文档文本内容
第三章 圆（北师大版）
选拔卷
（考试时间：60分钟 试卷满分：100分）
一、选择题：本题共12个小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1．（2021·江苏苏州·九年级月考）下列说法中，正确的是（ ）
A．等弦所对的弧相等 B．等弧所对的弦相等
C．圆心角相等，所对的弦相等 D．弦相等所对的圆心角相等
【答案】B
【分析】
根据圆心角，弦，弧之间的关系判断，注意条件．
【详解】
A中，等弦所对应的弧可以相等也可以互补构成新圆；
B中，等弧所对应的弦相等，故选B
C中，圆心角相等所对应的弦可能互补；
D中，弦相等，圆心角可能互补；
故选B
【点睛】
本题考查了圆心角，弧，弦之间的观，此类试题属于难度较大的试题，其中，弦和圆心角等一些基
本知识容易混淆，从而很难把握．
2．（2021·江苏宝应·九年级期中）如图，已知CD为⊙O的直径，过点D的弦DE平行于半径
OA，若弧CE的度数是92°，则∠C的度数是（ ）
A．46° B．88° C．24° D．23°
【答案】D
【分析】
连接OE，利用圆周角定理求出∠CDE＝46°，再利用平行线的性质求出∠AOD＝46°，最后再利用圆周角定理可得结论．
【详解】
解：如图，连接OE，
∵弧CE的度数是92°，
∴∠COE＝92°，
1
∴∠CDE＝ ∠COE＝46°，
2
∵OA∥DE，
∴∠AOD＝∠CDE＝46°，
1
∴∠C＝ ∠AOD＝23°，
2
故选：D．
【点睛】
本题考查了圆的对称性、圆周角定理以及平行线的性质，熟练掌握圆周角定理是解决本题的关键．
3．（2021·河北平泉·九年级期末）如图，根据下列尺规作图痕迹，其中表示点O是△ABC外心的
是（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】
根据三角形的外心O是三角形外接圆的圆心，即是三边垂直平分线的交点，结合尺规作线段垂直平
分线的方法做出选择．
【详解】
解：A、此选项作图痕迹是作角平分线的交点，O是内心，不符合题意；
B、此选项作图痕迹是作角平分线和垂直平分线的交点，O不是外心，不符合题意；
C、此选项作图痕迹是作三角形边的垂直平分线的交点，O是外心，符合题意；
D、此选项作图痕迹只作了边BC上的垂直平分线，O不是外心，不符合题意，
故选：C．
【点睛】
本题考查尺规作图-作线段垂直平分线，同时也涉及了角平分线的尺规作图，熟知三角形的外心O
是三角形外接圆的圆心，即是三边垂直平分线的交点是解答的关键．
4．（2021·江苏南京·九年级期中）如图， 的半径为 ，将劣弧沿弦 翻折，恰好经过圆心 ，
点 为优弧 上的一个动点，则 面积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
当点C运动到优弧 中点时，以AB为底，高最大， 面积最大，先求出AB，再求出CH，求
面积即可．【详解】
解：如图：连接CO，并延长CO交AB于点H，连接AO．
当点C运动到优弧 中点时，以AB为底，高最大，故 面积最大
∵点C运动到优弧 中点
∴ ,且
∵将劣弧沿弦 翻折，恰好经过圆心 ，
∴OH=HM
∵ 的半径为
∴ ，
∴在 中，利用勾股定理得： ，
∴
∴
故选A．
【点睛】
此题考查了垂径定理及其逆运用，勾股定理性质，解答此题的关键，利用垂径定理找到符合要求的
点和线段的长度．
5．（2021·全国·九年级课时练习）如图，点 为 的外心， 为正三角形， 与 相
交于 点，连接 ．若 ， ，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用外心的性质，得到OA是∠BAC的平分线，OA=OC，利用等腰三角形的性质，三角形外角的性
质，等边三角形的性质计算即可．
【详解】
∵ 为 的外心， ， ，
∴OA是∠BAC的平分线，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∵ 为正三角形，
∴ ，
∴ ，
又∵ 为 的外角，
∴ ．
故选A．
【点睛】
本题考查了三角形外心的意义，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，三角形外角的性质，熟练
掌握以上性质并灵活计算是解题的关键．
6．（2021·山东泰安·中考真题）如图，在 中， ，以点A为圆心，3为半径的圆与边
