文档内容
第三章 图形的平移与旋转测试卷
一、选择题（本大题共14个小题，每题2分，共28分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要
求的）
1．（2021·北京人大附中九年级开学考试）2020年4月7日，中国邮政发行了《众志成城 抗击疫情》邮票
一套两枚（图1），以此纪念在抗击新冠肺炎疫情的过程中，中国人民所展现出的“中国精神、中国力量、
中国担当”．两枚邮票用一个“众”字型的背景图案巧妙相连，从几何的角度看，这个图案（图2）（
）
A．是中心对称图形而不是轴对称图形
B．是轴对称图形而不是中心对称图形
C．既是轴对称图形又是中心对称图形
D．既不是轴对称图形，又不是中心对称图形
【答案】B
【详解】
解：由轴对称图形的定义与中心对称图形的定义可得：
这个“众”字是轴对称图形，不是中心对称图形，
所以： 不符合题意， 符合题意，
故选：
2．（2021·广西梧州市·八年级期末）在平面直角坐标系中，把点 向右平移1个单位后所得的点的坐
标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
点(2，−1)向右平移 1个单位得到的坐标为（3，-1），
故选D.
3．（2019·扎赉特旗音德尔第三中学九年级期末）在下列四种图形变换中，如图图案包含的变换是（ ）A．平移、旋转和轴对称 B．轴对称和平移
C．平移和旋转 D．旋转和轴对称
【答案】D
【详解】
解：图形的形状沿中间的竖线折叠，两部分可重合，得轴对称．
里外各一个顺时针旋转8次，得旋转．
故选：D．
4．（2020·天津和平区·九年级期中）点 关于原点的对称点的坐标是（ ）
A．（﹣2，﹣3） B．（2，﹣3） C．（2，3） D．（3，﹣2）
【答案】B
【详解】
解：∵点 关于原点对称，
∴点 关于原点对称的点的坐标为 ，
故选：B．
5．（2021·贵州遵义市·八年级期末）如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中 沿着点
到 的方向平移到 的位置， ，平移距离为 ，则 的面积为（
）
A．6 B．12 C．18 D．24
【答案】A
【详解】
解：由平移的性质知，BE=CF=3，DE=AB=5，BF=10，
∴OE=DE-DO=5-2=3，EC=10-3-3=4，
∴△OEC的面积 ×3×4=6．
故选：A．6．（2021·上海宝山区·七年级期末）如图， 经过平移后得到 ，下列说法：
①
②
③
④ 和 的面积相等
⑤四边形 和四边形 的面积相等，其中正确的有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】A
【详解】
解： 经过平移后得到 ，
∴ ，故①正确；
，故②正确；
，故③正确；
和 的面积相等，故④正确；
四边形 和四边形 都是平行四边形，且 ，即两个平行四边形的底相等，但高
不一定相等，
∴四边形 和四边形 的面积不一定相等，故⑤不正确；
综上：正确的有4个
故选A．
7．（2021·西安市浐灞欧亚中学八年级期末）在平面直角坐标系中，将直线 沿坐标轴方向
平移后，得到直线 与 关于坐标原点中心对称，则下列平移作法正确的是（ ）
A．将 向右平移4个单位长度 B．将 向左平移6个单位长度
C．将 向上平移6个单位长度 D．将 向上平移4个单位长度
【答案】D
【详解】
解：如图，把y=0代入 得到 ，把x=0代入 得到y=-2，
∴直线 与x轴、y轴的交点分别为A 、B（0,-2），∵直线 与 关于坐标原点中心对称，
∴点A关于原点对称的点D的坐标为 ，点B关于原点对称的点C的坐标为（0,2）
设 的解析式为 ，
则 ，
解得
∴ 的解析式为
∴直线 可以看做直线 向上平移4个单位得到．
故选：D
8．（2021·河北邢台市·邢台三中八年级期末）如图，在 中， ．
将 绕点 按顺时针方向旋转 度后得到 ，此时点 在 边上，斜边 交 边于点
，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．27 B．9 C． D．
【答案】D
【详解】解：∵将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后得到△EDC，∴BC=DC，
∵在Rt ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠B=90°-∠A=60°，
△
∴△DBC是等边三角形，
∴∠DCB=60°，
∴∠DCA=90°-∠DCB=90°-60°=30°，
∵BC=6，
∴DC=6，
