火星看做一条直线,大家探索一下这一生活现象中的直线和圆又有怎样的位置关系呢?
【问题】 上节课我们掌握了切线的性质,那么如何判断一条直线是圆的切线呢?[设计意图] 以图片的形式向学生展示直线和圆有关的生活现象,创设问题情境,吸引学生的注意,激发
学生的学习兴趣.通过观察图片,以问题的形式引导学生发现图片中直线和圆,引出本节课的课题.
导入二:
一辆急速行驶的火车的车轮与铁轨之间存在着什么样的位置关系?
学生思考并进行猜测.
【问题】 车轮可以看成什么图形?铁轨可以看成什么图形?你有没有判定两者位置关系的方法?
[设计意图] 通过对车轮与铁轨之间的位置关系的讨论,引出本节课的探究任务,能使学生做到有的放
矢.
[过渡语] 切线的性质定理的逆命题是什么?它的逆命题正确吗?也和其他的定理一样可以作为切线的
判定定理吗?
一、切线的判定定理
课件出示:
如图所示,AB是☉O的直径,直线l经过点A,l与AB的夹角为∠α,当l绕点A旋转时.
(1)随着∠α的变化,点O到l的距离d如何变化?直线l与☉O的位置关系如何变化?
(2)当∠α等于多少度时,点O到l的距离d等于半径r?此时,直线l与☉O有怎样的位置关系? 为什么?
【学生活动】 学生认真思考,感受两者之间的变化规律,然后与同伴交流,代表发言,学生相互订正.
学生分析:随着∠α由小变大,点O到l的距离d也由小变大,此时d=rsin α;当∠α=90°时,d达到最大,此时
d=r;之后∠α逐渐变小,d逐渐变小.因此,当∠α=90°(即l⊥AB)时,d=r.这时直线l与☉O相切.
【师生活动】 在学生回答问题后,师生共同订正,并且教师利用多媒体进行动画演示,让学生一目了然.
【教师点评】 直线l绕A点逆时针旋转时,AB与直线l的夹角是先减小后增大的,圆心O到直线l的
距离d也是先减小后增大的.当∠α=90°时,d达到最大,此时d=r,这时直线与圆只有一个公共点,即直线与圆是
相切的.
切线的判定定理:
过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线.
用数学语言表示:
∵AB是☉O的直径,直线CD经过A点,且CD⊥AB,∴ CD是☉O的切线.【教师强调】 判定圆的切线要满足两个条件:
一是直线过半径的外端;
二是垂直于这条半径.
[设计意图] 此环节由要探究的问题,让学生自己亲身探究得出直线和圆相切的判定方法,这样不仅锻
炼学生探究问题的能力,而且加深对判定定理的理解.
[知识拓展] 圆的切线的判定方法:
(1)利用公共点:一个交点⇔圆的切线.
(2)利用d与r的关系:d=r⇔圆的切线.
(3)利用圆的切线判定定理:垂直于半径的外端⇔圆的切线.
[过渡语] 我们掌握了判定圆的切线的方法,你能运用这个方法解决下面的问题吗?
二、作圆的切线
课件出示:
【做一做】 已知☉O上有一点A,过点A画☉O的切线.
【师生活动】 学生作图,教师巡视指导.学生完成后,代表说明作法.
作法:
(1)连接OA.
(2)过点A作OA的垂线l.
直线l即为所求的切线.
【想一想】 作图的依据是什么呢?
学生分析:作图的依据是:经过直径的一端,并且垂直于这条直径的直线是圆的切线.
【拓展延伸】 已知☉O外一点P,过点P作出☉O的切线.
(此题有一定难度,老师既可以作为课下作业留给学生讨论,又可以引导学生作图)
课件展示:
已知☉O外一点P,过点P作出☉O的切线,可以作两条,作图时可以以OP为直径作圆,与☉O相交于A,B
两点,然后作射线PA,PB即得☉O的两条切线.
如图所示.
【想一想】 这个作图的依据是什么呢?
学生观察后得出:作图的依据是直径所对的圆周角是90°.[设计意图] 这是对圆的切线判定定理的灵活运用, 利用作图加深对圆的切线的判定定理的理解.
[知识拓展] 证明圆的切线的方法:
1.知道直线与圆有一个公共点,可以把这个点和圆心连接起来,再证明直线与这条半径垂直,就可以说明
这条直线是圆的切线,可以简记为“连半径,证垂直”.
2.知道半径和直线垂直的情况下,证明垂线段等于半径也可以证明这条直线是圆的切线,可以简记为
“作垂直,证半径”.
[过渡语] 前面我们学习了三角形的外接圆及外心的概念和性质,如果把两个图形的位置换一下,两者
之间又会是什么关系呢?
三、三角形的内切圆
多媒体出示:
(教材例2)如图(1)所示,在△ABC中,作一个圆使它与这个三角形三边都相切.
〔解析〕 作一个圆使它与这个三角形三边都相切,那么它的圆心到三角形三边的距离应该相等,可以
先作两个角的平分线,其交点即为圆心.
解:1.作∠ABC,∠ACB的平分线BE和CF,交点为I(如图(2)).
2.过I作BC的垂线,垂足为D.
3.以I为圆心,以ID为半径作☉I.
☉I就是所求的圆.
教师引导学生思考下面的问题:
1.这样的圆你能做出几个?
2.交点I到三角形三边的距离有什么关系?
【学生活动】 学生思考后,小组互相交流,统一答案.
【教师点评】 因为BE和CF只有一个交点I,并且I到三边的距离相等,所以和三角形三边都相切的
圆可以作出一个,并且只能作一个,这个圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,
叫做三角形的内心.
【类比联想】 我们知道三角形的内心是三角形三条角平分线的交点,那么内心的位置一定在三角形
的内部吗?还是和外心一样有三个不同的位置?
【学生活动】 学生思考后与同伴交流得出:无论锐角、直角、钝角三角形的内心都在三角形的内部.
[设计意图] 通过作圆的切线引出作三角形的内切圆,得出三角形和圆的关系,同时也巩固了直线和圆
相切的判定定理,复习了确定圆的方法,从而把与本节有关系的知识都联系起来了,形成知识体系,便于学生
学习和掌握.
[知识拓展] 三角形的外接圆和内切圆的对比:
圆心O “心”的
圆心O的确定 “心”的性质
的名称 位置
内心 作两角的平分线 内心到三边的距离相等 内部
外心到三个顶点的距离 内部、外
外心 作两边的中垂线
相等 部、边上
1.圆的切线的判定定理.
2.三角形的内切圆和内心的概念.3.圆的切线及三角形内切圆的作法.
4.圆的切线的证明方法.
1.下列直线中,可以判定为圆的切线的是 ( )
A.与圆仅有一个公共点的直线
B.垂直于圆的半径的直线
C.与圆心的距离等于直径的直线
D.过圆的半径外端的直线
解析:A.根据圆的切线的定义,可知与圆仅有一个公共点的直线是切线,故选项正确;B.垂直于圆的半径
的直线,可能与圆相交或相离,故选项错误;C.与圆心的距离等于直径的直线与圆相离,故选项错误;D.过圆的
半径外端的直线与圆相交或相切,故选项错误.故选A.
2.如图所示,△ABC是☉O的内接三角形,下列选项中,能使过点A的直线EF与☉O相切于点A的条件是
( )
A.∠EAB=∠C
B.∠B=90°
C.EF⊥AC
D.AC是☉O直径
解析:假设直线EF与☉O相切于点A,由弦切角定理可得∠EAB=∠C,故A正确;因为AC不一定过圆心,所
以AC不一定是☉O的直径,∠B=90°,EF⊥AC都不一定成立,故B,C,D错误.故选A.
3.如图所示,A,B是☉O上的两点,AC是过A点的一条直线,如果∠AOB=120°,那么当∠CAB的度数等于
度时,AC才能成为☉O的切线.
解析:∵△AOB中,OA=OB,∠AOB=120°,∴∠OAB=30°,∴当∠CAB的度数等于60°时,OA⊥AC,AC才能成为
☉O的切线.故填60.
4.如图所示,在△ABC中,点P是△ABC的内心,则∠PBC+∠PCA+∠PAB= 度.
解析:∵点P是△ABC的内心,∴BP平分∠ABC,AP平分∠BAC,CP平分
∠ACB,∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°,∴∠PBC+∠PCA+∠PAB=90°.故填90.
5.(2014·梅州中考)如图所示,在△ABO中,OA=OB,C是边AB的中点,以O为圆心的圆过点C.
(1)求证AB与☉O相切;(2)若∠AOB=120°,AB=4❑√3,求☉O的面积.
证明:(1)连接OC,
∵在△ABO中,OA=OB,C是边AB的中点,
∴OC⊥AB,
∵以O为圆心的圆过点C,∴AB与☉O相切.
解:(2)∵OA=OB,∠AOB=120°,
∴∠A=∠B=30°,
∵AB=4❑√3,C是边AB的中点,
1
∴AC= AB=2❑√3,
2
❑√3
∴OC=AC·tan A=2❑√3× =2.
3
∴☉O的面积为π×22=4π.
第2课时
1.切线的判定定理:过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线.
2.内切圆和内心的概念:
和三角形三边都相切的圆可以作出一个,并且只能作一个,这个圆叫做三角形的内切圆.
内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心.
一、教材作业
【必做题】
1.教材第93页随堂练习第1,2题.
2.教材第93页习题3.8第1,2题.
【选做题】
教材第93页习题3.8第3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列说法正确的是 ( )
A.与圆有公共点的直线是圆的切线
B.到圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线
C.垂直于圆的半径的直线是圆的切线
D.过圆的半径外端的直线是圆的切线
2.如图所示.点O是△ABC的内心,若∠ACB=70°,则∠AOB等于 ( )
A.140° B.135° C.125° D.110°3.如图所示,CD是☉O的直径,BD是弦,延长DC到A,使∠ABD=120°,若添加一个条件,使AB是☉O的切线,则
下列四个条件:①AC=BC;②AC=OC;③OC=BC;④AB=BD中.能使命题成立的有 (只填序号即可).
4.☉O是边长为2的等边三角形ABC的内切圆,则☉O的半径为 .
【能力提升】
5.如图所示,直线AB,CD相交于点O,∠AOD=30°,半径为1 cm的☉P的圆心在射线OA上,且与点O的距离为
6 cm.如果☉P以1 cm/s的速度沿由A向B的方向移动,那么要使☉P与直线CD相切,则☉P移动的时间为
( )
A.4 s B.8 s C.4 s或6 s D.4 s或8 s
6.如图所示,AB是☉O的直径,经过圆上点D的直线CD恰使∠ADC=∠B.过点A作直线AB的垂线,交BD的延
长线于点E,且AB=❑√5,BD=2,则线段AE的长为 .
7.如图所示,△ABC内接于☉O,∠B=60°,CD是☉O的直径,点P是CD延长线上的一点,且AP=AC.
(1)求证PA是☉O的切线;
(2)若PD= ❑√3,求☉O的直径.
8.如图所示,BC是☉O的直径,A是☉O上一点,过点C作☉O的切线,交BA的延长线于点D,取CD的中点
E,AE的延长线与BC的延长线交于点P.
(1)求证AP是☉O的切线;
(2)若OC=CP,AB=6,求CD的长.9.如图所示,☉O为△ABC的内切圆,切点分别为D,E,F,∠BCA=90°,BC=3,AC=4.
(1)求△ABC的面积;
(2)求☉O的半径;
(3)求AF的长.
【拓展探究】
10.(2014·遂宁中考)如图所示,☉O的直径AB垂直于弦CD,过点C的切线与直径AB的延长线相交于点P,连
接PD.
(1)求证PD是☉O的切线;
(2)求证PD2=PB·PA;
1
(3)若PD=4,tan∠CDB= ,求直径AB的长.
2
【答案与解析】
1.B(解析:A.与圆只有一个公共点的直线是圆的切线,故本选项错误;B.到圆心距离等于圆的半径的直线是圆
的切线,故本选项正确;C.经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线,故本选项错误;D.经过半径
的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线,故本选项错误.故选B.)
1 1
2.C(解析:∵点O是△ABC的内心,∴∠BAO=∠CAO= ∠BAC,∠ABO=∠CBO=
2 2
1
∠ABC,∵∠ACB=70°,∴∠ABC+∠BAC=180°-∠ACB=110°,∴∠AOB=180°-(∠BAO+∠ABO)=180°-
2
1
(∠BAC+∠ABC)=180°- ×110°=125°.故选C.)
2
3.①②③④ (解析:经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线,分析每种情况后,能得到经过半径的外端
且垂直于半径的直线就是圆的切线.)❑√3
4. (解析:如图所示,连接O和切点D,OC,由等边三角形的内心即为中线、底边高线、角平分线的交点知
3
OD ❑√3
OD⊥BC,∠OCD=30°,OD即为圆的半径.又BC=2,则CD=1.在直角三角形OCD中 =tan 30°= ,所以
CD 3
❑√3
OD= .)
3
5.D (解析:①由题意设CD与圆P
1
相切于点E,∴P
1
E⊥CD.又∵∠AOD=30°,r=1 cm,∴在△OEP
1
中OP
1
=2 cm,又
∵OP=6 cm.∴P
1
P=4 cm,∴圆P到达圆P
1
需要的时间为:4÷1=4(s).②当圆心P在直线CD的右侧时,
PP=6+2=8(cm),∴圆P到达圆P 需要的时间为:8÷1=8(s).综上可知,☉P与直线CD相切时,经过的时间为4 s
2 2
或8 s.故选D.)
❑√5
6. (解析:∵EA⊥AB,∴∠EAB=90°,∴∠B+∠E=90°,∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°,∴AD=❑√AB2-BD2=
2
AB BD ❑√5 2 ❑√5
❑√5-4=1,∠ADB=∠EAB,∠B+∠DAB=90°,∴∠DAB=∠E,∴△ABD∽△EAD,∴ = ,∴ = ,∴AE= .)