相切于点D，与 ， 分别交于点E和点G，点F是优弧 上一点， ，则
的度数是（ ）A．50° B．48° C．45° D．36°
【答案】B
【分析】
连接AD，由切线性质可得∠ADB=∠ADC=90°，根据AB=2AD及锐角的三角函数可求得
∠BAD=60°，易求得∠ADE=72°，由AD=AE可求得∠DAE=36°，则∠GAC=96°，根据圆周角定理
即可求得∠GFE的度数．
【详解】
解：连接AD，则AD=AG=3，
∵BC与圆A相切于点D，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在Rt ADB中，AB=6，则cos∠BAD= = ，
△
∴∠BAD=60°，
∵∠CDE=18°，
∴∠ADE=90°﹣18°=72°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED=72°，
∴∠DAE=180°﹣2×72°=36°，
∴∠GAC=36°+60°=96°，
∴∠GFE= ∠GAC=48°，
故选：B．【点睛】
本题考查切线性质、锐角的三角函数、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、圆周角定理，熟
练掌握切线性质和圆周角定理，利用特殊角的三角函数值求得∠BAD=60°是解答的关键．
7．（2021·江苏玄武·九年级期中）如图，将半径为2cm的圆形纸片翻折，使得 、 恰好都经
过圆心O，折痕为AB、BC，则阴影部分的面积为（ ）
A． πcm2 B．πcm2 C． πcm2 D． πcm2
【答案】C
【分析】
作OD⊥AB于点D，连接AO，BO，CO，求出∠OAD＝30°，得到∠AOB＝2∠AOD＝120°，进而求
得∠AOC＝120°，再利用阴影部分的面积＝S ，得出阴影部分的面积是⊙O面积的 ，即可得
扇形AOC
出结果．
【详解】
解：作OD⊥AB于点D，连接AO，BO，CO，如图所示：
由题意可得： ，
∴∠OAD＝30°，
∴∠AOB＝2∠AOD＝120°，
同理∠BOC＝120°，∴∠AOC＝120°，
∴阴影部分的面积 （cm2）；
故选：C．
【点睛】
此题考查了扇形面积的计算，涉及了圆的有关性质以及折叠的性质，解题的关键是熟练掌握相关基
本性质．
8．（2021·江苏·无锡市第一女子中学九年级期中）如图，将边长为 的正六边形 在直
线l上由图 的位置按顺时针方向向右作无滑动滚动，当正六边形旋转一周滚动到图 位置时，顶点
所经过的路径（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
连AA，AA，AA，作AC⊥AA，求出AA＝2a，AA＝AA＝ a，当A 第一次滚动到图2位
1 5 1 4 1 3 6 1 5 1 4 1 5 1 3 1
置时，顶点A 所经过的路径分别是以A，A，A，A，A 为圆心，以a， a，2a， a，a为半
1 2 3 4 5 6
径，圆心角都为60°的五条弧，根据弧长公式即可求解．
【详解】
解：连AA，AA，AA，作AC⊥AA，如图，
1 5 1 4 1 3 6 1 5∵六边形AAAAAA 为正六边形，
1 2 3 4 5 6
∴AA＝2a，∠AAA＝120°，AA=AA
1 4 1 6 5 1 6 5 6
∴∠HAA＝30°，
1 6
∴AH＝ a，AH= ＝ a，
6 1
∴AA＝AA＝ a，
1 5 1 3
当A 第一次滚动到图2位置时，顶点A 所经过的路径分别是以A，A，A，A，A 为圆心，以a，
1 1 2 3 4 5 6
a，2a， a，a为半径，圆心角都为60°的五条弧，
∴顶点A 所经过的路径的长＝ + + + + = ，
1
故选B．
【点睛】
本题考查了弧长公式：l＝ ，也考查了正六边形的性质以及旋转的性质，难度一般．
9．（2020·内蒙古·北京八中乌兰察布分校九年级期中）如图，有一圆锥形粮堆，其侧面展开图是半
径为6m的半圆，粮堆母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在B处，它要沿
圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程长为（ ）
A．3m B． m C． m D．4m
【答案】C【详解】
如图，由题意得：AP=3，AB=6，
∴在圆锥侧面展开图中
故小猫经过的最短距离是
故选C.