∵∠FDC=∠B=60°，
∴∠DFC=90°，
∴ ，
∴ ，
∴S =S = ，
阴影 DFC
△
故选：D．
9．（2021·山东德州市·九年级期末）如图，已知 OAB是正三角形，OP⊥OB，OP＝OA，将 OAB绕点
O按顺时针方向旋转，使得OA与OP重合，得到 OPQ，则旋转的角度是（ ）
A．60° B．90° C．120° D．150°
【答案】D
【详解】解：∵ OAB是正三角形，
∴∠BOA＝60°，
∵OP⊥OB，
∴∠BOP＝90°，
∴∠AOP＝∠BOA+∠BOP＝60°+90°＝150°，
即旋转角是150°，
故选：D．
10．（2021·江苏连云港市·七年级期末）如图，在方格纸中，三角形ABC经过变换得到三角形DEF，正确
变换的是（ ）A．把三角形ABC向下平移4格，再绕着点C逆时针方向旋转
B．把三角形ABC向下平移5格，再绕着点C顺时针方向旋转
C．把三角形ABC绕着点C逆时针方向旋转 ，再向下平移2格
D．把三角形ABC绕着点C顺时针方向旋转 ，再向下平移5格
【答案】D
【详解】
A选项，应该向下平移5格，再绕点C逆时针方向旋转 ，故不符合题意；
B选项，应该向下平移5格，再绕点C顺时针旋转 ，故不符合题意；
C选项，应该绕点C逆时针方向旋转 ，再向下平移5格，故不符合题意；
D选项，应该绕点C顺时针方向旋转 ，再向下平移5格，故符合题意；
故选：D．
11．（2021·河北唐山市·八年级期末）如图，点 为 角平分线交点， ， ， ，
将 平移使其顶点 与 重合，则图中阴影部分的周长为（ ）．
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【详解】连接AI、BI，如图，
点 为 角平分线交点，
平分由平移可得：
同理可得，BE=EI
的周长为：DE+DI+EI=DE+AD+BE=AB=8
故选：C．
12．（2021·山东泰安市·九年级期末）如图，在 中， 将
绕点 逆时针旋转得到 使点 落在 边上，连接 ，则 的长度是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】解：∵ ∠C= 90°，∠ABC=30°，AC=4cm，
由直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可知，
∴ AB=2AC=8cm，
又∠CAB=90°-∠ABC=90°-30°=60°，
由旋转的性质可知： ∠CAB=∠BAB′=60 ，且 AB=AB′ ，
∘
∴ ΔBAB′ 为等边三角形，
∴ BB′=AB=8 ，
故选：B．
13．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）如图， ，点B和点C是对应顶点，
，记 ， ，将 绕点A顺时针旋转，当 时， 与
之间的数量关系为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解：∵△AOB≌△ADC，
∴AB=AC，∠BAO=∠CAD，
∴∠BAC=∠OAD=α，
在△ABC中，∠ABC= （180°-α），
∵BC∥OA，
∴∠OBC=180°-∠O=180°-90°=90°，
∴β+ （180°-α）=90°，
整理得，α=2β．
故选：C．
14．（2021·山东临沂市·九年级期末）如图，在 中， 是斜边 上两点，且
，将 绕点 顺时针旋转 后，得到 ，连接 ，下列结论中：①
；② ≌ ；③ 平分 ；④ ；正确的有（ ）个
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】解：∵在Rt ABC中，BC=AC，
∴∠A=∠CBA=45°，
△①由旋转，可知：∠BCF=∠ACD，
∵∠ACB=90°，∠DCE=45°，
∴∠ACD+∠BCE=45°，
∴∠BCF+∠BCE=∠ECF=45°，故①正确；
②由旋转，可知：△ACD≌△BCF，不能推出 ≌ ，故②错误；
③∵∠DCE=∠ECF=45°，
∴CE平分∠DCF，故③正确；
④由旋转可知：AD=BF，∠CBF=∠A=45°，
∵∠CBA=45°，
∴∠EBF=90°，
由勾股定理得：BF2+BE2=EF2，
即AD2+BE2=EF2，
在△CDE和△CFE中，
，
∴△CDE≌△CFE（SAS），
∴DE=EF，
∴AD2+BE2=DE2，
故选：C．
二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上）
15．（2020·浙江八年级期末）在平面直角坐标系中，将点 向左平移 个单位后得到点的坐标为