AE AD AE 1 2
7.(1)证明:连接OA,∵∠B=60°,∴∠AOC=2∠B=120°,又∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA=30°,又
∵AP=AC,∴∠P=∠ACP=30°,∴∠OAP=∠AOC-∠P=90°,∴OA⊥PA,∴PA是☉O的切线. (2)解:在Rt△OAP中,
∵∠P=30°,∴PO=2OA=OD+PD,又∵OA=OD,∴PD=OA,∵PD=❑√3,∴2OA=2PD=2❑√3,∴☉O的直径为2❑√3.
8.(1)证明:如图所示,连接AO,AC.∵BC是☉O的直径,∴∠BAC=∠CAD=90°.∵E是CD的中点,
∴CE=DE=AE.∴∠ECA=∠EAC.∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA.∵CD是☉O的切线,
∴CD⊥OC.∴∠ECA+∠OCA=90°.∴∠EAC+∠OAC=90°.∴OA⊥AP.∵A是☉O上一点,∴AP是☉O的切线. (2)解:
OA 1
由(1)知OA⊥AP.在Rt△OAP中,∵∠OAP=90°,OC=CP=OA,即OP=2OA,∴sin P= =
OP 2
,∴∠P=30°.∴∠AOP=60°.∵OC=OA,∴∠ACO=60°.在Rt△BAC中,∵∠BAC=90°,AB=6,∠ACO=60°,∴AC=
AB AC
=2❑√3,又∵在Rt△ACD中,∠CAD=90°,∠ACD=90°-∠ACO=30°,∴CD= =
tan∠ACB cos∠ACD
2❑√3
=4.
cos30°1
9.解:(1)∵∠C=90°,BC=3,AC=4,∴△ABC的面积为 ×3×4=6. (2)如图所示,连接OE, OD,OF,∵☉O为△ABC的
2
1 1 1 1
内切圆,D,E,F为切点,∴OD=OE=OF=r,∴△ABC的面积= BC·OE+ AC·OD+ AB·OF= (AB+BC+AC)r=6,即
2 2 2 2
1
×(3+4+5)r=6,∴r=1. (3)∵CD=1,∴AF=AD=4-1=3.
2
⏜ ⏜
10.(1)证明:连接OD,OC,∵PC是☉O的切线,∴∠PCO=90°,∵AB⊥CD,AB是直径,∴BD=BC,∴∠DOP=∠COP,
在△DOP和△COP中, DO=CO,∠DOP=∠COP,OP=OP,∴△DOP≌△COP(SAS),∴∠ODP=∠PCO=90°,∵D在☉O
上,∴PD是☉O的切线. (2)证明:∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°,由(1)知∠PDO=90°,∴∠ADO=∠PDB=90°-
PD PA
∠BDO,∵OA=OD,∴∠A=∠ADO,∴∠A=∠PDB,∵∠DPB=∠APD,∴△PDB∽△PAD,∴ = ,∴PD2=PA·PB. (3)
PB PD
解:∵DC⊥AB,设垂足为
1 1 BD
M,∴∠ADB=∠DMB=90°,∴∠A+∠DBM=90°,∠BDC+∠DBM=90°,∴∠A=∠BDC,∵tan∠BDC= ,∴tan A= = ,
2 2 AD
PB PD BD 1
由(2)知△PDB∽△PAD,∴ = = = ,∵PD=4,∴PB=2,PA=8,∴AB=8-2=6.
PD PA AD 2
情境引入是利用学生熟知的生活现象图片,激发了学生的学习兴趣和学习新知识的好奇心,在学生的好
奇下引出新授内容,从而使学生很快融入课堂.本节课在探索新知识的环节设计上重在让学生参与, 尽可能
多地为学生创造自主学习、合作交流的机会,促使他们主动参与、积极探究,让学生真正“动起来”,让学生
真正成为课堂的主人.教学过程中,对于学生的表现,给予了及时的鼓励和评价:一个会心的微笑、学生的掌
声、翘起的拇指、真诚的语言……让学生及时感受到被认可,学生就有更大的动力投入到后面的学习中去.
本节课中由于时间关系,处理得比较仓促,并且多数题目没有与以前的知识联系起来.自我测试的巩固环节上,可以进行分层评价,分层评价中设置不同层次的题目,发展学生的发散思维,使
每个学生都有收获,都能体验成功的快乐.
随堂练习(教材第93页)
12
1.解:半径分别为3,4, .
5
2.解:三角形的内心都在三角形的内部.
习题3.8(教材第93页)
1.解:直线AB是☉O的切线.理由如下:连接OC,∵OA=OB,CA=CB,∴OC⊥AB,∴AB与☉O相切.
1 1
2.解:∵∠A=68°,∴∠ABC+∠ACB=180°-68°=112°,∴ ∠ABC+ ∠ACB=56°.又∵∠BIC=
2 2
1 1 (1 1 )
180°-(∠IBC+∠ICB),且∠IBC= ∠ABC,∠ICB= ∠ACB,∴∠BIC=180°- ∠ABC+ ∠ACB =180°-
2 2 2 2
56°=124°.
3.解:以OP为直径作圆,与☉O相交于A,B两点,然后作射线PA,PB.则PA,PB即为☉O的切线.
1.通过情境导入初步感知圆的切线,让学生感受数学来源于生活的事实.
2.通过交流与合作,探究出圆的切线的判定定理,关于定理一定要重点强调前提条件“过半径的外端”,
这是本节课的一个易错点.
3.通过动手操作作出圆的切线和三角形的内切圆,然后再利用类比探究三角形外接圆(外心)的方法总结
归纳出三角形内切圆(内心)的概念及性质,这样会降低难度,突破难点.
(2014·威海中考)如图所示,在△ABC中,∠C=90°,∠ABC的平分线交AC于点E,过点E作BE的垂
线交AB于点F,☉O是△BEF的外接圆.(1)求证AC是☉O的切线.
(2)过点E作EH⊥AB于点H,求证CD=HF.
〔解析〕 (1)连接OE,由于BE是角平分线,则有∠CBE=∠OBE,而OB=OE,就有∠OBE=∠OEB,等量代换
有∠OEB=∠CBE,那么利用内错角相等,两直线平行,可得OE∥BC;又∠C=90°,所以∠AEO=90°,即AC是☉O的
切线;(2)连接DE,先根据AAS证明△CDE≌△HFE,再由全等三角
形的对应边相等即可得出CD=HF.
证明:(1)连接OE.
∵BE平分∠ABC,∴∠CBE=∠OBE,
∵OB=OE,∴∠OBE=∠OEB,
∴∠OEB=∠CBE,∴OE∥BC,
∴∠AEO=∠C=90°,∴AC是☉O的切线.
(2)如图所示,连接DE.
∵∠CBE=∠OBE,EC⊥BC于C,EH⊥AB于H,∴EC=EH.
∵∠CDE+∠BDE=180°,∠HFE+∠BDE=180°,∴∠CDE=∠HFE.
在△CDE与△HFE中,∠CDE=∠HFE,∠C=∠EHF=90°,EC=EH,∴△CDE≌△HFE(AAS),∴CD=HF.
[解题策略] 本题主要考查了切线的判定,全等三角形的判定与性质.要证某线是圆的切线,已知此线过
圆上某点,连接圆心与这点(即为半径),再证垂直即可.
*7 切线长定理
1.了解切线长的概念,并经历探索切线长定理的过程.
2.会证明切线长定理,并能运用切线长定理进行相关的计算.1.初步学会从数学的角度提出问题、理解问题,并能运用所学的知识和技能解决问题,发展应用意识.
2.在解题过程中,形成解决问题的基本策略,体验解决问题策略的多样性,发展实践能力与创新精神.
了解数学的价值,对数学有好奇心与求知欲,在数学学习活动中获得成功的体验,锻炼克服困难的意志,
建立自信心.
【重点】 了解切线长的概念,掌握切线长定理.
【难点】 切线长定理的证明及应用.
【教师准备】 多媒体课件和圆规.
【学生准备】
1.复习三角形内切圆等相关知识.
2.直尺和圆规.
导入一:
在一个墙角放置了一个圆形的容器,俯视图如图所示,在俯视图中圆与两边的墙分别切于B,C两点.
【问题】 图中的线段AB和线段AC的长度有什么关系?为什么?
学生大胆猜测:AB=AC,但是不知道什么原因.
【引入】 从☉O 外的A点画出的两条切线AB和AC为什么相等?这就是本节课我们要探究的内容
——切线长定理.
[设计意图] 通过让学生看到日常生活所熟悉的情境,极大地激发了学生的学习兴趣,并在鼓励其大胆
猜想的同时引出了本节课所要探究的内容,使学生能做到有的放矢.
导入二:
如图所示,PA,PB是☉O的两条切线.有一天中午,一只小蜗牛放学回家,饥饿难耐,妈妈把小蜗牛喜欢吃的
两份一样的美食分别放在了☉O上的A,B两点处,你帮小蜗牛选择一下,在相同的速度的条件下,沿路PA走
还是沿路PB走能使它尽快吃到食物?【学生活动】 学生积极发言,大胆猜测,教师要求学生说明各自结论的理由.
学生分析:大部分同学会认为两条路是一样的,即PA=PB.
【问题】 PA和PB是过圆外一点P画出的圆的两条切线,如果PA=PB,那么是否过圆外任意一点画出
的圆的两条切线都相等呢?
[设计意图] 通过小蜗牛的故事,吸引了学生的注意力,让他们在游戏中初步感知本节课的探究任务,为
下面切线长定理概念的探究打下了良好的基础.
[过渡语] 前面我们探究了圆的切线的性质定理,圆的切线还有哪些相关的性质呢?今天我们就来进行
探索.
一、切线长概念
想一想:过圆外一点画圆的切线,你能画出几条?
【师生活动】 学生迅速抢答:过圆外一点可以作一条、两条,还有的学生认为可以作无数条圆的切线.
教师要求学生动手操作,教师巡视发现问题.
【教师点评】 过圆外一点能画出两条圆的切线.
课件出示:
【议一议】 如图所示,PA,PB是☉O的两条切线,A,B是切点.
问题:(1)这个图形是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?
学生分析:这个图形是轴对称图形,它的对称轴是点P,O所在的直线.
问题:(2)在这个图形中你能找到相等的线段吗?
【师生活动】 学生思考后得出PA=PB.教师要求学生说说理由.
代表发言:因为这个图形是轴对称图形,根据其性质“对应线段相等” 就可以得出PA=PB.
【教师点评】 图中的线段PA,PB是圆的切线,它们的长度就叫做切线长.
切线长概念:过圆外一点画圆的切线,这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.
[设计意图] 通过切线长概念的探究过程,不但了解了切线长的概念,而且通过对相等线段的判断,使学
生初步感知了切线长定理的证明方法,为下面定理的证明打下良好的基础.
[知识拓展]
切线与切线长的区别:它们是两个不同的概念,切线是直线,不能度量;切线长是线段的长,这条线段的两
个端点分别是圆外一点和切点,可以度量.
[过渡语] 上面我们了解了切线长的概念,那么过圆外一点所画的圆的两条切线的长度有什么关系呢?
二、切线长定理及其证明
【教师引导】 通过情境导入和上面对议一议第二个问题的探究,我们都得到了一个同样的结论切线
长定理:过圆外一点所画的圆的两条切线的长相等.
【想一想】 除了刚才我们利用轴对称的性质外,你还有其他的方法对切线长定理进行证明吗?学生分析:根据“见切点连半径”的思路,可以构造出两个直角三角形,再根据切线的性质证明两个三角
形全等就可以得出PA=PB.
【师生活动】 要求学生先独立解答,完成后同伴相互交流,代表板演展示.学生完成后,教师课件出示
解答过程,供学生参考,规范他们的解题步骤.
已知:如图所示,PA,PB是☉O的两条切线,A,B是切点.
求证:PA=PB.
证明:连接OA,OB,PO.
∵PA,PB是☉O的切线,
∴∠PAO=∠PBO=90°.
在Rt△OPA和Rt△OPB中,
∵OA=OB,OP=OP,
∴Rt△OPA≌Rt△OPB.
∴PA=PB.
符号语言描述:
若线段PA,PB是☉O的切线,则PA=PB.
[设计意图] 通过对切线长定理的证明,不但加深了对切线长定理的印象,还进一步掌握了切线的辅助
线的做法,一举两得.
[知识拓展] 切线长定理推论1:圆心和圆外一点的连线,平分从这点出发的两条切线的夹角.
三、圆外切四边形边的性质
[过渡语] 上节课我们研究了三角形的内切圆的性质,那么四边形的内切圆又有什么样的性质呢?课件
出示:
【想一想】 如图所示,四边形ABCD的四条边都与☉O相切,图中的线段之间有哪些等量关系?与同伴
进行交流.
【教师活动】 为帮助学生更好地解决问题,教师出示下面的图形,帮助学生进行分析.
【学生活动】 学生仔细观察,找出图中相等的线段后,与同伴交流,统一答案.
代表发言:∵四边形ABCD为圆外切四边形,根据切线长定理可得:AH=AE,BE=BF,CF=CG,DG=DH.
【问题】 但是原图中并没有E,F,G,H四个点,显然题目的原意并不是要得出上面的四组线段相等,你
还能得出线段之间的相等关系吗?【师生活动】 学生分组讨论,教师巡视并参与到学生的讨论当中去,对感觉有难度的学生及时进行点
拨、指正.每组的代表把得到的结论写在黑板上,统一学生的答案,教师找学生说明理由.
证明:∵AH=AE,BE=BF,CF=CG,DG=DH,
∴AB+CD=AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH=(AH+DH)+(BF+CF)= AD+BC,
即AB+CD=AD+BC.
【教师点评】 切线长定理推论2:圆的外切四边形的两组对边之和相等.
[设计意图] 通过探究,使学生对切线长定理有了更深刻的理解,同时利用切线长定理的拓展也提高了
学生分析问题、解决问题的综合能力.
[过渡语] 本节课我们理解并掌握了切线长定理,相信你一定能利用这个知识解决下面的问题.
课件出示:
如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=10,BC=24,☉O是△ABC的内切圆,切点分别为D,E,F,求☉O
的半径.
思路一
〔解析〕 由AC,BC的值利用勾股定理可以求出AB的长度.根据 “见切点连半径”作出辅助线,可以
得出四边形OECF是正方形.然后利用切线长定理可以列出以☉O半径为未知数的方程,解方程得出半径.