10．（2021·北京·人大附中九年级期中）如图，AB是半圆O的直径，小宇按以下步骤作图：
（1）分别以A、B为圆心，大于AO长为半径作弧，两弧交于P点，连接OP与半圆交于C点；
（2）分别以A、C为圆心，大于 AC长为半径作弧，两弧交于Q点，连接OQ与半圆交于D点；
（3）连接AD、BD、BC，BD与OC交于E点．
根据以上作图过程及所作图形，下轮结论：①BD平分∠ABC；②BC∥OD；③CE＝ OE．所有
正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】D
【分析】
根据作图可知①正确，再根据圆周角定理和垂直平分线的性质得到②正确，根据平行线的性质证明
判断即可；
【详解】由（1）可知，OP垂直平分AB，由（2）可知，点D是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴BD平分∠ABC，故①正确；
连接DC，AC，
∵OD垂直平分AC，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴BC∥OD，故②正确；
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ， ，
∴ ，
∴CE＝ OE，故③正确；
故选D．【点睛】
本题主要考查了垂直平分线的性质、平行线的判定与性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质，
准确计算是解题的关键．
11．（2021·台湾·模拟预测）如图，I为 的内心，有一直线通过I点且分别与AB、AC相交于
D点、E点 若 ， ，则I点到BC的距离为何？（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【分析】
根据等腰三角形的性质和勾股定理，可以求得DF的长，再根据等面积法，可以求得IG、IH的长，
再根据三角形的内心是角平分线的交点，即可得到 的长，从而可以得到点I到BC的距离．
【详解】
解：连接AI，作 于点G， 于点J，
作 于点H，作 于点F，如图所示，
， ， ，
， ，
，
设 ，为 的内心，
，
，
，
解得 ，
，
即I点到BC的距离是 ，
故选：A．
【点睛】
本题考查了三角形的内切圆与内心、角平分线的性质，勾股定理，知道三角形的内心是角平分线的
交点是解题的关键．
12．（2021·广东·深圳市宝安中学（集团）九年级月考）如图，在正方形ABCD中，以BC为直径
作半圆O，以D为圆心，DA为半径作 ，与半圆O交于点P，我们称：点P为正方形ABCD的
一个“奇妙点”，过奇妙点的多条线段与正方形ABCD无论是位置关系还是数量关系，都具有不少
优美的性质值得探究．连接PA、PB、PC、PD，并延长PD交AB于点F．下列结论中：①FD＝
FB+BC；②∠APC＝135°；③S ＝ AP2；④tan∠BAP＝ ；其中正确的结论有（ ）
PBC
△
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【分析】
①连结PO，根据等腰三角形的性质和正方形的性质证明∠DPO=∠BCD=90°，从而证明DF是⊙O的切线，再证明AB、CD都是⊙O的切线，用切线长定理即可证明FD=FB+BC，所以①正确；
②△DPA和△DPC都是等腰三角形，根据三角形内角和定理可证得∠APC=∠DPA+∠DPC=
（360°-∠ADC）=135°，所以②正确；
③设正方形的边长为a，连结OD，过点P作PE⊥BC于点E，PG⊥AB于点G，根据正切定义可得
，用含a的代数式表示S 和 AP2，它们均为 a2，所以③正确；
PBC
△
④由前面得到的结论，可得PG= a，AG= a，求得tan∠BAP= ，所以④正确．
【详解】
①如图1，连结OP，则OP＝OC．
