文档内容
北师大版（2026）八年级数学下册第三章《图形的平移与旋转》
回顾与反思
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 三
课题 回顾与思考 课时 1
课标 不仅要求学生掌握基础知识，更要形成知识网络，提示核心素养，具体要求：
要求 通过具体实例认识平移、旋转，探索的它们的基本性质；能按要求作出简单的平面图形经过平
移、旋转后的图形；能用平移、旋转、对称的性质进行图案设计；发展学生的空间观念、几何
直观和推理能力；学会归纳解决问题的策略，体会数学与现实世界的联系。
教材 本章的学习，是在七年级下学期已经学习了轴对称的基础上，让学生进行观察、分析、画
分析 图、简单的图形欣赏与设计等活动，丰富学生对平移旋转等图形变换的认识，让学生用变换的
眼光看待图形，可以使图形动起来，有助于在图形运动变化过程中发现图形不变的几何性质。
并且平移旋转的相关知识，在数学问题和生活实际中都有着广泛应用，因此掌握好本节内容对
今后学习和生活有着积极意义。
学生已经学习过"生活中的轴对称"，初步积累了一定的图形变换的数学活动经验，在此基
础上，进行观察、分析、画图、简单图案欣赏与设计等操作性活动，正确把握和理解平移、旋
转等内容。
本专题既不同于"变换几何"中的平移、旋转变换，也不是单纯的平移、旋转现象的欣赏，
学情 而是先通过观察具体的平移、旋转现象，分析、归纳并概括出平移、旋转的整体规律和基本性
分析 质，然后在平移、旋转的简单应用中，进一步深化对图形的基本变换的理解和认识。
学生复习了本专题知识后对平移与旋转这两种常用的全等变换有了系统的认识，但学生把握这
些全等变换的能力有待提升，特别是对组合图案的形成过程的分析是学生把握不好的地方，应
加强训练。
1、学生经历课前知识架构梳理和课堂知识结构图展示，构建和完善本章的知识结构.
核心 2、通过对典型问题的剖析来梳理总结本章知识点，通过变式研究让学生掌握解题方法，形成
素养 分析问题解决问题的综合能力。
目标 3、经历对典型问题的剖析等过程，进一步发展空间观念、通过学生之间的交流、讨论、培养
学生的探究能力、合作精神，提高学习数学的兴趣
教学 理解平移、旋转与中心对称的概念和性质.掌握坐标系中平移、对称的坐标特征。
重点
教学 灵活运用平移、旋转与中心对称的概念和性质解决相关图形问题。
难点
教学 相应课件
准备
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、知识
构建知识网络
框架
图：看目录——找
联系——形成网，
让散乱的知识变得
有序；和已学知识
前后联系；方法上
获得提升。二、知识 一、平移的特征 回顾各个知识 目的在于通过课前
梳理 1．对应线段【平行且相等】；对应角【相等】；图形 点，准确描述 梳理，对本章的基
的形状和大小都不发生改变．
平移、旋转的 础知识，方法进行
2．对应点所连的线段平行（或在同一条直线上）且相
性质及中心对 回顾，建构本章的
等．
称图形 知识结构，使学生
二、图形在坐标系中的平移
的知识系统性和整
(1)原图形向右（左）平移a个单位长度：(a>0)
体性，课堂进行交
（x,y) （x±a,y)【左加右
减】 流展示，让学生学
(2) 原图形向上（下）平移a个单位长度：(a>0) 习梳理知识结构方
（x,y) （x,y±a)【上加下 法及进一步完善知
减】
识结构. 再大纲知
在平面直角坐标系中内，一个图形怎么移动，那么这
识展示及根据学生
个图形上各个点就怎么移动.
对知识的掌握情况
三、旋转的特征
准备了两个基础
1．旋转过程中，图形上【每一点都绕旋转中心】按
【同一旋转方向】旋转【同样大小的角度】． 题，了解本章的重
2．任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是 点内容及强化基本
【旋转角】，对应点到旋转中心的距离都【相等】．
知识.