解:连接OD,OE,OF,则OD=OE=OF,设OD=r.
在Rt△ABC中,AC=10,BC=24,
∴AB=❑√AC2+BC2=❑√102+242=26.
∵☉O分别与AB,BC,CA相切于点D,E,F,
∴OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC,BD=BE,AD=AF,CE=CF.
又∵∠C=90°,
∴四边形OECF为正方形.
∴CE=CF=r.
∴BE=24-r,AF=10-r.
∴AB=BD+AD=BE+AF=24-r+10-r=34-2r.
而AB=26,∴34-2r=26.
∴r=4,
即☉O的半径为4.
思路二
〔解析〕 由AC,BC的值利用勾股定理可以求出AB的长度.根据 “见切点连半径”作出辅助线,利用
“△ABC的面积=△ABO的面积+△BCO的面积+△ACO的面积”, 列出以☉O半径为未知数的方程.
解:设OD=r,分别连接OA,OB,OC,OD,OE,OF,
在Rt△ABC中,AC=10,BC=24,
∴AB=❑√AC2+BC2=❑√102+242=26.
∵S =S +S +S ,
△ABC △ABO △BCO △ACO1 1 1 1
∴ ×10×24= ×26×r+ ×24×r+ ×10×r,
2 2 2 2
解得r=4.
即☉O的半径为4.
[设计意图] 本节课的例题设计紧扣这堂课的知识点,通过对例题的解答,既巩固了本节课的重点,又培
养了学生灵活应用切线长定理的能力.
1.切线长概念.
2.切线长定理.
3.切线长定理的两个推论.
1.如图所示,PA切☉O于A,PB切☉O于B,OP交☉O于C,下列结论中错误的是 ( )
A.∠1=∠2 B.PA=PB
C.AB⊥OP D.PA2=PC·PO
解析:由切线长定理可判断出A,B选项均正确.易知△ABP是等腰三角形,根据等腰三角形三线合一的特
点,可求出AB⊥OP,故C正确.故选D.
2.如图所示,△MBC中,∠B=90°,∠C=60°,MB=2❑√3,点A在MB上,以AB为直径作☉O与MC相切于点D,
则CD的长为 ( )
A.❑√2 B.❑√3 C.2 D.3
MB 2❑√3
解析:在Rt△BCM中,tan 60°=❑√3= ,∴BC= =2,∵AB为☉O的直径,且AB⊥BC,∴BC为圆O的切
BC ❑√3
线,又CD也为☉O的切线,∴CD=BC=2.故选C.
3.如图所示,☉O与△ABC的边AB,AC,BC分别相切于点D,E,F,如果AB=4,AC=5,AD=1,那么BC的长为
.
解析:∵AB,AC,BC都是☉O的切线,
∴AD=AE,BD=BF,CE=CF,∵AB=4,AC=5,AD=1,∴AE=1,BD=BF=3,CE=CF=4,∴BC=BF+CF=3+4=7.故填7.4.如图所示,PA,PB,DE分别切☉O于A,B,C,☉O的半径为6 cm,OP的长为10 cm,则△PDE的周长是
.
解析:连接OA.∵PA,PB,DE分别切☉O于A,B,C点,∴BD=CD,CE=AE,PA=PB,OA⊥AP.在直角三角形OAP
中,根据勾股定理,得AP=8,∴△PDE的周长为2AP=16.故填16 cm.
5.如图所示,PA,PB分别切☉O于A,B,连接PO与☉O相交于C,连接AC,BC,求证AC=BC.
证明:∵PA,PB分别切☉O于A,B,∴PA=PB,∠APC=∠BPC.
又∵PC=PC,∴△APC≌△BPC.∴AC=BC.
7 切线长定理
1.切线长概念:
过圆外一点做圆的切线,这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.
2.切线长定理:
过圆外一点所画的圆的两条切线长相等.
一、教材作业
【必做题】
1.教材第95页随堂练习.
2.教材第96页习题3.9第1,2,3题.
【选做题】
教材第96页习题3.9第4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.如图所示,PA,PB分别切☉O于A,B两点,如果∠P=60°,PA=2,那么AB的长为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.42.如图所示,圆外切等腰梯形ABCD的中位线EF=15 cm,那么等腰梯形ABCD的周长等于 ( )
A.15 cm B.20 cm C.30 cm D.60 cm
3.如图所示,P为☉O的直径BA延长线上的一点,PC与☉O相切,切点为C,点D是☉上一点,连接PD.已知
PC=PD=BC.下列结论:①PD与☉O相切;②四边形PCBD是菱形;③PO=AB;④∠PDB=120°.其中正确的个数为
个.
4.如图所示,☉O与△ABC中AB,AC的延长线及BC边相切,且∠ACB=90°,∠A,∠B,∠C所对的边长依次为3,4,5,
则☉O的半径是 .
【能力提升】
5.(2014·内江中考)如图所示,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=6,以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆分
别与AC,BC相切于点D,E,则AD为 ( )
A.2.5 B.1.6 C.1.5 D.1
6.(2014·宜宾中考)如图所示,已知AB为☉O的直径,AB=2,AD和BE是☉O的两条切线,A,B为切点,过圆上一
点C作☉O的切线CF,分别交AD,BE于点M,N,连接AC,CB,若∠ABC=30°,则AM= .7.如图所示,PA,PB分别切☉O于A,B两点,CD切☉O于点E,分别交PA,PB于点D,C.若PA,PB的长是关于x
的一元二次方程x2-mx+m-1=0的两个根,求△PCD的周长.
8.如图所示,Rt△ABC中,∠C=90°,BC=5.☉O分别内切Rt△ABC的三边AB,BC,CA于D,E,F,半径r=2.求△ABC的
周长.
【拓展探究】
9.(2014·聊城中考)如图所示,AB,AC分别是半圆O的直径和弦,OD⊥AC于点D,过点A作半圆O的切线
AP,AP与OD的延长线交于点P.连接PC并延长,与AB的延长线交于点F.
(1)求证PC是半圆O的切线;
(2)若∠CAB=30°,AB=10,求线段BF的长.
【答案与解析】
1.B(解析:∵PA,PB分别切☉O于A,B,∴PA=PB.∵∠P=60°,∴△PAB是等边三角形.∴AB=PA=2.故选B.)
2.D(解析:根据梯形的中位线等于两底和的一半,得梯形的两底和等于梯形的中位线的2倍,即30 cm.根据圆
外切四边形的两组对边和相等,得梯形的两腰的和等于两底和,即30 cm.则梯形的周长等于30+30=60(cm).
故选D.)
3.4 (解析:①连接OC,OD,利用切线的性质得出∠PCO=90°,进而得出△PCO≌△PDO(SSS),即可得出
∠PCO=∠PDO=90°,得出答案正确;②利用①所求得出:∠CPB=∠BPD,进而求出△CPB≌△DPB(SAS),即可得出
1 1
答案正确;③利用全等三角形的判定得出△PCO≌△BCA(ASA),进而得出CO= PO= AB,即可得出答案正确;
2 2
④利用四边形PCBD是菱形,∠CPO=30°,且DP=DB,则∠DPB=∠DBP=30°,即可得出答案正确.)
4.2(解析:如图所示,设切点分别为D,E,F,连接OD,OE,∵☉O与△ABC中AB,AC的延长线及BC边相切,
∴AF=AD,BE=BF,CE=CD,OD⊥AD,OE⊥BC,∵∠ACB=90°,∴四边形ODCE是正方形,设OD=r,则
CD=CE=r,∵BC=3,∴BE=BF=3-r,∵AB=5,AC=4,∴AF=AB+BF=5+3-r,AD=AC+CD=4+r,∴5+3-r=4+r,r=2,则☉O的
半径是2.)
5.B (解析:连接OD,OE,设AD=x,∵半圆分别与AC,BC相切,∴∠CDO=∠CEO=90°,∵∠C=90°,∴四边形ODCE是
矩形,∴OD=CE,OE=CD,∴CD=CE=OE=OD=4-x,BE=6-(4-AD OD x 4-x
x)=x+2,∵∠AOD+∠A=90°,∠AOD+∠BOE=90°,∴∠A=∠BOE,∴△AOD∽△OBE,∴ = , ∴ = ,解
OE BE 4-x x+2
得x=1.6.故选B.)
❑√3
6. (解析:连接OM,OC,∵OB=OC,且∠ABC=30°,∴∠BCO=∠ABC=30°,∵∠AOC为△BOC的外角,
3
∴∠AOC=2∠ABC=60°,∵MA,MC分别为☉O的切线,∴MA=MC,且∠MAO=∠MCO=90°,在Rt△AOM和Rt△COM
1 1
中,MA=MC,OM=OM,∴Rt△AOM≌Rt△COM(HL),∴∠AOM=∠COM= ∠AOC=30°,在Rt△AOM中,OA=
2 2
AM ❑√3 AM ❑√3
AB=1,∠AOM=30°,∴tan 30°= ,即 = ,∴AM= .)
OA 3 1 3
7.解:∵PA,PB的长是关于x的一元二次方程x2-mx+m-1=0的两个根,∴PA+PB=m,PA·
m m m
PB=m-1,∵PA,PB切☉O于A,B两点,∴PA=PB= ,即 · =m-1,即m2-4m+4=0,解得m=2,∴PA=PB=1,∵PA,PB
2 2 2
切☉O于A,B两点,CD切☉O于点E,∴AD=ED,BC=EC,∴△PCD的周长为
PD+CD+PC=PD+DE+EC+PC=PD+AD+BC+PC=PA+PB=2.
8.解:根据切线长定理,得BD=BE,CE=CF,AD=AF.如图所示,连接OE,OF,则OE⊥BC,OF⊥AC,∴四边形OECF
是矩形,又∵OE=OF,∴矩形OECF是正方形,∴CE=CF=r=2.又∵BC=5,∴BE=BD=3.设AF=AD=x,根据勾股定理,
得(x+2)2+25=(x+3)2,解得x=10.则AC=12,AB=13.即△ABC的周长是5+12+13=30.
9.(1)证明:如图,连接OC,∵OD⊥AC,OD经过圆心O,∴AD=CD,又在Rt△PAD和Rt△PCD中,PD=PD,∴PA=PC,
在△OAP和△OCP中,OA=OC,PA=PC,OP=OP,∴△OAP≌△OCP(SSS),∴∠OCP=∠OAP,∵PA是☉O的切线,
∴∠OAP=90°.∴∠OCP=90°,即OC⊥PC,∴PC是☉O的切线. (2)解:∵AB是直径,
1
∴∠ACB=90°,∵∠CAB=30°,∴∠COF=60°,∵PC是半圆O的切线,AB=10,∴OC⊥PF,OC=OB= AB=5,∴OF=
2
OC 5
= =10.∴BF=OF-OB=5.
cos∠COF cos60°本课依然采用自主探究与小组合作结合的学习方式,对课程内容提出问题后先让学生独立完成,然后在
小组内交流并整理所获得的信息内容,最后在课堂上展示组内成果,从而调动学生学习的积极性.在探究过
程中要积极引导学生进行操作、观察、归纳、推理等活动,鼓励学生动手、动脑和动口,使学生经历知识的
探索过程,并让他们在学习活动中体会到成功的喜悦,从而使教学目标落实到位.
讲解例题时,增加了一种解题思路,所以只注意了优等生的课堂反映情况,对后进生的关注不够,造成了
有的学生掌握得不好.
在教学中不要只强调结论,要特别关注学生的动手操作过程,关注他们互相交流的过程,看学生是否能积
极地投入到数学活动中去,要多加鼓励,提高他们学习数学的兴趣.
随堂练习(教材第95页)
解:如图所示,连接OA,OB.因为PA为☉O的切线,所以OA⊥PA,即∠OAP=90°.因为OA=3,PO=6,所以PA=
❑√62-32=3❑√3.同理可得PB=3❑√3.
习题3.9(教材第96页)
1.解:∵PA与PB分别切☉O于A,B两点,DE切☉O于C,∴PA=PB=5 cm,DA=DC,EC=EB,∴△PDE的周长
=PD+PE+DC+EC=PD+DA+PE+EB=PA+PB=10 cm.
2.解:设AF=x,∵△ABC的内切圆☉O与三边分别相切于D,E,F三点,
AB=9,BC=14,CA=13,∴AE=AF=x,BF=BD=AB-AF=9-x,CE=CD=AC-AE=13-x,∵BD+CD=BC,∴9-x+13-x=14,解得
x=4,∴AF=4,BD=5,CE=9.
3.解:∵PA与PB分别切☉O于A,B两点,
∴PA=PB,∴∠PAB=∠PBA,∵∠P=40°,∴∠PAB=∠PBA=70°.∵AD=BE,BD=AF,∴△FAD≌△DBE.
∴∠ADF=∠BED.∵∠BED+∠BDE=180°-70°=110°,∴∠ADF+∠BDE=110°. ∴∠EDF=180°-(∠ADF+∠BDE )=70°.
4.解:存在内切圆.连接AC,作∠ABC的平分线,交AC于点O,点O即为四边形ABCD的内切圆的圆心.过点O
分别作BC,AB的垂线,垂足分别为E,F.可得四边形OEBF为正方形,OE即为☉O的半径.由△OEC∽△ABC得
OE CE OE 8-OE 24 24
= ,即 = ,解得OE= ,即内切圆的半径为 .
AB CB 6 8 7 7
1.让学生通过动手操作逐步感知切线长的概念、定理、定理的证明、定理的应用的过程,再次体会探
究新知的一般过程.
2.由于本节课的知识点比较少,所以通过自主探究和合作交流学生基本上可以掌握本节课的重点内容.3.对于圆的外切四边形的性质的探究则可以利用切线长定理进行类比延伸.
4.切线长定理的辅助线作法——“见切点连半径”,也要求学生要重点掌握.
如图所示,若△ABC的三边长分别为AB=
9,BC=5,CA=6,△ABC的内切圆☉O分别切AB,BC,AC于D,E,F,求AF的长.