∴∠OPC＝∠OCP，
∵PD＝CD，
∴∠DPC＝∠DCP，
∴∠DPO＝∠OPC+∠DPC＝∠OCP+∠DCP＝∠BCD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DPO＝∠BCD＝90°，
∵OP是⊙O的半径，DE⊥OP，
∴DF是⊙O的切线；
∵AB⊥OB，CD⊥OC，
∴AB、CD都是⊙O的切线，
∴PF＝FB，PD＝CD＝BC＝AD，
∴FD＝PF+PD＝FB+BC．
故①正确；
②∵PD＝AD＝CD，∴∠DPA＝∠DAP＝ (180°﹣∠PDA)，∠DPC＝∠DCP＝ (180°﹣∠PDC)，
∴∠APC＝∠DPA+∠DPC＝ [360°﹣(∠PDA+∠PDC)]＝ (360°﹣∠ADC）＝ (360°﹣90°)＝
135°．
故②正确；
③如图，设正方形ABCD的边长为a，连结OD交PC于点H；
作PE⊥BC于点E，PG⊥AB于点G，则∠PEC＝∠PEB＝∠PGB＝90°，四边形PGBE为矩形．
∵OP=OC，PD=CD，
∴OD垂直平分PC，
∴∠DHC＝90°，
∴∠BPE＝90°﹣∠EPC＝∠ECP＝90°﹣∠DCH＝∠CDO，
∴ ，
∴PE＝ CE，BE＝ PE＝ CE，
∴CE+ CE＝a，整理，得CE＝ a，
∴BG＝PE＝ × a＝ a，PG＝BE＝ × a＝ a，
∴AG＝a﹣ a＝ a．
∵S ＝ a• a＝ a2， AP2＝ [( a)2+( a)2]＝ a2，
PBC
△
∴S ＝ AP2．
PBC
△
故③正确；④如图2，∵∠AGP＝90°，PG＝ a，AG＝ a，
∴tan∠BAP＝ ＝ ＝ ．
故④正确．
故选：A．
【点睛】
此题重点考查正方形的性质、矩形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质、圆的切线的判定、
切线长定理、锐角三角函数定义、勾股定理等知识，解题的关键是正确地作出所需要的辅助线，设
正方形的边长为a，将有关线段用含a的代数式表示．
二、填空题：本题共6个小题，每小题3分，共18分。
13．（2021·江苏亭湖·九年级月考）矩形ABCD中，边AB＝6cm，AD＝8cm，以A为圆心作⊙A，
使B、C、D三点有两个点在⊙A内有一点在⊙A外，则⊙A的半径r的取值范围是____．
【答案】8cm<r<10 cm
【分析】
根据矩形的性质及勾股定理求出AC，再根据点与圆的位置关系解答．
【详解】
解：矩形ABCD中，边AB＝6cm，AD＝8cm， ，
∴BC=AD=8cm，
∴ cm，∵以A为圆心作⊙A，使B、C、D三点有两个点在⊙A内有一点在⊙A外，
∴⊙A的半径8cm<r<10 cm，
故答案为：8cm<r<10 cm．
【点睛】
此题考查矩形的性质，勾股定理，点与圆的位置关系，熟记各定理并熟练应用解决问题是解题的关
键．
14．（2021·江苏溧水·九年级期中）已知⊙O的半径OA＝1，弦AB的长为 ．若在⊙O上找一点
C，使AC＝ ，则∠BAC＝______°．
【答案】15°或75°
【分析】
构造出直角三角形，根据勾股定理求得三角形的边长，求得∠BAO和∠CAO，再求出∠BAC的度
数即可．
【详解】
解：如图，过点O作OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分别为E，F，∵AB＝ ，AC＝ ，
∴由垂径定理得，AE＝ ，AF＝ ，
∵OA＝1，
∴由勾股定理得OE＝ ，OF＝ ，
∴∠BAO＝45°，
∴OF＝ OA，
∴∠CAO＝30°，
∴∠BAC＝75°，
当AB、AC在半径OA同旁时，∠BAC＝15°．
故答案为：15°或75°．
【点睛】
本题考查了勾股定理和垂径定理，解此题的关键是将圆的问题转化成三角形的问题再进行计算．
15．（2021·江苏建邺·九年级期中）当点A（1，2），B（3，﹣3），C（5，n）三点可以确定一个
