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第三章 整式的加减知识归纳与题型突破（题型清单）
01 思维导图
02 知识速记
知识点1：代数式
1. 定义：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方等）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做
1代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。
注意：
①代数式中除了含有数、字母和运算符号外，还可以有括号；
②代数式中不含有“=、>、<、≠”等符号。等式和不等式都不是代数式，但等号和不等号两边的式子
一般都是代数式；
③代数式中的字母所表示的数必须要使这个代数式有意义，是实际问题的要符合实际问题的意义。
2.代数式的书写格式：
①代数式中出现乘号，通常省略不写，如vt；
②数字与字母相乘时，数字应写在字母前面，如4a；
③带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数，如 应写作 ；
④数字与数字相乘，一般仍用“×”号，即“×”号不省略；
⑤在代数式中出现除法运算时，一般写成分数的形式，如 4÷（a-4）应写作 ；注意：分数线具有
“÷”号和括号的双重作用。
⑥在表示和（或）差的代数式后有单位名称的，则必须把代数式括起来，再将单位名称写在式子的后
面，如 平方米。
知识点2：单项式
1.单项式定义
（1）定义： 由数或字母的积组成的式子叫做单项式。
说明： 单独的一个数或者单独的一个字母也是单项式.
2.单项式的系数：
单项式中的数字因数叫这个单项式的系数.
ab2 1
3x2 3 3
说明：（1）单项式的系数可以是整数，也可能是分数或小数。如 的系数是3； 的系数是 ；
4.8a
的系数是4.8；
（2）单项式的系数有正有负，确定一个单项式的系数，要注意包含在它前面的符号
2如
−4xy2
的系数是−4；
−(2x2y)
的系数是−2；
（3）对于只含有字母因数的单项式，其系数是1或-1，不能认为是0，如−ab2
的系数是-1；
ab2
的系
数是1；
（4）表示圆周率的π，在数学中是一个固定的常数，当它出现在单项式中时，应将其作为系数的一部
分，而不能当成字母。如2πxy的系数就是2.
3.单项式的次数：
一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.
说明：
（1）计算单项式的次数时，应注意是所有字母的指数和，不要漏掉字母指数是 1的情况。如单项式
2x4 y2z
的次数是字母z，y，x的指数和，即4＋3＋1=8，而不是7次，应注意字母z的指数是1而不
是0；
−24x2y3z4
（2）单项式的指数只和字母的指数有关，与系数的指数无关。如单项式 的次数是2＋3＋4=9
而不是13次；
（3）单项式是一个单独字母时，它的指数是1，如单项式m的指数是1，单项式是单独的一个常数时，一
般不讨论它的次数；
4、在含有字母的式子中如果出现乘号，通常将乘号写作“¿ ”或者省略不写。
例如：
100×t
可以写成
100⋅t
或
100t
5、在书写单项式时，数字因数写在字母因数的前面，数字因数是带分数时转化成假分数.
知识点3：多项式
1、定义： 几个单项式的和叫多项式.
2、多项式的项：多项式中的每个单项式叫做多项式的项.
3、多项式的次数多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数.
4、多项式的项数：多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数.
5、常数项： 多项式里，不含字母的项叫做常数项.
知识点4：整式
（1）单项式和多项式统称为整式。
3（2）单项式或多项式都是整式。
（3）整式不一定是单项式。
（4）整式不一定是多项式。
（5）分母中含有字母的代数式不是整式；而是今后将要学习的分式。
知识点5：同类项
1.定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。
2.合并同类项：
（1）合并同类项的概念：把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。
（2）合并同类项的法则：
同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。
（3）合并同类项步骤：
a．准确的找出同类项。
b．逆用分配律，把同类项的系数加在一起（用小括号），字母和字母的指数不变。
c．写出合并后的结果。
（4）在掌握合并同类项时注意：
a.如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后，结果为0.
