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第三章 圆
提分小卷
（考试时间：30分钟 试卷满分：50分）
一、选择题：本题共8个小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。
1．（2021·河南·许昌市建安区教学研究室九年级期中）设P为 外一点，若点P到 的最短距
离为3，最长距离为7，则 的半径为（ ）
A．2 B．4 C．4或10 D．2或5
【答案】A
【分析】
根据P为⊙O外一点，若点P到⊙O的最短距离为3，最长距离为7，可以得到圆的直径，从而可
以求得圆的半径．
【详解】
解：∵P为⊙O外一点，若点P到⊙O的最短距离为3，最长距离为7，
∴⊙O的直径为：7-3=4，
∴⊙O的半径为2，
故选：A．
【点睛】
本题考查点和圆的位置关系，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
2．（2020·江苏·沭阳县怀文中学九年级月考）如图，⊙O中，弦AB⊥CD，垂足为E，F为 的
中点，连接AF、BF、AC，AF交CD于M，过F作FH⊥AC，垂足为G，以下结论：① ；
②HC＝BF：③MF＝FC：④ ，其中成立的个数是（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】
根据弧，弦，圆心角之间的关系，圆周角定理以及三角形内角和定理一一判断即可．
【详解】
解：∵F为 的中点，
∴ ，故①正确，
∴∠FCM＝∠FAC，
∵∠FCG＝∠ACM+∠FCM，∠AME＝∠FMC＝∠ACM+∠FAC，
∴∠AME＝∠FMC＝∠FCG＞∠FCM，
∴FC＞FM，故③错误，
∵AB⊥CD，FH⊥AC，
∴∠AEM＝∠CGF＝90°，
∴∠CFH+∠FCG＝90°，∠BAF+∠AME＝90°，
∴∠CFH＝∠BAF，
∴ ，
∴HC＝BF，故②正确，
∵∠AGF＝90°，
∴∠CAF+∠AFH＝90°，
∴ ＝180°，
∴ ＝180°，
∴ ，故④正确，
故选：C．
【点评】
本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，
属于中考选择题中的压轴题．
3．（2021·江苏·常州市清潭中学九年级期中）如图，已知⊙O的直径AD＝10．任一圆周角∠ACB
＝45°，则弦AB的长为（ ）A．5 B．5 C．5 D．5
【答案】B
【分析】
连接OB．根据圆周角定理求得∠AOB＝90°，在等腰Rt△AOB中根据勾股定理求得AB．
【详解】
解：连接OB．∵∠ACB＝45°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝90°，
∵AO=BO=5
∴△AOB是等腰直角三角形
∴AB＝ ．
故选：B．
【点睛】
本题考查圆周角定理的应用，体现了逻辑推理、数学运算的核心素养．
4．（2021·江苏常州·九年级期中）如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点
C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA， 垂足为D．且DC＋DA＝12， ⊙O的直径
为20，则AB的长等于( )A．8 B．12 C．16 D．18
【答案】B
【分析】
过O作OF⊥AB，垂足为F，连接OC，根据圆的基本性质和角平分线的定义，可得
∠DAC=∠OCA，从而得到OC⊥CD，得到四边形DCOF为矩形，从而得到OC=FD，OF=CD，然后
设AD=x，则OF=CD=12-x，AF=10-x，在Rt△ AOF中，由勾股定理得到AD=4，从而得到AF=6再
由垂径定理，即可求解．
【详解】
解：过O作OF⊥AB，垂足为F，连接OC，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∵AC平分∠PAE，
∴∠DAC=∠CAO，
∴∠DAC=∠OCA，
∴PB∥OC，
∵CD⊥PA，
∴OC⊥CD，∴∠OCD=∠CDA=∠OFD=90°，
∴四边形DCOF为矩形，
∴OC=FD，OF=CD，
∵DC+DA=12，
设AD=x，则OF=CD=12-x，
∵⊙O的直径为20，
∴DF=OC=10，
∴AF=10-x，
在 中，由勾股定理得AF2+OF2=OA2，