〔解析〕 由切线长定理可知AF=AD,CF=CE,BE=BD,设AF=x,然后表示出BD,CF的长,即可表示出
BE,CE的长,根据BE+CE=5,可求出AF的长.
解:设AF=x,根据切线长定理得AD=x,BD=BE=9-x,CE=CF=6-x,
则有9-x+6-x=5,解得x=5,
即AF的长为5.
[解题策略] 此题主要是运用了切线长定理,用已知数和未知数表示所有的切线长,再进一步列方程求
解.
8 圆内接正多边形
1.了解圆内接正多边形的概念及相关概念.
2.能运用正多边形的知识解决圆的有关计算问题.
3.会用尺规作圆的内接正多边形.
学生在探讨正多边形和圆的关系的学习过程中,体会到要善于发现问题,解决问题,发展学生的观察、比
较、分析、概括及归纳的逻辑思维能力.
1.通过合作交流、探索、实践培养学生的主体意识.
2.通过学习,体验数学与生活的紧密联系,感受圆的对称美,正多边形与圆的和谐美,从而更加热爱生活,
珍爱生命.
【重点】 掌握圆内接正多边形的性质并能加以熟练运用.
【难点】 用尺规作圆内接正多边形.
【教师准备】 多媒体课件和圆规.
【学生准备】1.复习勾股定理和垂径定理等相关知识.
2.圆规、直尺.
导入一:
如图所示的向日葵图案是用等分圆周画出的,图中的多边形是什么图形?它与圆的内接三角形有什么相
同之处吗?
学生分析:图中的多边形是正六边形,它与圆的内接三角形一样顶点都在圆上.
【问题】 它有哪些性质?它又是如何画出来的呢?
[设计意图] 利用类比的方法,使学生初步感知圆内接多边形的模型,利用学生急于知道答案的心理设
计问题,增加了它的神秘感,更加激发了学生的求知欲望.
导入二:
如图所示的是正六边形的蓝色纸板,如果以它的中心为圆心,以中心到顶点的距离为半径画圆,你会有什
么发现?
【师生活动】 学生利用直尺和圆规动手操作,进行画图,教师巡视,对于发现的问题及时予以纠正,学
生完成后与同伴交流,然后教师出示课件,供学生参考.让学生说出自己发现的结论,师生共同订正.
【问题】 六边形和圆有什么样的位置关系?如果先给你一个圆,你能在圆中画出正六边形吗?
[设计意图] 在教学中创设问题情境,激发学生对探索圆内接正多边形的兴趣.通过学生的作图活动,使
学生明确这节课的学习任务,利于学生集中精力学习重点内容.
[过渡语] 前面我们探究了圆内接三角形的概念及性质,和圆有关的其他多边形又有什么样的特征呢?
一、圆内接正多边形的概念
课件出示:
如图所示:【问题】
1.你能从这四幅图中找出多边形吗?它们都是几边形?
2.它们都是什么样的多边形?
3.这些正多边形的顶点都具有什么样的特征?
【学生活动】 学生观察,与同伴交流,思考后得出结论.
【教师点评】 每个多边形的边长都相等,所以它们都是正多边形,并且这些正多边形的顶点都在圆上.
顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形.这个圆叫做该正多边形的外接圆.
[过渡语] 我们如何简单、快速地作出圆的内接正多边形呢?
教师引导学生思考下面的问题:
1.如何作圆内接正三角形?正四边形?正五边形?正六边形?
2.如何作圆内接正n边形?
【活动方式】 分组活动,全班分成四个组分别作四种图形.
【师生活动】 学生思考后讨论,教师巡视,并参与到学生的讨论中去.然后学生作出圆的内接正多边
形.请代表发言,说出他们的作法.
【教师点评】 利用平分圆的方法作圆内接正多边形的方法:
把一个圆n等分(n≥3),依次连接各分点,就可以作出一个圆内接正多边形.
[过渡语] 下面我们了解一下圆内接正多边形的相关概念.
课件出示:
如图所示,五边形ABCDE是☉O的内接五边形.
【活动方式】 让学生通过图形,结合课本,自己了解圆内接正五边形的相关概念.
【教师点评】 圆心O叫做这个正五边形的中心;OA是这个正五边形的半径,∠AOB是这个正五边形
的中心角;OM⊥BC,垂足为M,OM是这个正五边形的边心距.
[设计意图] 学生经历观察、猜想、操作的过程,逐步掌握了圆内接正多边形的相关概念和作法,并利
用类比推理的方法得到其性质,提高了学生解决问题的综合能力.
[知识拓展] 正n边形的性质:
360°
1.正n边形的每个中心角都相等,都等于 ;
n
360°
2.正n边形的每个外角都相等,都等于 ;
n360°
3.正n边形的每个内角都相等,都等于180°- .
n
[过渡语] 上面我们了解了圆内接正多边形的概念及性质,请你运用这些知识解决下面的问题.
二、圆内接正多边形性质的运用
课件出示:
如图所示,在圆内接正六边形ABCDEF中,半径OC=4,OG⊥BC,垂足为G,求这个正六边形的中
心角、边长和边心距.
〔解析〕 在由半径OC、边长的一半CG、边心距OG组成的Rt△OGC中,利用勾股定理进行解决是
解题的关键,而求解边长,则连接OD得出△OCD是等边三角形就可以得出OC=CD=4.
解:连接OD.
∵六边形ABCDEF为正六边形,
360°
∴∠COD= =60°.
6
∴△COD为等边三角形,
∴CD=OC=4.
1 1
在Rt△COG中,OC=4,CG= BC= ×4=2,
2 2
∴OG=❑√OC2-CG2=❑√42-22=2❑√3.
∴正六边形ABCDEF的中心角为60°,边长为4,边心距为2❑√3.
[设计意图] 此例是教材上的例题,紧扣这堂课的知识点,重点是对基础知识的巩固,并在巩固重点之余
又培养了灵活应用能力.
[知识拓展] 特殊的圆内接正多边形的边长、半径、边心距之比:
正多边形 图形 边长、半径、边心距之比
正三角形 2❑√3∶2∶1
正四边形 2∶❑√2∶1正六边形 2∶2∶❑√3
[过渡语] 前面我们已经掌握了利用平分圆的方法作圆内接正多边形的方法,你能用尺规作圆内接正
多边形吗?
三、用尺规作圆内接正多边形
课件出示:
【做一做】 你能用尺规作一个已知圆的内接正六边形吗?
教师引导学生思考下面的问题:
1.通过例题探究圆的内接正六边形的边长与圆的半径有什么关系.
2.你能利用圆的内接正六边形的边长与圆的半径的关系利用尺规进行作图了吗?
【学生活动】 学生首先独立作图,然后小组交流,代表展示.
【教师点评】 利用尺规作圆内接正多边形的思路还是等分圆.
以作圆内接正六边形为例.
作法:
(1)作☉O的任意一条直径FC.
(2)分别以F,C为圆心,以☉O的半径R为半径作弧,与☉O相交于点E,A和D,B.
(3)顺次连接AB,BC,CD,DE,EF,FA,便得到正六边形ABCDEF.
[设计意图] 操作性强又富有挑战性的数学活动,有利于激发学生的学习兴趣,掌握尺规作图的方法的
同时,为下面的应用打下了良好的基础.
[过渡语] 你利用这种方法还能作圆的内接正多边形吗?
课件出示:
【想一想】 你能借助尺规作出圆内接正四边形吗?你是怎么做的?与同伴进行交流.
【学生活动】 学生自己独立完成.代表说出作法:
作一个☉O,取☉O直径为AB,作AB的垂直平分线交☉O于C,D,顺次连接A,C,B,D,四边形ACBD即为☉O
的内接正四边形.
[设计意图] 通过动手操作不但提高了学生的作图能力,还进一步巩固了本节课所学的知识,一举两得.
1.圆内接正多边形的概念及相关概念.
2.圆内接正多边形的性质.
3.圆内接正多边形的尺规作法.
1.如图所示,☉O是正方形ABCD的外接圆,点P在☉O上,则∠APB等于 ( )
A.30°
B.45°C.55°
D.60°
解析:连接OA,OB.根据正方形的性质,得∠AOB=90°.再根据圆周角定理,得∠APB=45°.故选B.
2.如图(1)所示,要拧开一个边长为a=6 mm的正六边形螺帽,扳手张开的开口b至少为 ( )
A.6❑√2 mm B.12 mm
C.6❑√3 mm D.4❑√3 mm
解析:如图(2)所示,设正多边形的中心是O,其一边是AB,∴∠AOB=∠BOC=60°,∴OA=OB=AB=OC=BC,∴四
AM ❑√3
边形ABCO是菱形,∴AC⊥OB,AM=MC,∵AB=6 mm,∠AOB=60°,∴cos∠BAC= ,∴AM=6× =3❑√3
AB 2
,∴AC=2AM=6❑√3(mm).故选C.
3.(2014·南京中考)如图所示,AD是正五边形ABCDE的一条对角线,则∠BAD= .
2
解析:如图所示,设O是正五边形的中心,作出正五边形ABCDE的外接圆,连接OD,OB,则∠DOB=
5
1
×360°=144°,∴∠BAD= ∠DOB=72°.故填72°.
2
4.(2014·江西中考)如图所示,△ABC内接于☉O,AO=2,BC=2❑√3,则∠BAC的度数为 .1 1
解析:连接OB,OC,作OD⊥BC于D,如图所示,∵OD⊥BC,∴BD= BC= ×2❑√3=❑√3,在Rt△OBD中,
2 2
BD ❑√3 1
OB=OA=2,BD=❑√3,∴cos∠OBD= = ,∴∠OBD=30°,∵OB=OC,∴∠OCB=30°,∴∠BOC=120°,∴∠BAC= ∠
OB 2 2
BOC=60°.故填60°.
5.已知正六边形ABCDEF的外接圆的半径为2 cm,求这个正六边形的边长、周长和面积.
解:∵正六边形的外接圆的半径等于边长,
∴正六边形的边长=2 cm;
正六边形的周长l=6×2=12(cm);
1
正六边形的面积S=6× ×2×❑√3=6❑√3(cm2).
2
8 圆内接正多边形
1.圆内接正多边形:
顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形.这个圆叫做该正多边形的外接圆.
2.正n边形的性质:
360°
(1)正n边形的每个中心角都相等,都等于 ;
n
360°
(2)正n边形的每个外角都相等,都等于 ;
n
360°
(3)正n边形的每个内角都相等,都等于180°- .
n
一、教材作业
【必做题】
1.教材第98页随堂练习.
2.教材第99页习题3.10第1,2,3题.
【选做题】
教材第99页习题3.10第4,5题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.若正方形的边长为6,则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为 ( )
A.6,3❑√2B.3❑√2,3
C.6,3 D.6❑√2,3❑√2
2.(2014·天津中考)正六边形的边心距为❑√3,则该正六边形的边长是 ( )
A.❑√3 B.2 C.3 D.2❑√3
3.(2014·德阳中考)半径为1的圆内接正三角形的边心距为 .4.如图所示,将正六边形ABCDEF放在直角坐标系中,中心与坐标原点重合,若A点的坐标为(-1,0),则点C的
坐标为 .
【能力提升】
5.(2014·玉林中考)蜂巢的构造非常美丽、科学,如图所示的是由7个形状、大小完全相同的正六边形组成
的网格,正六边形的顶点称为格点,△ABC的顶点都在格点上.设定AB边如图所示,则△ABC是直角三角形的
个数有 ( )
A.4个 B.6个 C.8个 D.10个
6.已知☉O的面积为2π,则其内接正三角形的面积为 .
7.如图所示,已知正方形ABCD的边心距OE=❑√2 cm,求这个正方形外接圆☉O的面积.
8.作已知圆的内接正八边形.
9.如图①所示,有一个宝塔,它的地基边缘是周长为26 m的正五边形ABCDE(如图②所示),点O为中心.(下列
各题结果精确到0.1 m)
(1)求地基的中心到边缘的距离;
(2)已知塔的墙体宽为1 m,现要在塔的底层中心建一圆形底座的塑像,并且留出最窄处为1.6 m的观光通道,
那么塑像底座的半径最大是多少?
【拓展探究】
10.小敏在作☉O的内接正五边形时,先做了如下几个步骤:
(1)作☉O的两条互相垂直的直径,再作OA的垂直平分线交OA于点M,如图(1)所示;
(2)以M为圆心,BM长为半径作圆弧,交CA于点D,连接BD,如图(2).若☉O的半径为1,则由以上作图得到的
关于正五边形边长BD的等式是 ( )
❑√5-1 ❑√5+1
A.BD2= OD B.BD2= OD
2 2
1
C.BD2=❑√5OD D.BD2= ❑√5OD
2
【答案与解析】
1.B(解析:如图所示,∵正方形的边长为6,∴AB=3,又∵∠AOB=45°,∴OB=3.∴AO=❑√32+32=3❑√2.故选B.)1 (1 ) 2
2.B(解析:如图所示,∵正六边形的边心距为❑√3,∴OB=❑√3,又AB= OA,OA2=AB2+OB2,∴OA2= OA +(
2 2
❑√3)2,解得OA=2.)
1
3. (解析:如图所示,△ABC是☉O的内接等边三角形,OB=1,OD⊥BC.∵等边三角形的内心和外心重合,∴OB
2
1
平分∠ABC,则∠OBD=30°.∵OD⊥BC,∴∠BDO=90°,又∵OB=1,∴OD= .)
2
(1 ❑√3) 1
4. ,- (解析:连接OE,由正六边形是轴对称图形知:在Rt△OEG中,∠GOE=30°,OE=1.∴GE= ,OG=
2 2 2
❑√3 (1 ❑√3) (1 ❑√3)
,∴E , ,∴C ,- .)
2 2 2 2 2
5.C (解析:如图所示,AB是直角边时,点C共有6个位置,即有6个直角三角形,AB是斜边时,点C共有2个位
置,即有2个直角三角形.综上所述,△ABC是直角三角形的个数有6+2=8个.故选C.)3❑√3
6. (解析:如图所示,连接OB,OC,过O作OD⊥BC于D,∵☉O的面积为2π,∴☉O的半径为❑√2.∵△ABC为
2
360° 1 ❑√6
正三角形,∴∠BOC= =120°,∠BOD= ∠BOC=60°,OB=❑√2,∴BD=OB·sin∠BOD=❑√2·sin 60°=
3 2 2
❑√2 1 1 ❑√2 ❑√3
,∴BC=2BD=❑√6,又OD=OB·cos∠BOD=❑√2·cos 60°= ,∴△BOC的面积= ·BC·OD= ×❑√6× =
2 2 2 2 2
❑√3 3❑√3
,∴△ABC的面积=3S =3× = .)
