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2025-2026 学年八年级下册数学单元自测
第三章 图形的平移与旋转·能力提升
建议用时：60分钟，满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，入选中国国家级非物质文化遗产名录．下列剪纸图案中，既
是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的概念，解决本题的关键是熟练掌握轴对称图形与中心对
称图形的概念．
根据轴对称图形的概念，即如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图
形；根据中心对称图形的概念，即在平面内，把一个图形绕着某个点旋转 ，如果旋转后的图形能与原
来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，由此判断选项即可．
【详解】解：A选项，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不满足题意；
B选项，是轴对称图形，不是中心对称图形，不满足题意；
C选项，既是轴对称图形，又是中心对称图形，满足题意；
D选项，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不满足题意．
故选：C ．
2．如图， 与 关于点O对称，连接 ， ， ．若 ， ，则 的长为
（ ）
A．3 B．4 C．6 D．9
【答案】C【分析】本题考查关于某点对称的图形之间的关系，解题关键是熟练掌握关于某点对称的图形性质．利用
中心对称的对应点到对称中心的距离相等，证得 在 的垂直平分线上，求出 ．
【详解】解：∵ 与 关于点 成中心对称，
∴ （中心对称的对应点到对称中心的距离相等）
又 ∵ ，
∴ D在 的垂直平分线上，
，
故选：C．
3．如图，在 中， ，将 绕点C旋转，得到 ，若点A的对应点D恰
好在 的延长线上，则旋转方向和旋转角可能为（ ）
A．顺时针， B．逆时针， C．顺时针， D．逆时针，
【答案】A
【分析】本题考查了旋转的性质，平角的定义，正确理解图形旋转的定义是解题的关键．根据图形旋转的
定义及平角的定义，即得答案．
【详解】解： 将 绕点 旋转，得到 ，
，
当旋转方向为顺时针时，旋转角度为 ；
当旋转方向为逆时针时，旋转角度为 ．
故选：A．
4．在平面直角坐标系中，已知点 与点 关于原点成中心对称，则 ， 的值分别是
（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】D
【分析】此题考查了关于原点对称的点的坐标特征和二元一次方程组的应用．
根据关于原点对称的点的坐标特征，点 和点B的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，列出方程组求解．
【详解】解：∵点 与点 关于原点对称，
∴将 ，
解得 ，
故选：D
5．如图，在正方形网格中，点 ， 和 ， 的顶点均在格点上，将 绕旋转中心旋转得到
，则旋转中心是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】D
【分析】本题考查了旋转的性质，根据旋转的性质，对应点的连线的垂直平分线必过旋转中心，根据网格
结构作 、 的垂直平分线，交点即为旋转中心．
【详解】解：如图， 、 的垂直平分线相交于点Q，
则旋转中心点Q．
故选：D．6．把点 先向左平移5个单位，再向上平移4个单位，所得的点 在直线 上，则 的
值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了点的平移，正比例函数的性质．先根据点的平移规律求出平移后点 的坐标，再利用
点在直线上则坐标满足直线方程的性质，列方程求解 的值．
【详解】解：∵点 向左平移5个单位时横坐标减5，向上平移4个单位时纵坐标加4
∴平移后点 的坐标为 ，即
∵点 在直线 上
∴点 的横、纵坐标满足 ，即
去括号得：
移项合并同类项得：
解得：
故选：A．
7．如图，将一个直角三角形 沿着直角边 所在的直线向右平移得到直角三角形 ，已知 ，
， ，则 的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平移的性质．
由 ，可得 ，由平移的性质可得 ，然后根据 ，
即可求解．【详解】解： ，即 ， ，
，
由平移可得 ，
．
故选：C．
8．“俄罗斯方块”是一种早期的电子游戏，核心玩法是在方格场地中，操控7种积木（每个占四个格子）
通过平移、旋转并堆叠（积木与积木之间不能重合，没有缝隙），填满整行即可消除该行从而得分，积木
堆到顶端则游戏结束．例如：下图①中，将上方“长方形”积木，向下平移4个格子，就可以消除“第1
行”从而得分．那么当如图②中最上方积木通过怎样的运动可以同时消除“第1行和第2行”（ ）
