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第三章 变量之间的关系
单元测试
参考答案与试题解析
一、单选题
1．（2023春·全国·七年级专题练习）在利用太阳能热水器来加热水的过程中，热水器里的
水温随所晒时间的长短而变化，这个问题中自变量是（ ）
A．太阳光强弱 B．水的温度 C．所晒时间 D．热水器的容积
【答案】C
【分析】函数的定义：设在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每
一个确定的值，y都有唯一的值与它对应，那么称y是x的函数，x叫自变量．函数关系式
中，某特定的数会随另一个（或另几个）会变动的数的变动而变动，就称为因变量．
【详解】解：根据函数的定义可知，水温是随着所晒时间的长短而变化，可知水温是因变
量，所晒时间为自变量．
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是对函数的定义以及对自变量和因变量的认识和理解．
2．（2021春·广东河源·七年级校考期中）假设汽车匀速行驶在高速公路上，那么在下列各
量中，变量的个数是( )①行驶速度；②行驶时间；③行驶路程；④汽车油箱中的剩余油
量
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】解：变量有：②行驶时间、③行驶路程、④汽车油箱中的剩余油量．共3个．
故选C．
【点睛】本题考查变量的概念，变量是指变化的量．
3．（2022秋·八年级课时练习）用一水管向图中容器内持续注水，若单位时间内注入的水
量保持不变，则在注满容器的过程中，容器内水面升高的速度（ ）
A．保持不变 B．越来越慢 C．越来越快 D．快慢交替变化
【答案】C
【分析】此容器不是一个圆柱体，从下到上直径越来越小，因为相同体积的水在直径较大
的地方比在直径较小的地方的高度低，因此，若单位时间内注入的水量保持不变，容器内
水面上升的速度会越来越快．
【详解】由图可知：此容器不是一个圆柱体，从下到上直径越来越小∵相同体积的水在直径较小的地方比在直径较大的地方的高度更高
∴若单位时间内注入的水量保持不变，容器内水面上升的速度会越来越快
故选：C
【点睛】本题考查了体积、直径、高之间的关系，寻找出三者之间的变化关系是解题关键．
4．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一
觉．当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了
终点，用S，S 分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下列图象中与故事情节相吻
1 2
合的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据乌龟和兔子的运动状态选择相应的轨迹即可．
【详解】解：由题意得乌龟速度慢，但是一直在运动，兔子的速度快但是中间有停过一段
时间，而且乌龟比兔子早到，故而有停顿的图象应该是第一段比没停顿的图象更高，最后
一段比之更低，符合描述的只有D选项．
故选D．
【点睛】本题主要考查一次函数图象与信息，能够熟练的把信息转化为图象的走势是解题
关键．
5．（2023春·全国·七年级专题练习）某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度y
与空气温度x关系的一些数据
温度x(/C) - 20 - 10 0 10 20 30
声速y(/m/s) 318 324 330 336 342 348
下列说法错误的是（ ）A．在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速 B．温度越高，
声速越快
C．当空气温度为20℃时，声音5s可以传播1740m D．温度每升高10℃，声速提高
6m/s．【答案】C
【分析】根据自变量、因变量的含义，以及声音在空气中传播的速度与空气温度关系逐一
判断即可．
【详解】解：∵在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速，
