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第三章 圆单元测试
一、选择题（本大题共14个小题，每题2分，共28分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要
求的）
1．（2022·浙江·余姚市梨洲中学九年级阶段练习）已知 的直径为4cm．若点P到圆心O的距离为
3cm，则点P（ ）
A．在 上 B．在 内 C．在 外 D．无法确定
【答案】C
【分析】利用点到圆心的距离与圆的半径之间的大小关系，进行判断即可．
【详解】解：∵ 的直径为4cm，
∴ 的半径为2cm，
∵点P到圆心O的距离为3cm，大于 的半径，
∴点P在 外；
故选C．
【点睛】本题考查点与圆的位置关系．熟练掌握利用点到圆心的距离与圆的半径之间的大小关系，来判断
点与圆之间的位置关系，是解题的关键．
2．（2022·山东德州·九年级期中）下列说法中，正确的个数为（ ）
（1）在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等；
（2）优弧一定比劣弧长；
（3）弧相等则所对的圆心角相等；
（4）在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据圆心角，弧，弦之间的关系一一判断即可．
【详解】解：（1）在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等，故错误，弦所对的弧有优弧或劣弧，不一
定相等．
（2）优弧一定比劣弧长，故错误，条件是同圆或等圆中；
（3）弧相等则所对的圆心角相等，故正确；
（4）在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等，故正确；
故选：B．
【点睛】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，解题的关键是掌握圆心角，弧，弦之间的关系．3．（2022·河北石家庄·一模）过点A用尺规作出直线MN的垂线AD，如图所示的作法中正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】D
【分析】①根据直径所对的圆周角是直角判断即可；
②③根据基本作图判断即可；
④根据等腰三角形的三线合一的性质判断即可．
【详解】解：图①中，由圆周角定理可知，∠ADN=90°，符合题意；
图②中，由作图可知AD⊥MN，符合题意；
图③中，由作图可知MN垂直平分线段AD，符合题意；
图④中，根据等腰三角形三线合一的性质可知AD⊥MN，符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，垂线等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
4．（2022·浙江·宁波外国语学校九年级期中）如图， 与正方形 的两边 相切，且 与
相切于E点．若 的半径为4，且 ，则 的长度为（ ）
A．5 B．6 C． D．
【答案】B
【分析】连接 ，根据切线性质证四边形 为正方形，根据正方形性质和切线长性质可得
．【详解】解：连接 ，
∵ 都与圆O相切，
∴ ，
∵四边形 为正方形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 为正方形，
则 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了切线和切线长定理，作辅助线，利用切线长性质求解是关键．
5．（2022·江苏盐城·九年级期中）如图，A、B、C在 上， ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求出 的度数，然后根据等边对等角即可得出答
案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角和圆心角的关系以及等腰三角形等边对等角，熟知同弧所对的圆周
角等于圆心角的一半是解本题的关键．
6．（2022·江苏·苏州中学九年级阶段练习）若圆锥的底面圆半径是 ，圆锥的侧面展开图是一个半径为
扇形，则此扇形的圆心角为（ ）
A．60° B．90° C．120° D．150°
【答案】C
【分析】根据圆锥底面圆周长等于展开图扇形的弧长进行求解即可．
【详解】解：设这个圆心角度数为n°，
由题意得： ，
解得 ，
故选C．
【点睛】本题主要考查了求扇形圆心角度数，熟知圆锥底面圆周长等于展开图扇形的弧长是解题的关键．
7．（2022·山东·济宁市兖州区东方中学九年级期中）如图，在 中，弦 ， ，交 、
于点 ， ， 的半径为10， ， ，则 为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．1
【答案】A
