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第三章 圆（北师大版）
选拔卷
（考试时间：60分钟 试卷满分：100分）
一、选择题：本题共12个小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1．（2021·江苏苏州·九年级月考）下列说法中，正确的是（ ）
A．等弦所对的弧相等 B．等弧所对的弦相等
C．圆心角相等，所对的弦相等 D．弦相等所对的圆心角相等
【答案】B
【分析】
根据圆心角，弦，弧之间的关系判断，注意条件．
【详解】
A中，等弦所对应的弧可以相等也可以互补构成新圆；
B中，等弧所对应的弦相等，故选B
C中，圆心角相等所对应的弦可能互补；
D中，弦相等，圆心角可能互补；
故选B
【点睛】
本题考查了圆心角，弧，弦之间的观，此类试题属于难度较大的试题，其中，弦和圆心角等一些基
本知识容易混淆，从而很难把握．
2．（2021·江苏宝应·九年级期中）如图，已知CD为⊙O的直径，过点D的弦DE平行于半径
OA，若弧CE的度数是92°，则∠C的度数是（ ）
A．46° B．88° C．24° D．23°
【答案】D
【分析】
连接OE，利用圆周角定理求出∠CDE＝46°，再利用平行线的性质求出∠AOD＝46°，最后再利用圆周角定理可得结论．
【详解】
解：如图，连接OE，
∵弧CE的度数是92°，
∴∠COE＝92°，
1
∴∠CDE＝ ∠COE＝46°，
2
∵OA∥DE，
∴∠AOD＝∠CDE＝46°，
1
∴∠C＝ ∠AOD＝23°，
2
故选：D．
【点睛】
本题考查了圆的对称性、圆周角定理以及平行线的性质，熟练掌握圆周角定理是解决本题的关键．
3．（2021·河北平泉·九年级期末）如图，根据下列尺规作图痕迹，其中表示点O是△ABC外心的
是（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】
根据三角形的外心O是三角形外接圆的圆心，即是三边垂直平分线的交点，结合尺规作线段垂直平
分线的方法做出选择．
【详解】
解：A、此选项作图痕迹是作角平分线的交点，O是内心，不符合题意；
B、此选项作图痕迹是作角平分线和垂直平分线的交点，O不是外心，不符合题意；
C、此选项作图痕迹是作三角形边的垂直平分线的交点，O是外心，符合题意；
D、此选项作图痕迹只作了边BC上的垂直平分线，O不是外心，不符合题意，
故选：C．
【点睛】
本题考查尺规作图-作线段垂直平分线，同时也涉及了角平分线的尺规作图，熟知三角形的外心O
是三角形外接圆的圆心，即是三边垂直平分线的交点是解答的关键．
4．（2021·江苏南京·九年级期中）如图， 的半径为 ，将劣弧沿弦 翻折，恰好经过圆心 ，
点 为优弧 上的一个动点，则 面积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
当点C运动到优弧 中点时，以AB为底，高最大， 面积最大，先求出AB，再求出CH，求
面积即可．【详解】
解：如图：连接CO，并延长CO交AB于点H，连接AO．
当点C运动到优弧 中点时，以AB为底，高最大，故 面积最大
∵点C运动到优弧 中点
∴ ,且
∵将劣弧沿弦 翻折，恰好经过圆心 ，
∴OH=HM
∵ 的半径为
∴ ，
∴在 中，利用勾股定理得： ，
∴
∴
故选A．
【点睛】
此题考查了垂径定理及其逆运用，勾股定理性质，解答此题的关键，利用垂径定理找到符合要求的
点和线段的长度．
5．（2021·全国·九年级课时练习）如图，点 为 的外心， 为正三角形， 与 相
交于 点，连接 ．若 ， ，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用外心的性质，得到OA是∠BAC的平分线，OA=OC，利用等腰三角形的性质，三角形外角的性
质，等边三角形的性质计算即可．
【详解】
∵ 为 的外心， ， ，
∴OA是∠BAC的平分线，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∵ 为正三角形，
∴ ，
∴ ，
又∵ 为 的外角，
∴ ．
故选A．
【点睛】
本题考查了三角形外心的意义，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，三角形外角的性质，熟练
掌握以上性质并灵活计算是解题的关键．