∴选项A正确，不符合题意；
∵根据数据表，可得温度越高，声速越快，
∴选项B正确，不符合题意；
∵342×5=1710（m），
∴当空气温度为20℃时，声音5s可以传播1710m，
∴选项C错误，符合题意；
∵324-318=6（m/s），330-324=6（m/s），336-330=6（m/s），342-336=6（m/s），348-
342=6（m/s），
∴当温度每升高10℃，声速增加6m/s，
∴选项D正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了自变量、因变量的含义和判断，要熟练掌握．
6．（2022春·湖南衡阳·八年级校考期中）五一小长假的某一天，亮亮全家上午8时自驾小
汽车从家里出发，到某旅游景点游玩，该小汽车离家的距离（千米）与时间（时）之间的
关系如图所示，根据图象提供的有关信息，判断下列说法中错误的是（ ）
A．景点离亮亮的家180千米 B．亮亮到家的时间为17时
C．小汽车返程的速度为60千米/时 D．10时至14时小汽车匀速行驶
【答案】D
【分析】根据函数图象的纵坐标，可判断A；根据待定系数法，可得返回的函数解析式，
根据函数值与自变量的对应关系，可判断B；根据函数图象的纵坐标，可得返回的路程，
根据函数图象的横坐标，可得返回的时间，根据路程与时间的关系，可判断C；根据函数
图象的纵坐标，可判断D．
【详解】解：A、由纵坐标看出景点离小明家180千米，故A正确；
B、由纵坐标看出返回时1小时行驶了180-120=60千米，180÷60=3，由横坐标看出14+3=17，故B正确；
C、由纵坐标看出返回时1小时行驶了180-120=60千米，即速度为60千米/小时，故C正确；
D、由纵坐标看出10点至14点，路程不变，汽车没行驶，故D错误；
故选：D．
【点睛】本题考查了函数图象，观察函数图象的纵坐标得出路程，观察函数图象的横坐标
得出时间是解题关键．
7．（2023春·全国·七年级专题练习）下表列出了一次实验的统计数据，表示皮球从高处落
下时，弹跳高度b与下落高度d的关系，试问下面哪个式子能表示这种关系（ ）
d/cm 50 80 100 150 ……
b/cm 25 40 50 75 ……
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】这是一个用图表表示的函数关系，可以看出d是b的2倍，即可得出函数关系式．
【详解】解：由表中上下对应的统计数据可知：d是b的2倍，
d＝2b，
根据题中所给四个选项可知C中 为d＝2b的恒等变形，
故选：C．
【点睛】本题考查根据实际问题列一次函数的关系式，属于基础题，比较容易，关键是读
懂题意，掌握函数关系的三种表示方法，并能准确找到图表中上下数据的对应关系．
8．（2021春·全国·七年级专题练习）下列各情景分别可以用哪一幅图来近似的刻画？正确
的顺序是（ ）
①汽车紧急刹车（速度与时间的关系）
②人的身高变化（身高与年龄的关系）
③跳过运动员跳跃横杆（高度与时间的关系）
④一面冉冉上升的红旗（高度与时间的关系）
A．abcd B．dabc C．dbca D．cabd
【答案】C
【详解】试题分析：A、根据人的身高变化关系；B、根据红旗高度与时间的关系；
C、跳过运动员跳跃横杆时高度与时间的关系；
D、汽车紧急刹车时速度与时间的关系．
解：A、人的身高随着年龄的增加而增大，到一定年龄不变，故与②符合；
B、红旗升高随着时间的增加而增大，到一定时间不变，故与④符合；
C、运动员跳跃横杆时高度在上升到最大高度然后上升到最大高度之后高度减小，与③符合；
D、汽车紧急刹车时速度随时间的增大而减小，与①符合．
故选C．
9．（2022秋·八年级课时练习）是饮水机的图片．饮水桶中的水由图1的位置下降到图2
的位置的过程中，如果水减少的体积是y，水位下降的高度是x，那么能够表示y与x之间
函数关系的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】水位随着水减少而下降，且饮水机是圆柱形，是同等变化的下降．
【详解】根据图片位置分析：水减少的体积随着水位下降的高度而增加，且饮水机是圆柱
