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第三章 整式的加减知识归纳与题型突破（题型清单）
01 思维导图
02 知识速记
知识点1：代数式
1. 定义：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方等）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做
1代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。
注意：
①代数式中除了含有数、字母和运算符号外，还可以有括号；
②代数式中不含有“=、>、<、≠”等符号。等式和不等式都不是代数式，但等号和不等号两边的式子
一般都是代数式；
③代数式中的字母所表示的数必须要使这个代数式有意义，是实际问题的要符合实际问题的意义。
2.代数式的书写格式：
①代数式中出现乘号，通常省略不写，如vt；
②数字与字母相乘时，数字应写在字母前面，如4a；
③带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数，如 应写作 ；
④数字与数字相乘，一般仍用“×”号，即“×”号不省略；
⑤在代数式中出现除法运算时，一般写成分数的形式，如 4÷（a-4）应写作 ；注意：分数线具有
“÷”号和括号的双重作用。
⑥在表示和（或）差的代数式后有单位名称的，则必须把代数式括起来，再将单位名称写在式子的后
面，如 平方米。
知识点2：单项式
1.单项式定义
（1）定义： 由数或字母的积组成的式子叫做单项式。
说明： 单独的一个数或者单独的一个字母也是单项式.
2.单项式的系数：
单项式中的数字因数叫这个单项式的系数.
ab2 1
3x2 3 3
说明：（1）单项式的系数可以是整数，也可能是分数或小数。如 的系数是3； 的系数是 ；
4.8a
的系数是4.8；
（2）单项式的系数有正有负，确定一个单项式的系数，要注意包含在它前面的符号
2如
−4xy2
的系数是−4；
−(2x2y)
的系数是−2；
（3）对于只含有字母因数的单项式，其系数是1或-1，不能认为是0，如−ab2
的系数是-1；
ab2
的系
数是1；
（4）表示圆周率的π，在数学中是一个固定的常数，当它出现在单项式中时，应将其作为系数的一部
分，而不能当成字母。如2πxy的系数就是2.
3.单项式的次数：
一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.
说明：
（1）计算单项式的次数时，应注意是所有字母的指数和，不要漏掉字母指数是 1的情况。如单项式
2x4 y2z
的次数是字母z，y，x的指数和，即4＋3＋1=8，而不是7次，应注意字母z的指数是1而不
是0；
−24x2y3z4
（2）单项式的指数只和字母的指数有关，与系数的指数无关。如单项式 的次数是2＋3＋4=9
而不是13次；
（3）单项式是一个单独字母时，它的指数是1，如单项式m的指数是1，单项式是单独的一个常数时，一
般不讨论它的次数；
4、在含有字母的式子中如果出现乘号，通常将乘号写作“¿ ”或者省略不写。
例如：
100×t
可以写成
100⋅t
或
100t
5、在书写单项式时，数字因数写在字母因数的前面，数字因数是带分数时转化成假分数.
知识点3：多项式
1、定义： 几个单项式的和叫多项式.
2、多项式的项：多项式中的每个单项式叫做多项式的项.
3、多项式的次数多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数.
4、多项式的项数：多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数.
5、常数项： 多项式里，不含字母的项叫做常数项.
知识点4：整式
（1）单项式和多项式统称为整式。
3（2）单项式或多项式都是整式。
（3）整式不一定是单项式。
（4）整式不一定是多项式。
（5）分母中含有字母的代数式不是整式；而是今后将要学习的分式。
知识点5：同类项
1.定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。
2.合并同类项：
（1）合并同类项的概念：把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。
（2）合并同类项的法则：
同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。
（3）合并同类项步骤：
a．准确的找出同类项。
b．逆用分配律，把同类项的系数加在一起（用小括号），字母和字母的指数不变。
c．写出合并后的结果。
（4）在掌握合并同类项时注意：
a.如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后，结果为0.
b.不要漏掉不能合并的项。
c.只要不再有同类项，就是结果（可能是单项式，也可能是多项式）。
说明：合并同类项的关键是正确判断同类项。
03 题型归纳
题型一 用代数式表示式
例题1.如图，阴影部分面积的表达式为（ ）
41 1 1
A．ab+ πa2 B．ab− πa2 C．ab−πa² D．ab− πa2
4 2 4
【答案】D
【分析】本题考查列代数式，用长方形的面积减去圆的面积，即可得出结果．
【详解】解：由图可知，阴影部分面积为ab−
(a) 2
π=ab−
1
πa2 ；
2 4
故选D．
巩固训练
1.用代数式表示x的3倍与y的平方的差为（ ）
A．3x−y2 B．3x−y C．(3x−y) 2 D．3(x−y) 2
【答案】A
【分析】根据代数式的书写要求和运算顺序规范书写即可．
本题考查了代数式的书写，熟练掌握书写要求和运算顺序是解题的关键．
【详解】解：x的3倍与y的平方的差为3x−y2，
故选A．
2．一个矩形的周长为30，若矩形的一边长用字母x表示，则此矩形的面积为（ ）
A．x(15−x) B．x(30−x) C．x(30−2x) D．x(15+x)
【答案】A
【分析】根据已知表示出矩形的另一边长，进而利用矩形面积求法得出答案．此题主要考查了列代数
式，根据题意表示出矩形的另一边长是解题关键．
【详解】解：∵一个矩形的周长为30，矩形的一边长为x，
∴矩形另一边长为：15−x，
故此矩形的面积为：x(15−x)．
故选：A．
3．甲数是a，比乙数的3倍少b，表示乙数的式子是（ ）
A．3a−b B．a÷3−b C．(a+b)÷3 D．(a−b)÷3
【答案】C
【分析】本题考查了列代数式，根据题意：甲数加上b是乙数的3倍，再除以3就是乙数．
【详解】解：由题意得：表示乙数的式子是(a+b)÷3，
故选：C．
5题型二 用代数式的概念及意义
例题2.下列代数式符合通常书写规范的是（ ）．
1
A．a×4 B．1 a C．s÷t D．(a+1)元
3
【答案】D
【分析】本题主要考查了代数式的书写规范，根据字母与数字相乘或数字与括号相乘时，乘号可省略
不写，但数字必须写在前面可对A进行判断；系数不能用带分数，由此可对B进行判断．根据代数式