【分析】连接 、 ，根据垂径定理，可得 ， ，根据勾股定理可得 ， ，
进而即可求解．
【详解】解：如图，连接 、 ，∵弦 ， ，交 、 于点 ， ，
∴ ，即 ， ， ，
∵ 的半径为10，即 ，
在Rt 中，由勾股定理，得： ，
在Rt 中，同理可得： ，
∴ ，
故选：A．
【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是做辅助线构造直角三角形，进而利用勾股定理求
出 ， ．
8．（2022·全国·九年级课时练习）如图，已知 中， ， ， ，如果以点 为圆
心的圆与斜边 有公共点，那么⊙ 的半径 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】作CD⊥AB于D，根据勾股定理计算出AB=13，再利用面积法计算出 然后根据直线与圆的
位置关系得到当 时，以C为圆心、r为半径作的圆与斜边AB有公共点．
【详解】解：作CD⊥AB于D，如图，∵∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴
∴
∴以C为圆心、r为半径作的圆与斜边AB有公共点时，r的取值范围为
故选：C
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d：直线l和⊙O相
交 d＜r；直线l和⊙O相切 d=r；直线l和⊙O相离 d＞r．
9．⇔（2022·河北·金华中学九年⇔级期中）如图，点 为 ⇔ 的内心， ， ， ，将
平移使其顶点与 重合，则图中阴影部分的周长为（ ）
A．6.5 B．7 C．5.5 D．6
【答案】D
【分析】如图，连接 、 ，根据三角形内心的性质得 平分 ， 平分 ，再根据平移的
性质和平行线的性质证明 ， ，所以 ， ，则
．
【详解】如图，连接 、 ，点 为 的内心，
平分 ， 平分 ，
， ，
平移使其顶点与 重合，
， ，
， ，
， ，
， ，
，
即图中阴影部分的周长为6．
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三
角形顶点的连线平分这个内角．也考查了平行线的性质．
10．（2022·广东·惠州市惠阳区良井中学八年级阶段练习）阅读理解：如图 所示，在平面内选一定点
，引一条有方向的射线 ，再选定一个单位长度，那么平面上任一点 的位置可由 的长度
与 的度数 确定，有序数对 称为 点的“极坐标”，这样建立的坐标系称为
“极坐标系”．
应用：在图 的极坐标系下，如果正六边形的边长为 ，有一边 在射线 上，则正六边形的
顶点 的极坐标应记为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设正六边形的中心为D，连接AD，判断出 是等边三角形，根据等边三角形的性质可得
， ，再求出OC，然后根据“极坐标”的定义写出即可．
【详解】设正六边形的中心为D，连接AD，
， ，
是等边三角形，
， ，
，
正六边形的顶点C的极坐标记为 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了正多边形和圆，坐标确定位置，主要利用正六边形的性质，读懂题目信息，理解“极
坐标”的定义是解题的关键．
11．（2022·江苏·太仓市第一中学九年级阶段练习）如图，直角坐标系中，以5为半径的动圆的圆心A沿x
轴移动，当⊙ 与直线 只有一个公共点时，点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】当⊙ 与直线 只有一个公共点时，则此时⊙A与直线 相切，（需考虑左右两
侧相切的情况）；设切点为 ，此时 点同时在⊙A与直线 上，故可以表示出 点坐标，过 点
作 ，则此时 ，利用相似三角形的性质算出 长度，最终得出结论．【详解】如下图所示，连接 ，过 点作 ，
此时 点坐标可表示为 ，
∴ ， ，
在 中， ，
又∵ 半径为5，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
则 ，
∴ ，
∴ ，
∵左右两侧都有相切的可能，
∴A点坐标为 ，
故选：D．
【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知相似三角形的判定与性质是解答此题的关键．
12．（2022·四川乐山·模拟预测）如图，点P在抛物线y＝x2﹣3x+1上运动，若以P为圆心的圆与x轴、y
轴都相切，则符合上述条件的所有的点P共有（ ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】若以P为圆心的圆与x轴、y轴都相切，则点P的横纵坐标的绝对值相等，即x＝y或x＝﹣y，再
判断一元二次方程解的情况即可求解．
【详解】解：∵若以P为圆心的圆与x轴、y轴都相切，
∴x＝y或x＝﹣y，
当x＝y时，即x2﹣3x+1＝x，
∵Δ＝b2﹣4ac＝12＞0，
∴方程有两个不相等的实数解；