形，所以均匀增加
故答案选：C
【点睛】本题考查用图象法表示变量之间的关系，掌握变量之间的变化关系解题关键．
10．（2023春·全国·七年级专题练习）为了增强抗旱能力，保证今年夏粮丰收，某村新修
建了一个蓄水池，这个蓄水池安装了两个进水管和一个出水管（两个进水管的进水速度相
同）．一个进水管和一个出水管的进出水速度如图1所示，某天0点到6点（至少打开一
个水管），该蓄水池的蓄水量如图2所示，并给出以下三个论断：①0点到1点不进水，
只出水；②1点到4点不进水，不出水；③4点到6点只进水，不出水．则一定正确的论
断是（ ）A．①③ B．②③ C．③ D．①②③
【答案】C
【分析】根据图象1可知一个进水管的进水速度小于出水速度，且为出水速度的一半，再
结合图2中特殊点的实际意义即可作出判断．
【详解】解：①0点到1点既进水，也出水；
②1点到4点同时打开两个管进水，和一只管出水；
③4点到6点只进水，不出水．
正确的只有③．
故选：C．
【点睛】主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用．要能根据函数图
象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的
结论．
二、填空题
11．（2023春·七年级课时练习）如果一个三角形的底边固定，高发生变化时，面积也随之
发生改变．现已知底边长为 ，则高从 变化到 时，三角形的面积变化范围是____．
【答案】 变为
【分析】根据三角形面积公式利用底边和高之积的一半即三角形的面积进行计算，即可得
到答案．
【详解】解：三角形的面积最小值为 ，
最大值为 ，
故三角形的面积变化范围是三角形的面积由15变为50．
故答案为： 变为 ．
【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式，能利用三角形面积公式计算三角形面积的是
解题的关键．
12．（2023春·七年级单元测试）某城市自来水收费实行阶梯水价，收费标准如下表所示，
用户5月份交水费45元，则所用水为____方．月用水量 不超过12方部分 超过12方不超过18方部分 超过18方部分
收费标准（元/方） 2 2.5 3
【答案】20
【分析】根据题意可知：先判断出该用户用的水与18方的关系，再设用水x方，水费为y
元，继而求得关系式为y=39+3（x-18）；将y=45时，代入上式即可求得所用水的方数．
【详解】解：∵45＞12×2+6×2.5=39，
∴用户5月份交水费45元可知5月用水超过了18方，
设用水x方，水费为y元，则关系式为y=39+3（x-18）．
当y=45时，x=20，
即用水20方．
故答案为：20．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，用待定系数法求函数的解析式和根据自变量的
值求函数值．弄清对应的水费是解决问题的关键．
13．（2022秋·安徽亳州·八年级校考阶段练习）根据如图所示的程序计算函数值，若输入x
的值1.5，则输出的y值为 __．
【答案】
【分析】首先确定1.5在1＜x≤2，再代入y＝﹣x+2计算即可．
【详解】∵x＝1.5，
∴1＜x≤2．
∴把x＝1.5代入y＝﹣x+2中，
得y＝﹣1.5+2＝0.5．
故答案为：0.5．
【点睛】本题主要考查了求一次函数值，根据自变量取值范围确定关系式是解题的关键．
14．（2022秋·八年级课时练习）如图，甲，乙两人在一次赛跑中的路程（m）与时间（s）的关系图象，则：
①甲，乙两人中先到达终点的是______；
②乙在这次赛跑中的速度为______m/s．
【答案】 甲 8
【分析】①根据函数点的横纵坐标的含义可得答案；
②由乙在这次赛跑中100米用时 秒可得答案．
【详解】解：①根据图象可得甲跑完全程用12s，乙用12.5s， 所以先到终点的是甲，
故答案为：甲；
②100÷12.5=8（m/s），
故答案为：8．
【点睛】本题考查了函数图象，正确理解坐标系的横纵坐标的意义是解决本题的关键．
15．（2021春·海南海口·八年级北京大学附属中学海口学校校考期中）小明从家跑步到学