____．
【答案】(0,4)
【详解】
∵将点 向左平移 个单位，
∴横坐标变为， ，纵坐标不变，
故答案为：(0,4)．
16．（2021·广东云浮市·九年级期末）如图，将 就点C按逆时针方向旋转 后得到 ，若
，则 的度数为__________．【答案】50°
【详解】
根据旋转角的定义可知旋转角∠ =75°，
∴∠ =∠ -∠ =75°-25°=50°，
故答案为：50°．
18．（2021·山东威海市·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为 ，
， ，一个电动玩具从坐标原点O出发，第一次跳跃到点 ，使得点 与点O关于点A成中
心对称；第二次跳跃到点 ，使得点 与点 关于点B成中心对称；第三次跳跃到点 ，使得点 与点
关于点C成中心对称，第四次跳跃到点 ，使得点 与点 关于点A成中心对称；第五次跳跃到点 ，
使得点 与点 关于点B成中心对称……照此规律重复下去，则点 的坐标为_________．
【答案】（-2,0）
【详解】
解：根据题意得：
点P（0,2）、P（2，-2）、P（-4,2）、P（4,0）、P（-2,0）、P（0,0）、P（0,2）， ，
1 2 3 4 5 6 7
∴每6次为一个循环，
∵ ，
∴点 的坐标与点P 的坐标相同，即为（-2,0），
5
故答案为：（-2,0）．
18．（2021·浙江宁波市·八年级期末）如图在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，将△ABC绕C点按
逆时针方向旋转α角（0°＜α＜90°），得到△A′B′C，设A′C交AB边于D，连结AA′，若△AA′D是等腰三
角形，则旋转角α的度数为_____．【答案】20°或40°
【详解】
解：∵△ABC绕C点逆时针方向旋转得到△A'B'C，
∴AC＝CA'，
∴∠AA'C＝∠CAA'＝ （180°﹣α），
∴∠DAA'＝∠CAA'﹣∠BAC＝ （180°﹣α）﹣30°，
根据三角形的外角性质，∠ADA'＝∠BAC＋∠ACA'＝30°＋α，
ADA'是等腰三角形，分三种情况讨论，
△
①∠AA'C＝∠DAA'时， （180°﹣α）＝ （180°﹣α）﹣30°，无解，
②∠AA'C＝∠ADA'时， （180°﹣α）＝30°＋α，
解得α＝40°，
③∠DAA'＝∠ADA'时， （180°﹣α）﹣30°＝30°＋α，
解得α＝20°，
综上所述，旋转角α度数为20°或40°．
故答案为：20°或40°．
三、解答题（本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分）
19．（2021·河北廊坊市·九年级期末）如图，在 中， ， ， ．将
绕点 逆时针旋转一个角 ，得到 ，点 恰好在 边上．
（1）求 的度数；
（2）求 的长．【答案】（1）90°；（2）
【详解】
解：（1）由旋转得到：
∴ , ,
∴
∴ ,即
（2）在 中，
∴ =
20．（2019·全国七年级课时练习）如图①，将线段AA 向右平移2个单位到B B ，得到封闭图形
1 2 1 2
AAB B （即阴影部分），在图②中，将折线AAA 向右平移2个单位到B B B ，得到封闭图形
1 2 2 1 1 2 3 1 2 3
AAAB B B （即阴影部分）．
1 2 3 3 2 1
（1）在图③中，请你类似地画一条有两个折点的折线，同样向右平移2个单位，从而得到一个封闭图形，
并用阴影表示；
（2）请你分别写出上述三个图形中阴影部分的面积（设长方形水平方向长均为a，竖直方向长均为b）：
S=_______，S=____________，S=__________；
1 2 3（3）如图④，一块长方形草地，长为20米，宽为10米，草地上有一条弯曲的小路（小路任何地方的宽度
都是2米），请你写出小路部分所占的面积是多少米2；
（4）如图⑤，若在（3）中的草地又有一条横向的弯曲小路（小路任何地方的宽度都是1米），请你写出
小路部分所占的面积是多少米2．
【答案】（1）画图见解析；（2）S=2b，S=2b，S=2b；（3）20米2；（4）38米2．
1 2 3
【解析】（1）如图．
（2）三个图形中阴影部分的面积都可看作是以b为长，2为宽的长方形的面积，故S=2b，S=2b，
1 2
S=2b；
3
（3）小路部分所占的面积是2×10=20米2；
（4）小路部分所占的面积是10×2+20×1-2×1=38米2．
21．（2021·云南曲靖市·曲靖一中八年级期末）在平面直角坐标系 中， 的顶点坐标
， ．
（1）在图中作出 关于 轴对称的图形 ；
（2）在 轴上找一点 ，使 最短，在图中标出点 的位置（请保留作图痕迹）．
