文档内容
第三章 《图形的平移与旋转》导学案
3.2图形的旋转（中心对称）
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学习目标与重难点
学习目标：
1、了解中心对称、中心对称图形的概念，探索中心对称的性质；
2、能够运用中心对称的性质作中心对称图形；
3、通过图形间的变换关系，可以使学生体会到数形结合的思想方法，感受图形是相互联系和规律的
变化， 激发学生的好奇心和求知欲望，获得成功的体验.
学习重点：
能判断一个图形是否为中心对称图形，并利用中心对称的性质进行作图.
学习难点：
中心对称与中心对称图形的联系与区别，运用中心对称的性质作图的方法.
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预习自测
一、知识链接
1.轴对称图形和轴对称的概念是什么？
（1）轴对称：如果把一个图形沿着一条直线对折后，与另一个图形重合，那么这两个图形成轴对
称，两个图形中相互重合的点叫做对称点，这条直线叫做对称轴。
（2）轴对称图形：如果把一个图形沿某条直线对折，对折后图形的一部分与另一部分完全重合，
我们把具有这样性质的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
2.轴对称的性质是什么？
（1）任意一对对应点所连线段被对称轴垂直平分；
（2）对应线段关于对称轴对称。
二、自学自测
1. 观察下列各组图形，其中成轴对称的图形是 （填写序号
2. 如图是4×4正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在要从其余13个白色小方格中选出
一个也涂成黑色，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形，这样的白色小方格有 个．►
教学过程
一、探究中心对称定义
1、观察下图，图（1）经过怎样的运动变化就可以与图（2）重合？
2、观察图形旋转过程，发现什么？
旋转180°与原图完成重合
中心对称：如果把一个图形绕着某一点旋转 180度，它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形
关于这个点对称或中心对称，这个点叫做它们的对称中心。如图3-20，△ABC与△A′B′C′成中心
对称，点O是它们的对称中心。这个图形是中心对称图形。
中心对称是一种特殊的旋转，其特殊之处就在于其旋转角是180度。
二、探究中心对称性质
1、观察图形，发现什么？A
B'
O
C C'
B
A'
2、中心对称性质
（1）：OA =OA',OB=OB', OC=OC',即对称中心平分对称点所连的线段。
（2）中心对称的两个图形是全等图形．
2、欣赏中心对称图形
中心对称与轴对称的区别与联系
A
A A' B'
O
C C' C C'
B B' B
A'
轴对称 中心对称
有一条对称轴——直线 有一个对称中心——点
图形沿对称轴对折后重合 图形绕对称中心旋转180°后重合
对称点的连线被对称轴垂直平分 对称点连线经过对称中心,且被对称中心平分
三、典例精析
例1：如图，已知四边形ABCD和点O，试画出四边形ABCD关于点O成中心对称的图形A'B'C'D'.
分析：要画出四边形ABCD关于点O成中心对称的图形，只要画出A，B，C，D四点关于点O的对称点，再顺次连接各对应点即可.
作法：
1. 连接AO并延长到A'，使OA'=OA，得到点A的对应点A'；
2. 同理，可作出点B，C，D的对应点B'，C'，D'；
3. 顺次连接A'，B'，C'，D'，则四边形A'B'C'D'即为所作.
例2：如图，点O是线段AE的中点，以点O为对称中心，画出与五边形ABCDE成中心对称的图形
作法：
1.连接BO并延长到B'，使OB'=OB，连接DO并延长到D'，使OD'=OD，连接CO并延长到C'，使
OC'=OC，
2.顺次连接E，B'，C'，D'，A则四边形AB'C'D' E就是五边形ABCDE成中心对称图形.
三、课堂练习、巩固提高
基础达标：
1.下列美丽的图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是( )
2. 下列图形中即是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. 角 B. 等边三角形 C. 线段 D. 平行四边形3.下列多边形中，是中心对称图形而不是轴对称图形的是（ ）
A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形
4.如下所示的4组图形中，左边数字与右边数字成中心对称的有（ ）
A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
5. 判断下列说法是否正确。
（1）轴对称图形也是中心对称图形。（ ）
（2）旋转对称图形也是中心对称图形。（ ）
（3）平行四边形、长方形和正方形都是中心对称图形，对角线的交点是它们的对称中心。
（ ）
（4）角是轴对称图形也是中心对称图形。（ ）
（5）在成中心对称的两个图形中，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。 （ ）
能力提升：
6、在方格纸中选择标有序号的一个小正方形涂上颜色，与图中阴影部分构成中心对称图形，应选
。
拓展迁移
7.正三角形是中心对称图形吗？正方形呢？正五边形呢？正六边形呢？……你能发现什么规律？
规律：边数为偶数的正多边形都是中心对称图形。
8.如图，在10×10的网格中，每个格子都是边长为1的小正方形，已知△ABC三个顶点的坐标分别
为A(1,1)、B(4,2)、C(3,4)．(1)请画出将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△AB C ；
(2)请画出△ABC关于原点O成中心对称的△A B C 中，点C 的坐标是______；
(3)当△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△AB C ，求点C所经过的路径长．
9.如图①，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C＝90°，∠B＝∠E＝30°.