3．旋转前后对应线段、对应角分别【相等】，图形的
大小、形状【不变】 ．
四、中心对称
1．中心对称
把一个图形绕着某一个点旋转【180°】，如果它能
与另一个图形重合，那么就说这两个图形成中心对
称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫
做关于中心的对称点．
2．中心对称的特征
中心对称的特征：在成中心对称的两个图形中，对应
点所连线段都经过【对称中心】，并且被对称中心
【平分】．
3.中心对称图形
把一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转后的图形
能与原来的图形重合，那么这个图形叫做【中心对称
图形】，这个点叫做它的【对称中心】 ．三考点讲 考点一 平移 讲练结合，教 以题带点，从复习
练 例1 如图所示，下列四组图形中，有一组中的两个图 师讲解例题， 基本知识为出发
形经过平移其中一个能得到另一个，这组图形是 （ 学生完成习题 点，通过例题，把
D ） 平移的性质、旋转
的性质等知识作了
较为系统的再训
练，把重点知识串
A B C D 联起来，并对每一
【解析】紧扣平移的概念解题. 空的思路做了分
方法总结;平移前后的图形形状和大小完全相同，任何 析，对整道题的思
一对对应点连线段平行（或共线）且相等. 想做了归纳，使学
针对练习 生明确转化思想的
1.如图所示，△DEF经过平移得到△ABC，那么∠C的 应用，拓宽了学生
对应角和ED的对应边分别是 （ C ） 的视野。
A.∠F，AC B.∠BOD，BA
C.∠F，BA D.∠BOD，AC
A
D
B
C
考 点 二 坐标系中的图
E F
形平移
例2 如图，直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点
上，其中，C点坐标为（1，2）．
（ 1）写出点 A、B 的坐
标：
A（2，-1 ）、B（4,3）；
（2）将△ABC先向左平移2个单位长度，再向上平移
1个单位长度，得到△A′B′C′，请画出相应图形，
则 △ A′ B′ C′ 的 三 个 顶 点 坐 标 分 别 是
A′（0,0）、 B′（2,4 ）、C′（-1,3）；
（3）求△ABC的面积．
分析】（1）根据图形写出相应点的坐标即可；（2）
画出平移后图形，根据图形解题即可，或是让三个点
的横坐标减去2，纵坐标加1即可得到平移后相应点的
坐标；（3）△ABC的面积等于边长为3，4的长方形的面积减去2个边长为1，3和一个边长为2，4的直角
三角形的面积.
解：
（2）平移后图形如
图所示；
（3）△ABC的面积
S=3×4﹣2× ×1×3﹣ ×2×4
=5．
方法总结：直角坐标系中的图形左右移动改变点的横
坐标，即左减右加；上下平移改变点的纵坐标，即上
加下减.求格点中图形的面积通常用割补法，常用长方
形的面积减去若干直角三角形的面积表示，或是转化
为用几个比较容易求的三角形或四边形的面积和来表
示.
针对练习
2. 如图，在平面直角坐标系中，P（a，b）是△ABC
的边AC上一点，△ABC经平移后点P的对应点为P1
（a+6，b+2），
（ 1 ） 请 画 出 上
述 平 移 后 的
△ A1B1C 1，并写
出点A、C、A1、C1的坐标；
（2）求出以A、C、A1、C1为顶点的四边形的面积．
解：(1)△A1B1C1如图所示；各点的坐标为：A （﹣
3，2）、C（﹣2，0）、A1（3，4）、C1（4，2）；
(2)如图，连接AA1、CC1；
△AC1C的面积△AC1A1的面积
四边形ACC1A1的面积为7+7=14.
答：四边形ACC1A1的面积为14．
考点三 旋转的概念及性质的应用
例3 （1）如图a，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转
60 °后得到△COD，若∠AOB=15 °,则∠AOD的度数
是（ C ）
A. 15 ° B. 60 ° C. 45 ° D. 75
°
(2) 如图b ,4 ×4的正方形网格中， △MNP绕某点旋
转一定的角度，得到△M1N1P1，其旋转中心是（ B
）
A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D
【解析】（1）关键找出旋转角∠BOD=60 °;
（2）作线段MM1与PP1 的垂直平分线，交点便是旋转
中心.
针对练习
3.如图，在等腰 Rt△ABC 中，点 O 是 AB 的中点，
AC=4, 将一块边长足够大的三角板的直角顶点放在O
点处，将三角板绕点O旋转，始终保持三角板的直角
边与AC相交，交点为D,另一条直角边与BC相交，交
点为E,则等腰直角三角形ABC的边被三角板覆盖部分
的两条线段CD与CE长度之和等于【4】 .