当x＝﹣y时，即x2﹣3x+1＝﹣x，
∵Δ＝b2﹣4ac＝0，
∴方程有两个相等的实数解；
综上可知符合上述条件的所有的点P共有3个，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的性质以及切线的性质，根据题意得到x＝y或x＝﹣y是解题的关
键．
13．（2020·山东·九年级阶段练习）如图所示是一个几何体的三视图，如果一只蚂蚁从这个几何体的点B
出发，沿表面爬到AC的中点D处，则最短路线长为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A【分析】将圆锥的侧面展开，设顶点为 ，连接 ， ．线段 与 的交点为 ，线段 是最短
路程．
【详解】解：如图将圆锥侧面展开，得到扇形 ，则线段 为所求的最短路程．
设 ．
，
即 ．
为弧 中点，
， ，
，
最短路线长为 ．
故选：A．
【点睛】本题考查了平面展开 最短路径问题，扇形的面积和特殊值的三角函数等问题，解题时注意把立
体图形转化为平面图形．
14．（2022·江苏淮安·九年级期中）如图， 中， ， ， ， 是 内部的
一个动点，且满足 ，则线段 长的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【分析】首先证明点P在以 为直径的 上，连接 交 于点P，此时 最小，再利用勾股定理求出 即可解决问题．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∴点P在以 为直径的 上，连接 交 于点P，此时 最小，
在 中， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 最小值为 ，
故选：A．
【点睛】本题考查点与圆的位置关系、圆周角定理、动点线段最值问题等知识，解题的关键是确定点P的
位置，学会求圆外一点到圆的最小、最大距离，属于中考常考题型．
二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上）
15．（2022·江苏连云港·九年级阶段练习）如图，四边形 是 的内接正方形，E是 的中点，
交 于点F，则 ___________度．【答案】67.5
【分析】根据四边形 是 的内接正方形，得 ，根据 ，得
，即可求出 的度数．
【详解】解：∵边形 是 的内接正方形，
∴ ，
∵E是 的中点，
∴
∴ ，
∴ ．
故答案为：67.5．
【点睛】本题考查正多边形与圆，正方形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解
决问题，属于中考常考题型．
16．（2022·浙江·台州市书生中学九年级期中）已知圆锥的底面半径是3cm，圆锥的高为4cm，求圆锥侧面
展开的扇形面积是___．
【答案】15π
【分析】根据勾股定理求得母线长，圆锥的侧面积 底面周长 母线长 ，把相应的数值代入即可求解；
【详解】∵圆锥的底面半径是3cm，圆锥的高为4cm，
∴圆锥的母线长是 ，
∴圆锥的侧面积 底面周长 母线长 ．
故答案是 ．
【点睛】本题主要考查了圆锥侧面展开图的面积，准确理解侧面展开图进行求解是解题的关键．17．（2021·江苏盐城·九年级期中）如图，在平面直角坐标系 中，点 为 ，点 为 ，点 为
．用一个圆面去覆盖 ，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是______．
【答案】
【分析】由题意可得，该圆为 外接圆，根据垂径定理确定外接圆的圆心，即可求解．
【详解】解：由题意可得：完全覆盖这个三角形的最小圆为 外接圆，
作线段 的垂直平分线，如图，
可得外接圆的圆心 坐标为 ，
半径
故答案为：
【点睛】此题考查了三角形的外接圆，涉及了垂径定理，解题的关键是确定外接圆的圆心．
18．（2022·福建·福州现代中学九年级阶段练习）如图所示，两个同心圆的半径之比为 ， 是大圆的
直径，大圆的弦 与小圆相切，若 ，则 _________．【答案】
【分析】设弦 与小圆相切于点 ，连接 ， ， 为大圆的直径， ，故 为
的中位线； ， 即可知，两个同心圆的半径之比为 ，可求得大圆半径，再由勾股定理
可求得 的长．
【详解】解：设点 是 与小圆相切的切点，
∵ 为大圆的直径，
∴ ，
∵大圆的弦BC与小圆相切，
∴ ，
∵ ， 过圆心，
∴ 为 的中点，
∵ 为 的中点，
∴ ，
∴ 为 的中位线，
∵ ，
∴ ，
∵两个同心圆的半径之比为 ，
∴大圆的半径为 ，∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了切线的性质及垂径定理的应用，解决本题的关键是掌握切线的性质．
三、解答题（本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分）
19．（2022·浙江·杭州市丰潭中学九年级期中）圆圆在解答问题“在矩形 中， 以A