圆，则n需要满足的条件为 __．
【答案】n≠﹣8
【分析】
能确定一个圆就是不在同一直线上，首先确定直线AB的解析式，然后点C不满足求得的直线即可．
【详解】
解：设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∵A（1，2），B（3，﹣3），
∴ ，
解得： ，
∴直线AB的解析式为 ，
∵点A（1，2），B（3，﹣3），C（5，n）三点可以确定一个圆时，
∴点C不在直线AB上，∴当点C在直线AB上时， ，
∴当点A（1，2），B（3，﹣3），C（5，n）三点可以确定一个圆，则n需要满足的条件为n≠﹣
8，
故答案为：n≠﹣8．
【点睛】
本题考查了确定圆的条件及坐标与图形的性质，能够了解确定一个圆时三点不共线是解答本题的关
键．
16．（2021·山东·无棣县教育科学研究中心九年级期中）如图，已知圆O为 的内切圆，切
点分别为D、E、F，且 ， ， ，则圆O的半径为______．
【答案】2
【分析】
连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，由勾股定理可计算出AC的长，根据面积关系
，即可求得半径．
【详解】
如图，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF
∵⊙O为 的内切圆，切点分别为D、E、F
∴OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，且OD=OE=OF
在Rt ABC中，由勾股定理得
△∴
∵
∴
即
∴OD=2
即⊙O的半径为2
故答案为：2
【点睛】
本题考查了三角形的内切圆，切线的性质，勾股定理，图形的面积等知识，利用面积关系解答是关
键．
17．（2021·山东青岛·中考真题）如图，正方形 内接于 ， ， 分别与 相切于点
和点 ， 的延长线与 的延长线交于点 ．已知 ，则图中阴影部分的面积为
___________．
【答案】
【分析】
连接AC，OD，根据已知条件得到AC是⊙O的直径，∠AOD=90°，根据切线的性质得到
∠PAO=∠PDO=90°，得到△CDE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到PE= ，
根据梯形和圆的面积公式即可得到答案．
【详解】
解：连接AC，OD，
∵四边形BCD是正方形，∴∠B=90°，
∴AC是⊙O的直径，∠AOD=90°，
∵PA，PD分别与⊙O相切于点A和点D，
∴∠PAO=∠PDO=90°，
∴四边形AODP是矩形，
∵OA=OD，
∴矩形AODP是正方形，
∴∠P=90°，AP=AO，AC∥PE，
∴∠E=∠ACB=45°，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∵AB=2，
∴AC=2AO=2 ，DE= CD=2 ，
∴AP=PD=AO= ，
∴PE=3 ，
∴图中阴影部分的面积
故答案为：5-π．
【点睛】
本题考查了正多边形与圆，正方形的性质，切线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作
出辅助线是解题的关键．18．（2021·全国·九年级专题练习）如图， 的半径为2，圆心 的坐标为 ，点 是 上
的任意一点， ，且 、 与 轴分别交于 、 两点，若点 、点 关于原点对称，当
线段 最短时，点 的坐标为______．
【答案】
【分析】
连接OP，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到OP= AB，当OP最短时，AB最短，
连接OM交⊙M于点P，则此时OP最短，且OP=OM－PM，计算即可得到结论．
【详解】
解：如图所示，连接OP．
∵PA⊥PB，OA=OB，