中不能出现除号，相除关系要写成分数的形式 可对C进行判断；答案中有加号或减号时，要把代数式
括起来再加单位，于是可对D进行判断；
【详解】解：A、a×4应该写成4a，故此选项不符合题意；
1 4
B、1 a应该写成 a，故此选项不符合题意；
3 3
s
C、s÷t应该写成 ，故此选项不符合题意；
t
D、(a+1)元，书写规范，故此选项符合题意；
故选：D．
巩固训练
1．下列各式中，书写正确的是（ ）
2 1 1
A．x2y B．1 mn C．x÷ y D． (a+b)
3 2 4
【答案】D
【分析】代数式的书写要求：
（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“•”或者省略不写；
（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；
（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式．根据代数
式的书写要求逐项判断．
2
【详解】解：选项A正确的书写是
x2y、
3
3
选项B的正确书写是 mn
2
x
选项C的正确书写是 ，
y
选项D的书写正确．
故选：D．
62．代数式5(y−5)的正确含义是（ ）
A．5乘y减5 B．y的5倍减去5
C．y与5的差的5倍 D．5与y的积减去5
【答案】C
【分析】本题考查了代数式表示的意义，根据代数式的表示意义，即可求解，掌握代数式的表示是解
题的关键．
【详解】解：根据题意，5(y−5)表示的意义是y与5的差的5倍，
只有C符合题意，
故选：C ．
3．一种商品每件成本a元，原来按成本增加22%定出价格，现在由于库存积压减价，按原价的85%出售，
现售价是 元．
【答案】1.037a
【分析】此题考查了列代数式，利用销售问题中的基本等量关系，把列出的式子进行整理是解题的关
键．
根据每件成本a元，原来按成本增加22%定出价格，列出原价的代数式，再根据现在按原价的85%出售，
列出现售价的代数式计算即可．
【详解】解：∵每件成本a元，原来按成本增加22%定出价格，
∴原价为(1+22%)a=1.22a（元）；
∵现在按原价的85%出售，
∴现售价：1.22a×85%=1.037a（元）；
故答案为：1.037a．
题型三 求代数式的值
例题3.若x2+3x的值为12，则3x2+9x−2的值为（ ）
A．0 B．24 C．34 D．44
【答案】C
【分析】本题考查了代数式求值、整体代入的思想． 依据题意可得x2+3x=12，然后对所求的式子变
形，使其中出现x2+3x，再把x2+3x的值整体代入计算即可．
【详解】解：∵x2+3x的值为12，
∴x2+3x=12
∴3x2+9x−2
7=3(x2+3x)−2
=3×12−2
=34，
故选：C．
巩固训练
1．已知|m|=5，|n|=4，且mn>0，则m+n的值是（ ）
A．−9 B．−1 C．9 D．9或−9
【答案】D
【分析】本题考查了有理数的加法和乘法，绝对值的性质．根据绝对值的性质和有理数的乘法运算法
则判断出m、n的对应情况，然后相加计算即可得解．
【详解】解：∵|m|=5，|n|=4，
∴m=±5，n=±4，
∵mn>0，
∴m=5，n=4时，m+n=5+4=9，
m=−5，n=−4时，m+n=−5−4=−9，
综上所述，m+n的值是9或−9．
故选：D．
2．若代数式x+2y的值是3，则代数式2x+4 y−2023的值是 ．
【答案】−2017
【分析】本题考查了代数式求值，整体代入是解题的关键．将2x+4 y−2023变形为2(x+2y)−2023，
然后将x+2y=3代入求解即可．
【详解】解∵x+2y=3
∴2x+4 y−2023=2(x+2y)−2023=2×3−2023=−2017
故答案为：−2017．
3．若a2−3a+2=5，则3a2−9a+2022的值是 ．
【答案】2031
【分析】本题考查了代数式求值，由题意可知a2−3a+2=5可得a2−3a=3，然后整体代入原式即可求
出答案，解题的关键是利用整体代入思想．
【详解】解：∵a2−3a+2=5，
∴a2−3a=3，
8∴3a2−9a+2022=3(a2−3a)+2022=3×3+2022=2031，
故答案为：2031．
题型四 单项式的判断
xy 1 a+b
例题4.有下列代数式：m, , ,12,x−2,8x3, ，其中单项式的个数为（ ）．
3 a 7
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】本题考查单项式的概念，根据单项式是数字与字母的乘积的代数式逐个判断即可求解．
xy
【详解】解：在所给代数式中，m， ，12，8x3是单项式，共4个，
3
故选：C．
巩固训练
1
1．系数是− 的单项式是（ ）
5
1 x y
A．− B．− C．−5m D．− +1
5a 5 5
【答案】B
【分析】本题考查了单项式的相关定义，熟记“只含有数与字母的积的式子叫做单项式，其中单项式
中的数字因数叫做这个单项式的系数”是解题关键，注意分母上含有字母的不是单项式，系数带符号．
1
【详解】解：A、− 不是单项式，不符合题意；
5a
x 1
B、− 是单项式，系数是− ，符合题意；
5 5
C、−5m是单项式，系数是−5，不符合题意；
y
D、− +1是多项式，不符合题意；
5
故选：B．
2．下列代数式中，是单项式的是（ ）
x 3 m+n
A． B．−xy+ y C． D．
2 x 2
【答案】A
9【分析】本题考查单项式，根据单项式是数与字母的乘积的代数式逐项判断即可．
x 3 m+n
【详解】解：根据单项式的定义 ，是单项式，−xy+ y， ， 不是单项式，
2 x 2
故选：A．
1 x−y 7 y
3．代数式5x+ y， a2b， ， ，0.5，其中单项式的个数是（ ）
3 π 4
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】根据单项式的概念依次进行判断即可．
本题考查了单项式的概念：用数与字母的乘积表示的式子叫做单项式，注意：单独的一个字母或一个
数也是单项式．熟练掌握单项式的概念是解题的关键．
1 x−y 7 y
【详解】5x+ y是多项式， a2b是单项式， 是多项式， 是单项式，0.5是单项式，
3 π 4
综上，一共由3个单项式．
故选：A．
题型五 单项式的项和次数
5x y3
例题5.单项式− 的系数和次数分别是（ ）
2
5
A．系数是−5，次数是3 B．系数是− ，次数是4
2
5
C．系数是− ，次数是3 D．系数是5，次数是5
2
【答案】B
【分析】本题主要考查了单项式的相关定义，正确把握单项式的次数与系数确定方法是解题关键．
直接利用单项式的次数与系数确定方法分析得出答案．
5x y3 5
【详解】解：单项式− 的系数为− ，次数为1+3=4
2 2
故答案为：B ．
巩固训练
x3 y
1．单项式− 的系数是 ，次数是 ．
5
1
【答案】 − 4
5
10【分析】此题主要考查了单项式，根据单项式的系数和次数的定义：单项式中的数字因数叫做这个单
项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数，即可得解．