6．（2021·山东泰安·中考真题）如图，在 中， ，以点A为圆心，3为半径的圆与边
相切于点D，与 ， 分别交于点E和点G，点F是优弧 上一点， ，则
的度数是（ ）A．50° B．48° C．45° D．36°
【答案】B
【分析】
连接AD，由切线性质可得∠ADB=∠ADC=90°，根据AB=2AD及锐角的三角函数可求得
∠BAD=60°，易求得∠ADE=72°，由AD=AE可求得∠DAE=36°，则∠GAC=96°，根据圆周角定理
即可求得∠GFE的度数．
【详解】
解：连接AD，则AD=AG=3，
∵BC与圆A相切于点D，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在Rt ADB中，AB=6，则cos∠BAD= = ，
△
∴∠BAD=60°，
∵∠CDE=18°，
∴∠ADE=90°﹣18°=72°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED=72°，
∴∠DAE=180°﹣2×72°=36°，
∴∠GAC=36°+60°=96°，
∴∠GFE= ∠GAC=48°，
故选：B．【点睛】
本题考查切线性质、锐角的三角函数、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、圆周角定理，熟
练掌握切线性质和圆周角定理，利用特殊角的三角函数值求得∠BAD=60°是解答的关键．
7．（2021·江苏玄武·九年级期中）如图，将半径为2cm的圆形纸片翻折，使得 、 恰好都经
过圆心O，折痕为AB、BC，则阴影部分的面积为（ ）
A． πcm2 B．πcm2 C． πcm2 D． πcm2
【答案】C
【分析】
作OD⊥AB于点D，连接AO，BO，CO，求出∠OAD＝30°，得到∠AOB＝2∠AOD＝120°，进而求
得∠AOC＝120°，再利用阴影部分的面积＝S ，得出阴影部分的面积是⊙O面积的 ，即可得
扇形AOC
出结果．
【详解】
解：作OD⊥AB于点D，连接AO，BO，CO，如图所示：
由题意可得： ，
∴∠OAD＝30°，
∴∠AOB＝2∠AOD＝120°，
同理∠BOC＝120°，∴∠AOC＝120°，
∴阴影部分的面积 （cm2）；
故选：C．
【点睛】
此题考查了扇形面积的计算，涉及了圆的有关性质以及折叠的性质，解题的关键是熟练掌握相关基
本性质．
8．（2021·江苏·无锡市第一女子中学九年级期中）如图，将边长为 的正六边形 在直
线l上由图 的位置按顺时针方向向右作无滑动滚动，当正六边形旋转一周滚动到图 位置时，顶点
所经过的路径（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
连AA，AA，AA，作AC⊥AA，求出AA＝2a，AA＝AA＝ a，当A 第一次滚动到图2位
1 5 1 4 1 3 6 1 5 1 4 1 5 1 3 1
置时，顶点A 所经过的路径分别是以A，A，A，A，A 为圆心，以a， a，2a， a，a为半
1 2 3 4 5 6
径，圆心角都为60°的五条弧，根据弧长公式即可求解．
【详解】
解：连AA，AA，AA，作AC⊥AA，如图，
1 5 1 4 1 3 6 1 5∵六边形AAAAAA 为正六边形，
1 2 3 4 5 6
∴AA＝2a，∠AAA＝120°，AA=AA
1 4 1 6 5 1 6 5 6
∴∠HAA＝30°，
1 6
∴AH＝ a，AH= ＝ a，
6 1
∴AA＝AA＝ a，
1 5 1 3
当A 第一次滚动到图2位置时，顶点A 所经过的路径分别是以A，A，A，A，A 为圆心，以a，
1 1 2 3 4 5 6
a，2a， a，a为半径，圆心角都为60°的五条弧，
∴顶点A 所经过的路径的长＝ + + + + = ，
1
故选B．
【点睛】
本题考查了弧长公式：l＝ ，也考查了正六边形的性质以及旋转的性质，难度一般．
9．（2020·内蒙古·北京八中乌兰察布分校九年级期中）如图，有一圆锥形粮堆，其侧面展开图是半
径为6m的半圆，粮堆母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在B处，它要沿
圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程长为（ ）
A．3m B． m C． m D．4m
【答案】C【详解】
如图，由题意得：AP=3，AB=6，
∴在圆锥侧面展开图中
故小猫经过的最短距离是
故选C.