（3）将 向下平移4个单位长度，得到 ，点 的对应点为点 ，点 的对应点为点 ，直
接写出线段 与 轴交点 的坐标．
【答案】（1）图形见详解；（2）点P的位置见详解；(3) Q( ，0)．
【详解】
解（1）过点A、B、C作y轴的对称点A、B 、C ，
1 1 1
顺次连结AB 、B C 、C A，
1 1 1 1 1 1则△AB C 为所求；
1 1 1
（2）如图，连结AB 交y轴于点P，
1
则BP=B P，AP+BP=AP+B P=AB ，
1 1 1
由两点之间，线段最短，
则点 即为所求；
(3) 将 向下平移4个单位长度，得到 ，如图，
∵ ，
∴点D（-1，1）E（-3，-3）F（-4，-1）．
设DF解析式为y=kx+b，
代入得： ，
解得： ，
DF解析式为 ，
当y=0时，x= ，
Q( ，0)．
22．（2020·宁津县育新中学九年级月考）将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜360°），得到矩形
AEFG．（1）如图①，当点E在BD上时，求证：FD＝CD；
（2）当α为何值时，GC＝GB？
【答案】（1）见解析；（2）当α=60°或300°时，GC＝GB．
【详解】
（1）由旋转可得，AE＝AB，∠AEF＝∠ABC＝∠DAB＝90°，EF＝BC＝AD，
∴∠AEB＝∠ABE，
又∵∠ABE+∠EDA＝90°＝∠AEB+∠DEF，
∴∠EDA＝∠DEF，
又∵DE＝ED，
∴△AED≌△FDE（SAS），
∴DF＝AE，
又∵AE＝AB＝CD，
∴CD＝DF；
（2）如图，当GB＝GC时，点G在BC的垂直平分线上，
分两种情况讨论：
①当点G在AD右侧时，取BC的中点H，连接GH交AD于M，
∵GC＝GB，
∴GH⊥BC，
∴四边形ABHM是矩形，
∴AM＝BH＝ AD＝ AG，
∴GM垂直平分AD，
∴GD＝GA＝DA，
∴△ADG是等边三角形，
∴∠DAG＝60°，
∴旋转角α＝60°；
②当点G在AD左侧时，同理可得△ADG是等边三角形，∴∠DAG＝60°，
∴旋转角α＝360°﹣60°＝300°．
23．（2018·吉林吉林市·七年级期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（ ，0），
（3，0）．现将线段AB向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到线段AB的对应线段CD，连接
AC，BD．
（1）点C，D的坐标分别为_______， ________，并求出四边形ABDC的面积S ；
四边形ABDC
（2）在y轴上存在一点P，连接PA，PB，且S =S ，求出满足条件的所有点P的坐标．
PAB 四边形ABDC
△
（3）若点Q为线段BD上一点（不与B，D两点重合），则 的值______（填“变”或
“不变”）．
【答案】（1）C（0，2），D（4，2），8；（2）P（0，4）或P（0，－4）；（3）不变
【详解】
解：（1）∵将线段AB向上平移2个单位，再向右平移1个单位得到点C、D
又∵点A，B的坐标分别为（ ，0），（3，0）
∴C（0，2），D（4，2）．
由题意可知：四边形ABDC为平行四边形，
∴S =OC×AB=2×4=8．
四边形ABDC
（2）当点P在y轴正半轴时，设点P的纵坐标为a，图形如下根据题意，得 ×4=8．
解得:a=4
同理当点P在y轴负半轴时，a=－4
∴P（0，4）或P（0，－4）．
（3）不变．
图形如下，过点Q作QM∥CD
∵CD是AB平移得到，∴AB∥CD
∵QM∥CD，∴QM∥AB
∴∠DCQ=∠CQM，∠MQO=∠QOB
∴∠DCQ+∠QOB=∠CQM+∠MQO=∠CQO
∴ ，比值始终不变
24．（2020·福州三牧中学九年级月考）如图所示，在平面直角坐标系中， 的三个顶点分别是
．
（1）作出与 关于原点O成中心对称的 ；
（2）若点B关于x轴的对称点为点 ，将点 向右平移a个单位长度后落在 的内部（不包括顶
点和边）．①写出点 坐标_________；
②写出a的取值范围为___________．
【答案】（1）见详解；（2）①（﹣2，1）；②
【详解】
解：（1）如图，△A′B′C′即为所求．
（2）①B（﹣2，1）．
1
②∵A′（3，﹣2），C′（4，2），
∴直线A′C′的解析式为y＝4x﹣14，
当y＝1时，x= ，
，
∴a的取值范围为 ．
故答案为： ．
25．（2020·四川省简阳中学八年级期中）（1）问题发现：
如图1， 和 均为等边三角形，当 旋转至点A，D，E在同一直线上，连接 ．①填空： 的度数为______．