x3y 1
【详解】解：单项式− 的系数是− ，次数是3+1=4
5 5
1
故答案为：− ，4．
5
3
2．单项式− x3y2 的次数是 ，系数是 ．
7
3
【答案】 5 −
7
【分析】本题考查了单项式的知识，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母
的指数的和叫做单项式的次数．根据单项式系数和次数的概念求解．
3 3
【详解】解：单项式− x3y2 的次数是5，系数为− ．
7 7
3
故答案为：5，− ．
7
题型六 多项式的判断
1 a+b 1 2
例题6.下列式子 ab， ， + ，x2+x−3中，多项式有（ ）
3 2 x y
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据多项式的定义，逐一判断，即可求解，本题考查了多项式的定义，解题的关键是：熟练
掌握多项式定义．
1 a+b 1 2
【详解】解： ab是单项式， 是多项式， + 是分式，x2+x−3是多项式，
3 2 x y
其中多项式有2个，
故选：B．
巩固训练
ab ab−c
1．下列式子：2a2b,3xy−2y2, ,4,−m, ，其中是多项式的有（ ）
2 π
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【分析】本题考查了多项式即几个单项式的和，根据定义判断即可．
11ab−c
【详解】根据题意，是多项式的是3xy−2y2,
，共2个，
π
故选A．
a+b2 1 a+b
2．代数式2a+b， ，−7，− a2bc， 中，多项式的个数是（ ）
r 4 2
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】本题主要考查了多项式的定义，根据多项式的定义：几个单项式的和求解即可，熟悉相关性
质是解题的关键．
a+b
【详解】根据多项式的定义可知：2a+b， 是多项式，共2个，
2
故选：A．
x y2 3 a+b 2−x
3．下列式子：①a2b+ab−b2；②0；③− ；④−x+ ；⑤ ；⑥ 多项式的个数是（ ）
3 y 2 x
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题主要考查了多项式的识别，表示数或字母的积的式子叫做单项式，几个单项式的和的形
式叫做多项式，据此逐一判断即可．
【详解】解；①a2b+ab−b2是多项式，符合题意；
②0不是多项式，不符合题意；
x y2
③− 不是多项式，不符合题意；
3
3
④−x+ 不是多项式，不符合题意；
y
a+b
⑤ 是多项式，符合题意；
2
2−x
⑥ 不是多项式，不符合题意；
x
∴多项式一共有2个，
故选B．
题型七 多项式的项、项数或次数
例题7.对于多项式7x2−3x−5，下列说法错误的是（ ）
A．它是二次三项式 B．各项分别是7x2，3x，5
12C．最高次项的系数是7 D．常数项是−5
【答案】B
【分析】本题考查多项式，解题的关键是正确理解多项式的概念，几个单项式的和叫做多项式，每个
单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的
次数．根据多项式的概念即可求出答案．
【详解】解：A、它是二次三项式，正确，故A不符合题意；
B、各项分别是7x2，−3x，−5，错误，故B符合题意；
C、最高次项的系数是7，正确，故B不符合题意；
D、常数项是−5，正确，故D不符合题意；
故选：B．
巩固训练
1．多项式4a3b3−8ab+7a2b−15的二次项系数是 ，三次项系数是 ，常数项是
，次数最高项的系数是 ．
【答案】 −8 7 −15 4
【分析】本题考查多项式的项，解答本题需要我们掌握多项式中次数、项数的定义．
【详解】解：多项式4a3b3−8ab+7a2b−15的二次项系数是−8，三次项系数是7，常数项是−15，
次数最高项的系数是4．
故答案为：−8，7，−15，4．
2．多项式2a3b2−3a2b+a−4的次数和项数分别为 ．
【答案】五和四
【分析】本题考查了多项式：几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字
母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数，根据多项式的次数和项数的定
义进行判断．
【详解】解：多项式2a3b2−3a2b+a−4是五次数四项式．
故答案为：五和四．
3．多项式a4−2a2b+b4的次数是 ，项数是 ．
【答案】 四 三
【分析】本题考查多项式的项与次的判断，根据多项式中的单项式是项，有几个单项式就有几项，单
项式中最高的次数是多项式的次直接求解即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
13a4−2a2b+b4有a4，−2a2b，b4三项，三项中最高次数为4次，
故答案为：四，三．
题型八 多项式系数、指数中字母求值
例题8.如果多项式5xa−(b−3)x+6是关于x的二次二项式，那么a,b的值可能是（ ）
A． a=1,b=3 B． a=1,b=4 C． a=2,b=3 D． a=2,b=4
【答案】C
【分析】此题考查了多项式的定义，多项式的项的定义及次数的定义，由此多余的项的系数应为0，据
此解答．
【详解】∵多项式5xa−(b−3)x+6是关于x的二次二项式，
∴a=2,−(b−3)=0
得b=3
故选C．
巩固训练
1．多项式x2y|m|+(m+1)xy+2是关于x，y的三次二项式，则m的值是（ ）
A．±1 B．−1 C．1 D．±3
【答案】B
【分析】本题考查了多项式的项数和系数，根据“多项式的每一项都有次数，次数最高的项的次数，
叫做这个多项式的次数；多项式的项数就是多项式中包含的单项式的个数”即可解答．
【详解】解：∵x2y|m|+(m+1)xy+2是关于x，y的三次二项式，
∴|m|=1,m+1=0，
解得：m=−1，
故选：B．
2．多项式x|m|−(m−4)x+7是关于x的四次三项式，则m的值是（ ）
A．−2 B．4 C．−4 D．4或−4
【答案】C
【分析】本题考查了多项式的问题．根据多项式的定义以及性质即可求出m的值．
14【详解】解：∵多项式x|m|−(m−4)x+7是关于x的四次三项式，
∴¿，
解得m=−4，
故选：C．
题型九 去括号和添括号
例题9.先去括号，再合并同类项：
(1)(2m−3)+m−(3m−2)；
(2)4x−2(−5x+3x−6)．
【答案】(1)−1
(2)8x+12
【分析】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型
（1）先去括号，再合并同类项，再根据整式的运算法则即可求出答案．
（2）先去括号，再合并同类项，再根据整式的运算法则即可求出答案．
【详解】（1）解：(2m−3)+m−(3m−2)
=2m−3+m−3m+2
=−1
（2）解：4x−2(−5x+3x−6)
=4x+10x−6x+12
=8x+12
巩固训练
1．将下列各式去括号，并合并同类项．
(1)(7 y−2x)−(7x−4 y)