∴OP= AB，当OP最短时，AB最短．
连接OM交⊙M于点P，则此时OP最短，且OP=OM－PM= =3，
∴AB的最小值为2OP=6．
∵点 、点 关于原点对称，
∴OA=OB=3，
∴点A的坐标为 ，
故答案为： ．【点睛】
本题考查了直角三角形斜边上中线的性质以及两点间的距离公式．解题的关键是利用直角三角形斜
边上中线等于斜边的一半把AB的长转化为2OP．
三、解答题（19题6分，其余每题8分，共46分）
19．（2021·江苏溧阳·九年级期中）如图所示，在平面直角坐标系中，⊙P经过原点，交x轴于点A
（4，0），交y轴于点B（0，3），点C是劣弧OA的中点，连接BC．
（1）求⊙P的半径
（2）求弦BC的长
【答案】（1） ；（2）
【分析】
（1）利用A，B点坐标得出AO，BO的长，进而得出AB的长，即可得出圆的半径；
（2）连接PC交OA于点H，连接AC，先根据勾股定理得出PH= ，AC= ，最后根据勾股定理
求出结果．
【详解】（1）解：∵⊙P过原点O，与x轴交于A（4，0），与y轴交于B（0，3），
∴AB是⊙O的直径，AO=4，BO=3，
由题意可得出：OA2+OB2=AB2，
∴AB=5，
∴⊙P的半径为 ；
（2）连接PC交OA于点H，连接AC，
∵点C是劣弧OA的中点，
∴OH=AH= =2，PH⊥OA，
∵PA= ，
∴PH= = ，
∴CH=PC-PH= - =1，
∴AC= ，
∵AB为⊙P的直径，
∴∠ACB=90°，
∴BC= =2 ．
【点睛】
本题考查了垂径定理以及勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线．20．（2021·江苏玄武·九年级期中）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，BD＝BC，BA、CD
延长线交于点E．
（1）求证：∠EAD＝∠BAC；
（2）若 的度数为64°，则∠E的度数为 °．
【答案】（1）见解析；（2）32
【分析】
（1）根据圆内接四边形的性质得到∠BAD+∠BCD＝180°，进而得到∠EAD＝∠BCD，再根据圆周
角定理、等腰三角形的性质证明即可；
（2）先求出∠ACB＝32°，圆内接四边形性质得出∠EDA＝∠ABC，再根据三角形内角和定理计算
得出∠E=180°-∠EAD-∠EDA=180°-∠BAC-∠ABC=∠ACB，求出∠E．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
∵∠BAD+∠EAD＝180°，
∴∠EAD＝∠BCD，
∵BD＝BC，
∴∠BDC＝∠BCD，
由圆周角定理得：∠BAC＝∠BDC=∠BCD，
∴∠EAD＝∠BAC；（2）解：∵ 的度数为64°，
∴∠ACB＝32°，
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠EDA＝∠ABC，
∵∠EAD＝∠BAC，
∴∠E=180°-∠EAD-∠EDA=180°-∠BAC-∠ABC=∠ACB，
∴∠E＝∠ACB＝32°，
故答案为：32．
【点睛】
本题考查圆内接四边形的性质，圆周角性质，等腰三角形性质，三角形内角和，掌握圆内接四边形
的性质，圆周角性质，等腰三角形性质，三角形内角和是解题关键．
21．（2021·山东高密·九年级期中）如图， 的半径OC垂直于弦AB，垂足为D．
（1）若 ， ，求 ；
（2）若 ， ，求AB的长．
（3）若BC平分 ，判断直线BE与 的位置关系，并加以证明．
【答案】（1） ；（2）2；（3）相切，理由见解析
【分析】（1）根据垂径定理得， ，由勾股定理求出 ，从而得出 ，计算
即可得出答案；
（2）根据圆周角与圆心角的关系得， ，由此可算出 ，由垂径定理得，
，求解即可得出答案；
（3）连接 ，由 平分 得 ，由 得， ，由