△BOC 2 2
1
7.解:如图所示,连接OC,OD,∵圆O是正方形ABCD的外接圆,∴O是对角线AC,BD的交点,∴∠ODE=
2
∠ADC=45°,∵OE⊥CD,∴∠OED=90°,∴∠DOE=180°-∠OED-∠ODE=45°,∴OE=DE=❑√2,由勾股定理得OD=
❑√OE2+DE2=2,∴这个正方形外接圆☉O的面积是π·22=4π.答:这个正方形外接圆☉O的面积是4π.
8.作法:
(1)画任意一条直径;
(2)把直径看做一个平角作其角平分线,把平角分成两个直角,再作每个直角的角平分线;
(3)将角平分线反向延长在圆上得到八等分点;
(4)顺次连接即得正八边形.
9.解:(1)作OM⊥AB于点M,连接OA,OB,则OM为边心距,∠AOB是中心角.由正五边形性质得
1 AM
∠AOB=360°÷5=72°.又AB= ×26=5.2,∴AM=2.6,∠AOM=36°,在Rt△AMO中,边心距OM= =
5 tan36°
2.6
≈3.6(m).答:地基的中心到边缘的距离约为3.6 m. (2)3.6-1-1.6=1(m).答:塑像底座的半径最大约
tan36°
为1 m.10.C(解析:如图所示,连接BM,根据题意得OB=OA=1,AD⊥OB,BM=DM,∵OA的垂直平分线交OA于点
1 1 ❑√5 ❑√5 ❑√5 1 ❑√5-1
M,∴OM=AM= OA= ,∴BM= ❑√OM2+OB2= ,∴DM= ,∴OD=DM-OM= - =
2 2 2 2 2 2 2
5-❑√5 ❑√5(❑√5-1)
,∴BD2=OD2+OB2= = =❑√5OD.)
2 2
利用现实生活中的素材,使学生产生一种亲切感,有效激发学生的求知和探索的欲望,取得了极佳的效果.
本节课由于知识比较简单,所以前三个探究活动都完全要给学生去处理,老师要相信学生,他们完全有能力完
成这些探究任务,事实证明学生完成得非常出色;对于第四个利用尺规作圆内接正多边形的探究,对部分学生
来说有一定难度,教师重点在于引导学生弄清楚尺规作图的依据和方法,千万不能越俎代庖,直接告诉学生利
用尺规作圆内接正多边形的方法,这样只能解决现实问题,不利于学生后面探究过程的顺利进行.
本节课设计的探究活动比较多,并且还拓展了一部分知识,所以时间略显紧张.
对于拓展的内容,再讲时可以酌情减少一些内容或放到课下留给学生探究.
随堂练习(教材第98页)
解:如图所示,△ABC是☉O的内接正三角形,OB=6 cm,OD⊥BC.∵正三角形的内心和外心重合,∴BO平分
∠ABC,则∠OBD=30°.∵OD⊥BC,∴BD=DC,又∵OB=6 cm,∴OD=3 cm,BD=3❑√3 cm,则BC=6❑√3 cm.
习题3.10(教材第99页)1.解:∵剪去三个三角形,得到正六边形,∴剪去的三个三角形是全等的等边三角形,且被剪的正三角形的边长
6 360°
为6,∴得到正六边形的边长为 =2.如图所示,正六边形的边长HK=2,∠HOK=
3 6
❑√3
=60°,∵OH=OK,∴△HOK是等边三角形,∴OH=HK=2.∵OM⊥HK,∴∠HOM=30°,OM=OH·cos 30°=2× =❑√3
2
1 1
,S = HK·OM= ×2×❑√3=❑√3,∴S =6S =6❑√3.∴这个正六边形的面积为6❑√3.
△HOK 2 2 正六边形 △HOK
2.解:边长为6❑√2 cm,边心距为3❑√2 cm,面积为72 cm2.
3.解:各边相等的圆内接四边形是正方形.各角相等的圆内接四边形不一定是正方形,也可能是矩形.
❑√3
4.解:(1)如图(1)所示,连接OB,过O作OD⊥BC于D,则∠OBC=30°,BD=OB·cos 30°= r,故a=BC=2BD=❑√3
2
❑√2
r.如图(2)所示,连接OB,OC,过O作OE⊥BC于E,则△OBE是等腰直角三角形,2BE2=OB2,即BE= r,故
2
1
b=BC=❑√2r.如图(3)所示,连接OA,OB,过O作OG⊥AB,则△OAB是等边三角形,AG=OA·sin 30°= r,故
2
c=AB=2AG=r. (2)以a,b,c为边可以构成直角三角形.因为(❑√2r)2+r2=3r2,(❑√3r)2=3r2,所以(❑√2r)2+r2=(❑√3r)2.
5.可以得到一个“五角星”的图案,图略.
1.由于本节课的知识比较简单,所以可以让学生通过自主探究掌握大部分内容,运用观察、猜想的方法
可以得出圆内接正多边形的概念.
2.利用类比圆内接正五边形的方法可以总结出圆内接正多边形的中心角、边心距等相关概念.
3.利用转化的思想把正多边形的问题转化为直角三角形的问题是进行圆内接正多边形的计算的重中
之重,是求中心角、边心距、半径的关键所在.
4.动手操作、掌握方法则是探究尺规作圆内接正多边形的根本,要重点掌握.
有一个亭子,它的地基是半径为8 m的正六边形,求地基的周长和面积.
〔解析〕 连接OB,OC求出∠BOC的度数,再由等边三角形的性质即可求出正六边形的周长;过O作△OBC
的高OG,利用等边三角形及特殊角的三角函数值可求出OG的长,利用三角形的面积公式即可解答.解:连接OB,OC.
360°
∵六边形ABCDEF是正六边形,∴∠BOC= =60°,
6
∴△OBC是等边三角形,∴BC=OB=8 m,∴正六边形ABCDEF的周长=6×8=48(m).
过O作OG⊥BC于G,∵△OBC是等边三角形,OB=8 m,∴∠OBC=60°,
❑√3 1 1
∴OG=OB·sin∠OBC=8× =4❑√3(m),∴S = BC·OG= ×8×4❑√3=16❑√3(m2),
2 △OBC 2 2
∴S =6S =6×16❑√3=96❑√3(m2).
六边形ABCDEF △OBC
9 弧长及扇形的面积
1.经历探索弧长公式和扇形面积公式的过程.
2.了解弧长公式和扇形面积公式,并运用公式解决问题.
1.经历探索弧长公式和扇形面积公式的过程,培养学生的探索能力.
2.了解弧长和扇形面积公式,并用公式解决问题,训练学生的数学运用能力.
1.经历计算过程,让学生体验数学活动充满探索与创造,感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.
2.通过解决实际问题,让学生体验数学与人类生活的密切联系,激发学生学习数学的兴趣,提高他们学习
的积极性.
【重点】 经历探索弧长及扇形面积公式的过程;了解弧长及扇形的面积公式;会利用公式解决问题.
【难点】 利用扇形面积公式解决问题.
【教师准备】 多媒体课件和圆规.【学生准备】
1.复习圆的周长和面积公式.
2.圆规、直尺.
导入一:
同学们,你参加过田径运动会吗?为什么在田径200米比赛中,每位运动员的起跑位置不相同呢?
学生分析:因为每个运动员所跑的弯道的路线是一条弧,而他们各自的半径不相等,所以他们的起跑位置
不相同.
【问题】 那么怎么才能求出弧的长度呢?
[设计意图] 从学生熟悉的200米跑运动员的起跑位置引入本课,让学生体会生活中处处有数学,数学
来源于生活这一事实.
导入二:
如图所示,在一块五边形绿化园地的五个角都建有半径为2 m的圆形喷水池,你能求出这五个喷水池占
去的绿化园地的面积是多少吗?
教师引导学生思考下面的问题并回答:
1.五个阴影部分都是什么图形?
2.五个图形的圆心角度数的和是多少?
学生分析:五个阴影部分都是扇形,五个扇形的圆心角度数的和是540°.
【问题】 扇形的面积和圆的面积有什么关系?
[设计意图] 通过对扇形面积的探索,让学生初步感知扇形与圆的关系,为下面对其面积公式的探索打
下了良好的基础.
[过渡语] 我们已经掌握了圆的周长和面积的计算方法,那么圆的一部分——扇形的周长和面积又该
如何计算呢?
一、弧长公式
课件出示:如图所示,某传送带的一个转动轮的半径为10 cm.
(1)转动轮转一周,传送带上的物品A被传送多少厘米?
(2)转动轮转1°,传送带上的物品A被传送多少厘米?
(3)转动轮转n°,传送带上的物品A被传送多少厘米?
教师引导学生思考下面的问题,并回答:
1.转动轮转一周,传送带上的物品应被传送的实际距离是 的周长.
2.转动轮转1°,可以表示成360°的圆心角的 ,所以,传送带上的物品A被传送的距离也应该是整
个圆周长的 .
3.转动轮转n°,可以表示成360°的圆心角的 ,所以,传送带上的物品A被传送的距离也应该是整
个圆周长的 .
【师生活动】 学生独立思考,然后小组相互交流,教师巡视并参与到学生的讨论中去,代表发言师生共
同订正.
解:(1)传送带上的物品A被传送的距离是:2π×10=20π(cm).
20π π
(2)传送带上的物品A被传送的距离是: = (cm).
360 18
20π nπ
(3)传送带上的物品A被传送的距离是:n× = (cm).
360 18
【问题】 根据上面的计算,你能探讨出在半径为R的圆中,n°的圆心角所对的弧长的计算公式吗?请
大家互相交流.
【学生活动】 学生类比刚才的探索,积极思考后,与同伴交流,统一答案.
2πR πR
学生分析:360°的圆心角对应圆周长为2πR,那么1°的圆心角对应的弧长为 = ,n°的圆心角对
360 180
πR nπR
应的弧长应为1°的圆心角对应的弧长的n倍,即n× = .
180 180
【教师点评】 总结弧长的计算公式.在半径为R的圆中,n°的圆心角所对的弧长的计算公式为:l=
nπR
.
180
nπR
【教师强调】 弧长的计算公式l= 中的n表示的是1°的圆心角的倍数,所以没有单位.
180
[设计意图] 承接创设的问题情境,让学生回顾圆的有关知识,并利用圆的性质探索推导弧长公式,能用
得出的结论进行说理,实质上是圆的有关性质的运用.并掌握用公式解决实际问题的一般思路.
[过渡语] 你对弧长公式理解的怎么样?通过下面的例题验证一下吧!
课件出示:
制作弯形管道时,需要先按中心线计算“展直长度”再下料,试计算如图所示的管道的展直长
⏜
度,即AB的长(结果精确到0.1 mm).nπR
⏜
〔解析〕 管道的展直长度即弧AB的长,已知R=40 mm,n=110,根据弧长公式l= 可求得AB的
180
长
解:∵R=40 mm,n=110.
n 110
⏜
∴AB的长= πR= ×40π≈76.8(mm).
180 180
因此,管道的展直长度约为76.8 mm.
[设计意图] 让学生利用公式进行弧长的有关计算,明确弧长与所在圆的半径、圆心角的度数关系密
切,熟练公式的应用.
二、扇形的面积公式
课件出示:
在一块空旷的草地上有一根柱子,柱子上拴着一条长3 m的绳子,绳子的另一端拴着一只狗.
(1)这只狗的最大活动区域有多大?
(2)如果这只狗只能绕柱子转过n°角,那么它的最大活动区域有多大?
【教师活动】 教师出示示意图供学生分析.
【学生活动】 学生首先独立思考两个最大区域的区别,然后与同伴交流,
解:(1)这只狗的最大活动区域是圆,它的面积为:32π=9π(m2).
(2)狗的活动区域是扇形(如图(2)所示),扇形是圆的一部分,360°的圆心角对应的圆面积是9π,1°的圆心角
1 1 π π nπ
对应圆面积的 ,即 ×9π= ,n°的圆心角对应的圆面积为n× = .
360 360 40 40 40
[过渡语] 类比弧长公式的推导,你能得出扇形的面积公式吗?
【学生活动】 学生动手操作,推导扇形的面积公式.
πR2
【教师点评】 如果圆的半径为R,那么圆的面积为πR2,1°的圆心角对应的扇形面积为 ,n°的圆心
360
πR2 nπR2
角对应的扇形面积为n· = .
360 360n
扇形的面积公式:S= πR2.
360
[过渡语] 比较弧长公式和扇形的面积公式有什么相同点和不同点.它们之间存在什么关系?
课件出示:
【学生活动】 学生观察后,尝试推导l和S之间的关系.
n n
解:∵l= πR,S = πR2,
180 扇形 360
n 1 n
∴ πR2= R· πR.
360 2 180
1
∴S = lR.
扇形 2
1
【师生总结】 扇形的面积公式:S = lR.
扇形 2
1
【观察发现】 你发现扇形面积公式S = lR类似于哪种图形的计算公式?
扇形 2
学生分析:与三角形的面积公式类似.
1
【教师提示】 我们可以类比三角形的面积公式记忆扇形的面积公式S = lR.
扇形 2
【教师点评】 扇形面积的计算公式:
n
1.S= πR2;
360
1
2.S = lR.
扇形 2
[设计意图] 引导学生自己根据已有的知识推导公式,由于少部分学生对扇形的第二个公式的掌握仍
有些困难,因此引导他们采用类比的方法进行探究,这样可以让部分学生恢复解题的自信.
[知识拓展] 扇形面积公式的选择:
n
1.若已知圆心角和半径,选择S = πR2.
扇形 360
1
2.若知道弧长和半径,选择S = lR.
扇形 2
[过渡语] 你能运用扇形的面积公式解决下面的问题吗?