A．向下平移3格
B．以格子 为旋转中心，按逆时针方向旋转90°，再向下平移2格
C．以格子 为旋转中心，按逆时针方向旋转90°，再向下平移3格
D．以格子 为旋转中心，按顺时针方向旋转90°，再向下平移2格
【答案】C
【分析】本题考查图形的旋转和平移，读懂题意，根据旋转和平移的知识即可解答．
【详解】解：根据题意需以格子 为旋转中心，按逆时针方向旋转90°，再向下平移3格，可以同时消除
“第1行和第2行”，
故选C．
9．如图，在平面直角坐标系中，将 绕点 顺时针旋转到 的位置，点 分别落在点
处，点 在 轴上，再将 绕点 顺时针旋转到 的位置，点 在 轴上，将绕点 顺时针旋转到 的位置，点 在 轴上，依次进行下去 ．若点 ，则点
的坐标是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系坐标的规律问题，根据勾股定理，先求得前几个 的坐标，
观察图形，即可得出 的横坐标为 ，纵坐标为 ，即可求解．
【详解】解： 点
∴
的横坐标为6，且 ，
的横坐标为 ，
……
∴ 的横坐标为 ，纵坐标为
点 的横坐标为 ，点 的纵坐标为2，即 的坐标是 ，
故选：C．
10．如图1，长方形 各顶点坐标分别为 ， ， ， ．点 ， ，
以 为一边作长方形 ．现将长方形 沿 方向平移，至 与 重合时运动停止．在平
移过程中，设平移的距离为d，长方形 与长方形 重叠的面积为S，S关于d的函数图象如图2．当 与 重合时，点F的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查坐标与图形变换--平移、函数的图象、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理，能从
函数图象中获取有用信息是解答的关键．
先根据函数图象和平移性质，当 与 重合时，平移距离 ，此时重叠面积
，则 ，过F作x轴的垂线，交过D平行于x轴的直线于P，利用等腰
三角形的判定与性质，结合坐标与图形得到平移前的点F坐标，再根据平移方向得到将长方形 先向
右平移5个单位长度，再向上平移5个单位长度得到 与 重合，进而可求得平移后的点F坐标．
【详解】解：由图1可知， ， ，
由函数图象和平移性质，当 与 重合时，平移距离 ，此时重叠面积
，
∴ ，
如图1，过F作x轴的垂线，交过D平行于x轴的直线于P，则 ，由图知 ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，则 ，即 ，
当 与 重合时，平移距离 ，此时等价于将长方形 先向右平移5个单位长度，再
向上平移5个单位长度，
∴平移后的点F的坐标为 ，即 ．
故选：A．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．已知点 与点 关于原点对称，则 ．
【答案】1
【分析】此题主要考查了关于原点对称点的坐标性质，用到的知识点为：两点关于原点对称，这两点的横
纵坐标均互为相反数．
利用关于原点对称点的坐标性质，让所给两点的横纵坐标互为相反数求得 ， 的值，即可得出答案．
【详解】解： 点 与点 关于原点对称，
， ，
则 ．
故答案为： ．
12．已知点 关于原点对称的点为 ，将点 向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到点 ，点 在第四象限，那么 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，坐标与图形变化平移，一元一次不等式组的应用知识
点，掌握关于原点对称的点的坐标特征和平移的坐标变化规律是解题的关键．
根据原点对称和平移的坐标变化规律，求出点的坐标，再根据第四象限点的坐标特征列出不等式组求解．
【详解】解：点 关于原点对称的点 的坐标为
将点 向右平移 个单位，向下平移2个单位，得到点 的坐标为 ，即
，
由于点 在第四象限，故有
解不等式
得 ；
解不等式
得
所以 的取值范围是
故答案为： ．
13．围棋起源于中国，古代称之为“弈”．如图，这是棋盘上由1个白子和3个黑子组成的图形，且点
的坐标分别为 ，若再放入一个白子，使它与原来的4个棋子组成的图形为中心对称图形，
则放入白子的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义．根据把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形
能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，进而得出答案．【详解】解：根据点 的坐标分别为 ，建立平面直角坐标系，如图所示：
∴当放入白子的位置在点 处时，是中心对称图形．
故答案为：
14．如图，在平面直角坐标系中，已知点 ，点 在第一象限内， ， ，将