半径 垂直于弦 得出 ，从而可证 为 的切线．
【详解】
（1）∵半径OC垂直于弦AB，
∴ ，
在 中， ， ，
∴根据勾股定理，得 ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ；
（2）∵ ，
，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∵半径OC垂直于弦AB，
∴ ；
（3）BE与 相切．
证明如下：如图所示，连接 ，∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵半径 垂直于弦 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ 是 的半径，
∴ 为 的切线．
【点睛】
本题考查了解直角三角形、垂径定理、圆周角定理、勾股定理以及切线的判定定理，掌握相关知识
点是解题的关键．
22．（2021·河北安新·九年级期末）如图1，扇形 的半径为4，圆心角为 ，点 为 上任
意一点（不与点 ， 重合），且 于点 ，点 为 的内心，连接 ， ， ．（1）求 的度数；
（2）如图2，⊙ 为 的外接圆，点 在 上运动．
①当 时，判断 与⊙ 的位置关系，并加以证明；
②设⊙ 的半径为 ，若 的值不随点 的运动而改变，请直接写出 的值；若随着点 的运动而
在一个范围内变化，请直接写出这个变化范围．
【答案】（1） ；（2）①相切，见解析；② 的值是定值，
【分析】
（1）先证 ,得到 ，再根据点 为 的内心， ，进而
推出 的度数，从而得到∠OPB的度数．
（2）①在优弧 上取一点 ，连接 ， ．由（1）易证得 ，又由 ，证
得 ，判断出 与⊙ 的位置关系是相切．
②由（2）知:当点C在 上运动时，△OBM始终为等腰直角三角形，而OB=4，故其半径
r=OM=MB= ，不改变．
【详解】
解：（1）∵点 为 的内心，
∴ ．
又∵ ， ，
∴ ．
∵ 于点 ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
（2）①当 时， 与 相切．
证明如下：
如图，在优弧 上取一点 ，连接 ， ．∵点 在劣弧 上，且 ，
∴ ．
∴ ．
连接 ， ．
∴ ．
∴ ．
而当 时，
，
∴ ．
∴当 时， 与 相切．
② 的值是定值； ．理由如下：
当点C在 上运动时，由（2）证得 ，OM=MB=r，△OBM为等腰直角三角形，而
OB=4，故OM=MB= ．
【点睛】
本题主要考查了圆周角定理及圆的切线的判定定理，熟练运用圆周角定理及圆的切线的判定是解题
的关键．
23．（2021·河北·献县教育体育局教研室九年级期末）如图，有一个直径MN=4的半圆形纸片，其
圆心为点P，从初始阶段Ⅰ位置开始，在无滑动的情况下沿数轴向右翻滚至位置Ⅴ，其中位置Ⅰ中
的MN平行于数轴，且半⊙P与数轴相切于原点O；位置Ⅱ和位置Ⅳ中MN的垂直于数轴；位置Ⅲ中的MN在数轴上；位置Ⅴ中的点N到数轴的距离为3，且半⊙P与数轴相切于点A．解答下列问
题：
（1）位置Ⅰ中MN的与数轴之间的距离为 ；位置Ⅱ中的半⊙P与数轴位置关系是 ；
（2）求位置Ⅲ中的圆心P在数轴上表示的数；
（3）纸片半⊙P从位置Ⅲ翻滚到位置Ⅳ时，求点N所经过路径长及该纸片所扫过的图形的面积；
（4）求OA的长，（结果保留 ）
【答案】（1）2，相切；（2） ；（3）6π；（4）
【分析】
（1）根据题意直接求得 与数轴的距离为半径，根据位置Ⅱ和位置Ⅳ中MN的垂直于数轴，即
可判断位置Ⅱ中的半 与数轴位置关系；
（2）从位置Ⅰ到位置Ⅱ， 的长等于数轴上 的长，从位置Ⅱ到位置Ⅲ，数轴上的 ，故
数轴上的
（3）纸片半⊙P从位置Ⅲ翻滚到位置Ⅳ时，绕 点以 的长为半径旋转 个圆周，据此求得弧
长和扇形面积即可，半圆扫过的面积为扇形面积加上半圆面积；