b.不要漏掉不能合并的项。
c.只要不再有同类项，就是结果（可能是单项式，也可能是多项式）。
说明：合并同类项的关键是正确判断同类项。
03 题型归纳
题型一 用代数式表示式
例题1.如图，阴影部分面积的表达式为（ ）
41 1 1
A．ab+ πa2 B．ab− πa2 C．ab−πa² D．ab− πa2
4 2 4
巩固训练
1.用代数式表示x的3倍与y的平方的差为（ ）
A． B． C． D．
3x−y2 3x−y (3x−y) 2 3(x−y) 2
2．一个矩形的周长为30，若矩形的一边长用字母x表示，则此矩形的面积为（ ）
A．x(15−x) B．x(30−x) C．x(30−2x) D．x(15+x)
3．甲数是a，比乙数的3倍少b，表示乙数的式子是（ ）
A．3a−b B．a÷3−b C．(a+b)÷3 D．(a−b)÷3
题型二 用代数式的概念及意义
例题2.下列代数式符合通常书写规范的是（ ）．
1
A．a×4 B．1 a C．s÷t D．(a+1)元
3
巩固训练
1．下列各式中，书写正确的是（ ）
2 1 1
A．x2y B．1 mn C．x÷ y D． (a+b)
3 2 4
2．代数式5(y−5)的正确含义是（ ）
A．5乘y减5 B．y的5倍减去5
C．y与5的差的5倍 D．5与y的积减去5
3．一种商品每件成本a元，原来按成本增加22%定出价格，现在由于库存积压减价，按原价的85%出售，
现售价是 元．
题型三 求代数式的值
例题3.若x2+3x的值为12，则3x2+9x−2的值为（ ）
A．0 B．24 C．34 D．44
巩固训练
1．已知|m|=5，|n|=4，且mn>0，则m+n的值是（ ）
A．−9 B．−1 C．9 D．9或−9
2．若代数式x+2y的值是3，则代数式2x+4 y−2023的值是 ．
3．若a2−3a+2=5，则3a2−9a+2022的值是 ．
5题型四 单项式的判断
xy 1 a+b
例题4.有下列代数式：m, , ,12,x−2,8x3, ，其中单项式的个数为（ ）．
3 a 7
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
巩固训练
1
1．系数是− 的单项式是（ ）
5
1 x y
A．− B．− C．−5m D．− +1
5a 5 5
2．下列代数式中，是单项式的是（ ）
x 3 m+n
A． B．−xy+ y C． D．
2 x 2
1 x−y 7 y
3．代数式5x+ y， a2b， ， ，0.5，其中单项式的个数是（ ）
3 π 4
A．3 B．4 C．5 D．6
题型五 单项式的项和次数
5x y3
例题5.单项式− 的系数和次数分别是（ ）
2
5
A．系数是−5，次数是3 B．系数是− ，次数是4
2
5
C．系数是− ，次数是3 D．系数是5，次数是5
2
巩固训练
x3y
1．单项式− 的系数是 ，次数是 ．
5
3
2．单项式− x3y2的次数是 ，系数是 ．
7
题型六 多项式的判断
1 a+b 1 2
例题6.下列式子 ab， ， + ，x2+x−3中，多项式有（ ）
3 2 x y
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
巩固训练
6ab ab−c
1．下列式子：2a2b,3xy−2y2, ,4,−m, ，其中是多项式的有（ ）
2 π
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
a+b2 1 a+b
2．代数式2a+b， ，−7，− a2bc， 中，多项式的个数是（ ）
r 4 2
A．2 B．3 C．4 D．5
x y2 3 a+b 2−x
3．下列式子：①a2b+ab−b2；②0；③− ；④−x+ ；⑤ ；⑥ 多项式的个数是（ ）
3 y 2 x
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型七 多项式的项、项数或次数
例题7.对于多项式7x2−3x−5，下列说法错误的是（ ）
A．它是二次三项式 B．各项分别是7x2，3x，5
C．最高次项的系数是7 D．常数项是−5
巩固训练
1．多项式4a3b3−8ab+7a2b−15的二次项系数是 ，三次项系数是 ，常数项是
，次数最高项的系数是 ．
2．多项式2a3b2−3a2b+a−4的次数和项数分别为 ．
3．多项式a4−2a2b+b4的次数是 ，项数是 ．
题型八 多项式系数、指数中字母求值
例题8.如果多项式 是关于x的二次二项式，那么a,b的值可能是（ ）
5xa−(b−3)x+6
A． a=1,b=3 B． a=1,b=4 C． a=2,b=3 D． a=2,b=4
巩固训练
1．多项式 是关于x，y的三次二项式，则m的值是（ ）
x2y|m|+(m+1)xy+2
A．±1 B．−1 C．1 D．±3
2．多项式 是关于x的四次三项式，则m的值是（ ）
x|m|−(m−4)x+7
7A．−2 B．4 C．−4 D．4或−4
题型九 去括号和添括号
例题9.先去括号，再合并同类项：
(1)(2m−3)+m−(3m−2)；
(2)4x−2(−5x+3x−6)．