绕点 顺时针旋转，每次旋转 ，则第2026次旋转后，点 的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了等边对等角，含 角的直角三角形的性质，坐标系中点的旋转的坐标规律，发现每
旋转4次点B回到初始位置是解题关键．
利用已知条件，先求出点B的坐标，由每次旋转 ，旋转4次是 ，点B恰好旋转1圈，从而将旋转
2026次，等效成旋转2次，从而确定结果．
【详解】解：如图，过点B作 轴于点C，∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∴ ，
由每次旋转 ，旋转4次是 ，点B恰好旋转1圈，
，
，
∴第2026次旋转后，点B从初始位置旋转了 ，
由坐标系中的点绕原点旋转的坐标规律可知，此时 ，
故答案为： ．
15．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形 的顶点 与原点 重合，顶点 ， 分别在 轴、
轴的正半轴上．将 沿直线 向上平移得到 ，点 的纵坐标为4．若 ，
则点 的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了坐标与图形变化，平移，一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键在于读懂题目信息并求出点 的坐标．
根据直线解析式求出点 的横坐标，再根据平移变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小确定出点
的横坐标与纵坐标，然后写出即可．
一题多解：根据直线解析式求出点 的横坐标，得到点 的坐标，然后根据平移的性质即可得到点 的
坐标．
【详解】解： 点 在直线 上，且纵坐标为 ，
，解得 ，
，
即从点 至点 ，横坐标增加了 ，纵坐标增加了 ．
，
，
．
故答案为： ．
一题多解
点 在直线 上，且纵坐标为 ，
，解得 ，
．
，
由平移的性质，知 ， ，
．
故答案为： ．
16．在平面直角坐标系中，我们规定一种变换：将平面内任意一点 ，绕原点 顺时针旋转
得到对应点 ，点 在射线 上，且 ，得到最终的对应点 ，称点为点 经过 变换后的对应点．例如，点 经过 变换后的对应点为 ，那么点
经过 变换后的对应点坐标为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了坐标与图形变换—旋转，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，根据变换规
则可求出 ，且 ，过点 作 轴于点B，求出 和 的长即可得到
答案．
【详解】解：设点 经过 变换后的对应点为 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，且 ，
如图所示，过点 作 轴于点B，
∴ ，
∴ ，
∴点 的坐标为 ，
故答案为： ．三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；
共9小题，共72分）
17．如图，在 中， ， 于点 ， 于点 ， ．
(1)请简述图①变换为图②的过程．
(2)若 ， ，求图②中 的面积．
【答案】(1)把 绕点 逆时针旋转 得到
(2)6
【分析】本题主要考查图形变换，三角形的面积，理解题意是解题的关键．
（1）通过旋转变换理解图形的变化过程即可；
（2）根据旋转的性质得到 ， ，再通过平行线的性质、等量代换、两个锐角
互余的三角形为直角三角形得到 是直角三角形，最后利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】（1）解：把 绕点 逆时针旋转 得到 ．
（2）解：由（1）可知， 由 通过旋转得到的，
， ．
， ，
，
．
，
，
．
，
．18．如图， 是等边三角形， ，垂足为C，E是 的中点， 是由 沿 方向平移得
到的．已知 过点A， 交 于点G．
(1)求 的大小；
(2)求证： 是等边三角形．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平移的性质及线段垂直平分线
的判定与性质．
（1）由等边三角形性质得出 ，再由E是 的中点，根据等边三角形三线合一得出 平分
，从而求得结果；
（2）由 ，结合 得出 的度数，再利用平移性质得到平行关系，紧接着证明
，结合 得 垂直平分 ，从而求出 的度数，最后证明 的三个角均为
，从而得证结论．
【详解】（1）解：∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵E是 的中点，
∴ 平分 ，
∴ ．
（2）证明：∵ ，
∴ ，
∴ ，
由平移性质可得： ，
∴ ， ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ 垂直平分 ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形．
