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第三章过关测试
一、选择题(每题3分，共30分)
1．下面的每组图形中，平移左图可以得到右图的一组是( )
【答案】D
2．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
【答案】B
3．如图，在平面直角坐标系中，把△ABC绕原点O旋转180°得到△CDA，点A，B，C的坐
标分别为(－5，2)，(－2，－2)，(5，－2)，则点D的坐标为( )
A．(2，2) B．(2，－2)
C．(2，5) D．(－2，5)
【答案】A
4．已知点A的坐标为(1，3)，点B的坐标为(2，1)．将线段AB沿某一方向平移后，点A
的对应点的坐标为(－2，1)，则点B的对应点的坐标为( )
A．(5，3) B．(－1，－2) C．(－1，－1) D．(0，－1)
【答案】C
5．如图，将一个含30°角的Rt△ABC绕点A旋转，使得点B，A，C′在同一条直线上，则
△ABC旋转的角度是( )
A．60° B．90° C．120° D．150°
【答案】D6．如图，在平面直角坐标系中，△ABC绕旋转中心顺时针旋转90°后得到△A′B′C′，
则其旋转中心的坐标是( )
A．(1.5，1.5) B．(1，0)
C．(1，－1) D．(1.5，－0.5)
【答案】C
7．如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，点C的坐标为(－1，0)，AC＝2，将
Rt△ABC先绕点C顺时针旋转90°，再向右平移3个单位长度，则变换后点A的对应点
的坐标是( )
A．(2，2) B．(1，2) C．(－1，2) D．(2，－1)
【答案】A
8．如图，△DEF是△ABC经过平移得到的．已知∠A＝54°，∠ABC＝36°，则下列结论不
一定成立的是( )
A．∠F＝90° B．∠BED＝∠FED
C．BC⊥DF D．DF∥AC
【答案】B
9．如图，在△ABC中，∠CAB＝75°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的
位置，点C在B′C′上，使得CC′∥AB，则∠BAB′等于( )
A．30° B．35° C．40° D．50°【答案】A
10．在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面上取定一点
O称为极点；从点O出发引一条射线Ox称为极轴； 线段OP的长度称为极径．点P的
极坐标可以用线段OP的长度以及从Ox转动到OP的角度(规定逆时针方向转动角度为
正)来确定，即P(3，60°)或P(3，－300°)或P(3，420°)等，则点P关于点O成中
心对称的点Q的极坐标表示不正确的是( )
A．Q(3，240°) B．Q(3，－120°)
C．Q(3，600°) D．Q(3，－500°)
【答案】D
二、填空题(每题3分，共30分)
11．点(2，－1)关于原点O对称的点的坐标为__________．
【答案】(－2，1)
12．如图，△A′B′C′是由△ABC沿射线AC方向平移得到的．已知∠A＝55°，∠B＝
60°，则∠C′＝________．
【答案】65°
13．如图所示的图案是由三个叶片组成，图案绕点 O旋转120°后可以和自身重合，若每
个叶片的面积为4 cm2，∠AOB＝120°，则图中阴影部分的面积为__________．
【答案】4 cm2
14．如图，将等边三角形ABC绕顶点A顺时针方向旋转，使边AB与AC重合得△ACD，BC的
中点E的对应点为F，则∠EAF的度数是______．【答案】60°
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝12 cm，点D在AC上，DC＝4 cm.将线段DC沿着CB
的方向平移7 cm得到线段EF，点E，F分别落在边AB，BC上，则△EBF的周长为
____________．
【答案】13 cm
16．如图，将长方形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转到长方形 AB′C′D′的位置，旋转角为
α(0°＜α＜90°)．若∠1＝110°，则α＝________．
【答案】20°
17．如图，OA⊥OB，△CDE的边CD在OB上，∠ECD＝45°，CE＝4.若将△CDE绕点C逆时
针旋转75°，点E的对应点N恰好落在OA上，则OC＝________．
【答案】2
18．如图，直线y＝－x＋4与x轴、y轴分别交于A，B两点，把△AOB绕点A顺时针旋转
90°后得到△AO′B′，则点B′的坐标是__________．【答案】 (7，3)
19．如图，将Rt△ABC沿着直角边CA所在的直线向右平移得到Rt△DEF，已知BC＝a，CA
＝b，FA＝b，则四边形DEBA的面积等于__________．
【答案】ab
20．如图，将含有30°角的直角三角板ABC放入平面直角坐标系中，顶点A，B分别落在x
轴，y轴的正半轴上，∠OAB＝60°，点A的坐标为(1，0)，将三角板ABC沿x轴向右
作无滑动的滚动(先绕点 A 按顺时针方向旋转 60°，再绕点 C 按顺时针方向旋转
90°……)，当点B第一次落在x轴上时，则点B运动的路径与两坐标轴围成的图形的
面积是____________．
【答案】＋π
【解析】：如图所示．
由题意得点B运动的路径与两坐标轴围成的图形的面积是两个三角形面积与两个扇形
面积之和．∵点A(1，0)，∠OAB＝60°，∴AB＝2，OB＝，AC＝1，BC＝ ，
故S＝S ＋S ＋S ＋ S
△AOB 扇形BAB′ △AB′ C′ 扇形B′C′B″
＝2××1×＋＋＝＋π.