（4）作NC垂直数轴于点C，作PH⊥NC于点H，连接PA，则四边形PHCA为矩形，在
中可求得∠NPH=30°，进而可得∠MPA=60°，结合（3）进而根弧长公式计算 即可．
【详解】
解：（1） 位置Ⅰ中的MN平行于数轴，则 与数轴的距离为半径2，
位置Ⅱ和位置Ⅳ中MN的垂直于数轴，
可判断位置Ⅱ中的半⊙P与数轴位置关系相切，
故答案为：2，相切；
（2）从位置Ⅰ到位置Ⅱ， 的长等于数轴上 的长，从位置Ⅱ到位置Ⅲ，数轴上的 ，故数轴上的 ，
，
位置Ⅲ中的圆心P在数轴上表示的数为 ；
（3）点N所经过路径长为 ，
S = ，S = ，
半圆 扇形
半⊙P所扫过图形的面积为2π+4π=6π；
（4）如图，作NC垂直数轴于点C，作PH⊥NC于点H，连接PA，
则四边形PHCA为矩形，
在Rt NPH中，PN=2，NH=NC-HC=NC-PA=1，
△
于是sin∠NPH= ，
∴∠NPH=30°，
∴∠MPA=60°，
从而 的长为 ，
于是OA的长为 ．
【点睛】
本题考查了直线与圆的位置关系，弧长公式，扇形面积公式，解直角三角形，数轴，理清楚半圆的
运动过程是解题的关键．
24．（2021·江苏·苏州湾实验初级中学九年级月考）如图，在 中， ， ，
，动点 从点 出发，沿着 方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点 从点方向出发，沿着 方向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动，设运动时间为 秒 ，以
为圆心， 长为半径的 与 、 的另一个交点分别为 、 ，连接 、 ．
（1）当点 与点 重合时，求 的值；
（2）若 是等腰三角形，求 的值；
（3）若 与线段 只有一个公共点，求 的取值范围．
【答案】（1） ；（2）t＝2或 或 ；（3）0＜t≤ 或 ＜t≤5
【分析】
（1）由题意知CD⊥OA，所以△ACD∽△ABO，利用对应边的比求出AD的长度，若Q与D重合
时，则，AD+OQ=OA，列出方程即可求出t的值；
（2）分三种情况讨论即可：①当AQ＝AC时；②当QC＝CA时；③当QC＝QA时；
（3）若⊙P与线段QC只有一个公共点，分以下两种情况，①当QC与⊙P相切时，计算出此时的
时间；②当Q与D重合时，计算出此时的时间；由以上两种情况即可得出t的取值范围．
【详解】
解：（1）∵OA=6，OB=8，
∴由勾股定理可求得：AB=10，
由题意知：OQ=AP=t，
∴AC=2t，
∵AC是⊙P的直径，
∴∠CDA=90°，
∴CD∥OB，
∴△ACD∽△ABO，∴ ，
∴AD= ，
当Q与D重合时，
AD+OQ=OA，
∴ +t=6，
∴t= ；
（2）若△ACQ是等腰三角形时，分三种情况讨论：
①当AQ＝AC时，即AC＝AQ＝2t，OQ＝t，
∵OQ＋QA＝6，
∴t＋2t＝6，
解得t＝2；
②当QC＝CA时，即QC＝CA＝2t，由（1）知DA＝ ，
∴QD＝DA＝ ，
∴OQ＋QD＋DA＝6，
∴ ，
解得： ；
③当QC＝QA时，如图，连接PQ，
可知PQ⊥AC，∴∠QPA=∠BOA=90°，∠QAP=∠BAO，
∴△AQE∽△ABO，
则AE＝t，AQ＝6-t，
∴ ，
∴ ，
解得： ；
综上所述，当△ACQ是等腰三角形时，t＝2或 或 ；
（3）当QC与⊙P相切时，如图
此时∠QCA=90°，
∵OQ=AP=t，
∴AQ=6﹣t，AC=2t，
∵∠A=∠A，
∠QCA=∠ABO，
∴△AQC∽△ABO，
∴ ，
∴ ，
∴t= ，
∴当0＜t≤ 时，⊙P与QC只有一个交点，
当QC⊥OA时，此时Q与D重合，
由（1）可知：t= ，
∴当 ＜t≤5时，⊙P与QC只有一个交点，
综上所述，当，⊙P与QC只有一个交点，t的取值范围为：0＜t≤ 或 ＜t≤5．
【点睛】
本题考查圆的切线判定，相似三角形的判定与性质，综合运用相关知识是解题的关键．