19．如图， 中， ， ，将 绕着顶点A顺时针旋转 ，得到 ．点
F，G分别在 上，且 ，连接 并延长交线段 于点H．
(1)求证： ；
(2)求 的大小．
【答案】(1)见解析
(2)60°
【分析】本题主要考查了旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形
内角和定理，熟知旋转的性质是解题的关键．
（1）求出 ，得到 ，由旋转的性质得到 ，据此可证明结论；
（2）由旋转的性质可得 ， ，证明 ，得到
，则可证明 ．
【详解】（1）证明：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 绕点A顺时针旋转 得到 ，
∴ ，
∴ ，即 ．（2）解：∵ 绕点A顺时针旋转 得到 ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
20．如图，在 的正方形网格中， 的三个顶点均在格点上．请你画出符合条件图形，并标明字母．
(1)在图①中，画出一个格点三角形 与 成中心对称；
(2)在图②中，画出一个格点三角形 与 成轴对称图形；
(3)在图③中，画出 绕着点 按顺时针方向旋转 后的格点三角形 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查了作图—轴对称变换、旋转变换，熟练掌握成中心对称图形的性质、轴对称图形的性质
以及旋转的性质是解此题的关键．
（1）根据成中心对称图形的性质作图即可；
（2）根据成轴对称图形的性质作图即可；
（3）根据旋转的性质作图即可．
【详解】（1）解：如图，三角形 即为所求作，（2）解：如图，三角形 即为所求作，
（3）解：如图，三角形 即为所求作．
21．如图， 中， ，将 绕点 逆时针旋转 到 ， 的延长线与 相交于
点 ，连接 、 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及含 角的直角三角形的性质，关键是熟练运用旋转的性质得到相等的边和角，结合等边三角形与全等三角形的判定完
成推理，再利用特殊直角三角形的性质求解线段长度．
（1）根据旋转的性质得到 ，旋转角 ，据此判定 为等边三角形，得到
，结合已知 ，利用内错角相等，两直线平行即可证明 ；
（2）由等边三角形的性质得 ，结合已知 ，公共边 ，利用 判定
，得到 ，进而推出相关角为 ，再利用含 角的直角三角形中，
角所对的直角边是斜边的一半的性质求解 的长度．
【详解】（1）解：∵ 绕点 逆时针旋转 到 ，
∴ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由旋转的性质得 ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ．
22．如图所示的正方形网格中， 的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：
(1)请画出 关于坐标原点 成中心对称的 ；
(2)若 绕点 顺时针旋转 后得到 ，写出点 的坐标_____；
(3)若将 绕某点逆时针旋转 后，其对应点分别为 ， ， ，则旋转中心的坐
标为_____．
【答案】(1)画图见解析；
(2) ；
(3)
【分析】本题考查中心对称图形的绘制、旋转的坐标变换及旋转中心的确定，涉及的知识点有中心对称点
的坐标特征、旋转的性质、垂直平分线的求法．
（1）先确定 各顶点坐标，再根据关于原点中心对称点的坐标规律找到对应点，最后依次连线得到对
称图形；
（2）画出 绕点 顺时针旋转 后得到的 ，从图中直接读出 的坐标；
（3）根据旋转中心是对应点连线的垂直平分线的交点，依次作出两组对应点连线的垂直平分线，从而得
到交点即旋转中心的坐标．
【详解】（1）解：画出 关于坐标原点 成中心对称的 如图所示：（2）解：画出 绕点 顺时针旋转 后得到的 如图所示：
得到 的坐标为 ；
故答案为： ；
（3）解：根据旋转的性质，旋转中心是对应点连线的垂直平分线的交点，作图如图所示：旋转中心的坐标为 ．
故答案为：
23．在图①中，将线段 向右平移1个单位长度得到 与阴影部分 ；在图②中，将折线
向右平移1个单位长度得到折线 与阴影部分 （4个图形中的长方形均相
同，长为 ，宽为 ）．
(1)请你在图③中类似设计一个有两个折点的折线，同样向右平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形．
(2)设图①、图②、图③中除去阴影部分后剩余部分的面积分别为 ， ， ，则 __________，
__________， __________．
(3)图④为一块长方形地，中间有一条小路（小路任何地方的水平宽度均是1个单位长度），其余部分种草，
求草地的面积，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2) ； ；(3)草地的面积为 ．理由见解析