10．（2021·北京·人大附中九年级期中）如图，AB是半圆O的直径，小宇按以下步骤作图：
（1）分别以A、B为圆心，大于AO长为半径作弧，两弧交于P点，连接OP与半圆交于C点；
（2）分别以A、C为圆心，大于 AC长为半径作弧，两弧交于Q点，连接OQ与半圆交于D点；
（3）连接AD、BD、BC，BD与OC交于E点．
根据以上作图过程及所作图形，下轮结论：①BD平分∠ABC；②BC∥OD；③CE＝ OE．所有
正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】D
【分析】
根据作图可知①正确，再根据圆周角定理和垂直平分线的性质得到②正确，根据平行线的性质证明
判断即可；
【详解】由（1）可知，OP垂直平分AB，由（2）可知，点D是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴BD平分∠ABC，故①正确；
连接DC，AC，
∵OD垂直平分AC，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴BC∥OD，故②正确；
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ， ，
∴ ，
∴CE＝ OE，故③正确；
故选D．【点睛】
本题主要考查了垂直平分线的性质、平行线的判定与性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质，
准确计算是解题的关键．
11．（2021·台湾·模拟预测）如图，I为 的内心，有一直线通过I点且分别与AB、AC相交于
D点、E点 若 ， ，则I点到BC的距离为何？（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【分析】
根据等腰三角形的性质和勾股定理，可以求得DF的长，再根据等面积法，可以求得IG、IH的长，
再根据三角形的内心是角平分线的交点，即可得到 的长，从而可以得到点I到BC的距离．
【详解】
解：连接AI，作 于点G， 于点J，
作 于点H，作 于点F，如图所示，
， ， ，
， ，
，
设 ，为 的内心，
，
，
，
解得 ，
，
即I点到BC的距离是 ，
故选：A．
【点睛】
本题考查了三角形的内切圆与内心、角平分线的性质，勾股定理，知道三角形的内心是角平分线的
交点是解题的关键．
12．（2021·广东·深圳市宝安中学（集团）九年级月考）如图，在正方形ABCD中，以BC为直径
作半圆O，以D为圆心，DA为半径作 ，与半圆O交于点P，我们称：点P为正方形ABCD的
一个“奇妙点”，过奇妙点的多条线段与正方形ABCD无论是位置关系还是数量关系，都具有不少
优美的性质值得探究．连接PA、PB、PC、PD，并延长PD交AB于点F．下列结论中：①FD＝
FB+BC；②∠APC＝135°；③S ＝ AP2；④tan∠BAP＝ ；其中正确的结论有（ ）
PBC
△
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【分析】
①连结PO，根据等腰三角形的性质和正方形的性质证明∠DPO=∠BCD=90°，从而证明DF是⊙O的切线，再证明AB、CD都是⊙O的切线，用切线长定理即可证明FD=FB+BC，所以①正确；
②△DPA和△DPC都是等腰三角形，根据三角形内角和定理可证得∠APC=∠DPA+∠DPC=
（360°-∠ADC）=135°，所以②正确；
③设正方形的边长为a，连结OD，过点P作PE⊥BC于点E，PG⊥AB于点G，根据正切定义可得
，用含a的代数式表示S 和 AP2，它们均为 a2，所以③正确；
PBC
△
④由前面得到的结论，可得PG= a，AG= a，求得tan∠BAP= ，所以④正确．
【详解】
①如图1，连结OP，则OP＝OC．
∴∠OPC＝∠OCP，
∵PD＝CD，
∴∠DPC＝∠DCP，
∴∠DPO＝∠OPC+∠DPC＝∠OCP+∠DCP＝∠BCD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DPO＝∠BCD＝90°，
∵OP是⊙O的半径，DE⊥OP，
∴DF是⊙O的切线；
∵AB⊥OB，CD⊥OC，
∴AB、CD都是⊙O的切线，
∴PF＝FB，PD＝CD＝BC＝AD，
∴FD＝PF+PD＝FB+BC．
故①正确；
②∵PD＝AD＝CD，∴∠DPA＝∠DAP＝ (180°﹣∠PDA)，∠DPC＝∠DCP＝ (180°﹣∠PDC)，
∴∠APC＝∠DPA+∠DPC＝ [360°﹣(∠PDA+∠PDC)]＝ (360°﹣∠ADC）＝ (360°﹣90°)＝
135°．
故②正确；
③如图，设正方形ABCD的边长为a，连结OD交PC于点H；
作PE⊥BC于点E，PG⊥AB于点G，则∠PEC＝∠PEB＝∠PGB＝90°，四边形PGBE为矩形．
∵OP=OC，PD=CD，
∴OD垂直平分PC，
∴∠DHC＝90°，
∴∠BPE＝90°﹣∠EPC＝∠ECP＝90°﹣∠DCH＝∠CDO，
∴ ，
∴PE＝ CE，BE＝ PE＝ CE，
∴CE+ CE＝a，整理，得CE＝ a，
∴BG＝PE＝ × a＝ a，PG＝BE＝ × a＝ a，
∴AG＝a﹣ a＝ a．
∵S ＝ a• a＝ a2， AP2＝ [( a)2+( a)2]＝ a2，
PBC
△
∴S ＝ AP2．
PBC
△
故③正确；④如图2，∵∠AGP＝90°，PG＝ a，AG＝ a，
∴tan∠BAP＝ ＝ ＝ ．
故④正确．
故选：A．
【点睛】
此题重点考查正方形的性质、矩形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质、圆的切线的判定、
切线长定理、锐角三角函数定义、勾股定理等知识，解题的关键是正确地作出所需要的辅助线，设
正方形的边长为a，将有关线段用含a的代数式表示．
二、填空题：本题共6个小题，每小题3分，共18分。
13．（2021·江苏亭湖·九年级月考）矩形ABCD中，边AB＝6cm，AD＝8cm，以A为圆心作⊙A，
使B、C、D三点有两个点在⊙A内有一点在⊙A外，则⊙A的半径r的取值范围是____．
【答案】8cm