巩固训练
1．将下列各式去括号，并合并同类项．
(1)(7 y−2x)−(7x−4 y) (2)(−b+3a)−(a−b)
(3) (2x−5 y)−(3x−5 y+1) (4)2(2−7x)−3(6x+5)
(5) (−8x2+6x)−5 ( x2− 4 x+ 1) (6) (3a2+2a−1)−2(a2−3a−5)
5 5
题型十 同类项和合并同类项
例题10.已知单项式4x2ym与单项式−3xny6是同类项，则m−n的值为（ ）
A．−4 B．8 C．4 D．−8
8巩固训练
1．下列各题中的两个项，不属于同类项的是（ ）
1 1
A．2x2y与− yx2 B．1与−32 C．a2b与5×102ba2 D． m2n与
2 3
n2m
2．若5a2x−1b3与−2ab3y+1是同类项，则代数式2x+3 y的值（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
1
3．若单项式2xm−1y2与单项式 x2yn+1是同类项，则mn的值为（ ）
3
A．2 B．−2 C．3 D．−3
题型十一 整式的加减运算
例题11.化简：
(1) ； (2) ．
3(2x−7 y)−(4x−10 y) 3a2−(3b+4a2)−4(b−7a2−7b)
巩固训练
1．化简：
(1)x−(2x−y)+(3x−2y)；
(2) ．
2(a2b+3ab)−(2ab−a2b−1)
2．已知A=4a2+2a−1，B=−2a2+6a−1．求：
(1)2A−B；
(2)−3A−2B．
3．化简
(1)−x y2+3 y2x+x2；
(2)3(−ab+2a)−(3a−b)+3ab．
9题型十二 整式的加减中的化简求值
例题12.先化简，再求值：
(1) ，其中 ，
2a2−[a2−2(ab−ab2)+2ab]+3ab2 a=−3 b=2
(2) ，其中 ，
(2x2−2y2)−3(x y3+x2)+3(x y3+ y2) x=−1 y=2
巩固训练
1．先化简，再求值： ，其中 ．
4xy+(3x2−2xy)−2(3xy+6) x=−1,y=2
2．先化简，再求值： −2 (1 a2+2a−1 ) +3 ( a+ 1 a2)，其中 a=−5 ．
2 3
3．先化简，再求值∶ 2(a²b+ab²)−2(a²b−1)−ab²−2，其中a=1，b=−3．
10题型十三 整式加减的应用
例题13.小红卧室的窗户上半部分是由4个扇形组成的半圆形，下半部分为4个大小一样的长方形组成
的大长方形，小长方形的长和宽的比为3:2，已知小长方形的长为a．
(1)求这个窗户的面积和窗户外框的总长．
1
(2)小红想给窗户上方做装饰物，装饰物所占的面积为上半部分半圆面积的 ．求窗户中能射进阳光的
3
部分的面积（窗框面积忽略不计）．
巩固训练
1．体育分值在中考总分中的比例逐渐加大，某校为适应新中考要求，决定采购一批某品牌足球和跳绳，
用于学生训练，学校查阅天猫网店后发现足球每个定价129元，跳绳每条定价19元，现有A，B两家网
店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案，A网店：买一个足球送一条跳绳；B网店：足球和跳绳
都按定价的90%付款，已知学校要采购足球100个，跳绳x条（x>100)．
(1)请用含x的代数式分别表示在这两家网店购买，各需付款多少元？
(2)若x=300时，通过计算说明此时在哪家网店购买较为合算？
2．如图，长为60cm，宽为x(cm)的大长方形被分割成7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完
全相同的小长方形．其较短一边长为y(cm)．
11(1)从图中可知，这5块完全相同的小长方形中，每块小长方形较长边的长是_______cm（用含y的代数
式表示）．
(2)分别计算阴影A，B的周长（用含x，y的代数式表示）．
(3)阴影A与阴影B的周长差会不会随着x的变化而变化？请说明理由．
3．如图，一块长方形铁皮的长为(7a+b)米，宽为(6+2a+2b)米．将这块长方形铁皮的四个角都剪去一
个边长为(a+b)米的正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体盒子．
（1）求这个盒子底部的长和宽（用含a、b的式子表示，要求化简）；
（2）求这块长方形铁皮的周长（用含a、b的式子表示，要求化简）；
题型十四 整式加减中的无关型问题
例题14.已知A=3x2+2xy+3 y−1,B=3x2−3xy．
12(1)计算A+2B；
(2)若A+2B的值与y的取值无关，求x的值．
巩固训练
1．已知A=2x2+xy+2y−1,B=x2+xy．
(1)当x=−1,y=2时，求A−2B的值；
(2)若2A−4B的值与y无关，求x的值．
2．已知A=−3x−4xy+3 y，B=−2x+xy．
5 1
(1)当 x+ y= ，xy=− 时， 求A−3B的值．
3 2
(2)若A−3B的值与x的取值无关， 求y的值．
3．已知代数式A=3x2+2xy+2y，B=xy+x2−2x
(1)求A−3B；
(2)当x=−1，y=2时，求A−3B的值.