校，接着立即原路步行回家．如图是小明离家的路程y（米）与时间x（分）之间的函数关
系的图像，则小明步行回家的平均速度是__________米/分．
【答案】80
【分析】根据图象可知小明家到学校的距离是800米，呈下降趋势的线段表示其步行回家，
利用路程除以时间可得速度．
【详解】解：由图象可知小明家到学校的距离是800米，
从5分钟到15分钟的一段线段代表小明步行回家．
其步行速度为800÷（15-5）=80（米/分）．
故答案为80．
【点睛】本题主要考查了函数图象，解决这类问题要注意结合实际，并弄清楚横、纵轴表
示的含义．
16．（2022秋·广东梅州·七年级校考阶段练习）下面是用棋子摆成的“上”字型图案：按照以上规律继续摆下去，通过观察，可以发现：（1）第五个“上”字需用_________枚
棋子；（2）第n个“上”字需用_________枚棋子．
【答案】 22 4n+2
【分析】将每个图形中的“上”字所用的棋子找出来，再寻找数字规律即可．
【详解】第一个“上”字需用6枚棋子；
第二个“上”字需用10枚棋子；
第三个“上”字需用14枚棋子；
发现6、10、14之间相差4，所以规律与4有关
∴第五个“上”字需用 枚棋子，第n个“上”字需用 枚棋子．
故答案为：（1） ；（2）
【点睛】本题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出数字的运算规律，利用规
律解决问题．
三、解答题
17．（2022秋·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图，长方形 中， ， ．
点P在 上运动，设 ，图中阴影部分的面积为y．
(1)求阴影部分的面积y与x之间的函数解析式并直接写出自变量x的取值范围；
(2)当阴影部分的面积等于20，请求出此时 的值？
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】（1）根据阴影部分的面积等于长方形面积减去 的面积进行列式，即可得出
y与x的函数关系式；
（2）令 ，求出x即可得出答案．
【详解】（1）解：∵在长方形 中， ， ， ，∴图中阴影部分的面积为： ；
（2）解：当 时，即 ，
解得 ，
即 ．
【点睛】此题主要考查了一次函数的应用，正确表示出阴影部分的面积是解题关键．
18．（2023春·全国·七年级专题练习）某移动通讯公司开设了两种通讯业务：“全球通”
使用者先交50元月租费，然后每通话1分钟，再付话费0.4元，“神州行”不缴月租费，
每通话1分钟付费0.6元，若一个月内通话x分钟，两种方式的费用分别是 元， 元．
（1）写出 与 之间的函数关系式；
（2）一个月内通话多少分钟，两种移动移动通讯费相同；
（3）某人估计一个月内通话300分钟，应选择哪种移动通讯合算些．
【答案】（1） ；（2）通话250分钟两种费用相同；（3）选择全球
通合算．
【分析】（1）因为移动通讯公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用者先缴50元月租
费，然后每通话1分钟，再付话费0.4元；“神舟行”不缴月租费，每通话1min付费0.6
元．若一个月内通话xmin，两种方式的费用分别为y 元和y 元，则y =50+0.4x，y =0.6x；
1 2 1 2
（2）令y =y ，解方程即可；
1 2
（3）令x=300，分别求出y 、y 的值，再做比较即可．
1 2
【详解】（1）
（2）令y =y ，则50+0.4x=0.6x，
1 2
解之，得x=250
所以通话250分钟两种费用相同；
（3）令x=300，
则y =50+0.4×300=170；y =0.6×300=180
1 2
所以选择全球通合算．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，需仔细分析题意，建立函数解析式，利用方程或简
单计算即可解决问题．
19．（2023春·全国·七年级专题练习）小明某天上午 时骑自行车离开家， 时回到家，
他有意描绘了离家的距离与时间的变化情况（如图所示）．（1）图象表示了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