即（10-x）2+（12-x）2=102，
解得： （不合题意，舍去） ，
∴AD=4，
∴OF=8，
∴ ，
∵OF⊥AB，由垂径定理知，F为AB的中点，
∴AB=2AF=12．
故选：B
【点睛】
本题主要考查了圆的基本性质，勾股定理，垂径定理，矩形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是
解题的关键．
5．（2021·湖北武汉·九年级月考）如图，⊙O为Rt△ABC的内切圆，∠C＝90°，延长AO交BC于
D点，若AC＝4，CD＝1，则BD的长为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【分析】
设⊙O与Rt△ABC的切点为E、F、G，连接OE，OF，OG，OC，OB，利用已知易证四边形OGCE为正方形，利用OE∥BC，得出 进而比例式，求出圆的半径，在利用角平分线的性
质得出 ，最后利用直角三角形的内切圆的半径的关系列出关于 的方程即可求解．
【详解】
解：如图，设⊙O与Rt△ABC的切点为E，F，G，
连接OE，OF，OG，OC，OB．
∵⊙O为Rt△ABC内切圆，切点为E，F，G，
∴AE=AF，CE=CG，BF=BG．
∵AC切⊙O于E，BC切⊙O于G，
∴OE⊥AC，OG⊥BC．
∵∠ACB=90°，
∴四边形OGCE为矩形．
∵OE=OG，
∴矩形OGCE为正方形．
设圆的半径为x，则AE=4-x．
∵OE⊥AC，BC⊥AC，
∴OE∥CD，
∴ ．
∴ ．∴ ．
则 ，
设 ，
则 ，
，
由AD平分∠BAC，
得 ，
即 ，
解得 ，
∴ ．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了三角形的内切圆和内心、相似三角形的性质和判定，连接经过切点的半径是解题的
关键．
6．（2021·福建省福州屏东中学二模）如图，边长为 的正方形 的中心与半径为 的
的圆心重合， ， 分别是 ， 的延长线与 的交点，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
延长DC，CB交⊙O于M，N，根据圆和正方形的面积公式即可得到结论．
【详解】
解：延长DC，CB交⊙O于M，N，连接OF，过点O作OH⊥AB于H．在Rt△OFH中，FH= ，
∵AH=BH= ，
∴AF= ，
∴S = •AD•AF= ，
△DAF
则图中阴影部分的面积= ×（S S ） S
圆O 正方形ABCD △ADF
= •[π•（ ）2 ] （ 2）
=2π ；
故选：A．
【点睛】
本题考查了圆面积的计算，正方形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
7．（2021·浙江平阳·九年级期中）我国伟大的数学家刘徽于公元263年攥《九章算术注》中指出，
“周三径一”不是圆周率值，实际上是圆内接正六边形周长和直径的比值（图1）．刘徽发现，圆
内接正多边形边数无限增加时，多边形的周长就无限逼近圆周长，从而创立“割圆术”，为计算圆
周率建立起相当严密的理论和完善的算法．如图2，六边形 是圆内接正六边形，把每段弧
二等分，作出一个圆内接正十二边形，连结 ， ， 交 于点P， ，则 （
）A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】
设正六边形的中心为O，连接OA，过点A作AH⊥FC于点H，则△OFA是等边三角形，
∠PFA=60°，由正十二边形的中心角及圆周角定理，可得∠FAG=75°，则易得△AHP是等腰直角三
角形，从而可求得AH=PH的长，以及FH、AF 的长，故可得PF、FC的长，最后求得PC的长，
并求得结果．
【详解】
设正六边形的中心为O，连接OA，过点A作AH⊥FC于点H，如图
∵正六边形的中心角为：360°÷6=60°，OA=OF
∴△OFA是等边三角形
∴∠PFA=60°,OF=AF
∵AH⊥FC
∴∠FAH=90°-∠PFA=30°
∵正十二边形的中心角为：360°÷12=30°
∴弧FEG所对的圆心角为5×30°=150°
∴∠FAG==75°
∴∠HAP=∠HPA=45°
∴
∴
∴AF=2FH=4∴ ，FC=2OF=8
∴
∴
故选：D．
【点睛】
本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，解非直角三角形等知识，关键