为圆心作 ，使得B，C，D三点中至少有一点在 内，有一点在 外，求 的半径r的取值范
围？”时，答案为“ ”．圆圆的答案对吗？如果错误，请写出正确的解答过程．
【答案】不正确，正确过程见解析
【分析】连接 并根据勾股定理计算出 的长度，经分析，以A为圆心作 ，使得B，C，D三点中
至少有一点在 内，有一点在 外，则点B必须在圆内，点C必须在圆外，根据点与圆的位置关系即
可进行解答．
【详解】解：圆圆的结果不正确．
连接 ，
∵四边形 为矩形，
∴ ，
根据勾股定理得： ，
∵B，C，D三点中至少有一点在 内，有一点在 外，∴点B在圆内，点C在圆外，
∴ ，
∴圆圆的结果不正确．
【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，解题的关键是熟练掌握点到圆心的距离小于半径，则点在圆
内；点到圆心的距离等于半径，则点在圆上；点到圆心的距离大于半径，则点在圆外．
20．（2022·浙江·杭州二中白马湖学校九年级阶段练习）如图，已知 是 的直径，弦 ．
(1)求证：弧 弧 ；
(2)若弧AC的度数为 ，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接 ，根据等腰三角形的性质得出 ，根据平行线的性质得出 ，
，求出 ，根据圆心角与弧的关系即可得证；
（2）求出 ，求出 ，再求出答案即可．
【详解】（1）证明：连接 ，
，
，
，
， ，
，；
（2）解： 的度数是 ，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了圆心角与弧的关系，掌握弧的度数等于所对圆心角的度数是解题的关键．
21．（2022·广西·南宁十四中九年级期中）如图是某蔬菜基地搭建的一座蔬菜棚的截面，其为圆弧型，跨
度AB（弧所对弦）的长为 米﹐拱高（弧的中点到弦的距离）为 米．
(1)求该圆弧所在圆的半径；
(2)在距蔬菜棚的一端（点B） 米处竖立支撑杆 ，求支撑杆 的高度．
【答案】(1)该圆弧所在圆的半径为2米
(2)支撑杆 的高度为 米
【分析】（1）设 所在的圆心为 ， 为 的中点， 于 ，延长 至 点，设 的半径
为 ，利用勾股定理求出即可；
（2）过 作 于 ，利用垂径定理以及勾股定理得出 的长，再求出 的长即可．
【详解】（1）解：设 所在的圆心为 ， 为 的中点， 于 ，延长 至 点，
则 （米），
设 的半径为 ，
在 中， ，
∴ ，解得 ，
即该圆弧所在圆的半径为 米；
（2）过 作 于 ，
则 （米）， 米，
在 中， （米），
∵ （米），
∴ （米），
即支撑杆EF的高度为 米．
【点睛】此题主要考查了垂径定理的应用和勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理和勾股定理，正确作出辅
助线是解题关键．
22．（2022·湖南·明德华兴中学九年级阶段练习）如图所示： 、 分别与圆O交于A、B、C、D四点，
连接 、 ，
(1)证明：
(2)若 ， ， ，求 的长.
【答案】(1)见解析
(2) 的长为6
【分析】（1）根据A、B、C、D四点共圆得 ，根据 得，即可得；
（2）根据相似三角形的性质得 ，进行计算即可得．
【详解】（1）证明：∵A、B、C、D四点共圆，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
即 的长为6．
【点睛】本题考查了圆的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握这些知识点，正确计算．
23．（2022·甘肃·凉州区双城镇南安九年制学校九年级期末）如图，四边形 内接于 ， 为
的直径， ．
(1)试判断 的形状，并给出证明；
(2)若 ， ，求 的长度．
【答案】(1) 是等腰直角三角形，证明见解析
(2)
【分析】（1）根据圆周角定理可得 ，由 根据等弧对等角可得 ，即可证明；
（2）在 中由勾股定理可得 ， 中由勾股定理求得 即可．
【详解】（1）解∶ 是等腰直角三角形，证明如下：
∵ 是圆的直径，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形；
（2）解：∵ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
中， ，
∴ ．
【点睛】本题考查圆周角定理，勾股定理．熟练掌握圆周角定理，直径所对的圆周角是直角是解题的关键．
24．（2022·辽宁鞍山·模拟预测）如图， 为 直径， ， 为 上不同于 、 的两点，
过点 作 ，垂足为 ，直线 与 相交于 点．
(1)试说明： 为 的切线；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)5
【分析】（1）连接 ，根据同圆的半径相等推角相等，再通过已知角的关系推 ，证明
，从而证明 为 的切线；