(2)(−b+3a)−(a−b)
(3)(2x−5 y)−(3x−5 y+1)
(4)2(2−7x)−3(6x+5)
(5)(−8x2+6x)−5 ( x2− 4 x+ 1)
5 5
(6)(3a2+2a−1)−2(a2−3a−5)
15【答案】(1)11y−9x
(2)2a
(3)−x−1
(4)−32x−11
(5)−13x2+10x−1
(6)a2+8a+9
【分析】此题考查了整式加减运算，熟练掌握去括号法则和合并同类项法则是解本题的关键．
（1）先去括号，再合并同类项即可；
（2）先去括号，再合并同类项即可；
（3）先去括号，再合并同类项即可；
（4）先去括号，再合并同类项即可；
（5）先去括号，再合并同类项即可；
（6）先去括号，再合并同类项即可．
【详解】（1）解：(7 y−2x)−(7x−4 y)
=7 y−2x−7x+4 y
=11y−9x；
（2）解：(−b+3a)−(a−b)
=−b+3a−a+b
=2a；
（3）解：(2x−5 y)−(3x−5 y+1)
=2x−5 y−3x+5 y−1
=−x−1；
（4）解：2(2−7x)−3(6x+5)
=4−14x−18x−15
=−32x−11；
（5）解：(−8x2+6x)−5 ( x2− 4 x+ 1)
5 5
=−8x2+6x−5x2+4x−1
=−13x2+10x−1；
（6）解：(3a2+2a−1)−2(a2−3a−5)
16=3a2+2a−1−2a2+6a+10
=a2+8a+9．
题型十 同类项和合并同类项
例题10.已知单项式4x2ym与单项式−3xny6是同类项，则m−n的值为（ ）
A．−4 B．8 C．4 D．−8
【答案】C
【分析】本题考查了同类项的定义，解答本题的关键是掌握同类项定义中的两个“相同”：相同字母
的指数也相同．
根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，列出关于m,n的式子，由此求解即
可．
【详解】解：∵单项式4x2ym与−3xny6是同类项，
∴n=2,m=6，
∴m−n=6−2=4，
故选：C．
巩固训练
1．下列各题中的两个项，不属于同类项的是（ ）
1 1
A．2x2y与− yx2 B．1与−32 C．a2b与5×102ba2 D． m2n与
2 3
n2m
【答案】D
【分析】本题主要考查了同类项的定义，所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项，
据此求解即可．
1
【详解】解：A、2x2y与− yx2 所含字母相同，相同字母的指数也相同，二者是同类项，不符合题意；
2
B、1与−32二者是同类项，不符合题意；
C、a2b与5×102ba2所含字母相同，相同字母的指数也相同，二者是同类项，不符合题意；
1
D、
m2n与n2m所含字母相同，相同字母的指数不相同，二者不是同类项，符合题意；
3
故选：D．
2．若5a2x−1b3与−2ab3y+1是同类项，则代数式2x+3 y的值（ ）
17A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【分析】本题考查整式的知识，解题的关键是掌握同类项的定义：字母相同，并且相同字母的指数也
相同，得到¿，求出x，y，即可．
【详解】∵5a2x−1b3与−2ab3y+1是同类项，
∴¿，
解得：¿，
2
∴2x+3 y=2×1+3× =4．
3
故选：A．
1
3．若单项式2xm−1y2与单项式 x2yn+1 是同类项，则mn的值为（ ）
3
A．2 B．−2 C．3 D．−3
【答案】C
【分析】本题考查了同类项定义，代数式求值，先根据同类项的定义和已知条件，列出关于m，n的方
程，求出m，n，再把m，n的值代入mn进行计算即可．
1
【详解】解：∵单项式2xm−1y2与单项式 x2yn+1 是同类项，
3
∴m−1=2，n+1=2
解得：m=3，n=1，
∴mn=1×3=3，
故选：C．
题型十一 整式的加减运算
例题11.化简：
(1)3(2x−7 y)−(4x−10 y)；
(2)3a2−(3b+4a2)−4(b−7a2−7b)．
【答案】(1)2x−11y
(2)27a2+21b
【分析】本题主要考查了整式的加减运算、去括号等知识点，掌握整式的加减运算法则成为解题的关
18键．
（1）先去括号，然后再合并同类项即可解答；
（2）先去括号，然后再合并同类项即可解答．
【详解】（1）解：3(2x−7 y)−(4x−10 y)
=6x−21y−4x+10 y
=6x−4x−21y+10 y
=2x−11y．
（2）解：3a2−(3b+4a2)−4(b−7a2−7b)
=3a2−3b−4a2−4b+28a2+28b
=3a2−4a2+28a2−3b−4b+28b
=27a2+21b．
巩固训练
1．化简：
(1)x−(2x−y)+(3x−2y)；
(2)2(a2b+3ab)−(2ab−a2b−1)．
【答案】(1)2x−y；
(2)3a2b+4ab+1．
【分析】本题主要考查了整式的加减混合运算，掌握去括号法则成为解题的关键．
（1）先去括号，然后再合并同类项即可解答；
（2）按照整式的加减混合运算法则求解即可．
【详解】（1）解：x−(2x−y)+(3x−2y)
=x−2x+ y+3x−2y
=(x−2x+3x)+(y−2y)
=2x−y．
（2）解：2(a2b+3ab)−(2ab−a2b−1)
=2a2b+6ab−2ab+a2b+1
=(2a2b+a2b)+(6ab−2ab)+1
=3a2b+4ab+1．
192．已知A=4a2+2a−1，B=−2a2+6a−1．求：
(1)2A−B；
(2)−3A−2B．
【答案】(1)10a2−2a−1
(2)−8a2−18a+5
【分析】本题考查了整式的加减，解题的关键是掌握整式的加减运算法则．
（1）根据题意列出算式，再去括号、合并同类项即可；
（2）根据题意列出算式，再去括号、合并同类项即可．
【详解】（1）解：2A−B，
=2(4a2+2a−1)−(−2a2+6a−1)，
=8a2+4a−2+2a2−6a+1，
=10a2−2a−1；
（2）−3A−2B，
=−3(4a2+2a−1)−2(−2a2+6a−1)，
=−12a2−6a+3+4a2−12a+2，
=−8a2−18a+5．
3．化简
(1)−x y2+3 y2x+x2；
(2)3(−ab+2a)−(3a−b)+3ab．
【答案】(1)2y2x+x2
(2)3a+b
【分析】（1）先合并同类项，即可作答．
（2）先去括号，然后合并同类项；即可作答．
本题考查了去括号、合并同类项，熟悉去括号法则是解题的关键．
【详解】（1）解：−x y2+3 y2x+x2
2y2x+x2
（2）解：3(−ab+2a)−(3a−b)+3ab
=−3ab+6a−3a+b+3ab
20=3a+b；
题型十二 整式的加减中的化简求值
例题12.先化简，再求值：
(1)2a2−[a2−2(ab−ab2)+2ab]+3ab2，其中a=−3，b=2
(2)(2x2−2y2)−3(x y3+x2)+3(x y3+ y2)，其中x=−1，y=2
【答案】(1)a2+ab2，−3
(2)−x2+ y2，3
【分析】此题考查了整式的化简求值.