(3)若A−3B的值与x的取值无关，求y的值.
题型十五 日历中的规律
例题15.如图是某月的日历．
13(1)通过计算说明，带阴影的方框中的9个数之和与方框正中的数有什么关系？
(2)不改变方框的大小，如果将带阴影的方框移至其他几个位置试一试（方框内必须有数字），上述关
系还成立吗？如成立，请说明为什么成立（尽量用数学语言表述）
【活学活用】
小刚是个爱动脑筋的同学，在发现教程中的用方框在日历中移动的规律后，突发奇想，将连续的偶数2，
4，6，8，…，排成如图形式，并用一个十字形框架框住其中的五个数，请你仔细观察十字形框架中的
数字的规律，并回答下列问题：
(3)十字框中的五个数的和与中间的数16有什么关系？
(4)设中间的数为x，用代数式表示十字框中的五个数的和；
(5)若将十字框上下左右移动，可框住另外的五位数，其它五位数的和能等于100吗？如能，写出这五位
数，如不能，说明理由．
巩固训练
1．在某月的日历上用长方形圈到a，b，c，d四个数（如图），如果d=15，那么a+b+c的值为（ ）
A．22 B．25 C．29 D．30
2．如图，用“十”字形框，任意套中2022年元月份日历中的五个数，则这五个数的和不可能是（ ）
14A．40 B．42 C．60 D．45
a b
3．下表是2002年12月份的日历，现在用一个长方形在日历中任意框出4个数 ，请你用一个等式表示
c d
a、b、c、d之间的关系 ．
题型十六 数字中的规律
例题16.观察下列算式：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187⋯归纳
各计算结果中个位数字的规律，可得32025的个位数字是（ ）
A．1 B．3 C．9 D．7
巩固训练
1．中国古代用算筹来进行记数，算筹的摆放形式有纵、横两种形式(如图所示)，表示一个多位数时，
把各个数位的数码由高位到低位从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，其中个位、百位、
万位……用纵式表示，十位、千位、十万位……用横式表示，则56 846可用算筹表示为（ ）
A． B．
15C． D．
2．等边△ABC在数轴上的位置如图所示，点A、C对应的数分别为0和−1，若△ABC绕顶点沿顺时针方
向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1，则连续翻转若干次后，数2024对应的点为
（ ）
A．点A B．点B C．点C D．不确定
3．请观察下列算式，找出规律并填空
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
=1− ， = − ， = − ， = − 则：
1×2 2 2×3 2 3 3×4 3 4 4×5 4 5
(1)第10个算式是___________=___________．
(2)第n个算式为 ___________=___________．
1 1 1 1
(3)根据以上规律解答下题： + + +⋯+ 的值．
1×2 2×3 3×4 2019×2010
题型十七 图形中的规律
例题17.如图是一组有规律的图案，它们是由大小相同的正六边形组成，第1个图案中有5个正六边形，
第2个图案中有8个正六边形，第3个图案中有11个正六边形，…，按此规律，第60个图案中正六边
形的个数为（ ）
A．176个 B．179个 C．180个 D．182个
巩固训练
1．如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中
“●”的个数为3，第2幅图形中“●”的个数为8，第3幅图形中“●”的个数为15．以此类推，则
第14幅图形中“●”的个数为（ ）
16A．222 B．223 C．224 D．225
2．如图，一张长方形的桌子可坐6人，按照图中方式继续摆放桌子和椅子，若拼成一张大桌子后，座位
刚好可坐38人，则共需要这种长方形桌子 张
3．某同学用相同的积木玩一个拼图游戏，该积木每个角都是直角，长度如图1所示，小明用x个这样的
积木，按照如图2所示的方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙．则24块积木拼成图形的长度
为（ ）
A．124cm B．132cm C．138cm D．148cm
17