课件出示:
⏜
扇形AOB的半径为12 cm,∠AOB=120°,求AB的长(结果精确到0.1 cm)和扇形AOB的面积(结
果精确到0.1 cm2).n n
⏜
〔解析〕 分别利用弧长公式l= πR和扇形的面积公式S= πR2,把已知数据代入即可求AB的
180 360
长和扇形AOB的面积.等学生完成后,教师出示解题过程,规范他们的步骤.
120
⏜
解:AB的长= π×12=8π≈25.1(cm).
180
120
S = π×122≈150.7(cm2).
扇形 360
⏜
因此,AB的长约为25.1 cm,扇形AOB的面积约为150.7 cm2.
[设计意图] 通过例题的解答,使学生熟练运用弧长公式和扇形面积公式,提高学生解决问题的综合能
力.
1.弧长的计算公式及运用;
2.扇形的面积公式及运用;
3.弧长l及扇形的面积S之间的关系公式及运用.
1.(2014·云南中考)已知扇形的圆心角为45°,半径长为12,则该扇形的弧长为 ( )
3π
A. B.2π C.3π D.12π
4
45·π·12
解析:根据弧长公式可得l= =3π.故选C.
180
2.如图所示,半径为1的圆中,圆心角为120°的扇形面积为 ( )
1 1 1 1
A. B. C. π D. π
3 2 3 2
120π×12 π
解析:由扇形面积公式得S= = .故选C.
360 3
3.(呼伦贝尔中考)150°的圆心角所对的弧长是5π cm,则此弧所在圆的半径是 cm.
150·π·x
解析:设圆的半径为x cm,由题意得 =5π,解得x=6.故填6.
180
4.如图所示,一个圆心角为90°的扇形,半径OA=2,那么图中阴影部分的面积为 (结果保留π).
nπR2 90π×4 1
解析:S = = =π,S = ×2×2=2,则S =S -S =π-2.故填π-2.
扇形 360 360 △AOB 2 阴影 扇形 △AOB5.如图(1)所示,AB是☉O的直径,且AB=4,AC是弦,∠CAB=40°,求劣弧BC和弦AC的长.(弧长计算结果保
留π,弦长精确到0.01)
80·π·2 8π
解:连接OC,BC,如图(2)所示,∵∠CAB=40°,∴∠COB=80°,∴劣弧BC的长= = ,∵AB为直
180 9
AC AC
径,∴∠ACB=90°,在Rt△ACB中,cos 40°= = ,∴AC=4cos 40°≈4×0.766≈3.06.
AB 4
9 弧长及扇形的面积
n
1.弧长的计算公式:l= πR.
180
n
2.扇形的面积公式:S = πR2.
扇形 360
1
3.弧长l及扇形的面积S之间的关系:S = lR.
扇形 2
一、教材作业
【必做题】
1.教材第101页随堂练习第1,2题.
2.教材第102页习题3.11第1,2题.
【选做题】
教材第102页习题3.11第3,4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.若扇形的半径为6,圆心角为120°,则此扇形的弧长是 ( )
A.3π B.4π C.5π D.6π
2.(2014·莱芜中考)如图所示,AB为半圆的直径,且AB=4,半圆绕点B顺时针旋转45°,点A旋转到A'的位置,则
图中阴影部分的面积为 ( )
π
A.π B.2π C. D.4π
216
3.(2014·自贡中考)一个扇形的半径为8 cm,弧长为 π cm,则扇形的圆心角为 .
3
4.(2015·重庆中考)如图所示,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AB=4❑√2.以A为圆心,AC长为半径作弧,
交AB于点D,则图中阴影部分的面积是 .(结果保留π)
【能力提升】
5.(2014·南充中考)如图所示,矩形ABCD中,AB=5,AD=12,将矩形ABCD按如图所示的方式在直线l上进行两
次旋转,则点B在两次旋转过程中经过的路径的长是 ( )
25
A. π B.13π C.25π D.25❑√2
2
6.(2014·重庆中考)如图所示,△OAB中,OA=OB=4,∠A=30°,AB与☉O相切于点C,则图中阴影部分的面积为
.(结果保留π)
7.如图所示,☉O的半径等于1,弦AB和半径OC互相平分于点M.求扇形OACB的面积.(结果保留π)
8.如图所示,已知图中☉O的半径为1,∠AOB=120°,求阴影部分的面积.
9.如图所示,线段AB与☉O相切于点C,连接OA,OB,OB交☉O于点D,已知OA=OB=6,AB=6❑√3.
(1)求☉O的半径;
(2)求图中阴影部分的面积.【拓展探究】
10.如图所示,在矩形ABCD中,AB=2DA,以点A为圆心,AB为半径的圆弧交DC于点E,交AD的延长线于点
F,若DA=2.
(1)求线段EC的长;
(2)求图中阴影部分的面积.
【答案与解析】
120·π·6
1.B(解析:∵扇形的半径为6,圆心角为120°,∴此扇形的弧长= =4π.故选B.)
180
45×π×42
2.B(解析:∵S =S +S -S =S = =2π.故选B.)
阴影 扇形ABA' 半圆 半圆 扇形ABA' 360
n·π·8 16
3.120° (解析:设扇形圆心角为n°,根据弧长公式可得 = π,解得n=120.)
180 3
4.8-2π(解析:∵在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,∴∠A=∠B=45°,∵AB=4❑√2,∴AC=BC=AB×sin
1 1 45π·42
45°=4,∴S = ×AC×BC= ×4×4=8,S = =2π,∴图中阴影部分的面积是8-2π.)
△ACB 2 2 扇形ACD 360
⏜
5.A (解析:点B所经过的路径如图所示,连接BD,B'D,∵AB=5,AD=12,∴BD=❑√52+122=13,∴BB'的长=
90·π·13 13π 90·π·12
⏜
= ,∵B'B″的长= =6π,∴点B在两次旋转过程中经过的路径的长是
180 2 180
13π 25π
+6π= .故选A.)
2 24π
6.4❑√3- (解析:连接OC,∵AB与圆O相切,∴OC⊥AB,∵OA=OB,∴∠AOC=∠BOC,∠A=∠B=30°,在Rt△AOC
3
1
中,∠A=30°,OA=4,∴OC= OA=2,∠AOC=60°,∴∠AOB=120°,AC=❑√OA2-OC2=2❑√3,∴AB=2AC=4❑√3,则S
2
1 120π×22 4π
=S -S = ×4❑√3×2- =4❑√3- .)
阴影 △AOB 扇形 2 360 3
1 1 OM 1
7.解:∵弦AB和半径OC互相平分,∴OC⊥AB,OM=MC= OC= OA.在Rt△OAM中,sin A= =
2 2 OA 2
120·π·12 π
,∴∠A=30°.又∵OA=OB,∴∠B=∠A=30°,∴∠AOB=120°.∴S = = .
扇形 360 3
1 1
8.解:如图所示,过点O作OC⊥AB于点C,∵∠AOB=120°,OA=OB,∴∠OAC=30°,在Rt△OAC中,OC= OA=
2 2
❑√3 1 ❑√3 120π×12 π
,AC=❑√3OC= ,∴AB=2AC=❑√3,则S = AB×OC= ,S = = ,故S =S -
2 △AOB 2 4 扇形AOB 360 3 阴影 扇形AOB
π ❑√3
S = - .
△AOB 3 4
1 1
9.解:(1)连接OC,则OC⊥AB.∵OA=OB,∴AC=BC= AB= ×6❑√3= 3❑√3.在Rt△AOC中,OC=
2 2
1
❑√OA2-AC2=❑√62-(3❑√3)2 =3,∴☉O的半径为3. (2)∵OC= OA,∴∠A=30°,∠AOC=∠COD=60°.∴
2
60·π·32 3 1 3
扇形OCD的面积为S = = π,∴阴影部分的面积为S =S -S = OC·CB-
扇形OCD 360 2 阴影 Rt△OBC 扇形OCD 2 2
9❑√3 3
π= - π.
2 2
10.解:(1)∵在矩形ABCD中,AB=2DA,DA=2,∴AB=AE=4,∴DE=❑√AE2-AD2=2❑√3,∴EC=CD-DE=4-2❑√3.
AD 1
(2)∵sin∠DEA= = ,∴∠DEA=30°,∴∠EAB=30°,∴图中阴影部分的面积为:S -S -S =
AE 2 扇形FAB △DAE 扇形EAB
90π×42 1 30π×42 8π
- ×2×2❑√3- = -2❑√3.
360 2 360 3本节课在教学中学生的“探究活动”贯穿整节课,探究过程教师引导学生自己根据已有的知识一步一
步推导公式,这样既能使学生有成就感,又能培养他们的探索能力,还能使所学知识掌握得比较牢固,这样运
用公式进行计算来解决问题就比较容易了.对于难度稍大的问题采取了小组合作方式,小组合作学习的实践
活动让学生成了学习的主人,有效地提高了主动探索、解决问题的能力.
本节课虽然应用直观形象的手段,让学生经历了知识的生成过程,但因学生水平的差异,在应用弧长和扇
形面积公式时有部分人混淆方法.
再教时,不再因为由于时间紧张而忽视对学生的积极表现给予评价,要多鼓励表扬,以提高学生学习的兴
趣.
随堂练习(教材第101页)
OC 6 1
1.解:如图所示,连接OA,OB,∵OD=12 cm,CD=6 cm,∴OC=OD-CD=12-6=6(cm),∴cos∠AOC= = =
OA 12 2
❑√3
,∴∠AOC=60°,∴AC=OA·sin∠AOC=12× =6❑√3,AB=2AC=12❑√3.∴∠AOB=2∠AOC=2×60°=120°,∴S =S
2 阴影 扇
120·π·122 1
-S = - ×6×12❑√3=(48π-36❑√3) cm2.
形OAB △OAB 360 2
2.解:(1)设内圈半径为r m.由题意得200=2πr,解得r≈31.8. (2)设外圈半径为R.由题意得R=r+6=37.8.则一
1
个外圈弯道的长= ×2πR≈118.7(m),所以一个内圈弯道与一个外圈弯道的长相差118.7-100=18.7(m).
2
习题3.11(教材第102页)
nπR 100πR
1.解:由弧长公式l= ,可得4π= ,解得R=7.2(cm).
180 180
n·π·5
2.解:设点P旋转了n°,根据题意得10= ,解得n≈115.∴点P大约旋转了115°.
180
nπR 90×π×5
3.解:l= = =2.5π≈7.85(cm).故商标纸的长约为7.85 cm.
180 180θ ❑√5-1 137.5π
4.解:∵ = ,解得θ≈137.5°,∴S =S -S ≈ (202-52)≈449.7(cm2).故至少要用
360°-θ 2 纸 大扇形 小扇形 360
449.7×2=899.4 cm2的纸.
复习题(教材第103页)
1.解:图(4)既是轴对称图形又是中心对称图形.
1 1 1
2.解:过O作OC⊥AB于C,则AC=BC= AB.∵∠AOB=120°,∴∠A=∠B=30°,∴OC= OA= ×20=10(cm).在
2 2 2
1 1
Rt△AOC中,AC=❑√AO2-OC2=❑√202-102=10❑√3(cm),∴AB=20❑√3 cm.∴S = AB·OC= ×20❑√3
△AOB 2 2
×10=100❑√3 (cm2).
1
3.解:如图所示,∵AB=0.72 m,∴BD= AB=0.36 m.设圆的半径为R,则OD=OC-CD=(R-0.25)m.在Rt△OBD中,
2
∵OD2+DB2=BO2,∴(R-0.25)2+0.362=R2,解得R≈0.384.
⏜ ⏜
4.解:CD=CE.连接OC,∵AC=CB,∴∠AOC=∠BOC.∵OA=OB,D,E分别是OA,OB的中点,∴OD=OE.又
∵OC=OC,∴△OCD≌△OCE,∴CD=CE.
5.解:OD∥AC.∵∠DAB=30°,∴∠DOB=60°.又
∵∠COD=60°,∴∠AOC=60°.∵OA=OC,∴∠ACO=60°.∴∠ACO=∠COD,∴OD∥AC.
6.解:∠ABE=∠ADE,∠BAD=∠BED,∠ACD=∠ABD,∠CDA=∠CEA等.
⏜ ⏜ ⏜ ⏜ ⏜ ⏜ ⏜ ⏜ ⏜
7.解:∵AD=BC,∴AD+AB=BC+AB,即DAB=ABC=180°,∴DAB所对的圆周角等于90°.
CD
8.解:∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°.又∵∠A+∠B=90°,∠B+∠BCD=90°,∴∠A=∠BCD,∴△ACD∽△CBD,∴ =
BD
AD 6 AD
,即 = ,解得AD=4 cm或AD=9 cm.∵ADr)
{
圆
点与圆 点在圆上(d=r)
点在圆内(dr)
{
切线的性质
{
直线与圆 相切(d=r) 切线的判定
切线长定理
相交(dr;点在圆上⇔d=r;点在圆内⇔dr.
(3)切线的性质和判定.
①性质:圆的切线垂直于过切点的半径.
②判定:过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线.
③ 内切圆和内心的概念:和三角形三边都相切的圆可以作出一个,并且只能作一个,这个圆叫做三角形
的内切圆.
内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心.它到三角形三边的距离相等.
④切线长定理:过圆外一点所画的圆的两条切线的长相等.
六、圆内接正多边形
(1)概念:顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形.
(2)作法:把一个圆n等分(n≥3),依次连接各分点.七、弧长及扇形的面积
n
(1)弧长的计算公式:l= πR.
180
n
(2)扇形的面积公式:S = πR2.
扇形 360
1
(3)弧长及扇形的面积S之间的关系:S = lR.
扇形 2
专题一 圆及其相关概念
【专题分析】
圆是初中几何图形中的最后一部分知识,圆与其他几何图形,如三角形、四边形及正多边形都有联系,是
初中数学考查的热点.涉及圆的概念的知识的理解要注意运用集合思想.此外,弦和弧的概念也是圆的基本
概念,是概念知识考查的重点.