（1）去括号合并同类项后得到化简结果，把字母的值代入计算即可；
（2）去括号合并同类项后得到化简结果，把字母的值代入计算即可.
【详解】（1）2a2−[a2−2(ab−ab2)+2ab]+3ab2
=2a2−(a2−2ab+2ab2+2ab)+3ab2
=2a2−a2+2ab−2ab−2ab2+3ab2
=a2+ab2
当a=−3，b=2时，
原式=(−3) 2+(−3)×22=−3
（2）(2x2−2y2)−3(x y3+x2)+3(x y3+ y2)
=2x2−2y2−3x y3−3x2+3x y3+3 y2
=−x2+ y2
当x=−1，y=2时，
原式=−(−1) 2+22=3
巩固训练
1．先化简，再求值：4xy+(3x2−2xy)−2(3xy+6)，其中x=−1,y=2．
21【答案】3x2−4xy−12,−1
【分析】本题考查整式的加减运算化简求值；
先去括号（括号前面是负号，去掉括号和负号，括号里的每一项都要变号；括号前面是正号，去掉括
号和正号，括号里的每一项都不变号，括号前的数要与括号里的每一项都要相乘），再合并同类项，
最后将x，y的值代入计算即可．
【详解】解：原式=4xy+3x2−2xy−6xy−12，
=3x2−4xy−12，
当x=−1,y=2时，
原式=3×(−1) 2−4×(−1)×2−12，
=3+8−12，
=−1．
2．先化简，再求值：−2 (1 a2+2a−1 ) +3 ( a+ 1 a2) ，其中a=−5．
2 3
【答案】−a+2，7
【分析】本题主要考查了整式加减的化简求值，先去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可．
【详解】解：−2 (1 a2+2a−1 ) +3 ( a+ 1 a2)
2 3
=−a2−4a+2+3a+a2
=−a+2，
当a=−5时，原式=−(−5)+2=7．
3．先化简，再求值∶ 2(a²b+ab²)−2(a²b−1)−ab²−2，其中a=1，b=−3．
【答案】ab2；9
【分析】本题考查了整式的加减与化简求值，先去括号，然后合并同类项，最后将字母的值代入，即
可求解．
【详解】解：2(a²b+ab²)−2(a²b−1)−ab²−2
=2a2b+2ab2−2a2b+2−ab²−2
=(2a2b−2a2b)+(2ab2−ab2 )+(2−2)
=a2b
当a=1，b=−3时，
22原式=1×(−3) 2=9
题型十三 整式加减的应用
例题13.小红卧室的窗户上半部分是由4个扇形组成的半圆形，下半部分为4个大小一样的长方形组成
的大长方形，小长方形的长和宽的比为3:2，已知小长方形的长为a．
(1)求这个窗户的面积和窗户外框的总长．
1
(2)小红想给窗户上方做装饰物，装饰物所占的面积为上半部分半圆面积的 ．求窗户中能射进阳光的
3
部分的面积（窗框面积忽略不计）．
【答案】(1)这个窗户的面积为 (8 + 1 π ) a2 ，窗户外框的总长为 (14 +π ) a
3 2 3
(2) (8 + 1 π ) a2
3 3
【分析】本题主要考查了整式加减的应用：
2
（1）先求出小长方形的宽为 a，再根据窗户的面积等于下面4个小长方形面积加上半圆面积求出窗
3
户的面积，窗户外框的总长等于下面大长方形的周长减去一个长再加上半圆周长即可求出答案；
（2）用窗户面积减去装饰物面积即可得到答案．
2
【详解】（1）解；由题意得，小长方形的宽为 a，
3
∴这个窗户的面积为4⋅a⋅ 2 a+ 1 π⋅a2= (8 + 1 π ) a2 ，窗户外框的总长为
3 2 3 2
2 1 (14 )
2a+4× a+ ⋅2π⋅a= +π a
3 2 3
23（2）解： (8 + 1 π ) a2− 1 × 1 π⋅a2
3 2 3 2
= (8 + 1 π ) a2− 1 πa2
3 2 6
= (8 + 1 π ) a2 ，
3 3
∴窗户中能射进阳光的部分的面积为 (8 + 1 π ) a2 ．
3 3
巩固训练
1．体育分值在中考总分中的比例逐渐加大，某校为适应新中考要求，决定采购一批某品牌足球和跳绳，
用于学生训练，学校查阅天猫网店后发现足球每个定价129元，跳绳每条定价19元，现有A，B两家网
店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案，A网店：买一个足球送一条跳绳；B网店：足球和跳绳
都按定价的90%付款，已知学校要采购足球100个，跳绳x条（x>100)．
(1)请用含x的代数式分别表示在这两家网店购买，各需付款多少元？
(2)若x=300时，通过计算说明此时在哪家网店购买较为合算？
【答案】(1)11000+19x， 11610+17.1x
(2)在A网店购买较为合算
【分析】（1）利用足球的单价×足球的数量+跳绳的单价×去掉优惠后跳绳的数量得出A网店的付款；
利用足球的单价×足球的数量+跳绳的单价×跳绳的数量的总和×90%得出B网店的付款；
（2）先分别求代数式的值，然后比较大小即可．
【详解】（1）解：在A网店购买，需付款为：129×100+19(x−100) =11000+19x，
在B网店购买，需付款为：(129×100+19x)×90% =11610+17.1x；
（2）解：当x=300时，11000+19x=11000+19×300=16700，
11610+17.1x=11610+17.1×300=16740，
∵16700<16740，
∴在A网店购买较为合算．
【点睛】本题考查列代数式，代数式的值，比较大小，掌握列代数式方法，求代数式的值的步骤，比
较大小方法是解题关键．
2．如图，长为60cm，宽为x(cm)的大长方形被分割成7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完
24全相同的小长方形．其较短一边长为y(cm)．
(1)从图中可知，这5块完全相同的小长方形中，每块小长方形较长边的长是_______cm（用含y的代数
式表示）．
(2)分别计算阴影A，B的周长（用含x，y的代数式表示）．
(3)阴影A与阴影B的周长差会不会随着x的变化而变化？请说明理由．