C
解答提示：连接CO,证△CDO≌△BEO
D
考点四 中心对称
E
例4 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称
A O B
图形的是（ D ）．【解析】 图A.图B都是轴对称图形，图C是中心对
称图形，图D既是中心对称图形也是轴对称图形.
四、尝试 【知识技能类作业】 必做题： 学生完成课堂 引导学生能够在课
练习 堂练习的完成过程
1.下列标志中，可以看作是中心对称图形的是（ D
中对要点知识加深
)
巩固，有效应用。
2.观察下列银行标志，从图案看既是轴对称图形又是
中心对称图形的有（ 3 )个
3.如图是一个旋转对称图形，以O为旋转中心，旋转
（ 120 ）度后的图形与原图形重合。
4.如图，△ABC经过怎样的平移得到△DEF（ C
）
A．把△ABC向左平移4个单位，再向下平移2个单位
B．把△ABC向右平移4个单位，再向下平移2个单位
C．把△ABC向右平移4个单位，再向上平移2个单位
D．把△ABC向左平移4个单位，再向上平移2个单位
D
A
E
F
B C
第3题图
第4题图
5.已知△ABC的面积为36，将△ABC沿BC的方向平移
到△A′B′C的位置，使B′和C重合，连接AC′交
A′C于D，则△C′DC的面积为（ D ）
A．6 B．9 C．12 D．18
6.如图，将一朵小花放置在平面直角坐标系第一象限
内，先将它向下平移4个单位后，再将它绕原点O旋转180°，则小花顶点A的对应
点A′的坐标【（-3，3）】
第5题图
第6题
7.在数轴上，点A向右平移1个单位，再向左平移2
个单位，再向右平移3个单位，再向左平移4个单
位…100次平移后A所在点表示的数为2006，则点A
的原始数为 205 6 。
选做题：
8.（2022•保定一模）如图1，点P、Q分别是等边
△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点
A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，
连接AQ、CP交于点M。
（1）求证：△ABQ≌△CAP；
（2）当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变
化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度
数。
（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线
AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠QMC变化
吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度
数。
（1）证明：∵△ABC是等边三角形
∴∠ABQ=∠CAP，AB=CA，
又∵点P、Q运动速度相同，
∴AP=BQ，
在△ABQ与△CAP中，AB＝CA，AP＝BQ，∠ABQ
＝∠CAP
∴△ABQ≌△CAP（SAS）
（2）解：点P、Q在运动的过程中，∠QMC不变。
理由：∵△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ=∠ACP，
∵∠QMC=∠ACP+∠MAC，∴∠QMC=∠BAQ+∠MAC=∠BAC=60°。
（3）解：点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、
BC上运动时，∠QMC不变。
理由：∵△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ=∠ACP，
∵∠QMC=∠BAQ+∠APM，
∴∠QMC=∠ACP+∠APM=180°-∠PAC=180°-
60°=120°。
【综合拓展类作业】
9. 如图，B，C，E是同一直线上的三个点，四边形
ABCD与四边形CEFG都是正方形。连接BG，DE。
（1）观察猜想BG与DE之间的关系，并证明你的猜
想；
（2）图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角
形？若存在，请指出，并说出旋转过程；若不存在，
请说明理由。
解：（1） BG⊥BD，且
BG=DE。
证明：延长BG与DE交于H点，
在△BCG和△DCE中，
BC=DC
∠BCG=∠DCE=90°
∴△BCG≌△DCE，
CG=CE
∴BG=DE，∠BGC=∠DEC
又∵∠BGC=∠DGH，∠DDEECC++∠CDE=90°，
∴∠DGH+∠GDH=90°，∴∠DHG=90°，
故BG⊥DE，且BG=DE。
（2）存在，△BCG≌△DCE，（1）中已证明，