是通过恰当的辅助线把一般三角形转化为特殊三角形来解决．
8．（2021·浙江·台州市书生中学九年级期中）一张圆形纸片，小芳进行了如下连续操作：将圆形纸
片左右对折、折痕为AB，将圆形纸片上下折叠使A、B两点重合，折痕CD与AB相交于M，将圆
形纸片沿EF折叠使B、M两点重合，折痕EF与AB相交于N．连结AE、AF，经过以上操作小芳得
到了以下结论：①CD EF；②四边形MEBF是菱形；③△AEF为等边三角形④
．以上结论正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】根据折叠的性质得 ，则 ，故①正确；根据垂径定理，BM垂直平分EF，根据
折叠的性质得BM、EF互相垂直平分，即可得四边形MEBF是菱形，故②正确；连接ME，MF，
则 ， ，根据直角三角形的性质得 ， ，则
， ，根据三角形内角和定理得 ，即可得 是等边三角形，
故③正确；设圆的半径为r，则 ， ，即 ， ，即可
得 ，故④正确；即可得．
【详解】
解：∵纸片上下A、B两点重合，
∴ ，
∵纸片沿EF折叠，B、M两点重合，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故①正确；
根据垂径定理，BM垂直平分EF，
∵纸片沿EF折叠，B、M两点重合，
∴BM、EF互相垂直平分，
∴四边形MEBF是菱形，故②正确；
如图，连接ME，MF，
则 ， ，
∴ ， ，
∴ ，，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
，
∴ ，
，
∴ ，
∴ 是等边三角形，故③正确；
设圆的半径为r，则 ， ，
∴ ， ，
，故④正确；
综上，结论正确的是①②③④正确共4个，
故选D．
【点睛】
本题考查了折叠的性质，垂径定理，等边三角形的判定，菱形的判定，解题的关键是掌握并灵活运
用这些知识点．
二、填空题：本题共4个小题，每小题3分，共12分。
9．（2021·湖南·长沙市实验中学九年级期中）如图， ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切
于点D，E，F，且AD=2， ABC的周长为14，则BC的长为________．
【答案】5
【分析】
根据切线长定理得到AF=AD=2，BD=BE，CF=CE，根据三角形的周长公式求出BE+CE=5即可．
【详解】解∵△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，
∴AF=AD=2，BD=BE，CE=CF，
∵△ABC的周长为14，
∴AB+BC+CA=AD+BD+BE+CE+CF+AF=2AD+2BE+2CE=14，
∴2BE+2CE=14-2AD=14-4=10，
∴BE+CE=5，
∴BC=BE+CE=5，
故答案为5．
【点睛】
本题考查的是三角形的内切圆与内心，切线性质，掌握切线长定理是解题的关键．
10．（2021·浙江金华·九年级期中）如图，⊙O与正六边形OABCDE的边OA，OE分别交于点F，
G，点M为劣弧FG的中点．若FM＝ ，则点O到FM的距离是 ___．
【答案】
【分析】
连接ON，过O作OH⊥FM于H，根据正六边形的性质和垂径定理以及解直角三角形即可得到结论．
【详解】
解：连接ON，过O作OH⊥FM于H，
∵正六边形OABCDE，
∴∠FOG=120°，
∵点M为劣弧FG的中点，
∴∠FOM=60°，∵OH⊥FM，OF=OM，
∴∠OFH=60°，∠OHF=90°，FH= FM=2 ，
∴OH= FH= ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了正多边形与圆，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造圆内接四边形解决问题．
11．（2021·浙江金华·九年级期中）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点P是钝角 的外
心，点A、B、P的坐标分别为 ， ， ，若第一象限的点C横坐标、纵坐标均为整数，
则点C的坐标为______．
【答案】（1，4）或（6，5）
【分析】
根据三角形的外心是三角形的外接圆圆心，则PA=PB=PC，故以点P为圆心，PA为半径画圆，只
需点C为圆与格点的交点即可．
【详解】