【答案】(1)(60−3 y)
(2)阴影A的周长为(2x−10 y+120)cm，阴影B的周长为(2x+12y−120)cm
(3)阴影A与阴影B的周长差不会随着x的变化而变化，理由见解析
【分析】本题考查了列代数式、整式加减法的应用；
（1）利用大长方形的长减去形状、大小完全相同的小长方形的宽的3倍即可得；
（2）先分别求出阴影A，B的长与宽，再根据长方形的周长公式计算即可得A，B的周长；
（3）根据整式的加减法法则计算即可得．
【详解】（1）解：由图可知，每块小长方形较长边的长是(60−3 y)cm，
故答案为：(60−3 y)；
（2）解：由图可知，阴影A的长为(60−3 y)cm，宽为(x−2y)cm，
阴影B的长为3 ycm，宽为x−(60−3 y)=x+3 y−60(cm)，
则阴影A的周长为2[(x−2y)+(60−3 y)]=2x−10 y+120(cm)，
阴影B的周长为2[3 y+(x+3 y−60)]=2x+12y−120(cm)；
（3）解：阴影A与阴影B的周长差为2x−10 y+120−(2x+12y−120)
=2x−10 y+120−2x−12y+120
=−22y+240(cm)，
所以阴影A与阴影B的周长差不会随着x的变化而变化．
3．如图，一块长方形铁皮的长为(7a+b)米，宽为(6+2a+2b)米．将这块长方形铁皮的四个角都剪去一
个边长为(a+b)米的正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体盒子．
25（1）求这个盒子底部的长和宽（用含a、b的式子表示，要求化简）；
（2）求这块长方形铁皮的周长（用含a、b的式子表示，要求化简）；
【答案】（1）这个盒子的长是(5a−b)米，宽是6米；（2）长方形铁皮的周长是(18a+6b+12)米
【分析】（1）根据题意可知，这个盒子的长=等于长方形铁皮的长-2倍的正方形的边长，这个盒子的
宽=等于长方形铁皮的宽-2倍的正方形的边长，由此求解即可得到答案；
（2）根据长方形的周长公式进行求解即可．
【详解】解：（1）由题意得：这个盒子的长=(7a+b)−2(a+b)=7a+b−2a−2b=(5a−b)米，
这个盒子的宽=(6+2a+2b)−2(a+b)=6+2a+2b−2a−2b=6米；
（2）由题意得：长方形铁皮的周长=2[(7a+b)+(6+2a+2b)]
=2(7a+b+6+2a+2b)
=2(9a+3b+6)
=(18a+6b+12)米．
【点睛】本题主要考查了整式加减的应用，解题的关键在于能够熟练掌握整式的加减计算法则．
题型十四 整式加减中的无关型问题
例题14.已知A=3x2+2xy+3 y−1,B=3x2−3xy．
(1)计算A+2B；
(2)若A+2B的值与y的取值无关，求x的值．
【答案】(1)9x2−4xy+3 y−1
3
(2)x=
4
【分析】本题考查整式的加减，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）将A，B代入A+2B，然后去括号合并同类项可得A+2B的最简结果；
26（2）根据A+2B的值与y的取值无关得到3−4x=0，即可得出答案．
【详解】（1）A+2B=(3x2+2xy+3 y−1)+2(3x2−3xy)
=3x2+2xy+3 y−1+6x2−6xy
=9x2−4xy+3 y−1．
（2）A+2B=9x2+(3−4x)y−1，
因为A+2B的值与y的取值无关，
所以3−4x=0，
3
解得x= ．
4
巩固训练
1．已知A=2x2+xy+2y−1,B=x2+xy．
(1)当x=−1,y=2时，求A−2B的值；
(2)若2A−4B的值与y无关，求x的值．
【答案】(1)5
(2)2
【分析】本题考查了整式的加减—化简求值，掌握去括号法则，合并同类项法则把整式正确化简是解
决问题的关键．
（1）根据题意，列出算式，先去括号，再合并同类项，最后将x=−1,y=2代入计算即可；
（2）由（1）知A−2B=−xy+2y−1，根据2A−4B=2(A−2B)=−2y(x−2)−1，再根据
2A−4B的值与y无关，令x−2=0，即可求解．
【详解】（1）解：∵ A=2x2+xy+2y−1,B=x2+xy，
∴ A−2B=(2x2+xy+2y−1)−2(x2+xy)
=2x2+xy+2y−1−2x2−2xy
=−xy+2y−1；
当x=−1,y=2时，原式=−(−1)×2+2×2−1=5；
（2）解：∵ A=2x2+xy+2y−1,B=x2+xy，
由（1）知A−2B=−xy+2y−1，
∴ 2A−4B=2(A−2B)
27=−2xy+4 y−2
=−2y(x−2)−2，
∵ 2A−4B的值与y无关，
∴x−2=0，
∴x=2．
2．已知A=−3x−4xy+3 y，B=−2x+xy．
5 1
(1)当 x+ y= ，xy=− 时， 求A−3B的值．
3 2
(2)若A−3B的值与x的取值无关， 求y的值．
17
【答案】(1)3x+3 y−7xy，
2
3
(2)
7
【分析】（1）把A=−3x−4xy+3 y，B=−2x+xy代入A−3B，进行整式的加减法计算得到化简
结果，再把字母的值代入计算即可；
（2）由（1）得到A−3B=(3−7 y)x+3 y，根据A−3B的值与x的取值无关得到3−7 y=0，即可得
到y的值．
此题考查了整式加减中的化简求值和整式的无关型问题，熟练掌握整式加减法则是解题的关键．
【详解】（1）解：∵A=−3x−4xy+3 y，B=−2x+xy
∴A−3B
=−3x−4xy+3 y−3(−2x+xy)
=−3x−4xy+3 y+6x−3xy
=3x+3 y−7xy
5 1
当x+ y= ，xy=− 时，
3 2
原式=3(x+ y)−7xy
5 ( 1)
=3× −7× −
3 2
7
=5+
2
17
=
2
28（2）∵A−3B=3x+3 y−7xy=(3−7 y)x+3 y，A−3B的值与x的取值无关，
∴3−7 y=0
3
解得y=
7
3．已知代数式A=3x2+2xy+2y，B=xy+x2−2x
(1)求A−3B；
(2)当x=−1，y=2时，求A−3B的值.