下列说法正确的是 ( )
A.弦是直径 B.弧是半圆
C.半圆是弧 D.过圆心的线段是直径
〔解析〕 A.弦是连接圆上任意两点的线段,只有经过圆心的弦才是直径,不是所有的弦都是直径,故本
选项错误.B.弧是圆上任意两点间的部分,只有直径的两个端点把圆分成的两条弧是半圆,不是所有的弧都是
半圆,故本选项错误.C.圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆,所以半圆是弧
是正确的.D.过圆心的弦才是直径,不是所有过圆心的线段都是直径,故本选项错误.故选C.
【针对训练1】 有下列四个说法:①半径确定了,圆就确定了;②直径是弦;③弦是直径;④半圆是弧,但
弧不一定是半圆.其中错误说法的个数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
〔解析〕 ①圆确定的条件是确定圆心与半径,是假命题,故此说法错误.②直径是弦,直径是圆内最长
的弦,是真命题,故此说法正确.③弦是直径,只有过圆心的弦才是直径,是假命题,故此说法错误.④半圆是弧,
但弧不一定是半圆,圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫半圆,所以半圆是弧.但比
半圆大的弧是优弧,比半圆小的弧是劣弧,不是所有的弧都是半圆,是真命题,故此说法正确.其中错误说法的
是①③两个.故选B.
如图所示,AB是☉O的直径,D,C在☉O上,AD∥OC,∠DAB=60°,连接AC,则∠DAC等于 (
)
A.15° B.30°
C.45° D.60°
〔解析〕 ∵OA=OC,∴∠CAO=∠ACO,∵AD∥OC,∴∠DAC=∠ACO,∴∠DAC=∠CAB,∵∠DAB=60°,∴∠DAC=
1
∠DAB=30°.故选B.
2【针对训练2】 如图所示,☉O的弦AB、半径OC的延长线交于点D,BD=OA.若∠AOC=120°,则∠D的
度数是 .
〔解析〕 连接OB,∵BD=OA,OB=OA,∴BD=AO=OB,∴△OBD,△OAB都是等腰三角形,设∠D的度数是
x°,则∠BAO=∠ABO=x+x=2x,则在△AOB中,利用三角形的内角得是180度,可得120-x+2x+2x=180,解得x=20.
故填20°.
专题二 圆的对称性
【专题分析】
圆的对称性是圆的基础知识中的重点内容,利用圆的中心对称性可以得到弧、弦、圆心角之间的关系,
而利用轴对称性可以得到垂径定理,特别是垂径定理是中考考查的热点,题型单独考查和综合考查的都有,常
与等腰三角形、直角三角形以及正多边形综合考查.
在同圆或等圆中,下列说法错误的是 ( )
A.相等弦所对的弧相等
B.相等弦所对的圆心角相等
C.相等圆心角所对的弧相等
D.相等圆心角所对的弦相等
〔解析〕 A.相等弦所对的弧不一定相等,故本选项错误;B.相等弦所对的圆心角相等,故本选项正确;C.
相等圆心角所对的弧相等,故本选项正确;D.相等圆心角所对的弦相等,故本选项正确.故选A.
【针对训练3】 如图所示,在△ABC中,∠C=90°,∠A=25°,以点C为圆心,BC为半径的圆交AB于点D,交
⏜
AC于点E,则BD的度数为 ( )
A.25° B.30° C.50° D.65°
〔解析〕 连接CD,∵在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=25°,∴∠ABC=90°-
⏜
25°=65°,∵BC=CD,∴∠CDB=∠ABC=65°,∴∠BCD=180°-∠CDB-∠CBD=180°-65°-65°=50°,∴BD的度数为50°.
故选C.
⏜
如图所示,在☉O中,点C是AB的中点,弦AB与半径OC相交于点D,AB=12,CD=2.求☉O半径
的长.
〔解析〕 连接OA,根据垂径定理求出AD=6,∠ADO=90°,根据勾股定理得出方程,求出方程的解即可.
解:连接AO, ∵点C是弧AB的中点,半径OC与AB相交于点D,∴OC⊥AB,
∵AB=12,∴AD=BD=6,
设☉O的半径为R,∵CD=2,∴OD=R-2,
在Rt△AOD中,由勾股定理得AO2=OD2+AD2,即R2=(R-2)2+62,∴R=10.
答:☉O的半径长为10.
【针对训练4】 如图所示,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB于点E,且CD=24,点M在☉O上,MD经过圆心
O,连接MB.
(1)若BE=8,求☉O的半径;
(2)若∠DMB=∠D,求线段OE的长.
〔解析〕 (1)根据垂径定理求出DE的长,设出半径,根据勾股定理,列出方程求出半径.(2)根据
OM=OB,证出∠M=∠B,根据∠M=∠D求出∠D的度数,根据锐角三角函数求出OE的长.
解:(1)设☉O的半径为x,则OE=x-8,
∵CD=24,∴由垂径定理得DE=12,
在Rt△ODE中,OD2=DE2+OE2,即x2=(x-8)2+122,解得x=13.
(2)∵OM=OB,
∴∠M=∠B,∴∠DOE=2∠M,
又∠M=∠D,∴∠D=30°,
在Rt△OED中,∵DE=12,∠D=30°,
∴OE=4❑√3.
专题三 圆周角和圆心角的关系
【专题分析】
圆周角和圆心角的关系是圆的内容中有关角度的基础知识,是解决角度之间关系的重要依据.圆周角和
圆心角是中考的重要考点,题型多样,选择、填空、解答题均有出现,常与直角三角形、四边形等知识综合考
查.
如图所示,AB为☉O的直径,CD为弦,AB⊥CD,如果∠DOC=140°,那么∠A的度数为( )
A.70° B.35°
C.30° D.20°
1 1
⏜
〔解析〕 ∵直径AB⊥CD,∴B是CD的中点,∴∠A= ∠BOC= ∠DOC=35°.故选B.
2 4
【针对训练5】 如图所示,已知A,B,C是☉O上的三个点,∠ACB=110°,则∠AOB= .〔解析〕 如图所示,在优弧AB上任取一点D,连接AD,BD,根据圆内接四边形的性质可知
∠ACB+∠ADB=180°,又∠ACB=110°,∴∠ADB=70°,∴∠AOB=2∠ADB=140°.故填140°.
(2015·泰州中考)如图所示,☉O的内接四边形ABCD中,∠A=115°,则∠BOD等于 .
〔解析〕 ∵∠A=115°,∴∠C=180°-∠A=65°,∴∠BOD=2∠C=130°.故填130°.
【针对训练6】 如图所示,圆内接四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=60°,则∠ACD度数是 .
〔解析〕 如图所示,连接BD.∵AB=AD,∠BAD=60°,∴△ABD为等边三角形,
∴∠ABD=60°,∴∠ACD=∠ABD=60°.故填60°.
专题四 确定圆的条件
【专题分析】
确定圆的条件是圆的尺规作图中的重点内容,而三角形外接圆的知识,特别是利用三角形外接圆的知识
解决实际问题是考试的重点.
下列命题正确的有 ( )
①过两点可以作无数个圆;②经过三点一定可以作圆;③任意一个三角形有一个外接圆,而且只有一个
外接圆;④任意一个圆有且只有一个内接三角形.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
〔解析〕 ①过两点可以作无数个圆,正确;②经过三点一定可以作圆,错误;③任意一个三角形有一个
外接圆,而且只有一个外接圆,正确;④任意一个圆有且只有一个内接三角形,错误.正确的有2个,故选B.
【针对训练7】 如图所示,AB=OA=OB=OC,则∠ACB的大小是 ( )
A.40° B.30°
C.20° D.35°
1
〔解析〕 由题意知A,B,C三点在以O为圆心的圆上,∵AB=OA=OB=OC,∴∠AOB=60°,∴∠ACB=
2
∠AOB=30°.故选B.
专题五 与圆的位置关系
【专题分析】
与圆的位置关系包括点与圆的位置关系和直线与圆的位置关系,直线与圆的位置关系是圆的主要知识
点,切线的性质与判定深受命题人的青睐,是各地市中考的热门考点,常与三角形全等、平行、直角三角形等
知识综合考查,题型灵活多变.
☉O的半径为7 cm,圆心O到直线l的距离为8 cm,则直线l与☉O的位置关系是 ( )A.相交 B.内含 C.相切 D.相离
〔解析〕 ∵☉O的半径为7 cm,圆心O到直线l的距离为8 cm,7<8,∴直线l与☉O相离.故选D.
【针对训练8】 已知☉O的半径为R,点O到直线m的距离为d,R,d是方程x2-4x+a=0的两根,当直线
m与☉O相切时,a= .
〔解析〕 ∵直线和圆相切,∴d=R,∴Δ=16-4a=0,∴a=4.故填4.
(2015·扬州中考)如图所示,已知☉O的直径AB=12 cm,AC是☉O的弦,过点C作☉O的切线交
BA的延长线于点P,连接BC.
(1)求证∠PCA=∠B;
(2)已知∠P=40°,点Q在优弧ABC上从点A开始逆时针运动到点C停止(点Q与点C不重合),当△ABQ
与△ABC的面积相等时,求动点Q所经过的弧长.
证明:(1)如图所示,连接OC,
∵PC是☉O的切线,
∴∠PCO=90°,∴∠1+∠PCA=90°,
∵AB是☉O的直径,
∴∠ACB=90°,∴∠2+∠B=90°,
∵OC=OA,∴∠1=∠2,∴∠PCA=∠B.
解:(2)∵∠P=40°,∴∠AOC=50°,
∵AB=12,∴AO=6,
当∠AOQ=∠AOC=50°时,△ABQ与△ABC的面积相等,
50·π·6 5π
∴点Q所经过的弧长= = ;
180 3
当∠BOQ=∠AOC=50°,即∠AOQ=130°时,△ABQ与△ABC的面积相等,
130·π·6 13π
∴点Q所经过的弧长= = ;
180 3
230π×6
当点Q运动到点B上方,且∠BOQ=50°时,△ABQ与△ABC的面积相等,∴点Q所经过的弧长=
180
23
= π.
3
5π 13π 23π
综上,当△ABQ与△ABC的面积相等时,动点Q所经过的弧长为 或 或 .
3 3 3
【针对训练9】 (2015·东营中考)如图所示,已知在△ABC中,∠ABC=90°,以AB上的一点O为圆心,以
OA为半径的圆交AC于点D,交AB于点E.
(1)求证AC·AD=AB·AE;
(2)如果BD是☉O的切线,D是切点,E是OB的中点,当BC=2时,求AC的长.证明:(1)如图所示,连接DE,∵AE是直径,
∴∠ADE=90°,∴∠ADE=∠ABC,
∵∠DAE=∠BAC,
AD AE
∴△ADE∽△ABC,∴ = ,
AB AC
∴AC·AD=AB·AE.
解:(2)连接OD,∵BD是☉O的切线,
∴OD⊥BD,
在Rt△OBD中,OE=BE=OD,
∴OB=2OD,∴∠OBD=30°,
同理∠BAC=30°,
∴在Rt△ABC中,AC=2BC=2×2=4.
专题六 弧长及扇形面积
【专题分析】
弧长及扇形面积是有关圆的计算的基本知识点,是各地中考的必考点,题型灵活多变,弧长及扇形面积以
选择、填空题为主,而求阴影部分的面积则是解答题的主要考点,常与切线的性质综合考查.
(2015·黔南中考)如图所示,边长为1的菱形ABCD的两个顶点B,C恰好落在扇形AEF的弧EF
⏜
上.若∠BAD=120°,则BC的长度等于 (结果保留π).
〔解析〕 连接AC,∵菱形ABCD中,AB=BC,又∵AC=AB,∴AB=BC=AC,即△ABC是等边三角形.
60·π·1 π π
⏜
∴∠BAC=60°,∴BC的长是 = .故填 .
180 3 3
⏜
【针对训练10】 如图所示,在☉O中,∠C=30°,AB=2,则AB的长为 ( )
π
A.π B.
6π 2π
C. D.
4 3
⏜
〔解析〕 ∵∠C=30°,根据圆周角定理可知∠AOB=60°,∴△AOB是等边三角形,∴OA=OB=AB=2,∴AB的
60·π·2 2π
长为 = .故选D.
180 3
(2014·钦州中考)如图所示,点B,C,D都在半径为6的☉O上,过点C作AC∥BD交OB的延长线
于点A,连接CD,已知∠CDB=∠OBD=30°.
(1)求证AC是☉O的切线;
(2)求弦BD的长;
(3)求图中阴影部分的面积.
证明:(1)如图所示,连接OC交BD于点E,
∵∠CDB=30°,∴∠BOC=60°.
∵∠OBD=30°,∴∠OEB=90°.
∵AC∥BD,∴∠OCA=∠OEB=90°,
∴AC是☉O的切线.
解:(2)在Rt△OBE中,OB=6,∠OBD=30°,
1
∴OE= OB=3,∴BE=3❑√3,
2
∴BD=2BE=6❑√3.
(3)由(2)得OE=EC=3,由(1)得BE=ED,∠OEB=∠CED=90°,
∴△OBE≌△CDE(SAS),∴S =S ,
△OBE △CDE
60·π·36
∴S =S = =6π.
阴影 扇形OBC 360
【针对训练11】 (2014·昆明中考)如图所示,在△ABC中,∠ABC=90°,D是边AC上的一点,连接BD,使
∠A=2∠1,E是BC上的一点,以BE为
直径的圆O经过点D.
(1)求证AC是圆O的切线;
(2)若∠A=60°,圆O的半径为2,求阴影部分的面积(结果保留根号和π).
证明:(1)∵OD=OB,∴∠1=∠ODB,
∴∠DOC=∠1+∠ODB=2∠1,
而∠A=2∠1,∴∠DOC=∠A,
∵∠A+∠C=90°,∴∠DOC+∠C=90°,
∴OD⊥DC,∴AC是☉O的切线.解:(2)∵∠A=60°,∴∠C=30°,∠DOC=60°,
在Rt△DOC中,OD=2,
∴CD=❑√3OD=2❑√3,
1 60·π·22 2π
∴阴影部分的面积=S -S = ×2×2❑√3- =2❑√3- .