解：因为点P是钝角 的外心，则PA=PB=PC，故以点P为圆心，PA为半径画圆，如图，
∵第一象限的点C横坐标、纵坐标均为整数，
∴点C为圆P与格点的交点，
∵△ABC为钝角三角形，
∴由图知，满足条件在点C坐标为：（1，4）或（6，5），
故答案为：（1，4）或（6，5）；【点睛】
本题考查三角形的外心、坐标与图形，理解题意，熟知三角形的外心是三角形的外接圆圆心，利用
数形结合思想解决问题是解答的关键．
12．（2020·四川凉山·九年级月考）如图，一个底面半径为3的圆锥，母线 ，D为 的中
点，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆锥的侧面爬行到D，则蚂蚁爬行的最短路程为______．
【答案】
【分析】
先画出圆锥侧面展开图（见解析），再利用弧长公式求出圆心角 的度数，然后利用等边三角
形的判定与性质、勾股定理可得 ，最后根据两点之间线段最短即可得．
【详解】
画出圆锥侧面展开图如下：如图，连接AB、AD，
设圆锥侧面展开图的圆心角 的度数为 ，
因为圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的弧长等于底面圆的周长，扇形的半径等于母线长，
所以 ，
解得 ，
则 ，
又 ，
是等边三角形，
点D是BC的中点，
， ，
在 中， ，
由两点之间线段最短可知，蚂蚁爬行的最短路程为 ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了圆锥侧面展开图、弧长公式、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握圆锥侧面展
开图是解题关键．
三、解答题：本题共3个小题，每小题分别6分、8分、8分，共22分。
13．（2021·湖北松滋·九年级期中）一根横截面为圆形的下水管道的直径为1米，管内有少量的污
水（如图），此时的水面宽AB为0.6米．
（1）求此时的水深（即阴影部分的弓形高）；
（2）当水位上升到水面宽为0.8米时，求水面上升的高度．【答案】当水位上升到水面宽为0.8米时，水面上升的高度为0.1米或0.7米
【分析】
（1）作半径 ，并交 于 ，连接 ，则 即为弓形高，根据垂径定理得 ，
然后根据已知条件求出 的长；
（2）当水位上升到水面宽 为0.8米时，直线 与 相交于 ，可得 米，然后根据
与 在圆心同侧或异侧时两种情况解答．
【详解】
解：（1）作半径 ，垂足为点 ，连接 ，则 即为弓形的高，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 米，即此时的水深为0.1米．
（2）当水位上升到水面宽 为0.8米时，直线 与 相交于点
同理可得 ，当 与 在圆心同侧时，水面上升的高度为0.1米；当 在 在圆心异
侧时水面上升的高度为0.7米．∴综上所述，当水位上升到水面宽为0.8米时，水面上升的高度为0.1米或0.7米．
【点睛】
本题主要考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握垂径定理．
14．（2021·全国·九年级专题练习）如图，正方形ABCD的边长为4cm，点E、F分别从点D和点C
出发，沿着射线DA、射线CD运动，且DE＝CF，直线AF、直线BE交于H点．
（1）当点E从点D向点A运动的过程中：
①求证：AF⊥BE；
②在图中画出点H运动路径并求出点H运动的路径长；
（2）在整个运动过程中：
①线段DH长度的最小值为______．
②线段DH长度的最大值为_________ ．
【答案】（1）①见解析；②3π；（2）① ．② ．
【分析】
（1）①证明△ABE≌△DAF，运用互余原理证明即可；
②根据∠AHB=90°，且AB是定长，判定点H在以AB为直径的圆上，且H可以与M，B重合即运
动路径是一段优弧，根据弧长公式计算即可；
（2）①根据圆的性质，当O，H，D共线，且H在O，D之间时最短，根据勾股定理计算即可．
②根据圆的性质，当O，H，D共线，且H在O，D之外时最长，根据勾股定理计算即可．
【详解】
（1）①∵四边形ABCD是正方形，∴AB=DA=CD，∠BAE=∠ADF=90°，
∵DE＝CF，
∴AE=DF，
∴△ABE≌△DAF，
∴∠ABE=∠DAF，
∵∠ABE+∠AEB=90°，
∴∠DAF+∠AEB=90°，
∴∠AHE=90°，
∴AF⊥BE；
②点H运动路径画图如下，