（2） 时和 时，他分别离家多远？
（3）他到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？
（4） 时到 时他行驶了多少千米？
（5）他可能在哪段时间内休息，并吃午餐？
（6）他由离家最远的地方返回时的平均速度是多少？
【答案】（1）时间、离家的距离，自变量是时间，因变量是离家的距离；（2）15千米、
30千米；（3）12:00，30千米；（4）15千米，（5）12:00-13:00；（6）15千米/小时．
【分析】（1）根据图象的x轴和y轴即可确定表示了哪两个变量的关系；
（2）由函数图像可以看出10时的时候他离家的距离是15千米，12时的时候他离家30千
米；
（3）首先根据图象找到离家最远的距离，由此即可确定他到达离家最远的地方是什么时间，
离家多远；
（4）根据图象首先找到时间为10时和12时离家的距离，然后作差即可；
（5）如果休息，那么距离没有增加，由此就可以确定在哪段时间内休息，并吃午餐；
（6）根据返回时所走路程和使用时间即可求出返回时的平均速度．
【详解】解：（1）图像表示了离家的距离与时间这两个变量之间的关系．其中时间是自变
量，离家的距离是因变量；
（2）由函数图像可以看出10时的时候他离家的距离是15千米，13时的时候他离家30千
米；
（3）由图象看出他到达离家最远的地方是在12-13时，离家30千米；
（4）由图象看出10时到12时他行驶了30－15=15千米；
（5）由图象看出12:00~13:00时距离没变且时间较长，得他可能在12时到13时间内休息，
并吃午餐；（6）由图象看出回家时用了2小时，路程是30千米，所以回家的平均速度是30÷2=15(千
米/时)．
【点睛】此题考查了函数的图象，解题关键在于看懂图中数据表示的实际意义．
20．（2022秋·安徽合肥·八年级校考阶段练习）某剧院的观众席的座位为扇形，且按下列
方式设置：
排数（ ） 1 2 3 4 ……
座位数（ ） 50 53 56 59 ……
（1）按照上表所示的规律，当 每增加1时， 如何变化？．
（2）写出座位数 与排数 之间的解析式．
（3）按照上表所示的规律，某一排可能有90个座位吗？说说你的理由．
【答案】（1）当 每增加1时， 增加3；（2） ；（3）某一排不可能有90个
座位，理由见解析
【分析】（1）根据表格中数据直接得出y的变化情况；
（2）根据x，y的变化规律得出y与x的函数关系；
（3）利用（2）中所求，将y=90代入分析即可．
【详解】解：（1）由图表中数据可知；当 每增加1时， 增加3；
（2）由题意可知： ，
（3）某一排不可能有90个座位
理由：由题意可知： 解得：
故 不是整数，则某一排不可能有90个座位．
【点睛】本题主要考查了分析图表列函数解析式，解题的关键是认真分析图表，从中获取
关键信息列出解析式．
21．（2020春·七年级单元测试）如图，它表示甲乙两人从同一个地点出发后的情况．到十
点时，甲大约走了13千米．根据图象回答：（1）甲是几点钟出发？
（2）乙是几点钟出发，到十点时，他大约走了多少千米？
（3）到十点为止，哪个人的速度快？
（4）两人最终在几点钟相遇？
（5）你能将图象中得到信息，编个故事吗？
【答案】（1）8点；（2）9点；13米；（3）乙；（4）12点；（5）甲8时骑车从家出发，
3小时后改乘汽车；乙骑摩托车9时开始追赶，12时追上甲．
【分析】从图象可知：甲做变速运动，8时到11时走了20千米，速度为每小时 ，11时
到12时走了20千米，速度为每小时20千米；乙做的是匀速运动，9时到12时走了40千
米，速度是每小时 千米，结合图表的信息即可得到答案；
【详解】解：根据图象信息可知：
（1）甲8点出发；
（2）乙9点出发，到10时他大约走了13千米；
（3）到10时为止，乙的速度快；
（4）在12时时，两人路程一样，故两人最终在12时相遇；
（5）甲8时骑车从家出发，3小时后改乘汽车，乙骑摩托车9时开始追赶，12时追上甲．
【点睛】本题主要考查从图像得到信息，图中反映的是甲乙两人行驶的路程与时间之间的
关系，甲的速度有变化，乙是匀速运动的，能看懂图中的信息是解题的关键．