【分析】本题考查了图形的平移，长方形面积的计算，掌握通过平移转化图形，将不规则图形转化为规则
图形计算面积是解题的关键．
（1）模仿图②的折线形式，设计一条有两个折点的折线，向右平移1个单位后连接端点，形成封闭图形；
（2）剩余面积为大长方形面积减去阴影面积，阴影部分可通过平移转化为宽为 ，长为 的长方形，面积
为 b，因此剩余面积均为 ；
（3）用平移法将小路左侧的草地向右平移 个单位，拼成新的长方形，计算新长方形的面积即为草地面积．
【详解】（1）解：（答案不唯一）如图所示．
（2）解：大长方形面积：都是 ；
阴影面积：不管形状怎么变，水平宽度始终是 ，长是 ，所以阴影面积都是 ；
剩余面积：大长方形面积−阴影面积 ；
∴ ．
故答案为： ； ； ．
（3）解：草地的面积为 ．
理由：把“小路”沿着左右两条边线“剪去”，将左侧的草地向右平移 个单位长度，
得到一个新长方形，它的长为 ，宽为 ，故其面积是 ．
24．如图，在直角坐标系 中，边长为4的等边三角形 的顶点 都在 轴上，顶点 在第二象
限内， 经过平移或轴对称都可以得到 ．
(1) 沿 轴向右平移得到 ，则平移的距离是_____个长度单位； 与 关于直线对称，
则对称轴是_____；(2)已知点 的纵坐标为 ，则点 的坐标为____；
(3)连接 ，交 于点 ，求 的度数．
【答案】(1)4； 轴
(2)
(3)
【分析】（1）由点 的坐标为 ，根据平移的性质得到 沿 轴向右平移 2 个单位得到 ，
则 与 关于 轴对称；
（2）根据等边三角形的性质求出点 的坐标为 ，再根据 与 关于 轴对称，即可求
解．
（3）根据平移或对称的性质得到 ，而 ，得到 ，根据 证得
，即可证得 ．
【详解】（1）解：∵ 是等边三角形，边长为4，
∴点 的坐标为 ，
∴ 沿 轴向右平移4个单位得到 ；
∴ 与 关于 轴对称，
故答案为：4； 轴；
（2）解：∵点 的坐标为 ， 是等边三角形，点 的纵坐标为 ，
∴点 的坐标为 ，
∵ 与 关于 轴对称，
∴点D的坐标为 ，
故答案为： ．
（3）解：如图，∵ 与 是等边三角形，
，
，
，在 和 中，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、轴对称的性质、平移的性质、三角形全等的判定和性质等，熟练
掌握这些性质是解题的关键．
25．已知 中， ， ，点D为直线 上一点．
(1)如图1，若点D与点C重合，点E为 上一点，将线段 绕点D顺时针旋转90°后得到线段 ，连
接 ，直接写出 与 的关系：_________；
(2)如图2，点D在 的延长线上，E为 的角平分线上一点，将线段 绕点D顺时针旋转90°后得
到线段 ，连接 ，若 ，求证： ；
(3)如图3，点D在 边上，点E在直线 左侧，连接 ， ，将线段 绕点D顺时针旋转
90°后得到线段 ，连接 若 ， ，则线段 的长为_________（直接写出结果）．
【答案】(1) ，
(2)见解析
(3)
【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，勾股定理和旋转的性质，通过旋转的性质构造全等三角
形（手拉手旋转模型），从而建立线段之间的联系是解题关键．
（1）利用旋转的性质，通过 证明全等即可找到线段关系；（2）作垂线构造全等三角形，再利用角平分线和等腰直角三角形的性质建立线段关系即可；
（3）作垂线构造全等三角形，找到线段关系，再通过角度运算，得到特殊角，利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：由旋转的性质，得 ， ，
∵ ， ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ， ；
（2）证明：如图，过点D作 ，过点E作 ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ， ，
由旋转的性质，得 ， ，
∵ ， ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ， ，
如图，延长 ，与 交于点H，过点E作 于点G，∵ ， ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
又 ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ， ，
又 ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ， ，
∵ 是 的角平分线， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：如图，过点D作 于点M，过点M作 于点N，连接 ，过点A作
于点G，
同（2）理可知， 和 是等腰直角三角形，四边形 是矩形，
∴ ， ， ，∴ ，
由旋转的性质，可知 ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