∵∠AHB=90°，且AB是定长，
∴点H在以AB为直径的圆上，且H可以与M，B重合即运动路径是一段优弧，
设AB的中点为点O，连接BD，设BD 的中点为点M，连接OM
∴∠BOM=90°，
∵AB=4，
∴圆的半径为2，
∴弧长为 =3π；
（2）①根据圆的性质，当O，H，D共线，且H在O，D之间时最短，当H与点G重合时，最短，
∵AD=4，AO=2，
∴DO= = ；
∴DH=DO-OG= ，
故答案为： ．②根据圆的性质，当O，H，D共线，且H在O，D之外时最大，当H与点Q重合时，最大，
∵AD=4，AO=2，
∴DO= = ；
∴DH=DO+OQ= ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，弧长公式，圆的基本性质，圆的定义，三角形的全等判定与性质，熟练
运用正方形的性质，灵活运用弧长公式和圆的性质是解题的关键．
15．（2021·福建省福州第一中学九年级期中）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，点C
是⊙O上一点，AD⊥CD于点D，且AC平分∠DAB，延长CD交AB的延长线于点P，弦CE平分
∠ACB，交AB于点F，过点C作直线CP与AB的延长线相交于点P，且PC＝PF，连接BE．
（1）求证：△BCE∽△FBE；
（2）求证：PC为⊙O的切线；
（3）若tan∠ABC＝2，BE＝2 ，求线段PC的长．
【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解；（3）线段PC的长为 ．
【分析】
（1）根据AB是⊙O的直径，可得∠ACB=90°，由CE平分∠ACB，可得∠ACE=∠BCE=45°，由
∠ACE=∠ABE，可得∠BCE=∠FBE，可证△BCE∽△BCF；
（2）根据AC平分∠DAB，可得∠DAC=∠CAB，由OA=OC，可得∠ACO=∠CAO，可证
∠DAC=∠ACO，根据内错角相等两直线平行可得CO∥AD，由AD⊥CD，可证OC⊥CD即可；（3）连结AE，过B作BG⊥CE于G，由∠ACE=∠BCE，可得AE=CE=2 ，由AB为直径，开可
求AB= ，由tan∠ABC＝2，可得AC=2BC，根据勾股定理可
求 ，AC=8，在直角三角形中可求CG=BG=sin45°CB= ，求出CE=CG+GE=
，由（1）知△BCE∽△BCF；求出 ，再证△APC∽△CPB，开始 ，
可求 ．
【详解】
（1）证明：AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE=45°，
∵∠ACE=∠ABE，
∴∠BCE=∠ABE即∠BCE=∠FBE，
∵∠CEB=∠BCF，
∴△BCE∽△BCF；
（2）证明：∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠CAO，
∴∠DAC=∠ACO，
∴CO∥AD，
∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD，
∴PC为⊙O的切线；（3）连结AE，过B作BG⊥CE于G，
∵∠ACE=∠BCE，
∴
∴AE=CE=2
∵AB为直径，
∴∠AEB=90°，
∴AB= ，
∵tan∠ABC＝2
∴
∴AC=2BC，
∵AC2+BC2=AB2，
∴ ，
解得 ，AC=8，
∵BG⊥CE，∠GCB=45°，
∴∠CBG=90°-∠GCB=45°=∠GCB，
∴CG=BG=sin45°CB= ，
在Rt△GBE中，GE= ，
∴CE=CG+GE= ，
由（1）知△BCE∽△BCF；
∴ ，即 ，
解得 ，
∵∠OCP=∠ACB=90°，
∴∠ACO+∠OCB=∠OCB+∠BCP，∴∠ACO=∠BCP，
∵∠CAO=∠ACO，
∴∠CAO=∠BCP，即∠CAP=∠BCP，
∴∠APC=∠CPB，
∴△APC∽△CPB，
∴ ，
∵PC＝PF，
∴PB=PF-BF=PC-BF=PC- ，PA=PB+AB=PC- + =PC+ ，
∴ ，
整理得 ，
解得 ．
经检验 满足方程并符合题意，
∴线段PC的长为 ．【点睛】
本题考查角平分线定义，等腰三角形判定与性质，平行线性质，三角形相似判定与性质，圆的切
线频数，勾股定理，分式方程，掌握角平分线定义，等腰三角形判定与性质，平行线性质，三角形
相似判定与性质，圆的切线频数，勾股定理，分式方程是解题关键．