三、解答题(每题10分，共60分)
21．在如图①所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，a，b，c
均为顶点都在格点上的三角形(每个小方格的顶点叫做格点)．
(1)在图①中，a经过一次__________变换(填“平移”“旋转”或“轴对称”)可以得到
b；
(2)在图①中，c 是可以由 b 经过一次旋转变换得到的，其旋转中心是点________(填
“A”“B”或“C”)；
(3)在图②中画出a绕点A顺时针旋转90°后的d.
【答案】解：(1)平移 (2)A
(3)如图所示．
22．如图，将△ABC向右平移7个单位长度，再向下平移6个单位长度，得到△ABC.
1 1 1
(1)不画图，直接写出点A，B，C 的坐标(点A，B，C 分别是点A，B，C的对应点)；
1 1 1 1 1 1
(2)求△ABC 的面积．
1 1 1【答案】解：(1)A(5，－1)，B(3，－7)，C(9，－3)．
1 1 1
(2)S ＝S ＝6×6－×6×2－×6×4－×4×2＝14.
△A1B1C1 △ABC
23．如图，正方形网格中的每一个小正方形的边长都是1，四边形ABCD的四个顶点都在格
点上，O为AD边的中点，若把四边形ABCD绕点O顺时针旋转180°，试解决下列问题：
(1)画出四边形ABCD旋转后的图形；
(2)求点C在旋转过程中经过的路径长．
【答案】解：(1)旋转后的图形如图所示．
(2)如图，连接OC.
由题意可知，点C的旋转路径是以O为圆心，OC的长为半径的半圆．
∵OC＝＝，
∴点C在旋转过程中经过的路径长为π.
24．如图，已知 Rt△ABC≌Rt△DEC，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠ABC＝∠DEC＝60°.将
Rt△ECD沿直线BD向左平移到Rt△E′C′D′的位置，使E点落在AB上的点E′处，
点P为AC与E′D′的交点．
(1)求∠CPD′的度数；
(2)求证：AB⊥E′D′.【答案】(1)解：由平移的性质知DE∥D′E′，∴∠CPD′＝∠CED＝60°.
(2)证明：由平移的性质知CE∥C′E′，
∠C′E′D′＝∠CED＝60°，
∴∠BE′C′＝∠BAC＝90°－60°＝30°.
∴∠BE′D′＝∠BE′C′＋∠C′E′D′＝90°.
∴AB⊥E′D′.
25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在AB，AC上，CE＝BC，连接CD，将
线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CF，连接EF.
(1)补充完成图形；
(2)若EF∥CD，求证：∠BDC＝90°.
【答案】(1)解：补全图形，如图所示．
(2)证明：由旋转的性质得：∠DCF＝90°，DC＝FC，∴∠DCE＋∠ECF＝90°.
∵∠ACB＝90°，
∴∠DCE＋∠BCD＝90°.
∴∠ECF＝∠BCD.
∵EF∥DC，
∴∠EFC＋∠DCF＝180°.
∴∠EFC＝90°，在△BDC和△EFC中，
∴△BDC≌△EFC(SAS)．
∴∠BDC＝∠EFC＝90°.
26．已知△ABC是等边三角形，将一块含有30°角的直角三角尺DEF按如图所示放置，让
三角尺在BC所在的直线上向右平移．如图①，当点E与点B重合时，点A恰好落在三
角尺的斜边DF上．
(1)利用图①证明：EF＝2BC.
(2)在三角尺的平移过程中，在图②中线段AH＝BE是否始终成立(假定AB，AC与三角尺的
斜边的交点分别为G，H)？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．
【答案】(1)证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，AC＝BC.
∵∠F＝30°，
∴∠CAF＝60°－30°＝30°.
∴∠CAF＝∠F.
∴CF＝AC.∴CF＝AC＝BC.
∴EF＝2BC.
(2)解：成立．
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，AC＝BC.
∵∠F＝30°，
∴∠CHF＝60°－30°＝30°.
∴∠CHF＝∠F.
∴CH＝CF.
∵EF＝2BC，
∴BE＋CF＝BC.
又∵AH＋CH＝AC，AC＝BC，
∴AH＝BE.