(3)若A−3B的值与x的取值无关，求y的值.
【答案】(1)−xy+2y+6x
(2)0
(3)6
【分析】本题考查了整式加减中的化简求值以及无关型问题．注意计算的准确性．
（1）利用整式的加减运算法则即可求解；
（2）将x=−1，y=2代入即可求解；
（3）合并含x的项，令其系数为零即可求解．
【详解】（1）解：A−3B=3x2+2xy+2y−3(xy+x2−2x)
=3x2+2xy+2y−3xy−3x2+6x
=−xy+2y+6x
（2）解：当x=−1，y=2时，
A−3B=−(−1)×2+2×2+6×(−1)=2+4−6=0
（3）解：A−3B=−xy+2y+6x=(6−y)x+2y，
∵A−3B的值与x的取值无关，
∴6−y=0，
即：y=6
题型十五 日历中的规律
例题15.如图是某月的日历．
29(1)通过计算说明，带阴影的方框中的9个数之和与方框正中的数有什么关系？
(2)不改变方框的大小，如果将带阴影的方框移至其他几个位置试一试（方框内必须有数字），上述关
系还成立吗？如成立，请说明为什么成立（尽量用数学语言表述）
【活学活用】
小刚是个爱动脑筋的同学，在发现教程中的用方框在日历中移动的规律后，突发奇想，将连续的偶数2，
4，6，8，…，排成如图形式，并用一个十字形框架框住其中的五个数，请你仔细观察十字形框架中的
数字的规律，并回答下列问题：
(3)十字框中的五个数的和与中间的数16有什么关系？
(4)设中间的数为x，用代数式表示十字框中的五个数的和；
(5)若将十字框上下左右移动，可框住另外的五位数，其它五位数的和能等于100吗？如能，写出这五位
数，如不能，说明理由．
【答案】(1)方框中9个数之和为方框正中心的9倍；
(2)见解析；
(3)十字框中的五个数的和是中间的数16的5倍；
(4)5x；
(5)不能，理由见解析．
【分析】（1）方框中9个数相加即可得出结论；
（2）设中间的数为x，则另外八个数分别为x−8、x−7、x−6，x−1，x+1、x+6，x+7，x+8，
将九个数相加即可得出结论；
（3）将五个数相加即可得出结论；
（4）设中间的数为x，则另外四个数分别为x−10、x−2、x+2、x+10，将五个数相加即可得出结
论；
30（5）设中间的数为x，根据（2）的规律可得出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，然后判定
的五个数的和不能能等于100；
本题考查了规律型中数字的变化类，观察表格中的数据，找出十字框中的五个数的和是中间的数的5倍
是解题的关键．
【详解】（1）∵3+4+5+10+11+12++17+18+19=99=11×9，
∴十字框中的五个数的和是中间的数16的5倍；
（2）由题意得设中间这个数为x，另外八个数分别为x−8、x−7、x−6，x−1，x+1、x+6，x+7，
x+8，
∴(x−8)+(x−7)+(x−6)+(x−1)+x+(x+1)+(x+6)+(x+7)+(x+8)＝9x；
（3）∵6+14+16+18+26=80=16×5，
∴十字框中的五个数的和是中间的数16的5倍；
（4）由题意得另外四个数分别为x−10、x−2、x+2、x+10，
∴(x−10)+(x−2)+x+(x+2)+(x+10)＝5x；
（5）不能，理由如下：
设中间的数为x，根据题意得：5x=100，解得：x=20，
∵20排在最后一列，
∴框住的五个数的和不能等于100．
巩固训练
1．在某月的日历上用长方形圈到a，b，c，d四个数（如图），如果d=15，那么a+b+c的值为（ ）
A．22 B．25 C．29 D．30
【答案】C
【分析】本题考查整式的加减，列代数式．根据日历上的数据排列可以得到
a+1=b，c+1=d，c=a+7，d=7+b，而d=15，利用这些关系即可求解．
【详解】解：依题意得：a+1=b，c+1=d，c=a+7，d=7+b，
∵ d=15，
∴b=8，c=14，a=7，
31∴a+b+c=29．
故选：C．
2．如图，用“十”字形框，任意套中2022年元月份日历中的五个数，则这五个数的和不可能是（ ）
A．40 B．42 C．60 D．45
【答案】B
【分析】根据日历中数字的规律：一行中，每相邻的两个数字相差是1；一列中，每相邻的两个数字相
差是7，设出其中的一个，然后表示出其余的数，然后相加即可．
【详解】解：设这五个数最小的数为a，则这五个数的和为
a+a+7+a+6+a+8+a+14=5a+35=5(a+7)，
和一定是5的倍数，A、C、D都是5的倍数；
故选：B．
【点睛】此题考查了列代数式的知识，了解日历中数之间的关系，能够从中发现数学方面的知识．关
键是知道日历中数字的规律：一行中，每相邻的两个数字相差是1；一列中，每相邻的两个数字相差是
7．
a b
3．下表是2002年12月份的日历，现在用一个长方形在日历中任意框出4个数 ，请你用一个等式表示
c d
a、b、c、d之间的关系 ．
32【答案】d-c=b-a
【分析】此题可以有多种表示方法：①横向来看，左右两个数的差都是1；②纵向看，上下两个数字的
差相等；③对角线的角度看，两个数字的和相等．
【详解】解：d-c=b-a（答案不唯一）．
故答案为：d-c=b-a．
【点睛】本题考查了数字变化规律，熟悉生活中的一些常识，能够把数学和生活密切联系起来．从所
给材料中分析数据得出规律是应该具备的基本数学能力．
题型十六 数字中的规律
例题16.观察下列算式：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187⋯归纳
各计算结果中个位数字的规律，可得32025的个位数字是（ ）
A．1 B．3 C．9 D．7
【答案】B
【分析】本题考查了有理数的乘方运算，数字规律，根据题意，可得3n(n是正整数)中个位数每4次
循环一次，由此即可求解．
【详解】解：根据题意，3n(n是正整数)中每4次，个位数循环一次，
∴2025÷4=506⋯⋯1，即循环506次后的下一个，
∴32025的个位数字是3，
故选：B ．
巩固训练
1．中国古代用算筹来进行记数，算筹的摆放形式有纵、横两种形式(如图所示)，表示一个多位数时，
把各个数位的数码由高位到低位从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，其中个位、百位、
万位……用纵式表示，十位、千位、十万位……用横式表示，则56 846可用算筹表示为（ ）
33A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题是应用类问题，主要考查了新定义，学生对图形的认识，理解新定义是解本题的关键．
【详解】解：因为个位、百位、万位……用纵式表示，十位、千位、十万位……用横式表示，