（2）过点 作 ，垂足为 ，先证矩形，再用勾股定理求线段的长．
【详解】（1）证明：如图①，连接 ，，
，
，
，
，
，
，
∴ ，
，
，
为 的切线
（2）解：如图②，过点 作 ，垂足为 ，
，
，
，
，
四边形 是矩形，
， ，
设 ，则 ，
在 中， ，，
解得， ，
．
【点睛】主要考查了切线的判定、圆的有关性质、勾股定理，掌握这些定理的熟练应用，辅助线的做法是
解题关键．
25．（2022·河南·信阳市平桥区龙井乡中心学校九年级期中）如图，以 为直径作半圆 ， 是半圆上一
点， 是 的角平分线， 平分 ，交 于点 ，延长 交半圆 于点 ，连接 ．
(1)求证： 为等腰直角三角形．
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先由角平分线的定义和等腰三角形的性质得到 ，再由圆周角定理证明即可；
（2）连接 ， ， ， 交 于点 ，先得到 ，根据垂直平分线的判定和性质得到
， ，然后根据三角函数求出 ，设 ，根据勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明： 平分 ， 平分 ，
， ．
， ，
，
．
为直径，
，
是等腰直角三角形．
（2）如图，连接 ， ， ， 交 于点 ．，
．
，
垂直平分 ，
， ．
是等腰直角三角形， ，
．
，
．
设 ，则 ．
在 和 中， ，
解得 ，
，
．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，圆周角定理，垂直平分线的判定和性质，
三角函数，勾股定理，正确构造辅助线是解题的关键．
26．（2022·江苏无锡·九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标为 点 在 轴的正半
轴上，且 ，以点 为圆心，1为半径画 ，与 轴交于点 （点 在点 的下方），点 是
的中点，点 是 上的一个动点，从点 开始以5度/秒的速度沿圆周逆时针运动一周，设运动时间
为t秒．(1)如图1，连接 ，当 时，求t的值；
(2)如图2，点P在运动过程中，连接 ，以 为边在左侧作等边 ，
①当 秒时，求点 的坐标；
②连接 ，当 最大时，求此时t的值和这个最大值．
【答案】(1) 秒或 秒
(2)① ；②t的值为36秒，最大值为4
【分析】（1）根据直角三角形的斜边中线性质和等腰三角形的性质得到 ，再根据平
行线的性质得到 即可求解；
（2）①根据题意，可求得 ，则 ，根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理
可求得 、 、 ，过 作 ⊥ 轴于 ，易求出点 坐标， ，根据等边三角形的性质和两
点距离坐标公式列方程求解 即可；
②以 为边在左侧作等边 ，证明 得到 ，则 的运动轨迹是以点
为圆心，1为半径的圆，连接 并延长交圆 于 ，当 与 重合时， 最大，利用等边三角形的性
质和勾股定理求出 即可得到最大值，再设圆B与y轴交点为 ，易求得 ，故当 最大时，点 从点C运动到点 ，求出此时的t值即可
【详解】（1）解：如图1，∵ 是 的中点， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵点 是 上的一个动点，从点 开始以5度/秒的速度沿圆周逆时针运动，
∴ （秒），
∵当 从 运动到 时，也满足 ，
∴ （秒），
综上，满足条件的t值为6秒或42秒；
（2）解：①如图2，当 秒时， ，
∵点 的坐标为 点 在 轴的正半轴上，且 ，
∴ ， ， ，又 ，
∴ ，
，
过 作 ⊥ 轴于 ，则 ，∴ ，
∴ ，
∴
设 ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，则 ，
解得： ，
∵ 即 ，
∴ ，
解得： ，
则 ，
∴点 坐标为 ；②如图3，以 为边在左侧作等边 ，
则 ， ，
∴ ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ，
∴ 的运动轨迹是以点 为圆心，1为半径的圆，
连接 并延长交圆 于 ，当 与 重合时， 最大，
∵ 是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 最大值为4，
∴ ，
设圆 与 轴交点为 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴当 最大时，点 从点 运动到点 ，此时， （秒）．【点睛】本题考查等边三角形的性质、旋转的性质、含30度角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质、
坐标与图形、全等三角形的判定与性质、圆的有关知识、两点距离坐标公式、勾股定理等知识，涉及知识
点较多，难度较大，熟练掌握相关知识的联系与运用，在第（2）②中得到点D的运动轨迹是关键．