且△BCG和△DCE有共同顶点C，则△DCE沿C点旋转
向左90°与△BCG重合。
五、提升 你今天的收获是什么？ 引导学生进行 引导学生从知识内
1、巩固了平移、旋转的定义和性质； 课堂总结，形 容、研究方法以及
2、运用平移、旋转的性质解题； 成板书。 运用过程三个方面
3、对题目中的数学思想和方法进行归纳总结。 总结自己的收获，
让学生全面把握本
节课的重点和难
点，并启发学生用
类比或迁移的方法学习后续课程。
板书设计 利用简洁的文字、
符号、图表等呈现
本节课的新知，可
以帮助学生理解掌
握知识，形成完整
的知识体系。
作业设计 【知识技能类作业】 必做题：
（课外练
1.下列说法错误的有（ B ）
习）
①图形在平移过程中，图形上的每一点都移动了相同的距离；
②图形在旋转过程中，图形上的每一点都绕旋转中心转过了同样长的路程；
③中心对称图形的对称中心只有1个，而轴对称图形的对称轴可能不止一条；
④等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形。
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2.如图，在6×4方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到
格点三角形乙，则其旋转中心是（ B ）
A．点M B．格点N C．格点P D．格点Q
3.如图 1，P是正方形ABCD内一点，将△ABP绕点B顺时针
方向旋转一定的角度后能与△CBP′重合。若PB=3，则PP′= 。
4.如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10。若将△PAC绕点A逆时针旋
转60°后，得到△P′AB，则点P与P′之间的距离为 6 ，∠APB= 15 0 度。
5.如图2所示，△ABC绕点A逆时针旋转某一角度得到△ADE，
若∠1=∠2=∠3=20°，则旋转角为 4 0 度。第3题图 第4题图 第5题图
【选做题】
6. 如图1在四边形ABCD中。AB=AD，∠B+∠D=180゜，E、F分别是边BC、CD上的点，且
∠BAD=2∠EAF。
（1）求证：EF=BE+DF；
（2）在（1）问中，若将△AEF绕点A逆时针旋转，当点E、F分别运动到BC、CD延长线上
时，如图2所示，试探究EF、BE、DF之间的数量关系
解： （1）证明：延长CB至M，使
BM=DF， 连接AM，
∵∠ABC +∠D=180°，
∠ABC+∠ABM=180°，
∴∠D=∠ABM，
在△ABM和△ADF中，AB＝AD，AB＝AD，BM＝DF
∴△ABM≌△ADF（SAS），
∴AF=AM，∠DAF=∠BAM，
∵∠BAD=2∠EAF，
∴∠DAF+∠BAE=∠EAF，
∴∠EAB+∠BAM=∠EAM=∠EAF，
在△FAE和△MAE中，
AE＝AE，∠FAE＝∠MAE，AF＝AM
∴△FAE≌△MAE（SAS），
∴EF=EM=BE+BM=BE+DF，
即EF=BE+DF。
2）解：EF、BE、DF之间的关系是EF=BE-DF，
理由是：在CB上截取BM=DF，连接AM。
∵∠ABC+∠D=180°，∠ADC+∠ADF=180°，
∴∠ABC=∠ADF，
在△ABM和△ADF中， BM＝DF，∠B＝∠ADF，AB＝AD
∴△ABM≌△ADF（SAS），
∴AF=AM，∠DAF=∠BAM，∵∠BAD=2∠EAF=2（∠EAD+∠DAF）=2（∠EAD+∠BAM）=∠EAF+（∠EAD+∠BAM）
又∵∠BAD=（∠BAM+∠EAD）+∠MAE
∴∠MAE=∠EAF在△FAE和△MAE中， AE＝AE，∠FAE＝∠MAE，AF＝AM
∴△FAE≌△MAE（SAS），
∴EF=EM=BE-BM=BE-DF，
即EF=BE-DF。
【综合拓展类作业】
7.含30°角的直角三角板ABC（∠B=30°）绕直角顶点C沿逆时针方向旋转角α（∠α＜
90°），再沿∠A的对边翻折得到△A′B′C，AB与B′C交于点M，A′B′与BC交于点N，
A′B′与AB相交于点E。
（1）求证：△ACM≌△A′CN；
（2）当∠α=30°时，找出ME与MB′的数量关系，并加以说明。
证明（1）： ∵∠A=∠A′，AC=A′C，
∠ACM=∠A'CN=90 °-∠MCN，
∴△ACM≌△A’CN。
（2）解：在Rt△ABC中
∵∠B=30°，∴∠A=90°-30°=60°。
又∵∠α=30°，∴∠MCN=30°，
∴∠ACM=90°-∠MCN=60°。
∴∠EMB′=∠AMC=∠A=∠MCA=60°。
∵∠B′=∠B=30°，
所以三角形MEB′是Rt△MEB′，且∠B′=30°。所以MB′=2ME。
教学反思