所以 56 846表示为
故选：A．
2．等边△ABC在数轴上的位置如图所示，点A、C对应的数分别为0和−1，若△ABC绕顶点沿顺时针方
向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1，则连续翻转若干次后，数2024对应的点为
（ ）
A．点A B．点B C．点C D．不确定
【答案】C
【分析】本题考查了数轴以及变化类：数的变化，根据点的变化，找出变化规律是解题的关键．
根据随着翻转点的变化，可找出点的变化周期为3，结合2024为3的整数倍余2，可得出数2024对应
的点为C．
【详解】解：∵翻转1次后，数1对应的点为B，翻转2次后，数2对应的点为C，翻转3次后，数3
对应的点为A，翻转4次后，数4对应的点为B，…，
∴点的变化周期为3．
又∵2024÷3=674⋅⋅⋅2，
∴连续翻转2024次后，则数2024对应的点为C．
故选：C．
3．请观察下列算式，找出规律并填空
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
=1− ， = − ， = − ， = − 则：
1×2 2 2×3 2 3 3×4 3 4 4×5 4 5
(1)第10个算式是___________=___________．
34(2)第n个算式为 ___________=___________．
1 1 1 1
(3)根据以上规律解答下题： + + +⋯+ 的值．
1×2 2×3 3×4 2019×2010
1 1 1
【答案】(1) ； −
10×11 10 11
1 1 1
(2) ； −
n(n+1) n n+1
2019
(3)
2020
【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，根据前几个式子找到规律是解题的关键：
（1）由已知等式得出：连续整数乘积的倒数等于较小整数倒数与较大整数的倒数的差，据此规律求解
即可；
（2）根据（1）所求即可得到答案；
1 1 1
（3）根据 = − 把所求式子裂项求解即可．
n(n+1) n n+1
1 1
【详解】（1）解：第1个算式为 =1− ，
1×2 2
1 1 1
第2个算式为 = − ，
2×3 2 3
1 1 1
第3个算式为 = − ，
3×4 3 4
1 1 1
第4个算式为 = − ，
4×5 4 5
……，
1 1 1
以此类推可知，第n个算式为 = − ，
n(n+1) n n+1
1 1 1
∴第10个算式是 = − ，
10×11 10 11
1 1 1
故答案为： ； − ；
10×11 10 11
1 1 1
（2）解；由（1）可得第n个算式为 = − ，
n(n+1) n n+1
1 1 1
故答案为： ； − ；
n(n+1) n n+1
351 1
（3）解：∵ −
n n+1
1 1 1 1
∴ + + +⋯+
1×2 2×3 3×4 2019×2010
1 1 1 1 1 1 1
=1− + − + − +⋯+ −
2 2 3 3 4 2019 2020
1
=1−
2020
2019
= ．
2020
题型十七 图形中的规律
例题17.如图是一组有规律的图案，它们是由大小相同的正六边形组成，第1个图案中有5个正六边形，
第2个图案中有8个正六边形，第3个图案中有11个正六边形，…，按此规律，第60个图案中正六边
形的个数为（ ）
A．176个 B．179个 C．180个 D．182个
【答案】D
【分析】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题目
中的图形可以发现正六边形个数的变化规律，可以求得第n个图案中正六边形的个数，即可求第60个
图案中正六边形的个数．
【详解】解：∵第1个图案中有5=3×1+2个正六边形，
第2个图案中有8=3×2+2个正六边形，
第3个图案中有11=3×3+2个正六边形，
……
∴第n个图案中有(3n+2)个正六边形，
∴第60个图案中正六边形的个数为：3×60+2=182（个）．
故选：D．
巩固训练
361．如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中
“●”的个数为3，第2幅图形中“●”的个数为8，第3幅图形中“●”的个数为15．以此类推，则
第14幅图形中“●”的个数为（ ）
A．222 B．223 C．224 D．225
【答案】C
【分析】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中“●”的个数的变化规律，
利用数形结合的思想解答．根据前几幅图中“●”的个数，可以发现它们的变化规律．
【详解】解：由题意可得，
第1幅图形中“●”的个数为3=22−1，
第2幅图形中“●”的个数为8=32−1，
第3幅图形中“●”的个数为15=42−1，
……
∴第n幅图中“●”的个数为(n+1) 2−1，
∴第14幅图形中“●”的个数为(14+1) 2−1=224，
故选：C．
2．如图，一张长方形的桌子可坐6人，按照图中方式继续摆放桌子和椅子，若拼成一张大桌子后，座位刚
好可坐38人，则共需要这种长方形桌子 张
【答案】9
【分析】本题考查了图形规律问题，根据图形得出2张桌子，3张桌子拼在一起可坐的人数，然后得出
每多一张桌子可多坐4人的规律，进而得出n张桌子拼在一起可坐(4n+2)人，再列方程解答即可．
【详解】由图可知，
1张长方形桌子可坐6人，6=4×1+1，
372张桌子拼在一起可坐10人，10=4×2+2，
3张桌子拼在一起可坐14人，14=4×3+2，
…
以此类推，每多一张桌子可多坐4人，
所以，n张桌子拼在一起可坐(4n+2)人；
若拼成一张大桌子后，座位刚好可坐38人，可得：(4n+2)=38，
解得：n=9
故答案为：9
3．某同学用相同的积木玩一个拼图游戏，该积木每个角都是直角，长度如图1所示，小明用x个这样的积
木，按照如图2所示的方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙．则24块积木拼成图形的长度为
（ ）
A．124cm B．132cm C．138cm D．148cm
【答案】D
【分析】本题考查图形规律，观察图形可得用x个这样的图形拼出来的图形总长度为：10+6(x−1)，
根据规律即可求解．
【详解】解：观察图形可知：当两个图拼接时，总长度为：10+6=16cm；
当三个图拼接时，总长度为：10+6×2=22cm；
以此类推，可知：用x个这样的图形拼出来的图形总长度为：10+6(x−1)=(4+6x)cm，
∴当x=24时，总长度为：4+6×24=148cm．
故选：D．
38