△COD 扇形DOE 2 360 3
本章质量评估
(时间:90分钟 满分:120分)
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.下列语句中正确的是 ( )
A.相等的圆心角所对的弧相等
B.平分弦的直径垂直于弦
C.长度相等的两条弧是等弧
D.经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴
⏜ ⏜ ⏜
2.(2014·贵港中考)如图所示,AB是☉O的直径,BC=CD=DE,∠COD=34°,则∠AEO的度数是 ( )
A.51° B.56° C.68° D.78°
3.如图所示,在☉O中,已知∠OAB=22.5°,则∠C的度数为 ( )
A.135° B.122.5° C.115.5° D.112.5°
4.(2015·遂宁中考)如图所示,在半径为5 cm的☉O中,弦AB=6 cm,OC⊥AB于点C,则OC等于 ( )
A.3 cm B.4 cm
C.5 cm D.6 cm
5.已知圆O的直径是方程x2-5x-24=0的根,且点A到圆心O的距离为6,则点A在 ( )
A.圆O上 B.圆O内
C.圆O外 D.无法确定
6.(2015·湖北中考)点O是△ABC的外心,若∠BOC=80°,则∠BAC的度数为 ( )
A.40° B.100°
C.40°或140° D.40°或100°7.(2015·嘉兴中考)如图所示,△ABC中,AB=5,BC=3,AC=4,以点C为圆心的圆与AB相切,则☉C的半径为 (
)
A.2.3 B.2.4 C.2.5 D.2.6
8.如图所示,正三角形的内切圆半径为1,那么三角形的边长为 ( )
A.2 B.2❑√3 C.❑√3 D.3
9.矩形ABCD中,AB=4,AD=3,以AB为直径在矩形内作半圆.DF切☉O于点E(如图所示),则tan∠CDF的值为
( )
3 5
A. B.
4 12
5 4
C. D.
13 9
10.如图所示,☉O的外切正六边形ABCDEF的边长为2,则图中阴影部分的面积为 ( )
π 2π
A.❑√3- B.❑√3-
2 3
π 2π
C.2❑√3- D.2❑√3-
2 3
二、填空题(每小题4分,共24分)
11.如图所示,AB为☉O的直径,点C,D在☉O上,已知∠BOC=70°,AD∥OC,则∠AOD= 度.
12.如图所示,∠ACB=60°,☉O的圆心O在边BC上,☉O的半径为3,在圆O向点C运动的过程中,当CO=
时,☉O与直线CA相切.13.某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示,已知AB=16 m,半径OA=10 m,则中间柱CD的高度为
m.
14.(2015·漳州中考)如图所示,一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合,点D对应的刻度是
58°,则∠ACD的度数为 .
15.如图所示,直角坐标系中一条圆弧经过网格点A,B,C,其中B点坐标为(4,4),则该圆弧所在圆的圆心坐标为
.
16.如图所示,在△ABC中,BC=4,以点A为圆心,2为半径的☉A与BC相切于点D,交AB于点E,交AC于点F,且
∠EAF=80°,则图中阴影部分的面积是 .
三、解答题(共66分)
17.(6分)如图所示,AD=CB,求证AB=CD.
18.(6分)如图所示,弦AB和CD相交于☉O内一点P,求证PA·PB=PC·PD.19.(8分)如图所示,四边形ABCD内接于☉O,∠ABC=130°,求∠OAC的度数.
20.(8分)如图所示,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB,垂足为E,连接AC,BC,若∠BAC=30°,CD=6 cm.
(1)求∠BCD的度数;
(2)求☉O的直径.
21.(8分)如图所示,△ABC内接于☉O,AB是☉O的直径,∠BAC=2∠B,☉O的切线AP与OC的延长线相交于点
P,若PA=6❑√3 cm,求AC的长.
22.(8分)如图所示,△ABC外切于☉O,切点分别为点D,E,F,∠A=60°,BC=7,☉O的半径为❑√3.
(1)求BF+CE的值;
(2)求△ABC的周长.
23.(10分)如图所示,AB是☉O的直径,AC是弦,直线EF经过点C,AD⊥EF于点D,∠DAC=∠BAC.
(1)求证EF是☉O的切线;
(2)求证AC2=AD·AB;
(3)若☉O的半径为2,∠ACD=30°,求图中阴影部分的面积.24.(12分)如图所示,已知在△ABP中,C是BP边上一点,∠PAC=∠PBA,☉O是△ABC的外接圆,AD是☉O的直径,
且交BP于点E.
(1)求证PA是☉O的切线;
(2)过点C作CF⊥AD,垂足为点F,延长CF交AB于点G,若AG·AB=12,求AC的长;
(3)在满足(2)的条件下,若AF∶FD=1∶2,GF=1,求☉O的半径及sin∠ACE的值.
【答案与解析】
1.D(解析:A.在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,故A错误;B.平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,故
B错误;C.在同圆或等圆中,能够重合的两条弧是等弧,故C错误;D.圆是轴对称图形,过圆心的任意一条直线
都是圆的对称轴,故D正确.故选D.)
⏜ ⏜ ⏜
2.A(解析:∵BC=CD=DE,∠COD=34°,∴∠BOC=∠EOD=∠COD=34°,∴∠AOE=180°-∠EOD-∠COD-
1
∠BOC=78°.又∵OA=OE,∴∠AEO=∠OAE,∴∠AEO= ×(180°-78°)=51°.故选A.)
2
1
3.D (解析:∵OA=OB,∴∠OAB=∠OBA=22.5°,∴∠AOB=180°-22.5°-22.5°=135°.∴∠C= (360°-135°)=112.5°.故选
2
D.)
1 1
4.B(解析:如图所示,连接OA,∵AB=6 cm,OC⊥AB于点C,∴AC= AB= ×6=3(cm),∵☉O的半径为5 cm,∴OC=
2 2
❑√OA2-AC2=❑√52-32=4(cm).故选B.)
5.C(解析:解方程x2-5x-24=0,得x=8,x=-3(舍去),∴圆O的直径是8,∴圆O的半径是4,∵点A到圆心O的距离
1 2
为6,6>4,∴点A在圆O外.故选C.)6.C(解析:如图所示,∵O是△ABC的外心,∠BOC=80°,∴∠A=40°,∠A'=140°,故∠BAC的度数为40°或140°.故选
C.)
7.B(解析:在△ABC中,∵AB=5,BC=3,AC=4,∴AC2+BC2=32+42=52=AB2,∴∠C=90°,如图所示,设切点为D,连接
1 1 AC·BC 4×3
CD,∵AB是☉C的切线,∴CD⊥AB,∵S = AC·BC= AB·CD,∴AC·BC=AB·CD,即CD= =
△ABC 2 2 AB 5
12 12
= ,∴☉C的半径为 .故选B.)
5 5
8.B(解析:如图所示,过O点作OD⊥AB,则OD=1.∵O是△ABC的内心,∴∠OAD=30°.在Rt△OAD中,
∠OAD=30°,OD=1,∴AD=❑√3,∴AB=2AD=2❑√3.故选B.)
9.B(解析:如图所示,设FC=x,AB的中点为O,连接DO,OE.∵AD,DE都是☉O的切线,∴DA=DE=3.又∵EF,FB都
5
5 FC
是☉O的切线,∴EF=FB=3-x.∴在Rt△DCF中,由勾股定理,得(6-x)2=x2+16,解得x= ,则tan∠CDF= =3=
3 DC
4
5
.故选B.)
12
10.A(解析:∵六边形ABCDEF是正六边形,∴∠AOB=60°,∴△OAB是等边三角形,OA=OB=AB=2,设OA,OB与
❑√3
☉O分别交于H,I,点G为AB与☉O的切点,连接OG,则OG⊥AB,∴OG=OA·sin 60°=2× = ❑√3,∴S
2 阴影
1 60×π×(❑√3)2 π
=S -S = ×2×❑√3- =❑√3- .故选A.)
△OAB 扇形OHI 2 360 2
11.40 (解析:∵AD∥OC,∴∠BOC=∠DAO=70°,又∵OD=OA,∴∠ADO=∠DAO=70°,∴∠AOD=180°-70°-70°=40°.)12.2❑√3 (解析:如图所示,过O作OD⊥AC于D,当☉O与直线CA相切时,则OD为圆的半径3,即
DO ❑√3
OD=3,∵∠ACB=60°,∴sin 60°= = ,∴CO=2❑√3.)
CO 2
13.4 (解析:∵CD垂直平分AB,∴AD=8 m.∴OD=❑√102-82=6(m),∴CD=OC-OD=10-6=4(m).)
14.61° (解析:如图所示,连接OD,∵直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合,∴点A,B,C,D共圆,∵
1
点D对应的刻度是58°,∴∠BOD=58°,∴∠BCD= ∠BOD=29°,∴∠ACD=90°-∠BCD=61°.)
2
15.(2,0)(解析:根据垂径定理的推论,弦的垂直平分线必过圆心,可以作弦AB和BC的垂直平分线,交点即为圆
心.如图所示,则圆心是(2,0).故填(2,0).)
8 1 1
16.4- π (解析:连接AD,∵☉A与BC相切于点D,∴AD⊥BC,∴S = AD·BC,∴S =S -S = ×2×4-
9 △ABC 2 阴影部分 △ABC 扇形AEF 2
80·π·22 8 8
=4- π.故填4- π.)
360 9 9
17.证明:∵同弧所对的圆周角相等,
∴∠A=∠C,∠D=∠B.∵AD=BC,∴△ADE≌△CBE(ASA).∴AE=CE,DE=BE,∴AE+BE=CE+DE,即AB=CD.
PA PC
⏜ ⏜
18.证明:如图所示,连接AC,DB,∵BC=BC,∴∠A=∠D,又∵∠APC=∠DPB,∴△APC∽△DPB,∴ =
PD PB
,∴PA·PB=PC·PD.19.解:∵四边形ABCD内接于☉O,∴∠ADC+∠ABC=180°,∵∠ABC=130°,∴∠ADC=180°-
1
∠ABC=50°,∴∠AOC=2∠ADC=100°. ∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,∴∠OAC= (180°-∠AOC)=40°.
2
⏜ ⏜
20.解:(1)∵直径AB⊥CD,∴BC=BD,∴∠DCB=∠CAB=30°. (2)∵直径AB⊥CD,CD=6 cm,∴CE=3 cm,在
AC 6
Rt△ACE中,∠A=30°,∴AC=6 cm,∵AB是直径,∴∠ACB=90°,在Rt△ACB中,AB= = =4❑√3(cm).
cosA cos30°
21.解:∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°,∵∠BAC=2∠B,∴∠B=30°,∠BAC=60°,∵OA=OC,∴△AOC是等边三角形,
∴∠AOC=60°,AC=OA,∵PA是☉O的切线,∴∠OAP=90°,在Rt△OAP中,PA=6❑√3 cm,∠AOP=60°,∴OA=
PA 6❑√3
= =6(cm),∴AC=OA=6 cm.
tan60° ❑√3
22.解:(1)∵△ABC外切于☉O,切点分别为点D,E,F,∴BF=BD,CE=CD,∴BF+CE=BD+CD=BC=7.∴BF+CE的值是
1
7. (2)连接OE,OF,OA,∵△ABC外切于☉O,切点分别为点D,E,F,∴∠OEA=90°,∠OAE=
2
∠BAC=30°,∴OA=2OE=2❑√3,由勾股定理得AE=AF=❑√OA2-OE2=❑√(2❑√3)2-(❑√3)2=3,∴△ABC的
周长是AB+BC+AC=AF+AE+CE+BF+BC=3+3+7+7=20.
23.(1)证明:如图所示,连接
OC,∵OA=OC,∴∠BAC=∠OCA,∵∠DAC=∠BAC,∴∠OCA=∠DAC,∴OC∥AD,∵AD⊥EF,∴OC⊥EF,∵OC为半径,
∴EF是☉O的切线. (2)证明:如图所示,连接BC,∵AB为☉O的直径,
AD AC
AD⊥EF,∴∠BCA=∠ADC=90°,∵∠DAC=∠BAC,∴△ACB∽△ADC,∴ = ,∴AC2=AD·AB. (3)解:
AC AB
∵∠ACD=30°,∠OCD=90°,∴∠OCA=60°,∵OC=OA,∴△OAC是等边三角形,∴AC=OA=OC=2,∠AOC=60°,∵在
1 1 1
Rt△ACD中,AD= AC= ×2=1,∴由勾股定理得DC=❑√3,∴阴影部分的面积是S=S -S = ×(2+1)×
2 2 梯形OCDA 扇形OCA 2
60π×22 3❑√3 2
❑√3- = - π.
360 2 3
24.(1)证明:如图所示,连接CD,∵AD是☉O的直径,∴∠ACD=90°,∴∠CAD+∠ADC=90°,又
∵∠PAC=∠PBA,∠ADC=∠PBA,∴∠PAC=∠ADC,∴∠CAD+∠PAC=90°,∴PA⊥OA,而AD是☉O的直径,∴PA是☉O的切线. (2)解:如图所示,由(1)知
PA⊥AD,∵CF⊥AD,∴CF∥PA,∴∠GCA=∠PAC,又∵∠PAC=∠PBA,∴∠GCA=∠PBA,而
AG AC
∠CAG=∠BAC,∴△CAG∽△BAC,∴ = ,即AC2=AG·AB,∵AG·AB=12,∴AC2=12,∴AC=2❑√3. (3)解:设
AC AB
AF=x,∵AF∶FD=1∶2,∴FD=2x,∴AD=AF+FD=3x,在Rt△ACD中,∵CF⊥AD,∴AC2=AF·AD,即3x2=12,解得
x=2,∴AF=2,AD=6,∴☉O的半径为3,在Rt△AFG中,∵AF=2,GF=1,根据勾股定理得AG=❑√AF2+GF2=
12 12❑√5
❑√22+12=❑√5,由(2)知AG·AB=12,∴AB= = ,如图所示,连接BD,∵AD是☉O的直径,∴∠ABD=90°,
AG 5
AB 2❑√5 2❑√5
在Rt△ABD中,∵sin∠ADB= ,AD=6,∴sin∠ADB= ,∵∠ACE=∠ACB=∠ADB,∴sin∠ACE= .
AD 5 5