②线段 、 之间的数量关系是_______．
（2）拓展研究：
如图2， 和 均为等腰三角形，且 ，点A、D、E在同一直线上，若
， ，求 的长度．
（3）探究发现：
图1中的 和 ，在 旋转过程中当点A，D，E不在同一直线上时，设直线 与 相
交于点O，试在备用图中探索 的度数，直接写出结果，并说明理由．
【答案】（1）①60°；② ；（2）AB的长度为17；（3）60°或120°，证明见解析．
【详解】
（1）①如图1，
∵ 和 均为等边三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ 为等边三角形，
∴ ，
∵点A，D，E在同一直线上，∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：60°．
②∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
（2）∵ 和 均为等腰直角三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∵ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∵点A，D，E在同一直线上，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（3）如图3，由（1）知 ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
如图4，同理求得 ，
∴ ，
∵ 的度数是60°或120°．
26．（2021·天津市河东区一号桥中学九年级期末）如图1，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，
点D在AB边的延长线上，且CD＝AB．
（1）求BD的长度；
（2）如图2，将△ACD绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到△A'CD'．
①若α＝30°，A'D'与CD相交于点E，求DE的长度；
②连接A'D、BD'，若旋转过程中A'D＝BD'时，求满足条件的α的度数．
（3）如图3，将△ACD绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到△A'CD'，若点M为AC的中点，点N为
线段A'D'上任意一点，直接写出旋转过程中线段MN长度的取值范围．【答案】（1）3 ﹣3 ；（2）①6 ﹣2 ；②45°或225°；（3）3 ﹣3≤MN≤6 ＋3
【详解】解：（1）如图1，过点C作CH⊥AB于H，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，CH⊥AB，
∴AB＝CD＝6 ，CH＝BH＝ AB＝3 ，∠CAB＝∠CBA＝45°，
∴DH＝ ，
∴BD＝DH﹣BH＝3 ﹣3 ；
（2）①如图2，过点E作EF⊥CD'于F，
∵将△ACD绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到△A′CD′，
∴CD＝CD'＝6 ，
∵图1中CD=2CH，
∴∠DCD'＝30°＝∠CDA＝∠CD'A'，
∴CE＝D'E，
又∵EF⊥CD'，
∴CF＝D'F＝3 ，EF＝ ，CE＝2EF＝2 ，
∴DE＝DC﹣CE＝6 ﹣2 ；
②如图2﹣1，∵∠ABC＝45°，∠ADC＝30°，
∴∠BCD＝15°，
∴∠ACD＝105°，
∵将△ACD绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到△A′CD′，
∴AC＝A'C，CD＝CD'，∠ACA'＝∠DCD'＝α，
∴CB＝CA'，
又∵A′D＝BD′，
∴△A'CD≌△BCD'（SSS），
∴∠A'CD＝∠BCD'，
∴105°﹣α＝15°＋α，
∴α＝45°；
如图2﹣2，
同理可证：△A'CD≌△BCD'，
∴∠A'CD＝∠BCD'，
∴α﹣105°＝360°﹣α﹣15°，
∴α＝225°，
综上所述：满足条件的α的度数为45°或225°；
（3）如图3，当A'D'⊥AC时，N是AC与A'D'的交点时，MN的长度最小，∵∠A'＝45°，A'D'⊥AC，
∴∠A'＝∠NCA'＝45°，
∴CN＝A'N＝3 ，
∵点M为AC的中点，
∴CM＝ AC＝3，
∴MN的最小值＝NC﹣CM＝3 ﹣3；
如图4，当点A，点C，点D'共线，且点N与点D'重合时，MN有最大值，
此时MN＝CM＋CN＝6 ＋3，
∴线段MN的取值范围是3 ﹣3≤MN≤6 ＋3．