操作发现：如图②，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，
(1)猜想线段DE与AC的位置关系是__________，并加以证明；
(2)设△BDC的面积为S ，△AEC的面积为 ，则S 与S 的数量关系是__________，并加以证明．
四、总结反思、拓展升华
1、中心对称
把一个图形绕着某一点旋转180度，它能与另一个图形重合，这个点是它们的对称中心。这个图形
是中心对称图形。
2、中心对称图形的性质
①对称中心平分对称点所连的线段。②中心对称的两个图形是全等图形．
3、作中心对称图形
五、【作业布置】
基础达标：
1. 下图是几种名车标志,其中是轴对称图形的有 (填序号),是中心对称图形的有 (填
序号).
2.观察图形，并回答下面的问题：
（1）哪些只是轴对称图形？
（2）哪些只是中心对称图形？
（3）哪些既是轴对称图形，又是中心对称图形？
C D
O
3.如图，已知△AOB与△DOC成中心对称，△AOB的面积 A B
是6，AB＝3，则△DOC中CD边上的高是（ ）
A.2 B.4 C.6 D.8
4.以下三个图形中是轴对称图形的有 ，是中心对称图形的有 .
能力提升：5.如图，已知△ABC与△A′B′C′中心对称，找出它们的对称中心O.
6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=12，点P是AC上的动点，连接BP，以BP为边作
等边△BPQ，连接CQ，则点P在运动过程中，线段CQ长度的最小值是 ．
拓展迁移：
7.如图，已知△AOB与△DOC成中心对称，△AOB的面积是12，AB＝3，则△DOC中CD边上的高为
.
8.如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E、F，AB＝2，
BC＝3，则图中阴影部分的面积为 。
9.如图1，在△ABC中，AC＝BC，∠A＝30°，点D在AB边上，且∠ADC＝45°.
(1)求∠BCD的度数；
(2)将图1中的△BCD绕点B顺时针旋转得到△BC′D′，当点D′恰好落在BC边上时，如图2所示，连接C′C并延长交AB于点E.
①求∠C′CB的度数；
②求证：△C′BD′≌△CAE.
课堂作业参考答案
1、C
2、C
3、A
4、D
5、×，×，√，× ，√
6、④
7、正方形、正六边形是中心对称图形，规律：边数为偶数的正多边形都是中心对称图形。
8、解：(1)如图，△AB C 为所作；
(2)如图，△A B C 为所作，点C 的坐标是(−3,−4)；
故答案为(−3,−4)；
（3）
所以点C所经过的路径长
9、解：(1)DE∥AC
证明：∵△DEC绕点C旋转，点D恰好落在AB边上，∴AC＝CD.
∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴∠BAC＝90°－∠B＝90°－30°＝60°.
∴△ACD是等边三角形．∴∠ACD＝60°.
∵∠CDE＝∠BAC＝60°，
∴∠ACD＝∠CDE.
∴DE∥AC.
(2)S ＝S
证明：由(1)知△ACD是等边三角形，
∴AC＝CD＝AD.
∵∠B＝30°，∠ACB＝90°，
∴CD＝AC＝AD＝ AB.
∴BD＝AD＝AC.
根据等边三角形的性质，△ACD的边AC，AD上的高相等，又DE∥AC，
∴易得△BDC的面积和△AEC的面积相等(等底等高的三角形的面积相等)，即S ＝S
课外作业参考答案
1、①②③，①④⑤
2、（1）（3），（4）、（6）；（2） （1）；（3） （2），（5）
3、B
4、①，②，③； ①，③
5、解法1：连接对应点，对应点的交点就是对称中心。
解法2：连接其中一组对应点，作线段的垂直平分线，其交点就是对称中心。
6、3
解答提示：取AB的中点E，连接CE,PE,证三角形BCE为等边三角形，再证△BCQ≌△BEP，
PE=CQ当EP垂直AC时,EP值最小，即CQ最小。
7、8
解析：因为△AOB与△DOC成中心对称，所以△COD≌△AOB
△COD与△AOB的面积相等为12
CD=AB=3
故CD边上的高为8
8、3
解析：由于矩形是中心对称图形，所以依题意可知△BOF与△DOE关于点O成中心对称，由此图中阴
影部分的三个三角形就可以转化到直角△ADC中，易得阴影部分的面积为3．9、解：(1)∵AC＝BC，∠A＝30°，∴∠B＝∠A＝30°.
∵∠ADC＝45°，∴∠BCD＝∠ADC－∠B＝15°
(2)①由旋转，得BC＝BC′＝AC，∠C′BD′＝∠CBD＝∠A＝30°.
∴∠CC′B＝∠C′CB＝75°
②证明：∵∠CEB＝∠C′CB－∠CBA＝45°，
∴∠ACE＝∠CEB－∠A＝15°.∴∠BC′D′＝∠BCD＝∠ACE.
在△C′BD′和△CAE中,
∴△C′BD′≌△CAE(ASA)
